On considère

r_{n+1} = \frac{4}{5}r_n + \left(\frac{2}{5}\right)^n,\ r_0=1

Résoudre $r_n$
Faire le graphe de $r_n$
Après combien d'heures, le patient subit-il la réeaction maximale?
Est-ce que l'équation proposée appraît raisonnable?

D'abord quelques valeurs :

[1, 9/5, 46/25, 204/125, 856/625, 3504/3125, 14176/15625, 57024/78125, 228736/390625, 916224/1953125, 3667456/9765625, 14674944/48828125, 58710016/244140625, 234860544/1220703125, 939483136/6103515625, 3758014464/30517578125]
[1.000, 1.800, 1.840, 1.632, 1.370, 1.121, 0.9073, 0.7299, 0.5856, 0.4691, 0.3755, 0.3005, 0.2405, 0.1924, 0.1539]

On trouve la solution :

L'équation homogène associée est $r_n{n+1} = \frac{4}{5}x_n$ . La solution générale de celle-ci est $r_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n$ .
Cherchons une solution particulière de la forme $r_n = A \left(\frac{2}{5}\right)^n$ . Pour que ça fonctionne il faut $A=-\frac{5}{2}$ .
Ainsi, la solution est de la forme $r_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{4}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^n$ .
Afin de trouver $k$ on utilise la condition initiale, et on obtient $k= \frac{7}{2}$ . Ainsi [r_n = \frac{7}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{5}{4}\left(\frac{2}{5}\right)^n]

plot((7/2)*(4/5)^x-(2/5)^(x-1), (x,0,N), color="blue")

Si on veut juste les points :

Pts = [point([k, X[k]], color="red") for k in range(N) ]

show(sum(Pts))