︠343f885a-88a9-4fab-878f-9d7ab209c667i︠ %md # On considère $$ r_{n+1} = \frac{4}{5}r_n + \left(\frac{2}{5}\right)^n,\ r_0=1$$ - Résoudre $r_n$ - Faire le graphe de $r_n$ - Après combien d'heures, le patient subit-il la réeaction maximale? - Est-ce que l'équation proposée appraît raisonnable? ︡7eae1ea9-e3ad-4644-b86c-7c6aabbab9ff︡{"done":true,"md":"# On considère\n$$ r_{n+1} = \\frac{4}{5}r_n + \\left(\\frac{2}{5}\\right)^n,\\ r_0=1$$\n\n - Résoudre $r_n$\n - Faire le graphe de $r_n$\n - Après combien d'heures, le patient subit-il la réeaction maximale?\n - Est-ce que l'équation proposée appraît raisonnable?"} ︠662b8647-caad-41f7-b728-cdb8ec8a4873i︠ %md D'abord quelques valeurs : ︡a621c100-d500-45a1-8061-736cd68a2017︡{"md":"D'abord quelques valeurs :\n"}︡ ︠2e99721c-c83f-4267-b7bc-8837e45b990ei︠ N=15 # On va se contenter de quelques valeurs pour voir une idée X=[1] for i in range(N): X.append((4/5)*X[-1]+(2/5)^i)# Ceci fait le calcul à partir de la définition X [X[j].n(digits=4) for j in range(N)]# Pour avoir une approximation numérique ︡4d214735-2957-437f-a3fc-d034e92763b0︡{"stdout":"[1, 9/5, 46/25, 204/125, 856/625, 3504/3125, 14176/15625, 57024/78125, 228736/390625, 916224/1953125, 3667456/9765625, 14674944/48828125, 58710016/244140625, 234860544/1220703125, 939483136/6103515625, 3758014464/30517578125]\n"}︡{"stdout":"[1.000, 1.800, 1.840, 1.632, 1.370, 1.121, 0.9073, 0.7299, 0.5856, 0.4691, 0.3755, 0.3005, 0.2405, 0.1924, 0.1539]\n"}︡ ︠6a66f4b7-aba8-487d-aaef-ef388cb66209is︠ %md On trouve la solution : - L'équation homogène associée est $r_n{n+1} = \frac{4}{5}x_n$. La solution générale de celle-ci est $r_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n$. - Cherchons une solution particulière de la forme $r_n = A \left(\frac{2}{5}\right)^n$. Pour que ça fonctionne il faut $A=-\frac{5}{2}$. - Ainsi, la solution est de la forme $r_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{4}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^n$. - Afin de trouver $k$ on utilise la condition initiale, et on obtient $k= \frac{7}{2}$. Ainsi \[r_n = \frac{7}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{5}{4}\left(\frac{2}{5}\right)^n\] ︡44903773-02b1-41c7-b4ac-0d78b858b7d4︡{"md":"On trouve la solution :\n- L'équation homogène associée est $r_n{n+1} = \\frac{4}{5}x_n$. La solution générale de celle-ci est $r_n = k\\left(\\frac{4}{5}\\right)^n$.\n- Cherchons une solution particulière de la forme $r_n = A \\left(\\frac{2}{5}\\right)^n$. Pour que ça fonctionne il faut $A=-\\frac{5}{2}$.\n- Ainsi, la solution est de la forme $r_n = k\\left(\\frac{4}{5}\\right)^n -\\frac{4}{5}\\left(\\frac{2}{5}\\right)^n$.\n- Afin de trouver $k$ on utilise la condition initiale, et on obtient $k= \\frac{7}{2}$.\nAinsi\n\\[r_n = \\frac{7}{2}\\left(\\frac{4}{5}\\right)^n -\\frac{5}{4}\\left(\\frac{2}{5}\\right)^n\\]\n\n"}︡ ︠e557f570-8003-408d-8292-e35c14ea8d29︠ plot((7/2)*(4/5)^x-(2/5)^(x-1), (x,0,N), color="blue") ︡83959881-fafc-4328-9fa1-99bb381283ee︡{"once":false,"file":{"show":true,"uuid":"2347e904-290f-4921-bd24-f295bcacc83a","filename":"/projects/db013a35-ea11-498b-a802-aaeadc1fa2a7/.sage/temp/compute1-us/13516/tmp_n3whOL.svg"}}︡{"html":"
"}︡ ︠49de8870-d753-4c40-a4ac-6fa78ab17266i︠ %md Si on veut juste les points : ︡80d12a71-4c46-41e0-8ca4-d84f24be0a9b︡{"md":"Si on veut juste les points :\n"}︡ ︠663bfc0d-507f-4aa1-94ba-1005ea6251c3︠ Pts = [point([k, X[k]], color="red") for k in range(N) ] ︡46f5c34b-4b8b-42c1-93bb-f1350e156803︡ ︠198bbe26-7509-486c-aeba-e9ffdd815ed7︠ show(sum(Pts)) ︡155257c4-4e32-40bd-8ad7-3a767eb8be3d︡{"once":false,"file":{"show":true,"uuid":"627a524c-ce75-40bf-8ae9-5dc2bd90e8c9","filename":"/projects/db013a35-ea11-498b-a802-aaeadc1fa2a7/.sage/temp/compute1-us/13516/tmp_2nXlFf.svg"}}︡{"html":"
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