Problema 1, Proyecto computacional CCAS-ad16027.sagews

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## _**Problema 1**_

<font face='Lucida Sans'>Resolviendo un Problema de Valor Inicial (PVI). Resolver el siguiente problema de valor
inicial:

<div align='center'>(D-2)<sup>3</sup> (D<sup>2</sup> + 9) Y= x<sup>2</sup>e<sup>x</sup> + x sin 3x;</div>
    Donde y<sub>(0)</sub> = y<sub>'</sub> <sub>(0)</sub> = y<sup>''</sup> <sub>(0)</sub> = y<sup>(3)</sup> <sub>(0)</sub> = y<sup>(4)</sup><sub>(0)</sub> = 1:
    
Después, verificar que la solución satisface el Problema de Valor Inicial, verificando que la solución i) satisface la
ecuación diferencial y ii) satisface las condiciones iniciales.
</font></font>

<font face='Lucida Sans'>**SOLUCION**</font>

Problema 1

Resolviendo un Problema de Valor Inicial (PVI). Resolver el siguiente problema de valor inicial:

(D-2)³ (D² + 9) Y= x²e^x + x sin 3x;

Donde y₍₀₎ = y_{' (0)} = y^'' ₍₀₎ = y⁽³⁾ ₍₀₎ = y⁽⁴⁾₍₀₎ = 1:

Después, verificar que la solución satisface el Problema de Valor Inicial, verificando que la solución i) satisface la ecuación diferencial y ii) satisface las condiciones iniciales.

SOLUCION

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La ecuacion auxiliar es (r-2)<sup>3</sup>(r<sup>2</sup>+9)=0, donde sus raices quedan determinadas por  r=2, con multiplicidad 3 y  r= 3i, r = -3i, con multiplicidad 2

Entonces la Yp queda dada por:


#### <div align='center'><font face='Monaco'>yp= (A+Bx+Cx<sup>2</sup>)e<sup>x</sup> + x((D+Ex)Cos 3x + (F+Gx) Sin 3x)</font></div>

La ecuacion auxiliar es (r-2)³(r²+9)=0, donde sus raices quedan determinadas por r=2, con multiplicidad 3 y r= 3i, r = -3i, con multiplicidad 2

Entonces la Yp queda dada por:

yp= (A+Bx+Cx²)e^x + x((D+Ex)Cos 3x + (F+Gx) Sin 3x)

var('x,A,B,C,D,E,F,G')
yp=(A+B*x+C*x^2)*exp(x)+(D*x+E*x^2)*cos(3*x)+(F*x+G*x^2)*sin(3*x)
show(yp)

(x, A, B, C, D, E, F, G)

$\displaystyle {\left(E x^{2} + D x\right)} \cos\left(3 \, x\right) + {\left(C x^{2} + B x + A\right)} e^{x} + {\left(G x^{2} + F x\right)} \sin\left(3 \, x\right)$

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<font face='Lucida Sans'>Planteada la ecuacion particular Yp se procede a resolverla por metodo de coeficientes indeterminados.
Para ello se definen nuevas variables con las derivadas de Yp asignadas a cada una. Ejemplo: calc0=primera derivada, calc1=segunda derivada y asi sucesivamente.</font>

Planteada la ecuacion particular Yp se procede a resolverla por metodo de coeficientes indeterminados. Para ello se definen nuevas variables con las derivadas de Yp asignadas a cada una. Ejemplo: calc0=primera derivada, calc1=segunda derivada y asi sucesivamente.

calc0=diff(yp,x,2)+9*yp
calc1=diff(calc0,x)-2*calc0
calc2=diff(calc1,x)-2*calc1
calc3=diff(calc2,x)-2*calc2
calcmi=calc3-x^2*exp(x)-x*sin(3*x)
show(calcmi)

$\displaystyle -x^{2} e^{x} - 54 \, {\left(2 \, E x + D\right)} \cos\left(3 \, x\right) + 276 \, {\left(2 \, G x + F\right)} \cos\left(3 \, x\right) + 524 \, E \cos\left(3 \, x\right) - 162 \, G \cos\left(3 \, x\right) - 10 \, {\left(C x^{2} + B x + A\right)} e^{x} + 28 \, {\left(2 \, C x + B\right)} e^{x} - 50 \, C e^{x} - 276 \, {\left(2 \, E x + D\right)} \sin\left(3 \, x\right) - 54 \, {\left(2 \, G x + F\right)} \sin\left(3 \, x\right) + 162 \, E \sin\left(3 \, x\right) + 524 \, G \sin\left(3 \, x\right) - x \sin\left(3 \, x\right)$

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<font face='Lucida Sans'>Ahora se definen nuevas variables para cada coeficiente y se resuelve </font>

Excoefi=calcmi.coefficient(exp(x))
Coscoefi=calcmi.coefficient(cos(3*x))
Sincoefi=calcmi.coefficient(sin(3*x))

solve([Excoefi.coefficient(x,0)==0,Excoefi.coefficient(x,1)==0,Excoefi.coefficient(x,2)==0],A,B,C)

[[A == (-267/250), B == (-14/25), C == (-1/10)]]

solve([Coscoefi.coefficient(x,0)==0,Coscoefi.coefficient(x,1)==0,Sincoefi.coefficient(x,0)==0,Sincoefi.coefficient(x,1)==0],D,E,F,G)

[[D == (-251/114244), E == (-23/13182), F == (1379/514098), G == (-3/8788)]]

Se definen las variables con los coeficientes encontrados, m1, m2, m3, m4, m5 y se sustituyen en Yp

A=-267/250;B=-14/25;C=-1/10;D=-251/114244;E=-23/13182;F=1379/514098;G=-3/8788



var('m1,m2,m3,m4,m5')
y=m1*exp(2*x)+m2*x*exp(2*x)+m3*x^2*exp(2*x)+m4*cos(3*x)+m5*sin(3*x)+(A+B*x+C*x^2)*exp(x)+(D*x+E*x^2)*cos(3*x)+(F*x+G*x^2)*sin(3*x)

solve([y.substitute(x=0)==1,diff(y,x).substitute(x=0)==1,diff(y,x,2).substitute(x=0)==1,diff(y,x,3).substitute(x=0)==1,diff(y,x,4).substitute(x=0)==1],m1,m2,m3,m4,m5)

(m1, m2, m3, m4, m5) [[m1 == (774782/371293), m2 == (-43330/28561), m3 == (1020/2197), m4 == (-1737019/92823250), m5 == (-4850123/556939500)]]

La solucion viene dada por

y(x)=774782/371293*exp(2*x)+-43330/28561*x*exp(2*x)+1020/2197*x^2*exp(2*x)+-1737019/92823250*cos(3*x)+-4850123/556939500*sin(3*x)
show(y)

$\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1020}{2197} \, x^{2} e^{\left(2 \, x\right)} - \frac{43330}{28561} \, x e^{\left(2 \, x\right)} - \frac{1737019}{92823250} \, \cos\left(3 \, x\right) + \frac{774782}{371293} \, e^{\left(2 \, x\right)} - \frac{4850123}{556939500} \, \sin\left(3 \, x\right)$