Préparation pour le chapitre limites

︠a963eef5-2168-45eb-835e-dca457e351c3i︠
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<h3>Un énoncé</h3>
<div class="enonce">    
Un livre complet sur Sage en français: <a title="Sagebook" href="http://dl.lateralis.org/public/sagebook/sagebook-web-20130530.pdf" target="_blank">Calcul mathématique avec Sage.</a> <br>
    
Un éditeur d'écritures mathématiques: <a href='https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php'>https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php</a>
</div>

Un énoncé

Un livre complet sur Sage en français: Calcul mathématique avec Sage.
Un éditeur d'écritures mathématiques: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Limite en l'infini

Représentez la fonction $f(x)=x^2+2$ . On mettra en titre la fonction ainsi que x et y en noms des axes et un quadrillage
Que vaut $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$ ?

f(x)=x^2+2
plot (f(x),x,-5,5)

La limite de f(x) lorsque x tend vers - l'infini est : +l'infini

La limite de f(x) lorsque x tend vers +l'infini est : +l'infini

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%html


<h3>Comprendre la définition</h3>


<div class="question"> 
<ol>
    <li> Résoudre $f(x)>M$ pour $M=10$
        
<ol>
    <li>en calculant la liste des valeurs de $f$ pour les 20 premières puissances de 10. </li>
    <li>en écrivant une procédure qui cherche le premier entier $x_M$ permettant d'atteindre 10 (utiliser une boucke while) </li>
      <li>en résolvant sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md) </li>

</ol>

     <li>    Résoudre $f(x)>M$ pour $M>0$ quelconque sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md) </li>
</ol>
</div>

Comprendre la définition

Résoudre $f(x)>M$ pour $M=10$
1. en calculant la liste des valeurs de $f$ pour les 20 premières puissances de 10.
2. en écrivant une procédure qui cherche le premier entier $x_M$ permettant d'atteindre 10 (utiliser une boucke while)
3. en résolvant sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md)
Résoudre $f(x)>M$ pour $M>0$ quelconque sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md)

# première méthode
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︠e32ae69c-56ac-4cf9-9844-7748bed3d7ebi︠
%md
#### 1) 1.

1) 1.

A=[f(10^k) for k in [1..20]]

[102, 10002, 1000002, 100000002, 10000000002, 1000000000002, 100000000000002, 10000000000000002, 1000000000000000002, 100000000000000000002, 10000000000000000000002, 1000000000000000000000002, 100000000000000000000000002, 10000000000000000000000000002, 1000000000000000000000000000002, 100000000000000000000000000000002, 10000000000000000000000000000000002, 1000000000000000000000000000000000002, 100000000000000000000000000000000000002, 10000000000000000000000000000000000000002]


︠485bfa13-147f-4fe8-a6b8-896362b6b287i︠
%md
#### 1) 2.

1) 2.


︠2e3dbe18-bcfd-430d-bc70-bd114399d59c︠
a=1
while f(a)<10:
    a=a+1
    print a-1

1
2

1) 3.

$x^2+2>10$

$S=\, ]-\infty \, ;\, -2\sqrt{2}\, [\: \cup \: ]2\sqrt{2}\, ;\, +\infty \, [$

2)

%html
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x^{2}&plus;2>0\;&space;\:&space;\forall&space;\:&space;x\in&space;\:&space;\mathbb{R}" title="x^{2}+2>0\; \: \forall \: x\in \: \mathbb{R}" />

$x^{2}+2>0\; \: \forall \: x\in \: \mathbb{R}$

# deuxième méthode

résolution manuelle:

Double-cliquez ici:

On écrira la résolution en utilisant l'éditeur mathématique https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Le résultat sera copié sur Sage puis entouré de symboles dollar:

$f(x)> 10 \Leftrightarrow ../$

$f(x)> 10 \Leftrightarrow ...$

démonstration générale:

Double-cliquez ici:

On écrira la résolution en utilisant l'éditeur mathématique https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Le résultat sera copié sur Sage puis entouré de symboles dollar:

$f(x)> A \Leftrightarrow ...$


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%html


<h3>autre exemple</h3>


<div class="question"> 
Faire de même (à l'exception des démonstrations manuelles) avec la fonction $f(x)=x^2-x$.
</div>

autre exemple

Faire de même (à l'exception des démonstrations manuelles) avec la fonction

f(x)=x^2-x

1) 1.

g(x)=(x^2)-x

B=[g(10^k) for k in [1..20]]

[90, 9900, 999000, 99990000, 9999900000, 999999000000, 99999990000000, 9999999900000000, 999999999000000000, 99999999990000000000, 9999999999900000000000, 999999999999000000000000, 99999999999990000000000000, 9999999999999900000000000000, 999999999999999000000000000000, 99999999999999990000000000000000, 9999999999999999900000000000000000, 999999999999999999000000000000000000, 99999999999999999990000000000000000000, 9999999999999999999900000000000000000000]

1) 2.

a=1
while g(a)<10:
    a=a+1
    print a-1

1
2
3

1) 3.

$x^2-x>10$

$S=\, ]-\infty\, ;\, \frac{1-\sqrt{41}}{2}[\: \cup \: ]\frac{1+\sqrt{41}}{2}\, ;\, +\infty [$

2)

$x^2-x>0$

$S=\, ]-\infty \, ;\, 0\, [\: \cup \, ]1\, ;\, +\infty \, [$

Limite finie en l'infini

Que vaut

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)

avec la fonction

f(x)=\cfrac{3x-2} {x^3}

︠1addf60a-2c00-4fb0-bf39-bae257b38f0ai︠
%html
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{3x-2}{x^3}=\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}" title="\frac{3x-2}{x^3}=\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}" />

$\frac{3x-2}{x^3}=\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}$

$\lim_{x\to+\infty }-\frac{2}{x}=0\: \: \: \: \: \: par\: somme,\: \lim_{x\to+\infty}3-\frac{2}{x}=3$

$\lim_{x\to+\infty }x^2=+\infty$

$Par\: quotient,\: \lim_{x\to+\infty }\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}=0$

Utilisez la fonction n(...) pour une approximation des calculs.
Dessinnez la courbe en commençant en dehors de 0.
Attention la boucle while ne doit pas utiliser le même critère que pour une limite infinie.