Contact
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupport News AboutSign UpSign In
| Download
Views: 1021
%typeset_mode True

var('xi, eta')

xi_LGL = [-1.0,           \
          -0.87174014851, \
          -0.591700181433,\
          -0.209299217902,\
          0.209299217902, \
          0.591700181433, \
          0.87174014851,  \
          1.0]

eta_LGL = [-1.0,           \
           -0.87174014851, \
           -0.591700181433,\
           -0.209299217902,\
           0.209299217902, \
           0.591700181433, \
           0.87174014851,  \
           1.0]
(ξ\displaystyle \xi, η\displaystyle \eta)

L_xi_0 =  ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[1]))\
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[2]))\
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[3]))\
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[4]))\
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[5]))\
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[6]))\
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[0] - xi_LGL[7]))

L_xi_1 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[0]))\
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[2]))\
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[3]))\
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[4]))\
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[5]))\
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[6]))\
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[1] - xi_LGL[7]))
        
L_xi_2 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[3])) \
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[4])) \
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[5])) \
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[6])) \
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[2] - xi_LGL[7]))

L_xi_3 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[2])) \
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[4])) \
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[5])) \
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[6])) \
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[3] - xi_LGL[7]))
        
L_xi_4 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[2])) \
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[3])) \
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[5])) \
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[6])) \
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[4] - xi_LGL[7]))


L_xi_5 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[2])) \
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[3])) \
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[4])) \
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[6])) \
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[5] - xi_LGL[7]))
        
L_xi_6 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[2])) \
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[3])) \
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[4])) \
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[5])) \
        * ((xi - (xi_LGL[7])) / (xi_LGL[6] - xi_LGL[7]))
        

L_xi_7 =  ((xi - (xi_LGL[0])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[0])) \
        * ((xi - (xi_LGL[1])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[1])) \
        * ((xi - (xi_LGL[2])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[2])) \
        * ((xi - (xi_LGL[3])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[3])) \
        * ((xi - (xi_LGL[4])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[4])) \
        * ((xi - (xi_LGL[5])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[5])) \
        * ((xi - (xi_LGL[6])) / (xi_LGL[7] - xi_LGL[6]))


######################################################################

L_eta_0 = ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[1]))\
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[2]))\
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[3]))\
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[4]))\
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[5]))\
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[6]))\
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[0] - eta_LGL[7]))

L_eta_1 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[0]))\
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[2]))\
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[3]))\
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[4]))\
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[5]))\
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[6]))\
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[1] - eta_LGL[7]))
        
L_eta_2 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[3])) \
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[4])) \
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[5])) \
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[6])) \
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[2] - eta_LGL[7]))

L_eta_3 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[2])) \
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[4])) \
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[5])) \
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[6])) \
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[3] - eta_LGL[7]))
        
L_eta_4 = ((eta- (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta- (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta- (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[2])) \
        * ((eta- (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[3])) \
        * ((eta- (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[5])) \
        * ((eta- (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[6])) \
        * ((eta- (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[4] - eta_LGL[7]))


L_eta_5 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[2])) \
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[3])) \
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[4])) \
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[6])) \
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[5] - eta_LGL[7]))
        
L_eta_6 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[2])) \
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[3])) \
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[4])) \
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[5])) \
        * ((eta - (eta_LGL[7])) / (eta_LGL[6] - eta_LGL[7]))
        

L_eta_7 = ((eta - (eta_LGL[0])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[0])) \
        * ((eta - (eta_LGL[1])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[1])) \
        * ((eta - (eta_LGL[2])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[2])) \
        * ((eta - (eta_LGL[3])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[3])) \
        * ((eta - (eta_LGL[4])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[4])) \
        * ((eta - (eta_LGL[5])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[5])) \
        * ((eta - (eta_LGL[6])) / (eta_LGL[7] - eta_LGL[6]))


print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_0 * L_eta_0 * L_eta_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_1 * L_xi_1 * L_eta_1 * L_eta_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_2 * L_xi_2 * L_eta_2 * L_eta_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_3 * L_xi_3 * L_eta_3 * L_eta_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_4 * L_xi_4 * L_eta_4 * L_eta_4, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_5 * L_xi_5 * L_eta_5 * L_eta_5, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_6 * L_xi_6 * L_eta_6 * L_eta_6, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_7 * L_xi_7 * L_eta_7 * L_eta_7, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
0.00111111111111037 0.0386740852528278 0.101366575556200 0.148195388573733 0.148195388573733 0.101366575556200 0.0386740852528278 0.00111111111111037 
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_0 * L_eta_0 * L_eta_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_0 * L_eta_0 * L_eta_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_0 * L_eta_0 * L_eta_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_0 * L_eta_0 * L_eta_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_1 * L_eta_0 * L_eta_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_1 * L_eta_0 * L_eta_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_1 * L_eta_0 * L_eta_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_1 * L_eta_0 * L_eta_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_2 * L_eta_0 * L_eta_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_2 * L_eta_0 * L_eta_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_2 * L_eta_0 * L_eta_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_2 * L_eta_0 * L_eta_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_3 * L_eta_0 * L_eta_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_3 * L_eta_0 * L_eta_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_3 * L_eta_0 * L_eta_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
print integrate(integrate(L_xi_0 * L_xi_3 * L_eta_0 * L_eta_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1).n()
0.00111111111111037 0.000192772506732110 -0.000245280925391725 0.000269711059278426 0.000192772506732109 0.0000334451154166260 -0.0000425550769572292 0.0000467935892914585 -0.000245280925391725 -0.0000425550769572297 0.0000541464591249549 -0.0000595394803874150 0.000269711059278426 0.0000467935892914498 -0.0000595394803874149 0.0000654696499474252 
######################################################
#############Integration of General functions#########
######################################################


f_0 = e**(-(xi**2 + eta**2) / 0.6**2)
f_0
integral_f_0 = integrate(integrate(f_0, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_0.n()
e(−2.77777777777778 η2−2.77777777777778 ξ2)\displaystyle e^{\left(-2.77777777777778 \, \eta^{2} - 2.77777777777778 \, \xi^{2}\right)}
1.08968731296967 
f_1 = sin(4 * ((xi - 0.3)**2 + (eta + 0.3)**2))
# latex(f_1)
integral_f_1 = integrate(integrate(f_1, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_1.n()
0.945143816408656 + 1.38777878078145e-17*I 
f_2 = sin(4 * ((xi - 0.3)**2 + (eta + 0.3)**2)) + cos(4 * ((xi - 0.3)**2 + (eta + 0.3)**2))
latex(f_2)
integral_f_2 = integrate(integrate(f_2, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_2.n()
\cos\left(4 \, {\left(\eta + 0.300000000000000\right)}^{2} + 4 \, {\left(\xi - 0.300000000000000\right)}^{2}\right) + \sin\left(4 \, {\left(\eta + 0.300000000000000\right)}^{2} + 4 \, {\left(\xi - 0.300000000000000\right)}^{2}\right) 1.29963209362073 
f_3 = e**(-(0.5 * xi**2 + 2 * eta**2) / 0.6**2)
f_3
integral_f_3 = integrate(integrate(f_3, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_3.n()
e(−5.55555555555556 η2−1.38888888888889 ξ2)\displaystyle e^{\left(-5.55555555555556 \, \eta^{2} - 1.38888888888889 \, \xi^{2}\right)}
1.02199637574522 
f_4 = sin(((xi - 0.3)**2 + (eta + 0.3)**2)) ** 4
f_4
integral_f_4 = integrate(integrate(f_4, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_4.n()
sin⁡((η+0.300000000000000)2+(ξ−0.300000000000000)2)4\displaystyle \sin\left({\left(\eta + 0.300000000000000\right)}^{2} + {\left(\xi - 0.300000000000000\right)}^{2}\right)^{4}
1.33783253647835 
f_5 = (sin(((xi)**2 + (eta)**2)) * cos(((xi)**2 + (eta)**2)))**4
f_5
integral_f_5 = integrate(integrate(f_5, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_5.n()
cos⁡(η2+ξ2)4sin⁡(η2+ξ2)4\displaystyle \cos\left(\eta^{2} + \xi^{2}\right)^{4} \sin\left(\eta^{2} + \xi^{2}\right)^{4}
0.108234186899320 + 4.33680868994202e-19*I 
f_6 = e**(-(xi + eta) / 0.6**2)
f_6
integral_f_6 = integral(integral(f_6, xi, -1, 1), eta, -1, 1)
print integral_f_6.n()
e(−2.77777777777778 η−2.77777777777778 ξ)\displaystyle e^{\left(-2.77777777777778 \, \eta - 2.77777777777778 \, \xi\right)}
33.2650147380588 
print(L_eta_0.simplify_full())
-3.351562500008004*eta^7 + 3.351562500008006*eta^6 + 3.867187500010295*eta^5 - 3.867187500010297*eta^4 - 1.054687500002225*eta^3 + 1.054687500002225*eta^2 + 0.03906249999993106*eta - 0.03906249999993102