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DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA

Classificação das Equações Diferenciais

Uma equação diferencial pode ser classificada de diferentes maneiras, com base em suas características.

A) Classificação pelo Tipo

Equação Diferencial Ordinária (EDO):

Contém apenas derivadas ordinárias da função incógnita com respeito a uma única variável independente.

Exemplos: $\frac{dy}{dx}+5y=e^x\quad\quad \frac{d^2 y(x)}{dx^2}-\frac{dy(x)}{dx}+6y(x)=0\quad\quad \frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=2x+y$
Observe que a terceira equação possui duas variáveis dependentes ($x,y$) mas apenas uma variável independente ($t$).
Neste curso abordaremos exclusivamente as equações diferenciais ordinárias.

Equação Diferencial Parcial (EDP):

Contém derivadas parciais das funções incógnitas com respeito a duas ou mais variáveis independentes.

Exemplos: $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\quad\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-2\frac{\partial u}{\partial t}\quad\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Observe que, implicitamente, concluímos que as funções incógnitas das três equações são funções de duas variáveis independentes; por exemplo, na terceira equação, temos $u(x,y)$ e $v(x,y)$.

B) Classificação pela Ordem

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de ordem mais alta da equação.

Exemplo:

A equação diferencial $\frac{d^2 y}{dx^2}+5\left(\frac{dy}{dx}\right)^3-4y=e^x$ é uma equação diferencial ordinária de ordem 2 uma vez que a derivada de ordem mais alta é uma derivada segunda. No segundo termo, a derivada está elevada ao cubo, mas é uma derivada de ordem 1.

Notação

Ao longo do curso, usaremos dois tipos de notação para as derivadas ordinárias. A primeira é a notação de Leibniz ($dy/dx,\cdots,d^4y/dx^4,\cdots,d^ny/dx^n$). A segunda notação é a compacta, que usa aspas para representar as primeiras três derivadas e, para derivadas de ordem mais alta, o grau envolvido por parênteses ($y', y'', y''', y^{(4)},\cdots, y^{(n)}$).
Assim, a equação $\frac{d^2 y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}+6y=0$ pode ser escrita como $y''-y'+6y=0$.

Forma Geral e Forma Normal

Simbolicamente, uma equação diferencial ordinária de ordem $n$ pode ser escrita na forma geral: $$F(x,y,y',\cdots,y^{n})=0$$ a qual explicita que $F$ é uma relação envolvendo a variável independente $x$, a variável dependente $y$ e suas derivadas até ordem $n$.

A partir da forma geral obtemos a forma normal simplesmente isolando a derivada de ordem mais alta, ou seja: $$\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$$

C) Classificação pela Linearidade

Uma EDO de ordem $n$ é dita linear se, na forma geral, a função $F$ for linear em $y,y',\cdots,y^{(n)}$. Em outras palavras, a EDO tem a seguinte forma: $$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots +a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$$ Os casos particulares mais importantes do ponto de vista deste curso são as EDOs de ordens 1 e 2: $$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)\quad\quad\quad a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$$ Examinando as equações acima, vemos quais são as duas propriedades características de uma EDO linear:

• a variável dependente $y$ e todas as suas derivadas são de grau 1, ou seja, estão elevadas à potência 1
• os coeficientes $a_0,\cdots,a_n$ dependem no máximo da variável independente $x$ mas não podem depender de $y$ e suas derivadas

Uma EDO que não seja linear (pelos critérios anteriores) é dita não linear.

Problema Resolvido

Classifique as equações diferenciais ordinárias fornecidas a seguir:

• $y''-2y=0$: linear ($y$ e suas derivadas elevadas à potência 1; coeficientes dependentes apenas de $x$) e de segunda ordem (derivada mais alta é de ordem 2)
• $x^3\frac{d^3y}{dx^3}+x\frac{dy}{dx}-5y=e^x$: linear ($y$ e suas derivadas elevadas à potência 1; coeficientes dependentes apenas de $x$) e de ordem 3 (derivada mais alta é de ordem 3)
• $y''+\sin{y}=0$: não linear ($\sin{y}$ é uma função não linear de $y$) e de segunda ordem (derivada mais alta é de ordem 2)
• $2yy^{(4)}+y=0$: não linear (coeficiente do primeiro termo não depende apenas de $x$) e de ordem 4 (derivada mais alta é de ordem 4)

Conceito de Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

O principal objetivo deste curso consiste em resolver, ou seja, encontrar soluções de uma EDO. Entretanto, o conceito de solução possui certas peculiaridades que devem ser esclarecidas antes de se estudar os métodos usados na sua determinação.

Definição: Solução de uma EDO

Uma função qualquer, $y$, definida em um intervalo $I$, e que possua ao menos $n$ derivadas contínuas nesse intervalo, as quais, quando substituídas em um uma EDO de ordem $n$, reduzem a equação a uma identidade é denominada solução da EDO no intervalo $I$.
Usando a forma geral, a definição dada pode ser expressa matematicamente como: $$F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)})=0\quad\forall x\in I$$ Dizemos que $y$ satisfaz a EDO em $I$.

Intervalo de Definição

A definição acima realça o fato de que a solução de uma EDO vem sempre acompanhada do conceito de intervalo, isto é, é preciso sempre fornecer a solução da EDO e, simultaneamente, o intervalo para o qual ela está definida ou existe. Por isto, são utilizadas as expressões intervalo de definição ou intervalo de existência ou intervalo de validade ou domínio da solução. Esse intervalo pode ser aberto $(a,b)$, fechado, $[a,b]$, infinito, $(a,\infty)$ e assim por diante.

Verificação de Soluções

Dada uma função, uma maneira de verificar se ela é solução de uma EDO consiste em substituí-la na equação e observar se os dois lados da equação são iguais para todo $x$ no intervalo de validade.
Como exemplo, verifiquemos se a função $y=xe^x$ é solução da EDO $y''-2y'+y=0$. Neste caso, é fácil verificar que o domínio da solução é toda a reta real, $(-\infty,+\infty)$.
Vamos usar o Sage para simular o processo manual de verificação.

# Declara variável independente x
x=var('x')
# Define a função y(x)
y=x*exp(x)
# Calcula primeira derivada (o parâmetro 1, que é a ordem da derivada, pode ser omitido neste caso, porque o default é igual a 1)
dy1 = diff(y,x,1)
show(dy1)
# Calcula segunda derivada
dy2 = diff(y,x,2)
show(dy2)
# Determina o lado esquerdo da EDO
lado_esq = dy2 - 2*dy1 + y
print('Lado Esquerdo da EDO:')
show(lado_esq)

$\displaystyle x e^{x} + e^{x}$

$\displaystyle x e^{x} + 2 \, e^{x}$

Lado Esquerdo da EDO:

$\displaystyle 0$

Portanto, acabamos de verificar que $y=xe^x$ é solução da EDO fornecida. Uma verificação mais compacta seria:

x=var('x')
y=x*exp(x)
lado_esq = diff(y,x,2)-2*diff(y,x,1)+y
lado_dir = 0
show(lado_esq - lado_dir)

$\displaystyle 0$

Solução Trivial

Observe que a equação diferencial do exemplo anterior possui uma solução constante e identicamente nula em todo o intervalo de validade, $y=0$, que é denominada solução trivial.

Soluçoes Explícitas e Implícitas

Uma solução na qual a variável dependente é expressa apenas em termos da variável independente e de constantes é chamada de solução explícita. Acabamos de ver uma solução deste tipo. No exemplo anterior, a solução $y=xe^x$ é explícita, uma vez que está expressa exclusivamente em termos da variável independente, $x$.

Entretanto, como veremos mais adiante, nem sempre os métodos de solução de EDO levam a uma solução explícita $y=f(x)$; por exemplo, isto acontece para muitas EDOs não lineares de ordem 1. Nestes casos, temos que nos contentar com uma relação $G(x,y)=0$, que define a solução $y(x)$ implicitamente.

Definição: Solução Implícita de uma EDO

Dizemos que a relação $G(x,y)=0$ é uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária em um intervalo $I$ se existe pelo menos uma função $f(x)$ que satisfaz a relação bem como a equação diferrencial em $I$.

Família de Soluções

O estudo de equações diferenciais possui semelhanças com o estudo do cálculo integral; a solução de uma EDO é chamada, por vezes, de integral da equação. No cálculo integral, quando determinamos a primitiva, por exemplo, usamos uma constante de integração, $c$. Analogamente, quando resolvemos uma EDO de ordem 1, $F(x,y,y')=0$ usualmente obtemos uma solução contendo uma constante arbitrária $c$. Para uma EDO de ordem $n$, a solução contém $n$ constantes arbitrárias.
Por este motivo, dizemos que, ao resolver uma EDO, obtemos uma família de soluções. Portanto, uma EDO pode ter um número infinito de soluções, cada uma correspondendo a uma escolha específica das constantes arbitrárias. Por outro lado, uma solução de uma EDO que não contém parâmetros arbitrários é chamada solução particular.

Exemplo 1

A família de um parâmetro $y=cx-x\cos{x}$ é uma solução explícita da EDO linear de ordem 1, $xy'-y=x^2\sin{x}$ no intervalo $(-\infty,\infty)$.

###############################
# Verificação de que é solução
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# Cria variável independente x, parâmetro c e variável dependente y
x = var('x')
c = var('c')
y = c*x-x*cos(x)
# Avalia lados esquerdo e direito da EDO
ladoesq = x*diff(y,x,1)-y
ladodir = (x^2)*sin(x)
f1 = ladoesq - ladodir
# Simplifica expressão simbólica obtida
# Descubra o que acontece sem a simplificação, comentando a instrução abaixo
f2=f1.canonicalize_radical()
show(f2)

$\displaystyle 0$

#################################################
# Gráfico da solução para os valores c=-1,0,1
#################################################
x = var('x')
c = var('c')
y = c*x-x*cos(x)
P = Graphics()
P += plot(y.substitute(c==-1), x, -4*pi, 4*pi,color='red')
P += plot(y.substitute(c==0), x, -4*pi, 4*pi,color='blue')
P += plot(y.substitute(c==1), x, -4*pi, 4*pi,color='green')
#for k in range(-1,2,1) :
#    P += plot(y.substitute(c==k), x, -4*pi, 4*pi)
P.show()

Exemplo 2

A família de dois parâmetros $y=c_1 e^x+c_2xe^x$ é uma solução explícita da EDO linear de ordem 2, $y''-2y'+y=0$ no intervalo $(-\infty,\infty)$.

A seguir, usamos o Sage para verificar que se trata de uma família de soluções da EDO e graficar as soluções particulares: $y=5xe^x\ (c_1=0,\ c_2=5)$, $y=3e^x\ (c_1=3,\ c_2=0)$ e $y=5e^x-2xe^x\ (c_1=5,\ c_2=2)$.

###############################
# Verificação de que é solução
###############################
# Cria variável independente x, parâmetro c e variável dependente y
x = var('x')
c1 = var('c1')
c2 = var('c2')
y = c1*exp(x)+c2*x*exp(x)
# Avalia lado esquerdo (neste caso, não é preciso simplificação)
f3 = diff(y,x,2)-2*diff(y,x,1)+y
show(f3)

#################################################
# Gráfico de soluções particulares
#################################################
P = Graphics()
P += plot(y.substitute(c1==0,c2==5), x, -5, 4,ymin=-5, ymax=30,color='red')
P += plot(y.substitute(c1==3,c2==0), x, -5, 4,ymin=-5, ymax=30,color='blue')
P += plot(y.substitute(c1==5,c2==-2), x, -5, 4,ymin=-5, ymax=30,color='green')
P.show()

$\displaystyle 0$

Sistemas de Equações Diferenciais

Até agora, discutimos uma única equação diferencial contendo apenas uma função incógnita mas, em muitas aplicações, nos deparamos com um sistema de equações diferenciais, isto é, um conjunto de duas ou mais equações envolvendo as derivadas de duas ou mais funções incógnitas de uma variável independente.
Como exemplo, sejam $x$ e $y$ duas variáveis dependentes de uma única variável independente, $t$. Então, um sistema de de duas equações de ordem 1 é dado por: $$\begin{array}{lcl} \displaystyle\frac{dx}{dt}&=&f(t,x,y)\\ \displaystyle\frac{dy}{dt}&=&g(t,x,y) \end{array}$$ Uma solução de um sistema de EDOs é um par de funções diferenciáveis $(x=\phi_1(t),\ y=\phi_2(t))$, definidas em um intervalo comum $I$ e que satisfazem todas as equações do sistema.