Będziemy zajmować się kompleksami simplicjalnymi.
Kompleksy takie złożone są z punktów i krawędzi miedzy nimi.
Najprostsza definicja kompleksu polega na podaniu polecenia jak poniżej:
Ponieważ nie wykonaliśmy żadnych "wycinanek" powstał kopmpleks simplicjalny złozony z wszystkich możliwych krawędzi pomiedzy wszystkimi wymienionymi wierzchołkami.
Zostały dodane nie tylko krawedzie szkielet) ale także wszystkie podzbiory zbioru generującego, czyli pojawiły się trójkąty, a nawet jeden czworościan, obejmujący cały zbiór wierzchołków).
Ponizsze polecenie pokazuje jakie mamy "ściany" w naszym kompleksie.
Warto zwrócić uwagę, że wydruk pokazuje ściany pogrupowane wg. wymiaru.
Możemy narysowac nasz kompleks.
Patrząc uważnie, mozna dostzec że otrzymaliśmy czworoscian.
Będziemy bawić się kompleksami dla 3, 4-rech i 5 punktów.
Dla porzadku zacznijmy od 3: [0,1,2]
Zamaist startować z poleceniem SimplicialComplex([0,1,2]), możemy wystartować od prostrszego polecenia Simplex(3) kt©óe generuje 3-simplex, ale nasz kompleks bedzie dodatkow zawierał wszystkei jego ściany, aż do dna.
Robimy tak, gdyż jes tak oszczędniej: Simplex(10) jest krótsze niż SimoplicialComplex([0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]).
Dodajemy wszystkei ściany gdyż obiekt Simplex(n) w Sage ma tylko n-1 wymiarowe ściany ( które mają swoje ściany, ale to zbyt niewygodne w operowaniu ścianami, prościej dodac je wszystkie i wygenerować kompleks)
Zerknijmy jakie to ścainy ma nasz kompleks:
Wykonamy teraz nastepującą operację na simpleksie : usuniemy ścianę 0 ( czyli wierzchołek) i zobaczymy co nam zostanie.
Powstały obiekt nazwijmy
Jak widać powyżej dostaliśmy kompleks simplicjalny złozony z punktów (1,2,3), który posiada tylko jedna ścanę o maksymalnym wymiarze: mianowicie (1,2,3), wraz z wszystkimi jego "ścanami".
Wyświetlimy sobie wszystkei śiany obiektu kóry otrzymalismy.
Sage niestety usuwa ściany z oryginalnego kompleksu ( po opercji usunięcia ściany 0, zostal zmodyfikowany).
Aby wykonać kolejne operacje, odnawiamy do jego oryginalnej postaci.
Powyżej usuwaliśmy ścianę ( wierzchołek) "0".
Teraz usuniemy z pełnego wszystkei inne ściany poza 0.
Wynikowy obiekt operacji oznaczymy
Zgodnie z oczekiwaniami wynik to pojedynczy wierzchołek 0, co można sprawdzić wyświetlając ściany
Mamy zatem nastepującą sytuację. Niech oznacza usunięcie ściany
Operacje które wykonalismy były zatem takie:
oraz
Z prostego rachunku kombinatorycznego wynika, że jest tyle samo wierzchołków co podzbiorów eleemntowych ( wybór wierzchołka to to samo co wybór pozostałych wierzchołków.
Oznacza to że mamy jednoznaczne odwzorowanie zbioru powstałego przez działanie "operatora" i zbioru powstałego przez działanie pozostałych operatorów gdzie
W szczególności oznacza to, że zbudowaliśmy odwzorowanie pomiędzy wierzchołkami ( simpleksami 0-wymairowymi) i ścianmi ( simpleksami) wymiarowymi.
Sprawdźmy że jest ich tyle samo:
Oznaczmy tak zdefiniowane odwzorowanie litera
mamy wówczas ( na razie tylko dla pojedyńczych wystapień operatora :
gdzie
W dalszej kolejności sprawdzimy jak pod działaneuim operatora zachowuja się simpleksy, kiedy operatory działają parami.
itd.
A teraz operacja komplementarna:
Porównajmy ściany wyników oraz
Jak widac powyżej mamy taka samą liczbę ścian 2 wymiarowych, konketnie jest to w obu wypadkach jedna ściana.
Możemy uważać, że jest to definicja działanai odwzorowanie w ogólniejszym przypadku par operatorów :
gdzie
To samo dla simplexu .
Jak widać mamy poniższą odpowiedniość pomiędzy ścianami simpleksów którym pousuwaliśmy wierzchołki.
Identycznie dla wszystkich kombinacji pojedyńczych wierzchołków.
Teraz dla par wierczhołków
Jak widać za każdym razem daje się zdeiniować odwzorowanie w postaci jak napisałem powyzej.
Warto zwrócić uwagę, że poprawność definicji wynika także z symetrii trójkąta Pascala ( --> https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle ) , podającego liczby podzbiorów k oraz n-k elementów, oraz z tego, że kiedy trojką Pascala ma w rzędzie nieparzysta liczbę wyrazów, wyraz środkowy jest liczbą parzystą.