CoCalc Shared FilesSimplicialComplexes.sagewsOpen in CoCalc with one click!
Author: Kazimierz Kurz
Views : 35
Description: SimplicalComplexes-Sage-automorfizm

Będziemy zajmować się kompleksami simplicjalnymi.

Kompleksy takie złożone są z punktów i krawędzi miedzy nimi.

Najprostsza definicja kompleksu polega na podaniu polecenia jak poniżej:

Z=SimplicialComplex([[0,1,2,3]]);Z
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 1, 2, 3)}

Ponieważ nie wykonaliśmy żadnych "wycinanek" powstał kopmpleks simplicjalny złozony z wszystkich możliwych krawędzi pomiedzy wszystkimi wymienionymi wierzchołkami.

Zostały dodane nie tylko krawedzie  szkielet) ale także wszystkie podzbiory zbioru generującego, czyli pojawiły się trójkąty, a nawet jeden czworościan, obejmujący cały zbiór wierzchołków).

Ponizsze polecenie pokazuje jakie mamy "ściany" w naszym kompleksie.

Warto zwrócić uwagę, że wydruk pokazuje ściany pogrupowane wg. wymiaru.

Z.faces()
{0: set([(3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 3), (0, 2), (1, 3), (1, 2), (0, 3), (0, 1)]), 2: set([(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)]), 3: set([(0, 1, 2, 3)]), -1: set([()])}

Możemy narysowac nasz kompleks.

Patrząc uważnie, mozna dostzec że otrzymaliśmy czworoscian.

Z.graph()
d3-based renderer not yet implemented

Będziemy bawić się kompleksami dla 3, 4-rech i 5 punktów.

Dla porzadku zacznijmy od 3: [0,1,2]

Zamaist startować z poleceniem SimplicialComplex([0,1,2]), możemy wystartować od prostrszego polecenia Simplex(3) kt©óe generuje 3-simplex, ale nasz kompleks bedzie dodatkow zawierał wszystkei jego ściany, aż do dna.

Robimy tak, gdyż jes tak oszczędniej: Simplex(10) jest krótsze niż SimoplicialComplex([0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]).

Dodajemy wszystkei ściany gdyż obiekt Simplex(n) w Sage ma tylko n-1 wymiarowe ściany ( które mają swoje ściany, ale to zbyt niewygodne w operowaniu ścianami, prościej dodac je wszystkie i wygenerować kompleks)

X3=SimplicialComplex(Simplex(3).faces());X3
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)}

Zerknijmy jakie to ścainy ma nasz kompleks:

X3.faces()
{0: set([(3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 3), (0, 2), (1, 3), (1, 2), (0, 3), (0, 1)]), 2: set([(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)]), -1: set([()])}

Wykonamy teraz nastepującą operację na simpleksie X3X^3: usuniemy ścianę 0 ( czyli wierzchołek) i zobaczymy co nam zostanie.

Powstały obiekt nazwijmy X03X^3_0

X3_0=X3.remove_face([0]);X3_0
Simplicial complex with vertex set (1, 2, 3) and facets {(1, 2, 3)}

Jak widać powyżej dostaliśmy kompleks simplicjalny złozony z punktów (1,2,3), który posiada tylko jedna ścanę o maksymalnym wymiarze: mianowicie (1,2,3), wraz z wszystkimi jego "ścanami".

Wyświetlimy sobie wszystkei śiany obiektu X03X^3_0 kóry otrzymalismy.

X3_0.faces()
{0: set([(2,), (3,), (1,)]), 1: set([(1, 3), (1, 2), (2, 3)]), 2: set([(1, 2, 3)]), -1: set([()])}

Sage niestety usuwa ściany z oryginalnego kompleksu X3X^3 ( po opercji usunięcia ściany 0, X3X^3 zostal zmodyfikowany).

Aby wykonać kolejne operacje, odnawiamy X3X^3 do jego oryginalnej postaci.

X3=SimplicialComplex(Simplex(3).faces());X3
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)}

Powyżej usuwaliśmy ścianę ( wierzchołek) "0".

Teraz usuniemy z pełnego X3X^3 wszystkei inne ściany poza 0.

Wynikowy obiekt operacji oznaczymy X1233X^3_{123}

X3_123=X3.remove_face([1]).remove_face([2]).remove_face([3]);X3_123
Simplicial complex with vertex set (0,) and facets {(0,)}

Zgodnie z oczekiwaniami wynik to pojedynczy wierzchołek 0, co można sprawdzić wyświetlając ściany X1233X^3_{123}

X3_123.faces()
{0: set([(0,)]), -1: set([()])}

Mamy zatem nastepującą sytuację. Niech DiD_i oznacza usunięcie ściany ii

Operacje które wykonalismy były zatem takie:

D0X3=X03D_0 X^3 = X^3_0

oraz

D1D2D3X3=X1233D_1 D_2 D_3 X^3 = X^3_{123}

 

Z prostego rachunku kombinatorycznego wynika, że jest tyle samo wierzchołków nn co podzbiorów (n1)(n-1) eleemntowych ( wybór wierzchołka to to samo co wybór pozostałych n1n-1 wierzchołków.

Oznacza to że mamy jednoznaczne odwzorowanie zbioru powstałego przez działanie "operatora" DiD_i i zbioru powstałego przez działanie n1n-1 pozostałych operatorów Di1Di2...Din1D_{i_1} D_{i_2} ...D_{i_{n-1}} gdzie i{i1in1}i \notin \{ i_{1} \dots i_{n-1} \}

X3=SimplicialComplex(Simplex(3).faces());X3
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)}

W szczególności oznacza to, że zbudowaliśmy odwzorowanie pomiędzy wierzchołkami ( simpleksami 0-wymairowymi) i ścianmi ( simpleksami) n1n-1 wymiarowymi.

Sprawdźmy że jest ich tyle samo:

X3.faces()
{0: set([(3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 3), (0, 2), (1, 3), (1, 2), (0, 3), (0, 1)]), 2: set([(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)]), -1: set([()])}

Oznaczmy tak zdefiniowane odwzorowanie litera LL

mamy wówczas ( na razie tylko dla pojedyńczych wystapień operatora DiD_i:

DiXn=LDi1Di2...Din1XnD_i X^n = L D_{i_1} D_{i_2} ...D_{i_{n-1}} X^n gdzie i{i1in1}i \notin \{ i_{1} \dots i_{n-1} \}

W dalszej kolejności sprawdzimy jak pod działaneuim operatora DiD_i zachowuja się simpleksy, kiedy operatory działają parami.

X013=D0D1X3X^3_{01}=D_0 D_1 X^3 itd.

X3_01=X3.remove_face([0]).remove_face([1]);X3_01
Simplicial complex with vertex set (2, 3) and facets {(2, 3)}
X3=SimplicialComplex(Simplex(3).faces());X3
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)}

A teraz operacja komplementarna:

X233=D2D3X3X^3_{23}=D_2 D_3 X^3

X3_23=X3.remove_face([2]).remove_face([3]);X3_23
Simplicial complex with vertex set (0, 1) and facets {(0, 1)}

Porównajmy ściany wyników X013X^3_{01} oraz X233X^3_{23}

X3_01.faces()
{0: set([(2,), (3,)]), 1: set([(2, 3)]), -1: set([()])}
X3_23.faces()
{0: set([(0,), (1,)]), 1: set([(0, 1)]), -1: set([()])}

Jak widac powyżej mamy taka samą liczbę ścian 2 wymiarowych, konketnie jest to w obu wypadkach jedna ściana.

Możemy uważać, że jest to definicja działanai odwzorowanie LL w ogólniejszym przypadku par operatorów DiDkD_i D_k:

Dp1Dp2DpkXn=LDi1DinkXnD_{p_1} D_{p_2} \dots D_{p_k} X^n = L D_{i_1} \dots D_{i_{n-k}} X^n

gdzie p1,,pk{i1,i2,,ink}p_{1}, \dots ,p_{k} \notin \{ {i_1}, i_{2}, \dots ,i_{n-k} \}

To samo dla simplexu X4X^4 .

X4=SimplicialComplex(Simplex(4).faces());X4
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4) and 5 facets
X4_0=X4.remove_face([4]);X4_0;
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3) and facets {(0, 1, 2, 3)}
X4_0.facets()
{(0,1,2,3)}\left\{\left(0, 1, 2, 3\right)\right\}
X4_0.faces()
{0: set([(3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 3), (0, 2), (1, 3), (1, 2), (0, 3), (0, 1)]), 2: set([(0, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 3)]), 3: set([(0, 1, 2, 3)]), -1: set([()])}
X4=SimplicialComplex(Simplex(4).faces());X4
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4) and 5 facets
X4_1234=X4.remove_face([1]).remove_face([2]).remove_face([3]).remove_face([4]);X4_1234;
Simplicial complex with vertex set (0,) and facets {(0,)}

Jak widać mamy poniższą odpowiedniość pomiędzy ścianami simpleksów którym pousuwaliśmy wierzchołki.

Identycznie dla wszystkich kombinacji pojedyńczych wierzchołków.

X4_0.facets()
{(0,1,2,3)}\left\{\left(0, 1, 2, 3\right)\right\}
X4_1234.facets()
{(0)}\left\{\left(0\right)\right\}

Teraz dla par wierczhołków X4X^4

X4=SimplicialComplex(Simplex(4).faces());X4
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4) and 5 facets
X4_01=X4.remove_face([0]).remove_face([1]);X4_01
Simplicial complex with vertex set (2, 3, 4) and facets {(2, 3, 4)}
X4_01.facets()
{(2,3,4)}\left\{\left(2, 3, 4\right)\right\}
X4=SimplicialComplex(Simplex(4).faces());X4
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4) and 5 facets
X4_234=X4.remove_face([2]).remove_face([3]).remove_face([4]);X4_234
Simplicial complex with vertex set (0, 1) and facets {(0, 1)}
X4_01.facets()
{(2,3,4)}\left\{\left(2, 3, 4\right)\right\}
X4_234.facets()
{(0,1)}\left\{\left(0, 1\right)\right\}
X4=SimplicialComplex(Simplex(4).faces());X4
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4) and 5 facets
X4.faces()
{0: set([(4,), (3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 4), (1, 2), (0, 4), (1, 4), (3, 4), (2, 3), (0, 2), (1, 3), (0, 3), (0, 1)]), 2: set([(0, 2, 3), (0, 3, 4), (0, 1, 3), (2, 3, 4), (0, 2, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (0, 1, 4), (0, 1, 2), (1, 2, 3)]), 3: set([(1, 2, 3, 4), (0, 1, 3, 4), (0, 1, 2, 3), (0, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 4)]), -1: set([()])}
X5=SimplicialComplex(Simplex(5).faces());X5
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4, 5) and 6 facets
X5.faces()
{0: set([(4,), (5,), (3,), (0,), (1,), (2,)]), 1: set([(2, 4), (0, 5), (1, 2), (1, 5), (1, 4), (3, 5), (3, 4), (2, 3), (0, 2), (2, 5), (1, 3), (0, 1), (0, 4), (0, 3), (4, 5)]), 2: set([(0, 2, 3), (1, 3, 4), (3, 4, 5), (0, 2, 5), (1, 4, 5), (0, 3, 5), (0, 3, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 4), (0, 1, 2), (1, 3, 5), (0, 1, 5), (0, 4, 5), (0, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4), (0, 2, 4), (0, 1, 4), (2, 4, 5), (1, 2, 3)]), 3: set([(0, 1, 3, 5), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (0, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 5), (0, 1, 2, 4), (0, 1, 4, 5), (0, 2, 3, 5), (0, 1, 3, 4), (1, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (0, 2, 4, 5), (0, 1, 2, 3)]), 4: set([(0, 1, 3, 4, 5), (0, 1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3, 5), (0, 1, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 5)]), -1: set([()])}
X5_012=X5.remove_face([0]).remove_face([1]).remove_face([2]);X5_012
Simplicial complex with vertex set (3, 4, 5) and facets {(3, 4, 5)}
X5=SimplicialComplex(Simplex(5).faces());X5
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2, 3, 4, 5) and 6 facets
X5_345=X5.remove_face([3]).remove_face([4]).remove_face([5]);X5_345
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2) and facets {(0, 1, 2)}
X5_012.facets()
{(3,4,5)}\displaystyle \left\{\left(3, 4, 5\right)\right\}
X5_345.facets()
{(0,1,2)}\displaystyle \left\{\left(0, 1, 2\right)\right\}

Jak widać za każdym razem daje się zdeiniować odwzorowanie LL w postaci jak napisałem powyzej.

Warto zwrócić uwagę, że poprawność definicji wynika także z symetrii trójkąta Pascala ( --> https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle ) , podającego liczby podzbiorów  k  oraz  n-k elementów, oraz z tego, że kiedy trojką Pascala ma w rzędzie nieparzysta liczbę wyrazów, wyraz środkowy jest liczbą parzystą.

S = SimplicialComplex([[0,1], [1,2], [0,2]]) # circle
S;
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2) and facets {(0, 1), (0, 2), (1, 2)}
G = SimplicialComplex([(1,0), (2,1), (2,0)]) # circle
G;
Simplicial complex with vertex set (0, 1, 2) and facets {(0, 1), (0, 2), (1, 2)}
G == S;
True
A,B,C,D = var('A,B,C,D')
eq1 = ( A+B -C == 0)
eq2 = ( B+C -D == 0)
eq3 = (A+B -D == 0)
eq4 = ( A+C -D == 0)
print(solve( [eq1, eq2, eq3, eq4],A,B, C,D));
[ [A == 0, B == 0, C == 0, D == 0] ]
R - relacja ( symetryczna, antysymeryczna, równowazności, porzadku, inna)
F - funkcja ( dowolna?)
R(F(A,B),C) - wynik F(A,B) jest w relacji z C ( dla a,b,c róznych F(a,b) = C )
Error in lines 1-1 Traceback (most recent call last): File "/cocalc/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 1191, in execute flags=compile_flags), namespace, locals) File "", line 1, in <module> NameError: name 'F' is not defined
Rozwazamy równania jak powyzej dla wieloscianów ( powyzsza jest dla trójkąta) Dla czworokonta relacja R jest podzbiorem iloczynu kartezjanskiego 4-rech elementów
S1 = ['A', 'B','C','D'] R = cartesian_product([S1, S1])
print(R).list()
[('A', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('A', 'D'), ('B', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'C'), ('B', 'D'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('C', 'D'), ('D', 'A'), ('D', 'B'), ('D', 'C'), ('D', 'D')]
PR = Subsets([('A', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('A', 'D'), ('B', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'C'), ('B', 'D'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('C', 'D'), ('D', 'A'), ('D', 'B'), ('D', 'C'), ('D', 'D')]);
I jak widać poniżej daje to 65536 mozliwości
PR.cardinality()
65536
Przykładowo dla 3 elementow ( trójkąt) mamy:
S2 = ['A','B','C']
R1=cartesian_product([S2,S2])
print(R1).list()
[('A', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')]
PR1 = Subsets([('A', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')])
Czyli 512 elementów
PR1.cardinality()
512
Przykładowo 120 element ma postać
PR1.list()[120]
{('C', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B')}
Co oznacza że nie reprezentuje żadnej relacji na trójkącie
PR1.list()[500]
{('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')}
for i in range (PR1.cardinality()): PR1.list()[i]
{} {('A', 'A')} {('A', 'B')} {('A', 'C')} {('B', 'A')} {('B', 'B')} {('B', 'C')} {('C', 'A')} {('C', 'B')} {('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A')} {('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A')} {('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A')} {('C', 'A'), ('A', 'A')} {('A', 'A'), ('C', 'B')} {('A', 'A'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B')} {('A', 'B'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('B', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'C')} {('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'C')} {('C', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A')} {('B', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'B')} {('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('C', 'C')} {('C', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('A', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('A', 'B'), ('C', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('A', 'B'), ('C', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'C'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('B', 'C'), ('C', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('C', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'B')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('A', 'C'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('C', 'A'), ('B', 'C'), ('C', 'B'), ('B', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')} {('B', 'C'), ('A', 'A'), ('B', 'B'), ('B', 'A'), ('C', 'A'), ('C', 'B'), ('C', 'C'), ('A', 'B'), ('A', 'C')}