︠3621444f-7a38-4a01-bdfb-e87899835d27i︠ %md # Autour de la courbure La courbure d'une courbe donnée par une fonction vectorielle ${\bf r}$ est définie comme \( \kappa = \left| \frac{d {\bf T}}{ds}\right|\) où : - ${\bf T} = \frac{1}{\left|{\bf r}'\right|} {\bf r'}$ est le vecteur tangent unitaire, - $s$ est l'abscisse curviligne : $\frac{ds}{dt} = \left| {\bf r}'\right|$ Il existe une autre formule permettant de calculer la courbure d'une courbe, la voici: **Théorème :** soit $\mathcal{C}$ une courbe dans $\mathbb{R}^3$ donnée par ${\bf r}(t)$. Alors la fonction de courbure est donnée par $$\kappa(t) = \frac{|{\bf r}' \times {\bf r}''|}{|{\bf r}'|^3}.$$ Démonstration : Rappelons d'abord que ${\bf T} = \frac{{\bf r}'}{|{\bf r}'|}$ de sorte que ${\bf r}' = |{\bf r}'| {\bf T}$, et comme $|{\bf r}'|=\frac{ds}{dt}$, nous avons ${\bf r}' = \frac{ds}{dt}{\bf T}$. On veut calculer la dérivée seconde ${\bf r}''$, en utilisant la dérivation du produit. Il vient alors $${\bf r}'' = \frac{d}{dt} {\bf r}' = \frac{d}{dt}\left( \frac{ds}{dt} {\bf T}\right) = \frac{d^2s}{dt^2} {\bf T} + \frac{ds}{dt} \frac{d {\bf T}}{dt}.$$ Avant de faire le produit vectoriel, rappelons ${\bf T}\times {\bf T} = {\bf 0}$, toujours. Calculons maintenant le produit vectoriel:$${\bf r}' \times {\bf r}'' = \left( \frac{ds}{dt}{\bf T} \right) \times \left( \frac{d^2s}{dt^2} {\bf T} + \frac{ds}{dt} \frac{d {\bf T}}{dt} \right) = \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 {\bf T} \times {\bf T}' $$Or comme ${\bf T}$ a une norme constante égale à $1$, il est orthogonal à son vecteur dérivé (fait en exercice en classe). Il vient alors que la norme du produit vectoriel est$$|{\bf r} \times {\bf r}'' | = \left( \frac{ds}{dt}\right) ^2\left| \frac{d {\bf T}}{dt} \right|$$ Il vient alors $\displaystyle |{\bf T}'| = \frac{|{\bf r}' \times {\bf r}''|}{\left( ds / dt\right)^2} $ et comme $\kappa = \frac{|{\bf T}'|}{|{\bf r}'|}$ nous obtenons directement le résultat voulu. En particulier si $\mathcal{C}$ est donnée par une équation de la forme $y=f(x)$, paramétrisation canonique est ${\bf r}(t)=(t,f(t),0)$, où la troisième composante est ajoutée afin de pouvoir faire le calcul du produit vectoriel. La courbure est alors $\displaystyle \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{(1+f' (x))^2}$. Voyons un peu ceci avec SAGE. Vous pouvez changer la fonction $f$ considérée, ainsi que les bornes $a$ et $b$ de l'intervalle utilisé pour faire le dessin. En bleu, la fonction originale, $y=f(x)$ et en rouge la fonction de courbure $y=\kappa(x)$. Observez bien quand la courbure est la plus grande et quand est-ce qu'elle est nulle. Regardez le rapport avec les points d'inflexion. Il faut noter que dans le contexte des courbes données par $y=f(x)$ on parle souvent de la courbure sans la valeur absolue. Ici, elle est un vestige du fait que la théorie a été bâtie pour les courbes paramétriques en premier lieu. ︡5404f57e-2fd1-4a8c-9e3f-7bc0dc8bdffa︡{"done":true,"md":"# Autour de la courbure\n\nLa courbure d'une courbe donnée par une fonction vectorielle ${\\bf r}$ est définie comme\n\\( \\kappa = \\left| \\frac{d {\\bf T}}{ds}\\right|\\)\noù :\n\n- ${\\bf T} = \\frac{1}{\\left|{\\bf r}'\\right|} {\\bf r'}$ est le vecteur tangent unitaire,\n- $s$ est l'abscisse curviligne : $\\frac{ds}{dt} = \\left| {\\bf r}'\\right|$\n\nIl existe une autre formule permettant de calculer la courbure d'une courbe, la voici:\n\n**Théorème :** soit $\\mathcal{C}$ une courbe dans $\\mathbb{R}^3$ donnée par ${\\bf r}(t)$. Alors la fonction de courbure est donnée par $$\\kappa(t) = \\frac{|{\\bf r}' \\times {\\bf r}''|}{|{\\bf r}'|^3}.$$\nDémonstration : Rappelons d'abord que ${\\bf T} = \\frac{{\\bf r}'}{|{\\bf r}'|}$ de sorte que ${\\bf r}' = |{\\bf r}'| {\\bf T}$, et comme $|{\\bf r}'|=\\frac{ds}{dt}$, nous avons ${\\bf r}' = \\frac{ds}{dt}{\\bf T}$. On veut calculer la dérivée seconde ${\\bf r}''$, en utilisant la dérivation du produit. 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