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Author: Juan Carlos Bustamante

Autour de la courbure

La courbure d'une courbe donnée par une fonction vectorielle r{\bf r} est définie comme κ=dTds \kappa = \left| \frac{d {\bf T}}{ds}\right| où :

  • T=1rr{\bf T} = \frac{1}{\left|{\bf r}'\right|} {\bf r'} est le vecteur tangent unitaire,
  • ss est l'abscisse curviligne : dsdt=r\frac{ds}{dt} = \left| {\bf r}'\right|

Il existe une autre formule permettant de calculer la courbure d'une courbe, la voici:

Théorème : soit C\mathcal{C} une courbe dans R3\mathbb{R}^3 donnée par r(t){\bf r}(t). Alors la fonction de courbure est donnée par κ(t)=r×rr3.\kappa(t) = \frac{|{\bf r}' \times {\bf r}''|}{|{\bf r}'|^3}. Démonstration : Rappelons d'abord que T=rr{\bf T} = \frac{{\bf r}'}{|{\bf r}'|} de sorte que r=rT{\bf r}' = |{\bf r}'| {\bf T}, et comme r=dsdt|{\bf r}'|=\frac{ds}{dt}, nous avons r=dsdtT{\bf r}' = \frac{ds}{dt}{\bf T}. On veut calculer la dérivée seconde r{\bf r}'', en utilisant la dérivation du produit. Il vient alors r=ddtr=ddt(dsdtT)=d2sdt2T+dsdtdTdt.{\bf r}'' = \frac{d}{dt} {\bf r}' = \frac{d}{dt}\left( \frac{ds}{dt} {\bf T}\right) = \frac{d^2s}{dt^2} {\bf T} + \frac{ds}{dt} \frac{d {\bf T}}{dt}. Avant de faire le produit vectoriel, rappelons T×T=0{\bf T}\times {\bf T} = {\bf 0}, toujours. Calculons maintenant le produit vectoriel:r×r=(dsdtT)×(d2sdt2T+dsdtdTdt)=(dsdt)2T×T{\bf r}' \times {\bf r}'' = \left( \frac{ds}{dt}{\bf T} \right) \times \left( \frac{d^2s}{dt^2} {\bf T} + \frac{ds}{dt} \frac{d {\bf T}}{dt} \right) = \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 {\bf T} \times {\bf T}' Or comme T{\bf T} a une norme constante égale à 11, il est orthogonal à son vecteur dérivé (fait en exercice en classe). Il vient alors que la norme du produit vectoriel estr×r=(dsdt)2dTdt|{\bf r} \times {\bf r}'' | = \left( \frac{ds}{dt}\right) ^2\left| \frac{d {\bf T}}{dt} \right| Il vient alors T=r×r(ds/dt)2\displaystyle |{\bf T}'| = \frac{|{\bf r}' \times {\bf r}''|}{\left( ds / dt\right)^2} et comme κ=Tr\kappa = \frac{|{\bf T}'|}{|{\bf r}'|} nous obtenons directement le résultat voulu.

En particulier si C\mathcal{C} est donnée par une équation de la forme y=f(x)y=f(x), paramétrisation canonique est r(t)=(t,f(t),0){\bf r}(t)=(t,f(t),0), où la troisième composante est ajoutée afin de pouvoir faire le calcul du produit vectoriel. La courbure est alors κ(x)=f(x)(1+f(x))2\displaystyle \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{(1+f' (x))^2}. Voyons un peu ceci avec SAGE.

Vous pouvez changer la fonction ff considérée, ainsi que les bornes aa et bb de l'intervalle utilisé pour faire le dessin. En bleu, la fonction originale, y=f(x)y=f(x) et en rouge la fonction de courbure y=κ(x)y=\kappa(x). Observez bien quand la courbure est la plus grande et quand est-ce qu'elle est nulle. Regardez le rapport avec les points d'inflexion.

Il faut noter que dans le contexte des courbes données par y=f(x)y=f(x) on parle souvent de la courbure sans la valeur absolue. Ici, elle est un vestige du fait que la théorie a été bâtie pour les courbes paramétriques en premier lieu.

var('x') f(x) = x^4-2*x^2 @interact def _(f=input_box("x^4-2*x^2", width=15, label="$f$"),a=input_box("-2", width=6, label="$a$"),b=input_box("2", width=6, label="$b$")): Cf=plot(f,x,a,b,color='blue', thickness=3) k(x)=abs(diff(f,x,2))/(1+(diff(f,x,1))^2)^(3/2) Ck=plot(k,x,a,b,color='red', thickness=3) show(Cf+Ck,figsize=6) html('La fonction de courbure est $\displaystyle %s$'%latex(k))