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Author: Juan Carlos Bustamante
Views : 43
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Continuité, surfaces et courbes de niveau

Soit DRn\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n une région de l'espace (on peut penser que n=2n=2), et f:DRf:\mathcal{D} \to \mathbb{R} une fonction. Soit en plus aD\bf{a}\in \mathcal{D}. On dit que la fonction f(x)f(\bf{x}) tend vers LL lorsque x\bf{x} tend vers a\bf{a} si pour tout réel ϵ>0\epsilon > 0 il existe un réel δ>0\delta >0 tel que f(x)L<ϵ|f(\bf{x}) - L| < \epsilon aussitôt que xa<δ|\bf{x} - \bf{a}| < \delta. Autrement dit, la distance entre f(x)f(\bf{x}) et LL est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre x\bf{x} et a\bf{a} soit suffisament petite. On écrit dans ce cas limxaf(x)=L\displaystyle \lim_{\bf{x} \to \bf{a}} f(\bf{x} ) = L

La fonction ff est continue en a\bf{a} si limxaf(x)=f(a)\displaystyle \lim_{ \bf{x} \to \bf{a} } f(x)= f( \bf{a} ). Ceci présuppose notamment que a\bf{a} fait partie du domaine de ff. Ceci signifie que les valeurs de ff ne varient pas brusquement lorsque x\bf{x} varie aux alentours de a\bf{a}. Dans le cas où n=2n=2 (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface z=f(x,y)z=f(x,y) es essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction y=f(x)y=f(x) en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.

Étant donnée kRk\in \mathbb{R}, la courbe de niveau kk pour la fonction ff est l'ensemble {(x,y)R2f(x,y)=k}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| f(x,y)=k\}. Ci bas on desine plusieurs surfaces et les diagrammes de courbes de niveau associés.

Voyons quelques exemples.

Exemple 1.

On considère la fonction

f(x,y)=yx2+y2 f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2} Notons que cette fonction n'est pas définie pour (x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0). La courbe de niveau cc est le cercle x2+(y12c)2=14c2x^2+ (y-\frac{1}{2c})^2 = \frac{1}{4c^2}, privé de l'origine. Il s'agit du cercle centré à (0,12c)(0,\frac{1}{2c}), de rayon 12c\frac{1}{2c} (mais il faut enlever l'origine : il appartient à tous ces cercles, ce qui n'a pas de sens si on les interprète comme courbes de niveau).

On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement).

(x, y)
3D rendering not yet implemented

Voyons les courbes de niveau maintenant.

C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', contours = [-5,-3,-2,-1,-1/2,-1/4,-1/10, 0,1/10, 1/4,1/2,1,2,3,5], colorbar=True) show(C,figsize=6)
contour_plot?

Exemple 2.

On considère la fonction

f(x,y)={x2y2x2+y2 si (x,y)(0,0)0 si (x,y)=(0,0) f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.

On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement).

(x, y)
3D rendering not yet implemented

Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de ff sont différentes aussi. La limite de ff en (0,0)(0,0) n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.

C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=6)

Exemple 3 :

Considérons la fonction g(x,y)=arctan(yx)g(x,y) = \arctan\left( \frac{y}{x}\right) lorsque x0x\ne 0. La présence du xx au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de xx très petites.

g(x,y) = arctan(y/x) S=plot3d(g,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.45) show(S)
3D rendering not yet implemented
C=contour_plot(g, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C)

Exemple 4 :

Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit hh la fonction définie par

h(x,y)={3x2yx2+y2 si (x,y)(0,0)0 si (x,y)=(0,0) h(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.

Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur.

h(x,y)= 3*x^2*y/(x^2+y^2) S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.45) show(S)
3D rendering not yet implemented
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=5)

Exemple 5

Soit maintenant la fonction définie par h(x,y)=xy2x2+y4\displaystyle h(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4} pour (x,y)(0,0)(x,y)\ne (0,0) Nous avons vu en classe que si Cm\mathcal{C}_m est la droite de pente mm, alors limCm(x,y)(0,0)f(x,y)=0\lim_{\stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0 mais sur la parabole x=y2x=y^2, la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de f(x,y)f(x,y) lorsque (x,y)(x,y) tend vers 00 n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau.

3D rendering not yet implemented
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=5)
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