Continuité, surfaces et courbes de niveau
Soit une région de l'espace (on peut penser que ), et une fonction. Soit en plus . On dit que la fonction tend vers lorsque tend vers si pour tout réel il existe un réel tel que aussitôt que . Autrement dit, la distance entre et est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre et soit suffisament petite. On écrit dans ce cas
La fonction est continue en si . Ceci présuppose notamment que fait partie du domaine de . Ceci signifie que les valeurs de ne varient pas brusquement lorsque varie aux alentours de . Dans le cas où (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface es essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.
Étant donnée , la courbe de niveau pour la fonction est l'ensemble . Ci bas on desine plusieurs surfaces et les diagrammes de courbes de niveau associés.
Voyons quelques exemples.
Exemple 1.
On considère la fonction
Notons que cette fonction n'est pas définie pour . La courbe de niveau est le cercle , privé de l'origine. Il s'agit du cercle centré à , de rayon (mais il faut enlever l'origine : il appartient à tous ces cercles, ce qui n'a pas de sens si on les interprète comme courbes de niveau).
On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement).
Voyons les courbes de niveau maintenant.
Exemple 2.
On considère la fonction
On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement).
Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de sont différentes aussi. La limite de en n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.
Exemple 3 :
Considérons la fonction lorsque . La présence du au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de très petites.
Exemple 4 :
Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit la fonction définie par
Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur.
Exemple 5
Soit maintenant la fonction définie par pour Nous avons vu en classe que si est la droite de pente , alors mais sur la parabole , la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de lorsque tend vers n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau.