︠9801644f-a914-4aa6-86c9-3941ce3f1691i︠ %md ## Continuité, surfaces et courbes de niveau Soit $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ une région de l'espace (on peut penser que $n=2$), et $f:\mathcal{D} \to \mathbb{R}$ une fonction. Soit en plus $\bf{a}\in \mathcal{D}$. On dit que la fonction $f(\bf{x})$ tend vers $L$ lorsque $\bf{x}$ tend vers $\bf{a}$ si pour tout réel $\epsilon > 0 $ il existe un réel $\delta >0$ tel que $|f(\bf{x}) - L| < \epsilon$ aussitôt que $|\bf{x} - \bf{a}| < \delta$. Autrement dit, la distance entre $f(\bf{x})$ et $L$ est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre $\bf{x}$ et $\bf{a}$ soit suffisament petite. On écrit dans ce cas $\displaystyle \lim_{\bf{x} \to \bf{a}} f(\bf{x} ) = L$ La fonction $f$ est continue en $\bf{a}$ si $\displaystyle \lim_{ \bf{x} \to \bf{a} } f(x)= f( \bf{a} )$. Ceci présuppose notamment que $\bf{a}$ fait partie du domaine de $f$. Ceci signifie que les valeurs de $f$ ne varient pas brusquement lorsque $\bf{x}$ varie aux alentours de $\bf{a}$. Dans le cas où $n=2$ (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface $z=f(x,y)$ es essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction $y=f(x)$ en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau. Étant donnée $k\in \mathbb{R}$, la courbe de niveau $k$ pour la fonction $f$ est l'ensemble $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| f(x,y)=k\}$. Ci bas on desine plusieurs surfaces et les diagrammes de courbes de niveau associés. Voyons quelques exemples. ︡066e83b8-828f-4649-b3b3-53578911549d︡{"done":true,"md":"## Continuité, surfaces et courbes de niveau\n\nSoit $\\mathcal{D} \\subseteq \\mathbb{R}^n$ une région de l'espace (on peut penser que $n=2$), et $f:\\mathcal{D} \\to \\mathbb{R}$ une fonction. Soit en plus $\\bf{a}\\in \\mathcal{D}$. On dit que la fonction $f(\\bf{x})$ tend vers $L$ lorsque $\\bf{x}$ tend vers $\\bf{a}$ si pour tout réel $\\epsilon > 0 $ il existe un réel $\\delta >0$ tel que $|f(\\bf{x}) - L| < \\epsilon$ aussitôt que $|\\bf{x} - \\bf{a}| < \\delta$. Autrement dit, la distance entre $f(\\bf{x})$ et $L$ est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre $\\bf{x}$ et $\\bf{a}$ soit suffisament petite. On écrit dans ce cas $\\displaystyle \\lim_{\\bf{x} \\to \\bf{a}} f(\\bf{x} ) = L$\n\nLa fonction $f$ est continue en $\\bf{a}$ si $\\displaystyle \\lim_{ \\bf{x} \\to \\bf{a} } f(x)= f( \\bf{a} )$. Ceci présuppose notamment que $\\bf{a}$ fait partie du domaine de $f$. Ceci signifie que les valeurs de $f$ ne varient pas brusquement lorsque $\\bf{x}$ varie aux alentours de $\\bf{a}$. Dans le cas où $n=2$ (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface $z=f(x,y)$ es essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction $y=f(x)$ en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.\n\nÉtant donnée $k\\in \\mathbb{R}$, la courbe de niveau $k$ pour la fonction $f$ est l'ensemble $\\{(x,y)\\in \\mathbb{R}^2| f(x,y)=k\\}$. Ci bas on desine plusieurs surfaces et les diagrammes de courbes de niveau associés.\n\nVoyons quelques exemples."} ︠776ff3b6-b3d6-4336-9e14-22efc22d33bai︠ %md ### Exemple 1. On considère la fonction $$ f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2} $$ Notons que cette fonction n'est pas définie pour $(x,y)=(0,0)$. La courbe de niveau $c$ est le cercle $x^2+ (y-\frac{1}{2c})^2 = \frac{1}{4c^2}$, privé de l'origine. Il s'agit du cercle centré à $(0,\frac{1}{2c})$, de rayon $\frac{1}{2c}$ (mais il faut enlever l'origine : il appartient à tous ces cercles, ce qui n'a pas de sens si on les interprète comme courbes de niveau). On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement). ︡3dd59d5e-57ea-446e-93ab-6ecc930cad0c︡{"done":true,"md":"### Exemple 1.\n\nOn considère la fonction\n\n$$ f(x,y) = \\frac{y}{x^2+y^2} $$\nNotons que cette fonction n'est pas définie pour $(x,y)=(0,0)$. La courbe de niveau $c$ est le cercle $x^2+ (y-\\frac{1}{2c})^2 = \\frac{1}{4c^2}$, privé de l'origine. Il s'agit du cercle centré à $(0,\\frac{1}{2c})$, de rayon $\\frac{1}{2c}$ (mais il faut enlever l'origine : il appartient à tous ces cercles, ce qui n'a pas de sens si on les interprète comme courbes de niveau).\n\n\nOn voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement)."} ︠fd622b12-8f62-4262-96b1-de4cb9048383si︠ var('x,y') f(x,y)=y/(x^2+y^2) S=plot3d(f,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.35, mesh=0.2) show(S, frame_aspect_ratio=[20,20,1]) ︡f5813352-15e1-46e2-82e8-f8c868a13705︡{"stdout":"(x, y)\n"}︡{"file":{"filename":"b0ebbb9a-7f9e-4f48-ba0c-a8b5d7101647.sage3d","uuid":"b0ebbb9a-7f9e-4f48-ba0c-a8b5d7101647"}}︡{"done":true}︡ ︠705beec8-8342-4eff-b0d4-f2663eddc0b3i︠ %md Voyons les courbes de niveau maintenant. ︡243abbc3-24bc-4f08-957e-999e8ad93046︡{"done":true,"md":"Voyons les courbes de niveau maintenant."} ︠ae3e47c0-6e2f-4341-8ee4-54ace7a7ced5s︠ C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', contours = [-5,-3,-2,-1,-1/2,-1/4,-1/10, 0,1/10, 1/4,1/2,1,2,3,5], colorbar=True) show(C,figsize=6) ︡14e746b7-1496-4c4e-a4e0-3c5dfe7d8be6︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-5f7308b9-2961-476d-840c-ab53b74c25d8/154/tmp_2nN0oP.svg","show":true,"text":null,"uuid":"5ddb5316-f24d-4834-96ae-54c9b4401fff"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠d4bb488d-8a56-4bb6-9b48-ccd9b3e63d2d︠ contour_plot? ︡745abcaa-293f-4394-b5d5-c1911d4843b1︡ ︠f1d66617-891a-4b5a-9cb9-27f18afd8ec7i︠ %md ### Exemple 2. On considère la fonction $$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$$ On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement). ︡9fc28b92-1674-412a-b219-202bfbe25a48︡{"done":true,"md":"### Exemple 2.\n\nOn considère la fonction\n\n$$ f(x,y) = \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \\text{ si } & (x,y)\\ne (0,0)\\\\ 0& \\text{ si } & (x,y) =(0,0) \\end{array}\\right.$$\n\n\nOn voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement)."} ︠f5d9c455-5207-4a51-bf65-fa44b4ccdaa0si︠ var('x,y') f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) S=plot3d(f,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.55, mesh=0.2) show(S) ︡93a35abb-b140-4445-94c8-9fbaa18f324f︡{"stdout":"(x, y)\n"}︡{"file":{"filename":"eecd9b74-007c-408c-975c-937d0061bc0e.sage3d","uuid":"eecd9b74-007c-408c-975c-937d0061bc0e"}}︡{"done":true}︡ ︠69ccdf81-970d-438b-b579-d0482dab77c0i︠ %md Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de $f$ sont différentes aussi. La limite de $f$ en $(0,0)$ n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point. ︡91b5baab-3d33-4959-a14f-577ae863d36a︡{"md":"Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de $f$ sont différentes aussi. La limite de $f$ en $(0,0)$ n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.\n"}︡ ︠bbf55a73-535a-4a39-bdd6-a1150feaa0dcs︠ C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=6) ︡792ab0e1-7553-4b9e-b842-b604a309d83a︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-5f7308b9-2961-476d-840c-ab53b74c25d8/154/tmp_0DgGiD.svg","show":true,"text":null,"uuid":"06c565a2-8ed3-4437-b38c-957005810f24"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠63b9e5b3-a056-4d6c-9d87-2cb8e3479450i︠ %md ### Exemple 3 : Considérons la fonction $g(x,y) = \arctan\left( \frac{y}{x}\right)$ lorsque $x\ne 0$. La présence du $x$ au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de $x$ très petites. ︡208e22c6-d4d1-4957-a18a-0b4b93e90cc8︡{"done":true,"md":"### Exemple 3 :\nConsidérons la fonction $g(x,y) = \\arctan\\left( \\frac{y}{x}\\right)$ lorsque $x\\ne 0$.\nLa présence du $x$ au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de $x$ très petites."} ︠a3cc648b-b7d3-4438-9d1e-403a6e906bd5s︠ g(x,y) = arctan(y/x) S=plot3d(g,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.45) show(S) ︡40e11ab4-a8dc-4221-b722-2c4b9709d5a8︡{"file":{"filename":"b0138c00-1b92-44d0-9f59-26be854e9b84.sage3d","uuid":"b0138c00-1b92-44d0-9f59-26be854e9b84"}}︡{"done":true}︡ ︠be4d4c0e-5628-4b99-afd7-a0a7980bdf0fs︠ C=contour_plot(g, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C) ︡aff53009-b7c1-4133-ad0a-37b5fbf6a3d6︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-5f7308b9-2961-476d-840c-ab53b74c25d8/154/tmp_P88jo0.svg","show":true,"text":null,"uuid":"aa70daf6-101d-45a3-bbcd-26c3e8e4bb27"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠2095faaa-9e26-4178-8215-5177954982eai︠ %md ### Exemple 4 : Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit $h$ la fonction définie par $$ h(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$$ Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur. ︡32890cd0-843b-4de5-ac9f-88160cff7c91︡{"done":true,"md":"### Exemple 4 :\nVoyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit $h$ la fonction définie par\n\n$$ h(x,y) = \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\frac{3x^2 y}{x^2+y^2} & \\text{ si } & (x,y)\\ne (0,0)\\\\ 0& \\text{ si } & (x,y) =(0,0) \\end{array}\\right.$$\n\nIci on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur."} ︠af6bda04-f50d-4cd7-b767-1931896be4d5s︠ h(x,y)= 3*x^2*y/(x^2+y^2) S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.45) show(S) ︡7a0f0098-79db-42a3-9dc1-35803c323fb7︡{"file":{"filename":"fafb7c63-07a2-4ec9-8102-db40d1923595.sage3d","uuid":"fafb7c63-07a2-4ec9-8102-db40d1923595"}}︡{"done":true}︡ ︠6b08b900-b3df-4bd3-8d82-6b0834645d5cs︠ C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=5) ︡b64f0cb7-5084-4bcb-be11-320890972ca1︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-5f7308b9-2961-476d-840c-ab53b74c25d8/154/tmp_2j86Gz.svg","show":true,"text":null,"uuid":"c58a3139-19fb-4519-a499-3ff58b47d800"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠f1f021f2-dd6f-430f-9218-a9253aee8cb9i︠ %md ### Exemple 5 Soit maintenant la fonction définie par $\displaystyle h(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ pour $(x,y)\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que si $\mathcal{C}_m$ est la droite de pente $m$, alors $$\lim_{\stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0$$ mais sur la parabole $x=y^2$, la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $0$ n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau. ︡f7f9934d-5fef-4ea9-a80c-e81cb3a9292e︡{"done":true,"md":"### Exemple 5\nSoit maintenant la fonction définie par $\\displaystyle h(x,y) = \\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ pour $(x,y)\\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que si $\\mathcal{C}_m$ est la droite de pente $m$, alors $$\\lim_{\\stackrel{(x,y)\\to (0,0)}{\\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0$$\nmais sur la parabole $x=y^2$, la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $0$ n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau."} ︠9b510799-cdcf-4cdf-8b24-48ee84726988si︠ h(x,y)= x*y^2/(x^2+y^4) S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue', opacity=0.45, mesh=0.3) show(S) ︡a15bd9d1-c55d-462c-818b-1902a3d51905︡{"file":{"filename":"e18e0e66-a0cb-48c0-9e86-f5cdf42d7480.sage3d","uuid":"e18e0e66-a0cb-48c0-9e86-f5cdf42d7480"}}︡{"done":true}︡ ︠a48b28c8-2479-437c-97cc-3d471418e33bs︠ C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True) show(C,figsize=5) ︡aadc063d-8b54-495c-b9cd-31574a573543︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-5f7308b9-2961-476d-840c-ab53b74c25d8/154/tmp_XBOukO.svg","show":true,"text":null,"uuid":"ffcdd5f2-c3a4-4a37-829d-b039a6190596"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠1a7454ae-4058-49b8-bbc4-8b15b471d55b︠ %md