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Cinemática y dinámica - DINAMICA1

Repaso de dinámica

Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula de 2 kg son:
x=t3y=t2+2z=t} \left.\begin{array}{r}x=t^3\\y=t^2+2\\z=t\end{array}\right\} Calcula:

  1. La fuerza que produce el movimiento de la partícula.
  2. El momento lineal de la partícula en t=1 s y en t=3 s.
  3. La variación del momento lineal de la partícula entre los instantes anteriores.
  4. El impulso que la fuerza le ha comunicado a la partícula entre dichos instantes.
  5. ¿Cuál es la relación entre el impulso y la variación del momento lineal?
  6. El momento de la fuerza con respecto al origen de coordenadas.
  7. El trabajo que realiza la fuerza desde t=1 s hasta en t=3 s.
  8. La energía cinética de la partícula en t=1 s y en t=3 s.
  9. La variación de la energía cinética de la partícula entre los instantes anteriores.
  10. ¿Cuál es la relación entre el trabajo y la variación de la energía cinética?
  11. La potencia media desarrollada por la fuerza desde t=1 s hasta en t=3 s.
  12. La potencia en el instante t=1 s.
  13. El momento angular de la partícula con respecto al origen de coordenadas.
  14. La variación del momento angular con respecto al tiempo.
  15. ¿Cuál es la relación entre el momento de la fuerza y la variación del momento angular?

Datos

In [1]:
var('t')

# -------- DATOS (en unidades del SI) --------

# Ecuaciones paramétricas del movimiento
x(t) = t^3
y(t) = t^2 + 2
z(t) = t

# Masa m de la partícula
m = 2

# Instantes t1 y t2 considerados
t1 = 1
t2 = 3

# Punto (x0, y0, z0) respecto al que se calcula el momento
x0 = 0
y0 = 0
z0 = 0

Posición, velocidad y aceleración en función del tiempo

In [2]:
# Ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo
r = vector((x(t), y(t), z(t)))
v = r.derivative(t)
a = r.derivative(t, 2)

# Salida por pantalla
show("Vector de posicion en funcion del tiempo (m):")
show(r)
show("Velocidad en funcion del tiempo (m/s):")
show(v)
show("Aceleracion en funcion del tiempo (m/s^2):")
show(a)
Out[2]:
Vectorxdexposicionxenxfuncionxdelxtiempox(m):\verb|Vector|\phantom{\verb!x!}\verb|de|\phantom{\verb!x!}\verb|posicion|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(m):|
Out[2]:
(t3,t2+2,t)\left(t^{3},\,t^{2} + 2,\,t\right)
Out[2]:
Velocidadxenxfuncionxdelxtiempox(m/s):\verb|Velocidad|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(m/s):|
Out[2]:
(3t2,2t,1)\left(3 \, t^{2},\,2 \, t,\,1\right)
Out[2]:
Aceleracionxenxfuncionxdelxtiempox(m/s^2):\verb|Aceleracion|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(m/s^2):|
Out[2]:
(6t,2,0)\left(6 \, t,\,2,\,0\right)

Fuerza

De acuerdo con la segunda ley de Newton: ΣF=ma\Sigma\vec{F}=m·\vec{a} siendo:

  • ΣF\Sigma\vec{F}: resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
  • mm: masa del cuerpo
  • a\vec{a}: aceleración a la que se ve sometido el cuerpo por acción de la fuerza

Ejercicio
Halla la fuerza que produce el movimiento de la partícula.

In [3]:
# Fuerza en función del tiempo
F = m*a

# Salida por pantalla
show("Fuerza en funcion del tiempo (N):")
show(F)
Out[3]:
Fuerzaxenxfuncionxdelxtiempox(N):\verb|Fuerza|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(N):|
Out[3]:
(12t,4,0)\left(12 \, t,\,4,\,0\right)

Ejercicio
Halla la fuerza en el instante t1t_1.

In [4]:
# Fuerza en el instante t1
F1 = F(t=t1)

# Salida por pantalla
show("Fuerza en el instante t = %.2f s (en N):" % t1)
show(F1)
Out[4]:
Fuerzaxenxelxinstantextx=x1.00xsx(enxN):\verb|Fuerza|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|el|\phantom{\verb!x!}\verb|instante|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|(en|\phantom{\verb!x!}\verb|N):|
Out[4]:
(12,4,0)\left(12,\,4,\,0\right)

Momento lineal

El momento lineal p\vec{p} de una partícula de masa mm que se mueve con una velocidad v\vec{v} es: p=mv \vec{p}=m·\vec{v}

Ejercicio
Halla el momento lineal de la partícula en función del tiempo.

In [5]:
# Momento lineal en función del tiempo
p = m*v

# Salida por pantalla
show("Momento lineal en funcion del tiempo (kg m/s):")
show(p)
Out[5]:
Momentoxlinealxenxfuncionxdelxtiempox(kgxm/s):\verb|Momento|\phantom{\verb!x!}\verb|lineal|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(kg|\phantom{\verb!x!}\verb|m/s):|
Out[5]:
(6t2,4t,2)\left(6 \, t^{2},\,4 \, t,\,2\right)

Ejercicio
Calcula el momento lineal de la partícula en el instante t1t_1 y en el instante t2t_2.

In [6]:
# Momento lineal en el instante t1
p1 = p(t=t1)

# Momento lineal en el instante t2
p2 = p(t=t2)

# Salida por pantalla
show("Momento lineal en el instante t = %.2f s (en kg m/s):" % t1)
show(p1)
show("Momento lineal en el instante t = %.2f s (en kg m/s):" % t2)
show(p2)
Out[6]:
Momentoxlinealxenxelxinstantextx=x1.00xsx(enxkgxm/s):\verb|Momento|\phantom{\verb!x!}\verb|lineal|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|el|\phantom{\verb!x!}\verb|instante|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|(en|\phantom{\verb!x!}\verb|kg|\phantom{\verb!x!}\verb|m/s):|
Out[6]:
(6,4,2)\left(6,\,4,\,2\right)
Out[6]:
Momentoxlinealxenxelxinstantextx=x3.00xsx(enxkgxm/s):\verb|Momento|\phantom{\verb!x!}\verb|lineal|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|el|\phantom{\verb!x!}\verb|instante|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|(en|\phantom{\verb!x!}\verb|kg|\phantom{\verb!x!}\verb|m/s):|
Out[6]:
(54,12,2)\left(54,\,12,\,2\right)

Ejercicio
¿Cuánto ha variado el momento lineal de la partícula entre los instantes t1t_1 y t2t_2?

In [7]:
# Variación del momento lineal entre t1 y t2
delta_p = p2 - p1

# Salida por pantalla
show("Variacion del momento lineal entre los instantes t = %.2f s y t = %.2f s (kg m/s):" % (t1, t2))
show(delta_p)
Out[7]:
Variacionxdelxmomentoxlinealxentrexlosxinstantesxtx=x1.00xsxyxtx=x3.00xsx(kgxm/s):\verb|Variacion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|momento|\phantom{\verb!x!}\verb|lineal|\phantom{\verb!x!}\verb|entre|\phantom{\verb!x!}\verb|los|\phantom{\verb!x!}\verb|instantes|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|y|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|(kg|\phantom{\verb!x!}\verb|m/s):|
Out[7]:
(48,8,0)\left(48,\,8,\,0\right)

Impulso

El impulso I\vec{I} de una fuerza F\vec{F} en el intervalo de tiempo (t1,t2)(t_1,t_2) se define como:
I=t1t2Fdt \vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt Si la fuerza es constante la expresión anterior se reduce a: I=FΔt \vec{I}=\vec{F}\Delta t donde Δt=t2t1\Delta t = t_2-t_1.

Ejercicio
Calcula el impulso que la fuerza F\vec{F} le comunica a la partícula cuando está actuando desde el instante t1t_1 hasta el instante t2t_2.

In [8]:
# Impulso de F entre t1 y t2
impulso12 = F.integrate(t, t1, t2)

# Salida por pantalla
show("Impulso entre los instantes t = %.2f s y t = %.2f s (en N s):" % (t1, t2))
show(impulso12)
Out[8]:
Impulsoxentrexlosxinstantesxtx=x1.00xsxyxtx=x3.00xsx(enxNxs):\verb|Impulso|\phantom{\verb!x!}\verb|entre|\phantom{\verb!x!}\verb|los|\phantom{\verb!x!}\verb|instantes|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|y|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|(en|\phantom{\verb!x!}\verb|N|\phantom{\verb!x!}\verb|s):|
Out[8]:
(48,8,0)\left(48,\,8,\,0\right)

Relación entre impulso y momento lineal

El impulso de una fuerza es igual a la variación del momento lineal que experimenta el cuerpo sobre el que está actuando la fuerza:
I=ΔpI=p2p1 \vec{I}=\Delta\vec{p} \;\Rightarrow\; \vec{I}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 Ejercicio
Utiliza los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores para comprobar esta igualdad.

Momento de una fuerza con respecto a un punto

El momento M\vec M de una fuerza F\vec F con respecto a un punto OO se define como el producto vectorial de OP\overrightarrow{OP} por F\vec F, donde OP\overrightarrow {OP} es el vector de origen el punto OO y extremo el punto PP de aplicación de F\vec F: M=OP×F \vec M=\overrightarrow{OP}\times\vec F Para calcular el vector r\vec{r} se restan las coordenadas de P(x,y,x)P(x,y,x) menos las coordenadas de O(x0,y0,z0)O(x_0,y_0,z_0): OP=(xx0,yy0,zz0) \overrightarrow{OP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) Si el momento se calcula con respecto al origen de coordenadas, entonces OP=r\overrightarrow{OP}=\vec{r}, donde r\vec{r} es el vector de posición de la partícula. En consecuencia:
M=r×F \vec M=\vec{r}\times\vec F

El momento de una fuerza mide la tendencia de dicha fuerza a causar una rotación alrededor de un eje que pasa por O.

In [9]:
# Punto O respecto al que se calcula el momento: O(x0, y0, z0)
puntoO = vector((x0, y0, z0))

# Punto P de aplicación de la fuerza: P(x, y, z)
puntoP = vector((x(t), y(t), z(t)))

# Vector OP = P - O
OP = puntoP - puntoO

# Momento: M = OP x F
M = OP.cross_product(F) 

# Salida por pantalla
show("Momento de la fuerza con respecto al punto (%.2f, %.2f, %.2f) (N m):" % (x0,y0,z0))
show(M.simplify_full())
Out[9]:
Momentoxdexlaxfuerzaxconxrespectoxalxpuntox(0.00,x0.00,x0.00)x(Nxm):\verb|Momento|\phantom{\verb!x!}\verb|de|\phantom{\verb!x!}\verb|la|\phantom{\verb!x!}\verb|fuerza|\phantom{\verb!x!}\verb|con|\phantom{\verb!x!}\verb|respecto|\phantom{\verb!x!}\verb|al|\phantom{\verb!x!}\verb|punto|\phantom{\verb!x!}\verb|(0.00,|\phantom{\verb!x!}\verb|0.00,|\phantom{\verb!x!}\verb|0.00)|\phantom{\verb!x!}\verb|(N|\phantom{\verb!x!}\verb|m):|
Out[9]:
(4t,12t2,8t324t)\left(-4 \, t,\,12 \, t^{2},\,-8 \, t^{3} - 24 \, t\right)

Trabajo

El trabajo que realiza la fuerza F\vec{F} al desplazar una partícula entre las posiciones AA y BB es:
WAB=ABFdr W_A^B=\int_A^B\vec{F}\;d\vec{r}

Teniendo en cuenta que v=drdtdr=vdt \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt} \;\Rightarrow\; d\vec{r}=\vec{v}\;dt entonces el trabajo también se puede calcular como: WAB=ABFdr=ABFvdt W_A^B=\int_A^B\vec{F}\;d\vec{r}=\int_A^B\vec{F}·\vec{v}\;dt

Si la fuerza es constante, entonces: WAB=F(rBrA)=FΔr W_{A\rightarrow B}=\vec{F}·(\vec{r}_B - \vec{r}_A) = \vec{F}·\Delta\vec{r}

In [10]:
# Producto de la fuerza y la velocidad
productoFv = F.dot_product(v)

# Trabajo entre t1 y t2
trabajo12 = integrate(productoFv, t, t1, t2)

# Salida por pantalla
show("Trabajo que realiza la fuerza entre t = %.2f s y t = %.2f s:" % (t1, t2))
show("%.2f J" % trabajo12)
Out[10]:
Trabajoxquexrealizaxlaxfuerzaxentrextx=x1.00xsxyxtx=x3.00xs:\verb|Trabajo|\phantom{\verb!x!}\verb|que|\phantom{\verb!x!}\verb|realiza|\phantom{\verb!x!}\verb|la|\phantom{\verb!x!}\verb|fuerza|\phantom{\verb!x!}\verb|entre|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|y|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|
Out[10]:
752.00xJ\verb|752.00|\phantom{\verb!x!}\verb|J|

Energía cinética

La energía cinética de una partícula de masa mm que se mueve a una velocidad vv es: Ec=12mv2 E_c = \frac12 m v^2

Ejercicio
Calcula la energía cinética de la partícula en los instantes t1t_1 y t2t_2.

In [11]:
# Módulo de la velocidad
modulo_v = v.norm()

# Energia cinética
Ec = 0.5*m*modulo_v^2

# Energia cinética en t1
Ec1 = Ec(t=t1)

# Energia cinética en t2
Ec2 = Ec(t=t2)

# Salida por pantalla
show("Energia cinetica en t = %.2f s: %.2f J" % (t1, Ec1))
show("Energia cinetica en t = %.2f s: %.2f J" % (t2, Ec2))
Out[11]:
Energiaxcineticaxenxtx=x1.00xs:x14.00xJ\verb|Energia|\phantom{\verb!x!}\verb|cinetica|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|\phantom{\verb!x!}\verb|14.00|\phantom{\verb!x!}\verb|J|
Out[11]:
Energiaxcineticaxenxtx=x3.00xs:x766.00xJ\verb|Energia|\phantom{\verb!x!}\verb|cinetica|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|\phantom{\verb!x!}\verb|766.00|\phantom{\verb!x!}\verb|J|

Ejercicio
¿Cuánto ha variado la energía cinética de la partícula entre los instantes t1t_1 y t2t_2?

In [12]:
# Variación de la energía cinética
delta_Ec = Ec2 - Ec1

# Salida por pantalla
show("Variacion de la energia cinetica entre t = %.2f s y t = %.2f s:" % (t1, t2))
show("%.2f J" % delta_Ec)
Out[12]:
Variacionxdexlaxenergiaxcineticaxentrextx=x1.00xsxyxtx=x3.00xs:\verb|Variacion|\phantom{\verb!x!}\verb|de|\phantom{\verb!x!}\verb|la|\phantom{\verb!x!}\verb|energia|\phantom{\verb!x!}\verb|cinetica|\phantom{\verb!x!}\verb|entre|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|y|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|
Out[12]:
752.00xJ\verb|752.00|\phantom{\verb!x!}\verb|J|

Teorema de la energía cinética

El trabajo de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo se emplea en variar su energía cinética:
W=ΔEc W= \Delta E_c

Ejercicio
Utiliza los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores para comprobar este teorema.

Potencia media

La potencia media PmP_m de una fuerza se define como el trabajo realizado por la fuerza dividido por el tiempo empleado en realizar dicho trabajo: Pm=WABΔt P_m = \frac{W_A^B}{\Delta t}

Ejercicio
Calcula la potencia media desarrollada por la fuerza entre los instantes t1t_1 y t2t_2.

In [13]:
# Intervalo de tiempo
delta_t = t2 - t1

# Potencia media
Pm = trabajo12 / delta_t

# Salida por pantalla
show("Potencia media entre t = %.2f s y t = %.2f s:" % (t1, t2))
show("%.2f W" % Pm)
Out[13]:
Potenciaxmediaxentrextx=x1.00xsxyxtx=x3.00xs:\verb|Potencia|\phantom{\verb!x!}\verb|media|\phantom{\verb!x!}\verb|entre|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s|\phantom{\verb!x!}\verb|y|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|3.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|
Out[13]:
376.00xW\verb|376.00|\phantom{\verb!x!}\verb|W|

Potencia instantánea

La potencia instántanea es el límite de la potencia media cuando Δt\Delta t tiende a cero: P=limΔt0Pm=limΔt0WABΔt P=\lim_{\Delta t\rightarrow0}P_m=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\;\frac{W_A^B}{\Delta t} Es decir: P=dWdt P=\frac{dW}{dt} Teniendo en cuenta que dW=FdrdW=\vec{F}\;d\vec{r}, y que v=drdt\vec{v}=\frac{d\vec r}{dt}, entonces la potencia instantánea se puede calcular de la siguiente manera: P=dWdt=Fdrdt=Fv P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F}\;d\vec{r}}{dt} = \vec{F}\;\vec{v} Ejercicio
Calcula la potencia en el instante t1t_1.

In [14]:
# El producto F·v ya fue calculado anteriormente y se llama "productoFv"

# Potencia en función del tiempo
Pot = productoFv

# Potencia en t1
Pot1 = Pot(t=t1)

# Salida por pantalla
show("Potencia instantanea en funcion del tiempo (en W):")
show(Pot)
show("Potencia en t = %.2f s:" % t1)
show("%.2f W" % Pot1)
Out[14]:
Potenciaxinstantaneaxenxfuncionxdelxtiempox(enxW):\verb|Potencia|\phantom{\verb!x!}\verb|instantanea|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|funcion|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo|\phantom{\verb!x!}\verb|(en|\phantom{\verb!x!}\verb|W):|
Out[14]:
36t3+8t36 \, t^{3} + 8 \, t
Out[14]:
Potenciaxenxtx=x1.00xs:\verb|Potencia|\phantom{\verb!x!}\verb|en|\phantom{\verb!x!}\verb|t|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb|1.00|\phantom{\verb!x!}\verb|s:|
Out[14]:
44.00xW\verb|44.00|\phantom{\verb!x!}\verb|W|

Momento angular

El momento angular L\vec{L} de una partícula con respecto a un punto es el momento con respecto a dicho punto del momento lineal de la partícula: L=r×p \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

Su módulo es:

L=rpsenθ=rmvsenθ L= r·p·sen\theta=r·m·v·sen\theta siendo θ\theta el ángulo que forma la velocidad con el vector de posición de la partícula en cada instante.
El momento angular caracteriza el estado de rotación de un cuerpo.

Ejercicio
Calcula el momento angular de la partícula con respecto al origen de coordenadas.

In [15]:
# Punto respecto al que se calcula el momento angular: O
# Punto de aplicación del vector p: P
# El vector r = OP ya ha sido calculado con anterioridad

# Momento angular: L = OP x p
L = OP.cross_product(p)

# Salida por pantalla
show("Momento angular con respecto al punto (%.2f, %.2f, %.2f) (N m):" % (x0, y0, z0))
show(L.simplify_full())
Out[15]:
Momentoxangularxconxrespectoxalxpuntox(0.00,x0.00,x0.00)x(Nxm):\verb|Momento|\phantom{\verb!x!}\verb|angular|\phantom{\verb!x!}\verb|con|\phantom{\verb!x!}\verb|respecto|\phantom{\verb!x!}\verb|al|\phantom{\verb!x!}\verb|punto|\phantom{\verb!x!}\verb|(0.00,|\phantom{\verb!x!}\verb|0.00,|\phantom{\verb!x!}\verb|0.00)|\phantom{\verb!x!}\verb|(N|\phantom{\verb!x!}\verb|m):|
Out[15]:
(2t2+4,4t3,2t412t2)\left(-2 \, t^{2} + 4,\,4 \, t^{3},\,-2 \, t^{4} - 12 \, t^{2}\right)

Variación del momento angular con respecto al tiempo

La derivada del momento angular con respecto al tiempo es: dLdt=ddt(r×p)=drdt×p+r×dpdt=v×p+r×F \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac d{dt}(\vec{r} \times \vec{p})= \frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{v} \times \vec{p} + \vec{r} \times \vec{F} El primer sumando de la expresión anterior, v×p\vec{v} \times \vec{p}, es cero, porque v\vec{v} y p\vec{p} son vectores paralelos y, por tanto, su producto vectorial vale cero. El segundo sumando es el momento de la fuerza: M=r×F\vec M = \vec{r} \times \vec{F} . Por tanto: M=dLdt \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} Esta expresión constituye la ley fundamental de la dinámica de rotación, y es análoga a F=dpdt\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt} en el caso de la dinámica de traslación.

Ejercicio
Deriva el momento angular y comprueba que coincide con el momento de la fuerza.

In [16]:
# Derivada del momento angular
derivadaL = L.derivative(t)

# Salida por pantalla
show("Derivada del momento angular con respecto al tiempo:")
show(derivadaL.simplify_full())
Out[16]:
Derivadaxdelxmomentoxangularxconxrespectoxalxtiempo:\verb|Derivada|\phantom{\verb!x!}\verb|del|\phantom{\verb!x!}\verb|momento|\phantom{\verb!x!}\verb|angular|\phantom{\verb!x!}\verb|con|\phantom{\verb!x!}\verb|respecto|\phantom{\verb!x!}\verb|al|\phantom{\verb!x!}\verb|tiempo:|
Out[16]:
(4t,12t2,8t324t)\left(-4 \, t,\,12 \, t^{2},\,-8 \, t^{3} - 24 \, t\right)