CoCalc Public Filestmp / Sender.sagews
Authors: Harald Schilly, ℏal Snyder, William A. Stein

# Analyse af optisk sender

## Omskrivning af ligninger

var("R1, R2, R3, R4, Vcc, Vbe, Vled, Aol, beta")
var("V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6")

(R1, R2, R3, R4, Vcc, Vbe, Vled, Aol, beta) (V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6)
show(V1 == R3*Vcc/(R3+R4))
show(V4-Aol*V1+Aol*V5 == 0)
show(V4-V3-I3*R1 == 0)
show(V3-V5 == Vbe)
show(I6-beta*I3 == 0)
show(V5-I5*R2 == 0)
show(V6 == Vcc-Vled)
show(I5-I3-I6 == 0)

$V_{1} = \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}}$
$-\mathit{Aol} V_{1} + \mathit{Aol} V_{5} + V_{4} = 0$
$-I_{3} R_{1} - V_{3} + V_{4} = 0$
$V_{3} - V_{5} = \mathit{Vbe}$
$-I_{3} \beta + I_{6} = 0$
$-I_{5} R_{2} + V_{5} = 0$
$V_{6} = \mathit{Vcc} - \mathit{Vled}$
$-I_{3} + I_{5} - I_{6} = 0$

## Matricer

Vores koefficientmatrix er givet ved
A = matrix([[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[-Aol, 0, 1, Aol, 0, 0, 0, 0],
[0, -1, 1, 0, 0, R1, 0, 0],
[0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, beta, 0, 1],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, -R2, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, -1]])
show(A)

$\left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\mathit{Aol} & 0 & 1 & \mathit{Aol} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & R_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -R_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right)$
Vores matrix med ubekendte er givet ved
x = vector([V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6])
show(x.column())

$\left(\begin{array}{r} V_{1} \\ V_{3} \\ V_{4} \\ V_{5} \\ V_{6} \\ I_{3} \\ I_{5} \\ I_{6} \end{array}\right)$
Vores resultatmatrix er givet ved
b = vector([R3/(R3+R4)*Vcc, 0, 0, Vbe, 0, 0, Vcc-Vled, 0])
show(b.column())

$\left(\begin{array}{r} \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}} \\ 0 \\ 0 \\ \mathit{Vbe} \\ 0 \\ 0 \\ \mathit{Vcc} - \mathit{Vled} \\ 0 \end{array}\right)$
Dermed er vores udvidede matrix
Ab = A.augment(b)
show(Ab)

$\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}} \\ -\mathit{Aol} & 0 & 1 & \mathit{Aol} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & R_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{Vbe} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -R_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \mathit{Vcc} - \mathit{Vled} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$

## Udledning af udtryk for $I_6$

Først får vi vores udvidede matrix i rækkereduceret echelonform
Ar = Ab.rref()

Så kan vi finde $I_6$
I6 = Ar[7][8]
show(factor(I6))

$\frac{{\left(\mathit{Aol} R_{3} \mathit{Vcc} - R_{3} \mathit{Vbe} - R_{4} \mathit{Vbe}\right)} \beta}{{\left(\mathit{Aol} R_{2} \beta - \mathit{Aol} R_{2} + R_{2} \beta + R_{1} - R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}$



## En ideel operationsforstærker

Når $A_{ol} \rightarrow \infty$ vil de led, i udtrykket for $I_6$, der ikke afhænger af $A_{ol}$ være så relativt små, at de kan undlades. Dermed får vi
show('I6 =')
show((R3*Vcc*Aol*beta/((Aol*R2*beta-Aol*R2)*(R3+R4))))

$I6 =$
$\frac{\mathit{Aol} R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{{\left(\mathit{Aol} R_{2} \beta - \mathit{Aol} R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}$
hvilket kan forkortes til
show('I6 =')
show(R3*Vcc*beta/((R2*beta-R2)*(R3+R4)))

$I6 =$
$\frac{R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{{\left(R_{2} \beta - R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}$

## En ideel transistor

Tilsvarende vil de led, der ikke afhænger af $\beta$ være til at overse, når $\beta \rightarrow \infty$. Så får vi
show('I6 =')
show(R3*Vcc*beta/(R2*beta*R3+R2*R4*beta))

$I6 =$
$\frac{R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{R_{2} R_{3} \beta + R_{2} R_{4} \beta}$
hvilket kan forkortes til
show('I6 = ')
show(R3*Vcc/(R2*R3+R2*R4))

$I6 =$
$\frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4}}$

## Kredsløbsmæssig fortolkning

Ovenstående billede viser en optisk sender, bestående af en operationsforstærker, en transistor og en LED.(billedetekst) I analysen har vi ved hjælp af kredsløbsligningerne og vores opskrevne matrix fundet I6 udtrykt ved de tilbageværende variable i kredsløbet. Det udtryk er derefter reduceret, da oprationsforstærkeren og transistoren antages at være ideelle. Den kredsløbsmæssige forklaring er at der er negativ feedback i operationsforstærkeren. Spændingen V1 ind på plus siden og da der er fast spændingsforhold fra basis af transistoren til emitteren og tilbageløb til minus indgangen i operationsforstærkerne, har denne negativ feedback. Derfor ved vi også at spændingsforskellen over plus og minus indgangene til operationsforstærkeren er 0, hvorfor de to spændinger er ens. V1=V5 Altså er strømmen $I_5$(den der udløber fra emitteren): $I_5= \frac{V_1}{R_2}$ Strømmen i I5 er næsten den samme som i I6, da basis strømmen i en god transistor er meget lille og i vores tilfælde har vi en ideel transistor hvorfor I5 ≈I6. Derfor er strømmen gennem LED’en: $I_6 = \frac{V_1}{R_2}$ Vi kan ved spændingsdelerformelen finde at: $V_1 = \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_4+R_3}$ $I_6$ kan derfor omskrives til: $I_6 = \frac{V_1}{R_2}\rightarrow \frac{1}{R_2}\cdot \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_4+R_3}\rightarrow \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_2\cdot R3+R2\cdot R4}$ Ligningsudtrykket er identisk med ligningen vi fandt ud fra kredsløbsligningerne når operationsforstærkeren og transistoren antoges at være ideelle.

## Beregning af værdier

Fra figur 4 får vi
R1 = 22
R2 = 47
R3 = 1000
R4 = 3900
Vcc = 5

Dermed er $I_6$
(R3*Vcc/(R2*R3+R2*R4)).n()

0.0217108119843682