CoCalc Public Filestmp / Sender.sagewsOpen in with one click!
Authors: Harald Schilly, ℏal Snyder, William A. Stein

Analyse af optisk sender

Omskrivning af ligninger

var("R1, R2, R3, R4, Vcc, Vbe, Vled, Aol, beta") var("V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6")
(R1, R2, R3, R4, Vcc, Vbe, Vled, Aol, beta) (V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6)
show(V1 == R3*Vcc/(R3+R4)) show(V4-Aol*V1+Aol*V5 == 0) show(V4-V3-I3*R1 == 0) show(V3-V5 == Vbe) show(I6-beta*I3 == 0) show(V5-I5*R2 == 0) show(V6 == Vcc-Vled) show(I5-I3-I6 == 0)
V1=R3VccR3+R4V_{1} = \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}}
AolV1+AolV5+V4=0-\mathit{Aol} V_{1} + \mathit{Aol} V_{5} + V_{4} = 0
I3R1V3+V4=0-I_{3} R_{1} - V_{3} + V_{4} = 0
V3V5=VbeV_{3} - V_{5} = \mathit{Vbe}
I3β+I6=0-I_{3} \beta + I_{6} = 0
I5R2+V5=0-I_{5} R_{2} + V_{5} = 0
V6=VccVledV_{6} = \mathit{Vcc} - \mathit{Vled}
I3+I5I6=0-I_{3} + I_{5} - I_{6} = 0

Matricer

Vores koefficientmatrix er givet ved
A = matrix([[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [-Aol, 0, 1, Aol, 0, 0, 0, 0], [0, -1, 1, 0, 0, R1, 0, 0], [0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, beta, 0, 1], [0, 0, 0, 1, 0, 0, -R2, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, -1]]) show(A)
(10000000Aol01Aol000001100R1000101000000000β01000100R200000100000000111)\left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\mathit{Aol} & 0 & 1 & \mathit{Aol} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & R_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -R_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right)
Vores matrix med ubekendte er givet ved
x = vector([V1, V3, V4, V5, V6, I3, I5, I6]) show(x.column())
(V1V3V4V5V6I3I5I6)\left(\begin{array}{r} V_{1} \\ V_{3} \\ V_{4} \\ V_{5} \\ V_{6} \\ I_{3} \\ I_{5} \\ I_{6} \end{array}\right)
Vores resultatmatrix er givet ved
b = vector([R3/(R3+R4)*Vcc, 0, 0, Vbe, 0, 0, Vcc-Vled, 0]) show(b.column())
(R3VccR3+R400Vbe00VccVled0)\left(\begin{array}{r} \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}} \\ 0 \\ 0 \\ \mathit{Vbe} \\ 0 \\ 0 \\ \mathit{Vcc} - \mathit{Vled} \\ 0 \end{array}\right)
Dermed er vores udvidede matrix
Ab = A.augment(b) show(Ab)
(10000000R3VccR3+R4Aol01Aol0000001100R100001010000Vbe00000β010000100R20000001000VccVled000001110)\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{3} + R_{4}} \\ -\mathit{Aol} & 0 & 1 & \mathit{Aol} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & R_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{Vbe} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -R_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \mathit{Vcc} - \mathit{Vled} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right)

Udledning af udtryk for I6I_6

Først får vi vores udvidede matrix i rækkereduceret echelonform
Ar = Ab.rref()
Så kan vi finde I6I_6
I6 = Ar[7][8] show(factor(I6))
(AolR3VccR3VbeR4Vbe)β(AolR2βAolR2+R2β+R1R2)(R3+R4)\frac{{\left(\mathit{Aol} R_{3} \mathit{Vcc} - R_{3} \mathit{Vbe} - R_{4} \mathit{Vbe}\right)} \beta}{{\left(\mathit{Aol} R_{2} \beta - \mathit{Aol} R_{2} + R_{2} \beta + R_{1} - R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}

En ideel operationsforstærker

Når AolA_{ol} \rightarrow \infty vil de led, i udtrykket for I6I_6, der ikke afhænger af AolA_{ol} være så relativt små, at de kan undlades. Dermed får vi
show('I6 =') show((R3*Vcc*Aol*beta/((Aol*R2*beta-Aol*R2)*(R3+R4))))
I6=I6 =
AolR3Vccβ(AolR2βAolR2)(R3+R4)\frac{\mathit{Aol} R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{{\left(\mathit{Aol} R_{2} \beta - \mathit{Aol} R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}
hvilket kan forkortes til
show('I6 =') show(R3*Vcc*beta/((R2*beta-R2)*(R3+R4)))
I6=I6 =
R3Vccβ(R2βR2)(R3+R4)\frac{R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{{\left(R_{2} \beta - R_{2}\right)} {\left(R_{3} + R_{4}\right)}}

En ideel transistor

Tilsvarende vil de led, der ikke afhænger af β\beta være til at overse, når β\beta \rightarrow \infty. Så får vi
show('I6 =') show(R3*Vcc*beta/(R2*beta*R3+R2*R4*beta))
I6=I6 =
R3VccβR2R3β+R2R4β\frac{R_{3} \mathit{Vcc} \beta}{R_{2} R_{3} \beta + R_{2} R_{4} \beta}
hvilket kan forkortes til
show('I6 = ') show(R3*Vcc/(R2*R3+R2*R4))
I6=I6 =
R3VccR2R3+R2R4\frac{R_{3} \mathit{Vcc}}{R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4}}

Kredsløbsmæssig fortolkning

Ovenstående billede viser en optisk sender, bestående af en operationsforstærker, en transistor og en LED.(billedetekst) I analysen har vi ved hjælp af kredsløbsligningerne og vores opskrevne matrix fundet I6 udtrykt ved de tilbageværende variable i kredsløbet. Det udtryk er derefter reduceret, da oprationsforstærkeren og transistoren antages at være ideelle. Den kredsløbsmæssige forklaring er at der er negativ feedback i operationsforstærkeren. Spændingen V1 ind på plus siden og da der er fast spændingsforhold fra basis af transistoren til emitteren og tilbageløb til minus indgangen i operationsforstærkerne, har denne negativ feedback. Derfor ved vi også at spændingsforskellen over plus og minus indgangene til operationsforstærkeren er 0, hvorfor de to spændinger er ens. V1=V5 Altså er strømmen I5I_5(den der udløber fra emitteren): I5=V1R2I_5= \frac{V_1}{R_2} Strømmen i I5 er næsten den samme som i I6, da basis strømmen i en god transistor er meget lille og i vores tilfælde har vi en ideel transistor hvorfor I5 ≈I6. Derfor er strømmen gennem LED’en: I6=V1R2I_6 = \frac{V_1}{R_2} Vi kan ved spændingsdelerformelen finde at: V1=R3VccR4+R3V_1 = \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_4+R_3} I6I_6 kan derfor omskrives til: I6=V1R21R2R3VccR4+R3R3VccR2R3+R2R4I_6 = \frac{V_1}{R_2}\rightarrow \frac{1}{R_2}\cdot \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_4+R_3}\rightarrow \frac{R_3\cdot V_{cc}}{R_2\cdot R3+R2\cdot R4} Ligningsudtrykket er identisk med ligningen vi fandt ud fra kredsløbsligningerne når operationsforstærkeren og transistoren antoges at være ideelle.

Beregning af værdier

Fra figur 4 får vi
R1 = 22 R2 = 47 R3 = 1000 R4 = 3900 Vcc = 5
Dermed er I6I_6
(R3*Vcc/(R2*R3+R2*R4)).n()
0.0217108119843682