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Author: Juan Carlos Bustamante
Views : 48
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Définition :

Un produit scalaire un espace vectoriel V\cal{V} sur C\mathbb{C} est une fonction :V×VC(u,v)uv \begin{array}{rcl} \langle \cdot | \cdot \rangle :& \cal{V} \times \cal{V}& \to & \mathbb{C}\\ & (u,v) &\mapsto& \langle u | v\rangle \end{array} telle que pour tous u,v,wVu,v,w\in \cal{V} et tous α,βC\alpha, \beta \in \mathbb{C} on a :

  • uv=vu\langle u | v \rangle = \overline{\langle v| u \rangle}
  • uαv+βw=αuv+βuw\langle u | \alpha v + \beta w \rangle = \alpha\langle u| v\rangle + \beta \langle u | w \rangle
  • uu0 \langle u | u \rangle \geqslant 0 et l'égalité a lieu si et seulement si u=0u=0
6d5acd41-9b26-4eb3-8d10-aa1b1953fdb7 1ac17f9f-2dde-4fa9-acfd-198206f6ee74 70dc797d-dd62-4a57-9ee6-e23057960fc9 825cc923-18ea-4604-b426-5183fcee8f38 a01dc054-09a9-4289-bb5b-f4a8b515dc4ci %md ## Exemple $\cal{V} = \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x]$, les polynomes de degré au plus 2 en $x$. On choisit $t_0 = -1,t_1 = 1, t_2 = 4$ et on définit $\langle p | q \rangle = \sum_{i=0}^2 p(t_i)q(t_i)$. Pour $p(x) = 2-3x+x^2$ et $q(x) = -1+4x+2x^2$, calculer $\langle p | q \rangle$

Exemple

V=R2[x]\cal{V} = \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x], les polynomes de degré au plus 2 en xx. On choisit t0=1,t1=1,t2=4t_0 = -1,t_1 = 1, t_2 = 4 et on définit pq=i=02p(ti)q(ti)\langle p | q \rangle = \sum_{i=0}^2 p(t_i)q(t_i).

Pour p(x)=23x+x2p(x) = 2-3x+x^2 et q(x)=1+4x+2x2q(x) = -1+4x+2x^2, calculer pq\langle p | q \rangle

7bbc25e8-f2db-4491-a253-553849da7d8e T = [0,1,4] p(x) = 2-3*x+x^2 q(x) = -1+4*x+2*x^2
20be8931-ceae-468c-bbbb-9ea010da2280 def MyProd(f,g): return sum([f(t)*g(t) for t in T])
MyProd(p,q)
280
MyProd(p,p)
72
MyProd(q,q)
2243
A=matrix(QQ,[[2,1,-2,-1],[4,4,-3,1],[2,7,1,8]]) show(A)
(212144312718)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 & 8 \end{array}\right)
typeset_mode(True) A.echelon_form()
(1054540112320000)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)