Moreinis_3282550_A_5_3_a_b_c.sagews

#k=1
print "Funktion aus A 5.3"
f=2*x^5+4*x^3+2*x
show(f)
plot(f,-1,1)

print "exakter Integralwert"
IO=integral(f, x, -1, 1)
show(IO)

# Integralwert der Gewichtsfunktion
I=integral(1, x, -1, 1)

#k=1
print "k=1"
x0=-1*sqrt(1/3)
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
y0.numerical_approx()

x1=1*sqrt(1/3)
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
y1.numerical_approx()

I1=I*(1/2*f(x0)+1/2*f(x1))
I1.numerical_approx()

Funktion aus A 5.3

$\displaystyle 2 \, x^{5} + 4 \, x^{3} + 2 \, x$

exakter Integralwert

$\displaystyle 0$

k=1 -0.577350269189626 -2.05280095711867 0.577350269189626 2.05280095711867 0.000000000000000

#k=2
print "Funktion aus A 5.3"
f=2*x^5+4*x^3+2*x
show(f)
plot(f,-1,1)

print "exakter Integralwert"
IO=integral(f, x, -1, 1)
show(IO)

# Integralwert der Gewichtsfunktion
I=integral(1, x, -1, 1)

x0=-1*sqrt(3/5)
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
y0.numerical_approx()

x1=0
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
y1.numerical_approx()

x2=sqrt(3/5)
x2.numerical_approx()
y2=f(x2)
y2.numerical_approx()

I2=I*(5/18*y0+8/18*y1+5/18*y2)
I2.numerical_approx()

Funktion aus A 5.3

$\displaystyle 2 \, x^{5} + 4 \, x^{3} + 2 \, x$

exakter Integralwert

$\displaystyle 0$

Gewichtsfunktion -0.774596669241483 -3.96593494651640 0.000000000000000 0.000000000000000 0.774596669241483 3.96593494651640 0.000000000000000

3f9c616-b48f-4b28-937c-a59fc850c217︠

︠f6e278a4-3a8d-49f4-969c-d84e55115ae1︠
print "Funktion aus A 5.3"
f=2*x^5+4*x^3+2*x
show(f)
plot(f,-1,1)

print "exakter Integralwert"
IO=integral(f, x, -1, 1)
show(IO)

print "Gewichtsfunktion"
I=integral(1, x, -1, 1)


a=0
b=4
#Transformationsfunktion
t=(b-a)/2*x+(b+a)/2

#I4 ist der Integralwert der Gewichtsfunktion
I4=integral(1, x, 0, 4)

#k=1
x0=t(-1*sqrt(1/3))
print "x0 Stützstelle"
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
print "g(x0)"
y0.numerical_approx()

x1=t(1*sqrt(1/3))
print "x1 Stützstelle"
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
print "g(x1)"
y1.numerical_approx()

#Integralwert auf [0,4]
I4g=(b-a)/2*I*(1/2*f(x0)+1/2*f(x1))
print "Quadratur Ergebnis"
I4g.numerical_approx()
print "Analytischer Integralwert"
Io=integral(f, x, 0, 4)
Io.numerical_approx()

print "Unterschied"
r=Io-I4g
r.numerical_approx()

Funktion aus A 5.3

$\displaystyle 2 \, x^{5} + 4 \, x^{3} + 2 \, x$

exakter Integralwert

$\displaystyle 0$

Gewichtsfunktion x0 Stützstelle 0.845299461620749 g(x0) 4.96971361653256 x1 Stützstelle 3.15470053837925 g(x1) 756.808064161245 Quadratur Ergebnis 1523.55555555556 Analytischer Integralwert 1637.33333333333 Unterschied 113.777777777778

︠d1b42417-8332-4559-a6b9-4dbd2d0f542c︠
︠56edf4b6-27e1-43e1-a9df-075ad93e2b29︠
print "Funktion aus A 5.3"
f=2*x^5+4*x^3+2*x
plot(f,0,4)

print "exakter Integralwert"
IO=integral(f, x, 0, 4)

print "Gewichtsfunktion"
Iw=integral(1, x, -1, 1)

#5.3b
a=0
b=4
#Transformationsfunktion
t=(b-a)/2*x+(b-a)/2


#k=2
x0=t(-1*sqrt(3/5))
print "x0 Stützstelle"
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
print "g(x0)"
y0.numerical_approx()

x1=t(0)
print "x1"
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
print "g(x1)"
y1.numerical_approx()

x2=t(sqrt(3/5))
print "x2"
x2.numerical_approx()
y2=f(x2)
print "g(x2)"
y2.numerical_approx()

I4g2=(b-a)/2*Iw*(5/18*y0+8/18*y1+5/18*y2)
print "Quadratur Ergebnis"
I4g2.numerical_approx()

print "Analytischer Integralwert"
Io=integral(f, x, 0, 4)
Io.numerical_approx()

print "Unterschied"
r=Io-I4g2
r.numerical_approx()

Funktion aus A 5.3

exakter Integralwert Gewichtsfunktion x0 Stützstelle 0.450806661517033 g(x0) 1.30531462108711 x1 2.00000000000000 g(x1) 100.000000000000 x2 3.54919333848297 g(x2) 1312.29468537891 Quadratur Ergebnis 1637.33333333333 Analytischer Integralwert 1637.33333333333 Unterschied -7.65359997600967e-15

#5.3.c
print "Funktion aus A 5.3"
f=2*x^5+4*x^3+2*x
plot(f,0,4)

print "exakter Integralwert"
I02=integral(f, x, 0, 2)

print "Wert der Gewichtsfunktion auf [0,2]"
I=integral(1, x, -1, 1)


a=0
b=2

#Transformationsfunktion
t=(b-a)/2*x+(b+a)/2

#k=1
x0=t(-1*sqrt(1/3))
print "x0 Stützstelle"
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
print "g(x0)"
y0.numerical_approx()

x1=t(1*sqrt(1/3))
print "x1 Stützstelle"
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
print "g(x1)"
y1.numerical_approx()

#Integralwert auf [0,2]
QI02=(b-a)/2*I*(1/2*f(x0)+1/2*f(x1))
print "Quadratur Ergebnis"
QI02.numerical_approx()
print "Analytischer Integralwert"
I02.numerical_approx()

print "Unterschied"
r=I-QI02
r.numerical_approx()

c=2
d=4

#Transformationsfunktion
t1=(d-c)/2*x+(d+c)/2

print "Wert des Integrals auf [2,4]"
I24=integral(f, x, 2, 4)
I24.numerical_approx()

x0=t1(-1*sqrt(1/3))
print "x0 Stützstelle"
x0.numerical_approx()
y0=f(x0)
print "g(x0)"
y0.numerical_approx()

x1=t1(1*sqrt(1/3))
print "x1 Stützstelle"
x1.numerical_approx()
y1=f(x1)
print "g(x1)"
y1.numerical_approx()

#Integralwert auf [2,4]
QI24=(d-c)/2*I*(1/2*f(x0)+1/2*f(x1))
print "Quadratur Ergebnis"
QI24.numerical_approx()
print "Analytischer Integralwert"
I24.numerical_approx()

print "Unterschied"
r=I24-QI24
r.numerical_approx()

print "Gesammt Quadratur"
Ig=QI02+QI24
Ig.numerical_approx()
print "Analytischer Wert"
AW04=integral(f, x, 0, 4)
AW04.numerical_approx()
print "Unterschied"
r=AW04-Ig
r.numerical_approx()

Funktion aus A 5.3

exakter Integralwert Wert der Gewichtsfunktion auf [0,2] x0 Stützstelle 0.422649730810374 g(x0) 1.17426910388984 x1 Stützstelle 1.57735026918963 g(x1) 38.3812864516657 Quadratur Ergebnis 39.5555555555556 Analytischer Integralwert 41.3333333333333 Unterschied -37.5555555555556 Wert des Integrals auf [2,4] 1596.00000000000 x0 Stützstelle 2.42264973081037 g(x0) 228.631969108761 x1 Stützstelle 3.57735026918963 g(x1) 1362.03469755791 Quadratur Ergebnis 1590.66666666667 Analytischer Integralwert 1596.00000000000 Unterschied 5.33333333333343 Gesammt Quadratur 1630.22222222222 Analytischer Wert 1637.33333333333 Unterschied 7.11111111111092

︠c2e3d8da-6878-4ecf-a667-c9af57683eb3︠