Le modèle logistique
Modèle de croissance de population : , avec et (voir section 3.1.3, p 61 des notes de cours)
Remarques :
est une solution.
Si on suppose que pour tout , alors le sens de variation de est donné par le signe de l'expression . Si , est une fonction décroissante, et si , alors est croissante.
Avant la résolution, quelques figures. Ci bas on a établi les valeurs
Plusieurs courbes solution, avec différentes valeurs initiales (voir les commentaires dans le code), elles apparaîssent en bleu. Ces courbes sont obtenues numériquement, avec la méthode de Runge - Kutta. Pour une résolution exacte, voir plus bas,
Le champ de directions. On a tracé le champ des directions associé à l'EDO, dans le même domaine. On voit bien que les courbes semblent suivre les lignes suggérées par le champ.
Résolution exacte
Voyons maintenant comment résoudre exactement l'équation. La commande desolve
sera utilisée.
Pour utiliser les conditions initiales, il faut déclarer les nouvelles variables, puis utiliser l'option ics[...]
quand on utilise la commande desolve
:
Annexe : décomposition en fractions partielles
On a du faire la décomposition en fractions partielles de . Voyons comment le faire avec SAGE