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Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

typeset_mode(True)

Le modèle logistique $p' = p(a-bp)$

Modèle de croissance de population : $p(t)$ , avec $a>0, b>0$ et $p(t_0)=p_0$ (voir section 3.1.3, p 61 des notes de cours)

Remarques :

$p(t) = a/b$ est une solution.
Si on suppose que $p(t)>0$ pour tout $t$ , alors le sens de variation de $p(t)$ est donné par le signe de l'expression $a-bp$ . Si $p>a/b$ , $p$ est une fonction décroissante, et si $p

Avant la résolution, quelques figures. Ci bas on a établi les valeurs $a=12, b=6$

Plusieurs courbes solution, avec différentes valeurs initiales (voir les commentaires dans le code), elles apparaîssent en bleu. Ces courbes sont obtenues numériquement, avec la méthode de Runge - Kutta. Pour une résolution exacte, voir plus bas,
Le champ de directions. On a tracé le champ des directions associé à l'EDO, dans le même domaine. On voit bien que les courbes semblent suivre les lignes suggérées par le champ.

a
from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4
a = 12
b = 6
t = var('t')
p = function('p', t) # p est une fonction de la variable t
EDO = diff(p,t) == p*(a - b*p) # On déclare l'EDO à considérer. Bien noter le double signe égal.
g = Graphics() # On commence par créer un graphique vide
for i in srange(0,12,0.2): # On produit la liste des nombres de 0 à 12, par pas de 0.2. Ces nombres serviront de conditions initiales
	g += line(desolve_rk4(EDO,p,ics=[0,i], step = 0.02, end_points=[0,0.6])) # Au graphique, on rajoute la courbe solution de l'EDO avec la nouvelle cond. init.
var('p')# On fait que p deviene une variable, nécessaire si on veut dessiner le champ.
g+= plot_slope_field(p*(a-b*p), (t,0,0.6), (p,0,5), color="red",  headlength =2)# on rajoute le champ
g.show(ymin=-0, ymax = 4)# On montre le tout, en spécifiant l'étendue de l'axe des ordonnées.

12

p

Résolution exacte

Voyons maintenant comment résoudre exactement l'équation. La commande desolve sera utilisée.


var('a,b,t')
p=function('p',t)
EDO = diff(p,t) == p*(a-b*p)
Sol = desolve(EDO,p,ivar=t ) # On rédoud EDO, on cherche p, et la variable indép. est t. Ici c'est nécessaire de le spécifier, car il y a les paremètres a et b aussi.
Sol

\left(a, b, t\right)

-\frac{\log\left(b p\left(t\right) - a\right) - \log\left(p\left(t\right)\right)}{a} = C + t

Pour utiliser les conditions initiales, il faut déclarer les nouvelles variables, puis utiliser l'option ics[...] quand on utilise la commande desolve :

var('t_0, p_0')
Sol = desolve(EDO,p,ivar=t, ics=[t_0,p_0] )
Sol

\left(t_{0}, p_{0}\right)

-\frac{1}{12} \, \log\left(p\left(t\right) - 2\right) + \frac{1}{12} \, \log\left(p\left(t\right)\right) = t - t_{0} - \frac{1}{12} \, \log\left(p_{0} - 2\right) + \frac{1}{12} \, \log\left(p_{0}\right)

solve([Sol], [p(t)])

\left[\log\left(p\left(t\right)\right) = 4 \, t - \log\left(7\right) + \log\left(3\right) + \log\left(3 \, p\left(t\right) - 2\right)\right]

Annexe : décomposition en fractions partielles

On a du faire la décomposition en fractions partielles de $\displaystyle \frac{1}{x(a-bx)}$ . Voyons comment le faire avec SAGE

var('x')
f= 1/(x*(a-b*x))
f.partial_fraction(x)

x

-\frac{b}{{\left(b x - a\right)} a} + \frac{1}{a x}

Le modèle logistique p′=p(a−bp)p' = p(a-bp)p′=p(a−bp)

Remarques :

Résolution exacte

Annexe : décomposition en fractions partielles

Le modèle logistique $p' = p(a-bp)$