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# Le modèle logistique $p' = p(a-bp)$
Modèle de croissance de population : $p(t)$, avec $a>0, b>0$ et $p(t_0)=p_0$ (voir section 3.1.3, p 61 des notes de cours)
### Remarques :
- $p(t) = a/b$ est une solution.
- Si on suppose que $p(t)>0$ pour tout $t$, alors le sens de variation de $p(t)$ est donné par le signe de l'expression $a-bp$. Si $p>a/b$, $p$ est une fonction décroissante, et si $p0, b>0$ et $p(t_0)=p_0$ (voir section 3.1.3, p 61 des notes de cours)\n\n### Remarques :\n- $p(t) = a/b$ est une solution.\n- Si on suppose que $p(t)>0$ pour tout $t$, alors le sens de variation de $p(t)$ est donné par le signe de l'expression $a-bp$. Si $p>a/b$, $p$ est une fonction décroissante, et si $p"}︡
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## Résolution exacte
Voyons maintenant comment résoudre exactement l'équation. La commande `desolve` sera utilisée.
︡e52cf805-7be3-4722-923b-26105d1f7e06︡{"md":"## Résolution exacte\nVoyons maintenant comment résoudre exactement l'équation. La commande `desolve` sera utilisée.\n"}︡
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var('a,b,t')
p=function('p',t)
EDO = diff(p,t) == p*(a-b*p)
Sol = desolve(EDO,p,ivar=t ) # On rédoud EDO, on cherche p, et la variable indép. est t. Ici c'est nécessaire de le spécifier, car il y a les paremètres a et b aussi.
Sol
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Pour utiliser les conditions initiales, il faut déclarer les nouvelles variables, puis utiliser l'option `ics[...]` quand on utilise la commande `desolve` :
︡f422a700-18eb-4609-8ea1-78fbd7818e1a︡{"done":true,"md":"Pour utiliser les conditions initiales, il faut déclarer les nouvelles variables, puis utiliser l'option `ics[...]` quand on utilise la commande `desolve` :"}
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var('t_0, p_0')
Sol = desolve(EDO,p,ivar=t, ics=[t_0,p_0] )
Sol
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︠5ed9d4ea-299b-48f7-9a25-779366d419bc︠
solve([Sol], [p(t)])
︡43d20dbc-f417-472c-a60a-5dd5ffa5c6cb︡{"tex":{"tex":"\\left[\\log\\left(p\\left(t\\right)\\right) = 4 \\, t - \\log\\left(7\\right) + \\log\\left(3\\right) + \\log\\left(3 \\, p\\left(t\\right) - 2\\right)\\right]","display":true}}︡
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## Annexe : décomposition en fractions partielles
On a du faire la décomposition en fractions partielles de $\displaystyle \frac{1}{x(a-bx)}$. Voyons comment le faire avec SAGE
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var('x')
f= 1/(x*(a-b*x))
f.partial_fraction(x)
︡954266d1-3009-4a22-aa02-d75e927d4c87︡{"tex":{"tex":"x","display":true}}︡{"tex":{"tex":"-\\frac{b}{{\\left(b x - a\\right)} a} + \\frac{1}{a x}","display":true}}︡
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