Surfaces, continuité et courbes de niveau

Soit $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ une région de l'espace (on peut penser que $n=2$ ), et $f:\mathcal{D} \to \mathbb{R}$ une fonction. Soit en plus $\bf{a}\in \mathcal{D}$ . On dit que la fonction $f(\bf{x})$ tend vers $L$ lorsque $\bf{x}$ tend vers $\bf{a}$ si pour tout réel $\epsilon > 0$ il existe un réel $\delta >0$ tel que $|f(\bf{x}) - L| < \epsilon$ aussitôt que $|\bf{x} - \bf{a}| < \delta$ . Autrement dit, la distance entre $f(\bf{x})$ et $L$ est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre $\bf{x}$ et $\bf{a}$ soit suffisament petite. On écrit dans ce cas $\displaystyle \lim_{\bf{x} \to \bf{a}} f(\bf{x} ) = L$

La fonction $f$ est continue en $\bf{a}$ si $\displaystyle \lim_{ \bf{x} \to \bf{a} } f(x)= f( \bf{a} )$ . Ceci présuppose notamment que $\bf{a}$ fait partie du domaine de $f$ . Ceci signifie que les valeurs de $f$ ne varient pas brusquement lorsque $\bf{x}$ varie aux alentours de $\bf{a}$ . Dans le cas où $n=2$ (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface $z=f(x,y)$ est essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction $y=f(x)$ en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.

Voyons quelques exemples.

Exemple 0

On considère le fonction $f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$ . Ci après on trouve ce qu'il faut pour tracer la surface, joliment coloriée et le diagramme des courbes de niveau.

In [1]:

var('x,y')
cm = colormaps.Blues
def f(x,y) :
	return y/(x^2 + y^2)

def c(x,y):
	return 0.5+0.7*y/(x^2 + y^2+0.01)
S=plot3d(f,(x,-2,2),(y,-2,2),color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S, aspect_ratio=[10,10,1])
C=contour_plot(f, (x,-2, 2), (y,-2, 2), cmap='Blues',linestyles='solid', contours=[-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5], colorbar=True)
show(C,figsize=4)

In [ ]:

Exemple 1

On considère la fonction

$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$ On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement). Voyons la surface et les courbes de niveau. Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de $f$ sont différentes aussi. La limite de $f$ en $(0,0)$ n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.

In [2]:

var('x,y')
f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
cm = colormaps.Blues
def c(x,y):
	return 0.5+0.5*(x^2-y^2)/(x^2+y^2+0.005)# Un bricolage pour colorier... la discontinuité pose problème
S=plot3d(f,(x,-1,1),(y,-1,1),color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1), cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

Exemple 2

considérons la fonction $g(x,y) = \arctan\left( \frac{y}{x}\right)$ lorsque $x\ne 0$ . La présence du $x$ au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de $x$ très petites.

In [ ]:

var('x,y')
g(x,y)=arctan(y/x)
cm = colormaps.Blues
def c(x,y):
	return (1/pi.n())*arctan(y/x) + 1/2
S=plot3d(g,(x,-1,1),(y,-1,1),color=(c,cm), opacity=0.55, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(g, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

In [ ]:

In [ ]:

Exemple 3

Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit $h$ la fonction définie par

$h(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$

Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur.

In [ ]:

var('x,y')
 = colormaps.Blues
h(x,y)= 3*x^2*y/(x^2+y^2)
def c(x,y):
	return 0.5+1.5*x^2*y/(x^2+y^2+0.005)#


S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1), color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

Exemple 4

Soit maintenant la fonction définie par $\displaystyle h(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ pour $(x,y)\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que si $\mathcal{C}_m$ est la droite de pente $m$ , alors $\lim_{\stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0$

mais sur la parabole $x=y^2$ , la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $0$ n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau.

In [ ]:

var('x,y,s,t')
h(x,y)= x*y^2/(x^2+y^4)
cm = colormaps.Blues
def c(x,y):
	return 0.6+x*y^2/(x^2+y^4+0.005)# Colorier ceci pose des problèmes, à cause de la singularité.
S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

In [ ]:

In [ ]:

In [ ]:

In [ ]:

In [ ]: