Surfaces, continuité et courbes de niveau

Soit $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ une région de l'espace (on peut penser que $n=2$), et $f:\mathcal{D} \to \mathbb{R}$ une fonction. Soit en plus $\bf{a}\in \mathcal{D}$. On dit que la fonction $f(\bf{x})$ tend vers $L$ lorsque $\bf{x}$ tend vers $\bf{a}$ si pour tout réel $\epsilon > 0$ il existe un réel $\delta >0$ tel que $|f(\bf{x}) - L| < \epsilon$ aussitôt que $|\bf{x} - \bf{a}| < \delta$. Autrement dit, la distance entre $f(\bf{x})$ et $L$ est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre $\bf{x}$ et $\bf{a}$ soit suffisament petite. On écrit dans ce cas $\displaystyle \lim_{\bf{x} \to \bf{a}} f(\bf{x} ) = L$

La fonction $f$ est continue en $\bf{a}$ si $\displaystyle \lim_{ \bf{x} \to \bf{a} } f(x)= f( \bf{a} )$. Ceci présuppose notamment que $\bf{a}$ fait partie du domaine de $f$. Ceci signifie que les valeurs de $f$ ne varient pas brusquement lorsque $\bf{x}$ varie aux alentours de $\bf{a}$. Dans le cas où $n=2$ (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface $z=f(x,y)$ est essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction $y=f(x)$ en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.

Voyons quelques exemples.

Exemple 0

On considère le fonction $f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$. Ci après on trouve ce qu'il faut pour tracer la surface, joliment coloriée et le diagramme des courbes de niveau.

Exemple 1

On considère la fonction

On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement). Voyons la surface et les courbes de niveau. Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de $f$ sont différentes aussi. La limite de $f$ en $(0,0)$ n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.

Exemple 2

considérons la fonction $g(x,y) = \arctan\left( \frac{y}{x}\right)$ lorsque $x\ne 0$. La présence du $x$ au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de $x$ très petites.

Exemple 3

Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit $h$ la fonction définie par

Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur.

Exemple 4

Soit maintenant la fonction définie par $\displaystyle h(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ pour $(x,y)\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que si $\mathcal{C}_m$ est la droite de pente $m$, alors $$\lim_{\stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0$$

mais sur la parabole $x=y^2$, la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $0$ n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau.