Les multiplicateurs de Lagrange : motivation
Exemple: On considére la fonction . Parmi les points sur le cercle , on cherche celui où atteint son minimum/maximum.
Voyons le problème en termes de courbes de niveau et du champ gradient de . Rappelons que donne la direction dans laquelle il faut se déplacer à partir de pour avoir la plus forte augmentation dans la valeur de .
Ci-bas, on trouve les courbes de niveau de , le champ et la courbe (en rouge)
La courbe de contrainte est donné par , où , c'est donc une courbe de niveau pour la fonction de contrainte . Cette fonction a aussi un champ gradient, . Dessinons les vecteurs de ce champ, mais seulement ceux qui correspondent aux points sur la courbe.
Conjecture : Les points de maximum / minimum de sur la courbe sont précisément ceux pour lequels les vecteurs gradient et sont colinéaires. En d'autres termes, il doit exister tel que
Demandons à SAGE de résoudre les équations qu'on a besoin de résoudre. La fonction a déjà été définie, mais pas , et nous avons également besoin d'une variable supplémentaire , pour .
Ici, est le gradient de , c'est donc une paire de fonctions de deux variables (voir plus bas). Ainsi df[0] est la première de ces deux fonctions (il y a des gens qui commencent à compter à 0), c'est à dire puis est la première de ces fonctions évaluée en (x,y).