Les multiplicateurs de Lagrange :  motivation

Exemple: On considére la fonction $f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2$. Parmi les points $(x,y)$ sur le cercle $x^2+y^2=45$, on cherche celui où $f$ atteint son minimum/maximum.

Voyons le problème en termes de courbes de niveau et du champ gradient de $f$. Rappelons que $\nabla f(x_0,y_0)$ donne la direction dans laquelle il faut se déplacer à partir de $(x_0,y_0)$ pour avoir la plus forte augmentation dans la valeur de $f$ .

Ci-bas, on trouve les courbes de niveau de $f$, le champ $\nabla f$ et la courbe $x^2+y^2=45$ (en rouge)

La courbe de contrainte est donné par $g(x,y)=45$, où $g(x,y)=x^2+y^2$, c'est donc une courbe de niveau pour la fonction de contrainte $g$. Cette fonction a aussi un champ gradient, $\nabla g$. Dessinons les vecteurs de ce champ, mais seulement ceux qui correspondent aux points sur la courbe.

Conjecture : Les points de maximum / minimum de $f$ sur la courbe $g=45$ sont précisément ceux pour lequels les vecteurs gradient $\nabla f$ et $\nabla g$ sont colinéaires. En d'autres termes, il doit exister $\lambda\in \mathbb{R}$ tel  que  $$\nabla f = \lambda \nabla g$$

Demandons à SAGE de résoudre les équations qu'on a besoin de résoudre. La fonction $f$ a déjà été définie, mais pas $g$, et nous avons également besoin d'une variable supplémentaire $L$, pour $\lambda$.

Ici, $df$ est le gradient de $f$, c'est donc une paire de fonctions de deux variables (voir plus bas). Ainsi df[0] est la première de ces deux fonctions (il y a des gens qui commencent à compter à 0), c'est à dire $\frac{\partial f}{\partial x}$ puis $df[0](x,y)$ est la première de ces fonctions évaluée en (x,y).