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Author: An-Chiang Chu
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Description: PMS1A

数列与 π\pi 的探究

课程介绍

目標

本节的 python + Math ,带大家来算算数列与用数列来探索 π\pi

数列就是体现程式“重复运算”的特性,要使用数列就需要理解抽象出“规律形式”的能力。

本节先从 Python 的 list 结构来探索数列,最后来用以下数列观察数列如何逼近 π\pi

π4=1113+1517+19 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \frac{1}{9} \cdots

π26=1+122+132++1n2+ \frac{\pi^2}{6} =1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{n^2}+\cdots

π2=2123434565 \frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots

課程架構

  1. 前言与故事: e=1+11!+12!+13!+e = 1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots
  2. list 与数列:[15,5,16,16,28,32,51,38,26]
  3. range 与等差数列: 13+23+33+43=(1+2+3+4)21^3+ 2^3 + 3^3 + 4^3 =(1+2+3+4)^2
  4. for-loop 与三角垛数列: 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)
  5. import math 与 pi 的探讨 :π2=2123434565\frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots

核心知識

  • 語法
    • 熟練 list 的用法: [2i+1 for i in range(1,n)]
    • 熟練對 list 求和: sum([i for i in range(1,101) ])
    • 了解格式化輸出: "1/{0:5} = {1:9.7f}".format(i,1.0/i)
    • 引入函式庫:import math,
  • 數學
    • 能製造等差數列並求其和
    • 能了解無窮數列有收斂與發散的區別
    • pi 的數列近似表達
  • 思維與能力
    • 能觀察數列的關係,並寫出其表示式
    • 能分辨遞迴與迴圈的分別並了解其使用時機

課程內容

0 前言与故事

0.a Lotus 123

本次的 Python + Math 要来谈数列。操作数列是我早期接触电脑的回忆。在 14 岁时(1995)时,有了一台黑白的二手电脑,可能是 386 或 486 的电脑,电脑有个试算表软体叫 Lotus123 ,那时电脑也没什么游戏,我只是用试算表来做些计算。

Lotus 123

0.b 神秘有趣的数学

那时还蛮喜欢跑书店,就是员林车站对面的金石堂书店,我还记得二楼有个书架,摆放些科普书,关于数学的书也没几本,但其中有本很吸引国二时的注意,就是这本孙文先编译的《神秘有趣的数学》。

alt text

里面列举很多数学的各方面的知识,也没什么证明,但就提些比较特别的结论。有章节提到了数列,谈到

1+12+122++12n+=2 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots =2

又提到

1+12+13++1n+ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots +\frac{1}{n}+\cdots \to \infty

0.C 用 Loutus 初次探索数列

如同这书名,这对 14 岁的我就是感到神秘有趣,那时让我印象深刻的还有

π26=1+122+132++1n2+ \frac{\pi^2}{6} =1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{n^2}+\cdots

竟然左式的无理数会等于右式的有理数之和!我当时拿到 Lotus 时,就想到可以去验证他,那时看到荧幕上出现结果与 π26\frac{\pi^2}{6} 很靠近时,也真的很感动。有些事,虽然你理智上已经觉得他是正确,但实际操作见证时,就还是有不同层次的感觉。

算完平方的调和数列后,我就开始探索以下这数列:

11!+12!+13!++1n!+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots +\frac{1}{n!}+\cdots

竟然发现这串数列会靠近 1.718281828...1.718281828... 而不是发散的情况,就感到很兴奋,我还记得隔天是周日早上,就拿着这自以为是新发现的成果去找数学老师。 现在想想也蛮好笑的,事隔 24 年这段天真的过程,还烙印在我脑海中。

1. list 与数列:[15,5,16,16,28,32,51,38,26]

1.a list 为一堆有顺序的资料:[1,2,3,4,5]

在 Python 中,list 是一串有顺序的资料,要制造 list 的方法很简单,就是把一串资料用 [ ] 包住,例如 [1,2,3,4,5]。

而 list 的结构,有包含些基本运算,例如 sum 求总和。

  • 请执行以下程式码,并观察其结果
a = [1,2,3,4,5]
sum(a)
  • 执行完后,更新数列为 1,4,9,16,25 并重新执行观察其结果。
In [11]:
a = [???] sum(???)
15
  • 以下为 1984 年后,中国队每届奥运金牌数量,请计算其总和。

15,5,16,16,28,32,51,38,26

In [1]:
gold = [15,5,16,16,28,32,51,38,26] sum(gold)
227

1.b 计算数列平均

要求得数列的项数可以用 len 指令

  • 请用 len(gold) 求上述数列共几项
In [ ]:
len(???)

在计算完总和后,要求平均,可以用 sum(a)/len(a).

其中 len 表示数列的长度(length), 也就是项数。

  • 请计算 1984 年后,中国对奥运金牌的平均获奖数。
In [21]:
gold = [15,5,16,16,28,32,51,38,26] sum(gold)/???
25.22222222222222

除了 sum, len 外,也有 max, min

In [26]:
???(gold)
51

也有个 sorted 函数可以排序

In [22]:
???(gold)
[5, 15, 16, 16, 26, 28, 32, 38, 51]
  • 请计算 1,4,9,16,25 的平均
  • 计算前请估算平均是否大於中位数 9
In [18]:
??? ???
11.0

1.c 调整输出格式

当有多资料要输出时可利用 print

请分别输出以下两个数列的总和:

c1: 1, 2, 3, 4, 5

c2: 1, 8,27,64,125

In [21]:
c1 = [1,2,3,4,5] c2 = [1,8,27,64,125] print(sum(c1)) #print(???)
15 225

可以在一个 print 内,输出多个资料,并用 , 分隔。 例如:

c1 = [1,2,3,4,5]
print(c1,sum(c1))
In [23]:
c1 = [1,2,3,4,5] c2 = [1,8,27,64,125] print(c1,sum(c1),sum(c1)/len(c1)) #print(???)
[1, 2, 3, 4, 5] 15 3.0 [1, 8, 27, 64, 125] 225 45.0

要在上述的输出再加入文字,可利用 format 的格式

In [30]:
c1 = [1,2,3,4,5] c2 = [1,8,27,64,125] print("数列 {} 的总和为 {} 平均为 {}".format(c1,sum(c1),sum(c1)/len(c1))) #print("数列 {} 的总和为 {} 平均为 ???".???(???,???,???))
数列 [1, 2, 3, 4, 5] 的总和为 15 平均为 3.0 数列 [1, 8, 27, 64, 125] 的总和为 225 平均为 45.0

1.d 取得数列的个别项与子数列

利用 index 可以取得某一元素在数列的位置(index)。

注意 list 的第一项的 index 为 0。

  • 请找出 gold 的最大值在 list 的位置
  • 请利用 1984 为第一项对应的年份,则最大值发生在那一年。(奥运四年举办一次)
In [42]:
gold = [15,5,16,16,28,32,51,38,26] print(gold.index(max(gold))) #print(gold.index(max(gold))*???+???)
6 2008

若要取得数列 xxx 的第 k 项可用 xxx[k]

  • 请执行以下程式,观察其 index 与这数在数列的位置
fib = [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]
print(fib[0],fib[5],fib[10])
In [43]:
fib = [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89] print(fib[0],fib[5]) #print(fib[???])
1 8 89

利用 [-1] 则可以由后往前数

若 index 中放入不在 index 的范围内的数 则会有错误讯息。

In [18]:
fib = [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89] print(fib[-1],fib[-2],fib[-10]) #print(fib[1000])
89 55 1
【习题1a】数列的建立

以下哪些是 Python 内可以正确建立 list 的方式。

sa = {1, 3, 6, 10, 15, 21}
sa = {1; 3; 6; 10; 15; 21}
sa = [1, 3, 6, 10, 15, 21]
sa = [1 3 6 10 15 21]
In [19]:
sa = ??? print(sa)
[1, 3, 6, 10, 15, 21]
【习题1b】计算平均

请完成以下程式来计算 [1,2,4,8,16,32,64] 的数列的总和与平均。

In [46]:
sb = [1,2,4,8,16,32,64] print("{} 的总和为 {} 的平均为 {}".format(???, ???, ???))
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64] 的總和為 127 的平均为 18.142857142857142
【习题1c】判断 index

请先想想以下程式码执行的结果。再执行一次程式来验证

In [48]:
spi = [3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5] print(spi[2],"=", ???) print(spi[-2],"=", ???) print(len(spi),"=",???)
4 9 5 11
【习题1d】奥运会金牌

以下为美国在 1984年后奥运会获得金牌的数量

83,36,37,44,37,36,36,46,46

请计算其平均获奖数,并列出其在 2008 年的获奖数

In [53]:
goldA =[83,36,37,44,37,36,36,46,46] print(???) print(???)
44.55555555555556 36

2 利用 for 製造有规律数列

2.a range 的使用

当我们想要运算 1+2+3+...+100 时,若直接输入 [1,2,3,4,...,100] 也太麻烦。

在 python 就要善用 range 这指令,你尝试输入以下指令来观看其结果

a1 = [k for k in range(1,10)]
a2 = [k**2 for k in range(1,10)]
print("数列",a1,"总和为",sum(a1))
# print("数列",???,"总和为",???)

  • 注意这数列的首项、末项为多少?
  • 这数列共有几项?
In [54]:
a1 = [k for k in range(1,10)] a2 = [k**2 for k in range(1,10)] print("数列",a1,"总和为",sum(a1)) # print("数列",???,"总和为",???)
数列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] 总和为 45 数列 [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81] 总和为 285

在 for 前面的式子,就是數學上的一般項。

当要输出偶数数列时就用 2*k 来表示 要输出 2的次方数列时就用 2**k 来表示

a3 = [ 2*k for k in range(1,11)] 
a4 = [ 2**k for k in range(1,11)] 
In [55]:
a3 = [ 2*k for k in range(1,11)] #a4 = [ ??? for k in range(1,11)] print(a3) #print(a4)
[0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20] [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024]

2.b Range 的参数省略

若要产生奇数数列该如何制造呢?

以下哪些可以制造出 1,3,5,7,9呢?

b1 =[ 3*k for k in range(1,5)] 
b2 =[ 2*k-1 for k in range(1,6)] 
b3 =[ 2*k+1 for k in range(1,6)] 
b4 =[ 2*k+1 for k in range(5)] 
  • 请执行程式前先想想
In [69]:
b1 =[ 3*k for k in range(1,5)] b2 =[ 2*k-1 for k in range(1,6)] b3 =[ 2*k+1 for k in range(1,6)] b4 =[ 2*k+1 for k in range(5)] print(b1) print(b2) print(b3) print(b4)
[3, 6, 9, 12] [1, 3, 5, 7, 9] [3, 5, 7, 9, 11] [1, 3, 5, 7, 9]

在上述数列中, 使用 range(5) 其实与 range(0,5) 相同。

也就是当 range 只有一个参数时,只规定上界,而初始值为 0

  • 已知西元 1900 年為鼠年,请列出 1900 年以後,生肖屬鼠的出生年。
In [60]:
sx = [??? for k in range(10)] print(sx)
[1900, 1912, 1924, 1936, 1948, 1960, 1972, 1984, 1996, 2008]

2.c Range 的第 3 个参数

对於先前的 1,3,5,7,9 初了使用 2k+1, 2k-1 来表示外,

还可使用 Range 的第三个参数来调整。

  • 执行前先想想,以下哪些可产生 1,3,5,7,9
c1 = [k for k in range(1,9,2)]
c2 = [k for k in range(1,10,2)]
c3 = [k for k in range(1,11,2)]
c4 = [k+1 for k in range(0,10,2)]
In [70]:
c1 = [k for k in range(1,9,2)] c2 = [k for k in range(1,10,2)] c3 = [k for k in range(1,11,2)] c4 = [k+1 for k in range(0,10,2)] print(c1) print(c2) print(c3) print(c4)
[1, 3, 5, 7] [1, 3, 5, 7, 9] [1, 3, 5, 7, 9] [1, 3, 5, 7, 9]

利用 range 的第三个参数,请输出一个 1900 到 2050 的鼠年。

并统计共几个鼠年。

In [8]:
sx2 = [k for k in range(???,???,???)] print(sx2) print(len(sx2))
[1900, 1912, 1924, 1936, 1948, 1960, 1972, 1984, 1996, 2008, 2020, 2032, 2044] 13

2.d 計算 1+2+...+10000 会花很久吗?

  • 計算 1~100 個連續整數和
d1 = [k for k in range(1,101)]
print(sum(d1))
In [75]:
d1 = [k for k in range(1,101)] print(sum(d1))
5050

在上述求和中,其实计算机是逐项相加。

虽然计算机的计算速度很快,但项数很多时,还是要占很多空间,与时间。

  • 试着将项数改为 104,105,,10810^4, 10^5,\cdots, 10^8 来观察其计算时间。
In [1]:
d2 = [k for k in range(1,10**???+1)] print(sum(d2))
50000005000000

此时数学就扮演着重要角色

等差数列的和可用公式 (1+n)n2\frac{(1+n) n }{2} 来得到,

其推导的过程为『倒写相加』

对电脑而言,利用公式来计算,会比直接生成数列快很多。

所以多些数学背景是可以大大提升程式的执行效率。

【试验】请调整不同的 n 值来计算以下等差的求和

n= 100000000
print(n*(n+1)/2)
In [2]:
n= 100000000 print(???)
5000000050000000.0

【补充】电影《丈量世界》中,有高斯计算 1+2+...+100 的课堂片段

[YouTube] Gauss 計算 1+2+...+100

【习题2a】等差数列

请试着用 list 的 for 来制造数列 1,4,7,10,...,31 并算其总和与平均

In [17]:
e2a = [??? for k in range(11)] print("数列 {} 的和為 {} 平均为 {}".format(???))
数列 [1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31] 的和為 176 平均为 16.0
【习题2b】龙年

请试着写出一个数列来列出出 1900~2050 的龙年?(注意,1900年为鼠年,那哪年为龙年呢?)

  • 解答中给了三种表示法,你可比较哪种表示法适合此题的叙述。
In [12]:
sx1 = [k for k in range(1904,2051,12)] sx2 = [8+12*k for k in range(158,170)] sx3 = [1904+12*k for k in range((2051-1904)//12+1)] print(sx1) print(sx2) print(sx3)
[1904, 1916, 1928, 1940, 1952, 1964, 1976, 1988, 2000, 2012, 2024, 2036, 2048] [1904, 1916, 1928, 1940, 1952, 1964, 1976, 1988, 2000, 2012, 2024, 2036, 2048] [1904, 1916, 1928, 1940, 1952, 1964, 1976, 1988, 2000, 2012, 2024, 2036, 2048]
【习题2c】哈雷彗星

哈雷彗星的轨道周期约为 76 年。此慧星在 1608 年时被观测过,则接下来 10 次被观测的年份约为哪些年。

In [11]:
halley1 = [??? for k in range(10)] halley2 = [k for k in range(???,???,???)] print(halley1) print(halley2)
[1608, 1684, 1760, 1836, 1912, 1988, 2064, 2140, 2216, 2292] [1608, 1684, 1760, 1836, 1912, 1988, 2064, 2140, 2216, 2292] [1608, 1684, 1760, 1836, 1912, 1988, 2064, 2140, 2216, 2292]
【习题2d】西洋棋与米粒

传说中,西洋棋的发明人向国王要了如下的奖赏

在第 11 格放入 11粒米、在第 22 格放入 22 粒米、在第 33 格放入 222^2 粒米、 在第 nn 格放入 2n2^n 粒米、

请计算所有米粒的数量和。

In [106]:
print(sum([??? for k in range(???)]))
18446744073709551615

承上,假设每碗饭有 2000 颗米、每人一天吃了 3 碗饭,则这些米可供地球上 70 亿人吃多久?

In [110]:
riceNum = sum(???) riceDay = riceNum/(???) riceYear = riceDay/??? print(riceDay) print(riceYear)
439208.1922311798 1203.3101157018625

3 for-loop 与三角垛数列 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)

3.a for-loop 来观察 1+3+5+...+(2n-1)

在前一节,要观察一个数列在不同项数时的变化,需重覆输入并修正程式码

odd5 = [2*k+1 for k in range(5)]
print(odd5, sum(odd5))
odd6 = [2*k+1 for k in range(6)]
print(odd6, sum(odd6)
odd7 = [2*k+1 for k in range(7)] 
print(odd7, sum(odd7)
In [9]:
odd5 = [2*k+1 for k in range(5)] print(odd5, sum(odd5)) odd6 = [2*k+1 for k in range(6)] print(odd6, sum(odd6)) ??? = [2*k+1 for k in range(???)] print(???, sum(???))
[1, 3, 5, 7, 9] 25 [1, 3, 5, 7, 9, 11] 36 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13] 49

上述程式码有很多重覆的结构,可用 for-loop 来简化。

请输入以下程式码

for n in [4,5,6,10]:
  odd = [2*k+1 for k in range(n)] 
  print(n, odd, sum(odd))
In [6]:
for n in ???: odds = [2*k+1 for k in range(?)] print(n, odds, sum(odds))
4 [1, 3, 5, 7] 16 5 [1, 3, 5, 7, 9] 25 6 [1, 3, 5, 7, 9, 11] 36 10 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19] 100

3.b 三角垛

利用 for 回圈,可以来计算出以下三角垛的数量。

第一层是 1 个、

第二层 1+2 个、两层共 1+(1+2)= 4 个。

第三层 1+2+3 个、三层共 1+(1+2)+(1+2+3) = 10 个。

第四层 1+2+3+4 个、四层共 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) = 20 个。

alt text

请问累积到第五层共多少个?

In [16]:
ans = 0 n = 5 for i in range(1,n+1): print(i, sum([k for k in range(1,i+1)])) ans += ??? print(ans)
1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 35

上式中的 sum([k for k in range(1,i+1)])

其實就是等差數列 1+2+3+...+i=i(i+1)21+2+3+...+ i = \frac{i\cdot(i+1)}{2}

因此程式码可改写如下

In [18]:
ans = 0 n = 5 for i in range(1,n+1): print(i, ???) ans += ??? print(ans)
1 1.0 2 3.0 3 6.0 4 10.0 5 15.0 35.0

对于上述的 for-loop 也可用 list 的方式呈现

In [23]:
n = 5 triDuo = [??? for i in range(1,n+1)] print(triDuo,sum(triDuo))
[1, 3, 6, 10, 15] 35

3.c 三角垛 与 for-loop

可对 triDuo 再用一层 for 来比较不同的 n 值

In [28]:
N = 7 triDuo = 0 for n in range(2,N+1): triDuo = [??? for i in range(1,n+1)] print(triDuo,sum(triDuo))
[1, 3] 4 [1, 3, 6] 10 [1, 3, 6, 10] 20 [1, 3, 6, 10, 15] 35 [1, 3, 6, 10, 15, 21] 56 [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28] 84

对上述的总和其实也可用公式 n(n+1)(n+2)3×2×1\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3\times 2\times 1} 来计算

  • 请写个数列来显示 n(n+1)(n+2)3×2×1\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3\times 2\times 1}
In [33]:
triDuoM = [int(???) for i in range(1,n+1)] print(triDuoM,sum(triDuoM))
[1, 4, 10, 20, 35, 56, 84] 210

上列的总和竟然也可写为 n(n+1)(n+2)(n+3)1×2×3×4\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{1\times 2\times 3\times 4} !!!

用數學的 \sum 表達有如下關係:

k=1nk=n(n+1)2k=1ni=1ki=n(n+1)(n+2)123k=1ni=1kj=1ij=n(n+1)(n+2)(n=3)1234\begin{array}{rcl} \sum\limits_{k=1}^n k &=& \dfrac{n(n+1)}{2} \\[.2cm] \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^k i &=& \dfrac{n(n+1)(n+2)}{1\cdot 2\cdot 3} \\[.2cm] \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^i j &=& \dfrac{n(n+1)(n+2)(n=3)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4} \end{array}

3.d 一尺之棰,日取其半,万世不竭

请计算以下数列的总和:

1+12+122+123++12n11 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}

In [9]:
n = 10 seqG2 = [float(???) for i in range(0,n)] print(seqG2,sum(seqG2))
([1.00000000000000, 0.500000000000000, 0.250000000000000, 0.125000000000000, 0.0625000000000000, 0.0312500000000000, 0.0156250000000000, 0.00781250000000000, 0.00390625000000000, 0.00195312500000000], 1.99804687500000)
In [2]:
N = 10 for n in range(1,N+1): seqG2 = [float(???) for i in range(0,n)] print("{} 项的和为 {}".format(???,???))
1 项的和为 1.0 2 项的和为 1.5 3 项的和为 1.75 4 项的和为 1.875 5 项的和为 1.9375 6 项的和为 1.96875 7 项的和为 1.984375 8 项的和为 1.9921875 9 项的和为 1.99609375 10 项的和为 1.998046875

可利用 {:2d}、{:10.8f} 来调整输出格式

In [12]:
N = 15 for n in range(1,N+1): seqG2 = [1/2**i for i in range(0,n)] print("{???} 项的和为 {???}".format(n,sum(seqG2)))
1 项的和为 1.00000000000000 2 项的和为 1.50000000000000 3 项的和为 1.75000000000000 4 项的和为 1.87500000000000 5 项的和为 1.93750000000000 6 项的和为 1.96875000000000 7 项的和为 1.98437500000000 8 项的和为 1.99218750000000 9 项的和为 1.99609375000000 10 项的和为 1.99804687500000 11 项的和为 1.99902343750000 12 项的和为 1.99951171875000 13 项的和为 1.99975585937500 14 项的和为 1.99987792968750 15 项的和为 1.99993896484375
【习题3a】立方和数列

请写个回圈比较以下两个数列的关系

In [33]:
N = 10 print(" n | 连续整数和 连续立方和") for i in range(2,N+1): seq1 = sum([k for k in range(i)]) seq3 = ??? print("{:2d} | {???} {???}".format(i,seq1,seq3))
n | 连续整数和 连续立方和 2 | 1 1 3 | 3 9 4 | 6 36 5 | 10 100 6 | 15 225 7 | 21 441 8 | 28 784 9 | 36 1296 10 | 45 2025
【习题3b】n角数

(1) 下图为三角数,其圆圈的数量可表示为公差为 1 的数列和。

1+2+3++n1 + 2 + 3 + \cdots + n

三角数

(2) 下图为四角数,其圆圈的数量可表示为公差为 3 的数列和。

1+3+5++2n11 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1

四角数

(3) 下图为五角数,其圆圈的数量可表示为公差为 2 的数列和。

1+4+7++3n21 + 4 + 7 + \cdots + 3n-2

先观察第 2 层比第 1 层多 4 个,共 1 + 4 = 5 个。

先观察第 3 层比第 2 层多 7 个,共 1 + 4 + 7 = 12 个。

先观察第 4 层比第 3 层多 10 个,共 1 + 4 + 7 + 10 = 22 个。 五角数

(4) 下图为六角数,请列出每边有 393 \sim 9 个数的六角数。

1+5+9++4n31 + 5 + 9 + \cdots + 4n-3

先观察第 2 层比第 1 层多 5 个,共 1 + 5 = 6 个。

先观察第 3 层比第 2 层多 9 个,共 1 + 5 + 9 = 15 个。

先观察第 4 层比第 3 层多 13 个,共 1 + 5 + 9 + 13 = 28 个。

六角数

  • 請列出一个表格显示 數量為 3103 \sim 10 的 三角數、四角數、五角數、六角數。
In [9]:
print(" i | 三角数 四角数 五角数 六角数") print("---|------------------------") for i in range(3,11): S3 = sum([k for k in range(1,i+1)]) S4 = ??? S5 = ??? S6 = ??? print("{:2d} |{:6d}{:6d}{:6d}{:6d}".format(i,S3,S4,S5,S6))
i | 三角数 四角数 五角数 六角数 ---|------------------------ 3 | 6 9 12 15 4 | 10 16 22 28 5 | 15 25 35 45 6 | 21 36 51 66 7 | 28 49 70 91 8 | 36 64 92 120 9 | 45 81 117 153 10 | 55 100 145 190
【习题3c】四角垛

而 n 阶四角垛的总个数为 1+22+32+42++n2 1 +2^2+ 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2 ,也可用公式来求 n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

alt text

  • 请分别用数列的和与数学公式来验证上述公式。

【补充】上述图形也可表示

利用公式来代换也可得到

n(n+1)(2n+1)6=n(n+1)(n+2)6+(n1)n(n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} + \frac{(n-1)n(n+1)}{6}

In [ ]:
N = 10 for i in range(1,N+1): pass
【习题3d】等比数列
  • 请计算以下数列的总和
  • 输出时利用 {:10.8f} 来控制小数点以下有 8 位。 1+13+132+133++13n1 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots +\frac{1}{3^{n-1}}

【数学】当 r<1r<1 时, 1+r+r2+r3++rn+1+r+r^2+r^3+\cdots + r^n + \cdots 的极限为 11r\frac{1}{1-r}.

In [50]:
N = 15 for n in range(1,N+1): pass
1 项的和为 1.00000000 2 项的和为 1.33333333 3 项的和为 1.44444444 4 项的和为 1.48148148 5 项的和为 1.49382716 6 项的和为 1.49794239 7 项的和为 1.49931413 8 项的和为 1.49977138 9 项的和为 1.49992379 10 项的和为 1.49997460 11 项的和为 1.49999153 12 项的和为 1.49999718 13 项的和为 1.49999906 14 项的和为 1.49999969 15 项的和为 1.49999990

4 import math 与 pi 的探讨 :π2=2123434565\frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots

4.a 调和数列

请计算下列算式到第 n 项的总和

1+12+13++1n 1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}

In [5]:
N = 10 seqH = [float(???) for k in range(1,N+1)] print(seqH,sum(seqH))
File "<ipython-input-5-db2c7e9d8ac6>", line 2 seqH = [float(???) for k in range(Integer(1),N+Integer(1))] ^ SyntaxError: invalid syntax

请利用 for 上述数列在 n = 10, 100, 1000, 10000 项的总和变化

In [57]:
for n in [???]: seqH = [1/k for k in range(1,n+1)] print(n,sum(seqH))
10 2.9289682539682538 100 5.187377517639621 1000 7.485470860550343 10000 9.787606036044348

将上述输出结果格式化

In [59]:
for n in [10,100,1000,10**4,10**5]: seqH = [1/k for k in range(1,n+1)] print("{???} {:???}".format(n,sum(seqH)))
10 2.9289683 100 5.1873775 1000 7.4854709 10000 9.7876060 100000 12.0901461

这个调和数列是发散数列。

但这数列的近似值为 loge(n)+12\log_e(n) + \frac{1}{2}

请比较这两个数值的差。(要用 log 需要 import math)

In [68]:
from math import log for n in [10,100,1000,10**4,10**5]: seqH = [1/k for k in range(1,n+1)] print("{:6d} {:10.7f} {:10.7f} {:10.7f}".format(???))
10 2.9289683 2.8025851 0.1263832 100 5.1873775 5.1051702 0.0822073 1000 7.4854709 7.4077553 0.0777156 10000 9.7876060 9.7103404 0.0772657 100000 12.0901461 12.0129255 0.0772207

4.b 调和平方数列

请计算比较下列算式到第 n 项的总和 (n=10,100,1000,10000,100000)(n=10,100,1000,10000,100000)

1+122+132++1n2 1+ \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}

In [71]:
for n in [10,100,1000,10000,100000]: seqSH = [??? for k in range(1,n+1)] print(n,sum(seqSH))
10 1.5497677311665408 100 1.6349839001848923 1000 1.6439345666815615 10000 1.6448340718480652 100000 1.6449240668982423

请比较此数列的总和与 π26\dfrac{\pi^2}{6} 的差距

In [73]:
import math for n in [10,100,1000,10000,100000]: seqSH = [1/k**2 for k in range(1,n+1)] print("{???} {???} {?/?}".format(n,sum(seqSH),math.pi**2/6-sum(seqSH)))
10 1.5497677 0.0951663 100 1.6349839 0.0099502 1000 1.6439346 0.0009995 10000 1.6448341 0.0001000 100000 1.6449241 0.0000100

4.c 交错数列

下列 π\pi 的近似数列公式为 格雷果理在 1671 年发现,而莱布尼兹在 1674 年发现。

π4=113+1517+19+ \dfrac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}+\cdots

请先输出 1,-1,1,-1,1,-1,1 的数列

In [17]:
n = 10 [??? for k in range(1,n+1)]
[1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1]

请输出 11,13,15,17,\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{7},\cdots 的数列

In [15]:
n = 10 [??? for k in range(1,n+1)]
[1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13, 1/15, 1/17, 1/19]

请输出 11,13,15,17,\dfrac{1}{1},\dfrac{-1}{3},\dfrac{1}{5},\dfrac{-1}{7},\cdots 的数列

In [19]:
n = 10 [??? for k in range(1,n+1)]
[1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9, -1/11, 1/13, -1/15, 1/17, -1/19]
In [79]:
import math for n in [10,100,1000,10000,100000]: seqAH = [??? for k in range(1,n+1)] print("{:6d} {:10.7f} {???}".format(n,sum(seqAH),math.pi/4-sum(seqAH)))
10 0.7604599 0.0249383 100 0.7828982 0.0024999 1000 0.7851482 0.0002500 10000 0.7853732 0.0000250 100000 0.7853957 0.0000025

4.d 用乘法来估算 pi

约翰沃利斯在 1655 年发现了沃利斯乘积,是欧洲第二个无穷项圆周率公式。

π2=2123434565 \frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots

请验算计算以下数列,先试着列出 2,2,4,4,6,6 与 1,3,5,7,9,13

In [21]:
N = 10 evens = [??? for i in range(1,N+1)] odds = [??? for i in range(1,N+1)] print(evens) print(odds)
[2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10] [1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9]

使用 for-loop 将上述数逐项连乘再相除

In [28]:
N = 20 wallis = [1]*(N+1) evens = [2*int((i+1)//2) for i in range(1,N+1)] odds = [2*int((i)//2)+1 for i in range(1,N+1)] for i in range(1,N-1): wallis[i] = ??? print(i, wallis[i],evens[i],odds[i])
(1, 2.00000000000000, 2, 3) (2, 1.33333333333333, 4, 3) (3, 1.77777777777778, 4, 5) (4, 1.42222222222222, 6, 5) (5, 1.70666666666667, 6, 7) (6, 1.46285714285714, 8, 7) (7, 1.67183673469388, 8, 9) (8, 1.48607709750567, 10, 9) (9, 1.65119677500630, 10, 11) (10, 1.50108797727845, 12, 11) (11, 1.63755052066740, 12, 13) (12, 1.51158509600068, 14, 13) (13, 1.62786087261612, 14, 15) (14, 1.51933681444171, 16, 15) (15, 1.62062593540449, 16, 17) (16, 1.52529499802776, 18, 17) (17, 1.61501823320586, 18, 19) (18, 1.53001727356344, 20, 19)

利用 pyplot 来绘制 pyplot

In [31]:
N = 100 wallis = [1]*(N) evens = [2*int((i+1)//2) for i in range(1,N+1)] odds = [2*int((i)//2)+1 for i in range(1,N+1)] for i in range(1,N): wallis[i] = 1.0*wallis[i-1]*evens[i-1]/odds[i-1] import matplotlib.pyplot as plt plt.???(wallis)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x7fd2c715ca90>]
【习题4a】Telescope 数列

请计算以下数列到 100, 1000, 10000 项的总和

请判断,此数列是否收收敛或发散?

In [ ]:
for i in [100,1000,10000]: pass
【习题4b】交错数列与 ln

请写个函式来观察 ln(2) \ln(2) 112+1314+1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +\cdots 的差距。

并用 matplotlib.pyplot 来绘制其收敛情况

  • Python 中, ln(2)\ln(2) 要用 math.log(2) 来输出
In [19]:
import math def seqln2(n): return float(sum([??? for k in range(1,n+1)])) for k in [10,100, 1000, 10000]: print("{0:5} {1:9.7f} {2:9.7f} {3:9.7f}".format(k,seqln2(k), math.log(2), ???))
10 0.6456349 0.6931472 0.0475123 100 0.6881722 0.6931472 0.0049750 1000 0.6926474 0.6931472 0.0004998 10000 0.6930972 0.6931472 0.0000500
【习题4c】Viete 的 pi 的逼近式

以下為 1593 年,由 Francois Viete 發現可用以下無窮數列來逼近 pi 的值的。請利用迴圈來計算其求 nn 項的值。

2π=222+222+2+22 \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots

In [20]:
import math for n in [10,100,1000,10000]: result = 1 seq = [0] for i in range(1,n+1): seq.append(???) result *= ??? print("{:5d}{:13.9f}{:13.9f}".format(n,2/result,2/result-math.pi))
10 3.1415923 100 3.1415927 1000 3.1415927 10000 3.1415927
【习题4d】多重根式与黄金比例

请用回圈计算以下数列 ana_n ,并比较此数列与 ϕ=1+52\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} 的关系。

In [26]:
N = 10 fib = [1] phi = (1+5**0.5)/2 n = 1 for i in range(1,N+1): fib.append(???) if (???>0.001): n = i+1 print("a_n 與 phi 在 n >= {} 時,差距小於 0.001".format(n)) import matplotlib.pyplot as plt print(fib) plt.plot(fib,'-o')
2 1.6180340 1.5537740 4 1.6180340 1.6118478 8 1.6180340 1.6179775 16 1.6180340 1.6180340 32 1.6180340 1.6180340