数列与 $\pi$ 的探究

课程介绍

目標

本节的 python + Math ，带大家来算算数列与用数列来探索 $\pi$。

数列就是体现程式“重复运算”的特性，要使用数列就需要理解抽象出“规律形式”的能力。

本节先从 Python 的 list 结构来探索数列，最后来用以下数列观察数列如何逼近 $\pi$。

課程架構

0. 前言与故事： $e = 1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots$

1. list 与数列：[15,5,16,16,28,32,51,38,26]

2. range 与等差数列： $1^3+ 2^3 + 3^3 + 4^3 =(1+2+3+4)^2$

3. for-loop 与三角垛数列： $1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)$

4. import math 与 pi 的探讨 ：$\frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots$

核心知識

• 語法

  • 熟練 list 的用法： [2i+1 for i in range(1,n)]

  • 熟練對 list 求和： sum([i for i in range(1,101) ])

  • 了解格式化輸出： "1/{0:5} = {1:9.7f}".format(i,1.0/i)

  • 引入函式庫：import math,

• 數學

  • 能製造等差數列並求其和

  • 能了解無窮數列有收斂與發散的區別

  • pi 的數列近似表達

• 思維與能力

  • 能觀察數列的關係，並寫出其表示式

  • 能分辨遞迴與迴圈的分別並了解其使用時機

課程內容

0 前言与故事

0.a Lotus 123

本次的 Python ＋ Math 要来谈数列。操作数列是我早期接触电脑的回忆。在 14 岁时(1995)时，有了一台黑白的二手电脑，可能是 386 或 486 的电脑，电脑有个试算表软体叫 Lotus123 ，那时电脑也没什么游戏，我只是用试算表来做些计算。

0.b 神秘有趣的数学

那时还蛮喜欢跑书店，就是员林车站对面的金石堂书店，我还记得二楼有个书架，摆放些科普书，关于数学的书也没几本，但其中有本很吸引国二时的注意，就是这本孙文先编译的《神秘有趣的数学》。

里面列举很多数学的各方面的知识，也没什么证明，但就提些比较特别的结论。有章节提到了数列，谈到

又提到

0.C 用 Loutus 初次探索数列

如同这书名，这对 14 岁的我就是感到神秘有趣，那时让我印象深刻的还有

竟然左式的无理数会等于右式的有理数之和！我当时拿到 Lotus 时，就想到可以去验证他，那时看到荧幕上出现结果与 $\frac{\pi^2}{6}$ 很靠近时，也真的很感动。有些事，虽然你理智上已经觉得他是正确，但实际操作见证时，就还是有不同层次的感觉。

算完平方的调和数列后，我就开始探索以下这数列：

竟然发现这串数列会靠近 $1.718281828...$ 而不是发散的情况，就感到很兴奋，我还记得隔天是周日早上，就拿着这自以为是新发现的成果去找数学老师。 现在想想也蛮好笑的，事隔 24 年这段天真的过程，还烙印在我脑海中。

1. list 与数列：[15,5,16,16,28,32,51,38,26]

1.a list 为一堆有顺序的资料：[1,2,3,4,5]

在 Python 中，list 是一串有顺序的资料，要制造 list 的方法很简单，就是把一串资料用 [ ] 包住，例如 [1,2,3,4,5]。

而 list 的结构，有包含些基本运算，例如 sum 求总和。

• 请执行以下程式码，并观察其结果

a = [1,2,3,4,5]
sum(a)

• 执行完后，更新数列为 1,4,9,16,25 并重新执行观察其结果。

• 以下为 1984 年后，中国队每届奥运金牌数量，请计算其总和。

15,5,16,16,28,32,51,38,26

1.b 计算数列平均

要求得数列的项数可以用 len 指令

• 请用 len(gold) 求上述数列共几项

在计算完总和后,要求平均,可以用 sum(a)/len(a).

其中 len 表示数列的长度(length), 也就是项数。

• 请计算 1984 年后，中国对奥运金牌的平均获奖数。

除了 sum, len 外，也有 max, min

也有个 sorted 函数可以排序

• 请计算 1,4,9,16,25 的平均

• 计算前请估算平均是否大於中位数 9

1.c 调整输出格式

当有多资料要输出时可利用 print

请分别输出以下两个数列的总和：

c1: 1, 2, 3, 4, 5

c2: 1, 8,27,64,125

可以在一个 print 内，输出多个资料，并用 , 分隔。 例如：

c1 = [1,2,3,4,5]
print(c1,sum(c1))

要在上述的输出再加入文字，可利用 format 的格式

1.d 取得数列的个别项与子数列

利用 index 可以取得某一元素在数列的位置(index)。

注意 list 的第一项的 index 为 0。

• 请找出 gold 的最大值在 list 的位置

• 请利用 1984 为第一项对应的年份，则最大值发生在那一年。（奥运四年举办一次）

若要取得数列 xxx 的第 k 项可用 xxx[k]

• 请执行以下程式，观察其 index 与这数在数列的位置

fib = [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]
print(fib[0],fib[5],fib[10])

利用 [-1] 则可以由后往前数

若 index 中放入不在 index 的范围内的数 则会有错误讯息。

【习题1a】数列的建立

以下哪些是 Python 内可以正确建立 list 的方式。

sa = {1, 3, 6, 10, 15, 21}
sa = {1; 3; 6; 10; 15; 21}
sa = [1, 3, 6, 10, 15, 21]
sa = [1 3 6 10 15 21]

【习题1b】计算平均

请完成以下程式来计算 [1,2,4,8,16,32,64] 的数列的总和与平均。

【习题1c】判断 index

请先想想以下程式码执行的结果。再执行一次程式来验证

【习题1d】奥运会金牌

以下为美国在 1984年后奥运会获得金牌的数量

83,36,37,44,37,36,36,46,46

请计算其平均获奖数，并列出其在 2008 年的获奖数

2 利用 for 製造有规律数列

2.a range 的使用

当我们想要运算 1+2+3+...+100 时，若直接输入 [1,2,3,4,...,100] 也太麻烦。

在 python 就要善用 range 这指令，你尝试输入以下指令来观看其结果

a1 = [k for k in range(1,10)]
a2 = [k**2 for k in range(1,10)]
print("数列",a1,"总和为",sum(a1))
# print("数列",???,"总和为",???)

• 注意这数列的首项、末项为多少？

• 这数列共有几项？

在 for 前面的式子，就是數學上的一般項。

当要输出偶数数列时就用 2*k 来表示 要输出 2的次方数列时就用 2**k 来表示

a3 = [ 2*k for k in range(1,11)] 
a4 = [ 2**k for k in range(1,11)] 

2.b Range 的参数省略

若要产生奇数数列该如何制造呢？

以下哪些可以制造出 1,3,5,7,9呢？

b1 =[ 3*k for k in range(1,5)] 
b2 =[ 2*k-1 for k in range(1,6)] 
b3 =[ 2*k+1 for k in range(1,6)] 
b4 =[ 2*k+1 for k in range(5)] 

• 请执行程式前先想想

在上述数列中， 使用 range(5) 其实与 range(0,5) 相同。

也就是当 range 只有一个参数时，只规定上界，而初始值为 0

• 已知西元 1900 年為鼠年，请列出 1900 年以後，生肖屬鼠的出生年。

2.c Range 的第 3 个参数

对於先前的 1,3,5,7,9 初了使用 2k+1, 2k-1 来表示外，

还可使用 Range 的第三个参数来调整。

• 执行前先想想，以下哪些可产生 1,3,5,7,9

c1 = [k for k in range(1,9,2)]
c2 = [k for k in range(1,10,2)]
c3 = [k for k in range(1,11,2)]
c4 = [k+1 for k in range(0,10,2)]

利用 range 的第三个参数，请输出一个 1900 到 2050 的鼠年。

并统计共几个鼠年。

2.d 計算 1+2+...+10000 会花很久吗？

• 計算 1~100 個連續整數和

d1 = [k for k in range(1,101)]
print(sum(d1))

在上述求和中，其实计算机是逐项相加。

虽然计算机的计算速度很快，但项数很多时，还是要占很多空间，与时间。

• 试着将项数改为 $10^4, 10^5,\cdots, 10^8$ 来观察其计算时间。

此时数学就扮演着重要角色

等差数列的和可用公式 $\frac{(1+n) n }{2}$ 来得到，

其推导的过程为『倒写相加』

对电脑而言，利用公式来计算，会比直接生成数列快很多。

所以多些数学背景是可以大大提升程式的执行效率。

【试验】请调整不同的 n 值来计算以下等差的求和

n= 100000000
print(n*(n+1)/2)

【补充】电影《丈量世界》中，有高斯计算 1+2+...+100 的课堂片段

[YouTube] Gauss 計算 1+2+...+100

【习题2a】等差数列

请试着用 list 的 for 来制造数列 1,4,7,10,...,31 并算其总和与平均

【习题2b】龙年

请试着写出一个数列来列出出 1900~2050 的龙年？（注意，1900年为鼠年，那哪年为龙年呢？）

• 解答中给了三种表示法，你可比较哪种表示法适合此题的叙述。

【习题2c】哈雷彗星

哈雷彗星的轨道周期约为 76 年。此慧星在 1608 年时被观测过，则接下来 10 次被观测的年份约为哪些年。

【习题2d】西洋棋与米粒

传说中，西洋棋的发明人向国王要了如下的奖赏

在第 $1$ 格放入 $1$粒米、在第 $2$ 格放入 $2$ 粒米、在第 $3$ 格放入 $2^2$ 粒米、 在第 $n$ 格放入 $2^n$ 粒米、

请计算所有米粒的数量和。

承上，假设每碗饭有 2000 颗米、每人一天吃了 3 碗饭，则这些米可供地球上 70 亿人吃多久？

3 for-loop 与三角垛数列 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)

3.a for-loop 来观察 1+3+5+...+(2n-1)

在前一节，要观察一个数列在不同项数时的变化，需重覆输入并修正程式码

odd5 = [2*k+1 for k in range(5)]
print(odd5, sum(odd5))
odd6 = [2*k+1 for k in range(6)]
print(odd6, sum(odd6)
odd7 = [2*k+1 for k in range(7)] 
print(odd7, sum(odd7)

上述程式码有很多重覆的结构，可用 for-loop 来简化。

请输入以下程式码

for n in [4,5,6,10]:
  odd = [2*k+1 for k in range(n)] 
  print(n, odd, sum(odd))

3.b 三角垛

利用 for 回圈，可以来计算出以下三角垛的数量。

第一层是 1 个、

第二层 1+2 个、两层共 1+(1+2)= 4 个。

第三层 1+2+3 个、三层共 1+(1+2)+(1+2+3) = 10 个。

第四层 1+2+3+4 个、四层共 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) = 20 个。

请问累积到第五层共多少个？

上式中的 sum([k for k in range(1,i+1)])

其實就是等差數列 $1+2+3+...+ i = \frac{i\cdot(i+1)}{2}$

因此程式码可改写如下

对于上述的 for-loop 也可用 list 的方式呈现

3.c 三角垛 与 for-loop

可对 triDuo 再用一层 for 来比较不同的 n 值

对上述的总和其实也可用公式 $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3\times 2\times 1}$ 来计算

• 请写个数列来显示 $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3\times 2\times 1}$

上列的总和竟然也可写为 $\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{1\times 2\times 3\times 4}$ !!!

用數學的 $\sum$ 表達有如下關係:

3.d 一尺之棰,日取其半,万世不竭

请计算以下数列的总和：

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} +\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$

可利用 {:2d}、{:10.8f} 来调整输出格式

【习题3a】立方和数列

请写个回圈比较以下两个数列的关系

【习题3b】n角数

(1) 下图为三角数，其圆圈的数量可表示为公差为 1 的数列和。

$1 + 2 + 3 + \cdots + n$

(2) 下图为四角数，其圆圈的数量可表示为公差为 3 的数列和。

$1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1$

(3) 下图为五角数，其圆圈的数量可表示为公差为 2 的数列和。

$1 + 4 + 7 + \cdots + 3n-2$

先观察第 2 层比第 1 层多 4 个，共 1 + 4 = 5 个。

先观察第 3 层比第 2 层多 7 个，共 1 + 4 + 7 = 12 个。

先观察第 4 层比第 3 层多 10 个，共 1 + 4 + 7 + 10 = 22 个。

(4) 下图为六角数，请列出每边有 $3 \sim 9$ 个数的六角数。

$1 + 5 + 9 + \cdots + 4n-3$

先观察第 2 层比第 1 层多 5 个，共 1 + 5 = 6 个。

先观察第 3 层比第 2 层多 9 个，共 1 + 5 + 9 = 15 个。

先观察第 4 层比第 3 层多 13 个，共 1 + 5 + 9 + 13 = 28 个。

• 請列出一个表格显示 數量為 $3 \sim 10$ 的 三角數、四角數、五角數、六角數。

【习题3c】四角垛

而 n 阶四角垛的总个数为 $1 +2^2+ 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2$ ，也可用公式来求 $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

• 请分别用数列的和与数学公式来验证上述公式。

【补充】上述图形也可表示

利用公式来代换也可得到

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} + \frac{(n-1)n(n+1)}{6}$

【习题3d】等比数列

• 请计算以下数列的总和

• 输出时利用 {:10.8f} 来控制小数点以下有 8 位。 $$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots +\frac{1}{3^{n-1}}$$

【数学】当 $r<1$ 时， $1+r+r^2+r^3+\cdots + r^n + \cdots$ 的极限为 $\frac{1}{1-r}$.

4 import math 与 pi 的探讨 ：$\frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdots$

4.a 调和数列

请计算下列算式到第 n 项的总和

$1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$

请利用 for 上述数列在 n = 10, 100, 1000, 10000 项的总和变化

将上述输出结果格式化

这个调和数列是发散数列。

但这数列的近似值为 $\log_e(n) + \frac{1}{2}$

请比较这两个数值的差。（要用 log 需要 import math）

4.b 调和平方数列

请计算比较下列算式到第 n 项的总和 $(n=10,100,1000,10000,100000)$

$1+ \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}$

请比较此数列的总和与 $\dfrac{\pi^2}{6}$ 的差距

4.c 交错数列

下列 $\pi$ 的近似数列公式为 格雷果理在 1671 年发现，而莱布尼兹在 1674 年发现。

请先输出 1,-1,1,-1,1,-1,1 的数列

请输出 $\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{7},\cdots$ 的数列

请输出 $\dfrac{1}{1},\dfrac{-1}{3},\dfrac{1}{5},\dfrac{-1}{7},\cdots$ 的数列

4.d 用乘法来估算 pi

约翰沃利斯在 1655 年发现了沃利斯乘积，是欧洲第二个无穷项圆周率公式。

请验算计算以下数列，先试着列出 2,2,4,4,6,6 与 1,3,5,7,9,13

使用 for-loop 将上述数逐项连乘再相除

利用 pyplot 来绘制 pyplot