Deux réservoirs couplés.
Le problème traité en cours mène à un système de deux équations différentielles linéaires à coefficients constants, à savoir
Nous avons résolu le système par substitution, nous avons isolé de la première équation puis remplacé, et ainsi obtenu une équation d'ordre 2, linéaire à coefficients constants en . Cette équation se résoud facilement (fait en classe).
À l'ordinateur on peut résoudre le système comme suit :
**Note : ** Sols
est une liste, le zéroième élément est , qui est une expression, pour accéder à la fonction elle-même, il faut prendre le coté droit de l'expression, ce qui se fait avec rhs
On peut penser que décrit une courbe dans l'espace. À elle commence au point correspondant aux conditions initiales, puis, à mesure que tend vers , les composantes et tendent vers
Le plan de phase
Il s'agit du plan , on laisse tomber, dans un certain sens, la variable . On peut aussi d'intéresser au graphique dans le plan de phase, c'est à dire le plan . En somme, il s'agit de la projection de la courbe ci-haut.
Plus illustratif encore : on peut tracer le champ de vecteurs donné par le système. En chaque point du plan on dessine un vecteur collinéaire à . Il indique la direction de la courbe tangente en chaque point.
Mais ce qu'il y a de mieux, c'est de considérer la courbe solution avec le champ.
Des requins et des sardines.
On a considéré le modèle qui décrit un système proie - prédateur. Si désigne le nombre de proies, et le nombre de prédateurs, le modèle de Lotka - Volterra s'écrit: où .
Il s'agit d'un système non-linéaire, mais on peut quand même dire quelque chose au sujet de la relatin entre et . Nous avons montré que où est donnée par les conditions initiales. Cette équation décrit une courbe. Ci-bas on la trace en prennant et
Le plan de phase
Plutôt que dessiner les deux fonctions et en fonction de , on peut faire une courbe paramétrique . C'est le diagramme de phase.
Comme avant, on peut aussi tracer le champ de vecteurs, ça nous dit en quel sens la courbe est parcourue.
Le système est non linéaire, de sorte qu'on ne peut pas le résoudre (facilement). Par contre, on peut demander à SAGE de le faire numériquement. La commande desolve_system_rk4
fait el boulot. Ici rk4
dit que c'est la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 qui est utilisée, chose à voir dans vos cours de méthodes numériques.
Cette commande produit une liste qui, dans notre cas contient des triplets . En manipulant ces listes on peut produire les courbes , , ou encore, dans le plan de phase, la courbe .