CoCalc Public Files201-303-AH / Fichiers Sage pour les Étudiants / Exemple 14 p 12.sagewsOpen with one click!
Author: Julien Giol
Description: Fichiers Sage
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Exploration

var('x')
x
f(x) = (1/2)*(x+6) # Fonction définissant la suite par récurrence show(f)
x  12x+3\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1}{2} \, x + 3
a1 = 2 # Le premier terme de la suite a2 = f(a1) # Le deuxième terme obtenu à partir du premier show(a2)
4\displaystyle 4
a3 = f(a2) # Le troisième terme obtenu à partir du deuxième show(a3)
5\displaystyle 5
a4 = f(a3) # Le quatrième terme obtenu à partir du troisième show(a4.n())
5.50000000000000\displaystyle 5.50000000000000

Utilisation du type tuple et d'une procédure pour calculer les n premiers termes de la suite

a = tuple([-2,2]) # On rajoute a0 = -2 qui donne a1 = f(a0) = 2 a # tuple (a0, a1)
(-2, 2)
y = f(a[1]) # Calcul de a2 a = a + tuple([y]) # Ajout de la valeur a2 à la suite du tuple a = (-2, 2) a
(-2, 2, 4)
a[2] # La valeur 4 est l'entrée d'indice 2 dans le tuple a à 3 entrées.
4
def suite_rec(f, a0, n): # Procédure pour construire les n premières valeurs de la suite. a = tuple([a0]) # On commence avec le tuple (a0) ... G = points([0, a[0]], color='darkgreen', pointsize=50) # et le point (0, a0) dans le graphique G. for i in range(0, n): # Pour tout i de 0 à n-1 ... a = a + tuple([f(a[i])]) # on ajoute f(ai) à la suite du tuple a ... G = G + points([i+1, a[i+1]], color='darkgreen', pointsize=50) # et le point (a_i+1, f(a_i+1)) dans G. return a, G # La procédure produit le tuple a et le graphique G.
a = suite_rec(f, -2, 20)[0] # Pour obtenir les 20 premiers termes de la suite (en plus de a0). show(a)
(2\displaystyle -2, 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4, 5\displaystyle 5, 112\displaystyle \frac{11}{2}, 234\displaystyle \frac{23}{4}, 478\displaystyle \frac{47}{8}, 9516\displaystyle \frac{95}{16}, 19132\displaystyle \frac{191}{32}, 38364\displaystyle \frac{383}{64}, 767128\displaystyle \frac{767}{128}, 1535256\displaystyle \frac{1535}{256}, 3071512\displaystyle \frac{3071}{512}, 61431024\displaystyle \frac{6143}{1024}, 122872048\displaystyle \frac{12287}{2048}, 245754096\displaystyle \frac{24575}{4096}, 491518192\displaystyle \frac{49151}{8192}, 9830316384\displaystyle \frac{98303}{16384}, 19660732768\displaystyle \frac{196607}{32768}, 39321565536\displaystyle \frac{393215}{65536}, 786431131072\displaystyle \frac{786431}{131072})
show(a[5]) # Pour obtenir le cinquième terme de la suite.
234\displaystyle \frac{23}{4}
show(a[5].n()) # Pour obtenir son écriture décimale.
5.75000000000000\displaystyle 5.75000000000000
show(a[20].n()) # Pour obtenir l'écriture décimale du vingtième terme.
5.99999237060547\displaystyle 5.99999237060547
G = suite_rec(f, -2, 20)[1] # Pour obtenir la représentation graphique des vingt premiers termes de la suite. G

Conclusion

On voit que la suite est croissante et majorée : donc elle converge.

Comme elle est définie par récurrence à l'aide de ff, elle converge vers un point fixe de cette fonction.

pt_fixe = solve(f(x)==x, x) # On résout l'équation f(x) = x show(pt_fixe)
[x=6\displaystyle x = 6]

Comme il n'y a qu'un seul point fixe, c'est forcément la limite de la suite. D'où : limn+an=6 \lim_{n\rightarrow+\infty}a_n = 6