SageMath (por exemplos)

SageMath é um software matemático livre e de código aberto (open-source), desenvolvido sob a licença GPL por uma comunidade de programadores e matemáticos, que busca ser uma alternativa para os principais sistemas proprietários de software matemático como o Magma, Maple, Mathematica e Matlab. Na instalação padrão do SageMath temos boa parte das bibliotecas (ou pacotes) que possibilitam trabalharmos com diversas áreas:

Pacotes de matemática contidos no SageMath

Álgebra	GAP, Maxima, Singular, Macaulay 2
Geometria algébrica	Singular, Macaulay 2
Aritmética de precisão arbitrária	MPIR, MPFR, MPFI, NTL, mpmath
Geometria aritmética	PARI/GP, NTL, mwrank, ecm
Cálculo	Maxima, SymPy, GiNaC
Combinatória	Symmetrica, Sage-Combinat
Álgebra linear	ATLAS, BLAS, LAPACK, NumPy, LinBox, IML, GSL
Teoria dos gráficos	NetworkX
Teoria dos grupos	GAP
Computação numérica	GSL, SciPy, NumPy, ATLAS, Scilab, GNU_Octave
Teoria dos números	PARI/GP, FLINT, NTL, Kash/Kant
Computação estatística	R, SciPy

Utilizando como sintaxe básica o PYTHON, podemos usar essa ferramenta com as mesmas funções e importando boa parte das mesmas bibliotecas que vinhamos usando.

Vejamos alguns exemplos para por em prática nossos conhecimentos de Python + SageMath.

[Exemplo 1: Álgebra linear] Balanço de Reações Químicas

Sabemos que o hidrogênio ( $H_2$ ) reage com o oxigênio ( $O_2$ ) para produzir água ( $H_2 O$ ). Mas, quanto de hidrogênio e oxigênio precisamos? Esta é uma mudança que podemos descrever do seguinte modo: $x$ moléculas de $H_2$ reagem com $y$ moléculas de $O_2$ produzindo $z$ moléculas de $H_2O$ , ou ainda

$x\, H_2 + y\,O_2 \, \rightarrow \, z\, H_2O$

Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento no final da reação.

$\left \{ \begin{matrix} 2x -2z & = & 0 \\ 2y - z & = & 0 \end{matrix} . \right .$

Vamos procurar o conjunto solução para este sistema de equações.

## Definindo as variaveis
x,y,z = var('x y z')

## Usando o comando "solve" para encontrar
## o conjunto solucao.
solucao = solve([2*x - 2*z == 0,2*y - z == 0],[x,y])

## Exibindo a solucao.
show(solucao[0])

[

\displaystyle x = z

\displaystyle y = \frac{1}{2} \, z

]

[Exercício 1]

Encontre o balanço das reações químicas:

(a) $N_2O_5 \rightarrow N2 + O_2$ ;

(b) $(NH_4)_2 CO_3 \rightarrow NH_3 + H_2O + CO_2$ .

### Resolva ...

[Exemplo 2: Um pouco de Álgebra] Matrizes de Permutação

Dada a matriz identidade de ordem $3\times 3$ dada por

$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

permutando as linhas obtemos as seguintes matrizes:

$P_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, P_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, P_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Para nos ajudar na legenda, vamos denotar $A = P_{12}$ , $B = P_{13}$ e $C = P_{23}$ .

Dada uma matriz arbitrária

$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix},$

Usando o produto de matrizes, temos:

### Vetores da base canonica e1, e2, e3.
e1 = [1,0,0]
e2 = [0,1,0]
e3 = [0,0,1] 

### Definindo as matrizes de Permutacao
P123 = matrix([e1,e2,e3])
P132 = matrix([e1,e3,e2])

P213 = matrix([e2,e1,e3])
P231 = matrix([e2,e3,e1])

P312 = matrix([e3,e1,e2])
P321 = matrix([e3,e2,e1])

### Mostrando as matrizes
show(P123,P132)
show(P213,P231)
show(P312,P321)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

### Efetuando os produtos com a matriz M
show(P123*M, P213*M, P132*M)

Error in lines 1-1
Traceback (most recent call last):
  File "/cocalc/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 1191, in execute
    flags=compile_flags), namespace, locals)
  File "", line 1, in <module>
NameError: name 'M' is not defined

### Sendo:
A = P123
B = P132

C = P213
D = P231

E = P312
F = P321

show(A*A,A*B,A*C,A*D,A*E,A*F)
show(B*A,B*B,B*C,B*D,B*E,B*F)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

[Exercício]

Com as informações obtidas, podemos preencher parte da tabela, complete-a.

$\begin{array}{c|cccccc} \ast & A & B & C & D & E & F \\ \hline A & A & B & C & D & E & F \\ B & B & A & D & C & F & E \\ B & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ C & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ D & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ E & ? & ? & ? & ? & ? & ? \end{array}$

Neste exemplo, abordamos o conjunto das Matrizes de Permutação. Há uma estrutura que tem o mesmo comportamento, é o Grupo de Simetrias dos vértices de um triângulo.

ou observando os apenas os eixos de simetria:

Uma outra forma de montar a tabela é:

### Definindo o grupo finito de simetrias
triangle = SymmetricGroup(3)

### Montando a tabela das multiplicacoes
triangle.cayley_table()

*  a b c d e f
 +------------
a| a b c d e f
b| b a d c f e
c| c e a f b d
d| d f b e a c
e| e c f a d b
f| f d e b c a

[Exemplo 3: Equações Diferenciais Ordinárias] Pendulo Simples.

Denota-se o ângulo formado entre a vertical e o braço de pêndulo. Faz-se as seguintes hipóteses:

O braço é formado por um fio não flexível que se mantém sempre com o mesmo formato e comprimento.
Toda a massa, m {\displaystyle m\,} , do pêndulo está concentrada na ponta do braço a uma distância constante L {\displaystyle L\,} do eixo.
Não existem outras forças a atuar no sistema senão a gravidade e a força que mantém o eixo do pêndulo fixo. (O movimento é portanto conservativo).
O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano xy.

Note que a segunda lei de Newton fornece a seguinte equação diferencial ordinária não-linear conhecida como equação do pêndulo:

$\dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + \dfrac{g}{L} \sin(\theta) = 0.$

Uma versão simplificada (para pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio) pode ser definida tomando $\sin(\theta) \approx \theta$ , produzindo:

$\dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + \dfrac{g}{L} \theta = 0.$

Será esta que vamos buscar uma solução através do SageMath.

T,t=var('T,t')
theta = function('theta', t)


L = 4    ## Comprimento da corda.
g = 9.8  ## acelaração da Gravidade

b = g/L


##### Período do Pêndulo : 
T=2*pi*(L/g)^(1/2)

print "t = ",T


#### Equacão do Pêndulo ########
equacao =diff(theta,t,t)+b*theta==0




#####################################
### Resolvendo a Equação Diferencial 
### com condição inicial  
### theta (0) = 2*pi/3  (i.e at t=0),  
### theta'(0) = 1      (i.e angular velocity=1) 
#####################################
solucao = desolve_laplace(equacao, dvar=theta, ivar=t, ics=[0,2*pi/3,1])
theta(t)=solucao

print "Solução da equação do pêndulo:"
show(solucao)

### Plotando a solução para a condição inicial dada.
plot(solucao,(0,T))

*** WARNING: Code contains non-ascii characters    ***


Error in lines 2-2
Traceback (most recent call last):
  File "/cocalc/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 1191, in execute
    flags=compile_flags), namespace, locals)
  File "", line 1, in <module>
  File "sage/calculus/var.pyx", line 133, in sage.calculus.var.function (build/cythonized/sage/calculus/var.c:1608)
    def function(s, **kwds):
TypeError: function() takes exactly 1 positional argument (2 given)

### Vamos agora plotar o campo de vetores associado a este problema.

### Definindo a variavel auxiliar "y".
y = var('y')

### Plotando o campo de vetores.
plot_vector_field((y,-b*(x)), (x,-4,4),(y,-4,4))

Error in lines 2-2
Traceback (most recent call last):
  File "/cocalc/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 1191, in execute
    flags=compile_flags), namespace, locals)
  File "", line 1, in <module>
NameError: name 'b' is not defined


x,y,z=var('x y z')
plot_vector_field3d((x*cos(z),-y*cos(z),sin(z)), (x,0,pi), (y,0,pi), (z,0,pi))

3D rendering not yet implemented