Écrire des mathématiques

L'écriture des mathématiques est un des aspects qui posent le plus de problèms aux étudiants débutants, mais aussi à des mathématiciens chevronés, comptant plusieurs années d'expérience. Pour débuter, vous aurez à écrire des textes mathématiques qui seront lus par votre enseignant et les auxiliaires d'enseignement. À priori vos lecteurs connaissent un peu plus de mathématiques que vous, et ils savent de quoi vous parlez : la plupart du temps ils peuvent comprendre (ou deviner) ce que vous voulez dire même si ce n'est pas ce vous dites. Ceci changera, autant apprendre à écrire les mathématiques correctement, à dire ce que vous voulez dire, dès le début du parcours universitaire.

Soyez précis

La précision est probablement la caractéristique la plus importante des mathématiques. L'utilisation d'un langage précis est. Malheureusement on voit souvent les mathématiques comme un long défilé de calculs et manipulations algébriques, les vrais mots étant évacués du portrait. Et pourtant : un écrit mathématique ne devrait en aucun cas être un défilé de calculs. Plutôt, une alternance de phrases complètes, correctement construites, qui donnent les idées, et certains calculs qui appuient ou illustrent ces propos

Quelques considérations et conseils

Un langage à part.

En plus des symboles, en mathématiques on utilise des notions, des concepts. Des termes comme premier, fonction, degré ou encore complet ont des significations bien précises en mathématiques, et ces mêmes mots ont aussi un sens en français "courant". Il est essentiel de prendre conscience de changement de registre, et d'utiliser les mots mathématiques en connaissant leurs sens, donc leurs définitions. Des fois même il arrive que certains mots aient des sens différents à l'intérieur même des mathématiques (degré est un bon exemple : unité de mesure angulaire, nombre d'aretes incidentes à un sommet, en théorie des graphes, puissance la plus haute apparaissant dans un polynôme... )

Phrases complètes.

N'importe quel langage exige qu'on construise des phrases complètes. Les mathématique ne sont pas l'exception, mais les notations mathématiques peuvent faire partie des phrases.

Pas bon :

• "Ainsi l'équation $3x+5$".

Ce n'est pas une phrase! Que veut-on dire? Il manque un verbe, pour commencer. Puis l n'y a pas d'équation, puisqu'il n'y a pas de symbole d'égalité. Au mieux, $3x+5$ est une expression, et en aucun cas une équation.

Bon :

On veut probablement dire quelque chose comme :

• De sorte que l'équation de la droite est $y=3x + 5$. ou encore

• Et donc on doit avoir $3x+5=0$, ce qui donne $x = -5/3$.

Où vivent les choses ?

Il s'agit d'un des problèmes les plus communs : un segment de droite n'est pas un nombre, une matrice n'est pas une fonction, un triangle n'est pas un nombre... Ces différents types d'objets on des attributs différents. En français on ne dira jamais "Mon vélo est 27". De même :

Pas bon :

• La fonction égale trois

• Si les catètes d'un triangle $T$ mesurent $5$ et $4$, alors $T=10$.

Ce qu'on veut probablement dire :

Bon :

• Lorsqu'on évalue la fonction $f$ en $x=5$ elle prend la valeur $3$, ou encore $f(5) = 3$

• Si les catètes d'un triangle rectangle $T$ mesurent $4$ et $5$ alors, l'aire du triangle $T$ est $10$.

Dosage des noms.

Il est très facile de tomber dans l'erreur d'écrire une phrase qui comporte plein de noms dont le sens est parfaitement connu par vous (le rédacteur) mais ignoré par le lecteur. Par exemple

Pas bon :

• Si on déplace le tout, ça se simplifie, et obtient notre réponse.

On veut probablement dire quelque chose comme :

Bon

• Après avoir regroupé tous les termes en $x$ du côté droit de l'égalité, et après simplification, on obtient notre réponse.

Il ne faut pas hésiter à donner des noms aux variables ou concepts qui seront utilisés par la suite, et il faut le faire de façon précise :

• Soit $T$ l'aire du triangle $ABC$

• Soit $\mathcal{D}$ la droite perpendiculaire à la droite $\mathcal{L}$ passant par le point $H$.

Aussi on pourra nommer des équations si on a besoin de s'y référer.

Utilisez un brouillon!

Un peu d'humilité! Personne n'obtient une rédaction acceptable d'une solution de problème du premier coup! Quand on résoud un problème, un fait des ébauches, des erreurs, des diagrammes, on barre un bout de ce qu'on a fait au préalable, on fait des flèches pour remettre les choses en ordre... Tout ceci est la matière première pour une solution. N'allez surtout pas remettre un écrit plein de de flèches pour indiquer le sens de lecture!

Aprennez $\LaTeX$!

L'utilisation d'ordinateurs a simplifié la vie des gens qui ont a écrire des textes. Pour les mathématiques c'est un peu plus compliqué. S'il est vrai que la plupart des éditeurs communs disposent d'un éditeur d'équations qui fait un travail raisonnable, le standard pour la production de textes mathématiques et scientifiques de qualité est $\LaTeX$.

Si on tient à utiliser un éditeur "usuel" (mais j'espère que ce ne sera pas le cas : tôt ou tard il faudra abandonner une telle chose), servez-vous de l'éditeur d'équations comme il faut.

Pas bon :

• Soit H_A le pied de la hauteur issue de A, on sait que 1/2/3 = 3/2, puis x1 = 2 et x3 = pi, de sorte que x1^2 = 4

• Soit x $\varepsilon$ R,

Notez que l'absence de parenthèses dans 1/2/3. C'est une horreur! Aussi $\varepsilon$ est une façon de faire la lettre grecque "epsilon". Le symbole d'appartenance est $\in$ ce n'est pas pareil!

Bon :

• Soit $H_A$ le pied de la hauteur issue de $A$, $\frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$, puis $x_1 = 2$ et $x_3 = \pi$ de sorte que $x_1^2 = 4$

• Soit $x\in \mathbb{R}$.

Apprendre $\LaTeX$ peut être un peu dur au début, mais le résultats valent la peine!