SharedProblema 10.17.sagewsOpen in CoCalc
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<h1>
    Problema 10.17
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    Para el sistema de etanoato de etilo(1)/n-heptano (2), a 343.15 K:
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    $ \ln \gamma_1 = 0.95 x_2^2,   \; \;   \ln \gamma_2 = 0.95 x_1^2 $
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    $ P_1^{sat} = 79.80 \textrm{ kPa}, \; \;   P_2^{sat} = 40.50  \textrm{ kPa}$
    
</p>
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    Suponiendo la validez de la ecuación de Raoult modificada, calcule:
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<ol type='a'>
    <li>$P$ de burbuja para $T$ = 343.15 K y $x_1  = 0.05$.</li>
    <li>$P$ de rocío  para $T$ = 343.15 K y $y_1 = 0.05$.</li>
    <li>Demuestre la existencia de un azeótropo a 343.15 K.</li>
    <li>¿Cuál es la presión y la composición del azeótropo?</li>
</ol>


Problema 10.17

Para el sistema de etanoato de etilo(1)/n-heptano (2), a 343.15 K:

lnγ1=0.95x22,lnγ2=0.95x12 \ln \gamma_1 = 0.95 x_2^2, \; \; \ln \gamma_2 = 0.95 x_1^2

P1sat=79.80 kPa,P2sat=40.50 kPa P_1^{sat} = 79.80 \textrm{ kPa}, \; \; P_2^{sat} = 40.50 \textrm{ kPa}

Suponiendo la validez de la ecuación de Raoult modificada, calcule:

  1. PP de burbuja para TT = 343.15 K y x1=0.05x_1 = 0.05.
  2. PP de rocío para TT = 343.15 K y y1=0.05y_1 = 0.05.
  3. Demuestre la existencia de un azeótropo a 343.15 K.
  4. ¿Cuál es la presión y la composición del azeótropo?
# ================ SOLUCIÓN =====================
html("<h2>Solución")        # Etiqueta html para que aparezca como encabezado

# Declara variables necesarias
%var x1, pt

x2  =  1 - x1

# Datos del enunciado
gamma1   =   e^(0.95*x2^2)
gamma2   =   e^(0.95*x1^2)

p1sat    =   79.80        # kPa
p2sat    =   40.50        # kPa

# ============= Parte a =============
html("<h3> a) P de burbuja")

x_1   =  0.05               # Dato del enunciado
x_2   =  1 - x_1

g1    =  gamma1(x1 = x_1)   # Evalúa gamma1 con x_1 (puesto que x2 = 1-x1) y lo guarda como g1
g2    =  gamma2(x1 = x_1)   # Evalúa gamma2 con x_1 y lo guarda como g2

p1    =   x_1*g1*p1sat      # Presión parcial del componente 1
p2    =   x_2*g2*p2sat      # Presión parcial del componente 2

P     =   p1 + p2           # Presión total

# Muestra el resultado con cuatro cifras significativas
show("$P = \sum_{i=1}^N x_i p_i^{sat} \gamma_i = $", n(P,digits=4), "kPa")
#print  "P = %.3g kPa" %(P)


# ============= Parte b =============
html("<h3> b) P de rocío")

y_1   =   0.05              # Dato del enunciado
y_2   =   1 - y_1

pt    =  1/(y_1/(gamma1*p1sat) + y_2/(gamma2*p2sat))   # P total como función de x1

f     =  x1 == y_1*pt/(gamma1*p1sat)          # Función a resolver

x_1   =  find_root(f, 0, 1)                   # Encuentra numéricamente la raíz de f entre 0 y 1

show(r"$P = \sum_{i} \frac{1}{\frac{y_i}{\gamma_i p_i^{sat}}} =$", n(pt(x1=x_1),digits=4), "kPa")
#print "P = %.3g kPa, x1 = %.3g" %(pt(x1=x_1), x_1)


# ============= Parte c =============
html("<h3> c) Demostración de azeótropo")

alfa     =  gamma1*p1sat/(gamma2*p2sat)

lim_x1_0 =  limit(alfa, x1=0)   # alfa.limit(x1=0)
lim_x1_1 =  limit(alfa, x1=1)   # alfa.limit(x1=1)

if (lim_x1_0 > 1 and lim_x1_1 < 1) or (lim_x1_0 < 1 and lim_x1_1 > 1):
    html(r"Se sabe que la volatilidad relativa es $\alpha_{12} \equiv \frac{y_1/x_1}{y_2/x_2}$")
    html("Existe un azeótropo porque")
    show(r"$\lim_{x_1 \rightarrow 0} \alpha_{12} =$", lim_x1_0.n(digits=3))
    show(r"$\lim_{x_1 \rightarrow 1} \alpha_{12} =$",lim_x1_1.n(digits=3))
    html("Un límite es mayor que 1 mientras que el otro es menor a 1, es decir, un componente es más volátil que el otro para un rango de concentraciones mientras el otro lo es para el resto de concentraciones de la mezcla.")


# ============= Parte d =============
html("<h3> d) Presión y composición del azeótropo")

P   =  x1*gamma1*p1sat + x2*gamma2*p2sat
plot(P, xmin=0, xmax=1, axes_labels=["$x_1$","$P$/(kPa)"])

html("Se observa que hay un valor máximo de $P$ dentro de los límites de $x_1$")

plot(derivative(P), xmin=0, xmax=1, axes_labels=["$x_1$","$\\frac{dP}{dx_1}$"])

x_az = y_az  =  find_root(derivative(P),0,1)        # Encuentra numéricamente la composición

show("$P^{az} = $", n(P(x1=x_az), digits=4), "kPa")
show("$x_1^{az} = y_1^{az} = $", n(x_az,digits=4))

Solución

a) P de burbuja

P=i=1Nxipisatγi=P = \sum_{i=1}^N x_i p_i^{sat} \gamma_i = 47.97\displaystyle 47.97 kPa

b) P de rocío

P=i1yiγipisat=P = \sum_{i} \frac{1}{\frac{y_i}{\gamma_i p_i^{sat}}} = 42.19\displaystyle 42.19 kPa

c) Demostración de azeótropo

Se sabe que la volatilidad relativa es α12y1/x1y2/x2\alpha_{12} \equiv \frac{y_1/x_1}{y_2/x_2}Existe un azeótropo porque
limx10α12=\lim_{x_1 \rightarrow 0} \alpha_{12} = 5.09\displaystyle 5.09
limx11α12=\lim_{x_1 \rightarrow 1} \alpha_{12} = 0.762\displaystyle 0.762
Un límite es mayor que 1 mientras que el otro es menor a 1, es decir, un componente es más volátil que el otro para un rango de concentraciones mientras el otro lo es para el resto de concentraciones de la mezcla.

d) Presión y composición del azeótropo

Se observa que hay un valor máximo de PP dentro de los límites de x1x_1
Paz=P^{az} = 81.37\displaystyle 81.37 kPa
x1az=y1az=x_1^{az} = y_1^{az} = 0.8570\displaystyle 0.8570