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Author: Juan Carlos Bustamante
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%md # MAT-298 Calcul vectoriel Nous avons vu comment changer l'ordre d'intégration pour les fonctions à deux variables. Dans ce cas, il y a seulement deux ordres d'intégration possibles. Pour les fonctions à trois variables, il y en a $6=3!$ ordres possibles, en général pour une fonction à $n$ variables il y a $n!$ ordres possibles. Tout comme pour les fonctions à deux variables, afin de changer l'ordre d'intégration, il convient d'abord de bien identifier la région sur laquelle on intègre. Voyons un exemple. **Exemple** : On considère l'intégrale $\displaystyle \int_{\mathcal{E}} f dV = \int_{-1}^1\int_{x^2}^1 \int _0^{1-y} f\ dz\ dy\ dx$. - Faire un graphique illustrant clairement la région $\mathcal{E}$. - Écrire les intégrales équivalentes dans les 5 autres ordres d'intégration. - Calculer les coordonnées du centre de masse de la région $\mathcal{E}$ si la densité est constante.

MAT-298 Calcul vectoriel

Nous avons vu comment changer l'ordre d'intégration pour les fonctions à deux variables. Dans ce cas, il y a seulement deux ordres d'intégration possibles. Pour les fonctions à trois variables, il y en a 6=3!6=3! ordres possibles, en général pour une fonction à nn variables il y a n!n! ordres possibles.

Tout comme pour les fonctions à deux variables, afin de changer l'ordre d'intégration, il convient d'abord de bien identifier la région sur laquelle on intègre. Voyons un exemple.

Exemple : On considère l'intégrale EfdV=11x2101yf dz dy dx\displaystyle \int_{\mathcal{E}} f dV = \int_{-1}^1\int_{x^2}^1 \int _0^{1-y} f\ dz\ dy\ dx.

  • Faire un graphique illustrant clairement la région E\mathcal{E}.
  • Écrire les intégrales équivalentes dans les 5 autres ordres d'intégration.
  • Calculer les coordonnées du centre de masse de la région E\mathcal{E} si la densité est constante.
var('u,v') from sage.plot.plot3d.plot3d import axes P=parametric_plot3d([u,v+(1-v)*u^2,0],(u,-1,1),(v,0,1), color='orange', opacity=0.45) T=parametric_plot3d([u,v+(1-v)*u^2,1-v-(1-v)*u^2],(u,-1,1),(v,0,1), color='darkblue', opacity=0.45) S=parametric_plot3d([u,u^2,v*(1-u^2)],(u,-1,1),(v,0,1), color='green', opacity=0.35) C=parametric_plot3d([u,u^2,1-u^2],(u,-1,1), color='darkgreen', thickness=5) C1=parametric_plot3d([u,u^2,0],(u,-1,1), color='orange', thickness=5) A=axes(1.2,0.5,color='red') show(P+T+S+C+A+C1 + text3d("x",(1.3,0,0),color='red')+text3d("y",(0,1.3,0),color='red')+text3d("z",(0,0,1.3),color='red'), frame=false,frame_aspect_ratio=[1,1,1])
(u, v)
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Des intégrales équivalentes sont 01yy01yf dz dx dy=1101x2x21zf dy dz dx=0101zyyf dx dy dz=\displaystyle \int_{0}^1 \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \int_0^{1-y} f\ dz\ dx\ dy = \int_{-1}^1\int_0^{1-x^2}\int_{x^2}^{1-z} f\ dy\ dz\ dx = \int_0^1 \int_0^{1-z} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f\ dx\ dy\ dz = \cdots Il y a deux autres, à savoir les ordres dy dx dzdy\ dx\ dz et dx dz dydx\ dz\ dy.

Pour ce qui est du centre de masse, nous avons qu'en général si E\mathcal{E} est une région de l'espace dans laquele la densité de masse est donnée par ρ=ρ(x,y,z)\rho = \rho(x,y,z), alors, la masse du solide est m=Eρ dV, m = \int_{\mathcal{E}}\rho\ dV, et les coordonnées du centre de masse, (x,y,z)(\overline{x},\overline{y},\overline{z}) sont données par les formules suivantes : x=1mExρ dV\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{E}} x \rho\ dV, y=1mEyρ dV\displaystyle \overline{y} = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{E}} y \rho\ dV, et z=1mEzρ dV\displaystyle \overline{z} = \frac{1}{m} \int_{\mathcal{E}} z \rho\ dV.

Dans notre cas la densité est constante, disons 11. Les expressions se calculent aisément, en utilisant l'ordre d'intégration dz dy dxdz\ dy\ dx (celui de la donnée originale du problème), et avec l'aide de SAGE:

var('x,y,z') xbar = integrate(integrate(integrate(x,z,0,1-y),y,x^2,1) ,x,-1,1); ybar = integrate(integrate(integrate(y,z,0,1-y),y,x^2,1) ,x,-1,1); zbar = integrate(integrate(integrate(z,z,0,1-y),y,x^2,1) ,x,-1,1); html('La valeur de $\overline{x}$ est $%s$'%latex(xbar)) html('. La valeur de $\overline{y}$ est $%s$'%latex(ybar)) html('. La valeur de $\overline{z}$ est $%s$'%latex(zbar))
(x, y, z)
La valeur de x\overline{x} est 00. La valeur de y\overline{y} est 835\frac{8}{35}. La valeur de z\overline{z} est 16105\frac{16}{105}

Exercice : Refaites l'exercice précédant, mais avec l'intégrale 0101x201xf dy dz dx\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{1-x^2}\int_0^{1-x} f \ dy\ dz\ dx. Il sera peut être utile de considérer la figure ci-ba

from sage.plot.plot3d.plot3d import axes var('u,v') P=parametric_plot3d([u,v*(1-u),0],(u,0,1),(v,0,1), color='orange', opacity=0.45)#le triangle de base, en orange T=parametric_plot3d([u,v*(1-u), (1-u^2)],(u,0,1),(v,0,1), color='darkblue', opacity=0.45)#la surface tout en haut, en bleu S=parametric_plot3d([0,u,v],(u,0,1),(v,0,1), color='grey', opacity=0.5)#le carré arrière, en gris. S1=parametric_plot3d([u,1-u,v*(1-u^2)],(u,0,1),(v,0,1), color='green', opacity=0.45)#la face latérale droite, en vert C=parametric_plot3d([u,0,v*(1-u^2)],(u,0,1), (v,0,1), color='red', opacity=0.35)#la face latérale gauche, en rouge A=axes(1.2,0.5,color='red') show(P +S + T + A +S1+C +text3d("x",(1.3,0,0),color='red')+text3d("y",(0,1.3,0),color='red')+text3d("z",(0,0,1.3),color='red'), frame=false,frame_aspect_ratio=[1,1,1])
(u, v)
3D rendering not yet implemented