MAT-298 Calcul vectoriel
Nous avons vu comment changer l'ordre d'intégration pour les fonctions à deux variables. Dans ce cas, il y a seulement deux ordres d'intégration possibles. Pour les fonctions à trois variables, il y en a ordres possibles, en général pour une fonction à variables il y a ordres possibles.
Tout comme pour les fonctions à deux variables, afin de changer l'ordre d'intégration, il convient d'abord de bien identifier la région sur laquelle on intègre. Voyons un exemple.
Exemple : On considère l'intégrale .
Faire un graphique illustrant clairement la région .
Écrire les intégrales équivalentes dans les 5 autres ordres d'intégration.
Calculer les coordonnées du centre de masse de la région si la densité est constante.
Des intégrales équivalentes sont Il y a deux autres, à savoir les ordres et .
Pour ce qui est du centre de masse, nous avons qu'en général si est une région de l'espace dans laquele la densité de masse est donnée par , alors, la masse du solide est et les coordonnées du centre de masse, sont données par les formules suivantes : , , et .
Dans notre cas la densité est constante, disons . Les expressions se calculent aisément, en utilisant l'ordre d'intégration (celui de la donnée originale du problème), et avec l'aide de SAGE:
Exercice : Refaites l'exercice précédant, mais avec l'intégrale . Il sera peut être utile de considérer la figure ci-ba