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Author: Gustavo de Oliveira
Views : 83
License: GNU General Public License v3.0
Description: Tutorial --- Trabalhando com vetores no SageMath

Vetores

Vetores no Sage são representados por objetos do tipo vector. Por exemplo, para criar um vetor com coordenadas (-1.5, 3.2, 4.6) e atribuí-lo à variável v, usamos o seguinte comando:

v = vector([-1.5, 3.2, 4.6])

Para imprimir na tela uma variável, simplesmente digitamos o nome da variável ou usamos o comando print:

v
(-1.50000000000000, 3.20000000000000, 4.60000000000000)
print(v)
(-1.50000000000000, 3.20000000000000, 4.60000000000000)

Para imprimir na tela uma variável em formato LaTeX, usamos o comando show:

show(v)
(1.50000000000000,3.20000000000000,4.60000000000000)\displaystyle \left(-1.50000000000000,\,3.20000000000000,\,4.60000000000000\right)

Tamanho de um vetor

Para obter o tamanho do vetor v, usamos o método length de v:

v.length()
3

Coordenadas de um vetor

No Sage, as coordenadas de vetores do Rn\mathbb{R}^n são indexadas de 0 a n-1. Por exemplo, se v é um vetor do R3\mathbb{R}^3, então as coordenadas de v são indexadas de 0 a 2, ou seja, v=(v0,v1,v2)v = (v_0, v_1, v_2).

Para obter o valor da coordenada j do vetor v, usamos o comando v[j]:

v = vector([5, 6, 7])
v[0]
5
v[2]
7

Podemos também modificar o valor de uma coordenada com o seguinte comando:

v[0] = 10 v
(10, 6, 7)

Copiando vetores

Para criar uma cópia de um vetor, usamos o comando copy:

w = copy(v)

Podemos comparar dois vetores usando o operador ==:

w == v
True

O seguinte comando modifica o valor da terceira coordenada de w (lembre que as coordenadas são indexadas a partir de 0):

w[2] = 10

Agora os vetores v e w são diferentes:

w == v
False

De fato

w
(10, 6, 10)
v
(10, 6, 7)

Vetor zero

O comando zero_vector(3) fornece o vetor zero do R3\mathbb{R}^3:

zero_vector(3)
(0, 0, 0)

Podemos atribuí-lo à variável zero, por exemplo:

zero = zero_vector(3) print(zero)
(0, 0, 0)

Vetores aleatórios

Muitas vezes é útil tomar um vetor qualquer. O comando random_vector(3) fornece um vetor do R3\mathbb{R}^3 em que as coordenadas foram escolhidas aleatóriamente:

random_vector(3)
(1, -1, 2)

Por definição, esse comando fornece um vetor cujas coordenadas são números inteiros. Se quisermos obter vetores cujas coordenadas são números do tipo float (grosso, números reais), usamos o comando

random_vector(RR, 3)
(0.626886543598588, -0.934346600400933, 0.500852131265992)

Podemos também selecionar um vetor cujas coordenadas são números racionais:

random_vector(QQ, 3)
(1/3, -5/6, 1/2)

Para calcular a soma de v e w usamos o comando v + w:

v = vector([1, 2, 3]) w = vector([5, 5, 5]) v + w
(6, 7, 8)

Analogamente, podemos calcular v - w:

v - w
(-4, -3, -2)

Multiplicação de vetor por escalar

Multiplicamos um escalar por um vetor usando o operador *. O comando 2*v calcula 2 vezes o vetor v, por exemplo:

v = vector([-1, 0, 3])
2*v
(-2, 0, 6)

Combinações lineares

Podemos atribuir vetores e escalares a variáveis:

u = vector([2, 0, 7]) v = vector([-3, 5, 1]) a = 2 b = -3

E depois calcular uma combinação linear de u e v:

w = a*u + b*v w
(13, -15, 11)

Gráficos de vetores

Consideremos dois vetores no plano:

u = vector([5, 1]) v = vector([1, 3])

Para criar o gráfico de um vetor com ponto inicial na origem, usamos o comando plot:

plot(u)

Para representar vários vetores em um mesmo gráfico, primeiro "somamos" os gráficos de cada um deles e armazenamos em uma variável. Por exemplo, somamos os gráficos dos vetores u, v e u + v e armazenamos na variável p:

p1 = plot(u, color='blue') p2 = plot(v, color='red') p3 = plot(u + v, color='green') p = p1 + p2 + p3

Em seguida, exibimos o gráfico p com o comando show(p):

show(p, axes_labels=['X', 'Y'])