����;� TeX output 1998.12.10:0945������ufv�������6fv������N�D��tG�G�cmr17�Newforms�7twith�inner�t��qwists��lύ���������X�Qcmr12�K.��Buzzard�and�W.�Stein�������ύ��s�Decem��rb�S�er��10,�1998��(lύ�����#�"V

cmbx10�Abstract��@�"�A���6�%��N�ffcmbx12�1��NL�In���tro�s3duction��q���6�K�`y
�3
cmr10�Doi,���Koik��!e,�Rib�M�et,�Shim�ura,�and���Y��eamauc�hi�ha�v�e�studied�newforms��&�b>
�3
cmmi10�f�ϑ�whic�h��
����6p�M�ossess�n2an��+�':
�3
cmti10�inner��5twist�.��!That�is,�ypfor�whic��!h�there�exists�a�non�trivial�primitiv�e����6c��!haracter�v����so�that��f�'��'!",�
�3
cmsy10�
�����eŹ=���d�f��h�for�v�some����X�2��eŹGal����(���,R�p 	u��Ӯ��,�"V
�3
cmbx10�Q���	u��=�Q�).�N�Let��A��Ȯ��2cmmi8�f��	�˹b�M�e�the����6ab�M�elian��-v��dDariet��!y�asso�ciated�to��f���(considered�only�up�to�isogen��!y).��uThen��A��Ȯ�f��	L�is����6simple�@�o��!v�er��Q�.���Inner�t�wists�of��f�nU�are�of�in�terest�b�M�ecause�they�can�giv�e�rise�to����6non��!trivial���decomp�M�ositions�of��A��Ȯ�f��	Y��o�v�er�a�nite�extension�of��Q�.��8F��eor�example,����6Koik��!e���used�the�theory�to�see�that�the�2�dimensional�ab�M�elian�v��dDariet�y��J���z�|{Ycmr8�0����(81)�����new�����6�is���isogeneous�o��!v�er����Q�(����e��p���	 ��e�p 
�����3�����)�to��E��;��)��E����������	W|�where��E�%V�is�an�explicitely�determined����6elliptic��fcurv��!e�o�v�er��Q�(����e��p���	 ��e�p 
�����3�����)�and���㵹is�the�non�trivial�automorphism.����GIn�
�this�pap�M�er�w��!e�w�ork�out�a�single�example.��It�is�hop�M�ed�that�the�ideas����6used�:�in�w��!orking�out�the�example�can�b�M�e�used�to�b�oth�nd�more�examples����6and��fpro��!v�e�a�con�v�erse�to�some�of�Rib�M�et's�theorems.�����6�2��NL�Theorems�ffof�Shim���ura�and�Rib�s3et��q�����6�Theorem�2�2.1�(Shim��tura).����v��L��p�et����N���;��1r��";�s;�k�b�>�
��0��b��p�e�inte�gers�such�that��s�j�N��l�and����6let��7�M�/��b��p�e�the�le�ast�c�ommon�multiple�of��N�1��,�
�r��Mޟ���2��
��,�and��7�r�M�s�.�C]L�et����(r�esp.�C]�	�)�b�e�a����6primitive���char��p�acter�mo�d��r�8��(r�esp.�	v�s�).�If����f�8c�=��
���ɖ�(��u
�3
cmex10�P��l��a���z�n���P�q��d�����n��	��2�
��S��Ȯ�k��#��(���z�0����(�N�1��)�;��1�	)��then��<1�����f����
�n���
��:=���������X��������(�n�)�a���z�n���P�q��d���z��n��	��2��S��Ȯ�k��#��(���z�0����(�M�1��)�;��1�	����z��2���)�:��<.����6�Pr��p�o�of.���XON�Prop�M�osition��f3.64�of�[�S��V].����܄d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������GAs��fa�sp�M�ecial�case�w��!e�ha�v�e������C31����*�ufv�������6fv���홊����6�Corollary�2�2.2.����.�L��p�et�`�2�����n������
��64��and�let����b�e�a�primitive�char�acter�of�c�onductor��
����6dividing��h�8�.�	��Then�\twisting�by���"�(i.e.,��the�map��f� �7!��J�f���
��`��)�pr��p�eserves����6�S��Ȯ�k��#��(���z�0����(2�����n���P�)�;��1�	)�.���1����6Pr��p�o�of.���XON�Put��f�r�X��=�
�8�in�the�theorem�and�note�that�������2��ʫ�=�1.���Y��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff�����R��GW��ee���in��!tro�M�duce�some�notation�in�order�to�recall�Rib�et's�Theorem.�� Let����6�E��9�=�
��Q�(�f�-��)�=��Q�(�a���z�1����;��1a���z�2���;�a���z�3���;��:�:�:��lŹ).���Let��;荒�&.�
�=��f�
��b�2���Aut����(�E����)�:��
���f�8c�=��f����
�n�����z�
��Y��;��y��some�� �+����z�
���g�:����6�It��is�kno��!wn�that��is�an�ab�M�elian�subgroup�of��Aut���(�E����).�ҿLet��F�
b�b�e�the�subeld��
����6of��f�E�G��xed�b��!y�.��G卍��6�R��p�emark���2.3.���u�йWhat��bis�[�F���:����Q�]�in�terms�of��and�#���1Aut��a(�E����)?���Em��!b�M�ed��E�(�in����6its�[Bnormal�closure��K�ȁ�.��rLet��H����8�G��=��Gal��T(�K�,�=�Q�)�[Bb�M�e�the�subgroup�of�auto-����6morphisms�%�whic��!h�preserv�e��E����.�[�Since�ev�ery�automorphism�extends,��E�Aut���n(�E����)����6is��Oa�quotien��!t�of��H�g�with�k�ernel��J�
��,��Tthe�subgroup�of��G��corresp�M�onding�to��E�$�via����6Galois�T�theory��e.��tNote�that��J�b5�is�normal�in��H�8Y�but�need�not�b�M�e�normal�in��G�.����6The�9�in��!v�erse�image�������K�cmsy8�0���of��in��H���is�a�subgroup�of�the�same�index�as�the�index����6of��f�in��Aut��4F(�E����).���Unless�I�mak��!e�a�mistak�e�computing�indices,�w�e�get���⍑{)/[�F����:�
��Q�]�=�[�G��:����z��0��=%�+�n��J�
��]�=���������[�G��:��J��]��=ڟ㦉p 4}��
��[����0�0��=%�+�n��J�D�:��J��]�����<�g=���������=�[�E��9�:��Q�]��=ڟ㦉p !aӟ
�����#������|���6whic��!h��fis�just�what�w�e�w�ould�exp�M�ect.����GF��eor��fa�primitiv��!e�c�haracter��'��of�conductor��c��dene���z���Z��g�d��(�'�)�
�=���O���	��c��
���������X���
΍��u�=1������'�(�u�)�e���z��2��I{iu=c���C�:��V��6�F��eor��f�
���;��1�t��2�
��,�let��l;���e��c�(�
���;��1�j�)�
�=�����w���=��g�d��(��������1���A��
���\|�)�g��(�
��(����e���1��$�����\|�))��=ڟ��p O{������g�d��(����e���1��$��
�x����\|�)�����T���:��-N��G�In�s�[�R��x]�there�is�an�explicit�description�of��End��4(�A��Ȯ�f��w�)�	��
��Q�s̹in�terms�of�gener-����6ators��fand�relations.���Let��X�@ݹb�M�e�the��E����-v��!ector�space��B���ťC�X���=����ş����X���
Pr��
��
�x��2�����&�E�~��n��X���z�
���3���6�where��fthe��X���z�
��	�are�formal�sym��!b�M�ols.���By�imp�osing�on�the��X���z�
��	�the�rules��;荍������X���z�
��Ȗ��n��e��������=���������
����(�e�)�X���z�
��Y��;���f�for��f�e�
��2��E�G��and��
��b�2����������������X���z�
��Y��X��Ȯ����������=���������c�(�
���;��1�j�)�X��Ȯ�
�x��������6�w��!e��fmak�e��X�@ݹin�to�an�asso�M�ciativ�e�algebra.������C32����
٠ufv�������6fv���홊����6�Theorem�2�2.4�(Rib�Y�et[�R��	q�]).�����c�Ther��p�e���algebr�a��X��<�is�a�c�entr�al�simple�algebr�a��
����6over���F��5�which�is�isomorphic�to��(�End��q��A�)�L��
��Q�.��UF��)urthermor��p�e,�i\the�߹2�-c�o�cycle�����6�c����c��p�orr�esp�onds�to�the�class�of��(�End��q��A�)�n��
��Q��in���Br���q(�F��V�)�
�=��H��������2���Ź(�F�M�;���1��4�p ����F����
c$��~������)�.��"�A���6�3��NL�Example���in�whic���h�the�endomorphism�ring�has����NL�order�ff�$X�Qffcmr12�2��in�the�Brauer�group��q���6�The��fc��!haracteristic�p�M�olynomial�of��T���z�3��fj�on��S���������new���S�2����g�(���z�0����(512))�is������]�(�x���z��2��.���n�6)���z��2����(�x���z��2�����2)���z��4����(�x���z��2���+�4�x��+�2)(�x���z��2�����4�x��+�2)����6Let�Z%�f�8c�=��
���ɖ�P��l��a���z�n���P�q��d�����n��	g�b�M�e�one�of�the�newforms�in�the�four�dimensional�k��!ernel��V���of����6(�T�������V�2���S�3����F��n�6)�����2����.���and��flet��E��9�=�
��Q�(�f�-��)�=��Q�(�a���z�1���;��1a���z�2���;�a���z�3���;�a���z�4���;��:�:�:��lŹ).��������6�Prop�Y�osition�2�3.1.����$��We�!�have��E�[�=�m��Q�(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;����1���"�p���
�2���"�p y��	ލ�3����l�)��and�the�c��p�omp�a-nions�!�of��f�O_�c��p�o-����6incide�iowith�the�twists�of��f��+�by�the�four�Dirichlet�char��p�acters�of�c�onductor����6dividing���8�.�	vIn�p��p�articular,���
�=��Gal��&�(�E���=�Q�)�.������6Pr��p�o�of.���XON�The���newform��f�ņ�and�its�companions�lie�inside�of��V�n�.���By�\m��!ultiplicit�y����6one",��V�^��has��dimension�4�so�[�Q�(�f�-��)���:��Q�]����4.���The��c��!haracteristic�p�M�olynomial����6of��f�T���z�7��fj�on��V�U�is�(�x�����2��.���n�8)�����2���so��a���z�3��ʫ�=�
�������"p���	 ���"�p y��	ލ�6����@and��a���z�7���=�
���2�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2����@so��E��9�=��Q�(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;����1���"�p���
�2���"�p y��	ލ�3����l�).����GLet�&����b�M�e�a�c��!haracter�of�conductor�dividing�8.��CBy�Theorem�2.1,�@(�f���
�oR���lies����6in����S���z�2����(���z�0���(512)).���In�fact,���it�m��!ust�lie�in��S���������new���S�2����g�(���z�0���(512))�b�M�ecause�if��f�s(�
�El���lies�in����6�S���z�2����(���z�0���(2�����n���P�))���for��n�
����6���then�Theorem�2.1�implies�that��f�8c�=�
�(�f����
�n��)��
�����lies�in����6�S���z�2����(���z�0���(2�����n���P�)),��fand�certainly�w��!e�can�tak�e��n�
����6.���So��fw�e're�done.����GAlternativ��!ely��e,��psince���the�image�of����is�con�tained�in��f�1�g�,��pthe��T���z�3��E��eigen�v��dDalue����6of�c�f�M�equal�������"p���	 ���"�p y��	ލ�6������.�	H�The�factor�(�x�����2��*B��j>�6)�����2��	�g�exactly�divides�the�c��!haracteristic����6p�M�olynomial��fof��T���z�3��fj�on��S���z�2����(���z�0���(512))��fso��f����
�n����m��!ust�b�e�a�companion�of��f�-��.���e��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GThe��f�q�d��-expansion�of��f��"�can�b�M�e�computed�to�b�e������6�f�8c�=�
��q�������^I��hIp���
~J��hI�p y��	����6�������q��d���z��3����+�^I2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��5���+�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��7���+�3�q��d���z��9��������hIp���
~J��hI�p y��	����6�������q��d���z��11��
�����2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��13�����6����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��15���+�4�q��d���z��17���+�����1��������6�R��p�emark���3.2.���u���f�K��is��the�rst�example�of�a�w��!eigh�t��2�newform�ha��!ving�trivial����6c��!haracter��ffor�whic�h��Q�(�a���z�n���P�)�is�a��pr��p�op�er��f�subeld�of��E�G��for�all��n�.��������6�Theorem�2�3.3.�����
�The�D�endomorphism�ring�of��A��Ȯ�f��	���is�a��2������2�D��matrix�ring�over����6a���quaternion�division�algebr��p�a�with�c�enter��Q�.������6Pr��p�o�of.���XON�W��erite���G��F�=��Gal���H(�E���=�Q�)�=��f�
���z�1���J�=�1�;��1
���z�2����;�
���z�3���;�
���z�6���g���where��
��Ȯ�d�����xes�������p���
6�����p ��	T��d������,�3�d��F�=����62�;��1�3�;��6.�-�Let�����Ȯ�d��ߨ�,���d��Ϲ=���1�;��1��2�b�M�e�the�four�Diric��!hlet�c�haracters�of�conductor������C33����?�ufv�������6fv���홊��6�dividing��f8,�where����Ȯ�d����corresp�M�onds�to�the�eld��Q�(������p���	 ����p ��	T��d������).���W��ee�ha��!v�e������� !I�f����0�m�=�����C/��f����
�n�����z�1�����������j���
���z�2����f�8c�=�
��q���+���n��hI�p������hI�p y��	����6������q��d���z��3������n�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��5���+�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��7���+�����1�������0�m�=�����C/��f����
�n�����z�2���������j���
���z�3����f�8c�=�
��q���+���n��hI�p������hI�p y��	����6������q��d���z��3�����+�n�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��5�����2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��7���+�����1�������0�m�=�����C/��f����
�n�����z��1���������j���
���z�6����f�8c�=�
��q������n��hIp������hI�p y��	����6������q��d���z��3������n�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����3�������q��d���z��5�����2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������q��d���z��7���+�����1�������0�m�=�����C/��f����
�n�����z��2�������G�The��fsums�are������n*�g�d��(����z�1����)��������=������j#1��������g���g�d��(����z��1��\|�)��������=������j#�e���z��2��I{i=�4������n��e���z��2��I{i�3�=�4�����=�
��i����(��i�)�=�2�i��������n*g�d��(����z�2����)��������=������j#�e���z��2��I{i=�8������n��e���z��2��I{i�3�=�8�������e���z��2��I{i�5�=�8���+��e���z��2��I{i�7�=�8�����=�
�2����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�����������g���g�d��(����z��2��\|�)��������=������j#�e���z��2��I{i=�8���ܹ+�n��e���z��2��I{i�3�=�8�������e���z��2��I{i�5�=�8�����e���z��2��I{i�7�=�8�����=�
�2�i����hI�p���	 ��hI�p y��	����2�������:������6�Th��!us��fw�e�can�compute��������c�(�
���z�i��d��;��1
���z�j��f
�)�
�=������e��=��g�d��(����z�
��8:�;�cmmi6�i���
8�)�g��(����z�
��8:�j���ˡ�)��=ڟ�߉p :�}�
���
���g�d��(����z�
��8:�i��,r�
��8:�j���Xٹ)�����@A��:��$䍑6�F��eor��fexample,��x����]��c�(�
���z�2����;��1
���z�3���)�
�=���������=�2�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������n�2�i��=ڟ㦉p %;�?~����2�i�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2��������-��=�2���\��6By��eTheorem�2.4�w��!e�obtain�a�presen�tation�of�(�End��q��A�)����
��Q�.�p�Note��ethat��
����6�c�(�
���z�i��d��;��1
���z�j��f
�)�
�=��c�(�
���z�j���;��1
���z�i��dڹ)��so�that�the�generators��X���z�
��y+�comm��!ute.���The�endomorphism����6ring��fis�not�comm��!utativ�e��fas��E�G��do�M�es�not�comm��!ute�with��X���z�
��	�for�non�trivial��
����.����GThe���2-co�M�cycle��c��represen��!ts�the�elemen�t�of�the�Brauer�group��Br��(�Q�)�cor-����6resp�M�onding�-�to�(�End��q��A�)�}��
��Q�.���W��ee�-�ask,�E�do�es�this�elemen��!t�ha�v�e�order�1�or�order����62?���Let��f�K��(�=�
��Q���z�2����(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;����1���"�p���
�2���"�p y��	ލ�3����l�).�Then,�b��!y�inf-res,��c��arises�from�an�elemen�t�of������@�H������z��2���Ź(�Gal��(�K�,�=�Q���z�2����)�;��1K��ȁ��z�������)�
��!���Br��.(�Q�)�:����6�Note��that�inf��is��injectiv��!e�b�M�ecause�of�Hilb�ert's�Theorem�90;�"Qsee�Prop�osition����66��fon�page�156�of�[�SE��
�].����GI��fthink�that��c��m��!ust�ha�v�e�order�dividing�2�and����c4�H������z��2���Ź(�Gal��(�Q���z�2����(����hI�p���	 ��hI�p y��	����2������)�=�Q���z�2���)�;��1�Q���z�2���(����hI�p���	 ��hI�p y��	����2����)���z����x�)�
����H������z��2���Ź(�Gal��(�K�,�=�Q���z�2����)�;��1K��ȁ��z�������)����6is�0�the�unique�subgroup�of�order�2�of��Br��<�(�Q�),�Hyhence��c��m��!ust�lie�in�it.���Using�the����6Lo�M�cal���sym��!b�ol�in�Chapter�XIV���of�w��!e�can�write�do�wn�the�nonzero�elemen�t�of����6�H��������2���Ź(�Gal��(�Q���z�2����(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2������)�=�Q���z�2���)�;��1�Q���z�2���(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2����)�������x�).������C34����(^�ufv�������6fv���홊��G�Let��{�G�����0��XV�=���Gal���(�Q���z�2����(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2������)�=�Q���z�2���)��=��f�1�;��1�=O�g�.��What�is��c��as�a�map��G�����0��ֈ��O�G�����0��XV�!��
����6�Q���z�2����(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2������)�������x�?���W��ee��fha��!v�e:������tZ~�c�(1�;��1�1)�
�=�1�;��fc�(1�;��=O�)�=��c�(����;��1)�=�1�;��fc�(����;��=O�)�=���4�:����G�This��is�precisely�the�2-co�M�cycle�giv��!en�b�y�the�lo�M�cal�sym�b�M�ol�(2�;��1��4);���see����6W��eashington's��&article�[�W��A].�+Th��!us�this�co�M�cycle�is�trivial�i���4�is�a�norm�from����6�Q���z�2����(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2������).���If�����4�is�a�norm�then�so�is���1�and�hence���1����2��Q���z�2���(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2������).���But���this����6is�kimp�M�ossible�as�the�ramication�degree�of�2�in��Q�(�����"�p���	 ���"�p y��	ލ�2�������;��1i�)�is��e�R��=�4,��Mso�kthat����6the���lo�M�cal�degree�of�2�is�4.�NITh��!us�w�e�nally�conclude�that��c��is�non�trivial�and����6hence��fobtain�the�theorem.���ⵙ�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����"�A��6�References��q�����6�[D]���{�K.�N�Doi,�`+M.�Y��eamauc��!hi,��On��'the�He��p�cke�op�er�ators�for�����z�0����(�N�1��)��and����{�class�[�elds�over�quadr��p�atic�numb�er�elds�,�)�J.�
�Math.�So�M�c.�Japan,����{��25��f�(1973),�629{643.��������6[K]���{�M.���Koik��!e,�?��On�ԋc��p�ertain�ab�elian�varieties�obtaine�d�fr�om�new����{�forms�� of�weight��2��on�����z�0����(3�����4���)�� �and�����z�0����(3�����5���)�.�,��PNago��!y�a���Math.�J.,����{��62��f�(1976),�29{39.������6[R]���{�K.��&Rib�M�et,���Twists��qof�Mo��p�dular�F��)orms�and�Endomorphisms�of����{�A��\b��p�elian���V��)arieties�,��fMath.�Ann.��253�,�(1980),�43{62.������6[SE]���{�J.P��e.��fSerre,��L��p�o�c�al���Fields�,��fSpringer-V�erlag,�(1979).������6[S]���{�G.��Shim��!ura,�0'�Intr��p�o�duction�PMto�the�A��\rithmetic�The��p�ory�of�A�uto-����{�morphic���F��)unctions�,��fPrinceton�Univ��!ersit�y��fPress,�(1994).������6[W]���{�L.C.�}�W��eashington,���Galois���Cohomolo��p�gy�,�In�\Mo�M�dular�F��eorms����{�and���F��eermat's�Last�Theorem",�
Q*Ed.'s�Cornell-Silv��!erman-����{�Stev��!ens,��f(1997).������C35����8���;�ufv�
�,�"V
�3
cmbx10�+�':
�3
cmti10�(��u
�3
cmex10�'!",�
�3
cmsy10�&�b>
�3
cmmi10�%��N�ffcmbx12�$X�Qffcmr12�#�"V

cmbx10��K�cmsy8�;�cmmi6��2cmmi8�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�K�`y
�3
cmr10�Ac�����