Sharedwww / thesis.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.07.16:0013������y�����?����0���K�.�D��t�HG�cmr17�Computing���with�mo��adular�forms����V�Dand���mo��adular�ab�elian�v���?arieties��'k֍���1�X�Qffcmr12�U.C.��/Berk���eley�Ph.D.�Dissertation��,�������K�X�Qcmr12�William��A.�Stein���������O�July��16,�1999�����*�y�����?���4��>�$��N��Hcmbx12�Preface��4��>�K�`y

cmr10�Univ���ersit�y�UUof�California,�Berk���eley�k���%�-�

cmcsc10�William.���A.��Stein����>�July��*�,�UU1999������1������y�����?���4��>�Con��8�ten�ts��>���>�&�"V

cmbx10�1��MExplicitly��Tconstructing�mo�Q�dular�forms����4������M�1.1��dMo�Gdular�UUsym���b�ols�?����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����4������d1.1.1���The�UUdenition�of�mo�Gdular�sym���b�ols��a����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����4������d1.1.2���Mo�Gdular�UUsym���b�ols�are�dual�to�mo�dular�forms������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����5������d1.1.3���Linear�UUOp�Gerators������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����6������d1.1.4���Manin�UUsym���b�Gols�Ɔ����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����7������M1.2��dMetho�Gd�UUof�graphs�Ս���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������M1.3��dArithmetic�UUof�quaternion�algebras�x����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������>�2��MMo�Q�dular��Talgorithms�����9������M�2.1��dBasis�UUof�eigenforms�y����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.2��dMo�Gdular�UUdegree������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.3��dCongruences�?�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.4��dP���erio�Gd�UUlattices�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.5��dRational�UUparts�of�sp�Gecial�v��q�alues�of��
�b>

cmmi10�L�-functions�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.6��dComp�Gonen���t�UUgroups��͍���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������M2.7��dImplemen���tation�������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������>�3��MMotiv��\rating��Tproblems��ը�10������M�3.1��dVisisibilit���y�8�of�Shafarevic�h-T��*�ate�groups�and�the�Birc�h�and�Swinnerton-����dDy���er�UUconjecture��ō���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����10������M3.2��dMo�Gdularit���y�UUof�a�complex��A����ٓ�Rcmr7�5���ȲGalois�represen�tation�>ፍ��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����10������M3.3��dRational�UUp�Goin���ts�on��X����0��|s�(�p�)�o�v�er��Q�(���1DF��

cmmib10�����$�q��	0e�rcmmi7�p���v�)�!��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����10������M3.4��dSerre's�UUconjecture�mo�Gdulo��pq�[ٲ?�H.����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����10������>�4��MT��
�ables��z`11��������2������y�����?������>�7��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����W�The�UUob��8ject�of�n���umerical�computation�is�theoretical�adv��q�ance.����;�B{�8�':

cmti10�A.��=O.�L.���A���tkin����M�The���main�goal�of�this�thesis�is�to�presen���t�metho�Gds�to�explicitly�compute����>with�֬mo�Gdular�forms,�7Hec���k�e�֬op�erators,�7and�the�ab�elian�v��q�arieties�attac���hed�to����>them.���The�e�denition�of�the�spaces��S����k��됲()�of�mo�Gdular�forms�as�functions�on�the����>upp�Ger��half�plane�satisfying�a�certain�equation�is�v���ery�abstract.�K�The�denition�of����>the��Hec���k�e�op�Gerators�ev�en�more�so.�P�Nev�ertheless,��one�w�an�ts�to�carry�out�explicit����>n���umerical�UUin�v�estigations�on�these�ob��8jects.����MW��*�e���are�fortunate�that�w���e�no�w�ha�v�e�metho�Gds�a�v��q�ailable�whic�h�allo�w�us�to����>transform��Rthe�v���ector�space�of�cusp�forms�of�giv�en�w�eigh�t�(at�least�2)�and�lev�el����>�N���in���to���a�concrete�ob��8ject,��Qwhic�h�can�b�Ge�explicitely�computed.�J�W��*�e�ha�v�e�the�w�ork����>of��lA���tkin-Lehner,���Birc�h-Swinnerton-Dy�er,�Cremona,�Manin,�Mazur,�Merel,�T��*�ate,����>and���man���y�others�to�thank�for�this�[�BK75���w,��Cre97��,N,��Mer94��].�6�The�Eic�hler-Selb�Gerg����>trace�~"form���ula,��Tas�extended�in�[�Hij74��UZ],�can�b�Ge�used�to�compute�c���haracteristic����>p�Golynomials�h�of�Hec���k�e�h�op�erators�and�hence�gain�some�information�ab�out�spaces����>of�|�mo�Gdular�forms.�)�Other�metho�ds�include�computing�the�Hec���k�e�|�op�erators�and��q�[ٲ-����>expansions�using�Brandt�matrices�and�quaternion�algebras�as�in�[�Koh98��U[,��Piz80��,,�����>Piz76a��[!,���UPiz76b�� k�,���UPiz76c��O<],��or��Uthe�mo�Gdule�of�enhanced�sup�ersingular�elliptic�curv���es����>as��6exploited�b���y�Mestre-Oesterl���Ge�[�Mes86���<].�7�Though�eac�h�of�the�ab�Go�v�e�metho�Gds�are����>b�Geautifully�N�suited�to�certain�applications,�Pw���e�follo�w�the�approac�h�of�Cremona's����>b�Go�ok�UU[�Cre97���X]�in�viewing�mo�Gdular�sym���b�ols�as�cen���tral.����MChapter��1�reviews�the�literature�on�mo�Gdular�curv���es,���mo�dular�sym���b�ols,���the����>metho�Gd�*cof�graphs,�_�and�quaternion�algebras.���Chapter�2�then�giv���es�sev�eral�al-����>gorithms,�ʸsome��>p�Gossibly�new.���This�thesis�has�as�its�cen���tral�motiv��q�ation�sev�eral����>fascinating��2op�Gen�problems.�y^In�Chapter�3�w���e�presen�t�the�results�of�our�in�v�esti-����>gations�UUin���to�the�follo�wing�questions/conjectures:�������M�
!",�

cmsy10�����W�Visibilit���y�MPof�Shafarevic�h-T��*�ate�groups�and�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er����Wconjecture��for�analytic�rank�zero�mo�Gdular�ab�elian�v��q�arieties.��V(Join���t�with����WA.�UUAgashe�and�B.�Mazur.)�������M�����W�The�#$Artin�conjecture�on�mo�Gdularit���y�of�t�w�o�dimensional�complex�Galois����Wrepresen���tations.�q�(Join�t�UUwith�K.�Buzzard.)�������M�����W�Rational�l<p�Goin���ts�on�the�mo�dular�curv���e��X����0��|s�(�p�)�o�v�er�the�eld��Q�(�������$�qƴp���v�).��|(Join�t����Wwith�UUL.�Merel.)�������M�����W�A���p�Gossible���extension�of�Serre's�conjectures�to�Galois�represen���tations�mo�d-����Wulo�UU�pq�[ٲ.�q�(Join���t�with�B.�Mazur.)������3����F�y�����?���/��>�:��N��qcmbx12�Chapter��
1��2��>�Explicitly�	T{constructing����>mo��
dular�	T{forms��4��>�In���tro�Gduction�UUto�bac�kground.��!č��>�1.1��b�cMo�s3dular�ffsym���b�ols�����>�Mo�Gdular��sym���b�ols�can�b�e�used�to�compute�a�Hec���k�e�mo�Gdule�whic�h�is�closely����>related�*�to�the�space�of�mo�Gdular�forms�of�giv���en�w�eigh�t��k������2�for�an�y�congruence����>subgroup����of��SL�������2��,��(�Z�).�	pIn�this�section�w���e�review�the�theory�of�Manin�and����>Shokuro���v.�q�Our�UUpresen�tation�follo�ws�[�Cre97���X,��Mer94���u].����MFix���a�nite�index�subgroup�������SL����S���2��Ʋ(�Z�)���and�a�p�Gositiv���e�in�teger��k�P��.�R�If��k�H��is�o�Gdd,����>assume�UUthat���1���62���UU(otherwise�the�theory�is�empt���y).���6���>�;��N�cmbx12�1.1.1��[email protected]The��denition�of�mo�`dular�sym��b�ols��uT��>�Let������4�Ɍ

cmbsy10�M���	�b�Ge���the�torsion�free�ab�elian�group�generated�b���y�sym�b�Gols��f��	z;������g��with����>��	z;����N4�2���P���^��1��|s�(�Q�)�=��Q�8�[�f1g�UU�sub��8ject�to�the�follo���wing�relations����t�4�f��	z;������g�8�+��f��;���
��8�g��+��f�
�;����	z�g���=�0�;�����all��&㏵�;�����;�
�UP�2���P������1��|s�(�Q�)�:����>�Th���us���\I�M���Ͳcan�\Ib�Ge�obtained�from�the�free�ab�elian�group�on�sym���b�ols��f��	z;������g��b���y����>quotien���ting��out�b�y�the�ab�Go�v�e�3-term�relations�and�then�b�y�the�torsion�subgroup����>of�UUthe�quotien���t.�q�In�particular,��f��	z;������g���=��f��;����	z�g�UU�and��f��;�����g���=�0.�q�Next�UUlet��������;�M������v���k���w�=���V����k�+B�O!�cmsy7��2��`�
���8��M������>�where�ℵV����k�+B��2���h���d�Z�[�X�:�;���Y�8�]�is�the�subgroup�of�homogeneous�p�Golynomials�of�degree����>�k��w��8�2.������4����%��y�����?������M�Dene�UUan�action�of��g�"�=�������b���u

cmex10���������	�a���w$b���\q���	h�c���$md������ǟ��b����U6�2����GL��������2��\p�(�Q�)�on��P�*��2���V����k�+B��2��}Y�b���y���鍍���m�g�[�P�c��(�X�:�;���Y�8�)������ �=������繵P���7���^�����
j��det���N;(�g�[ٲ)�g��������1���������^������d���i�X��������Y�����1/���^�����$�����^����������� ��=������繵P���7���^�����
j����^�����d���:c�d���'���b���������c���+Fda�����3����^������<�����^�����d���DWp�X������D��Y�����Mi6���^�����TŪ���^����������� ��=������繵P�c��(�dX�¸�8�bY��9;�����cX��+��aY�8�)�:�����ލ�>�This�UUis�a�left�action�b�Gecause�������+�(�g�[�h�)�P�c��(�v��)��������=������h�P�c��(��det���
�(�g�[�h�)(�g�h�)�������1��
�t�v��)�����������=������h�P�c��(��det���
�(�h�)�h�������1����g�det���J�(�g�[ٲ)�g��������1��M�v��)�����������=������h�g�[�P�c��(��det���
�(�h�)�h�������1��
�t�v��)��=��g�[ٲ(�hP��(�v��))�:�����ލ�>�Dene�UUan�action�of��g��.�on���В�2���P���^��1��|s�(�Q�)�b���y�fractional�linear�transformation:��������z�g�[��В�=�����<$���K�a�BZ�+�8�b���K�w�fe;՟	(֍��c�BZ�+�8�d�����$0k�2���P������1��|s�(�Q�)�:��,��>�Dene�UUan�action�of��g��.�on����M��������k��]u�b���y������	�g�[ٲ(�P��o�
�8�f��	z;������g�)��=��g�P��o�
�8�f�g��	z;���g����g����>�and�UUextending�linearly��*�.����MLet�����M��������k��ȓ�()��b�Ge�the�torsion-free�quotien���t�of����M��������k���[�obtained�b�y�imp�Gosing�the����>relations�,��g�[�x�-��=��x��for�all��x��2����M��������k��
�and�all��g����2��.��OTh���us����M�������k���M�()�is�the�largest����>torsion�UUfree�quotien���t�of����M��������k��]u�on�whic�h��acts�trivially:���ލ���q<G�M��������k�����()��:=��H����0��|s�(�;������M����q���k��]s�)�=�(�torsion��Z)��(group�UUhomology)��bf�:����>�W��*�e���call�the�elemen���ts�of����M�����%���k�����()��mo�Q�dular���sym��9b�ols�of�w��9eigh�t��k�ޖ�for��,�and����>denote�UUb���y��P�c��f��	z;������g��the�image�of��P��o�
�8�f��;������g��in����M��������k�� �().��鲍��>�1.1.2��[email protected]Mo�`dular��sym��b�ols�are�dual�to�mo�dular�forms��uT����>�Theorem��T1.1.�������Ther��}'e���is�a�nonde�gener�ate�p�airing��BJ������Ke�(�M����k��됲()�8������}�fe�T����S�����4���k��
�IJ())������M�������k��뫲()����x[����h�]��;��i�����������������	����������������>���������������������������������������������������������������������������������������������������!����@���C���������qò(1.1)��������>�given���by��z���n�8�h�f�Lo��8�g�[�;���P�c��f��	z;����gi���=����c��Z�����i������@��UR���֧�f���(�z�p��)�P��(�z�;����1)�dz��w�+��8��c��Z�����i��8���@������Ho�g�[ٲ(���~��fe��g��z����)�P��(���~��fe��g��z���;����1)�d���~��fe��g�z�������>�wher��}'e���the�inte�gr�al�is�along�any�ge�o�desic�p�ath�fr�om����a�to�����.��������>Pr��}'o�of.���]UI�Merel���{�but�for�the�Eisenstein�part�I'm�guessing�and�b�Getter�c���hec�k���this!����>I�UUshould�c���hec�k�UUdirectly�here�that�the�pairing�is�w���ell-dened.���L���ff����d�ff�Y��ff����ff��������5����-M�y�����?�������>�1.1.3��[email protected]Linear��Op�`erators��uT��>�In�UUthis�section�w���e�assume���=�����0��|s�(�N��)�UUor�����1���(�N��).���6��>�Hec��9k�e��Top�Q�erators����>�Let�/��36����GL���L���2��Ȏ�(�Q�)�b�Ge�a�subsect�suc���h�that����^���1��者=��and�suc���h�that��n��is����>nite.��Let�m�R��b�Ge�a�set�of�represen���tativ�es�mof��n�,�K�and�for��x���2����M�����П��k���`�(),�dene����>�T������ɲ(�x�)��=������P���
US���@��2R�����`�x�.�q�W��*�e�UUobtained�a�w���ell-dened�linear�map�����Q8�T������	��:�����M�����S���k��y�()�����������!�����M�����S���k���()����MAssume�$that��is�either�����0��|s�(�N��)�or�����1���(�N��).��3Let�����n��	��2�o�M����2���(�Z�)�b�Ge�the�set�of����>matrices��of�determinan���t��n��suc�h�that��N��3�j���c��and�(�N���;���a�)�=�1�(if��=�����1��|s�(�N��)�imp�Gose����>the���additional�condition�that��N�X9�j�A�(�a�6|���1)).��Dene���the��n�th�Hec���k�e���op�Gerator����>�T����n��8��:=���T�������O
�\cmmi5�n����5�.�q�When�UU�n��=��p��is�prime,�the�Hec���k�e�op�Gerator�is�th�us��"
����Y�T����p���R�(�x�)��=�����Z���2����4�����	qğ��^�����d����8�p����8�0�������80����81�����$�9���^����.k��+���������X�����8�r��h�mo�7d��T(�p�����&
����^������d���-i��1���<��r������-i��0���<i��p�����Aq����^�������Z��H�q3����H�q5�����Vp�x��"��>�(omit�UUthe�rst�matrix�if��p���j��N��).������>�Prop�Q�osition��T1.2.����?�The�=�p��}'airing�(1.1)�r�esp�e�cts�the�action�of�He�cke�op�er�ators:����>�h�f��T����n��q~�;���x�i�ֲ=��h�f��V;�T����n��q~�x�i���for�al���l�He��}'cke�op�er�ators��T����n��q~�,��Nsymb�ols��x�ָ2����M��������k��ˡ�()�,��Nand��mo�d-����>ular���forms��f�ڧ�2���M����k��됲()�8������}�fe�T����S�����4���k��
�IJ()�.����>�The��T��-in��9v�olution��uT��>�The�i�matrix��J��Q�=�������b�����UU���	��1���
q0����.���'0���
q1����������b����"���denes�an�in���v�olution�iȸ��of����M����1���k����()�giv���en�b�y��x���7!��x���^����_��=��J��9x�.����>More�UUexplicitely��*�,���������r(�P�c��(�X�:�;���Y�8�)�f��	z;����g�)��������_��=���P��(�X�:�;���Y�8�)�f��	z;������g�:���������qò(1.2)���������>If�̓�f��"�is�a�mo�Gdular�form,���let��f�����^����y�b�e�the�holomorphic�function����Lщfe�@��/��f���(����~��fe��g��z����)���j�,���where�the�bar����>denotes�dncomplex�conjugation.��The�F��*�ourier�co�Gecien���ts�of��f�����^����	�are�the�conjugates����>of�UUthose�of��f���.������>�Prop�Q�osition��T1.3.����?�The�mp��}'airing�(1.1)�b�ehaves�as�fol���lows�r�esp�e�cts�the�action�of���:����������h�x����������;���f�����������s�i���=����Lщfe���/��h�x;�f���i������:���������qò(1.3)��������M�Warning:�qDzOur�UUc���hoice�of����agrees�with�[�Cre97���X]�but��not��with�[�Mer94��� ].���6��>�The��TA��9tkin-Lehner�in�v�olutions��uT��>�In�=�this�section,�xassume�that�the�w���eigh�t�=�k����is�ev���en.�+�There�is�an�in�v�olution��w����q�����>�of����]�M����g����k��S(�()��]asso�Gciated�to�eac���h�prime�p�o���w�er��]�q��6�exactly�dividing��N��.�R�Using�the������6����:��y�����?������>�Euclidean�58algorithm,�;�c���ho�Gose�in�tegers��a��and��b��so�that��aq�T�����b�(�N�A�=q�[ٲ)��=�1.�gIf�58w�e�let����>�g�"�=�������`�����m����
j��aq�����b��������NN���r�q�����̟��`����!��,�UUthen���*���������w����q��j��(�x�)��=�����<$���F1���K�w�fe!��
�i��N������ө��JN�k��JN�x�W	���P��<���Zcmr5�2�����\�������1������!�U��8�g�[�x���������qò(1.4)����������>W��*�e�UUha���v�e��w���^���D�2��፴q����n�=��1�and�if�w�e�let��w����q��j��(�f���)��=��f��j����w���q���
BO�,�UUthen��h�w����q��j��(�f��)�;���x�i���=��h�f��V;�w����q��j��(�x�)�i�.���㍑>�New��Tand�old�sym��9b�Q�ols��uT��>�[This�UUsection�ma���y�con�tain�errors.]����MIn��cthis�section,��fw���e�assume��L�=�����1��|s�(�N��)��cto�x�notation,�though�����0��|s�(�N��)�could����>b�Ge��substituted�just�as�w���ell.�@�Let��M���b�e�a�p�ositiv���e�divisor�of��N��,�+and�let��d��b�e�a����>divisor�UUof��N�A�=��q�M��.�q�W��*�e�ha���v�e�UUw�ell-dened�linear�maps��򈍍��e�ɵ����d��pʲ:�����M�����S���k��y�(����1��|s�(�N��))���!����M�����S���k���(����1��|s�(�M��))������<�����d�����(�x�)��=������^������d���
#��d���W��0������
=�0���W�1�����W����^����'_�x�������qIJ(1.5)���������f�l�����d��pʲ:�����M�����S���k��y�(����1��|s�(�M��))���!����M�����S���k���(����1��|s�(�N��))������<�����d�����(�x�)��=����€����X����7���g�@L�2R����Y�g�[�x�������qIJ(1.6)�����!1΍�>where�UUthe�sum�runs�o���v�er�UUa�set�of�represen���tativ�es�UU�R��of�����1��|s�(�N��)�n������(�����3���8߱1����0���\q���8�0���
�8�d�����В�)���^�����1���(�M��).����MThese��maps�mirror�exactly�the�corresp�Gonding�maps�on�the�side�of�mo�dular����>forms.��ROn��the�side�of�mo�Gdular�forms,�Hy�����d�����:�G�M����k��됲(����1��|s�(�M��))��!��M����k���(����1��|s�(�N��))��a�and����>�����d��pʲ:���M����k��됲(����1��|s�(�N��))��!��M����k���(����1��|s�(�M��)).�pk[Dene�QBmore�precisely��*�.]�W�e�QBha���v�e�the�follo�wing����>compatibilities�UU[whic���h�I�ha�v�en't�c�hec�k�ed]:��򁍍����S�h�����d�����(�f���)�;���x�i�����䪫�=������qɸh�f��V;�������d�����(�x�)�i�;���������7/�h�f��V;�������d�����(�x�)�i�����䪫�=������qɸh�����d�����(�f���)�;���x�i�:�����㍍�>�1.1.4��[email protected]Manin��sym��b�`ols����>�Consider�UUthe�set�of�righ���t�cosets��n�����SL���
x���2���V�(�Z�).�q�The�set�of�Manin�sym�b�Gols�is�����Iϸf�0�;����:�:�:����;���k��w��8�2�g���(�n���SL���
x���2���V�(�Z�))�:����>�Denote���the�Manin�sym���b�Gol�corresp�onding�to�an�in���teger��i��and�a�coset��r���b�y�[�i;�����r�G�].����>Dene���the�action�of��g����=���w���b���������	��a���'(b���\q���
�c����qd������˟��b�����>�2��w�GL�������2��t�(�Q�)�on�the�free�ab�Gelian�group�on�Manin����>sym���b�Gols�UUb�y��򁍑R�ѵg�[�:�[�i;�����r�G�]��=�[�g��������1��M�(�X��������i��.�Y��8�����k�+B��2��i��u5�)�;�����r�Gg��]�=�[(�aX�²+�8�bY�8�)������i��TL�(�cX��+��d��8Y�8�)������k�+B��2��i��<Q�;�����r�Gg�[ٲ]�:����>�The�wrigh���t�hand�side�is�written�as�a�sum�of�Manin�sym�b�Gols�b�y�expanding�out����>(�aX���+��)�bY�8�)���^��i��TL�(�cX��+��d��8Y�8�)���^��k�+B��2��i���ɲand��xusing�the�relation�[�P�X��+��Q;�����r�G�]��=�[�P�G;���r�G�]��)+�[�Q;���r�G�].����MLet�
ߵ�"�=�������b�����UU���	�0����p��1����.���	1����q0����������b����#T²and����߲=�������b�����ꪍ��	�0����p��1����.���	1����p��1����������b���� F�.�Y�Let����M��������k�����()���^��0����b�Ge�the�torsion�free�quotien���t�of����>the�UUab�Gelian�group�generated�b���y�the�nitely�man�y�sym�b�Gols��򁍒���f�x���=�[�i;�����r�G�]�q�:�0�����i����k��w��8�2�;�UPr�5�2���SL����S���2��Ʋ(�Z�)�g�������7����G��y�����?������>�mo�Gdulo�UUthe�relations����������x�8�+���͠:x������4�=������R0�;�������qò(1.7)������������x�8�+�����:x��+����!ǟ����2���:�:x������4�=������R0�:�������qò(1.8)���������>�Theorem��T1.4.�������We���have�an�isomorphism����M����["���k��F��()���^��0������Q�������!�����M�����S���k��y�()��given�by�������[�i;�����r�G�]���7!��r��(�X��������i��.�Y��8�����k�+B��2��i��u5�f�0�;����1g�)�:���6��>�Con��9v�ersion��Tfrom�mo�Q�dular�to�Manin�sym��9b�ols��uT��>�By��{(1.4)�w���e�can�go�b�Get�w�een�Manin�and�mo�Gdular�sym�b�Gols.�	@8Giv�en�a�Manin����>sym���b�Gols�UU[�i;�����r��]�with��r�5�=�������b���������	�a���w$b���\q���	h�c���$md������ǟ��b������,�w���e�ha�v�e����K�2[�i;�����r�G�]��� ��UX!��r��(�X��������i��.�Y��8�����k�+B��2��i��u5�f�0�;����1g�)�=�(�dX�¸�8�bY�8�)������i��TL�(��cX��+��aY�8�)������2��k�+B��i���������^�������<$��#�b��"�-�w�fe4r�	(֍d�����)�;�����<$����a���۟w�feI0�	(֍�z�c������	Z>���^����>Mֵ:����>�Supp�Gose,���on��<the�other�hand,�that�w���e�are�giv�en�a�mo�Gdular�sym�b�Gol��P�c��(�X�:�;���Y�8�)�f��	z;����g����>�and��awish�to�nd�a�sum�of�Manin�sym���b�Gols�mapping�to�it.�DvThis�is�imp�ortan���t�from����>an�,algorithm�p�Goin���t�of�view�b�ecause�it�is�sometimes�more�ecien���t�to�compute����>the�7action�of�an�op�Gerator�on�the�mo�dular�sym���b�ol�represen���tation�than�on�the����>Manin�UQsym���b�Gols�represen�tation.�q�A�case�in�p�Goin�t�is�the�A�tkin-Lehner�in�v�olutions����>�w����q���V�and�.�new-old�maps������d���s�and������d���whic���h�are�all�quite�easy�to�compute�on�the����>lev���el�UUof�mo�Gdular�sym�b�Gols.��!č��>�1.2��b�cMetho�s3d�ffof�graphs������>1.3��b�cArithmetic�ffof�quaternion�algebras�������8����	W�y�����?���/��>�Chapter��
2��2��>�Mo��
dular�	T{algorithms��:���>�2.1��b�cBasis�ffof�eigenforms������>2.2��b�cMo�s3dular�ffdegree�����>2.3��b�cCongruences�����>2.4��b�cP���erio�s3d�fflattices�����>2.5��b�cRational���parts�of�sp�s3ecial�v���alues�of��<��g�ffcmmi12�L�-functions�����>2.6��b�cComp�s3onen���t�ffgroups�����>2.7��b�cImplemen���tation�������9����
_��y�����?���/��>�Chapter��
3��2��>�Motiv��q�ating�	T{problems��:���>�3.1��b�cVisisibilit���y�
{of�Shafarevic�h-T���fate�groups�and����b�cthe�ffBirc���h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture������>3.2��b�cMo�s3dularit���y���of�a�complex��A��(��5��	u��Galois�represen-����b�ctation�����>3.3��b�cRational�ffp�s3oin���ts�on��X��(��0����(�p�)��o�v�er�Q�(���ADF��ff
cmmib10�A����
1|�L̵p���|�)�����>�3.4��b�cSerre's�ffconjecture�mo�s3dulo��pq��D�?��������10����aO�y�����?���/��>�Chapter��
4��2��>�T����ables��������11����ct�y�����?���4��>�Bibliograph��8�y��5Vw����>�[BK75]���f#�B.�0�J.�Birc���h�and�W.�Kuyk�(eds.),�g��Mo��}'dular�]�functions�of�one�variable.����f#�IV�,�-iSpringer-V��*�erlag,�5eBerlin,�1975,�Lecture�Notes�in�Mathematics,�V��*�ol.����f#�476.������>[Cre97]���f#�J.E.�<�Cremona,�t��A���lgorithms���for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second�<�ed.,�Cam-����f#�bridge�UUUniv���ersit�y�Press,�Cam�bridge,�1997.������>[Hij74]���f#�H.�BHijik��q�ata,�y$�Explicit���formula�of�the�tr��}'ac�es���of�He��}'cke�op�er�ators�for������0��|s�(�N��),����f#�56{82.������>[Koh98]���f#�D.�UUKohel,��He��}'cke���mo�dule�structur�e�of�quaternions�.������>[Mer94]���f#�L.���Merel,����Universal���Fourier�exp��}'ansions�of�mo�dular�forms�,���On���Artin's����f#�conjecture��\for�o�Gdd�2-dimensional�represen���tations�(Berlin),�&]Springer,����f#�1994,�UUpp.�59{94.������>[Mes86]���f#�J.-F.��3Mestre,��j�L��}'a���m�����$�etho�de�des�gr�aphes.�Exemples�et�applic�ations�,��jPro-����f#�ceedings��1of�the�in���ternational�conference�on�class�n�um�b�Gers�and�funda-����f#�men���tal�UUunits�of�algebraic�n�um�b�Ger�elds�(Katata)�(1986),�217{242.������>[Piz76a]���f#�Arnold�7ZPizer,�o��On�c�the�arithmetic�of�quaternion�algebr��}'as�,�Acta�7ZArith.����f#��31�UU�(1976),�no.�1,�61{89.������>[Piz76b]���f#�Arnold��Pizer,�.D�On�3�the�arithmetic�of�quaternion�algebr��}'as.�II�,�J.�Math.����f#�So�Gc.�UUJapan��28��(1976),�no.�4,�676{688.������>[Piz76c]���f#�Arnold��Pizer,���The�MOr��}'epr�esentability�of�mo�dular�forms�by�theta�series�,��J.����f#�Math.�UUSo�Gc.�Japan��28��(1976),�no.�4,�689{698.������>[Piz80]���f#�Arnold�Pizer,�*��A���n�0�algorithm�for�c��}'omputing�mo�dular�forms�on������0��|s�(�N��),����f#�J.�UUAlgebra��64��(1980),�no.�2,�340{390.�������12����c����;�y�
�ADF��ff
cmmib10�<��g�ffcmmi12�;��N�cmbx12�:��N��qcmbx12�8�':

cmti10�7��N�ffcmbx12�4�Ɍ

cmbsy10�1DF��

cmmib10�&�"V

cmbx10�%�-�

cmcsc10�$��N��Hcmbx12�X�Qcmr12�X�Qffcmr12�D��t�HG�cmr17�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10�kS�������