Powered by CoCalc
����;� TeX output 1999.12.03:1325�������2ō����Ơ�
:���{�捒������N��qcmbx12�Mo���dular��
motifs��)�X��������v�X�Qffcmr12�William��/Stein,�UCB������%ِ���D;Decem���b�dCer��/3,�1999��=	>���'�'��N�G�cmbx12�1��D(�In��u�tro��=duction��'��'Canonical�z�disclaimer:���I�am�not�an�exp��=ert!�����'Goal:�GI�D��tG�G�cmr17�I��will��1describ�s�e�T���Von��qy�Sc�holl's�[In�v�en�t.�ʖ�100�,���419{����'430�7t(1990)]�theorem:��"��|���(��g�G�cmmi12�S�����)��g�cmmi12�k����(�N���)����*!",�G�
cmsy10�7!���(Cho��qw�7tmotif�o�v�er��Q�)�����'Sc��qholl�45also�asso�s�ciates�a�Grothendiec�k�motif�to�eac�h�new-����'form�7t�f��P�.��#��D_�\T���Vo��Fconstruct�the�motif�means�to�isolate�a�con-����D_�stituen��qt��of�the�cohomology�of�a�v���ariet�y�using�al-����D_�gebraic�7tcycles."�������X�Qcmr12�1����*��2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�2��D(�Connectedness�z�of���Sp�s�ec��&���T��'��'�First,�7tI'll�rela��qy�a�question.��Let��"������T�������End��!O�(�S�����k����(�����0��_��(�p�)))����'b�s�e�7tthe�Hec��qk�e�7talgebra.����'�Question�z�(Ash,�Mazur):���Is��7tSp�s�ec��%^"�T�7t�connected?����'When�z��k��Q�=�	�2,�˞�G���@G�cmti12�Gyes�,�b��qy�Prop.I�s�I.10.2�of�Mazur's��GMo��"�dular����'curves�Mand�the�Eisenstein�ide��"�al�7t�pap�s�er.����'�GOp��"�en��Ypr�oblem�ǯ�when��k�&�>�� �2,�+�but�n��qumerical�evidence�is����'encouraging:�"�a�Frelated�graph�is�connected�for��k�{����8�and����'�p������53.����'�GMazur's��*pr��"�o�of����in��qv�olv�es�Rib�s�et's�corresp�ondence�b�et��qw�een����'irreducible�Mycomp�s�onen��qts�of��Sp�ec��$t'(�T�)�and�isogen��qy�factors�of����'�J�����0��_��(�p�);��*reducibilit��qy�Aof�the�Hec�k�e�algebra�quic�kly�translates����'in��qto�Ia�decomp�s�osition�of�the�canonical�principal�p�olariza-����'tion,�ޚa�V�con��qtradiction.�
c�Is�there�a�higher�w�eigh�t�motic����'analogue�7tof�Mazur's�pro�s�of�8?��� ��D_�\W���Vell,�rKthe� reason�wh��qy�the�question�is�particu-����D_�larly���in��qtriguing�is�that�w�e�DON'T���seem�to�ha�v�e����D_�an��qy��thop�s�e�of�a�pro�of�(of�connectedness�for�w��qeigh�t����D_��k�aE>����2�ٳHec��qk�e�algebras)�that�mimics�the�pro�s�of�for����D_�w��qeigh�t��F2.��!The�higher�w��qeigh�t��Fmotiv�es�just�don't����D_�(YET...)�k�ha��qv�e�i<the�precise�algebro-geometric�struc-����D_�ture��fthat�come�from�principally�p�s�olarized�ab�elian����D_�v���arieties.��So��&one�w��qould�need�an�utterly�dieren�t����D_�kind�>�of�pro�s�of,���(if�the�connectedness�prop�ert��qy�is����D_�true...��whic��qh,��after��y�our�calculations�lo�s�oks�p�os-����D_�sible)."����D_�Mazur,�7temail,�y��qesterda�y���V.����'What�7tsort�of�structure��Gdo��w��qe�ha�v�e??��������2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�3��D(�Pro��=ducts�z�of�univ��u�ersal�elliptic�curv�es��'��'�Fix���in��qtegers��N��q;��Fk��-��E��3,���and�set��w����=��k�h����1�2�(this�is�the����'opp�s�osite���of�the�notation�in�Sc��qholl,��#but�I��Dfeel�more�con-����'fortable�rrwith�it).�
��The�case��k����=��2�is��J�����0��_��(�N���),��2whic��qh�w�as����'already�7tdone�b��qy�Eic�hler�and�Shim�ura.�����������������Q1��M�����N��)��=�Q�����������������H�fdPMȎ����������F�fdPMȎ���������l�۟����5D

xybsql10������_������������jcݟא��5Dxycmat12���5Dxycmbt12�������j0��א���fd�����������Q����f��elliptic�7tcurv��qes��c�L�E�T;����with��,/(�Z�=��\N���)������2��,��,����!����E��g��������������fP�W�������_��������������������獍��f�R�smo�s�oth�7tcompactication�������������������c�R�!2+��������cO �!2+�Z�fd����������*�$9r���,��
ᬍ�M����<,��4���N��L"�2�=����M�����N����[���M���������+!",�
cmsy10�1��
����N�������������������Ǻ�1#��(generalized�7telliptic�curv��qes�+�lev�el�structure)�������������O]ҍ���5�����D_��X�����N��a
�is�7tthe�univ��qersal�elliptic�curv�e�o�v�er��M�����N������D_��T���f��
ᬍ�X����SƋ����N��eSD�is�c#the�generalized�elliptic�curv��qe;���it�is�a�smo�s�oth����D_�and�7tprop�s�er��Q�-sc��qheme�����D_��T���f��
ᬍ�X�����^���SƋ����
��SƋ�N���e>��is�N�the�N��r����eron�mo�s�del�of��X�����N��)��=���T���,��
ᬍM����,�����N��#���(smo�oth�lo�cus����D_�of��7t��|����
7ɟ	�w�����o=�.)���������������"��I��X�����N�������������������K�/o(���������������ПS�]������������S�]�M�fd������������ğ�"j���f��
ᬍ�X�����Jc����N��������������������Y�*
�z����K������������������+ޟR������������R�J|`fd����������%��$���f��
ᬍ�X����(0���5=�����
��5=��N����������������#қ�#!n�P���z4�LT0������������8#����a�a����������8#��a��6δ

xydash10�D���������
���
�}D���������6�
��D����������X���D���������5��|�D����������&�s�D���������4��k	D�����������b%D����������;�R�}�}����������;�R�z���������
���O�z���������8 �L$�z������������I-�z���������5"�F6�z������������C?�z���������2$�@Hsz������������=QWz���������������Οb�5�M�����N����������������ԟ[��������������������������/��X�;�j��������������ҟ^��/�/������πҟ^8��fd�����������ҟVy���,��
ᬍ�M������U�f��N�������������=�����5�����D_��The��)pro�s�duct����T���f��
ᬍ�X����%ȟ���N��������z���	�Ӎ�M������Y�
�b>

cmmi10�N����u����F���,UY�����z���	�Ӎ�M������Y�N����u���T���f��
ᬍ�X����&�F����N��5��is�singular�o��qv�er��)�Q����D_��when�7tthere�is�more�than�one�factor.����������������u���M���f��Va���T���f��
ᬍ�X����������ۻ�w��[����ۻN����������������6�#�������������#���Eufd�����������hB���Deligne's�7tcanonical�desingularization����������������[�ԟ4N2�X�������[��w��
���N�������������i؟W
�fd�����gڟW
�fd�������������u�(�+���f��
ᬍ�X����+�i���ۻ�w���
���ۻN��������������Q�/�̄fd�͎�����Q�1�ʄfd�͎����������������FAf�z����K������ϔ�N�}�w�����������������6�WG������������WG���fd��������������&�,���f��
ᬍ�X�����]��7Ld�N��^[�4��������z���	�Ӎ�M������Y�N���������F���2�������z���	�Ӎ�M������Y�N�������T���f��
ᬍ�X����)������N�����3+�4���(�w��~�factors)�����������������G_�^�}���
7ɟ	�w������aɣ��Q����1��
�퍑Q���w���aM�h��(�M�����N��)��)�����������������*�[�߉��,��
ᬍ�M�����>��l#�N�������������x�:�����������T���f��
ᬍ�X�����^���†C�w�R�;�1���
��†C�N�����������x�:=���ʟ�T���f��
ᬍ�X�����^���3i�w���
��3iN���#4����X���݀��[��w��h�N��������l������������f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�†C�w�R�;�1��[���†C�N�����������x�:=���ʟ���f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�3i�w��[���3iN���#4����X���݀��[��w��h�N����������l��2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�4��D(�Automorphisms�d�of�Deligne's�desingulariza-����D(�tion��'��'�The��lev��qel-�N�ݤ�structure�on�the�univ�ersal�elliptic�curv�e��X�����N�����'�o��qv�er�7t�M�����N��)��:��"���Sa(�Z�=��\N���)���݀�2��,��,����!����X�����N���&�(o��qv�er�7t�M�����N��)��)��d���:����'�By��the�N��r����eron�mapping�prop�s�ert��qy���V,��6this�extends�to�a�mor-����'phism�7tof�N��r����eron�mo�s�dels:����|y�(�Z�=��\N���)���݀�2��
7������T���,��
ᬍ�M���������N��%���,����!���ʟ�T���f��
ᬍ�X�����^���3i����
��3i�N���$)��,��!���ʟ�T���f��
ᬍ�X����3i����N��\��;����'�so�7t(�Z�=��\N���)������2���p�acts�b��qy�translation�on����T���f��
ᬍ�X���������N��ǩ�.����8��Also�7t������2��,��=����f�1�g��acts�on����T���f��
ᬍ�X���������N��ǩ�,�so������J(�Z�=��\N���)���݀�2��_��0���G�
msbm10�o������2���q�acts�7ton���Q�A��T���f��
ᬍ�X����aM����N��lwv�:����'�(Both�7tgroups�sit�in��Aut�� $�(���T���f��
ᬍ�X����f�����N���5�)�and�(�Z�=��\N���)������2���p�has�index�2.)���-����5�����D_��Let�7t�����w��pQ�b�s�e�the�symmetric�group�on��f�1�;��F�2�;��:�:�:���;�w�w
�g�.���-����5�����D_��The�7t�wreath�z�pro��=duct��of�(�Z�=��\N���)������2��_��o������2���p�b��qy������w��	8��:��������8N�����w���������1��=���((�Z�=��\N���)���݀�2��_��o������2���)���o�������w������������1��=���((�Z�=��\N���)���݀�2��_��o������2���)���݀�w��	8��o������w���:�������D_��The�G�wreath�pro�s�duct�is�the�follo��qwing�set�of�p�erm��quta-����D_�tions�7t�����of����T���f��
ᬍ�X���������N��#�����f�1�;��F�2�;��:�:�:���;�w�w
�g�:����D_��f��E�:�����xQ�(�a;��Fb�)�=�(�
�����b��~��(�a�)�;�����(�b�))�:��
�����b��
K��2��(�Z�=��\N���)���݀�2��_��o������2���;��k��2���������w��	8��g�;����D_��where����a����2����T���f��
ᬍ�X�����+����N��"��,�%��b��2�f�1�;���F:�:�:���;��Fw�w
�g�,�and����
�����b��A��is�c��qhosen����D_�indep�s�enden��qtly���for�eac�h��b�.��Automorphisms�of����T���f��
ᬍ�X�����!����N��$?l�����D_�f�1�;��F�2�;��:�:�:���;�w�w
�g��1�induce�automorphisms�of����T���f��
ᬍ�X�����^�����w���
���N��� 1f�;��and�of�������D_����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�SƋ�w��[���SƋN���d'��(b�s�ecause�7tthe�desingularization�is�canonical).�����~��2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�5��D(�The�z�pro�zjector�������"���'���������������Ik������w�������������ZC�Q�p�fd������ZE�Q�p�fd��������������H���"�������������70-����/�/�������#֟��G�fd�W���������:0-��f�1�g���������������H
��0R��((�Z�=��\N���)������2��_��o������2���)������w��	8��o������w����������������a�'�`+��((�a�����i���'�)�;��F�(�b�����i���)�;�����)���������������'şYYѺ�����������2�[���/�/�������'ş\
�fdO�m���������2�`#5�(���
7�,��uG�
cmex10�Q�����W��Q��w��
?6��Q�i�=1���&���b�����i���'�)������sign���(�����)������������{����8��Asso�s�ciate�7tto��"��a�pro��jector�in�the�group�ring:��)jԍ���W�����"��
�l�2����ʟ碎�����Z����F�碎�������OY��)�T�1��
34��4���@���ߍ2�N������(�w�w
�!)������OEm�碎�����Xd(�碎����d)�[�����w��	8��]�:��)j���'�W���Ve�7tha��qv�e���4���0|�����"��
�l�=�����OY��K�1������4��� �/��ߍ#�����w���������,Ǖ��{�X�������*���g�n9�2����̵w����J͑�"�(�g����)�g��,%;��'�b�s�ecause��#�ߍ���{���ѭ�������M���{X�����%�"�(�g����)�g����ѭ����������ܹ2���=o�=���#�����w�����#��{�X����'�0�"�(�g����)�g�;��%-5��'�whic��qh��@can�b�s�e�seen�b�y�considering�ho�w��g����2����k�er��(�"�)�and����'�g�k��62�����k��qer����(�"�)�7tact�on����
7�P���t���h�2��k��rer����(�"�)��G��h��and����
7�P���t���h�62��k��rer����(�"�)���h�.����8��Dene��������V�Œ�(�"�)���:=������"�����(�V��)����V��:�����%��2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�6��D(�P��u�arab��=olic�z�cohomology�groups��'��'�Cohomological���realization�of�cusp�forms�(Eic��qhler-Shim�ura����'corresp�s�ondence�7tt��qyp�e�stu�8):��"�������݀��H���w��h��H��N���S�7�W�����`��������m��:=����H���݀��Uù1��h���"�HK�`y
�3
cmr10�H���Det���	��(���T���,��
ᬍ�M����,�����N��!-!�
�����
������
����Q���p��;��Fj����������Sym���%������w��.D��((�R��$j��݀�1���f����������)�Q�����`��n7�))����������m�=����k��qer����(�H���݀��Uù1��h���"�H���Det���	��(�M�����N����
�����
������
����Q���p��;���F�Sym���!l�����w��*���R��$j��݀�1���f����������Q�����`��n7�)�����������I��!����H���݀��Uù0��h���"�H���Det���	��(�M���݀����1��h��N���%�
�����
������
����Q���p��;��F�Q�����`��n7�(��k�k�����1)))���������'�Theorem�z�6.1�(Sc��u�holl).����b�GF���8or�Mevery�prime��`�G,��$������݀������w��h�����N����Ȕ�W�����`��
;�=����H���݀��U����h���\�I�':
�3
cmti10�I����et���	,��(�����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�f��w��[���f�N����5�)(�"�)����'�Gand�Ma�similar�statement�for�the�Betti�c��"�ohomolo�gy.�� ��8���Though�\@desingularizing�totally�\messes�up"�the�v���ari-����'et��qy���V,��;miraculously���a�careful�study�rev�eals�that�the��"��part����'of���cohomology�remains�under�con��qtrol.�_%Most�of�Sc�holl's����'pro�s�of�gUis�dev��qoted�to�understanding�the�desingularization����'of�7tthe�compactication.����8��The�7tpair���?�����(�����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�f��w��[���f�N����5�;��F������"�����)�����'has�/�a�righ��qt�to�b�s�e�called��Gthe�motif�attache��"�d�to�the�sp�ac�e����'of�P�mo��"�dular�forms�of�weight��k��.�Gand�level��N���.��ULet�������so�w��
����soN�����W��(�b�s�e���t��'the��motif�dened�b��qy�(�����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�f��w��[���f�N����5�;��F������"�����)�in�the�category�of��GChow����'�motifs�7to��qv�er��Q��(rational�equiv���alence).�����+��2ō����Ơ�
:���B�ƍ��'�7��D(�Hec��u�k�e�z�op��=erators�on�the�motif��������w��
����N����w�W��'��'�It�i<is�p�s�ossible�to�decomp�ose��������w��
����N������W����in�the�category�of�Grothendiec��qk����'motiv��qes�i<[homological�equiv���alence,�Ůtensor�with��Q�(��:��F:�:���_a�����n���
d��:��F:�:��!".�)].����'\It���should�b�s�e�p�ossible�to�decomp�ose��������w��
����N����B�W�e�already�in�the����'category���of�Cho��qw�motiv�es;�bQbut�this�seems�v�ery�hard�with-����'out�7tassuming�the�standard�conjectures."��(???)���-����5�����D_��Fix�7t�p����-��N���a�prime:��"��D_��M�����N���;p��x}�:=����f�(�E�T;��F�(�Z�=��\N���)���݀�2����p�structure��O1��;�C�
{���E�T�[�p�]��7torder��p��6�L�)�g����D_��This�7tis�a�curv��qe�o�v�er��Q�.���-����5������������������:�����C��������������9��.�������������������ݽ����/�/������ē7���G�fd)Ɏ������������X�����N���;p��������������F�����������e��fd�������!����/�/������s����G�fdS����������"�!�I��X�����N�������������/aX� 6���������/.&� 6��UTfd���������ߓ6�-���M�����N���;p��������������V�*i��/�/�������W�*���fd�����������!�V�/s�M�����N�������������J=k����5�����D_��Q�	���:=��X�����N���;p�����=C�	U��+��lev��qel��N�	���structure�induced�from����D_��X�����N���;p�����.���"��Kɥ�Q���݀�w����:=����Q��������M���3�N���;P���#]
����F�����A�����M���3�N���;p��� ���Q��ِ�(�w�w
�-fold�7tpro�s�duct)�������5�����D_��Consider���������������G���<��X�������[��w��
���N����������������ԟ!C�������������!C��UTfd����������Ϡ���X�������[��w��
���N���;p���������������������>��X���O��K�`y

cmr10�1����������������|����o�o�������|���G�fdS��������������X�� �������������eO����/�/�������,���G�fd�#������ת� ����������w�� ��fd���������eO��m�Q������w������������������2_p��X���O��2���������������G�����/�/������(����G�fd�$�������� ����������ԟ ���ifd���������J���<��X�������[��w��
���N��������������W~�!C���������WJ�!C��UTfd����������ҟ0��M�����N����������������ť֟.���M�����N���;p���������������֟+v��o�o��������֟+��fd��������*�
�fd����������,��fd����������������.���M�����N���;p�������������F��+v��/�/������.��+��fd�����������I��0��M�����N�������������OԶ��D_��The�7trst�and�third�squares�are�cartesian.�����3?��2ō����Ơ�
:���B�ƍ���5�����D_��Dene�7tthe��Hec��u�k�e�z�corresp��=ondence�7t�T�����p���!�on��X�������[��w��
���N���a
�b��qy��"���G��T�����p��2w�=���(������1��_��)��������� ������݀��������݀����h��2����:��%-���D_��The���corresp�s�ondence��T�����p��aO�on������f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�bA�w��[���bAN���&�y�is�the�closure�of�the��-���D_�graph�7tof��T�����p���!�in������f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ���w��[����N���#����������f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�=��w��[���=�N���g=�.�� ����'�Prop��=osition�z�7.1�(Sc��u�holl).������R����>�����M�������w��E*�Gon�M�H�������U����
����B���
(�(�����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�f��w��[���f�N����5�)��Gc��"�ommutes�with��T�����p��e��G.�������>�����M��GA��"�ction���of��transp�s�ose��Gof��T�����p��`.�Gon��H��Uß����0�����(�����f��Va���T���f��
ᬍ�X�������ݍ�f��w��[���f�N����5�;��F�
������k�g��1��8��)��Gis�the����D_�classic��"�al�MHe�cke�op�er�ator��T�����p��e��G.����8���So�7tw��qe�ha�v�e�an�endomorphism�of�motiv�es:��"����C�T�����p��2w�:���݀�����w��h����N����`�W�8�!���݀�����w��h����N����W�����<����;��2���I�':
�3
cmti10�HK�`y
�3
cmr10�G���@G�cmti12�0���G�
msbm10�,��uG�
cmex10�+!",�
cmsy10�*!",�G�
cmsy10�)��g�cmmi12�(��g�G�cmmi12�'��N�G�cmbx12�X�Qffcmr12���N��qcmbx12�D��tG�G�cmr17��5Dxycmbt12��5Dxycmat12��5D

xybsql10��6δ

xydash10�X�Qcmr12�
�b>

cmmi10�K�`y

cmr10�A��������