Sharedwww / tables / degphi_r_analysis.txtOpen in CoCalc
Author: William A. Stein
1The following MAGMA program was used to create the table below.
2
3Here's the email I wrote to Amod Agashe:
4
5Amod,
6
7Here's a table that gives just the levels at which there is a defect
8between deg(phi) and r.  Along with the level, it gives the factorization of
9
10                       GCD((r/deg(phi))^oo, N),
11
12i.e., the powers of the prime p dividing N at which r doesn't equal
13deg(phi).  There are no examples in which r=/=deg(phi) at primes whose
14square doesn't divide the level.
15
16  -- William
17
18Amod's response:
19
20Your table looks very interesting. You have primes
21as high as 13 dividing r/deg(phi) when their squares divide N.
22I think for higher dimensions, your earlier calculations
23even had primes as high as 19 doing the same.
24
25> There are no examples in which r=/=deg(phi) at primes whose
26> square doesn't divide the level.
27
28OK, that makes sense.
29
30At the moment, the only thing I can claim
31is that deg(phi) divides r
32and if a prime p divides r/deg(phi) then
33p^2 | N or p| gcd(deg(phi),N)
34(for higher dimensions, you have the corresponding
35statements for the annihilators).
36So long as your data does not violate the above,
37I can't see anything wrong with it.
38
39Your data seem to suggest that the second reason
40above is not sufficient, i.e.,
41if a prime p divides r/deg(phi) then p^2 | N.
42
43--Amod
44
45
46
47
48//////////////////////////////////////////////////
50procedure test1(N,d)
51   for E in d do
52      if E[2] ne E[3] then
53         dif := E[3] div E[2];
54         N,"\t:  ", [f : f in Factorization(N) | GCD(f[1],dif) gt 1];
55         if N mod dif ne 0 then
56           "WARNING, N = ", N;
57         end if;
58      end if;
59   end for;
60end procedure;
61
62procedure iterate()
63   for N in [1..#dat] do
64      if not (dat[N] cmpeq []) then
65         test1(N,dat[N]);
66      end if;
67   end for;
68end procedure;
69//////////////////////////////////////////////////
70
71
72
7354      :   [ <3, 3> ]
7464      :   [ <2, 6> ]
7572      :   [ <2, 3> ]
7680      :   [ <2, 4> ]
7788      :   [ <2, 3> ]
7892      :   [ <2, 2> ]
7996      :   [ <2, 5> ]
8096      :   [ <2, 5> ]
8199      :   [ <3, 2> ]
82108     :   [ <3, 3> ]
83112     :   [ <2, 4> ]
84112     :   [ <2, 4> ]
85112     :   [ <2, 4> ]
86120     :   [ <2, 3> ]
87124     :   [ <2, 2> ]
88126     :   [ <3, 2> ]
89128     :   [ <2, 7> ]
90128     :   [ <2, 7> ]
91128     :   [ <2, 7> ]
92128     :   [ <2, 7> ]
93135     :   [ <3, 3> ]
94144     :   [ <2, 4> ]
95144     :   [ <2, 4> ]
96147     :   [ <7, 2> ]
97150     :   [ <5, 2> ]
98152     :   [ <2, 3> ]
99153     :   [ <3, 2> ]
100153     :   [ <3, 2> ]
101160     :   [ <2, 5> ]
102160     :   [ <2, 5> ]
103162     :   [ <3, 4> ]
104162     :   [ <3, 4> ]
105162     :   [ <3, 4> ]
106162     :   [ <3, 4> ]
107168     :   [ <2, 3> ]
108168     :   [ <2, 3> ]
109171     :   [ <3, 2> ]
110175     :   [ <5, 2> ]
111176     :   [ <2, 4> ]
112176     :   [ <2, 4> ]
113176     :   [ <2, 4> ]
114184     :   [ <2, 3> ]
115184     :   [ <2, 3> ]
116184     :   [ <2, 3> ]
117189     :   [ <3, 3> ]
118189     :   [ <3, 3> ]
119189     :   [ <3, 3> ]
120192     :   [ <2, 6> ]
121192     :   [ <2, 6> ]
122192     :   [ <2, 6> ]
123192     :   [ <2, 6> ]
124196     :   [ <7, 2> ]
125200     :   [ <2, 3> ]
126200     :   [ <2, 3> ]
127200     :   [ <5, 2> ]
128200     :   [ <2, 3>, <5, 2> ]
129208     :   [ <2, 4> ]
130208     :   [ <2, 4> ]
131208     :   [ <2, 4> ]
132216     :   [ <2, 3>, <3, 3> ]
133216     :   [ <3, 3> ]
134216     :   [ <2, 3> ]
135224     :   [ <2, 5> ]
136224     :   [ <2, 5> ]
137225     :   [ <5, 2> ]
138234     :   [ <3, 2> ]
139234     :   [ <3, 2> ]
140234     :   [ <3, 2> ]
141236     :   [ <2, 2> ]
142240     :   [ <2, 4> ]
143240     :   [ <2, 4> ]
144240     :   [ <2, 4> ]
145240     :   [ <2, 4> ]
146242     :   [ <11, 2> ]
147243     :   [ <3, 5> ]
148243     :   [ <3, 5> ]
149245     :   [ <7, 2> ]
150248     :   [ <2, 3> ]
151248     :   [ <2, 3> ]
152256     :   [ <2, 8> ]
153256     :   [ <2, 8> ]
154256     :   [ <2, 8> ]
155256     :   [ <2, 8> ]
156260     :   [ <2, 2> ]
157264     :   [ <2, 3> ]
158270     :   [ <3, 3> ]
159270     :   [ <3, 3> ]
160270     :   [ <3, 3> ]
161272     :   [ <2, 4> ]
162272     :   [ <2, 4> ]
163272     :   [ <2, 4> ]
164272     :   [ <2, 4> ]
165275     :   [ <5, 2> ]
166280     :   [ <2, 3> ]
167280     :   [ <2, 3> ]
168288     :   [ <2, 5>, <3, 2> ]
169288     :   [ <2, 5>, <3, 2> ]
170288     :   [ <2, 5> ]
171288     :   [ <2, 5> ]
172288     :   [ <2, 5> ]
173294     :   [ <7, 2> ]
174294     :   [ <7, 2> ]
175294     :   [ <7, 2> ]
176296     :   [ <2, 3> ]
177296     :   [ <2, 3> ]
178297     :   [ <3, 3> ]
179297     :   [ <3, 3> ]
180300     :   [ <5, 2> ]
181300     :   [ <5, 2> ]
182304     :   [ <2, 4> ]
183304     :   [ <2, 4> ]
184304     :   [ <2, 4> ]
185304     :   [ <2, 4> ]
186304     :   [ <2, 4> ]
187304     :   [ <2, 4> ]
188312     :   [ <2, 3> ]
189312     :   [ <2, 3> ]
190312     :   [ <2, 3> ]
191312     :   [ <2, 3> ]
192312     :   [ <2, 3> ]
193312     :   [ <2, 3> ]
194315     :   [ <3, 2> ]
195320     :   [ <2, 6> ]
196320     :   [ <2, 6> ]
197320     :   [ <2, 6> ]
198320     :   [ <2, 6> ]
199320     :   [ <2, 6> ]
200320     :   [ <2, 6> ]
201324     :   [ <3, 4> ]
202324     :   [ <3, 4> ]
203324     :   [ <3, 4> ]
204324     :   [ <3, 4> ]
205325     :   [ <5, 2> ]
206333     :   [ <3, 2> ]
207333     :   [ <3, 2> ]
208333     :   [ <3, 2> ]
209336     :   [ <2, 4> ]
210336     :   [ <2, 4> ]
211336     :   [ <2, 4> ]
212336     :   [ <2, 4> ]
213336     :   [ <2, 4> ]
214336     :   [ <2, 4> ]
215338     :   [ <13, 2> ]
216338     :   [ <13, 2> ]
217340     :   [ <2, 2> ]
218342     :   [ <3, 2> ]
219342     :   [ <3, 2> ]
220344     :   [ <2, 3> ]
221348     :   [ <2, 2> ]
222348     :   [ <2, 2> ]
223350     :   [ <5, 2> ]
224350     :   [ <5, 2> ]
225350     :   [ <5, 2> ]
226352     :   [ <2, 5> ]
227352     :   [ <2, 5> ]
228352     :   [ <2, 5> ]
229352     :   [ <2, 5> ]
230352     :   [ <2, 5> ]
231352     :   [ <2, 5> ]
232360     :   [ <2, 3> ]
233360     :   [ <3, 2> ]
234360     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
235363     :   [ <11, 2> ]
236368     :   [ <2, 4> ]
237368     :   [ <2, 4> ]
238368     :   [ <2, 4> ]
239368     :   [ <2, 4> ]
240368     :   [ <2, 4> ]
241368     :   [ <2, 4> ]
242368     :   [ <2, 4> ]
243378     :   [ <3, 3> ]
244378     :   [ <3, 3> ]
245378     :   [ <3, 3> ]
246378     :   [ <3, 3> ]
247378     :   [ <3, 3> ]
248378     :   [ <3, 3> ]
249384     :   [ <2, 7> ]
250384     :   [ <2, 7> ]
251384     :   [ <2, 7> ]
252384     :   [ <2, 7> ]
253384     :   [ <2, 7> ]
254384     :   [ <2, 7> ]
255384     :   [ <2, 7> ]
256384     :   [ <2, 7> ]
257387     :   [ <3, 2> ]
258392     :   [ <2, 3>, <7, 2> ]
259392     :   [ <2, 3> ]
260392     :   [ <2, 3> ]
261392     :   [ <2, 3>, <7, 2> ]
262400     :   [ <2, 4> ]
263400     :   [ <2, 4>, <5, 2> ]
264400     :   [ <2, 4>, <5, 2> ]
265400     :   [ <2, 4> ]
266400     :   [ <2, 4> ]
267400     :   [ <2, 4> ]
268400     :   [ <2, 4> ]
269400     :   [ <2, 4> ]
270405     :   [ <3, 4> ]
271405     :   [ <3, 4> ]
272405     :   [ <3, 4> ]
273405     :   [ <3, 4> ]
274405     :   [ <3, 4> ]
275405     :   [ <3, 4> ]
276408     :   [ <2, 3> ]
277408     :   [ <2, 3> ]
278414     :   [ <3, 2> ]
279416     :   [ <2, 5> ]
280416     :   [ <2, 5> ]
281423     :   [ <3, 2> ]
282425     :   [ <5, 2> ]
283425     :   [ <5, 2> ]
284428     :   [ <2, 2> ]
285432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
286432     :   [ <2, 4> ]
287432     :   [ <2, 4> ]
288432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
289432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
290432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
291432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
292432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
293440     :   [ <2, 3> ]
294440     :   [ <2, 3> ]
295440     :   [ <2, 3> ]
296441     :   [ <7, 2> ]
297441     :   [ <3, 2> ]
298441     :   [ <7, 2> ]
299448     :   [ <2, 6> ]
300448     :   [ <2, 6> ]
301448     :   [ <2, 6> ]
302448     :   [ <2, 6> ]
303448     :   [ <2, 6> ]
304448     :   [ <2, 6> ]
305448     :   [ <2, 6> ]
306448     :   [ <2, 6> ]
307450     :   [ <5, 2> ]
308456     :   [ <2, 3> ]
309456     :   [ <2, 3> ]
310459     :   [ <3, 3> ]
311459     :   [ <3, 3> ]
312459     :   [ <3, 3> ]
313459     :   [ <3, 3> ]
314464     :   [ <2, 4> ]
315464     :   [ <2, 4> ]
316464     :   [ <2, 4> ]
317464     :   [ <2, 4> ]
318464     :   [ <2, 4> ]
319464     :   [ <2, 4> ]
320468     :   [ <3, 2> ]
321468     :   [ <3, 2> ]
322472     :   [ <2, 3> ]
323475     :   [ <5, 2> ]
324475     :   [ <5, 2> ]
325477     :   [ <3, 2> ]
326480     :   [ <2, 5> ]
327480     :   [ <2, 5> ]
328480     :   [ <2, 5> ]
329480     :   [ <2, 5> ]
330480     :   [ <2, 5> ]
331480     :   [ <2, 5> ]
332480     :   [ <2, 5> ]
333480     :   [ <2, 5> ]
334486     :   [ <3, 5> ]
335486     :   [ <3, 5> ]
336486     :   [ <3, 5> ]
337486     :   [ <3, 5> ]
338486     :   [ <3, 5> ]
339486     :   [ <3, 5> ]
340490     :   [ <7, 2> ]
341490     :   [ <7, 2> ]
342490     :   [ <7, 2> ]
343490     :   [ <7, 2> ]
344490     :   [ <7, 2> ]
345495     :   [ <3, 2> ]
346496     :   [ <2, 4> ]
347496     :   [ <2, 4> ]
348496     :   [ <2, 4> ]
349496     :   [ <2, 4> ]
350496     :   [ <2, 4> ]
351496     :   [ <2, 4> ]
352504     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
353504     :   [ <2, 3> ]
354504     :   [ <3, 2> ]
355504     :   [ <2, 3> ]
356504     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
357504     :   [ <2, 3> ]
358504     :   [ <2, 3> ]
359507     :   [ <13, 2> ]
360513     :   [ <3, 3> ]
361522     :   [ <3, 2> ]
362522     :   [ <3, 2> ]
363522     :   [ <3, 2> ]
364525     :   [ <5, 2> ]
365525     :   [ <5, 2> ]
366528     :   [ <2, 4> ]
367528     :   [ <2, 4> ]
368528     :   [ <2, 4> ]
369528     :   [ <2, 4> ]
370528     :   [ <2, 4> ]
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