1
The following MAGMA program was used to create the table below.
2

3
Here's the email I wrote to Amod Agashe:
4

5
Amod,
6

7
Here's a table that gives just the levels at which there is a defect
8
between deg(phi) and r.  Along with the level, it gives the factorization of
9

10
                       GCD((r/deg(phi))^oo, N),
11

12
i.e., the powers of the prime p dividing N at which r doesn't equal
13
deg(phi).  There are no examples in which r=/=deg(phi) at primes whose
14
square doesn't divide the level.
15

16
  -- William
17

18
Amod's response:
19

20
Your table looks very interesting. You have primes
21
as high as 13 dividing r/deg(phi) when their squares divide N.
22
I think for higher dimensions, your earlier calculations
23
even had primes as high as 19 doing the same.
24

25
> There are no examples in which r=/=deg(phi) at primes whose
26
> square doesn't divide the level.
27

28
OK, that makes sense. 
29

30
At the moment, the only thing I can claim
31
is that deg(phi) divides r 
32
and if a prime p divides r/deg(phi) then
33
p^2 | N or p| gcd(deg(phi),N)
34
(for higher dimensions, you have the corresponding 
35
statements for the annihilators).
36
So long as your data does not violate the above, 
37
I can't see anything wrong with it.
38

39
Your data seem to suggest that the second reason
40
above is not sufficient, i.e.,
41
if a prime p divides r/deg(phi) then p^2 | N.
42

43
--Amod
44

45

46

47

48
//////////////////////////////////////////////////
49
load "degphi_r_table.m";
50
procedure test1(N,d)
51
   for E in d do
52
      if E[2] ne E[3] then
53
         dif := E[3] div E[2];
54
         N,"\t:  ", [f : f in Factorization(N) | GCD(f[1],dif) gt 1];
55
         if N mod dif ne 0 then
56
           "WARNING, N = ", N;
57
         end if;
58
      end if;
59
   end for;
60
end procedure;
61

62
procedure iterate()
63
   for N in [1..#dat] do
64
      if not (dat[N] cmpeq []) then
65
         test1(N,dat[N]);
66
      end if;
67
   end for;
68
end procedure;
69
//////////////////////////////////////////////////
70

71

72

73
54      :   [ <3, 3> ]
74
64      :   [ <2, 6> ]
75
72      :   [ <2, 3> ]
76
80      :   [ <2, 4> ]
77
88      :   [ <2, 3> ]
78
92      :   [ <2, 2> ]
79
96      :   [ <2, 5> ]
80
96      :   [ <2, 5> ]
81
99      :   [ <3, 2> ]
82
108     :   [ <3, 3> ]
83
112     :   [ <2, 4> ]
84
112     :   [ <2, 4> ]
85
112     :   [ <2, 4> ]
86
120     :   [ <2, 3> ]
87
124     :   [ <2, 2> ]
88
126     :   [ <3, 2> ]
89
128     :   [ <2, 7> ]
90
128     :   [ <2, 7> ]
91
128     :   [ <2, 7> ]
92
128     :   [ <2, 7> ]
93
135     :   [ <3, 3> ]
94
144     :   [ <2, 4> ]
95
144     :   [ <2, 4> ]
96
147     :   [ <7, 2> ]
97
150     :   [ <5, 2> ]
98
152     :   [ <2, 3> ]
99
153     :   [ <3, 2> ]
100
153     :   [ <3, 2> ]
101
160     :   [ <2, 5> ]
102
160     :   [ <2, 5> ]
103
162     :   [ <3, 4> ]
104
162     :   [ <3, 4> ]
105
162     :   [ <3, 4> ]
106
162     :   [ <3, 4> ]
107
168     :   [ <2, 3> ]
108
168     :   [ <2, 3> ]
109
171     :   [ <3, 2> ]
110
175     :   [ <5, 2> ]
111
176     :   [ <2, 4> ]
112
176     :   [ <2, 4> ]
113
176     :   [ <2, 4> ]
114
184     :   [ <2, 3> ]
115
184     :   [ <2, 3> ]
116
184     :   [ <2, 3> ]
117
189     :   [ <3, 3> ]
118
189     :   [ <3, 3> ]
119
189     :   [ <3, 3> ]
120
192     :   [ <2, 6> ]
121
192     :   [ <2, 6> ]
122
192     :   [ <2, 6> ]
123
192     :   [ <2, 6> ]
124
196     :   [ <7, 2> ]
125
200     :   [ <2, 3> ]
126
200     :   [ <2, 3> ]
127
200     :   [ <5, 2> ]
128
200     :   [ <2, 3>, <5, 2> ]
129
208     :   [ <2, 4> ]
130
208     :   [ <2, 4> ]
131
208     :   [ <2, 4> ]
132
216     :   [ <2, 3>, <3, 3> ]
133
216     :   [ <3, 3> ]
134
216     :   [ <2, 3> ]
135
224     :   [ <2, 5> ]
136
224     :   [ <2, 5> ]
137
225     :   [ <5, 2> ]
138
234     :   [ <3, 2> ]
139
234     :   [ <3, 2> ]
140
234     :   [ <3, 2> ]
141
236     :   [ <2, 2> ]
142
240     :   [ <2, 4> ]
143
240     :   [ <2, 4> ]
144
240     :   [ <2, 4> ]
145
240     :   [ <2, 4> ]
146
242     :   [ <11, 2> ]
147
243     :   [ <3, 5> ]
148
243     :   [ <3, 5> ]
149
245     :   [ <7, 2> ]
150
248     :   [ <2, 3> ]
151
248     :   [ <2, 3> ]
152
256     :   [ <2, 8> ]
153
256     :   [ <2, 8> ]
154
256     :   [ <2, 8> ]
155
256     :   [ <2, 8> ]
156
260     :   [ <2, 2> ]
157
264     :   [ <2, 3> ]
158
270     :   [ <3, 3> ]
159
270     :   [ <3, 3> ]
160
270     :   [ <3, 3> ]
161
272     :   [ <2, 4> ]
162
272     :   [ <2, 4> ]
163
272     :   [ <2, 4> ]
164
272     :   [ <2, 4> ]
165
275     :   [ <5, 2> ]
166
280     :   [ <2, 3> ]
167
280     :   [ <2, 3> ]
168
288     :   [ <2, 5>, <3, 2> ]
169
288     :   [ <2, 5>, <3, 2> ]
170
288     :   [ <2, 5> ]
171
288     :   [ <2, 5> ]
172
288     :   [ <2, 5> ]
173
294     :   [ <7, 2> ]
174
294     :   [ <7, 2> ]
175
294     :   [ <7, 2> ]
176
296     :   [ <2, 3> ]
177
296     :   [ <2, 3> ]
178
297     :   [ <3, 3> ]
179
297     :   [ <3, 3> ]
180
300     :   [ <5, 2> ]
181
300     :   [ <5, 2> ]
182
304     :   [ <2, 4> ]
183
304     :   [ <2, 4> ]
184
304     :   [ <2, 4> ]
185
304     :   [ <2, 4> ]
186
304     :   [ <2, 4> ]
187
304     :   [ <2, 4> ]
188
312     :   [ <2, 3> ]
189
312     :   [ <2, 3> ]
190
312     :   [ <2, 3> ]
191
312     :   [ <2, 3> ]
192
312     :   [ <2, 3> ]
193
312     :   [ <2, 3> ]
194
315     :   [ <3, 2> ]
195
320     :   [ <2, 6> ]
196
320     :   [ <2, 6> ]
197
320     :   [ <2, 6> ]
198
320     :   [ <2, 6> ]
199
320     :   [ <2, 6> ]
200
320     :   [ <2, 6> ]
201
324     :   [ <3, 4> ]
202
324     :   [ <3, 4> ]
203
324     :   [ <3, 4> ]
204
324     :   [ <3, 4> ]
205
325     :   [ <5, 2> ]
206
333     :   [ <3, 2> ]
207
333     :   [ <3, 2> ]
208
333     :   [ <3, 2> ]
209
336     :   [ <2, 4> ]
210
336     :   [ <2, 4> ]
211
336     :   [ <2, 4> ]
212
336     :   [ <2, 4> ]
213
336     :   [ <2, 4> ]
214
336     :   [ <2, 4> ]
215
338     :   [ <13, 2> ]
216
338     :   [ <13, 2> ]
217
340     :   [ <2, 2> ]
218
342     :   [ <3, 2> ]
219
342     :   [ <3, 2> ]
220
344     :   [ <2, 3> ]
221
348     :   [ <2, 2> ]
222
348     :   [ <2, 2> ]
223
350     :   [ <5, 2> ]
224
350     :   [ <5, 2> ]
225
350     :   [ <5, 2> ]
226
352     :   [ <2, 5> ]
227
352     :   [ <2, 5> ]
228
352     :   [ <2, 5> ]
229
352     :   [ <2, 5> ]
230
352     :   [ <2, 5> ]
231
352     :   [ <2, 5> ]
232
360     :   [ <2, 3> ]
233
360     :   [ <3, 2> ]
234
360     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
235
363     :   [ <11, 2> ]
236
368     :   [ <2, 4> ]
237
368     :   [ <2, 4> ]
238
368     :   [ <2, 4> ]
239
368     :   [ <2, 4> ]
240
368     :   [ <2, 4> ]
241
368     :   [ <2, 4> ]
242
368     :   [ <2, 4> ]
243
378     :   [ <3, 3> ]
244
378     :   [ <3, 3> ]
245
378     :   [ <3, 3> ]
246
378     :   [ <3, 3> ]
247
378     :   [ <3, 3> ]
248
378     :   [ <3, 3> ]
249
384     :   [ <2, 7> ]
250
384     :   [ <2, 7> ]
251
384     :   [ <2, 7> ]
252
384     :   [ <2, 7> ]
253
384     :   [ <2, 7> ]
254
384     :   [ <2, 7> ]
255
384     :   [ <2, 7> ]
256
384     :   [ <2, 7> ]
257
387     :   [ <3, 2> ]
258
392     :   [ <2, 3>, <7, 2> ]
259
392     :   [ <2, 3> ]
260
392     :   [ <2, 3> ]
261
392     :   [ <2, 3>, <7, 2> ]
262
400     :   [ <2, 4> ]
263
400     :   [ <2, 4>, <5, 2> ]
264
400     :   [ <2, 4>, <5, 2> ]
265
400     :   [ <2, 4> ]
266
400     :   [ <2, 4> ]
267
400     :   [ <2, 4> ]
268
400     :   [ <2, 4> ]
269
400     :   [ <2, 4> ]
270
405     :   [ <3, 4> ]
271
405     :   [ <3, 4> ]
272
405     :   [ <3, 4> ]
273
405     :   [ <3, 4> ]
274
405     :   [ <3, 4> ]
275
405     :   [ <3, 4> ]
276
408     :   [ <2, 3> ]
277
408     :   [ <2, 3> ]
278
414     :   [ <3, 2> ]
279
416     :   [ <2, 5> ]
280
416     :   [ <2, 5> ]
281
423     :   [ <3, 2> ]
282
425     :   [ <5, 2> ]
283
425     :   [ <5, 2> ]
284
428     :   [ <2, 2> ]
285
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
286
432     :   [ <2, 4> ]
287
432     :   [ <2, 4> ]
288
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
289
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
290
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
291
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
292
432     :   [ <2, 4>, <3, 3> ]
293
440     :   [ <2, 3> ]
294
440     :   [ <2, 3> ]
295
440     :   [ <2, 3> ]
296
441     :   [ <7, 2> ]
297
441     :   [ <3, 2> ]
298
441     :   [ <7, 2> ]
299
448     :   [ <2, 6> ]
300
448     :   [ <2, 6> ]
301
448     :   [ <2, 6> ]
302
448     :   [ <2, 6> ]
303
448     :   [ <2, 6> ]
304
448     :   [ <2, 6> ]
305
448     :   [ <2, 6> ]
306
448     :   [ <2, 6> ]
307
450     :   [ <5, 2> ]
308
456     :   [ <2, 3> ]
309
456     :   [ <2, 3> ]
310
459     :   [ <3, 3> ]
311
459     :   [ <3, 3> ]
312
459     :   [ <3, 3> ]
313
459     :   [ <3, 3> ]
314
464     :   [ <2, 4> ]
315
464     :   [ <2, 4> ]
316
464     :   [ <2, 4> ]
317
464     :   [ <2, 4> ]
318
464     :   [ <2, 4> ]
319
464     :   [ <2, 4> ]
320
468     :   [ <3, 2> ]
321
468     :   [ <3, 2> ]
322
472     :   [ <2, 3> ]
323
475     :   [ <5, 2> ]
324
475     :   [ <5, 2> ]
325
477     :   [ <3, 2> ]
326
480     :   [ <2, 5> ]
327
480     :   [ <2, 5> ]
328
480     :   [ <2, 5> ]
329
480     :   [ <2, 5> ]
330
480     :   [ <2, 5> ]
331
480     :   [ <2, 5> ]
332
480     :   [ <2, 5> ]
333
480     :   [ <2, 5> ]
334
486     :   [ <3, 5> ]
335
486     :   [ <3, 5> ]
336
486     :   [ <3, 5> ]
337
486     :   [ <3, 5> ]
338
486     :   [ <3, 5> ]
339
486     :   [ <3, 5> ]
340
490     :   [ <7, 2> ]
341
490     :   [ <7, 2> ]
342
490     :   [ <7, 2> ]
343
490     :   [ <7, 2> ]
344
490     :   [ <7, 2> ]
345
495     :   [ <3, 2> ]
346
496     :   [ <2, 4> ]
347
496     :   [ <2, 4> ]
348
496     :   [ <2, 4> ]
349
496     :   [ <2, 4> ]
350
496     :   [ <2, 4> ]
351
496     :   [ <2, 4> ]
352
504     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
353
504     :   [ <2, 3> ]
354
504     :   [ <3, 2> ]
355
504     :   [ <2, 3> ]
356
504     :   [ <2, 3>, <3, 2> ]
357
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358
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359
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360
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361
522     :   [ <3, 2> ]
362
522     :   [ <3, 2> ]
363
522     :   [ <3, 2> ]
364
525     :   [ <5, 2> ]
365
525     :   [ <5, 2> ]
366
528     :   [ <2, 4> ]
367
528     :   [ <2, 4> ]
368
528     :   [ <2, 4> ]
369
528     :   [ <2, 4> ]
370
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371
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372
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373
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375
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539     :   [ <7, 2> ]
377