CoCalc Shared Fileswww / simuw06 / index.html
Author: William A. Stein
SIMUW 2006: The Congruent Number Problem

# SIMUW 2006: The Congruent Number Problem

## William Stein

 Notes [PDF]       [HTML]       (comment by Keith Conrad) SAGE SAGE Notebooks          SAGE Main Page          cong.sage DATA First 1000 Congruent Numbers Handouts Koblitz Why are they called Elliptic Curves'' Geometric Proof of Associativity Book Elementary Number Theory (see mainly Chapter 6)
2006 is the area of a right triangle with rational side lengths...
 Ten Triangles with Area 2006 Are there infinitely many such triangles?

The first few triangles with area 2006:
(yes, the side lengths are huge!)
2608039/53430, 214361160/2608039, 13320805745521/139347523770
1096292682768580/89598005203437, 5286282307002783/16121951217185, 473970003717484279677323566421/1444494669046899105695464845
84913064761177931647318559/3712442590519080237068340, 14894319673162549911118180080/84913064761177931647318559, 55762422389013803519428353258482450280167593410156481/315234878110901825802045825733466627868996233322060
1060906838709427440516351853707632258006300/17057675849220703606218823672724068607283, 1006402875104021512766910596690720047829697/15601571157491580007593409613347533205975, 23846693303611761611740400493200164768822262512210855596176575257704558637246164501/266126543543042422733515318496424223840561094670028557337389273736113914224115925
224022797208575600459522987683414508048544546652537524169241/1369294287316089986772050185243335404130558874681655939490, 5493608680712153026929465343196261641371802205222803629233880/224022797208575600459522987683414508048544546652537524169241, 50746842734072796345936654034713992702175134087460176232698757833037392839603931494713452414318970144665731040785636081/306753136446273480123115744492874019081784018639267887033895109209573098979294079953189590982199491024696555615227090
5212435693081339287030727743154220605399981733399894984882996009956322796589707980/13772670895206590213197043997224923943788027110853570557685993205597223282027363, 812587582817188822578625595836270512683493599540360662903473599130236173639614417/76653466074725577750451878575797361844117378432351396836514647205240041126319235, 399707969798987382361231902337448933022297137567526087243767909856722241654618583437900567605539505792462914689387085759513106988299920762440120034416567902093621/1055722961224078715694378097539481319742115384236257760694783949150049969667551696811364204746781239589244416986486375805155101701962572121550508351768743227305
3005472958710099865482284849618343966686405480505500101009862602412964342135075583582629297130242205376639/35156520849938778693698952879139135807848972106280339155243785351125385912998035761183936126422138541720, 141047961649954380119120198951106212861090076090396720690838066828715048282948119473869951739205619829380640/3005472958710099865482284849618343966686405480505500101009862602412964342135075583582629297130242205376639, 10304462923014358908972227794430358297169733524823796917128428567011028762880045846228283453366544762677241060496813226903241489042324957210269943730745879616666867171128433200621062418027700208941559700472856321/105661972736818816045825437251046315878877112069227785628286737672327667559275050463751928991739611696742904578601376239331215808209658253920640179200956560973443256632244571990948969299863374048605130814879080
165977828856101312618839735435987526605767017960773011753312160231441389214310573377458326218927701016531615812564186019415829669004940/4471434037377503623856081371070976826658266133098311381563293105970298782576202756116998146366984301360427564634389132059316521250397, 263814608205272713807508800893187632772837701852800371512234293252247628171995962610902890635652073780265226313428958791499674753773423/2440850424354431067924113756411581273614220852364308996372237650462373370798684902609681267925407367890170820773002735579644553955955, 1247258580713133186058452201333011153219901459901168847065467221708180267927827417235188081987566912111085173413545304850496866234577935938949841955255410769560310940563101129415428160782181462569114745215304498101621116575934945893368274285605592602523745252808000181/10914101667605726709370592925584300475961577751542240124645528283368989109256348142624537524330326236778752323076490770745209224906099511903399444484768600432269015546804691202633787541455332266859688382418436979911911409363391370226805403430458019260295209464264135
20739718882338472101528676570496414658664802212566260409939636298992089479685394480815160545079203819157942676359739163024773225146497053178651610601348619940079001/12692476127642427275298016407404627315239603582408711005504229755457857450137350679646631426449456161903759443979191989668977561678020322698297282044261047687556850, 50922214224101418228495641826507364788741289572623748554082969778896924089951050926742285282915218121557882889244518262551937977452217534665568695561575323322478082200/20739718882338472101528676570496414658664802212566260409939636298992089479685394480815160545079203819157942676359739163024773225146497053178651610601348619940079001, 646329131535149050383282370208957240951511038211274324075737990456192836988369507919001880367571282156348635983546754816101913771612485813279264676699777511234667410302749013892175448686953812786659560837579449892222928296338179929566087260828913829743991005333028380257823639032347394264645036423965214987196405499848278571158001/263238386808095940174335774348674990601488256073616388992046724566431361252562630916870512408760740513646227554616810066436879058476643246992128555909962481474623833263459356788187413181846524172494027064937322827368433185781993323885803816779560164727544373798739285364712119460128872336773553314669426618118724821953678706850
140307434789813624881437358128581107271015114082017166849959928295041194266166570483665662877355588539012696318027192702345741849119208095352474429284190561197272009468827560084614593604913758290244260/4164025963459280967438387338076255218438654949076129675016656525923025568661526941262888811297886120553005874575691917805115352856360206003255755511122533563395797806886258603566216567346809123644403, 245677531844097577078864852946499057887880641995491650825982735029458508551030089534510439866575281112627346599965823150501805818525252154192089575156229480240352070606289257610406777473461738295019777/2063344629261965071785843501890898636338457560029664218381763651397664621561273095348024454078758654985480828206282245622731497781164824931654035724767508252901058962776875883597273435366378798385945, 1063182178131107774237093471996980818321405863853771532885834163643406108317920151406228655051760475212696344611316473602976217712738554332281078207504836090193853710480909190593903119885150689300134108054268469367416284819349828688985512183466319849849405683444910626378975037359720675302014669341213759529899697727498529158880133987801893208898838886434546368939734149669128953619790908432848159381/8591820607811087004801647091774658703461522287345038100412548349876282790304715375475148163670416925664007184068081959646195915161285389494566050277235623995328496974124310932295705121182491366470012545366704906881170786837156419040396117259461650399443522703998711615254098688009645814506392674075279707090365422923024849249694454234416073667527729116604883056991296306854727275238997792533115835
2462070037415360633467236783259355786178552016058506023942397347384812048903133928675608110612780387785906725326530043204030135084748601955786243616087124378922457341247995027838776007444313826155135486055457845952309842846071056950158561/31133506346845228887201052409992342772890702748870683486659813617398388722705116871777065435068223863843193985081912795657325117667924201231882923207690315248926605335217167701557885456797637531388945552356612065962413259238309825268580, 124907627463543058295450622268889279204837499428469182148479172233002335555492928889569586525493714141738894268148634136177188372083711895342314287909253544778693540604891276818650236452672121775932449556054727608641201996064099018977542960/2462070037415360633467236783259355786178552016058506023942397347384812048903133928675608110612780387785906725326530043204030135084748601955786243616087124378922457341247995027838776007444313826155135486055457845952309842846071056950158561, 7201954337045671391703390023465242488413084804996970603399152116241345398843593923254405996906426839019211694138723803490309547167922835483104390810941865296077732503405830282613720747291001500731946919360369657110175651928478824911116767232512994313932054619516899103537420945183191526228311233755320070054696866979097024279253872000546137192860245610512965999701913642255777166471758603322959894803881976417296252984171133776296166539039150572979261382999742330057568310721/76652873136248600437866435114211203227083763019017565038991584564294699159239609221573913968388213177134663212720331678807795601051471199551956574484097750153935323806741722568413316262845737331134809896880782178597467919851092707245310420956095485173423316386340969933927219558736415630326456947734069764282399531478599731295199868716914759018895308766753824974341178571748646055214035465532932893344301605200182415063951730413488591211185040911239369715383869835411313380
3993555690934393004435539502015165298702852785353371295507724219789495941219134542042347068996783533590283762716026244003662959986919453629030244099166936601800051052888341847122895973860957057572165572904995795448272606872384162205371789911207187999456603182604393954840416450820/13807413262884756077120094999559510199841131015543248149404796586782611700984053273552196274198367763137577445429601582465582615937865155457503598855308263210831408100549116576772874030936948474962442547047414980019361954407321013171318426669392279576080360367513094704632600237, 814637382510200608550085604974011101790626729917051640814882998620174090358059143139579580177703698025117069280346493365469374340334044171992712332463187529439053077932397878029599567825279960022784110275797483821142355310031939777107787173494144494988741261683272587573323413983/58728760160799897124052051500223019098571364490490754345701826761610234429693155030034515720540934317504172981118033000053867058631168435721033001458337302967647809601299144810630823145014074376061258425073467580121655983417414150078996910458929235286126517391241087571182594865, 234806139197143348375798753512721710011374434701957522796478895228059034321545183070372749658043988863253155952133241202734030853448204881976007867384858377347219233024838448202701919832251470438832889582955878630697955934936034337460661076548791645920242494259163115398043893991145636407511157740334377705567809425050366483951133513443563428504386817897508199809845486783407987836291278281686822063035157715175253488128416630626962038377885573601699803896404648377515509264899393146004756104871231245445830115113877592814944180155857069586934467583743915221/810892261957006379532868191649608029106736964437760585146081349148007086220232626226118606313587157610538093386712588108153144424359525027611699561163355219638030294334136021081904026856355432261900433299906719085370094927161909557661631714350427251747545201480918992186044011447522032784105978081523538758012420292737018630581290570635133432943345119842077629875498225401467386345893492846989179750631691743559645581332881705696122272142831737959705312523649909941037663591425933153880029111170200699031912295500702955563444921021461618876958841873983005
159515961715819231380484354271024181032067475448887704959874730659462704966241557683205165430832429193418077059566927852816251276749635575423070730682545847897000228063143640937172105327207771891469296166703218854714361110624923220531704184965237406815195570770707088618266346162272117002284148847340529108142309833395288359/843961763002103165266806552248924466797948305590805568474722534577605432830963455191639422778947231602941643468904764246190817305583658898897514277675165381710729461564263395201677046507470134940665183442524245852013478342927617694772084956541637163620792290301480647905684888909158039981640502940419652292188947587042810, 3385974593164437899050427887622684960793368602030311940720586808725352996517825382228857364189136293191001873597245914155717559030001639502376827282032763511423446599795824741549128310587970181381948715971407274358278075111825602191425604845645048300446618668689540359397607774303542056406341697796963644996262057719215753720/159515961715819231380484354271024181032067475448887704959874730659462704966241557683205165430832429193418077059566927852816251276749635575423070730682545847897000228063143640937172105327207771891469296166703218854714361110624923220531704184965237406815195570770707088618266346162272117002284148847340529108142309833395288359, 25605302156023516917845081569200350785009616172299697966007028124060304761090076762786036135589184010006200430219418904665095612457588287804878822860943040825935518693021345660093877776102300705708167310408276826177484515876534456692154856005599139084998281925276424774038500177456547627380710468082139330896846560891096416072790831594868779423261606495487486990727963424713909224508701036289788871489670903977566158610736476316104574913839077074151109320442101218670250720322201070673007131718686057972363532329738196148909903871809285253105357614855384764082845230297842318408093579075834282901409569215938950605208050259209569909018664358432881/134625372276658791935360454152325642712194712629244503825788377750841056477531520660732528232685563118995494040465358506510396985771630632201678923064096078760233649744709904254742795550270036317971069378461317201067957576254071352566507792010140503365631302590404433239199908454310982764564307790152927536040687815301043831177998870870662246533331592907079255603802403402606677469746436357657766959428533678171557603386906817916244927417484441840416589955895462122723989273695575543119695833015015690679497234983295080442850987517945294127188663557078379630543256922106808798369891739175007894448286142072718493287145908601252864569892027648790
710719555258110795934518369903374428317888084778714117052249368164980125964225691295749966942752313112903967369890400161212214234673271849400252239696323945118228866835569476298708115831495114915340546997495064033687985427526616416225125366421818806032566794776679284084649219240535257513526376631714935264685107951982805745763872308146025579708200850595313864531160218900/10622518143699649669076499466963539947652039140701180401883009029063655518695296244027535485054140393706112195610820758736530434265345628427391448142006270241532687502634183821575516636395613815200524547920014707841427459145945420292465083229882893163616098692601064337238883835252133758965747543788859638941056852435938822975985391800881859517306604819675813013412678717, 626728570478279330475513468550848856911470309301369643711097532714755675603022478397624593618194283228660619541038424765455295621655392077216095440378369944250428562655416845472955481547341215096830948327280867762644220089610779797255439910563090696653349822863462795897094146279875891778979105083542718697522354293720390555583138116252029711521089684360872967791348044303/10451758165560452881389976027990800416439530658510501721356608355367354793591554283761028925628710486954470108380741178841356091686371644844121356466122410957621012747581904063216295821051398748755008044080809765201293903345979653179781255388556158912243629334951165942421312047654930257551858479878160812715957469882100084496527533943323905583944130155813439184281767925, 9975000149905320052893782601550222981882642926059241935012288111374955924239694239471630162755252243549520640974559201938144103161450035405913080536309401513095562710371297756365814866626955847575357416673868645320251987403215369500541633266729406030204688583645995211848311057266236016922768988654486942662880910806498840662980475997863484039976310601056365381207087027418459839151562360966828413168693068911247498159554109113309026108481202144753821577443910981552771909450559404630926572979837723113354684936623747826102304051458729205089350540256109652683517872406070601008021385615398745037673623129956930401509081630261454752610402169169556965701631845964178489639968491502303452953104043655155353702173215433323779681395680155234480501/11102399074722687763766361940211914700048295404045269705370099700142263911515846850803496095063760332964691260499783261215735885422265480921375976051036525883717541438081504095838472451963837426296162566047509682283167754233487177487919961039354944764653543070871837918170545082875527967235634384443247060783724256821551419126712986116980558874991346024414079929402986751676106528017270209141985654094288877406607862522543884822012126165776946957779391387312692917323709459148869899042862233338094825516594739728521066802845607810262039321155493029544904023823654231526787281956902569620129699347473744639995614520479039644066377498908185587970556656536107799361664638