Powered by CoCalc
����;� TeX output 1999.01.25:0141������ufv�������6fv����G5�D��tG�G�cmr17�Subgroups�7tin�whic��qh�a�Cohomology�Class�Splits����W���X�Qcmr12�(Second��Rough�Draft�{�m��rust�reorder,�nish�last�section.)��lύ�������KWilliam��A.�Stein�����2��K�cmsy8����������ύ��/
�Jan��ruary��25,�1999��3��������,�"V

cmbx10�Abstract����``�K�`y

cmr10�Let��I�
�b>

cmmi10�G��b�Ge�a�group,�粵M��d�a��Z�[�G�]-mo�dule,��and��c���
!",�

cmsy10�2��H������^��	0e�rcmmi7�q��:��(�G;���M��).�DW��*�e��Istudy����Q`the�>�indexes�of�subgroups��H������G��for�whic���h��c��restricts�to�0.��In�particular,����Q`w���e���in�v�estigate�the�situation�when�the�greatest�common�divisor�of�the����Q`indexes�UUis�itself�an�index.��"m����6�5��N�ffcmbx12�1��NL�In���tro�s3duction��q���6�K�`y
�3
cmr10�Let��^�6�b>
�3
cmmi10�G��b�M�e�a�(pronite)�group�and�let��M���b�e�a�(discrete)��G�-mo�dule.���F��eor�an��!y��
����6in��!teger��3�q��:�7!",�
�3
cmsy10��]��0�let��H���������2cmmi8�q��x��(�G;��1M�1��)�denote�the��q�d��-th�cohomology�group�in�the�sense����6of��u[�A��6g].��
Th��!us��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�is�an�additiv�e�ab�M�elian�group�asso�ciated�co��!v��dDarian�tly����6to��U�M�'�and�con��!tra�v��dDarian�tly��Uto��G�.�ͩIf��H���is�a�nite�index�subgroup�of��G��there����6is���a�restriction�map��res���5I����H��|ڹ:�.M�H��������q��x��(�G;��1M�1��)��!��H��������q���(�H�H;��1M�1��).�In���this�pap�M�er�w��!e�study����6the��rset�of�indexes�of�subgroups��H�\|��x��G��for�whic��!h�a�giv�en�cohomology�class����6restricts��fto�0.����GSupp�M�ose��f�q�o:��
��1.���Dene�the��9�"V
�3
cmbx10�index��of��c��2��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�to�b�M�e��#�����WAind�����(�c�)�
�=���gcd���wu�f�[�G��:��H����]�:��res����&����H���j�(�c�)�=�0�g�:����6�Sa��!y�Qmthat��c��is�a��sharp���cohomology�class�Qm�if�there�exists�a�subgroup��H�5.�suc�h��
����6that�U�[�G�
��:��H����]�=��ind��?�(�c�)�and��res��������H���K�(�c�)�=�0.���In�w��!ords,�e�\the�index�is�attained,"�or����6\the�@�greatest�common�divisor�of�the�indexes�is�itself�an�index,"�T�or�ev��!en�\the����6gcd��equals�the�minim��!um."���The�triple�(�q�d�;��1G;�M�1��)��is�called�a��sharp���triple��if����6ev��!ery��<�c����2��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�is�sharp.��_A��(group��G��is�a��sharp���group��if�(�q�d�;�G;�M�1��)�is����6sharp���for�ev��!ery��G�-mo�M�dule��M�#��and��q�o:��
��1.���A����Z�-mo�dule��M�#��is�a��sharp�cmo�Y�dule����6�if��f(�q�d�;��1G;�M�1��)�is�sharp�for�ev��!ery��q�o:��
��1�and�group��G��with�an�action�on��M��.��6�	�؉ff��p�
L͍���Q
��-=�q�%cmsy6�����a�&o���		cmr9�UC�TBerk��9eley��:�,�Departmen�t�of�Mathematics,�Berk�eley��:�,�CA�94720,�USA.������C3�1����*�ufv�������6fv���홊��G�In�Q�the�rst�section�w��!e�dev�elop�basic�prop�M�erties�of�the�index�of�a�coho-��
����6mology��Lclass.�L�Then�strongly�Sylo��!w�groups�are�in�tro�M�duced�and�sho�wn�to�b�M�e����6sharp.�4:W��ee��0next�deriv��!e�a�criterion�for�sharpness�and�use�it�to�pro�v�e�that����6quotien��!ts��~of�sharp�groups�are�sharp.��&Then�w�e�sho�w�that��F���z�p��7���pR�F���z�p��o۹is�often�a����6sharp���mo�M�dule.�'7Next�w��!e�giv�e�examples�sho�wing�ho�w�sharpness�can�fail,���and����6some��Squestions�w��!e�w�ere�unable�to�answ�er.�ǤIn�the�last�section,��sharpness�is����6applied��fto�arithmetic�questions.��"�A���6�2��NL�Sharp�ffGroups��q���6�Let�*��G��b�M�e�a�pronite�group,�L�M�\��a��G�-mo�dule,�Land��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�the��q�d��-th�coho-����6mology�$.group.�W5In�this�section�w��!e�assume�that��q�@����I�1.�A�$subgroup��H��of��G����6�splits�h��c��if��res����V����H�����(�c�)�
�=�0.��XLet��h�ord��A�(�c�)�h�denote�the�order�of��c��as�a�group�elemen��!t.��������6�Lemma�2�2.1.���{���>�':
�3
cmti10�L��p�et��S�G��b�e�a�nite�gr�oup,���M���a��G�-mo�dule,��and��q�&^���˹1�.��Then����6�H��������q��x��(�G;��1M�1��)����is�annihilate��p�d�by��#�G�.������6Pr��p�o�of.���XON�This��fis�pro��!v�ed��fas�Corollary�1�of�Section�6�of�[�A��6g]�b��!y�using�that�����6cores��O�(����1�res���L��:u�f�|{Ycmr8�1�g���c�=�
�#�G�.�����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������6�Prop�Y�osition�2�2.2.�����$��ord�����(�c�)�
��j���ind��?�(�c�)����and�they�have�the�same�prime�factors.������6Pr��p�o�of.���XON�Supp�M�ose��p�H�!���>
�G��splits��c�.���There�is�a�map��cores����g����H��* ��:��H��������q��x��(�H�H;��1M�1��)��!����6�H��������q��x��(�G;��1M�1��)���suc��!h�that��cores���Z۟���H��&GP����res���L�����H��e�(�c�)���=�[�G��:��H����]�����c�.��WTh��!us���[�G��͹:��H��]�����c��͹=�0����6and��)hence�the�order�of��c��divides��ind��Ӏ(�c�).��'Let��p��b�M�e�a�prime�and�let��G���z�p��	e��b�e����6a��ZSylo��!w��p�-subgroup�of��G�,�6Wso�the�(generalized)�index�[�G��:��G���z�p���]�]��Zis�coprime����6to��.�p��and��G���z�p��	{��is�a�(pro)��p�-group.�4If��p��do�M�es�not�divide�the�order�of��c��then����60�
�=��res����&����G���;�cmmi6�p������(�c�)��2��H��������q��x��(�G���z�p���]�;��1M�1��)��fso�that��ind��۽(�c�)�j�[�G�
��:��G���z�p���]��fis�not�divisible�b��!y��p�.����Ƅd,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GLet�/��t��d�2��G�.�	z6Consider�the�inner�automorphism��f�� �:��G��!��G��giv��!en�b�y����6�f�-��(�s�)���=��tst������1��\|�.�_�This���turns��M�e�in��!to�a�new��G�-mo�M�dule,��denoted�b�y��M��1�����t���i�,��and����6giv��!es��a�homorphism��f��-�������	�"�:��b�H��������q��x��(�G;��1M�1��)��!��H��������q���(�G;��1M��1�����t���i�).�>/The��map��g�2��:��b�M��1�����t�����!��M����6�sending�m�a��to��t������1��\|�a��denes�an�isomorphism��M��1�����t��
�!�S��M�7�and�induces�a�map����6�g���z���ʫ�:�
��H��������q��x��(�G;��1M��1�����t���i�)��!��H��������q���(�G;��1M�1��).������6�Prop�Y�osition�2�2.3.����$��g���z���.���n��f��-�������	ت�is���the�identity�map��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�
��!��H��������q���(�G;��1M�1��)�.������6Pr��p�o�of.���XON�This�}�is�Prop�M�osition�3�of�[�A��6g].�
dWThe�pro�of�uses�dimension�shifting.����6(There��fis�a�t��!yp�M�o�in�(4.2)�of�[�A��6g]:���the�rst��A��should�b�e�replaced�b��!y��A�����t���ʹ.)�����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������6�Lemma�2�2.4.���{���If����H�Ϋ�splits��c��then�every��G�-c��p�onjugate�of��H��splits��c�.������C3�2������ufv�������6fv���홊����6�Pr��p�o�of.���XON�Let�$�t��-�2��G�,�C�let��f�	�:��G��!��G��b�M�e�the�inner�automorphism��f�-��(�s�)�=��tst������1���
����6�and��)let��g�$��b�M�e�the�map��M�g5�!�5��M��ȹsending��a��to��t������1��\|�a�.�+%As�in�section�4�of�[�A��6g]�w��!e����6use��ffunctorialit��!y�of��H��������q��x��(��1�;��b�)�to�obtain�a�comm�uting�diagram��4�)�������������H��������q��x��(�G;��1M�1��)������k��gG�res����ؽ�X.�H�����������ܙ��������΍������Ȋ������Z�������Ȋ�������?!���������H��������q��x��(�H�H;��1M�1��)���
���������#�
��f��-���������Q��#�
��f��-���������/͍������H��������q��x��(�G;��1M��1�����t���i�)������nɍ���e��res��������T�f�����G���Aa�cmr6�1��
��(�H�s�)���	�7���������������ˬƍ������Ȋ������Z�������Ȋ�������������Ȋ�������������Ȋ�������������Ȋ������b�!�������X]�H��������q��x��(�f��-������1���8�(�H����)�;��1M��1�����t���i�)��������6�#�
��g���z�������#�
��g���z������������H��������q��x��(�G;��1M�1��)������nɍ���e��res��������T�f�����G��1��
��(�H�s�)���	�7���������������ˬƍ������Ȋ������Z�������Ȋ�������������Ȋ�������������Ȋ�������������Ȋ������b�!�������!B�H��������q��x��(�f��-������1���8�(�H����)�;��1M�1��)�����4�*��GBy��((2.3),��Xthe�v��!ertical�map��g���z���T������f��-�������	��on�the�left�is�the��identity��map.��"Th�us����6if���fres�������H��9)�(�c�)�
�=�0��fthen�so�m��!ust��res����_n�f���ǟ�����1��
Ӈ�(�H����)��.���(�c�)�
�=�0,��fwhic�h�pro�v�es�the�Lemma.���P=�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����꾍�GThe��rfollo��!wing�lemma�sho�ws�that�if,�4for�eac�h�prime��p�,�4w�e�let��G���z�p��	�Ϲb�M�e�a����6Sylo��!w�oQ�p�-subgroup�of��G�,���then��ind����(�c�)�Y�=����ɖ�8��u
�3
cmex10�Q������<��p���K��ind��$��(�res���
y����G���p�����(�c�)).�8�F��eor�oQ�n��an�in�teger���M��6and��f�p��a�prime,�let��part����e���p���¹(�n�)�
�=��p������ord���H����p���Ɵ���(�n�)��莹.��/M����6�Lemma�2�2.5.���{���L��p�et�s�G���z�p��	���b�e�a�Sylow��p�-sub�gr�oup�of��G�.�JThen���part���r���p���Ϲ(�ind��5W(�c�))�n=�����6ind��E5W(�res���
y����G���p�����(�c�))������6�Pr��p�o�of.���XON�Supp�M�ose����H��'���f�G��splits��c��and�let��H���z�p��	�����H����b�M�e�a�Sylo��!w��p�-subgroup.����6Then��:ord������z�p���s�([�G��]�:��H����])�=��ord����9��z�p��T��([�G��:��H��][�H���:��H���z�p���]�])�=��ord����9��z�p��T��([�G��:��H���z�p���]).�ZBy�:Sylo��!w's����6theorems,���there�g�exists��t�L��2��G�g��so�that��tH���z�p���]�t������1���1��L��G���z�p���.�!�By�g�(2.4),��tH���z�p���t������1����also����6splits�� �c�.�gTh��!us��ind��	w(�res���
y����G���p�����(�c�))�j�[�G���z�p��	��:���t������1��\|�H���z�p���]�t�]�so,��since��ord�������z�p��tY�([�G��:��t������1��\|�H���z�p���]�t�])�=�����6ord���E�ܟ�z�p��J�9�([�G��:��H���z�p���]�])�=��ord������z�p���P�([�G��:��H����]),�"�it���follo��!ws�that��ind��4(�res���
y����G���p�����(�c�))�j���1�ind���(�c�).�oCOn����6the�/�other�hand,��R/ord���+��z�p���h�(�ind��5W(�c�))������ord���Ȏ��z�p����(�res���
y����G���p�����(�c�))�/�b�M�ecause�w��!e�can�compute�an����6upp�M�er��fb�ound�on��ord���B��z�p��F��(�ind��5W(�c�))�using�subgroups�of��G���z�p���]�.���e]�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����꾍���6�Prop�Y�osition�2�2.6.����$��F��)or���any�sub��p�gr�oup����H�Ϋ�of��G�,���ind�� A(�res���
y����H���ù(�c�))�j���1�ind���(�c�)�.����6�Remark:�
��If����H��������0�����:�G��splits��c��so�do�M�es��H�e��\����H��������0�����.�3FThere�is�a�natural�injection����6of�Kvsets��H�H=�(�H����\���H��������0�����)�
��,��,��!��G=H��������0���p�so�Kv[�H��h�:��H��\���H��������0�����]����[�G��:��H��������0���].���But,�]�it�Kvneed�not�b�M�e����6the���case�that�[�H��a�:���H�Yw�\�u��H��������0�����]��j��[�G��:��H��������0���],��!for���example,�let��H��V�and��H��������0��b��b�M�e�distinct����6order���3�subgroups�of��S���z�4����.��Then�3�
�=�[�H��h�:��H�5��\�Q��H��������0�����]���whereas�[�G�
��:��H��������0���]�=������K��=ڽ24��=ڟ���p ��Kd�� 3��������=�8.��꾍���6�Pr��p�o�of.���XON�It�Ţsuces�to�sho��!w�the�divisibilit�y�for�eac�h�prime��p�.���Let��H���z�p�����b�M�e�a�Sylo�w����6�p�-subgroup��of��H����,�=and�use�the�Sylo��!w�theorems�to�extend��H���z�p���@�to�a�Sylo�w��p�-����6subgroup�*�G���z�p��ȇ�of��G�.��*If��H��������0���$�is�a�subgroup�of��G���z�p���whic��!h�splits��c�,��then��H��������0��]i�\��o�H���z�p�����6�splits��8�res��������H���\�(�c�).��wSince�8�[�H���z�p��Ů�:��Q�H��������0���]�\��c�H���z�p���]�]����[�G���z�p���:��H��������0�����]�8�and�eac��!h�is�a�p�M�o�w�er�of��p�,����6[�H���z�p����:�
��H��������0�� ��\�n��H���z�p���]�]��j��[�G���z�p���:��H��������0�����].���Th��!us���q���JKTpart���^fS���p��c-��(�ind��5W(�res���
y����H���ù(�c�)))�
�=��ind��?�(�res���
y����H���p���O�(�c�))��j���ind��(�res���
y����G���p�����(�c�))�=��part���%����p����(�ind��5W(�c�))�:�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������C3�3����Ġufv�������6fv���홊��G�Using�X�the�tec��!hnique�of�dimension�shifting�w�e�no�w�sho�w�that�is�is�only��
����6necessary��fto�require�sharpness�of�(1�;��1G;�M�1��)��fin�the�denition.��������6�Prop�Y�osition�2�2.7.����$��If���(1�;��1G;�M�1��)��is�sharp�for�every��M���then��G��is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�W��ee�O�pro�M�ceed�b��!y�induction.���Let��M��b�b�e�a��G�-mo�dule�and��q�o:>�
��1.���Assume����6that�I�(�q�6�����1�;��1G;�M��1�����0���ع)�is�sharp�for�ev��!ery��G�-mo�M�dule��M��1�����0���.���Consider�the��G�-mo�M�dule����6�M��1�������
�=��?Hom���A(�Z�[�G�]�;��1M�1��).���There�C�is�a�natural�injection��M�B��!�?�M��������
5��whic��!h�maps����6�a����2��A�#W�to��'���z�a��Ϲ,�B�where��'���z�a��	'&�is�dened�b��!y��'���z�a���(�g�d��)���=��g�a�.�T�Hence�#Ww��!e�ha�v�e�an�exact����6sequence��fof��G�-mo�M�dules�������o?0�
��!��M�<F�!��M��1���z�����J�!��M��1���z��0��
�!��0�:����6�Since��j�M��1�������	�
�is�co-induced,��*it�follo��!ws�that�����:�m�H��������q�I{��1��U;�(�G;��1M��1�����0���ع)��!��H��������q��x��(�G;�M�1��)��jis�an����6isomorphism.���Since�>�a�co-induced��G�-mo�M�dule�is�also�a�coinduced��H����-mo�dule����6for��fan��!y�subgroup��H��'�of��G��w�e�obtain�comm�uting�diagrams��%DC����aꍍ�����H��������q�I{��1��U;�(�G;��1M��1�����0���ع)����[��!�����H��������q��x��(�G;��1M�1��)���
��������#��
��res����&����H����	מ�#��
��res����&����H�����������H��������q�I{��1��U;�(�H�H;��1M��1�����0���ع)����[��!���N��H��������q��x��(�H�H;��1M�1��)�����%����6In��yparticular,�Q�the�set�of�subgroups��H��:�of��G��whic��!h�split��c�D��2��H��������q��x��(�G;��1M�1��)��yis����6the�\>same�as�the�set�whic��!h�split���j�(�c�)��`�2��H��������q�I{��1��U;�(�G;��1M��1�����0���ع).�	�dBy�\>our�inductiv�e����6assumption,�?`(�q�����I�1�;��1G;�M��1�����0���ع)��is�sharp�so��c��is�sharp,�and�hence�(�q�d�;��1G;�M�1��)��is����6sharp.�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Lemma�2�2.8.���{���If����G��is�a��p�-gr��p�oup�then��G��is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�The�4�greatest�common�divisor�of�a�set�of��p�-p�M�o��!w�ers�4�equals�the�smallest����6so��f(1�;��1G;�M�1��)�is�sharp.�����Q�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GA�[Zgroup�[��G��is��strongly��Sylo��tw��if�it�has�the�follo��!wing�prop�M�ert�y:�H"Giv�en����6subgroups��/�H���z�p�����
��G���z�p�����for�eac��!h�prime��p�,�:there�exists��H��h���G��suc��!h�that,�:for�all��p�,����6a��Sylo��!w��p�-subgroup�of��H�eܹis��G�-conjugate�to��H���z�p���]�.�|oNilp�M�oten�t�groups�are�strongly����6Sylo��!w���b�M�ecause�they�are�the�direct�pro�duct�of�their�Sylo��!w��p�-subgroups.�ٷThe����6group��f�S���z�3��fj�is�strongly�Sylo��!w�but�not�nilp�M�oten�t.������6�Theorem�2�2.9.�����
�If����G��is�str��p�ongly�Sylow�then��G��is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�Let�k��M��P�b�M�e�a��G�-mo�dule.��KW��ee�m��!ust�sho�w�that�(1�;��1G;�M�1��)�k�is�sharp,�woso�let����6�c����2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��).��F��eor��eac��!h�prime��p�,�*^(2.8)�giv�es�a�subgroup��H���z�p���V�of��G���z�p���so�that�����6ind��E5W(�res���
y����G���p�����(�c�))�%=�[�G���z�p���a�:��H���z�p���]�].��!Cho�M�ose�O��H�3��as�guaran��!teed�b�y�the�prop�M�ert�y�of��G������C3�4����/��ufv�������6fv���홊��6�b�M�eing���strongly�Sylo��!w.��iF��eor�eac�h�prime��p�,��K(2.4)�insures�that�ev�ery��p�-Sylo�w��
����6subgroup�
Nof��H���splits��c�,�#Hi.e.,��ind��X�(�res���
y����H���p���O�(�c�))��*=�1.�	�By�
N(2.5),��#Hind��(�res���
y����H���ù(�c�))�=�1,����6so���b��!y�(2.2),���+res���q�����H����(�c�)�w�=�0.��Since���for�eac�h�prime��p�,���+ord������z�p���d�([�G�w��:��H����])�=��ord���P���z�p���([�G��:����6�H���z�p���]�])�A�=��ord������z�p�����([�G���z�p��		�:��H���z�p���])�=��ord������z�p�����(�ind��5W(�c�))�ait�follo��!ws�that�[�G�A��:��H����]�=��ind��w(�c�)�aso����6that��f�c��is�sharp.���Note,�this�pro�M�of�w��!orks�equally�w�ell�for��c�
��2��H��������q��x��(�G;��1M�1��).����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������GLet��f�f�8c�:�
��G��!��M���b�M�e�a�1-co�cycle�and�dene��k��!er��G�(�f�-��)�
�:=��f��o:�2��G��:��f��(��d��)�=�0�g�.������6�Prop�Y�osition�2�2.10.�����pɹk��!er���-(�f�-��)����is�a�sub��p�gr�oup���of��G��and��[�G�
��:��k��!er���(�f��)]�=�#�f��(�G�)�.������6Pr��p�o�of.���XON�If�#�����z�1����;��1���z�2���T�2��P�K���then��f�-��(����z�1������z�2���)��P=��f�-��(����z�1���)��c+�����z�1���f�-��(����z�2���)��P=�0�#�and�0��P=��f�-��(1)�=��
����6�f�-��(����e��d���1�����1������d��)���=��f��(����e��d���1�����1�����)�j�+�����e��d���1�����1����f�-��(����z�1����)���=��f��(����e��d���1�����1����a�so� R�K��ӹis�a�subgroup.�	K�If������2����G����6�and�x����8�2�i��K�ȁ�,���then��f�-��(��=O�d��)�=��f��(��=O�)��R+���f�-��(��d��)�i�=��f��(��=O�)�x�so��f����giv��!es�rise�to�a�w�ell-����6dened�smap�of�sets������p �$��
��f���]�:�_��G=K�(L�!��M�1��.�C�If�s����z�1����;��1���z�2��	��2��G��and������p �$��
��f���
�:�(����z�1����K�ȁ�)�=������p �$��
��f���
��(����z�2���K�ȁ�),����6then���f�-��(����z�1����)��
=��f��(����z�2����)��(b��!y�denition�of������p �$��
��f����h�so��f��(����e��=O��1�����1���������z�2����)��
=��f��(����e��=O��1�����1����˹)��+�����e��=O��1�����1����f�-��(����z�2����)��
=����6�f�-��(����e��=O��1�����1����˹)��e+�����e��=O��1�����1����f�-��(����z�1����)��U=��f��(����e��=O��1�����1���������z�1����)�=�0.�	�Th��!us��R�����p �$��
��f���/^�is�R�injectiv�e�and�#�f�-��(�G�)��U=����6#�f�-��(�G=K�ȁ�)�
�=�#(�G=K��)�=�[�G��:��K��].�������d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Example���2.11.���c��Caution:��I �k��!er���(�f�-��)��need��not��b�M�e�a�normal�subgroup�of��G�.�~�F��eor����6example,�
�let���G�
��=��S���z�3�����and��M�<F�=��Z�e���z�1���d���`�Z�e���z�2�����Z�e���z�3�����with��the�natural�p�M�erm��!utation����6action.��Let�[��f����b�M�e�the�1-co�cycle�determined�b��!y��e���z�1����,�j�so��f�-��(��d��)�
�=��e��:u��I{�(1)��[]�����e���z�1���.��Then�����6k��!er��D�d(�f�-��)�o�=��f�;��1�(23)�g� �is��not��a�normal�subgroup�of��G�.�	-
Note�that�3�o�=�[�S���z�3��
/��:�����6k��!er��D�d(�f�-��)]�
�=�#�f��(�S���z�3����)�=�#�f�0�;��1e���z�2��.���n��e���z�1���;�e���z�3��.���n��e���z�1���g�,��fas�predicted�b��!y�the�Prop�M�osition.������6�Lemma�2�2.12.������Fix���c�0��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)�.��bA�@sub��p�gr�oup��H��O�of��G��splits��c��i��H�y������6�k��!er��D�d(�f�-��)����for�some�c��p�o�cycle����f�8c�2�
��c�.������6Pr��p�o�of.���XON�If��i�H��j���
��k��!er���
(�f�-��)�then��res���T����H��n,�(�c�)�is�represen��!ted�b�y��f�-��j�����H���whic�h�is�the�0-����6co�M�cycle,��8hence���H�fйsplits��c�.�s�Supp�ose�con��!v�ersely��that�w��!e�kno�w�only�that��H����6�splits�A��c�.��GIf��f�:��2�
6�c�,�hRthen��f�-��j�����H��&z�2���res���������H�����(�c�)�=�0.��GHence�there�is��x��2��M�s(�so�that����6�f�-��(��d��)��m=����(�x�)�n���x����for�all���!�2��m�H����.��The�co�M�cycle��g��:��m���7!��f�-��(��d��)�n���(���(�x�)����x�)����6represen��!ts��f�c��and��g�d��j�H��h�=�
�0�so��H����
��k��!er���(�g�d��).�����6�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������6Th��!us�Q�the�set�of�k�ernels�of�co�M�cycles�is�\conal"�in�the�set�of�subgroups�whic�h����6split��f�c�,�and�so�they�can�b�M�e�used�to�compute�the�index.������6�Prop�Y�osition�2�2.13.����p��If����c�
��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)��then�������cV��ind��r��(�c�)�
�=���gcd���wu�f�[�G��:��k��!er���(�f�-��)]�:��f�8c�2��c�g��=���gcd����f�#�f�-��(�G�)�:��f�8c�2��c�g�:������6�Pr��p�o�of.���XON�The���rst�equalit��!y�follo�ws�from�(2.12)�and�the�fact�that��k�er��lS(�f�-��)�splits��
����6�c�,��fand�the�second�from�(2.10).����8�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������C35����=��ufv�������6fv���홊��G�Let��\�N����b�M�e�a�subgroup�of��k��!er��B�(�G�
��!���Aut��k��M�1��),��^x��\�c��2��H��������1���Ź(�G;��1M��)��\and�c��!ho�M�ose��
����6�f�8c�2�
��c�.��۬����6�Lemma�2�2.14.������The��.image��f�-��(�N�1��)��is�a��G�-submo��p�dule�of��M�/��and���k��!er����(�f��)�|��\��N�/��is����6normal��in��G�,��Hneither�dep��p�ends�on�the�choic�e�of��f����2�a6�c�.�@�F��)urther,��H�f�-��(�G�)��is�a����6union���of�c��p�osets�of��f�-��(�N�1��)�.������6Pr��p�o�of.���XON�Since�3��N�ew�acts�trivially��e,�W4the�co�M�cycle��f�$�:��c�N�(�!��M��is�3�a�homomorphism����6of�[�groups�and�th��!us��f�-��(�N�1��)�is�a�subgroup�of��M��.���If����Z�2�8��G��and��x��2��N��L�then,����6using�(that��x��acts�trivially�on��M�1��,��~w��!e�ha�v�e���d�f�-��(�x�)��o=��f��(��d��������1����)�p	+���d�f��(�x�)��o=����6�f�-��(��d��)�Ļ+���f�-��(��������1����)�+���f�-��(�x�)�
�=��f��(��d��)�Ļ+���f�-��(�x�)�+���xf�-��(��������1����)�
�=��f�-��(��x�)�Ļ+���xf�-��(��������1����)�
�=����6�f�-��(��d�x�������1����)�
��2��f��(�N�1��)�:��This�pro��!v�es�that��f��(�N�1��)�is�a��G�-submo�M�dule�of��M��.��If��f�-��(�x�)�
�=����60�kCthen��f�-��(��d�x�������1����)��i=���d�f��(�x�)�=�0�kCfor�all���a��2��i�G��so��k��!er���(�f��)����\��N���is�kCnormal����6in�;U�G�.�	��Since��N�l�acts�trivially�on��M�1��,���cob�M�oundaries�restrict�to�0�on��N��so����6that�9(�f�-��(�N�1��)�and��k��!er��ڌ(�f��)����\��N�jǹdo�9(not�dep�M�end�on�the�c��!hoice�of��f�,��2��?�c�.��$Finally��e,����6�f�-��(�G�)�
�=��[������I{�2�G���G�f��(�N�1��d��)�=��[������I{�2�G���G�(�f��(�N�1��)�,+��f��(��d��))�t�is�a�union�of�cosets�of��f��(�N�1��).������d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����s�����6�Lemma�2�2.15.������L��p�et��i�f��%�b�e�a�1-c�o�cycle�and��H�H;��1H��������0��Sc�sub�gr�oups�of��G��which�split����6�f�-��.�	vThen���the�join��H�H:H��������0�����also�splits��f��.������6Pr��p�o�of.���XON�By���(2.10)��k��!er���@(�f�-��)�is�a�subgroup�of��G�.��>It�con��!tains�b�M�oth��H�ڝ�and��H��������0���ֹso����6it��fcon��!tains�their�join.�����^�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����s���6�W���\arning:�w?�It��is��not��true�in�general�that�if�a�cohomology��class��c��is�split�b��!y����6subgroups��f�H��'�and��H��������0��X`�then�it�is�split�b��!y��H�H:H��������0�����.���See�(4.5).����GIf��f�H��'�is�a�normal�subgroup�of��G��then�the�sequence�����r�#0�
��!��H������z��1���Ź(�G=H�H;��1M��1���z��H��	J�)�������U�inf��5������������	|�!����z��H������z��1���(�G;��1M�1��)�������U�res��5������������	�D!����� �H������z��1���(�H�H;��1M�1��)������6is�H<exact.��`Up�M�on�setting��H��!�=��`k��!er����(�f�-��)����\��N�y۹w��!e�H<can�dene�sev�eral�cohomology����6classes��fnaturally�asso�M�ciated�to��c�
��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��).������6�Theorem�2�2.16.�������L��p�et����c��a�2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)�,�>��N�)����k��!er����(�G��!���Aut��Xr�M��)�,�>�and����f�%�2��c�.����6Then���the�fol��Flowing�ar��p�e�e�quivalent:����61.�	v�c�
��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)����is�sharp.����62.�	v�c�����0�����2�
��H��������1���Ź(�G=�(�k��!er���d(�f�-��)�n��\��N�1��)�;��1M��)����is�sharp.����63.��	v�����p ��N��c����7�2�
��H��������1���Ź(�G;��1M���=f�-��(�N�1��))����is�sharp.����64.��	v�����p ��N��c����	Ɛ����0���p�2�
��H��������1���Ź(�G=��dDN���;��1M�=f�-��(�N�1��))����is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�(1)�
��(��,�)��(2):��=Supp�M�ose�s'�H��h���G��splits��c�.���By�(2.12)�there�exists��g�o:�2��c��so����6that�
K�H��h���
��k��!er���(�g�d��),�)�and�b��!y�(2.14)��k�er����(�g�d��)�also�con�tains��k�er����(�f�-��)�6��\��N�<F�=��
�k�er���(�g�d��)��\��N�1��.����6Th��!us�c��g�d��,���and�hence��c�,�is�split�b��!y�the�join��H�H:�(�k�er���d(�f�-��)���\��N�1��).�OThere�c�is�a�one-����6to-one��index�preserving�corresp�M�ondence�b�et��!w�een��maximal�subgroups�of��G������C3�6����Q�ufv�������6fv���홊��6�splitting�-��c��and�maximal�subgroups�of��G=�(�k��!er���d(�f�-��)�s��\��N�1��)�-�splitting�the�class��
����6�c�����0�����2�
��H��������1���Ź(�G=�(�k��!er���d(�f�-��)�n��\��N�1��)�;��1M��)��fdened�b��!y��c�.����6(1)����(��,�)��(3):�)Since���an��!y�t�w�o�co�M�cycles�in�������p ��N��c���U�dier�b�y�the�cob�M�oundary�of�an����6elemen��!t�bOof��M���=c�(�N�1��),�o�and�suc�h�a�cob�M�oundary�is�the�image�of�the�cob�oundary����6of��?an�elemen��!t�of��M�1��,���the�set��f�f�͹:�R�f��2��c�g��?�surjects�on��!to�the�set��f�g����:��g��2�������p ��N��c���+�g�.�^iIf����6�f�+��2��8�c�,�](2.14)�8�implies�that��f�-��(�G�)�is�a�union�of�cosets�of��N��1�����0����=��f�-��(�N�1��)�and��N������0�����6�do�M�es��not�dep�end�on��f�-��,��hence��f�#�g�d��(�G�)��1:��g���2�������p ��N��c���eK�g��=��f�#�f��(�G�)�=�#�f��(�N�1��)�:��f����2��c�g�.����6Sharpness���means�that�the�set�of�in��!tegers�ab�M�o�v�e�satises��min��56=��5?gcd���
.�*�This�is����6true��Zof�the�left�hand�side�i�it�is�true�of�the�righ��!t�hand�side�i�it�is�true�of����6�f�#�f�-��(�G�)�
�:��f�8c�2��c�g�.����6(3)�is�(��,�)��(4):��If�|�g���2�������p ��N��c���9	�then�b��!y�(2.14)��g�d��(�N�1��)�=��f�-��(�N��)�=��f�0�g���M���=f�-��(�N��),����6so�;��N�56�����k��!er����(�g�d��).���Useing�(2.12)�w��!e�see�that�there�is�a�bijection�b�M�et�w�een�the����6maximal��`subgroups�of��G��splitting�������p ��N��c����ڹand�the�maximal�subgroups�of��G=��dDN����6�whic��!h��fsplit�������p ��N��c����c�����0��1��.����P�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������GW��ee��fcan�no��!w�deduce�that�quotien�ts�of�sharp�groups�are�sharp.������6�Corollary�2�2.17.����a�If�k��G��is�sharp�and��G�
��!��G�����0��9��is�k�a�surje��p�ctive�then��G�����0���is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�Let��9�M�عb�M�e�a��G�����0���r�mo�dule.��WMak��!e��M�عa��G�-mo�dule�via��G�-�!��G�����0���9�.��WLet��
����6�c�Z��2��H��������1���Ź(�G�����0���9�;��1M�1��),���f����2��c�,�and�֘let��N����:=��Z�k��!er���^(�G�Z��!��G�����0���9�)�����k��!er��(�G��!���Aut����M�1��).�nsThe����6map�9��G�
��!��G�����0���giv��!es�rise�to�a�map���o:�:��H��������1���Ź(�G�����0���9�;��1M�1��)��!��H��������1���(�G;��1M�1��):���on�9�co�M�cycles�it����6sends�1�f�8c�:�
��G�����0�����!��M�Dйto�the�map��G��!��M�Dйobtained�b��!y�comp�M�osing�with��G��!��G�����0���9�.����6Since�w��G��is�sharp,��	��d��(�c�)�
��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)�w�is�sharp,�so�b��!y�(2.16)�the�class�it�denes����6in�Ԗ�H��������1���Ź(�G=��dDN���;��1M�=f�-��(�N�1��))�W�=��H��������1���(�G�����0���9�;��1M�1��)�Ԗis�sharp.�hlBut�the�latter�class�is��c�,��"so��c����6�is��fsharp�and�b��!y�(2.7)�w�e�are�done.�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Theorem�2�2.18.�������Fix�HPa��G�-mo��p�dule��M�y��and�supp�ose�the�action�of��G��on��M����6�factors���thr��p�ough�a�sharp�quotient��G�����0���9�.�	vThen��(�q�d�;��1G;�M�1��)����is�sharp�for�every��q��.������6Pr��p�o�of.���XON�W��ee���rst�pro��!v�e���the�theorem�in�the�case��q�u%�=��1�and�then�apply�dimen-����6sion�)shifting.�'&By�(2.16),�/�(1�;��1G;�M�1��)�)is�sharp�i�(1�;��1G�����0���9�;�M���=f�-��(�N��))�)is�sharp�for����6all��f1-co�M�cycles��f�8c�:�
��G��!��M�1��.���This��fis�the�case�b�ecause��G�����0��t��is�sharp.����GNext�^�supp�M�ose�the�theorem�is�true�for��q�D�����1.��Let��M��1�����0��^��and��M��1�������	P��b�e�as�in�the����6pro�M�of��fof�(2.7)�so�there�is�an�exact�sequence�of��G�-mo�dules�������o?0�
��!��M�<F�!��M��1���z�����J�!��M��1���z��0��
�!��0�:����6�The�vhaction�of��G��on��M��1�������
h�factors�through��G�����0���9�:�}�If��h�eT�2���k��!er���(�G��!���Aut���e�M�1��)�vhand��
����6�a��F�2��M�1��,�'�then�
�for�an��!y��g���2��F�G�,��h:'���z�a��Ϲ(�g�d��)�=��'���z�a���(�g�d�h�)�=��g�ha��=��g�a��=��'���z�a��Ϲ(�g��).��Th��!us����6the��maction�of��G��on�the�quotien��!t��M��1�����0��
�=�
��M��1���������=��dDM���factors�through��G�����0���9�.��5As�in�the������C37����aĠufv�������6fv���홊��6�pro�M�of�nof�(2.7),�pw��!e�see�that�the�set�of�subgroups��H��/�of��G��whic�h�split�a�xed��
����6�c��2��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�K
is�the�same�as�the�set�whic��!h�split���j�(�c�)��2��H��������q�I{��1��U;�(�G;�M��1�����0���ع).���By����6our�y%inductiv��!e�assumption,��2using�that��G��acts�on��M�1��'�through��G�����0���9�,�w��!e�see�that����6(�q����n�1�;��1G;�M��1�����0���ع)��fis�sharp.���Th��!us��c��is�sharp,�and�hence�(�q�d�;��1G;�M�1��)��fis�sharp.�����d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����"�A���6�3��NL�Sharp�ffMo�s3dules��q�����6�Prop�Y�osition�2�3.1.����$��If��Jevery�(c��p�omp�act��Jpr�onite)�sub�gr�oup�of���Aut��P[�M� ��is�sharp����6then����M���is�a�sharp�mo��p�dule.��������6Pr��p�o�of.���XON�W��ee���m��!ust�sho�w�that�(�q�d�;��1G;�M�1��)���is�sharp�for�all�groups��G��and��G�-mo�M�dule����6structurs�4on��M�1��.�	��This�follo��!ws�from�(2.18)�since��G��acts�through�a�sharp����6subgroup��fof��Aut��w�M�1��.���·�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GW��ee�N�call�a��Z�-mo�M�dule��M���q�d��-sharp��if�(�q�;��1G;�M�1��)�N�is�sharp�for�all�groups��G�.����6Unlik��!e�;in�the�case�of�groups,�`<w�e�do�not�susp�M�ect�that��q�d��-sharpness�for�some����6�q���is��equiv��dDalen��!t�to��q�d��-sharpness�for�all��q��.���W��ee�ha��!v�e��only�the�follo��!wing�w�eek����6result.������6�Prop�Y�osition�2�3.2.����$��If�Ԡ�M�?�is��1�-sharp�and��M��1�����0���x�is�a�dir��p�e�ct�Ԡsummand�of��M��then����6�M��1�����0�����is���also��1�-sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�W��erite�&��M���=��U�M��1�����0��o
��o2�M���1�����0���؟��0���N�.�	_Supp�M�ose��G��is�a�group�with�an�action�on����6�M��1�����0���ع.��HExtend����G��to�act�trivially�on��M���1�����0���؟��0���N�.�There�is�an�injection��H��������1���Ź(�G;��1M��1�����0���ع)�����������5���������������G!�������6�H��������1���Ź(�G;��1M��1�����0������;�M���1�����0���؟��0���N�)�:�=
�If��c�
��2��H��������1���(�G;��1M��1�����0���ع)�=
and��f�8c�2�
��c��then�the�set�of�cardinalities�of����6images�>uof�co�M�cycles�in���(�c�)�is��f�#(��(�f�-��)��
+���j�(�a;��1b�))(�G�)�
�:�(�a;�b�)��2��M�1��g�>u�where���j�(�a;�b�)����6is�;�the�co�M�cycle�determined�b��!y�(�a;��1b�).���Since�(��(�f�-��)��l+���j�(�a;�b�))(��d��)�g=�(�f�-��(���)�;��1�0)��l+����6(��d��(�a�)�;��1b�)������(�a;�b�)�
�=�(�f�-��(��d��)���+����(�a�)����a;��1�0)�Y�w��!e�see�that�this�set�of�cardinalities�is����6the���same�as��f�#�g�d��(�G�)�
�:��g�o:�2��c�g�.�֥Since����M��\�is�sharp,����(�c�)�is�sharp�so�b��!y�(2.13),��c����6�is��fsharp.���7�%�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff��������6�Corollary�2�3.3.����.�A���cyclic�ab��p�elian�gr�oup�is�a�sharp�mo�dule.������6Pr��p�o�of.���XON�The���automorphism�group�of�a�cyclic�group�is�nite�cyclic,�ֈhence�ev��!ery����6subgroup��fis�sharp.���No��!w�apply�(3.1).������d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff������GLet��f�F���z�p����=�
��Z�=p�Z�.������6�Theorem�2�3.4.�����
�If����G�
�����GL���ze��z�2��:i�(�F���z�p���]�)��and��q�o:���1��then��(�q�d�;��1G;��F���z�p��6I��n��F���z�p���]�)��is�sharp.������6Pr��p�o�of.���XON�Let��7�M�<F�=�
��F���z�p��1���j��F���z�p���]�.��#If��p��=�2,����GL���e��z�2���i�(�F���z�p���]�)�=��S���z�3��d;�and�w��!e�are�done�b�M�ecause����6�S���z�3��fj�is��fsharp.���Th��!us�assume��p�
�>��2.������C38����	r̠ufv�������6fv���홊��G�Supp�M�ose��m�G��con��!tains�a�scalar��t�
��2��F���������A��p���x�nf�1�g�.���By��m(2.3)�the�map��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�
��!��
����6�H��������q��x��(�G;��1M�1��)�l�induced�b��!y�conjugation�b�y��t��is�the�iden�tit�y�map.�ʲIt�is�also�m�ulti-����6plication��Wb��!y��t��on�the��F���z�p��[��v�ector�space��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�so�since��t�
��6�=�1,���w�e��Wconclude����6that���H��������q��x��(�G;��1M�1��)��z=�0.��If��p��=���
�3
msbm10�-��#�G��then�(2.1)�implies�that��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�=�0.��W��ee����6th��!us��fassume��G�
�����SL�������z�2����(�F���z�p���]�)��fand��p�
��j��#�G�.����G�Case�<�1:����G��c��p�ontains�exactly�1�Sylow��p�-sub�gr�oup:��йLet���S��q�b�M�e��the��Sylo��!w����6�p�-subgroup�S8of��G�.�	�RSince�all�Sylo��!w��p�-subgroups�of��G��are�conjugate,��k�S��ʹis����6normal.�ȗThe�f�cohomology�group��H��������2���Ź(�G=S��;��1S����)�classies�short�exact�sequences����60�
��!��S��9�!��E��!��G=S��!��1�:��ٹSince��p�
��-��[�G��:��S����]���(2.1)�implies�that��H��������2���Ź(�G=S��;��1S��)�
�=�0����6so��Ethe�short�exact�sequence�0��!��S����!��G��!��G=S��!��1��Eis�trivial,��|hence�splits.����6The�Z�image�of��G=S����under�this�splitting�is�a�subgroup��N�i+��7��G��whose�order����6is��vcoprime�to��p��and�whose�index�equals�#�S��R�=����p�.�b
Let��c��2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��)�b�M�e����6nonzero.��Since�:��M�<F�=�
��F���z�p��_L�����F���z�p���]�,�Pg�c��has�order��p�.�Since�the�order�of��N�l��is�coprime����6to�Y:�p��(2.1)�implies�that��res���ҹ����N�����(�c�)�
�=�0.��$But�Y:[�G��:��N�1��]�=��p��so�b��!y�(2.2)�the�index�of����6�c��f�is��p��and�this�index�is�attained�b��!y�restricting�to��N���so�that��c��is�sharp.����G�Case�Iy2:�Ɣ�G��c��p�ontains�mor�e�than�1�Sylow��p�-sub�gr�oup:��n�The�
.subgroup��S�W��=����6�f����(����wڍ��T�1���
_����������T�0���
_�1�����r���)�����g����is�a�Sylo��!w��p�-subgroup�of��SL������z�2����(�F���z�p���]�).���All�Sylo�w��p�-subgroups�of��SL������z�2����(�F���z�p���]�)����6are�-�conjugate�so�they�are�of�this�form�with�resp�M�ect�to�some�basis.�s+Th��!us�a����6Sylo��!w��f�p�-subgroup�is�determined�b�y�the�line�it�xes�and�w�e�ha�v�e�a�bijection������`���f���f�Sylo��!w��p�-subgroups�of��SL�������z�2��S��(�F���z�p���]�)���Q��g�
��=��f���f�lines�in��F���z�p��6I��n��F���z�p���S݄�g�:����6�There���are��p��]�+�1���lines�in��F���z�p��H����]�F���z�p��v��hence�the�same�n��!um�b�M�er���of�Sylo��!w��p�-subgroups.��
����6Since�9��G��con��!tains�more�than�1�Sylo�w��p�-subgroup,�^Iit�m�ust�con�tain�the�sub-����6group�
��H��U�generated�b��!y�all�of�them.�
gThe�set�of�Sylo�w��p�-subgroups�is�closed����6under��fconjugation�so��H��'�is�a��normal��subgroup�of��SL�������z�2��S��(�F���z�p���]�).����GThe�t�order��n��of��H�X��divides�the�order�of��SL���b"��z�2��"&�(�F���z�p���]�)�whic��!h�is��p�(�p���+�1)(�p����1).�w�The����6union���of�the��p��ع+�1���Sylo��!w��p�-subgroups�of��SL����2��z�2��d6�(�F���z�p���]�)�has�cardinalit�y��p�(�p��ع+�1)����p�
��=����6�p�����2��V��(the���iden��!tit�y�is�coun�ted��p�O��+�1�times,���but�there�is�no�other�o��!v�ercoun�ting).����6Th��!us��^�n�
����p�����2����.���Since��n��j��p�(�p�\۹+�1)(�p����1)�it�is�exactly�divisible�b��!y��p��so��n��can't����6equal����p�����2��@��and�hence��n�
����p�����2����+�$1�=��p�(�p��+�1)���so�that��p�(�p��+�1)(�p����1)�=n�
����p����1.����6Therefore��fthe�quotien��!t��SL�������z�2��S��(�F���z�p���]�)�=H��'�is�a�group�of�order���
��p�n����1.����GBy��fthe�remark�in�VI�M�I.6�of�[�S��V]�there�is�an�exact�sequence���f���N�f0����^�!�����r�5�H������z��1���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���]�)�=G;��1M��1���z��G��Q7�)�������U�inf��5������
�������	|�!����z��H������z��1���(�SL����W��z�2���(�F���z�p���]�)�;��1M�1��)�������U�res��5������
�������	�D!����� �H������z��1���(�G;�M�1��)����������^�!�����r�5�H������z��2���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���]�)�=G;��1M��1���z��G��Q7�)��������6The���order�of��SL����H��z�2��aL�(�F���z�p���]�)�=H����is������p�"����1���so�b��!y�(2.1)��H��������2���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���)�=H�H;��1M�1��)���=�0.����6F��eurthermore,����1�
��2���SL�������z�2����(�F���z�p���]�)��so��H��������1���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���)�;��1M�1��)�
�=�0��and�hence��H��������1���Ź(�G;�M�1��)�
�=������C39����
�%�ufv�������6fv���홊��6�0.���W��ee��fare�no��!w�allo�w�ed�to�write�do�wn�the�exact�sequence�������N�f0����^�!�����r�5�H������z��2���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���]�)�=G;��1M��1���z��G��Q7�)�������U�inf��5������
�������	|�!����z��H������z��2���(�SL����W��z�2���(�F���z�p���]�)�;��1M�1��)�������U�res��5������
�������	�D!����� �H������z��2���(�G;�M�1��)����������^�!�����r�5�H������z��3���Ź(�SL����W��z�2���[�(�F���z�p���]�)�=G;��1M��1���z��G��Q7�)��������6Argueing���in�the�same�w��!a�y���sho�ws�that��H��������2���Ź(�G;��1M�1��)�
�=�0.�~Con��!tin�uing�inductiv�ely��
����6w��!e��fconclude�that��H��������q��x��(�G;��1M�1��)�
�=�0,��fso�(�q�d�;�G;�M�1��)�is�sharp.�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Corollary�2�3.5.����.�M�<F�=�
��F���z�p��6I��n��F���z�p���G�is���a��1�-sharp�mo��p�dule.������6Pr��p�o�of.���XON�Let��r�G��b�M�e�an�arbitrary�group�equipp�ed�with�an�action�on��M�1��,��<and�x��
����6�c����2��H��������1���Ź(�G;��1M�1��).�%�W��ee��m��!ust�sho�w�that��c��is�sharp.�%�Let��N��f�=����k�er��b+(�G����!���Aut��!��M�1��)����6and��c�f���b�M�e�a�co�cycle�represen��!ting��c�.���By�(2.14),����f�-��(�N�1��)�is�a��G�-submo�dule�of�����6Aut��Ja�M�F�and��b��!y�(2.16)��c��is�sharp�i�the�class��d�o�=�������p ��N��c����,-����0��iy�2��H��������1���Ź(�G=��dDN���;��1M�=f�-��(�N�1��))��is����6sharp.��!If���#�f�-��(�N�1��)���>��1�the�quotien��!t��M���=f�-��(�N�1��)�=�(�F���z�p��q;�����F���z�p���]�)�=f��(�N�1��)���is�cyclic�so����6(3.3)��implies��d��is�sharp.�G]The�remaining�case�is�#�f�-��(�N�1��)��|=�1.�Since���G=��dDN�P��is����6a��,subgroup�of��Aut��K=�M��;�=��{�GL����Z��z�2���^�(�F���z�p���]�)�w��!e�ma�y�apply�(3.4)�to�conclude�that��d��is����6sharp.���B��d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����"�A���6�4��NL�Examples��q���6�Let����G��b�M�e�a�nite�group.��There�is�a�natural�map��Z�[�G�]����!��Z����sending����ɖ�P��`��a���z�g�����g����6�to���	��ɖ�P���+�a���z�g��	k��2����Z�.���The��	�augmen��ttation�C�ideal��I�����G���M���Z�[�G�]�is�the�k��!ernel�of�this����6map�6�so�there�is�an�exact�sequence�0��:�!��I�����G����!��Z�[�G�]��!��Z��!��0.���Since�6��Z�[�G�]����6is��cohomologically�trivial,�2��H��������1���Ź(�G;��1I�����G����)�Ż=��cok��!er����(�H��������0���(�G;��1�Z�[�G�])��!��H��������0���(�G;��1�Z�))�=����6�Z�=�(#�G�)�Z�.���If�ӎ�H��O�is�a�subgroup�of��G��then��Z�[�G�]�is�cohomologically�trivial�as�an����6�H�5�mo�M�dule�1tso�w��!e�ha�v�e�an�isomorphism��H��������1���Ź(�H�H;��1I�����G����)����������h�����l����h�=������icok�er��)a�(�H��������0���(�H�H;��1�Z�[�G�])��h�!����6�H��������0���Ź(�H�H;��1�Z�))���������(d�����l���(d�=�������Z�=�(#�H����)�Z�(d�=��H������1���Ź(�H�H;��1I�����H��D�)��>Th��!us�the�restriction�map��res���1�����H��?�agrees����6with��fthe�natural�map��Z�=�(#�G�)�Z�
��!��Z�=�(#�H����)�Z�.��������6�Prop�Y�osition�2�4.1.����$��(1�;��1G;�I�����G����)��L�is�sharp�i�the�set��f�#�H�U˹:�r
�H����G�g��L�is�close��p�d����6under���taking�le��p�ast�c�ommon�multiples�of�subsets�(mo�dulo��#�G�).������6Pr��p�o�of.���XON�In��fthe�follo��!wing,�w�e�w�ork�mo�M�dule�#�G�.����GFirst��rassume�that��f�#�H�\͹:�y�H����G�g��r�is�closed�under��lcm����.�Let��m��2����6�H��������1���Ź(�G;��1I�����G����)��=��Z�=�#�G�Z�.�O�Then���Pres���Eϟ���H��_�(�m�)�=�0��Pi�#�H��A�j���m�.�The�index�of��m����6�is�c�#�G=���1�lcm��ۻ�f�#�H�*�:�FS#�H��j��m�g�,��(so�c��m��is�sharp�i��lcm��lX�f�#�H�*�:�#�H��j��m�g�cιlies�in����6�f�#�H�IJ�:�e�#�H��j��m�g�.�NCSince�v�the��lcm����divides��m��and��f�#�H�IJ�:��H����G�g�v��is�closed����6under���flcm����,��fthis�is�the�case.������f10�����y�ufv�������6fv���홊��G�Next�t�assume�that�(1�;��1G;�I�����G����)�t�is�sharp.�
H�Let��a���z�1����;���1:�:�:��?�;��1a���z�n���b�M�e�elemen��!ts�of��
����6�f�#�H��h�:�
��H����G�g��s�and�let��m��=��lcm��1(�a���z�1����;���1:�:�:��?�;��1a���z�n���P�).���By�sharpness,���lcm���.�f�#�H��h�:�#�H��j����6�m�g��O�lies�in��f�#�H��:� ,#�H��j��m�g�.��Since��O�a���z�1����;���1:�:�:��?�;��1a���z�n���|�2�f�#�H��:�#�H��j��m�g�,���this���Olcm��o(is����6�m�E�so�it�follo��!ws�that�there�is��H��h��
��G��so�that��m��=��lcm��1�f�#�H��h�:�#�H��j��m�g��=�#�H����,����6as��fdesired.���.i�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������6�Example���4.2.���y�ҹThe�a�subgroups�of��A���z�4��!��ha��!v�e�a�orders�1�;��1�2�;��3�;��4�;��12�a�so�(1�;��1A���z�4����;�I�����A��q�4�����)�a�is����6not��fsharp.�������6�Example���4.3.���y�ҹIf����M�1J�and��M��1�����0�����are�sharp�then��M�S��!w�M��1�����0���need�not�b�M�e�sharp.��JLet��n����6�b�M�e���the�largest�in��!teger�so�that��Z�����n��	J	�is�sharp.��NBy�(3.3),����n�
����1,�and���since��Z�����11�����is����6the����Z�-mo�M�dule�underlieing�the�augmen��!tation�ideal��I�����A��q�4���܉�is�not�sharp,��d�n�V����10.����6Then��f�Z�n����Z�����n��	N��is�not�sharp�but�b�M�oth��Z��and��Z�����n���are.������6�Example���4.4.���y�ҹEv��!en�pcif�(1�;��1G;�M�1��)�pcand�(1�;��1G;�M������0���ع)�pcare�b�M�oth�sharp,��d(1�;��1G;�M�4�����M������0���ع)����6need��Enot�b�M�e�sharp.��'The�subgroups�of��S���z�4���I�ha��!v�e��Eorders�1�;��1�2�;��3�;��4�;��6�;��8�;��12,���and��E24,����6whic��!h��is�cosed�under��lcm�� mo�M�dulo�24.��TTh�us��I�柹=�
��I�����S��q�4���	��,�#�w�e�ha�v�e�that�(1�;��1S���z�4����;�I����)��is����6sharp.�x�Let�wU�c�
��2��H��������1���Ź(�S���z�4����;��1I����)�corresp�M�ond�to�6�under�the�isomorphism��H��������1���(�S���z�4����;��1I����)���������
������l���
��=��������6�Z�=�24�Z�.��ZLet����'�%�:��S���z�4���)�!��Z�=�2�Z��b�M�e�the�non��!trivial�(sign)�homomorphism�and�let����6�d�%��=�(�c;��1'�)��2��H��������1���Ź(�S���z�4����;�I�"���F��(�Z�=�2�Z�)).���Then��a�subgroup�whic��!h�splits��d��m�ust����6split�n�'��hence�b�M�e�con��!tained�in��A���z�4����.�4�Th�us�the�subgroups�splitting��d��are�the����6subgroups��.of��A���z�4���2�whic��!h�split��c�.��5But��res���j�����A��q�4���s8�(�c�)��I�2��H��������1���Ź(�A���z�4����;��1I�����S��q�4���	��)�=��Z�=�12�Z��.�is�not����6sharp,��fso��d��is�not�sharp.������6�Example���4.5.���y�ҹLet�+��G��Ϲ=��S���z�3��붹and��c��=�2��2��Z�=�6�Z��=��H��������1���Ź(�G;��1I�����G����).�m�If��H�s�is�an��!y�of����6the�T3�subgroups�of�of�order�2�then��res���͝����H����(�c�)�,.=�0.��If�T�H�7߹and��H��������0���are�distinct����6subgroups�<^of�order�2�they�b�M�oth�split��c��but�their�join�is��S���z�3���b�whic��!h�do�es�not����6split��f�c�.���Th��!us�the�analogue�of�(2.15)�for�cohomology�classes�is�false.������6�Example���4.6.���y�ҹIf��"�G��ts�in��!to�an�exact�sequence�0�#5�!��G�����0���n�!��G��!��G������0���N9���0���?��!��0��"with����6�G�����0��ߨ�and�o�G������0���N9���0���	-�sharp,�,1m��!ust��G��b�M�e�sharp?��No,�as�the�example�0��
�!��V���z�4��}�!��A���z�4���!����6�C���z�3��ʫ�!�
��0��fsho��!ws.��"�A���6�5��NL�Questions��q���6�If��M�G��is�a�sharp�group�is�ev��!ery�subgroup�of��G��sharp?��*Are�direct�sums�of�sharp����6groups�a'sharp?���Giv��!e�a�purely�group�theoretic�c�haracterization�of�the�class�of����6nite���sharp�groups.��0Are�there�sharp�groups�whic��!h�are�not�strongly�Sylo�w?����6Are��fstrongly�Sylo��!w�groups�closed�under�either�direct�sums�or�quotien�ts?����GAre���either�submo�M�dules�or�quotien��!ts�of�sharp�mo�dules�necessarily�sharp?����6What��is�the�smallest�in��!teger��n��so�that��Z�����n��	��is�a�sharp�mo�M�dule?�C�F��eor�a�giv�en����6prime���p�,��what�is�the�smallest�in��!teger��n��so�that��F������n���A�p���	��is�a�sharp�mo�M�dule?���Are������f11������ufv�������6fv���홊��6�an��!y��$divisible�ab�M�elian�groups�sharp�mo�dules,�˓for�example��Q�?�7If�a��Z�-mo�dule��
����6�M���is��f�q�d��-sharp�for�some��q�o:��
��1�m��!ust�it�b�M�e��q��-sharp�for��al��Fl��q�o:��
��1.��"�A���6�6��NL�Arithmetic�ffApplications��q���6�This��fsection�is�under�construction.����GIn�2�the�con��!text�of�ab�M�elian�v��dDarieties,�I�Lic�h�ten�baum�[�L���]�has�studied�the�quo-����6tien��!t���Yind��&�(�c�)�=���1�ord���
(�c�).���Cassels��Y[�C���]�ga�v�e�an�elliptic�curv�es��E���=�Q��and�a�class����6�c����2��H��������1���Ź(�Q�;��1E����(���,R�p 	u��Ӯ��Q���	u��))���for�whic��!h��ord���m(�c�)����6�=��ind����(�c�),��but���sho�w�ed�that�if��c����2����hV1
wncyr10�X����(�E����)����6then���ford��B(�c�)�
�=��ind��?�(�c�).��������6�Prop�Y�osition�2�6.1.����$��L��p�et�֋�M�*�b�e�an�ab�elian�gr�oup,�s�K���a�numb�er�eld,�sand�let�����6�Gal��G(���4�p 
G����K���
G=K�ȁ�)����act�on��M����via�the�cyclotomic�char��p�acter.��wThen��(1�;���1�Gal���3(���4�p 
G����K���=K�ȁ�)�;��1M�1��)����6�is���sharp.������6�Prop�Y�osition�2�6.2.����$��L��p�et��}�K�s��b�e�a�numb�er�eld,�ۢ�a�g��2��K�ȁ�,�and��}�m��a�p��p�ositive�in-����6te��p�ger.��F��)actor�� the�p�olynomial��X��������m������0�a��as�a�pr�o�duct����ɖ�Q�����g���z�i��dڹ(�X����)��of�irr�e�ducible����6p��p�olynomials�I2�g���z�i��dڹ(�X����)��6�2��K�ȁ�[�X��]�.�	$MThen�I2the�minimum�of�the�de��p�gr�e�es�I2of�the��g���z�i�����6�divide���the�other�de��p�gr�e�es.����G�W��ee�'w��!ere�motiv�ed�to�study�sharpness�b�y�the�follo�wing�consequence�of�the����6Riemann-Ro�M�c��!h��ftheorem.������6�Theorem�2�6.3.�����
�L��p�et����E�4a�b�e�an�el��Fliptic�curve�of�a�eld��K�[P�and��G�
��=��Gal��&�(���4�p 
G����K���
G=K�ȁ�)�.����6Then���(1�;��1G;�E����(���4�p 
G����K���
G�))��is�sharp.����G�W��ee�Tw��!ere�unable�to�answ�er�the�analogous�question�for�higher�dimensional����6ab�M�elian��fv��dDarieties.������6�Question�2�6.4.����$6�Do��p�es��-ther�e�exist�a�nonsingular�plane�quartic��X��%�over�a�eld����6�K����p��p�ossessing��gno�p�oints�of�de�gr�e�e�dividing��3��over�any�quadr�atic�extension�of����6�K�ȁ�,���but�p��p�ossessing�a�de�gr�e�e��6��p�oint�over��K�ȁ�.����G�The�`�cohomology�group��H��������1���Ź(�K�,�;���1�Jac���2(�X����))�asso�M�ciated�to�suc��!h�an��X�<ٹw�ould����6not��fb�M�e�sharp.��"�A��6�References��q�����6�[A]���{�A��!tiy�ah,�v�W��eall,��Cohomolo��p�gy�@�of�Gr�oups�,�v�in���A��\lgebr�aic�Numb�er����{�The��p�ory�,���Ed.��mJ.W.S.�Cassels,�A.�F��er���fohlic��!h,�Academic�Press����{�(1967).������f12����
���ufv�������6fv���홊����6�[C]���{�J.W.S.���Cassels,� ��A��\rithmetic���on�curves�of�genus�1.�V.�Two��
����{�c��p�ounter�examples.��f�J.�London�Math.�So�M�c.��38��(1963)�244{248.��������6[L��eT]���{�S.�Lang,�6�J.�T��eate,��Princip��p�al�UIhomo�gene�ous�sp�ac�es�over�ab�elian����{�varieties�,��f�80��(1958)�659{684.������6[L]���{�S.��BLic��!h�ten�baum,�]x�Duality���the��p�or�ems�for�curves�over��p�-adic����{�elds�.��fIn��!v�en�t.�Math.��7��(1969)�120{136.������6[S]���{�J.P��e.��fSerre,��L��p�o�c�al���Fields�,��fSpringer�GTM��67��(1995).������f13���������;�ufv�
�>�':
�3
cmti10�=���
�3
msbm10�9�"V
�3
cmbx10�8��u
�3
cmex10�7!",�
�3
cmsy10�6�b>
�3
cmmi10�5��N�ffcmbx12�,�"V

cmbx10�&o���		cmr9�q�%cmsy6��K�cmsy8�;�cmmi6��2cmmi8��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17��hV1
wncyr10�K�`y
�3
cmr10�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10��������