Sharedwww / shacomp.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.05.18:0116������y�����?�����q���D��tG�G�cmr17�Visible�7tShafarevic��qh-T���Vate�Groups�of������Mo�s�dular�7tAb�elian�V���Varieties������������X�Qcmr12�Amo�S�d��Agashe������������William��Stein������fj��ш�Ma��ry��1999��$���!K�#t�:		cmbx9�Abstract���э�d���"o���		cmr9�Building��won�Barry�Mazur's�idea�of�\visibilit��9y"�w�e�p�A�erform�a�n�umerical����Wexp�A�erimen��9t��that�migh�t�b�A�e�used�to�sho�w�that�for�man�y�mo�A�dular�ab�elian����Wv��|rarieties�qd�$5��"		cmmi9�A��of�rank�0�and�lev��9el��N�$�%����		cmsy9��+5�1061,��gthat����hV1

wncyr10�X����(�A�)�con�tains�elemen�ts����Wof���the�order�predicted�b��9y�the�BSD���conjecture.��In�this�exp�A�erimen�t�w�e�nd����Wother���factors�of��J������Aa�cmr6�0��*��(�N����)�of�p�A�ositiv��9e�rank,��$satisfying�a�congruence�with��A�,����Wand���observ��9e�that�it�migh�t�b�A�e�p�ossible�to�use�them�to�pro�duce�elemen��9ts�of�����W�X��b���(�A�).�nIn��Ocarrying�out�these�computations�w��9e�w�ere�motiv��|rated�to�dev�elop����Walgorithms�Tfor�computing�in��9v��|rarian�ts�Tof�mo�A�dular�ab�elian�v��|rarieties.��!č�>�-��N�ffcmbx12�In���tro�s3duction�����>�K�`y

cmr10�Supp�Gose��"�
�b>

cmmi10�E�Z��
!",�

cmsy10����J����ٓ�Rcmr7�0��|s�(�N��)���^��new��;�is�a�mo�dular�elliptic�curv���e�with��E����(�3�"V

cmbx10�Q�)��=�0��"and���X�����(�E��)��=����>(�Z�=p�)���^��2��|s�.���John���Cremona,�&Adam�Logan,�and�Barry�Mazur�([�CM98��c�],�[�Maz98���v])����>made�Uthe�surprising�observ��q�ation�that�for��N��3����5077�there�is�often�an�elliptic�curv���e����>�F��j��F۵J����0��|s�(�N��)���with���X��E��(�F�c��)�=�0,��(�F��(�Q�)�=��Z���^��2��|s�,��(and���for�whic���h��E����[�p�]�=��F�c��[�p�]����J����0��|s�(�N��).����>F��*�requen���tly��these�h�yp�Gothesis�are�sucien�t�to�iden�tify�the��p�-Selmer�groups�giving����>a�UUcomm���uting�diagram�with�exact�ro�ws:��!qǍ����d���h�v0���w�w�!�����x�E����(�Q�)�=pE��(�Q�)����Ws�!�����Wt�Sel���������	0e�rcmmi7�p�����(�E����)���zV�!����#zW�X��/ݲ(�E����)[�p�]���Sp��!���gp��0�������!ȸjj������h�v�0���w�w�!������F�c��(�Q�)�=pF��(�Q�)����Ws�!�����i:�Sel����0X����p���Ϫ�(�F�c��)���zV�!����#��X��//��(�F�c��)[�p�]���Sp��!���gp��0�������>In�qjthis�situation,��othe�Mordell-W��*�eil�group�of��F����explains�the�Shafarevic���h-T�ate����>group��Fof��E����.���It�can�b�Ge�argued�that�exhibiting�elemen���ts�of�the�Mordell-W��*�eil����>group�߷is�visibly�easier�than�obtaining�elemen���ts�of���X���=�:���one�simply�searc�hes�for����>p�Goin���ts,�UUand�when�a�p�oin���t�is�found�it�is�quite�visible.����MBut���ho���w�large�can��p��b�Ge�in�this�picture?�SzW��*�e�kno�w�of�no�example�of�elliptic����>curv���es�`ڵE���;���F��i�as�ab�Go�v�e�with��p���>��13.��VConjecturally��*�,���there�`�will�only�b�Ge�nitely����>man���y��suc�h��p��(see�conjecture�(b)�of�[�F��*�re97��<],��|section�4.2�of�[�FM99����]).�E�F��*�urthermore,����>if��X�p��do�Ges�not�divide�the�mo�dular�degree�of��E�G�there�can�b�e�no�suc���h��F�c��.���On�the����>other��hand,���if��p��do�Ges�divide�the�mo�dular�degree�then�there�m���ust�b�e�some��6�':

cmti10�ab��}'elian����>variety�UU�B�G�����J����0��|s�(�N��),�not�con���taining��E����,�and�suc�h�that��E����[�p�]�8�\��B��q�[�p�]���6�=�0.������1����*�y�����?������M�In��8this�pap�Ger�w���e�b�egin�with�an�ab�elian�sub���v��q�ariet�y��8�A����J����0��|s�(�N��)���^��new��Iʲ.�oW��*�e�then����>compute�|pa�n���um�b�Ger�|p�S���whic�h�divides�the�order�of���X����(�A�)�as�predicted�b�y�conjec-����>ture�f�1.4.��{F��*�or�eac���h�prime��p�j�S����,�j�w�e�searc�h�for�another�ab�Gelian�v��q�ariet�y��B�dB���ѵJ����0��|s�(�N��)����>for��gwhic���h��p�j�#(�A�Y��\��B��q�).��In��gman�y�cases�w�e�exp�Gect�that�one�can�use��B�زto�uncon-����>ditionally�UUdeduce�that��p��divides�the�order�of���X���۲(�A�).�� �Ǎ�>�Con���ten�ts�����>�1��MMo�Q�dular��TAb�elian�V��
�arieties�P��9arametrized�b�y�Newforms��0o�2������M�1.1��dOptimal�UUQuotien���ts�q>����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����2������M1.2��dThe�UUBirc���h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture��\����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����3������M1.3��dConnecting�UUMordell-W��*�eil�and�Shafarevic���h-T�ate��-����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����4������>�2��MAlgorithms��Tfor�Mo�Q�dular�Ab�elian�V��
�arieties��pJA4������M�2.1��dMo�Gdular�UUSym���b�ols������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����4������M2.2��dThe�UUMetho�Gd�of�Graphs������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����5������M2.3��dEn���umerating�UUQuotien�ts�of��J����0��|s�(�N��)������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����6������M2.4��dThe�UUMo�Gdular�P���olarization��V����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����7������M2.5��dT��*�orsion�1t����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������M2.6��dComp�Gonen���t�UUGroups��ꍍ��.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������M2.7��d�L�(�A����f��/ �;����1)�=�
�eӍ���.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����8������M2.8��dThe�UUManin�Constan���t�q����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�����9������>�3��MResults��:9��� �Ǎ��>�1��VL�Mo�s3dular���Ab�elian�V���farieties�P���arametrized�b�y����VL�Newforms������>�7��N�cmbx12�1.1��\�Optimal��Quotien��ts��uT��>�An��Pab�Gelian�v��q�ariet���y�quotien�t�of��J����0��|s�(�N��)�is�called��optimal��if�the�k�ernel�is�connected.����>Let�JS�f�ڧ�2���S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�b�Ge�a�newform,�L�set��Q����f���8�=���Q�[�a����1���;���a����2���;��:�:�:�����],�L�and�JSlet��f����1��|s�;��:�:�:����;�f����d�����>�b�Ge�W$the��Gal���&(�Q����f��/ �=�Q�)-conjugates�of��f���.�w3Let��I����f���;�=���Ann��f�(�f��)�����T�W$�and��I����f��/ �J����0��|s�(�N��)�denote����>the��Dunion�of�the�images�of�the�endomorphism�in��I����f��/ �.���W��*�e�asso�Gciate�to��f��Ӳan����>optimal�UUquotien���t��A����f���u�of��J����0��|s�(�N��):��;�����&0���!��I����f��/ �J����0��|s�(�N��)��!��J����0���(�N��)��!��A����f���8�!��0�:����>�Let��ɵH�m,�=��.�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)�and��S����2����=��.�S����2���(����0���(�N��)�;����C�).��$In���tegration�denes�a�nonde-����>generate��pairing��S����2��-�����H�8�!��:�C��and�hence�a��p�Q�erio�d�u�map��H��!���:�Hom��������4f$�cmbx7�C�����(�S����2��|s�;����C�).����>Comp�Gosing�UUwith�restriction�to��S����2��|s�[�I����f��/ �]�denes�a�map��t���oD%����f���8�:���H���!���Hom���q(�S����2��|s�[�I����f��/ �]�;����C�)����C������d�����;��������f���(�x�)�=�������$�d������������u

cmex10�X����t���մi�=1���8�h�f����i��TL�;���x�i�f���������O!�cmsy7����፴i����s�:�����>�Let�UU�H����f���8�=���H�A�=�����Ker���8(����f��/ �).������2����7�y�����?��������>�Theorem��T1.1.�����εA����f����is���a��Q�-simple�ab��}'elian�variety�of�dimension��d�:��������I҂1.����W�L�-series:����L�(�A����f��/ �;���s�)��=������Q�����ލ�8�d��%��8�i�=1���WصL�(�f����i��TL�;�s�)�,�������I҂2.����W�Complex��TT��
�ori:����A����f��/ �(�C�)����and��A���^���_��v��f���㏲(�C�)��t�into�exact�se��}'quenc�es��#�b����w���v
�0�����!�����H����[�I����f��/ �]����S��!�����S��Hom����)���C���.�(�S����2��|s�;����C�)[�I����f��/ �]���#v�!���7v�A���^���_��v��f���㏲(�C�)���^���!���r���0����ٍ����c�#������#���C��#������v
�0�����!����rӵH����f�����S��!�����S��Hom����)���C���.�(�S����2��|s�[�I����f��/ �]�;����C�)���#v�!���7�J�A����f��/ �(�C�)���^���!���r���0�����%�������I҂�3.����W�Reduction��Tof��A����f��	t�at��p�:��%���������A�8��	����A>������A<������A>������A:������ፍ������go��}'o�d������if��z�p���1���

msbm10�-��N���fc��������pur��}'ely���multiplic�ative������if��z�p�jj�N�����������pur��}'ely���additive������if��z�p���^��2��C��j���N���;��p����5������)������>�Pr��}'o�of.���]UI�Section�UU1.7�of�[�DDT94�� �],�[�Shi73���],�[�Shi71��],�[�Lor��*�].���i���ff����d�ff�Y��ff����ff��������>�R��}'emark���1.2.���xk��1)�UU�A����f���u�need�not�b�Ge�����_�fe������Q�����-simple�[�Koi76���>].����>2)��The�class�of�ab�Gelian�v��q�arieties�isogenous�to�some��A����f��6Dzis�large.�W�It�is�conjectured����>to��dcon���tain�all��A=�Q��suc�h�that��End���(�A�)�i��
��Q��d�con�tains�a�totally�real�n�um�b�Ger�eld����>�K�(�=�Q�z��of�degree�=���dim��n�A�.�(�If��E�6�is�an�elliptic�curv���e�whose�conductor�is�not�divisible����>b���y�UU27�then��E���is�isogeneous�to�some��A����f���u�([�Wil95���Z],�[�CDT99�� Y]).���6���>�1.2��\�The��Birc��h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture��uT��>�Let��S�A���=��A����f���s�b�Ge�the�optimal�quotien���t�of��J����0��|s�(�N��)�corresp�onding�to�a�newform��f���.����>Let�Q��A�=�Z��b�Ge�its�Neron�mo�del.�p�Let��c����p���޲b�e�the�n���um�b�er�Q�of��F����p���R�-rational�comp�onen���ts����>of�'�the�sp�Gecial�b�er��A����F���O
�\cmmi5�p���
\m�.�b�A�'�basis��h����1��|s�;����:�:�:����;���h����d��Ѯ�for�the�Neron�dieren���tials�denes�a����>measure�jF���on��A�(�R�)�and�w���e�let�
����A��	�W�=�����(�A�(�R�)).���Let���X��
̲(�A�)�=��Ker��
�(�H������^��1��Lq�(�Q�;���A�)��!�����>����Q���Gqɟ�v��Mܿ�H������^��1��Lq�(�Q����v���N�;���A�))�:�)������>�Theorem��T1.3�(Kolyv��\ragin,�Logac��9hev).����o��If��8�L�(�A;����1)���6�=�0�,�then��A�(�Q�)��and���X��1��(�A�)����>�ar��}'e���b�oth�nite.������>Pr��}'o�of.���]UI�[�KL89��!]����c��ff����d�ff�Y��ff����ff������MThe�UUfollo���wing�conjecture�ties�together�the�in�v��q�arian�ts�of��A�.������>�Conjecture��T1.4�(Birc��9h,�Swinnerton-Dy�er,�T��
�ate).���2��Assume��8�L�(�A;����1)���6�=�0�.�B\Then,���i�����L�(�A;����1)��=�
����A��	%8������Y���
+�j��X�����j�8�������Q�������p�j�N��jT�c����p���l�Y��feH4�	(֍�j�A�(�Q�)�j�8��j�A���r�_��㏲(�Q�)�j�����L�z�:����M�If�pl�S���is�the�part�of��L�(�A;����1)�=�
����A��\IJcoprime�to������Q���ݵc����p�������j�A�(�Q�)�j��j�A���^��_��㏲(�Q�)�j�pl�then�a����>consequence�UUof�the�BSD�form���ula�is�that��S���divides��j��X�����(�A�)�j�.������3����%�y�����?�������>�1.3��\�Connecting��Mordell-W���eil�and�Shafarevic��h-T�ate��uT��>�Let�╵f��V;���g�"�2���S����2��|s�(����0���(�N��)�;��C�)��b�Ge�nonconjugate�newforms�and��A����f��/ �,����A����g�����the�corresp�ond-����>ing��xoptimal�quotien���ts�of��J����0��|s�(�N��).��0Let��:�%n�

eufm10�m�,����T��x�b�Ge�a�maximal�ideal�suc�h�that����>�A���^���_��v��f���㏲[�m�]��=��A���^���_��፴g����[�m�]����J����0��|s�(�N��).�QELet��ϵp��b�Ge�the�residue�c���haracteristic�of��m�.�Assume�that���y����(�p���-��2�N�O�������ӟ���Y���j���8�p�j�N���x��c����p���R�(�A����f��/ �)�c����p���(�A����g����)�:��!u��M�If��%one�wishes�to�deduce�non���trivialit�y��%of���X���вfrom�our�computations,���the�fol-����>lo���wing�UUtheorem�is�applied.������>�Theorem��T1.5�(Mazur).����>�We��have�the�fol���lowing�c��}'ommutative�diagr�am�with�ex-����>act���r��}'ows:��������d���F��0���U��!���i��A����f��/ �(�Q�)�=�m�A����f���(�Q�)�������!���ά��H������^��1��Lq�(�Sp�Gec�����Z�;����A����f��/ �[�m�])���)��!����=��X��I���(�A����f��/ �)[�m�]���u1��!����1��0�������~��jj������F��0���U��!���jV!�A����g����(�Q�)�=�m�A����g���(�Q�)�������!�����H������^��1��Lq�(�Sp�Gec�����Z�;����A����g����[�m�])���)��!����>#�X��Iƥ�(�A����g����)[�m�]���u1��!����1��0�����)�Í��>�2��VL�Algorithms�fffor�Mo�s3dular�Ab�elian�V���farieties�����>�Cremona's��F[�Cre97���X]�en���umeration�of�elliptic�curv�es�pro�Gceeds�for�eac�h�lev�el��N��,��Bas����>follo���ws.�/�First�?Ethe��q�[ٲ-expansion�of�a�newforms��f�`��=��L�����P���޵a����n��q~�q����^��n��
R�2�L��S����2��|s�(����0���(�N��)�;����Z�)�?Eis����>found.��XThe�]�rational�n���um�b�Ger�]۵L�(�f��V;����1)�=�
�can�then�b�e�quic���kly�computed.��XThe�p�e-����>rio�Gd�lattice�asso�ciated�to��E����f��32�is�computed�and�from�this�the�in���v��q�arian�ts��c����4�����and��c����6�����>�of�h�a�W��*�eierstrass�equation�are�obtained.��hWith�the�explicit�W�eierstrass�equation����>in�)�hand�it�is�then�p�Gossible�to�compute�the�torsion�subgroup�of��E����f��Y�(Nagel-Lutz)����>and�E�the�T��*�amaga���w�a�E�n�um�b�Gers��c����p����(T��*�ate's�algorithm).�l�The�mo�dular�degree,�H�whic���h����>con���trols���congruences,��is�computed�b�y�a�tric�k�deriving�from�ev��q�aluating�the�P�e-����>terson��!norm�in�t���w�o��!dieren�t�w�a�ys,���as�describ�Ged�in�section�2.15�of�[�Cre97���X].�^*F��*�or����>elliptic��curv���es�Cremona�has�already�computed�all�of�the�in�v��q�arian�ts�w�e�will�need.����MNo���w���remo�v�e�the�obstruction�that��f�ڧ�=�������P�����a����n��q~�q��[ٟ�^��n���o�2���S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�ha���v�e�rational����>F��*�ourier�*co�Gecien���ts.���W�e�w���ould�lik�e�still�to�compute��L�(�A����f��/ �;����1)�=�
,�_*the�mo�Gdular����>degree,��޵c����p���R�,�and���torsion.�qvIn�the�follo���wing�sections�w�e�state�algorithms�for�com-����>puting���man���y�of�these�in�v��q�arian�ts.���Pro�Gofs�are�not�alw�a�ys�giv�en,���but�will�app�Gear����>in�UUforthcoming�w���ork.���6���>�2.1��\�Mo�`dular��Sym��b�ols����>�Mo�Gdular�1lsym���b�ols�([�Cre97���X],�hq[�FM99����],�[�Mer94��� ])�will�b�Ge�used�in�en���umerating�the����>newforms�s�in��S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�),��computing�s�the�sp�Gecial�v��q�alues��L�(�A����f��/ �;��1)�=�
,��torsion����>and�UUthe�mo�Gdular�degree.����MMo�Gdular�N�sym���b�ols�giv���e�a�presen�tation�of�the�homology�of�the�mo�Gdular�curv�e����>�X����0��|s�(�N��),�UUalong�with�its�structure�as�Hec���k�e�UUmo�Gdule.�q�There�is�a�pairing�����B��h����;�UP�i���:��S����2��|s�(����0���(�N��)�;��C�)�8���H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;��Z�)���!��C�������4����38�y�����?������>�giv���en���b�y�in�tegration.���This�pairing�resp�Gects�the�Hec�k�e�action�and�is�nondegen-����>erate�lKso�kno���wing�it�on�homology�giv�es�information�ab�Gout�cusp�forms.���F��*�urther-����>more,�UUthe�pairing�resp�Gect�the�in���v�olution�UU���induced�b���y�conjugation.����MThe�9�space�of�mo�Gdular�sym���b�ols����M������feM���;���2���c�(����0��|s�(�N��)�;����Z�)�is�the�free�ab�elian�group�gen-����>erated��b���y�sym�b�Gols��f��	z;������g��suc�h�that���	z;�����$�2���P���^��1��|s�(�Q�)�=��Q��@�[�f1g��sub��8ject�to�the����>relations������m�f��	z;������g�8�+��f��;���
��8�g��+��f�
�;����	z�g���=�0�;�����%͸f��	z;������g���=��f�g�[ٲ(���)�;���g��(����)�g�;�����all��㎵g�"�2�������0��|s�(�N��)�:����>�(Quotien���t�sout�b�y�an�y�torsion.)���The�space�of�cuspidal�sym�b�Gols����B������fe�I���RL���2��ο�(����0��|s�(�N��)�;����Z�)����>is�$�the�free�ab�Gelian�group�generated�b���y�sym�b�Gols��f��	z�g�,�XZ��)�2� r�P���^��1��|s�(�Q�),�mo�dulo�$�the����>relation�����:��f��	z�g���=��f�g�[ٲ(���)�g�;�����all��㎵g�"�2������0��|s�(�N��)�:����>�The���cuspidal�sym���b�Gols����S������fe�6���U����2���)�(����0��|s�(�N��)�;����Z�)�are�the�k�ernel�of�the�b�Goundary�map��@�S��:������>�M��>����feM���JM���2��N~��(����0��|s�(�N��)�;����Z�)���!���B������fe�I���	�a���2��"Բ(����0���(�N��)�;����Z�)�UUgiv���en�b�y��@��8�(�f��	z;������g�)��=��f���g�8��f��	z�g�:����u_B0���!���S������fe�6���	�N���2����(����0��|s�(�N��)�;����Z�)��!���M������feM����e���2��Eز(����0���(�N��)�;����Z�)��!���B������fe�I���	�a���2��"Բ(����0���(�N��)�;����Z�)�:����M�The�UUHec���k�e�op�Gerators��T����p���act�on����M������feM���W����2����(����0��|s�(�N��)�;����Z�)�b�y��"\{��t���T����p���R�(�f��	z;������g�)��=�����Z���2����4�����	qğ��^�����d����8�p���$�8�0�������70���$�81�����.�9���^����8k��+����	[email protected]����X�����8�r����mo�7d��ʰ�p����� ����^������d���,�1���<q�r������,�0���;�p�����E腟��^�������Z��MD�3����MD�5��������f��;������g�:��#��>�(Omit����3���b�����Ǎ��
(2�p���j�0���_I���
9�0���j1����������b����3�if��3�p�j�N��.)�*bThe���-in���v�olution��3is��f��	z;������g��߲=��f��;��������g�.�*bW��*�e��3denote�b���y����>�H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Z�)���^��+��	��the�UUplus�one�eigenspace�for���.������>�Theorem��T2.1.�������Inte��}'gr�ation���denes�a�nonde��}'gener�ate���p�airing������7�S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�8����M������feM���;-���2�����(����0��|s�(�N��)�;����Z�)���!��C�:����>�The�i6image�of����S������fe�6���
7l���2���߲(����0��|s�(�N��)�;����Z�)��c��}'oincides�with�that�of��H����1���(�X����0���(�N��)�;����Z�)��and�the�image����>of�����M�������feM����4���2����(����0��|s�(�N��)�;����Z�)����is�a�lattic��}'e.������>R��}'emark���2.2.���xk��In�W�order�to�ecien���tly�compute�these�spaces�w�e�use�a�tric�k�of����>Manin's���whic���h�pro�vide�a�nite�n�um�b�Ger�of�generators�(section�2.2�of�[�Cre97���X],����>section�UU3�of�[�FM99����]).���6���>�2.2��\�The��Metho�`d�of�Graphs��uT��>�The�UUmetho�Gd�of�graphs�will�b�e�used�in�computing�the�T��*�amaga���w�a�UUn�um�b�ers�UU�c����p���R�.����MLet����M���b�Ge�a�p�ositiv���e�in�teger,��^�p��a�prime�not�dividing��M��,�and�put��N�l�=�UεpM��.����>Let���D�;8�b�Ge�the�nitely�generated�free�ab�elian�group�on�the�sup�eringular�p�oin���ts����>of���X����0��|s�(�M��)(����_�fe<o����F����<o���p�����),�c
i.e.�	_�the�enhanced�elliptic�curv���es��E���=�(�E���;���C���)���where��E��v�is�a����>sup�Gersingular�<�elliptic�curv���e�dened�o�v�er�����_�fe<o����F����
y*���p��U7�and��C��ײis�a�cyclic�subgroup�of�order����>�M��,���and��(enhanced�curv���es�are�iden�tied�if�they�are�isomorphic�in�the�eviden�t�w�a�y��*�.������5����BРy�����?�������M�Let��^�w����E��	��=�����&h��~�j��]��Aut���m(�E�)�j��~��ʉfe�������
��2�����)B�where��Aut���((�E�)�is�the�group�of�����_�fe<o����F����
�͟��p����-auotomorphisms�of��E�.����>W��*�e�iha���v�e��w����E��	Q<�����12�and�if��p����5�then��w����E��	Q<���3.���The��mono�Q�drom��9y��pairing��on��D����>�is�UUdened�b���y��qЍ���V�h�[�E�]�;����[�E������0���9�]�i���=������\�(����.���
�S�w����E�����"gQ�if�UU�E��=��E���^��0�����fc���
�S�0����"gQif�UU�E��6�=��E���^��0��������U^��>�Let������ٵX���:�J�����Zcmr5�0��� �(�N��,�)�;p��oܲ=���f�������X����q�a����E��i>�[�E�]��2��D�5�:��������X����㉵a����E��	0V�=�0�g�:��qˍ�>�F��*�or�UU�n�����1�coprime�to��p�,�dene��T����n���Ӳon��D��r�b���y��qˍ��dƵT����n��q~�(�E�)��=��������X����7����C���n����8�(�E���=C����n���;����(�C����+�8�C����n���)�=C����n���)�� s7��>where�B�C����n�����runs�through�the�subgroups�of�order��n��in��E�Փ�suc���h�that��C����n�����\�B�C�~4�=���f�0�g�.����>Dene��ean�in���v�olution��e�W����p�����b�y��W����p��{/�=��ݸ�����F��*�rob����V���p��p
�where��F��*�rob���&���p�� �ʲis�the�endomorphism����>whic���h�UUsends�(�E���;���C���)�to�(�E����^��p��2ߵ;���C�����^��p��Vn�).������>�Theorem��T2.3.�����εX���:�J���0��� �(�N��,�)�;p��
�E��C����is�isomorphic�as�a�He��}'cke�mo�dule�to�the�subsp�ac�e����>of���S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)��gener��}'ate�d�by�newforms�and�oldforms�of�level��pd��for��d�j�M��.����M�Using�d0an�equiv��q�alence�of�categories�it�is�p�Gossible�to�ecien���tly�compute�on����>�X���:�J���0��� �(�N��,�)�;p�� ���via��the�arithmetic�of�quaternion�algebras.���Da���vid�Kohel�[�Koh98��U[]�has����>implimen���ted��in�Magma�algorithms�whic�h�do�just�this�and�kindly�pro�vided�us����>with�UUhis�programs.���6���>�2.3��\�En��umerating��Quotien�ts�of����g�cmmi12�J�����|{Ycmr8�0����(�N�@�)��uT��>�W��*�e��no���w�describ�Ge�ho�w�to�list�the�optimal�quotien�ts�of��J����0��|s�(�N��).�W�Fix�a�basis�for�the����>�Q�-v���ector���space��V����=���H����1��|s�(�X����0���(�N��)�;����Q�)���^��+�����.�AJUsing���mo�Gdular�sym�b�Gols�(2.1)�w�e�compute����>matrices�UUrepresen���ting�the�action�of�the�Hec�k�e�op�Gerators��T����p���on��V�8�.����MLet����W�c��b�Ge�a��T�-stable�subspace�of��V�8�and�factor�the�c���haracteristic�p�olynomial����>of�UU�T����p���as������Q�����ލ���n��%���i�=1�����h����:��m���i���;Z��i���
�(�x�).������>�Prop�Q�osition��T2.4.����?�Set���W����i��d�=���Ker���(�h����:��m���i���;Z��i���
Ó�(�T�c��))�.���Then��M%���M-�W�*��=������ܔ�n�����������M����t���+�i�=1�����5�Ker��#��(�h����:��m���i���;Z��i���
�(�T�c��))���;��>�writes���W��v�as�a�dir��}'e�ct���sum�of��T�-stable�submo��}'dules.������>Pr��}'o�of.���]UI�Since�:��T��is�comm���utativ�e�:�the�k���ernels��Ker��^(�h����:��m���i���;Z��i���
Ó�)�are�all��T�-stable.�h�T��*�o�pro�v�e����>that��$�W�Y��is�a�direct�sum�of�the�indicated�subspaces�pro�Gceed�inductiv���ely�using�the����>follo���wing�SKobserv��q�ation.�qIf�the�c�haracteristic�p�Golynomial�of��T��ڲis��g�[�h�,�S�with��g��$�and��h����>�coprime,�	�then��there�exists�p�Golynomials��a;���b��so�that��g�[�a���+��hb����=�1.�"�An���y�奵w����2��W����>�can��th���us�b�Ge�represen�ted�as��w���=���g�[ٲ(�T�c��)�a�(�T��)�w�
��+��ҵh�(�T��)�b�(�T��)�w�D�.�^�By��Ca�yley-Hamilton,����>�g�[ٲ(�T�c��)�h�(�T��)�G=�0��so�the�image�of��h��is�con���tained�in�the�k�ernel�of��g����and�vice-v�ersa.����>Th���us�UU�g�[ٲ(�T�c��)�a�(�T��)�w���2����Ker���(�h�(�T��))�and��h�(�T��)�b�(�T��)�w���2����Ker���(�g�[ٲ(�T��)).���ND���ff����d�ff�Y��ff����ff��������6����So�y�����?������M�Set�;�p�F
�=�2.�#Compute�the�c���haracteristic�p�Golynomial�of��T����p���R�j�W�c��.�F��*�actor�it�as�����>����Q�����ލ�Gqɴn��%��Gq�i�=1���V���h����:��m���i���;Z��i���
Ó�.�!xW��*�rite���V�a��=�(���W����i���1�as�in�the�prop�Gosition.�Rep�eat���this�pro�Gcess�with��T����3�����>�acting�on�eac���h��W����i��TL�.���Since��T����Q��d �is�generated�b�y�nitely�man�y�Hec�k�e�op�Gerators,����>this�UUpro�Gcess�terminates.����MAfter�UUcomputing�the�decomp�Gosition�w���e�order�the�forms�as�follo�ws:�������J8�1.����WBy�UUdimension,�������J8�2.����WIn�Ibinary�b���y�the�signs�of�the�A�tkin-Lehner�in�v�olutions�with�+�X=�0�Iand����W����=�1,�UUe.g.,�+�8�+�+,�UU+�+���,�+����+,�+����,����+�+,�etc,�������J8�3.����WBy���tr���L(�a����p���R�)��b���y�absolute�v��q�alues,�فbreaking�ties�with�the�p�Gositiv�e�trace�b�Geing����Wrst.����>F��*�or�Ëhistorical�reasons�this�do�Ges�not�alw���a�ys�Ëagree�with�the�ordering�in�Cremona's����>tables�i�(page�5�of�[�Cre97���X]).��?There�is�exactly�one�case�in�our�tables�in�whic���h�the����>t���w�o�(�ordering�sc���hemes�disagree,�]uour���446B��!�t�is�Cremona's���446D��:`�.��[Rec�hec�k�this����>assertion�UUwhen�the�computations�are�done.]���6���>�2.4��\�The��Mo�`dular�P��olarization��uT��>�A���p�Golarization���of�an�ab�elian�v��q�ariet���y��A��is�an�isogen�y��A���!��A���^��_���v�arising���from�a�v�ery����>amply�pin���v�ertible�sheaf�(see�[�Mil86����]).�]&Because��J����0��|s�(�N��)�is�a�Jacobian�it�p�Gossesses�a����>canonical�~�principal�p�Golarization�arising�from�the����-divisor�and�this�induces�the����>�mo�Q�dular��Tp�olarization�UU�����f���8�:���A���^���_��v��f������!��A����f��/ �.���1u������€���A���^���_��v��f���������J����0��|s�(�N��)�������A����f�����
L��-fe���
�����O�

line10�?�����
L��fe���
���?�����π��@���ـ��@������@������@�������@�������@�������R����Ԁ��32�fd+������-����������[ٟ�^��_������������f�������������������M�By���([�Mil86����],�ѷtheorem�13.3)��deg���^(�����f��/ �)�is�a�p�Gerfect�square�so�w���e�dene�the��mo�Q�d-��
ҍ�>ular��degree� ��{X�=���u���h�p���v���h�fe ˔�^����deg��#�(�����f��/ �)����.�
.�ԥThe�k���ernel�of������f��	P�is�the�in�tersection�of��A���^���_��v��f���
��with����>�I����f��/ �J����0��|s�(�N��)�UUand�hence�measure�congruences�b�Get���w�een�UU�f�h�and�other�forms.������>�Prop�Q�osition��T2.5.����?�With���notation�as�in�the��}'or�em���1.1,���}����[email protected]�Ker���N�(�����f��/ �)��=��Cok���er��\p(�H����[�I����f���]����/Ӎ�1+�����f����-������������i���������������i�!�����Y�����f���(�H����))������>�Pr��}'o�of.���]UI�Apply�UUthe�snak���e�lemma�to�the�diagram�in�part�2�of�theorem�1.1.������ff����d�ff�Y��ff����ff������MTh���us�J�the�mo�Gdular�degree�can�b�e�computed�as�follo���ws:�l�Let��'����1��|s�;����:�:�:����;���'����2�d����b�e�a����>basis���for��Hom���H(�H�A�;����Z�)[�I����f��/ �]�and��a����1��|s�;��:�:�:����;�a����2�d��t�a�basis�for��H����[�I����f��/ �].�D�Then������f����is�the�square����>ro�Got�UUof�the�absolute�v��q�alue�of�the�determinan���t�of�the�matrix�(�'����i��TL�(�a����j��6��)).������7����c%�y�����?�������>�2.5��\�T���orsion��uT��>�Let��1�����p���R�(�X���)�ܸ2��Z�[�X��]��1denote�the�c���haracteristic�p�Golynomial�of��T����p��$��acting�on��A����f��/ �.�\It����>is�UUa�p�Golynomial�ha���ving�in�teger�co�Gecien�ts�and�degree�equal�to��dim�����A����f��/ �.������>�Theorem��T2.6.�������If���B�X�is�iso��}'gene�ous���to��A��then����m�D�j�B��q�(�Q�)����tor��
�u�j�����divides����&wd�gcd���5wf�f�����p���R�(�p�8�+�1)��:��Z��p����prime,��.��(�p;����2�N��)�=�1�g�:���6���>�2.6��\�Comp�`onen��t��Groups����>�Let�N��p�j�N�eβb�Ge�a�prime.�o�Let�����A;p��Q��b�e�the�comp�onen���t�group�of��A��at��p��so�there�is�an����>exact�UUsequence������70���!�A�������0�����F���p����
#��!�A����F���p����!������A;p�����!��0������>with�UU�A��the�Neron�mo�Gdel�of��A��and��A���^���0��g��F���p����
�²connected.���ҍ���>�Theorem��T2.7�(Additiv��9e�reduction).����cU�If���p���^��2��C��j���N��,�then������$�����A;p��
�(����_�fe<o����F����<o���p�����)��=��p������a��P��8�j�A����f��/ �(�Q�)����tor��
�u�j����>�for���some�nonne��}'gative��a�.������>Pr��}'o�of.���]UI�[�Lor93��*�]����Մ�ff����d�ff�Y��ff����ff������MSupp�Gose���that��p���j��N����but����p���^��2��C��-��N��.�5�Let��X����=��X���:�J���0��� �(�N��,�)�;p��IY�b�Ge�the�mo�dule�constructed����>in�tsection�2.2,�8�equipp�Ged�with�its�mono�drom���y�pairing��h����;�UP�i����:��X�{+���I�X����!��Z�.��#Let����>�X���[�I����f��/ �]�.�b�Ge�the��T�-mo�dule�cut�out�b���y�the�annihilator��I����f��	]�of��f���.��0The�mono�drom���y����>pairing�� induces�a�map��X���!����Hom���k(�X���[�I����f��/ �]�;����Z�).�C'Let������f��	�@�b�Ge�the�mo�dular�degree����>(section�UU2.4),�and��w����p���the�sign�of�the�A���tkin-Lehner�in�v�olution��W����p���on��f���.������>�Theorem��T2.8�(Multiplicativ��9e�reduction).���]��If���p��exactly�divides��N��,�then��g�����wC�j�����A;p��
�(����_�fe<o����F����<o���p�����)�j������|"�=������[email protected]�����f��h������<$��lj�����Cok���er��@(�X����!����Hom���q(�X���[�I����f��/ �]�;����Z�))�j���^��2���l�w�fe����	(֍��
";�disc��� (�X���[�I����f��/ �]�8���X��[�I����f��/ �]���!��Z�)�������Ե;����8�����wC�j�����A;p��
�(�F����p���R�)�j������|"�=��������[email protected]���\�(����.����Q{�j�����A;p��
�(����_�fe<o����F����<o���p�����)�j���
�u�w����q��1��=����1���fc����Q{�j�����A;p��
�(����_�fe<o����F����<o���p�����)[2]�j���
�u�w����q��1��=��+1��������[email protected]���>�2.7��\��L�(�A������2cmmi8�f��w�;����1)�=�
��uT��>�Let���f�d��2�Q�S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�b�Ge�a�newform�and��I����f���$��Q�T��the�annihilator�of��f���.�j
Denote����>b���y��q�f����1��|s�;����:�:�:����;���f����d��9#�the��Gal��/s(����_�fe������Q������=�Q�)-conjugates�of��f���.� Let�����f��W�:���'�M��'����feM���*>���2�����(����0���(�N��)�;����Q�)�'�!��C��q�b�Ge����>the�UUp�Gerio�d�mapping�����f��/ �(�x�)��=�(�h�f����1��|s�;���x�i�;��:�:�:����;��h�f����d�����;�x�i�).������>�Theorem��T2.9.�������L��}'et�U�'����1��|s�;����:�:�:����;���'����n��
�d�b�e�a��Q�-b�asis�for���Hom��+?(���M�����feM���M���2��~��(����0��|s�(�N��)�;����Q�)�;��Q�)[�I����f��/ �]����>�and��	���=��'����1��	�����������������'����n��	4]�:����M������feM����,���2��A��(����0��|s�(�N��)�;����Q�)��!��Q���^��n��q~�.�:�Then��n��=��d��and���Ker��Bs(����f��/ �)�=�����>Ker��N#�(	)�.�������8����	p��y�����?������M�Dene�UUa�set�theoretic�map��'����f���8�:�����M�������feM����e���2��Eز(����0��|s�(�N��)�;����Q�)���^��+��	j��!���Q�����0��ɲb���y������ܵ'����f��/ �(�x�)��=�[	(���M�����feM���M���2��~��(����0��|s�(�N��)�;����Z�)������+�����)�:�	(�T�x�)]����>where�G7the�lattice�index�is�tak���en�inside�of�the��Q�-v�ector�space�	(���M�����feM���M���2��~��(����0��|s�(�N��)�;����Q�))���^��+�����.����>The�UUlattice�index�do�Gesn't�dep�end�on�the�c���hoice�of�	.����MLet����S����2��|s�(����0���(�N��)�;����Z�)�denote�the�space�of�cusp�forms�whose��q�[ٲ-expansions�at����>innit���y�K4ha�v�e�in�teger�co�Gecien�ts.�Let������1��
��b�Ge�the�measure�on��A����f��zT�giv�en�b�y�c�ho�Gosing����>an�]�in���tegral�basis�for��S����2��|s�(����0���(�N��)�;����Z�)[�I����f��/ �].���Let�]�
����f��	�Բ=�������1��x�(�A����f���(�R�)���^��0��|s�)�(real�v���olume)����>where�UU�A����f��/ �(�R�)���^��0���Ȳdenotes�the�iden���tit�y�UUcomp�Gonen�t�of��A����f��/ �(�R�).������>�Theorem��T2.10.����C܍�����<$�����L�(�A����f��/ �;����1)�����w�fe$�?�	(֍�'
����f�������_��=����'����f��/ �(�f�0�;����1g�)��2��Q��!���>�2.8��\�The��Manin�Constan��t��uT��>�Let��e�S����f��/ �(�C�)�V����S����2��|s�(����0���(�N��)�;����C�)�denote�the�subspace�of�cusp�forms�spanned�b���y�the����>conjugates�ۿof��f���.�There�are�t���w�o�ۿlattices�in��S����f��/ �(�C�).�One�is�the�lattice��S����f��/ �(�Z�)�of����>cusp��forms�with�in���teger�F��*�ourier�expansion�at�innit�y��*�.�J�The�other��S����f��/ �(�A�=�Z�)�is�the����>pullbac���k�UUof�the�Neron�dieren�tials�dened�ab�Go�v�e.�q�The��Manin��Tconstan��9t��is�����!_�c����f���8�=��[�S����f��/ �(�Z�)�:��S����f���(�A�=�Z�)]�:����>�W��*�e��are�a���w�are��of�no�examples�of��newforms��f����for�whic���h��c����f��
�'�6�=�c1.�	$It�is�v�ery����>lik���ely�g�that�one�can�extend�metho�Gds�kno�wn�for�elliptic�curv�es�(e.g.,��:app�Gendix����>of�?[�Maz78���v])�to�sho���w�that��c����f��	=_�is�at�least�coprime�to�2�N��.���T��*�o�conclude�that�the����>computations��dof�this�pap�Ger�v���erify�the�BSD��Econjecture�in�certain�cases,���one�m�ust����>sho���w�UUsomething�of�this�form.��!č��>�3��VL�Results�����>�Step��T1:�pP��9ossible���X�����>�All��ݵA����f�����of�lev���el��N����l��1061�for�whic�h��L�(�A����f��/ �;����1)�=�
����f�����is�divisible�b�y�an�o�Gdd�square����>�n����f��/ �.����>�Step��T2:�pP��9ossibly�Explainable���X�����>�All�f��A����f���ܲfrom�the�previous�list�suc���h�that�for�eac�h��p�j�n����f��/ �,�kthere�exists�a��new��factor����>�B����g���\�of�UUp�Gositiv���e�analytic�rank�suc�h�that�(�A����f��h�\�8�B����g����)[�p�]���6�=�0.����>�Step��T3:�pNon��9trivial�Probably�Explainable���X�����>�F��*�or��eeac���h��f��in�the�previous�step�w�e�compute�the�geometric�comp�Gonen�t�groups����>and�.�torsion�of�the��A����f��	^�and��B����g����,�eCand�the�part��s����f���of��n����f���coprime�to�all�of�these����>n���um�b�Gers,�UUand�to�2�N��.�q�This�table�lists�those��f�h�for�whic���h��s����f���8�>���1.������9����
�y�����?�����2:����H*���C�A����f����q�g�s����f������N2�dim������T�w����q������^�g����p�����>��T������T�c�L=�
���8�������A����mgõB����g�����<t����C�389E����qѽ�5���^��2��������20�����o����ģ��97�����k97���[�5���^��2����;�k�5����f�K�389A��������C433D����qѽ�7���^��2��������16�����o������R�3���^��2�����2�3���^��2����[��7���^��2����-;��3�8���7����37����f�K�433A��������C446F����oQ��11���^��2�����#��8������+�����j��1�;����3����\l3�����11���^��2����&���11�8���359353����f��446B��������C664F����qѽ�5���^��2�����#��8�������+����F�a;����1����\l1���[�5���^��2����;�k�5����f�K�664A��������C1061D����lѼ�151���^��2��������46�����o�������5�8���61���޿�5�8���53���[�151���^��2����#;��61�8���151����179����c�L�1061A������>��>Step��T4:�pExplanatory�F��
�actors�UU�More�information�ab�Gout�the�factors��B����g����.�������H*���J���B����g�����t#�rank��������dim�������w����q����ȣ��g����p����ގ��T����G����B�����21T�Commen���ts�����<t����J���389A����{��2�����F1����r,�����ռ�1���߬g1�����05����rst�UUcurv���e�of�rank�2��������J���433A����{��2�����F1����r,�����ռ�1���߬g1�����07�������J���446B����{��2�����F1������+�����ٲ1�;����1���߬g1����J011�������J���664A����{��2�����F1��������+�����1�;����1���߬g1�����05�������J���1061B����{��4�����F2����r,�����ռ�1���߬g1�����/151�����2rst�UUsurface�of�rank�4�[�Bru95���>]������4��M�F��
�actorizations��������446��=�2�8���223�;����664��=�2������3���S��8�83��!č�>�References�������>�[Bru95]���i>A.�u�Brumer,�~�The���r��}'ank�of��J����0��|s�(�N��),�Ast�����Gerisque�u�(1995),�no.�228,�3,�41{68,����i>Colum���bia�UUUniv�ersit�y�Num�b�Ger�Theory�Seminar�(New�Y��*�ork,�1992).������>[CDT99]���i>Brian���Conrad,�tF��*�red�Diamond,�and�Ric���hard�T��*�a�ylor,�t�Mo��}'dularity�5�of�c�er-����i>tain�isp��}'otential���ly�Barsotti-Tate�Galois�r�epr�esentations�,�0jJ.�'0Amer.�Math.����i>So�Gc.�UU�12��(1999),�no.�2,�521{567.������>[CM98]���i>J.��mE.�Cremona�and�B.�Mazur,��5�Visualizing��elements�in�the�Shafar��}'evich-����i>T��;�ate���gr��}'oup�,�UUPro�Gceedings�of�the�Arizona�Win���ter�Sc�ho�Gol�(1998).������>[Cre97]���i>J.��@E.�Cremona,����A���lgorithms���for�mo��}'dular�el���liptic�curves�,�second��@ed.,����i>Cam���bridge�UUUniv�ersit�y�Press,�Cam�bridge,�1997.������>[DDT94]���i>Henri���Darmon,��?F��*�red�Diamond,�and�Ric���hard�T��*�a�ylor,��?�F��;�ermat's��last�the-����i>or��}'em�,���Curren���t��Pdev�elopmen�ts�in�mathematics,���1995�(Cam�bridge,���MA),����i>In���ternat.�UUPress,�Cam�bridge,�MA,�1994,�pp.�1{154.������>[FM99]���i>Gerhard�iF��*�rey�and�Mic���hael�M�G����uller,�m��A���rithmetic��of�mo��}'dular�curves�and����i>applic��}'ations�,�<Algorithmic�~algebra�and�n���um�b�Ger�~theory�(Heidelb�erg,����i>1997),�UUSpringer,�Berlin,�1999,�pp.�11{48.������>[F��*�re97]���i>Gerhard���F��*�rey�,��M�On�#+ternary�e��}'quations�of�F��;�ermat�typ�e�and�r�elations�with����i>el���liptic���curves�,��Mo�Gdular��forms�and�F��*�ermat's�last�theorem�(Boston,�������10�����=�y�����?������i>�MA,�c�1995)�(New�Y��*�ork)�(Gary�Cornell,��"Joseph�H.�Silv���erman,�and�Glen-����i>n��hStev���ens,��leds.),�Springer,�1997,�P�ap�Gers��hfrom�the�Instructional�Con-����i>ference�Q�on�Num���b�Ger�Theory�and�Arithmetic�Geometry�held�at�Boston����i>Univ���ersit�y��*�,�UUBoston,�MA,�August�9{18,�1995,�pp.�527{548.������>[KL89]���i>V.�C~A.�Kolyv��q�agin�and�D.�Y��*�u.�Logac���hev,�G�Finiteness��~of�the�Shafar��}'evich-����i>Tate�pegr��}'oup�and�the�gr�oup�of�r�ational�p�oints�for�some�mo�dular�ab�elian����i>varieties�,�UUAlgebra�i�Analiz��1��(1989),�no.�5,�171{196.������>[Koh98]���i>D.�UUKohel,��He��}'cke���mo�dule�structur�e�of�quaternions�.������>[Koi76]���i>M.�zKoik���e,��L�On��Ac��}'ertain�ab�elian�varieties�obtaine�d�fr�om�new�forms�of����i>weight���2��on������0��|s�(3���^��4���)����and������0��|s�(3���^��5���),�UUNogo���y�a�Math.�J.��62��(1976),�29{39.������>[Lor]���i>Dino�k�J.�Lorenzini,��P�On��the�jac��}'obian�of�the�mo�dular�curve��X����0��|s�(�N��),����i>Preprin���t.������>[Lor93]���i>Dino���J.�Lorenzini,��
�On�֬the�gr��}'oup�of�c�omp�onents�of�a�N�����$�er�on�mo�del�,��
J.����i>Reine�UUAngew.�Math.��445��(1993),�109{160.������>[Maz78]���i>B.��Mazur,�E�R��}'ational�Kaiso�genies�of�prime�de�gr�e�e�(with�an�app�endix�by�D.����i>Goldfeld)�,�UUIn���v�en�t.�Math.��44��(1978),�no.�2,�129{162.������>[Maz98]���i>B.��WMazur,���Thr��}'e�e�(�le�ctur�es�ab�out�the�arithmetic�of�el���liptic�curves.�,��T��*�o����i>app�Gear�WJin�the�pro�ceedings�from�the�Arizona�South���w�est�WJGeometry�Win-����i>ter�UUSc���ho�Gol�(1998).������>[Mer94]���i>Lo�����qc�UUMerel,��Universal���Fourier�exp��}'ansions�of�mo�dular�forms�,�UU59{94.������>[Mil86]���i>J.�|�S.�Milne,��l�A���b��}'elian���varieties�,�Arithmetic�|�geometry�(Storrs,��lConn.,����i>1984),�UUSpringer,�New�Y��*�ork,�1986,�pp.�103{150.������>[Shi71]���i>Goro���Shim���ura,�^�Intr��}'o�duction�3to�the�arithmetic�the��}'ory�of�automorphic����i>functions�,�.Publications��$of�the�Mathematical�So�Gciet���y�of�Japan,�No.�11.����i>Iw���anami�ҥShoten,���Publishers,�T��*�oky�o,�1971,�Kan^����o�ҥMemorial�Lectures,����i>No.�UU1.������>[Shi73]���i>G.�
Shim���ura,���On�GFthe�factors�of�the�jac��}'obian�variety�of�a�mo�dular�func-����i>tion���eld�,�UUJ.�Math.�So�Gc.�Japan��25��(1973),�no.�3,�523{544.������>[Wil95]���i>Andrew��fWiles,�h��Mo��}'dular��el���liptic�curves�and�Fermat's�last�the�or�em�,����i>Ann.�UUof�Math.�(2)��141��(1995),�no.�3,�443{551.�������11��������;�y��:�%n�

eufm10�7��N�cmbx12�6�':

cmti10�4f$�cmbx7�3�"V

cmbx10�1���

msbm10�-��N�ffcmbx12�%����		cmsy9�$5��"		cmmi9�#t�:		cmbx9�"o���		cmr9��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17��hV1

wncyr10�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5��O�

line10���u

cmex10����������