����;� TeX output 1998.09.24:0654�������k�������덠�6,���0bn�D��t�qG�cmr17�Hec��uNk�e�B�Algebras�and�Mo���dular�F��_�orms:������Notes�B�deriv��uNed�from�Rib���et's�1996�Berk�eley�grad.�m�course.��5?荍��������X�Qffcmr12�William��/Stein������#���ASeptem���b�dCer��/24,�1998�����*��k�������iF�X�Qcmr12�ii�����뎌�k��k�������덠���ƍ��iF� ��N��Hcmbx12�Preface��6����iF�!��N�cmbx12�Disclaimer:�<�These��notes�record�some�of�what�I���sa��rw�in�Ken�Rib�S�et's�course�on�Mo�dular������iFF��Vorms��(and�Hec��rk�e��(Op�S�erators�giv��ren�at�U.C.�Berk�eley�during�the�Spring�semester�1996.�2`They�����iFare��Kstill��"���@cmti12�very�*!r��ffough��as�I��wrote�them�during�m��ry�rst�semester�of�graduate�sc�ho�S�ol�b�efore�I�����iFknew��an��ry�real�mathematics.�����	:The�D$participan��rts�in�the�course�w�ere:���Amo�S�d�Agashe,���Matt�Bak�er,���Jim�Borger,�Kevin�����iFBuzzard,���Bruce���Cask��rel,�Rob�S�ert�Coleman,�Jan�� os�Csirik,�Annette�Hub�S�er,�Da��rvid�Jones,�Da��rvid�����iFKohel,�|�Loic�_�Merel,�Da��rvid�Moulton,�Andrew�Ogg,�Arth��rur�Ogus,�Jessica�P��rolito,�Ken�Rib�S�et,�����iFSaul��gSc��rhleimer,��La�wren�Smithline,��William�Stein,�T��Vak��X�ahashi,�W�a��ryne��gWhitney�,�and��gHui�Zui.�����	:I���wish��to�thank�Da��rvid�Moulton,�ėJo�S�e�W��Vetherall,�and�Kevin�Buzzard�who�help�S�ed�me�in�����iFpreparing�<these�notes,��XArth��rur�Ogus�who�ask�ed�a�lot�of�stim�ulating�questions�during�the�����iFclass,��and�of�course�Ken�Rib�S�et�who�sees�clearly��V.�����	:William��Stein,�Spring�1996,�Berk��reley��V,�CA,��#߆�Tcmtt12�[email protected]�����Ã͹iii����ʠ�k�������iF�iv�����}h!�cmsl12�PREF����A��rCE�����뎌�<��k�������덠��f���iF�Con��8�ten�ts��D[8���iF�Preface���yiii���[8����iF1���	:In��tro�`duction��qU1���Í����	:�1.1���Tw��ro��Dimensional�Galois�Represen�tations��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����1�������1.1.1��0�
Finite��Fields�(W��Veil,�T�ate)��8�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����1�������1.1.2��0�
Galois��Represen��rtations�(T��Vaniy�ama,�Shim�ura,�Mumford-T��Vate)��g�����.���	C������.��������.��������.��������.�����2�������	:1.2���Mo�S�dular��F��Vorms�and�Galois�Represen��rtations�k%�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����2�������1.2.1��0�
Cusp��F��Vorms�Q������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����2�������1.2.2��0�
Hec��rk�e��Op�S�erators�(Mordell)�J!�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����2�������iF�2���	:Mo�`dular��Represen��tations�and�Curv�es���g�5�������	:�2.1���Arithmetic��of�Mo�S�dular�F��Vorms��덍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����5�������	:2.2���Characters��v�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����6�������	:2.3���P��rarit�y��Conditions�ٍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����6�������	:2.4���Conjectures��of�Serre�(mo�S�d��&��g�cmmi12�`��v��rersion)�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����7�������	:2.5���General��remarks�on�mo�S�d��p��Galois�represen��rtations�[�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����7�������	:2.6���Serre's��Conjecture��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����8�������	:2.7���Wiles'��P��rersp�S�ectiv�e�Xč����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����8�������iF�3���	:Mo�`dular��F���orms��`*�9�������	:�3.1���Cusp��F��Vorms�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����9�������	:3.2���Lattices�J5�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����9�������	:3.3���Relationship��With�Elliptic�Curv��res��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����9�������	:3.4���Hec��rk�e��Op�S�erators�	%�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 10�������	:3.5���Explicit��Description�of�Sublattices�Nb�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 11�������	:3.6���Action��of�Hec��rk�e��Op�S�erators�on�Mo�dular�F��Vorms�En�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 12�������iF�4���	:Em��b�`edding��Hec�k�e�Op�`erators�in�the�Dual�����15�������	:�4.1���The��Space�of�Mo�S�dular�F��Vorms�	������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 15�������	:4.2���Inner��Pro�S�duct�*2�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 16�������	:4.3���Eigenforms�	+������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 17�������iF�5���	:Rationalit��y��and�In�tegralit�y�Questions���G�19�������	:�5.1���Review�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 19�������	:5.2���In��rtegralit�y��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 19�������	:5.3���Victor��Miller's�Thesis�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 20�������	:5.4���P��retersson��Inner�Pro�S�duct��]�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 20�������OZv�������k�������iF�vi���W�CONTENTS�����덠�B�ƍ��iF�6��	:Mo�`dular��Curv��es��T�O23����E���	:�6.1��8�Cusp��F��Vorms�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 23������	:6.2��8�Mo�S�dular��Curv��res�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 23������	:6.3��8�Classifying��(�N�@�)-structures�@'�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 24������	:6.4��8�More��on�In��rtegral�Hec�k�e�Op�S�erators�W�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 24������	:6.5��8�Complex��Conjugation��̍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 25������	:6.6��8�Isomorphism��in�the�Real�Case�k������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 25������	:6.7��8�The��Eic��rhler-Shim�ura�Isomorphism�x������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 25������	:6.8��8�The��P��retterson�Inner�Pro�S�duct�is�Hec�k�e�Compatible�pr�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 27���f����iF�7��	:Higher��W���eigh��t�Mo�`dular�F�orms���Uj29������	:�7.1��8�Denitions��of��T��d������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 29������	:7.2��8�Double��Cosets�
�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 29������	:7.3��8�More��General�Congruence�Subgroups�zs�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 30������	:7.4��8�Explicit��F��Vorm��rulas�/(�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 31������	:7.5��8�Old��and�New�F��Vorms�	%⍍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 31������iF�8��	:New��F���orms��q�l33������	:�8.1��8�Connection��With�Galois�Represen��rtations��R�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 34������	:8.2��8�Semisimplicit��ry��of��U�����'�2cmmi8�p��
#������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 34������	:8.3��8�Shim��rura's��Example�of�Nonsemisimple��U�����p��	D!������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 34������	:8.4��8�An��In��rteresting�Dualit�y��׍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 35������	:8.5��8�Observ��X�ations��on��T�����n��
�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 36������iF�9��	:Some��Explicit�Gen��us�Computations���ޭ37������	:�9.1��8�Computing��the�Dimension�of��S�����k��#��()�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 37������	:9.2��8�Application��of�Riemann-Hurwitz�,������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 37������	:9.3��8�Explicit��Gen��rus�Computations��s�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 38������	:9.4��8�The��Gen��rus�of��X��(�N�@�)�	������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 38������	:9.5��8�The��Gen��rus�of��X�����$|{Ycmr8�0����(�N�@�)�Fx�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 39������	:9.6��8�Mo�S�dular��F��Vorms�mo�d��p���������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 40������iF�10��	:The��Field�of�Mo�`duli��=_�41������	:�10.1��8�Digression��on�Mo�S�duli�50�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 41������	:10.2��8�When��is�������E��0�Surjectiv��re?��;�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 42������	:10.3��8�Observ��X�ations� ������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 43������	:10.4��8�A��Descen��rt�Problem��ō����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 44������	:10.5��8�Second��Lo�S�ok�at�the�Descen��rt�Exercise��㍍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 44������	:10.6��8�Action��of��GL���zC����2��!�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 45������iF�11��	:Hec��k�e��Op�`erators�as�Corresp�ondences���]�47������	:�11.1��8�Some��Philosoph��ry��󍍑��.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 47������	:11.2��8�Hec��rk�e��Op�S�erators�as�Corresp�ondences��Ӎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 48������	:11.3��8�Generalities��on�Corresp�S�ondences�[������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 49������	:11.4��8�Jacobians��of�Curv��res�͍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 50������	:11.5��8�More��on�Hec��rk�e��Op�S�erators��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 51������	:11.6��8�Hec��rk�e��Op�S�erators�acting�on�Jacobians��V�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 51������8�11.6.1��]�
The��Albanese�Map��э����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 52������8�11.6.2��]�
The��Hec��rk�e�Algebra��ݍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 53������	:11.7��8�The��Eic��rhler-Shim�ura�Relation:�8�P�art�I�)b�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 53������,��k��������iF�CONTENTS���˹vii�����덠�B�ƍ���	:11.8���The��Eic��rhler-Shim�ura�Relation:�8�P�art�I�S�I��5�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 54��������	:11.9���Applications�(�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 56�������	:11.10���More��on�Eic��rhler-Shim�ura�H`�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 57���Ҽ����iF�12���	:Ab�`elian��V���arieties�from�Mo�dular�F���orms����759�������	:�12.1���Computing��the�Determinen��rt�of����������ɍ�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 61�������	:12.2���Dualit��ry��and�P�olarizations�	������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 62�������	:12.3���The��W��Veil�P��rairing�Z,�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 63�������	:12.4���The��F��Vancy�Pro�S�of�~�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 63�������	:12.5���The��Concrete�Pro�S�of��Ǎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 64�������	:12.6���The��Construction�for��X�����1����(�N�@�)�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 64�������iF�13���	:The��Gorenstein�Prop�`ert��y��Eo67�������	:�13.1���The��Gorenstein�Prop�S�ert��ry�!������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 69�������	:13.2���Pro�S�of��the�Gorenstein�Prop�ert��ry��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 72�������13.2.1��0�
V��Vague��Commen��rts��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 75�������	:13.3���Finite��Flat�Group�Sc��rhemes�q������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 75�������	:13.4���Reform��rulation��of��V��¹=�UR�W��n�problem�l������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 75�������	:13.5���Dieudonn��r��s�e��Theory�ߍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 76�������	:13.6���The��Pro�S�of:�8�P��rart�I�I�L������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 77�������	:13.7���Key��Result�of�Boston-Lenstra-Rib�S�et�_ˍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 79�������iF�14���	:Lo�`cal��Prop�erties�of����������9^��81�������	:�14.1���Denitions��ō����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 81�������	:14.2���Lo�S�cal��Prop�erties�when��p��UV�)!",�
cmsy10�6�URj�N�	d;������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 81�������	:14.3���W��Veil-Deligne��Groups�tҍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 82�������	:14.4���Lo�S�cal��Prop�erties�when��p�j�N��]������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 82�������	:14.5���Denition��of�the�Reduced�Conductor�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 83�������	:14.6���In��rtro�S�duction�8ɍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 84�������	:14.7���Adelic��Represen��rtations�Asso�S�ciated�to�Mo�dular�F��Vorms�o[�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 84�������	:14.8���More��Lo�S�cal�Prop�erties�of�the���������uZ�.�'Ǎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 87�������14.8.1��0�
P��rossibilities��for�������p��$ҍ�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 87�������14.8.2��0�
The��case��`�UR�=��p�׫������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 88�������14.8.3��0�
T��Vate��Curv��res��񍍑��.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 89�������iF�15���	:The��W���eigh��t�and�Serre's�Conjectures���t91�������	:�15.1���In��rtro�S�duction�8ɍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 91�������	:15.2���Review��of�the���-adic�case�AE�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 91�������	:15.3���Serre's��conjecture�0�N�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 91�������15.3.1��0�
Problems��"�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 92�������	:15.4���Serre's��conjecture�1�N�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 92�������15.4.1��0�
Key��bac��rkground�p�S�oin�ts�\������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 93�������	:15.5���The��w��reigh�t�and�fundamen�tal�c�haracters�jt�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 94�������	:15.6���The��w��reigh�t�in�Serre's�conjectures�on�mo�S�dular�represen�tations������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 98�������15.6.1��0�
��S��-series��
�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����� 98�������15.6.2��0�
Edixho��rv�en's��pap�S�er�yn�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$100�������	:15.7���The��extra�assumption�ҍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$100�������15.7.1��0�
Companion��F��Vorms��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$102�������	:15.8���The��exceptional�lev��rel�1�case��|�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$103������b~��k�������iF�viii��E?�CONTENTS�����덠�B�ƍ��iF�16��	:F���ermat's��Last�Theorem��#�105�������	:�16.1��8�The��application�to�F��Vermat��/�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$105������	:16.2��8�Mo�S�dular��Elliptic�Curv��res�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$106���?����iF�17��	:Deformations��^�4109������	:�17.1��8�In��rtro�S�duction�8ɍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$109������	:17.2��8�Condition��(��)��ˍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$110������8�17.2.1��]�
Finite��
at�represen��rtations�Fꍍ���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$111������	:17.3��8�Classes��of�Liftings�0񍍑��.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$111������8�17.3.1��]�
The��case��p�UR�6�=��`�׫������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$111������8�17.3.2��]�
The��case��p�UR�=��`�׫������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$112������	:17.4��8�Wiles'��Hec��rk�e�algebra�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$112������iF�18��	:The��Hec��k�e�Algebra��T��������1�115������	:�18.1��8�The��Hec��rk�e�Algebra�VB�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$115������	:18.2��8�The��maximal�ideal�in��R���������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$117������8�18.2.1��]�
Strip��a��rw�a�y�certain�Euler�factors� ������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$117������8�18.2.2��]�
Mak��re��in�to�an�eigenform�for��U�����`��񍍑���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$118������	:18.3��8�The��Galois�Represen��rtation�y�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$118������8�18.3.1��]�
The��structure�of��T�����42�@�cmbx8�m��	�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$120������8�18.3.2��]�
The��philosoph��ry�in�this�picture�a�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$120������8�18.3.3��]�
Massage�����򍍑���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$120������8�18.3.4��]�
Massage�������2�*�K�cmsy8�0���򍍑���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$121������8�18.3.5��]�
Represen��rtations��from�mo�S�dular�forms�mo�d��`�	W������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$121������8�18.3.6��]�
Represen��rtations��from�mo�S�dular�forms�mo�d��`����2�n��	W������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$122������	:18.4��8������2�0����is��of�t��ryp�S�e���i�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$122������	:18.5��8�Isomorphism��b�S�et��rw�een��T�����m���W�and��R�����m��X.�(;�cmmi6�R���*����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$123������	:18.6��8�Deformations������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$124������	:18.7��8�Wiles��Main�Conjecture��4�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$125������	:18.8��8��T�������
�<�is��a�complete�in��rtersection�ٳ�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$127������	:18.9��8�The��inequalit��ry�#�O�UV�=�Ë��UR�#�}�����T����=}����2��2��b���T���	�i���}�����R����=}����2��2��b���R���	�􍍑���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$127������8�18.9.1��]�
The��denitions�of�the�ideals��a�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$128������8�18.9.2��]�
Aside:�8�Selmer��Groups��d�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$129������8�18.9.3��]�
Outline��of�some�pro�S�ofs��K�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����$129����������k�������덠��x����iF�Chapter�	T{1��2�䍑�iFIn��8�tro��
duction��7䍑�iF�The��main�ob��jects�of�study�in�this�course�are:��t�������5�������2�Mo�S�dular��F��Vorms���������5�������2�Hec��rk�e��Algebras���������5�������2�Mo�S�dular��Curv��res���������5�������2�Jacobians���������5�������2�Ab�S�elian��V��Varieties��+N�����iF�7��N�G�cmbx12�1.1��
��Tw��u�o�z�Dimensional�Galois�Represen�tations��ra���iF�The��Igeometric�ob��jects�of�study�are�elliptic�curv��res�and�more�generally�algebraic�curv�es�of������iFarbitrary�z!gen��rus.�^These�in�turn�giv�e�rise�via�the�Jacobian�construction�to�higher�dimensional�����iFab�S�elian��v��X�arieties.�8�These�geometric�ob��jects�in�turn�giv��re�rise�to�Galois�represen�tations.��䍑�	:When�"�studying�elliptic�curv��res,�0�the�natural�to�S�ol�in�the�c�haracteristic�zero�situation�is�to�����iFpresen��rt��Kthe�elliptic�curv�e�as��C�=�L��for�some�lattice��L��in��C�.���T��Vo�construct��L��x�a�non-zero�����iFholomorphic��dieren��rtial��!�X�of��E����o�v�er��C��and�construct��L��as��"Mp��������x�ɟ�q�,��u
cmex10��������ȟ甆Z����dt�
�_�
�����!������.1���38��.1����.1����.1������)�
��n�2�UR�H�����1����(�E���(�C�)�;����Z�)�����q�����	�:�����,4�����iF�8��N�ffcmbx12�1.1.1���AFinite�ffFields�(W���feil,�T�ate)��P>���iF�In�hKthe�1940's,��^W��Veil�study�the�analogous�situation�for�elliptic�curv��res�dened�o�v�er�a�nite�eld�����iF�k�g�.�D�He��9desp�S�erately�w��ran�ted��9to�nd�an�algebraic�w��ra�y��9to�describ�e�the�ab�o��rv�e��9corresp�ondence.�����iFHe��Nw��ras�able�to�nd�an�algebraic�denition�of��L�=n�L�,���where��n�UR���1��Nand�(�n;�����c�har���&�k�g�)�UR=�1,���whic�h�����iFis��as�follo��rws.�8�Let��E���[�n�]�UR=��f�P���2��E��(���:�z����	���k������)�:��nP���=�0�g��=�(�����Fu���Y�1��33����z�(P����n��������L�)�=�L�����P������԰���n:�=��������L�=n�L�.��d��	:No��rw�B�x�a�prime��`�,�dDw�e�let��E���[�`����2�1��	�]�UR=��f�P���2��E��(���:�z����	���k������)�:��`����2���3��P���=�0�;��ꦹsome��#[H�����1�g��=��[����2��1��RA������=1����E��[�`����2���3��].��T��Vate�����iFobtained�8han�analogous�construction�b��ry�dening�a�rank�2�free��Z�����`����-mo�S�dule��T��Vate���dʟ���`�� ]��E�	i�:=����URlim����i���UR� ����c�������E���[�`����2���3��]��髍��iF(the���map�from��E���[�`����2���3��]�UR�!��E��[�`����2������1���]���is�m��rultiplication�b�y��`�).�KT��Vo�see�that�the�rank�is�2,��vc�hec�k�that�����iFthe�F�Z�=`����2���3��Z�-mo�S�dule�structure�of��E���[�`����2����]�is�compatible�with�the�maps��E���[�`����2����]�UR�!��E���[�`����2������1���]).�See�F[�33����]�����iF(I�S�I�I,�q97).�̒Then��V�����`����(�E���)�:^=��T�����`���(�E���)�F�
��Q�����`��j�is�q9a�t��rw�o�q9dimensional�v��rector�space�o�v�er��Q�����`����.�̒This�giv�es�����iFthe��rst�non��rtrivial�example�of��`�-adic����s�etale�cohomology��V.������y!1����Ç��k�������iF�2����CHAPTER��1.�	#�INTR��rODUCTION�����덠�B�ƍ��iF�1.1.2��<�AGalois���Represen���tations�(T���faniy�ama,���Shim�ura,�Mumford-T���fate)��@��iF�Let�M��E��=�Q��b�S�e�an�elliptic�curv��re�and��G���=��G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�).�bThen�M��E��[�n�]�=��f�P����2��E��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��)�:��nP����=�0�g�����P������԰���ڹ=���������iF(�Z�=n�Z�)����2�2����is��acted�on�b��ry��G��and�this�action�resp�S�ects�the�group�op�eration�so�w��re�ha�v�e�a�Galois����iFrepresen��rtation��j����������G�����h������J����UR�����!�����S�Aut��&(�E���[�n�])�����P���UR����԰���n:�=��������GL��� ������2��%O��(�Z�=n�Z�)�������iFLet��'�K�]Źb�S�e�the�xed�eld�of��k��rer��+����(note�that��K��is�a�n��rum�b�S�er��'eld),���then�since��G��.�al�C��(�K�5�=�Q�)�����P���U{����԰���nc�=���������iF�G=�����k��rer����������P����p����԰����X�=�������7Im�� �����p����GL���6����2����(�Z�=n�Z�)�Pw��re�obtain�man�y�subgroups�of��GL��������2��i�(�Z�=n�Z�)�as�Galois�groups.����iFShim��rura��sho�w�ed�that�if�w�e�start�with�the�elliptic�curv�e��j�������o��E�	i�:�J�y��n9����2����+����y�Ë�=�UR�x�����3��j����x�����2��������iF�then��
the�image�of����is�often�all�of��GL���5�����2�����(�Z�=n�Z�)�and�the�image�is�\most"�of��GL���5�����2���(�Z�=n�Z�)�when�����iF�E����do�S�es��not�ha��rv�e��complex�m��rultiplication.��(<���iF�1.2��7��Mo��=dular�z�F��aGorms�and�Galois�Represen��u�tations���#���iF�1.2.1��<�ACusp�ffF���forms����iF�Let��I�S�����k��#��(�N�@�)�denote�the�space�of�cusp�forms�of�w��reigh�t��I�k�5f�and�lev��rel��N�-�on�the�congruence����iFsubgroup��
�����1����(�N�@�)���=������G�������������G�������)������a���=4b���:G����^c�����d�������!>t��G������+V'�2���SL�����2���(�Z�)��-1y:��a����1�UP(�mo�S�d���B�N�@�)�;���c����0�(�mo�S�d���B�N�@�)�;���d����1�(�mo�S�d���B�N�@�)�����G��	�����.����iFTh��rus����S�����k��#��(�N�@�)�is�the�nite�dimensional�v�ector�space�consisting�of�all�holomorphic�functions����iF�f�G��(�z���)��on��H�r��=�UR�f�z��5�2��C��:��Im��](�z��)��>��0�g�꨹v��X�anishing�at��1��and�satisfying�� ^������p�-�f�G��(������ō�33�az�3��+����b��33�[��z����
�΍�-cz�3��+����d�����"^�)�UR=�(�cz�3��+����d�)�����k��#��f��(�z���)����for��all�����5چ��G��������)����=Z��a���E�b���:G���=�1c���E!�d�������K�G��G������TV��2�������1����(�N�@�)�:�����⍑iF�Since,���in��<particular,��f�G��(�z���)�UR=��f��(�z��1�+�N1)��<w��re�can�expand��f��(�z���)�as�a��q�n9�-series�(this�requires�rigorous����iFjustication)��#����������f�G��(�z���)�UR=����������1��������X���
�ҍ����n�=1������c�����n���P�q��n9����n����:�����[email protected]��	:�A��famous�example�is��"�N������G�UR=��q�������0��1���������Y���
�ҍ�n7�n�=1���s�(1������q��n9����n����)�����24��UZ�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=1�������W�(�n�)�q��n9����n��������iF���\�is��?called�the�Raman��rujan�function.�)�One�no�w�kno�ws�that����\�is�m�ultiplicativ�e�and�satises�����iF��W�(�p����2���3��)�UR=����(�p�)���(�p����2���3��)������p����2�11��	���(�p����2������1���).�8���is�a�normalized�basis�for��S�����1����(1).��"Ǒ���iF�1.2.2��<�AHec���k�e�ffOp�s3erators�(Mordell)����iF�Mordell��dened,�4Yfor��n�UR���1,�op�S�erators���T�����n����on��S�����k��#��(�N�@�)�called��He��ffcke�a�op�er�ators�.���These��pro��rv�ed�v�ery����iFfruitful.�eXThe��{set�of�suc��rh�op�S�erators�forms�an�\almost"�comm�uting�family�of�endomorphisms����iFand���is�hence�\almost"�sim��rultaneously�diagonalizable.�->The�precise�meaning�of�\almost"�and����iFthe��actual�structure�of�the�Hec��rk�e��algebra��Q�[�T�����1����;����:�:�:��ʚ;���T�����n���P�;��:�:�:��ʜ�]��will�b�S�e�studied�in�greater�detail����iFin�9�the�remainder�of�this�course.���Often�there�will�exist�a�basis�of�cusp�forms��f��Q�=��UR�����P����*������1��	U_�����n�=1���"���c�����n���P�q��n9���2�n��	k��2����iF�S�����k��#��(�N�@�)�c�so�that��f�����n��	׹is�a�sim��rultaneous�eigen�v�ector�for�all�of�the�Hec�k�e�op�S�erators��T�����n��	׹and,�~�in�fact,�����ϧ��k��������iF�1.2.�	#�MODULAR��F��rORMS�AND�GALOIS�REPRESENT��VA�TIONS�} ��3�����덠�B�ƍ��iF�T�����n���P�f�!�=��"�c�����n���f�G��.�
HAll�0uof�the��c�����n��	�Źwill�b�S�e�algebraic�in��rtegers�and�the�eld��Q�(�c�����1����;���c�����2���;��:�:�:��ʜ�)�0uwill�b�S�e�nite������iFo��rv�er���Q�.�����	:A�gvgo�S�o�d�g�claim�can�b�S�e�made�that�the��c�����n��	�are�often�in��rteresting�in�tegers�b�S�ecause�they�exhibit�����iFremark��X�able�Xprop�S�erties.�F��Vor�example,�u[��W�(�n�)�UR��������P��������d�j�n��di�d����2�11��UX�(�mo�d���B691).�Ho��rw�Xcan�w�e�study�the��c�����n���P�?�����iFHo��rw��-can�w�e�in�terpret�the��c�����n���P�?�oW��Ve�can�do�this�b�y�studying�the�connection�b�S�et�w�een�Galois�����iFrepresen��rtations��Pand�mo�S�dular�forms.�7�In�1968�w�ork�w�as�originally�b�S�egun�on�this�b�y�Serre,�����iFShim��rura,��Eic�hler�and�Deligne.������x��k�������iF�4����CHAPTER��1.�	#�INTR��rODUCTION�����뎌��?��k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{2��2���iFMo��
dular�	T{Represen��8�tations�and�Curv�es��>����iF�2.1��
��Arithmetic�z�of�Mo��=dular�F��aGorms��b#���iF�Supp�S�ose����f��
�=��^�����P����*�����1��	U_����n�=1���%���a�����n���P�q��n9���2�n��Ɇ�is�a�cusp�form�in��S�����k��#��(�N�@�)�whic��rh�is�an�eigenform�for�the�Hec�k�e������iFop�S�erators.�I�Then��Othe�Mellin�transform�asso�ciates�to��f�8N�the��L�-function��L�(�f���;���z���)��=�������P����*����]�1��	U_���]�n�=1�������Fu��%uZ�a���n���%uZ����z�	���ꍐ;��n������s������0J��.�����iFLet���K���=��T�Q�(�a�����1����;���a�����2���;��:�:�:��ʜ�),�Zthen��one�can�sho��rw�that�the��a�����n��
�S�are�algebraic�in�tegers�and��K����is�a�����iFn��rum�b�S�er��Ield.��When��k��o�=�UR2�Shim��rura�asso�ciates�to��f�H�an�ab�elian�v��X�ariet��ry��A�����f��Kh�o�v�er��Q��of�dimension�����iF[�K�1�:�UR�Q�]��on�whic��rh��K��F�acts�(see�theorem�7.14�of�[�31����]).��U�����iF�Example�352.1.1�(Mo��ffdular�El���liptic�Curves).����U%�When���all�of�the�co�S�ecien��rts��a�����n��<C�of�the�mo�dular�����iFform����f���lie�in��Q��then�[�K�v�:�6��Q�]�=�1���so��A�����f���is�a�one�dimensional�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��V.�
L�A���one�����iFdimensional�pab�S�elian�v��X�ariet��ry�of�nonzero�gen�us�is�an�elliptic�curv�e.��An�elliptic�curv�e�isogenous�����iFto��one�arising�via�this�construction�is�called��mo��ffdular�.��*�����iF�Denition��2.1.2.���B�	�Elliptic�—curv��res��E�����1�����and��E�����2���are��iso��ffgenous��if�there�is�a�morphism��E�����1��V�!�UR�E�����2������iF�of��algebraic�groups,�whic��rh�has�a�nite�k�ernel.�����	:The��follo��rwing�conjecture�motiv��X�ates�m�uc�h�of�the�theory��V.�������iF�Conjecture��2.1.3.���H���Ev��rery��uelliptic�curv�e�o�v�er��Q��is�mo�S�dular,�'�that�is,�isogenous�to�a�curv��re�����iFconstructed��in�the�ab�S�o��rv�e��w�a�y��V.�����	:F��Vor����k�� ��?�2�Serre�and�Deligne�found�a�w��ra�y���to�asso�S�ciate�to��f�迹a�family�of��`�-adic�rep-�����iFresen��rtations.�	˜Let�m��`��b�S�e�a�prime�n�um�b�S�er�and��K�J��b�e�as�ab�o��rv�e,�εthen�m�it�is�w��rell�kno�wn�that�����iF�K��F�
�����Q��
��Q�����`������P���N8����԰���g �=������������Q���N8����j�`��,���K�������uZ�.�8�One��can�asso�S�ciate�to��f�2��a�represen��rtation��hx�����e¹������`;f���˹:�UR�G��=��G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)��!���GL����(�K��F�
�����Q��
��Q�����`����)������W���iFunramied���at�all�primes��p����6���j�`N�@�.���F��Vor�������`;f��c�to�b�S�e�unramied�w��re�mean�that�for�all�primes��P�����iF�lying��o��rv�er��p�,���the�inertia�group�of�the�decomp�S�osition�group�at��P�B�is�con�tained�in�the�k�ernel�of�����iF������`;f��Ly�.�3�The�ڐdecomp�S�osition�group��D�����P��
�\�at��P�|V�is�the�set�of�those��g�Ë�2�UR�G��whic��rh�x��P��ƹ.�Let��k�A��b�S�e�the�����iFresidue��aeld��O�UV�=P�]'�where��O���is�the�ring�of�all�algebraic�in��rtegers.�)Then�the�inertia�group��I�����P��
�-�is�����iFthe��k��rernel�of�the�map��D�����P��
g�!�URG��.�al�C��(���:�z����	���k�����=k�g�).�����	:No��rw���I�����P��B��0<�D�����P����G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)��and��D�����P����=I�����P��x�is�cyclic�(b�S�eing�isomorphic�to�a�subgroup�of�����iFthe�CGalois�group�of�a�nite�extension�of�nite�elds)�so�it�is�generated�b��ry�a�F��Vrob�S�enious�����iFautomorphism���frob���z�����p��!,��lying��o��rv�er��p�.�8�One�has��������m�^T��Vr��z�(������`;f��Ly�(�frob��������p��WO�))��������P�=�UR�a�����p����2��K�1����K��F�
����Q�����`���������������0�and�������N��������)�det����{�(������`;f��Ly�)��������P�=�UR�������k�6���1��O��`����"���������y!�5����䮠�k�������iF�6�rŔ�CHAPTER��2.�	#�MODULAR�REPRESENT��VA�TIONS��AND�CUR����VES�����덠�B�ƍ�iF�where���������`�����is�the��`�th�cyclotomic�c��rharacter�and��"��is�the�Diric�hlet�c�haracter�asso�S�ciated�to��f�G��.�����iFThere��Tis�an�incredible�amoun��rt�of�\abuse�of�notation"�pac�k�ed�in�to�this�statemen�t.�/First,��1the����iFF��Vrob�S�enius����frob���5ݟ���P��$픹(note����P�G��not��p�)�is�only�w��rell�dened�in��G��.�al�C��(�K�5�=�Q�)�(so�I���think�an�unstated����iFresult�$is�that��K���m��rust�b�S�e�Galois),�2uand�then��frob��������p��!���is�only�w�ell�dened�up�to�conjugacy��V.��2But����iFthis�o�w��rorks�out�since�������`;f����is�w�ell-dened�on��G��.�al�C��(�K�5�=�Q�)�(it�kills��G��al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=K�ܞ�))�and�the�trace�is����iFw��rell-dened��on�conjugacy�classes�(�T��Vr���(�AB���)�UR=��T��Vr��h�(�B�A�)��so��T��Vr���.(�AB�A����2��1��\|�)�UR=��T���r�S��(�B��)).��,v���iF�2.2��7��Characters��Ӭ��iF�Let���f��Q�2�UR�S�����k��#��(�N�@�),�then�for�all������G��������)����j��a����)b���:G����Sc���1�d��������i��G������"f��2���SL�����2����(�Z�)��+Bwith��c����0����mo�S�d��"�:�N�+��w��re�ha�v�e��#���������f�G��(������ō�33�az�3��+����b��33�[��z����
�΍�-cz�3��+����d�����"^�)�UR=�(�cz�3��+����d�)�����k��#��"�(�d�)�f��(�z���)�����!G��iFwhere��b�"�f�:�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���	&��!��C����2���	Kf�is�a�Diric��rhlet�c�haracter�mo�S�d��N�@�.�If��f��a�is�an�eigenform�for�the�so����iFcalled��
\diamond-brac��rk�et�op�S�erator"��h�d�i��so�that��f�G��jh�d�i�UR�=��"�(�d�)�f��	�then��"��actually�tak��res�v��X�alues�in����iF�K�ܞ�.��5���	:Led����'�����N�����b�S�e�the�mo�d��N�cyclotomic�c��rharacter�so�that��'�����N�����:��K�G��!��(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���	m��tak�es����g���2��G����iF�to��^the�automorphism�induced�b��ry��g�?��on�the��N�@�th�cyclotomic�extension��Q�(����wx����������������������N��+�)�of��Q��(where����iFw��re��-iden�tify��G��.�al�C��(�Q�(����wx����������������������N��+�)�=�Q�)�with�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2�����).�
pThen�what�w�e�called��"��ab�S�o�v�e�in�the�form�ula�����iFdet���(������`����)�UR=��������k�6���1��O��`����"�꨹is�really�the�comp�S�osition��hc���������G�����h����'��X.�N���J����UR���
��!����=,�(�Z�=��X�N�@��Z�)����������2����#�"���p���V���	j�!������C���������:�����V���	:�F��Vor��eac��rh�p�S�ositiv�e�in�teger����o�w�e�consider�the��`����2���3��th�cyclotomic�c�haracter�on��G�,���9������~{�'�����`����������Ĺ:�UR�G��!��(�Z�=`�������3��Z�)���������:�������iF�Putting��these�together�giv��res�the��`�-adic�cyclotomic�c�haracter����ԭ�������`��N8�:�UR�G��!��Z���������ڍ�`�����:�����iF�2.3��7��P��u�arit�y�z�Conditions��Ӭ��iF�Let��,�c�UR�2�G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�b�S�e�complex�conjugation.�ɷThen��'�����N��D�(�c�)�=���1�so��"�(�c�)�=��"�(��1)�and��������k�6���1��O��`����(�c�)�=�����iF(��1)����2�k�6���1���.�8�No��rw��let������G��������)����j��a����)b���:G����Sc���1�d��������i��G������"f��=����UR��G��������T����
�R��1���CV0����9���#�0������1�������%є��G������+Q��,�then�for��f��Q�2�UR�S�����k��#��(�N�@�),�������0�f�G��(�z���)�UR=�(��1)�����k��#��"�(��1)�f��(�z���)����iFso��(��1)����2�k��#��"�(��1)�UR=�1�th��rus���9�����$�det����vq(������`;f��Ly�(�c�))�UR=���(��1)(��1)�����k�6���1��U`�=���1�:��|��iF�Th��rus��the��det��'c�haracter�is�o�S�dd�so�the�represen�tation�������`;f��7!�is�o�S�dd.���9����iF�R��ffemark�352.3.1�(V���ague�Question).������Ho��rw���can�one�recognize�represen�tations�lik�e�������`;f��C�\in�na-����iFture"?��hMazur�o+and�F��Von��rtaine�ha�v�e�made�relev��X�an�t�conjectures.��hThe�Shim�ura-T��Vaniy�ama�con-����iFjecture��can�b�S�e�reform��rulated�b�y�sa�ying�that�for�an�y�represen�tation�������`;E����comming�from�an����iFelliptic��curv��re��E����there�is��f�2��so�that�������`;E������P���X4����԰���q�=������������`;f��Ly�.�������k��������iF�2.4.�	#�CONJECTURES��OF�SERRE�(MOD��`��VERSION)���y�7�����덠�C舍���iF�2.4��
��Conjectures�z�of�Serre�(mo��=d��9��g�G�cmmi12�`��v��u�ersion)��b#���iF�Supp�S�ose���f�2��is�a�mo�dular�form,��`�UR�2��Z�꨹prime,����a�prime�lying�o��rv�er���`�,�and�the�represen��rtation��@����a������;f��?�:�UR�G��!���GL��������2����(�K�������uZ�)�����iF(constructed�7�b��ry�Serre-Deligne)�is�irreducible.�	 �Then�������;f��׹is�conjugate�to�a�represen�tation������iFwith���image�in��GL���5�����2�����(�O�������uZ�),���where��O�������
T�is�the�ring�of�in��rtegers�of��K��������.�j�Reducing�mo�S�d����giv��res�a�����iFrepresen��rtation������۴��d��z�t��K��������(��T�;f���	g�:�UR�G��!���GL��������2����(�F�������uZ�)�������iFwhic��rh���has�a�w�ell-dened�trace�and�det,��i.e.,�the���det�and�trace�don't�dep�S�end�on�the�c�hoice�of�����iFconjugate���represen��rtation�used�to�obtain�the�reduced�represen�tation.� �One�kno�ws�from�repre-�����iFsen��rtation�`]theory�that�if�suc�h�a�represen�tation�is�semisimple�then�it�is�completely�determined�����iFb��ry�f�its�trace�and�det�(more�precisely��V,��the�c�haracteristic�p�S�olynomials�of�all�of�its�elemen�ts�{�����iFsee�K�c��rhapter�??).�\�Th�us�if����d��z�t��K������
[U��T�;f��p#�is�irreducible�(and�hence�semisimple)�then�it�is�unique�in�the�����iFsense��that�it�do�S�es�not�dep�end�on�the�c��rhoice�of�conjugate.��'������iF�2.5��
��General�z�remarks�on�mo��=d��p��Galois�represen��u�tations�����iF�[[This��section�w��ras�written�b�y�Joseph�Lo�S�ebac�h�W��Vetherell.]]�����	:First,�6Iwhat���are�semi-simple�and�irreducible�represen��rtations?�T�Remem�b�S�er���that�a�repre-�����iFsen��rtation�[email protected]���is�a�map�from�a�group��G��to�the�endomorphisms�of�some�v�ector�space��W���(or�a�����iFfree��mo�S�dule��M����if�w��re�are�w�orking�o�v�er�a�ring�instead�of�a�eld,���but�let's�not�w�orry�ab�S�out�����iFthat�%for�no��rw).��VA�subspace��W���Ɵ��2�0��$�of��W���is�said�to�b�S�e�in�v��X�arian�t�under����if����tak�es��W���Ɵ��2�0��$�bac�k�in�to�����iFitself.�o(The���p�S�oin��rt�is�that�if��W���Ɵ��2�0��l��is�in�v��X�arian�t,�Bthen����induces�represen�tations�on�b�S�oth��W���Ɵ��2�0��l��and�����iF�W�S�=W���Ɵ��2�0��o��.)��oAn�$-irreducible�represen��rtation�is�one�where�the�only�in�v��X�arian�t�subspaces�are�0�and�����iF�W��ƹ.�{jA��Osemi-simple���represen��rtation�is�one�where�for�ev�ery�in�v��X�arian�t�subspace��W���Ɵ��2�0��	��there�is�a�����iFcomplemen��rtary�"�in�v��X�arian�t�subspace��W����Ɵ��2�0��������20���
���{�that�is,�0�y�ou�can�write����as�the�direct�sum�of���j�����W��.:�����+q�%cmsy6�0�������iF�and����j�����W���.:�����0���`����0�����ʹ.�����	:Another��w��ra�y�to�sa�y�this�is�that�if��W���Ɵ��2�0��C
�is�an�in�v��X�arian�t�subspace�then�w�e�get�a�short�exact�����iFsequence����|�0�UR�!���j�����W�<r=W��.:�����0���;��!����!���j�����W��.:�����0����U�!��0�:�������iF�F��Vurthermore�����is�semi-simple�if�and�only�if�ev��rery�suc�h�sequence�splits.�����	:Note��that�irreducible�represen��rtations�are�semi-simple.�����	:One��other�fact�is�that�semi-simple�Galois�represen��rtations�are�uniquely�determined�(up�����iFto��isomorphism�class)�b��ry�their�trace�and�determinan�t.�����	:No��rw,��since�:-in�the�case�w�e�are�doing,���G��i�=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�:-is�compact,�it�follo��rws�that�the�����iFimage�z�of�an��ry�Galois�represen�tation����in�to��GL���
�����2��ʈ�(�K�������uZ�)�is�compact.��Th�us�w�e�can�conjugate�it�����iFin��rto���GL���zC����2��:G�(�O�������uZ�).�8�Irreducibilit�y��is�not�needed�for�this.�����	:No��rw�Ǘthat�w�e�ha�v�e�a�represen�tation�in�to��GL���W2����2��6�(�O�������uZ�),�Κw�e�can�reduce�to�get�a�represen�tation������iF��d��z�t��K������3��to����GL���J�����2��
��(�F�������uZ�).�(�This���reduced�represen��rtation�is�not�uniquely�determined�b�y���,��|since�w�e�had�a�����iFc��rhoice��oof�conjugators.�$�Ho�w�ev�er,��zthe�trace�and�determinan�t�are�in�v��X�arian�t�under�conjugation,�����iFso��the�trace�and�determinan��rt�of�the�reduced�represen�tation�are�uniquely�determined�b�y���.�����	:So���w��re�kno�w�the�trace�and�determinan�t�of�the�reduced�represen�tation.��If�w�e�also�knew�����iFthat��cit�w��ras�semi-simple,�٤then�w�e�w�ould�kno�w�its�isomorphism�class,�٤and�w�e�w�ould�b�S�e�done.�����iFSo���w��re�w�ould�b�S�e�happ�y�if�the�reduced�represen�tation�is�irreducible.�)�And�in�fact,���it�is�easy�to�����iFsee�4Tthat�if�the�reduced�represen��rtation�is�irreducible,�F�then����m�ust�also�b�S�e�irreducible.��No�w,�����iFit��turns�out�that�all����of�in��rterest�to�us�will�b�S�e�irreducible;�5unfortunately��V,��w�e�can't�go�the�����iFother��w��ra�y�and�claim�that����irreducible�implies�the�reduction�is�irreducible.�������k�������iF�8�rŔ�CHAPTER��2.�	#�MODULAR�REPRESENT��VA�TIONS��AND�CUR����VES�����덠�B�ƍ��iF�2.6��7��Serre's�z�Conjecture��b#��iF�Serre��has�made�the�follo��rwing�conjecture�whic�h�is�still�op�S�en�at�the�time�of�this�writing.�������iF�Conjecture��2.6.1�(Serre).�����{�All�o�irreducible�represen��rtation�of��G��o�v�er�a�nite�eld�whic�h�are�����iFo�S�dd,�3ui.e.,��det�(��n9�(�c�))�UR=���1,�3u�c���complex�conjugation,�are�of�the�form����d��z�t��K������	��T�;f��㱹for�some�represen��rtation����iF������;f�����constructed��as�ab�S�o��rv�e.������iF�Example�352.6.2.���]��Let��I�E��=�Q��b�S�e�an�elliptic�curv��re�and�let�������`��N8�:�UR�G��!���GL��������2����(�F�����`����)��Ib�e�the�represen��rtation����iFinduced��=b��ry�the�action�of��G��on�the��`�-torsion�of��E���.�
e�Then��det����������`��
=ٹ=�D��'�����`��	�#�is�o�S�dd�and�������`���is����iFusually���irreducible,�8�so�Serre's�conjecture�w��rould�imply�that�������`��is�mo�S�dular.�ZNF��Vrom�this�one����iFcan,��assuming�Serre's�conjecture,�pro��rv�e��that��E����is�mo�S�dular.������iF�Denition��2.6.3.���o�	�Let��c��Ë�:�UR�G��!���GL��������2����(�F�)�(�F��is�a�nite�eld)�b�S�e�a�represenation�of�the�Galois����iFgroup��=�G�.��The�w��re�sa�y�that�the��r��ffepr�esentions��K��/��is�mo��ffdular��=�if�there�is�a�mo�S�dular�form��f�G��,���a����iFprime����,�and�an�em��rb�S�edding��F�UR�,���!����S��z�|r�	�\��F�����ğ�����1ƹsuc�h��that�������P���Ë����԰����s�=������n4��d��z�t��K������}���T�;f��'1=�o�v�er����S��z�|r�	�\��F����g�������t�.��(V���iF�2.7��7��Wiles'�z�P��u�ersp��=ectiv�e��b#��iF�Supp�S�ose��E��=�Q��is�an�elliptic�curv��re�and�������`;E����:���G��!���GL��������2��ҡ�(�Z�����`����)�the�asso�ciated��`�-adic�represen��rta-����iFtion��on�the�T��Vate�mo�S�dule��T�����`����.�8�Then�b��ry�reducing�w�e�obtain�a�mo�S�d��`��represen�tation�������џ�d��z�t��K�������+E��T�`;E��ƃy�=�UR������`;E��X4�:��G��!���GL��������2����(�F�����`����)�:����iF�If�$w��re�can�sho�w�this�represen�tation�is�mo�S�dular�for�innitely�man�y��`��then�w�e�will�kno�w�that�����iF�E����is��mo�S�dular.������iF�Theorem��2.7.1�(Langland's�and�T���unnel).�����:�If�%�������2�;E�����and�������3�;E���ar��ffe�irr�e�ducible,�[�then�they�ar�e����iFmo��ffdular.����	:�This�N�is�pro��rv�ed�N�b�y�using�the�fact�that��GL���ޔ����2�����(�F�����2����)�and��GL���ޔ����2���(�F�����3����)�are�solv��X�able�so�w��re�ma�y�apply����iF\base-c��rhange".������iF�Theorem��2.7.2�(Wiles).������If������is�an��`�-adic�r��ffepr�esentation���which�is�irr��ffe�ducible���and�mo��ffdular����iFmo��ffd��J�`��with��`��j>��2��J�and�c�ertain�other�r�e�asonable�hyp�othesis�ar�e�satise�d,�Xthen����itself�is����iFmo��ffdular.�����	���k�������덠��M����iF�Chapter�	T{3��2Z׍��iFMo��
dular�	T{F����orms��6�׍��iF�Our�	�goal�is�to�explain�mo�S�dular�forms�as�functions�of�lattices�or�of�elliptic�curv��res.���Go�o�d������iFreferences��are�Serre�[�24����]�and�Katz�[�1����].��*E�����iF�3.1��
��Cusp�z�F��aGorms��؍��iF�First�tcsupp�S�ose��N��6�=�UR1,��
then�w��re�m�ust�dene��S�����k��x�=�UR�S�����k��#��(1).�tLet������1����(1)�=��SL�����2���(�Z�)��'Wi,��
then�tc�S�����k�����consists�����iFof��Wall�functions��f�-V�holomorphic�on�the�upp�S�er�half�plane��H���and�suc��rh�that�for�all������G��������)����
eW�a�����b���:G���
�c���,rd����������G������!al�2��UR�SL�����2����(�Z�)������iFone��has��������f�G��(������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍�-c�Ź+����d�����"z��)�UR=�(�c�Ź+����d�)�����k��#��f��(��W�)�;���؍��iF�and�w��f����v��X�anishes�at�innit��ry��V.�߫Th�us,���in�w�particular,��f�G��(��a��+�
�1)�E4=��f��(��W�)�w�and�so��f����passes�to�a�w��rell�����iFdened�I�function�of��q�e�=����e����2�2��I{i����.�U�So��f�G��(�q�n9�)�is�a�function�on��f�z�¹:�0��<��j�z����j��<��1�g��and�the�condition�����iFthat�m�f�G��(��W�)�v��X�anishes�at�innit��ry�is�that��f��(�q�n9�)�extends�to�a�holomorphic�function�on��f�z��5�:�UR�j�z����j��<��1�g�����iF�and���f�G��(0)�UR=�0.�8�In�this�case,�w��re�ma�y�write��f�G��(�q�n9�)�UR=�������P����*������1��	U_�����n�=1���"���a�����n���P�q�����2�n����.������iF�3.2��
��Lattices��؍��iF�A�!ulattice�!��L������C��is�a�subring��L��=��Z�!�����1����+���Z�!�����2��ᇹfor�whic��rh��!�����1����;���!�����2��r��2��C��are�lineary�indep�S�enden��rt�����iFo��rv�er���R�.�8�Without�loss,�w��re�ma�y�assume�that��!�����1����=!�����2��V�2�URH���.���׍��	:Let������$���R�UR�=��f��lattices��in��C��?���g��=��f�(�E��;���!�n9�)�:��?��E����is��an�elliptic�curv��re,��y��!�Ë�2��
������1���ڍ�E���-��g���ɍ��	:�and����W]h�M��6�=�UR�f�(�!�����1����;���!�����2���)�:��!�����1���;���!�����2��V�2��C�;���Im���(�!�����1����=!�����2���)��>��0�g�:��=��iF�There��is�a�left�action�of��SL�����2����(�Z�)��+�gon��M���������`L~��G��������)����g�~�a���o��b���:G���h7)c���o��d�������u�?��G������~ȓ�:�UR(�!�����1����;���!�����2���)��7!��(�a!�����1��j��+����b!�����2���;���c!�����1���+����d!�����2���)�����iFand���SL�����2����(�Z�)��)��n�M�����P����6����԰�����=�����@��R�.������iF�3.3��
��Relationship�z�With�Elliptic�Curv��u�es��؍��iF�There��zis�a�map��L�v��7!��C�=L��z�from�lattices�to�complex�tori�whic��rh,�7.b�y��zW��Veierstrass�theory�,������iFcorresp�S�ond��to�elliptic�curv��res�dened�o�v�er��C��along�with�a�distinguished�dieren�tial��!�Ë�=�UR�dz���.������y!9����
#+��k�������iF�10�
��CHAPTER��3.�	#�MODULAR�F��rORMS�����덠�B�ƍ�	:�Con��rv�ersely��V,���if����E��=�C��is�an�elliptic�curv��re,�w�e���can�obtain�the�corresp�S�onding�lattice�b��ry�xing�����iFa��dieren��rtial��!�X�and�taking�the�lattice�to�b�S�e�the�image�of�the�map��D�����\�H�����1����(�E���(�C�)�;����Z�)�����h����in�Îtegration��J����UR���	����������������������������������������������!����6!��C����iF�whic��rh��tak�es��
��n�2�UR�H�����1�����to����UQ�R���	�S�*��
�����!�Ë�2��C�.���荑	:There��is�a�map��M���=�C�UR�!�H�P�dened��b��ry�(�!�����1����;���!�����2���)�UR�7!��!�����1����=!�����2���.�8�This��giv�es�an�isomorphism�����%n�R�=�C�������V�=�UR(�SL�����2����(�Z�)��&�n�M�@�)�=�C����������2���p������	j�!�������SL�����2����(�Z�)��<�'�nH����iF�and����mv~�R�=�C�������V�=�UR�f��꨹elliptic�curv��res�/�C��(without�dieren�tials)���H�g�:���֍�	:�If����f��I�:�tJ�H���!��C��w��re�dene��F��:��M��.�!��C��b��ry��F��ƹ(�!�����1����;���!�����2���)�tJ=��f�G��(�!�����1����=!�����2���).�ouSupp�S�ose�no��rw�that��F����is�a����iFlattice��function�and�sattises�the�homogeneit��ry�condition��F��ƹ(�L�)�UR=������2��k���
�F��(�L�).�8�Then���������si��f�G��(������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍�-c�Ź+����d�����"z��)��������o�=�UR�F��ƹ(�Z������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍�-c�Ź+����d�����%%:�+����Z�)�����LI������o�=�UR�F��ƹ((�c�Ź+����d�)������1��\|�(�Z�(�a��+��b�)�+��Z�(�c��+��d�)))������<������o�=�UR(�c�Ź+����d�)�����k��#��F��ƹ(�Z�(�a��+��b�)�+��Z�(�c��+��d�))�����������o�=�UR(�c�Ź+����d�)�����k��#��F��ƹ(�Z��+���W�Z�)�����������o�=�UR(�c�Ź+����d�)�����k��#��f�G��(��W�)�������iFso���functions�of�lattices�with�the�homogeneit��ry�condition�come�from�functions��f��Q�2�UR�M�����k��#��.�&�Th�us,����iFif���f��Q�2�UR�M�����k��	:�and��F��n�is�the�corresp�S�onding�lattice�function�then���-��J'�F��ƹ(�Z�!�����1��j��+����Z�!�����2����)�UR=��F��(�!�����2����(�Z����+��Z������ō�33�!�����1���33�[��z��
�΍�!�����2������wu�))�UR=��!������n9��k���ڍ�2���.C�F��(�Z����+��Z������ō�33�!�����1���33�[��z��
�΍�!�����2������wu�)�UR=��!������n9��k���ڍ�2���.C�f�G��(������ō�33�!�����1���33�[��z��
�΍�!�����2�������)�;��qQ��iF�so��w��re�can�reco�v�er��F��n�from��f�G��.��'�~���iF�3.4��7��Hec��u�k�e�z�Op��=erators��b#��iF�Dene��a�map��T�����n��	���from�the�free�ab�S�elian�group�generated�b��ry�all��C�-lattices�in�to�itself�b�y��卒�#��T�����n���P�(�L�)�UR=����*<���X��������(�L�:�L������0�����)=�n���(T{�L�����0���9�:��&6��iF�Then��if��F��n�is�a�function�on�lattices�dene��T�����n���P�F��b��ry�����AN(�T�����n���P�F��ƹ)(�L�)�UR=��n�����k�6���1����������X��������(�L�:�L������0�����)=�n���6�5�F��(�L�����0���9�)�:��&�ō�	:�Since��(�n;���m�)�UR=�1�implies��T�����n���P�T�����m��Z�=��T�����nm���)�and��T��O��p������k���
��is�a�p�S�olynomial�in��Z�[�T�����p���]�]�the�essen��rtial�case����iFto��consider�is��n��prime.����	:Supp�S�ose���L����2�0��#���UR�L��with�(�L��:��L����2�0���9�)�=��n�,�then��L=L����2�0����is�killed�b��ry��n��so��nL����L����2�0��#����L��and�������L�����0���9�=nL�UR���L=nL�����P�������԰���n:�=�������(�Z�=n�Z�)�����2����:����iF�Th��rus�ٔthe�subgroups�of�(�Z�=n�Z�)����2�2�����of�order��n��corresp�S�ond�to�the�sublattices��L����2�0���͹of��L��of�index��n�.����iFWhen���n�UR�=��`��is�prime�there�are��`�Ъ�+�1�suc��rh�subgroups.�M(The�subgroups�corresp�S�ond�to�nonzero����iFv��rectors��in��F�����`��㎹mo�S�dulo�scalar�equiv��X�alence�and�there�are�����Fu����`���-:�%�Aa�cmr6�2��*���1��۟���z��	��ꍑT�`��1��������of�them.)�����.N��k��������iF�3.5.�	#�EXPLICIT��DESCRIPTION�OF�SUBLA��VTTICES��x�11�����덠�B�ƍ��	:Supp�S�ose����L����2�0�������N�L��is�a�sublattice�of�index��`��and�let��L�����2�0���N9���20���
��=��`����2��1��\|�L����2�0���9�.��`Note�that��`L����L����2�0����so������iF�L�X]���`����2��1��\|�L����2�0��&��=��L�����2�0���N9���20���
5��and�?�L��is�a�sublattice�of��L�����2�0���N9���20����of�index��`�.�ĤTh��rus,�d�assuming��F���satises�the�����iFhomogeneit��ry��condition��F��ƹ(�L�)�UR=������2��k���
�F��(�L�),���?��~=��`�����k�6���1��������X���6��m��L������0����%Ub�F��ƹ(�L�����0���9�)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍�x��`��������
�����X���6����L�������0���1ǟ���0����� ��F��(�L������0���N9���0���r�)��&)����iFwhic��rh�J�helps�explain�the�extra�factor�of��n����2�k�6���1��J��in�our�denition�of��T�����n���P�F�첹{�w�e�are�\a�v�eraging"�����iFo��rv�er��the�sublattices�(note�that�there�are��`�n2�+�1��terms�y��ret�w�e�divide�b�y��`��so�w�e�aren't�exactly�����iFa��rv�eraging).�����	:W��Ve�]no��rw�giv�e�a�geometric�description�of�the��`�th�Hec�k�e�op�S�erator.���Let��L��	���L�����2�0���N9���20���	;Ϲb�e�]lattices�����iFwith�$d(�L�����2�0���N9���20����
�:����L�)�=��`��and�let��E�k��=��C�=L�,�2��E�������2�0���P���20���	�!�=��C�=L�����2�0���N9���20���	@ֹb�S�e�the�elliptic�curv��res�corresp�onding�to��L�,�����iF�L�����2�0���N9���20���r�,��resp�S�ectiv��rely��V.�y�Then�7�E���[�`�]�z=�����Fu���6�1���6����z�@��ꍐc��`�����
 m�L=L��con�tains��H�gY�=�z�L�����2�0���N9���20���r�=L��whic�h�ma�y�b�S�e�though�t�of�as�a�line�����iF[Ed:�8�I��don't�kno��rw�wh�y!].�8�Then�the�Hec�k�e�op�S�erator�is������
�E�	i�7!������ō����1�����[��z����
�΍�x��`��������/ݟ��X��������
���lines��!M�H�����E�r��[�`�]���@]�E��=H�F::��'����iF�Let�����^���������չb�S�e��the�isogen��ry�dual�to���Ë�:�UR�E�	i�!��E��=H��V�.�8�Then��in�terms�of�pairs�(�E�;���!�n9�)�w��re�ha�v�e����*�(�E��;���!�n9�)�UR�7!������ō����1�����[��z����
�΍�x��`��������!ȟ��X�������
���H�����E�r��[�`�]�;�#�H��=�`���E�6�(�E�=H�F:;����������!�n9�)�UR=��`�����k�6���1���������X��������H�����E�r��[�`�]���/�(�E��=H�F:;����C�^������n9��������
؇�(�!�n9�))�:�����	:�W��Ve�T�consider�mo�S�dular�forms��f����on������1����(1)��=��SL�����2���(�Z�)��)�,���that�T�is,�holomorphic�functions�on������iF�H��P[���f1g�꨹whic��rh�satisfy��s����Z+�f�G��(��W�)�UR=��f��(������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍�-c�Ź+����d�����"z��)(�c�Ź+����d�)������k���Ǫ���iF�for��all������G��������)����j��a����)b���:G����Sc���1�d��������i��G������"f��2��UR�SL�����2����(�Z�)��'Wi.�8�Using�a�F��Vourier�expansion�w��re�write��$�������f�G��(��W�)�UR=����������1��������X���
�ҍ����n�=0������a�����n���P�e�����2��I{i��rn���^�;��$,����iF�and���sa��ry��f��׹is�a�cusp�form�if��a�����0��V�=�UR0.�EThere�is�a�corresp�S�ondence�b�et��rw�een���mo�dular�forms��f��׹and�����iFlattice��functions��F��n�satisfying��F��ƹ(�L�)�UR=������2��k���
�F��(�L�)��giv��ren�b�y��F��ƹ(�Z��Ź+����Z�)�UR=��f�G��(��W�).��(S����iF�3.5��
��Explicit�z�Description�of�Sublattices��b#���iF�The���n�th�Hec��rk�e��op�S�erator��T�����n��	���of�w��reigh�t���k�QŹis�dened�b��ry���;������T�����n���P�(�L�)�UR=��n�����k�6���1����������X��������5�����L���-:�0������L����ߍ���(�L�:�L���-:�0�����)=�n�����6�5�L�����0���9�:��/����iF�What��are�the��L����2�0����explicitly?�8�Note�that��L=L����2�0���is�a�group�of�order��n��and��WI������L�����0���9�=nL�UR���L=nL��=�(�Z�=n�Z�)�����2����:�����iF�W��Vrite�@�L�UR�=��Z�!�����1���$�+�� �Z�!�����2����,�3�let��Y�����2���D�b�S�e�the�cyclic�subgroup�of��L=L����2�0���y�generated�b��ry��!�����2���and�let��d�UR�=�#�Y�����2����.������iFLet���Y�����1��V�=�UR(�L=L����2�0���9�)�=��Y�����2����,���then��Y�����1�����is�generated�b��ry�the�image�of��!�����1���so�it�is�a�cyclic�group�of�order�����iF�a���=��n=d�.�m�W��Ve�Q�w��ran�t�to�exhibit�a�basis�of��L����2�0���9�.�m�Let��!����2��n9�0��RA��2���Ď�=���d!�����2���2��L����2�0��ҹand�Q�use�the�fact�that��Y�����1��	��is�����= �k�������iF�12�
��CHAPTER��3.�	#�MODULAR�F��rORMS�����덠�B�ƍ�iF�generated��b��ry��!�����1��	F�to�write��a!�����1��	�=�]��!����2��n9�0��RA��1�����+�{�b!�����2���for�some�in��rteger��b��and�some��!����2��n9�0��RA��1���	��2�]��L����2�0���9�.�,Since��b��is�����iFonly��w��rell-dened�mo�S�dulo��d��w�e�ma�y�assume�0�UR���b����d������1.�8�Th�us��3I����������
��������d�������!����2��n9�0��RA��1�������������!����2��n9�0��RA��2����������	���
�����މ��=����UR��
��������d���
��a���9b�������
���0������d������� ���
��������'��
�������d���/Y�!�����1��������/Y�!�����2��������;,h��
��������iF�and��the�c��rhange�of�basis�matrix�has�determinen�t��ad�UR�=��n�.�8�Since�������m�Z�!������n9�0���ڍ�1���j��+����Z�!������n9�0���ڍ�2���V��UR�L�����0��#����L��=��Z�!�����1���+����Z�!�����2�����iF�and���(�L��a�:��Z�!����2��n9�0��RA��1�����+�D��Z�!����2��n9�0��RA��2�����)�=��n��(since�the�c��rhange�of�basis�matrix�has�determinen�t��n�)�and�(�L��a�:����iF�L����2�0���9�)�UR=��n�꨹w��re�see�that��L����2�0��#��=�UR�Z�!����2��n9�0��RA��1���j��+����Z�!����2��n9�0��RA��2�����.����	:Th��rus���there�is�a�one-to-one�corresp�S�ondence�b�et��rw�een���sublattices��L����2�0���p���7�L��of�index��n��and����iFmatrices����{��G��������)�������a���!kb���:G�����0�����d�������"���G������$��with�{��ad�L��=��n��and�0����b����d�
����1.��In�particular,��;when��n�L��=��p��is�prime�there����iF�p�C��+�1�˅of�these.��wIn�general,��the�n��rum�b�S�er�˅of�suc��rh�sublattices�equals�the�sum�of�the�p�ositiv��re����iFdivisors��of��n�.��'�֍��iF�3.6��7��Action�z�of�Hec��u�k�e�z�Op��=erators�on�Mo�dular�F��aGorms��b#��iF�No��rw�H�assume��f�G��(��W�)���=�������P����*������1��	U_�����m�=0���%���c�����m����q��n9���2�m�����is�H�a�mo�S�dular�form�with�corresp�onding�lattice�function��F��ƹ.����iFHo��rw��can�w�e�describ�S�e�the�action�of�the�Hec�k�e�op�S�erator��T�����n��	���on��f�G��(��W�)?�8�W��Ve�ha�v�e���������o-��T�����n���P�F��ƹ(�Z��Ź+����Z�)���������=�UR�n�����k�6���1��������X����ۍ�������+�a;b;d���0퍍��ab�=�n��������0��b<d�����-{��F��ƹ((�a�Ź+����b�)�Z��+��d�Z�)�����4$؍������=�UR�n�����k�6���1��������X����%Ub�d������k���
�F��ƹ(������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍���d�����"z��Z����+��Z�)������͍������=�UR�n�����k�6���1��������X����%Ub�d������k���
�f�G��(������ō�33�a�Ź+����b��33�[��z� ,�
�΍���d�����"z��)������܍������=�UR�n�����k�6���1�����嚟��X���'؍��a;d;b;m���/ }�d������k���
�c�����m����e�����2��I{i�(������n��33�a����+�b��33����\)"������d��������)�m������*����������=�UR�n�����k�6���1���������X���'؍��a;d;m���)!-�d�����1��k���c�����m����e�����O��33�2��7iam��33�s^�\)�����
�d���������ō���1����[��z��
�΍�d�����������(+L�d��1�����'����X���'؍�(���b�=0���8t
�(�e�����O��33�2��7im��33�s^�\)zv������d����`ܹ)�����b������!�⍍������=�UR�n�����k�6���1���������X��������|(���5p�ad�=�n���<����m���-:�0������0�����)�d�����1��k���c�����dm������0���3�e�����2��I{iam���-:�0�����������(����������=����4*���X��������|(������ad�=�n���<����URm���-:�0������0�����hW�a�����k�6���1���c�����dm������0���3�q��n9����am���-:�0������:�����+��iF�In��the�second�to�the�last�expression�w��re�let��m�\3�=��dm����2�0���9�,����m����2�0��*l���0,�then��used�the�fact�that�the����iFsum�����Fu��-��1��۟���z�_�����d�������������P����*���[a�d��1��	U_��[a�b�=0���)��(�e����L䍑33�2��7im��33�s^�\)zv������d����`ܹ)����2�b��
��is��only�nonzero�if��d�j�m�.����	:Th��rus�������T�����n���P�f�G��(�q�n9�)�UR=�����Ɵ��X���sd����t����ad�=�n�������x�m��0��������a�����k�6���1���c�����dm��dl�q������am���&4Ѝ�iF�and��if���UR���0��then�the�co�S�ecien��rt�of��q��n9���2���	��is��L荍����}����X���#ݍ���u���#��a�j�n���	{����)�a�j�����������a�����k�6���1���c����s3��33�n��33����\)	7��鍐sya���G�2�������:�����
Nՠ�k��������iF�3.6.�	#�A��rCTION��OF�HECKE�OPERA��VTORS�ON�MODULAR�F�ORMS�e6U�13�����덠�B�ƍ����iF�R��ffemark�353.6.1.���,��When�{��k��o��UR�1�the�co�S�ecien��rts�of��q��n9���2���	��for�all����b�elong�to�the��Z�-mo�dule�generated������iFb��ry��the��c�����m��Ĺ.��������iF�R��ffemark�353.6.2.���,��Setting����UR�=�0�giv��res�the�constan�t�co�S�ecien�t�of��T�����n���P�f�2��whic�h�is���򍍍�������X���������{�a�j�n����<n�a�����k�6���1���c�����0��V�=�UR������k�6���1���(�n�)�c�����0����:��'�ҍ��iF�Th��rus�>;if��f��:�is�a�cusp�form�so�is��T�����n���P�f�G��.�3�(�T�����n���f��is�>;holomorphic�since�its�original�denition�is�as�a�����iFnite��sum�of�holomorphic�functions.)�������iF�R��ffemark�353.6.3.���,��Setting�u�����=�1�sho��rws�that�the�co�S�ecien�t�of��q�~��in��T�����n���P�f�Xt�is�������P����"���a�j�1��[g�1����2�k�6���1���c�����n��	=��=����c�����n���.��FAs�����iFan��immediate�corollary�w��re�ha�v�e�the�follo�wing�imp�S�ortan�t�result.��������iF�Corollary��3.6.4.���?�`�Supp��ffose����f�˜�is�a�cusp�form�for�which��T�����n���P�f��has�0�as�c��ffo�ecient���of��q����for�al���l�����iF�n�UR���1�,�35then��f��Q�=�UR0�.�������iFR��ffemark�353.6.5.���,��When�mT�n�3��=��p��is�prime�w��re�get�an�in�teresting�form�ula�for�the�action�of��T�����p��	4��on�����iFthe���q�n9�-expansion�of��f�G��.�8�One�has��������T�����p���]�f��Q�=����UR���X���
��:���0�����������X���#ݍ���u��Q�a�j�n���	{���V�a�j�������)���a�����k�6���1���c����s3��33�n��33����\)	7��鍐sya���G�2�������q��n9������F�:��06����iF�Since�\�n����=��p��is�prime�either��a��=�1�or��a��=��p�.���When��a��=�1,�&I�c�����p��
�ƹo�S�ccurs�in�the�co�ecien��rt�of��q��n9���2�������iF�and��when��a�UR�=��p�,��w��re�can�write���UR�=��p�꨹and�w�e�get�terms��p����2�k�6���1���c�������	`�in��q��n9���2�p��
*�.�8�Th�us����t�p�T�����n���P�f��Q�=����UR���X���
��:���0������c�����p��	�j�q��n9��������+����p�����k�6���1��������X���'؍������0���%Ub�c�������uZ�q��n9����p��
*��:�����_o��k�������iF�14�
��CHAPTER��3.�	#�MODULAR�F��rORMS�����뎌�h��k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{4��2���iFEm��8�b��
edding�	T{Hec�k�e�Op��
erators�in�the�����iFDual��>����iF�4.1��
��The�z�Space�of�Mo��=dular�F��aGorms��b#���iF�Let���UR=������1����(1)�=��SL�����2���(�Z�)��+Band��for��k��o��UR�0�let�� �a�����JxE�M�����k��������^O/�=�UR�f�f��Q�=����������1��������X���
�ҍ����n�=0������a�����n���P�q��n9����n��	k۹:���f�2��is��a�mo�S�dular�form�for�����`�g�����&������^O/�UR�S�����k��x�=��f�f��Q�=����������1��������X���
�ҍ����n�=1������a�����n���P�q��n9����n����g�����!d����iF�These�}�are�nite�dimensional��C�-v��rector�spaces�whose�dimensions�are�easily�computed.���F��Vur-������iFthermore,�k#they�Qqare�generated�b��ry�familiar�elemen�ts�(see�Serre�[�24����]�or�Lang�[�10��].)�m;The�main�����iFto�S�ol��is�the�form��rula��s�������X"���X����������p�2�D�<r�[f1g��������ō��l�1���7�[��z�{T�
�΍�e�(�p�)�������ͼord����Ɣ����p��ݍ�(�f�G��)�UR=������ō�&��k�����[��z����
�΍�12������ _����iFwhere���D�>6�is�the�fundamen��rtal�domain�for��and��'(����V�e�(�p�)�UR=����̼���8��
�ԍ�>������<������>����:�����|���
���1������otherwise����fa���
��2������if���p��=��i�������
���3������if���p��=���������*(��iF�One��{can�alternativ��rely�dene��e�(�p�)�as�follo�ws.��ZIf��p����=�����and��{�E�s��=��C�=�(�Z�����+�;��Z�)�then��e�(�p�)�=��������Fu��ߜy�1��ߜy����z�@���2��������#����Aut����(�E���).�����	:F��Vor���k��o��UR�4�w��re�dene�the��Eisenstein�35series��G�����k��	:�b�y�� 	���m��G�����k��#��(�q�n9�)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍2�����������(1������k�g�)�+�������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1�����������k�6���1���(�n�)�q������n����;�����iF�then��the�map��/J����3���o�7!�����\���X������������UR�(�m;n�)�6�=(0�;�0)���������W�m;n�2�Z����������ō�K��1��4C�[��z�4{��
�΍(�m�Ź+����n�)������k�������)*"���iF�diers���from��G�����k���]�b��ry�a�constan�t�(no�pro�S�of��8).�/�Also,��]����(1�q����k�g�)�UR�2��Q��˹and�one�ma�y�sa�y��V,��]�symb��ffolic�al���ly�������iF�at�Bleast,�W�\����(1��$���k�g�)��=�������T��1��������X���'؍����d�=1���?^�d�����k�6���1����=�������k�6���1���(0)."�>�The��n�th���Bernoul���li�numb��ffer��B�����n��	�V�is�dened�b��ry�the�����‰#15����hu��k�������iF�16�Zކ�CHAPTER��4.�	#�EMBEDDING�HECKE�OPERA��VTORS�IN�THE�DUAL�����덠�B�ƍ�iF�equation���D�������ō��63�x�����[��z�E��
�΍e������x��������1������5=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=0��������ō����B�����n���P�x����2�n����۟[��z���
�΍�R�n�!�����3�"�:��#DP��iF�One�9�can�sho��rw�that�����(1�Az���k�g�)�UR=��������q��33�B��i?�k���33�^��z�^��ꍑ.f�k��������so�9�the�constan�t�co�S�ecien�t�of��G�����k��]f�is��������q��33�B��i?�k���33�^��z�^��ꍑd�2�k��������whic�h�is�rational.��+竍��iF�4.2��7��Inner�z�Pro��=duct������iF�In��what�follo��rws�w�e�assume��k��C���&�2�to�a�v�oid�trivialities..���The�Hec�k�e�op�S�erators��T�����n��	��acts�on�the�����iFspace����M�����k��#��.��Fix�a�subspace��V��Z��W��M�����k��	�&�whic��rh�is�stable�under�the�action�of�the��T�����n���P�.�Let��T�(�V��p�)����iFb�S�e��1the��C�-algebra�generated�b��ry�the�endomorphism��T�����n��
c��acting�on��V�W��and�note�that��T�(�V��p�)�is����iFactually��4a�nite�dimensional��C�-v��rector�space�since�it�is�a�subspace�of��E��nd�(�V��p�)�and��V�1��is�nite����iFdimensional.�8�Recall��that��T��is�comm��rutativ�e.�����	:There��is�a�bilinear�form��[򍍍�����T������V�������쭒�!�UR�C��������������h�T���;���f�G��i�������쭒7!�UR�a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�������iFwhere���f�G��j�T���=��UR�����P����*������1��	U_�����n�=0���"���a�����n���P�(�f��j�T��ƹ)�q��n9���2�n����.�8�W��Ve�th��rus�get�maps��������/�V����!��UR�Hom����(�T�;����C�)�UR=��T�������������������T�UR�!���Hom����(�V��;����C�)�=��V���p������\t�:�����������iF�Theorem��4.2.1.���j$�The�35ab��ffove�maps�ar�e�isomorphisms.���>����iFPr��ffo�of.���02��It��/just�remains�to�sho��rw�eac�h�map�is�injectiv�e.�&
Then�since�a�nite�dimensional�v�ector�����iFspace�C�and�its�dual�ha��rv�e�C�the�same�dimension�the�result�follo��rws.�	C�First�supp�S�ose��f��p�7!��q�0��2�����iF�Hom��#��(�T�;����C�),�)gthen���a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�[=�0�for�all��T��!�2��T��so,�)gin�particular,��a�����n��
���=�[�a�����1����(�f�G��j�T�����n���P�)�=�0�for�all����iF�n����1.�F�Th��rus��T�f�7S�is�a�constan�t,�0but�since��k�x ���2�this�implies��f�Y�=�0�(otherwise��f�7S�w��rouldn't����iFtransform��correctly�with�resp�S�ect�to�the�action�of�the�mo�dular�group).�����	:Next�vsupp�S�ose��T�:��7!���0��2���Hom���(�V��;����C�),�ithen�v�a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�=�0�for�all��f���2��V��p�.��JSubstiting��f�G��j�T�����n��	�ƹfor����iF�f�2��and��using�the�comm��rutativit�y��of��T��w��re�ha�v�e��[򍍍��ḟ�a�����1����((�f�G��j�T�����n���P�)�j�T��ƹ)��������!Y=�UR0���������pfor��all��f�G��,��n�UR���1�����������ḟ�a�����1����((�f�G��j�T��ƹ)�j�T�����n���P�)��������!Y=�UR0���������pb��ry��comm�utativit�y�����������~�j�a�����n���P�(�f�G��j�T��ƹ)��������!Y=�UR0���������p�n�UR���1�������������C�f�G��j�T��������!Y�=�UR0���������psince���k��o��UR�2,�as�ab�S�o��rv�e��������iFTh��rus���T���=�UR0�whic�h�completes�the�pro�S�of.�����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����֍���iF�R��ffemark�354.2.2.���Y��The���ab�S�o��rv�e�isomorphisms�are��T�-e��ffquivariant�.��*KHom����(�T�;����C�)�is�a��T�-mo�S�dule�if�w�e�����iFlet�j>�T��C�2�.}�T��act�on��'��2���Hom���(�T�;����C�)�b��ry�(�T��L����'�)(�T���Ɵ��2�0��o��)�=��'�(�T���T�����2�0��o��).���If�j>��B�:��V����!���Hom���(�T�;����C�)�is�the����iFab�S�o��rv�e�+�isomorphism�(so����\�:����f���7!��'�����f��	:�:=�(�T���Ɵ��2�0��3��7!��a�����1����(�f�G��j�T���Ɵ��2�0��o��)))�+�then�equiv��X�ariance�is�the�statemen��rt����iFthat������(�T���f�G��)�UR=��T����(�f�G��)�:�꨹This�follo��rws�since��[򍍍��}%�����(�T���f�G��)(�T������0��o��)��������9g=�UR�'�����T�.:f���6�(�T���Ɵ���0��o��)�=��a�����1����(�T���f�G��j�T������0���)�UR=��a�����1����(�f�G��j�T���Ɵ���0���T��ƹ)�����������9g=�UR�'�����f��w�(�T���Ɵ���0��o��T��ƹ)�=��T�'�(�T������0��o��)�=��T����(�f�G��)(�T������0��o��)�:��������q��k��������iF�4.3.�	#�EIGENF��rORMS�\'ӹ17�����덠�B�ƍ���iF�4.3��
��Eigenforms��b#���iF�W��Ve��con��rtin�ue�to�assume�that��k��o��UR�2.��������iF�Denition��4.3.1.���B�	�A���mo�S�dular��#form��f�p��2�(��M�����k��
 ��is�an��eigenform�/�for��T��#�if��f�G��j�T�����n��
�չ=�������n���P�f�E"�for�all������iF�n�UR���1��and�some�complex�n��rum�b�S�ers��������n���P�.�����	:Let��X�f�BW�b�S�e�an�eigenform,��Dthen��a�����n���P�(�f�G��)�p=��a�����1����(�f��j�T�����n���P�)�=�������n���a�����1����(�f�G��)��Xso�if��a�����1���(�f�G��)�p=�0��Xthen��a�����n���P�(�f��)�p=�0�����iFfor�h�all��n�,���1�h�so�since��k��:��,�2�this�w��rould�imply��f�t�=�0.��tTh��rus��a�����1����(�f�G��)��6�=�0�and�w��re�ma�y�as�w�ell�����iFdivide��Dthrough�b��ry��a�����1����(�f�G��)�to�obtain�the��normalize��ffd��Yeigenform�����Fu��
�|�1���w����z�B
����a��q�1��*��(�f����)�����9��f��.�,�W��Ve�th��rus�assume�that��#Z���iF�a�����1����(�f�G��)�UR=�1,��then�the�form��rula�b�S�ecomes��a�����n���P�(�f��)�UR=�������n��	���and��so��f��j�T�����n�����=�UR�a�����n���P�(�f��)�f��,�for�all��n�UR���1.�������iF�Theorem��4.3.2.���=$�L��ffet��,�f����2�9��V�_��and�let�� �1e�b�e�the�image�of��f�+�in���Hom��<�(�T�;����C�)�,�'*thus�� �n9�(�T��ƹ)�9�=�����iF�a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�.�fiThen�35�f�{4�is�a�normalize��ffd�eigenform�i�� ��n�is�a�����	:ring�35homomorphism.�������iFPr��ffo�of.���2��First��supp�S�ose��f�2��is�a�normalized�eigenform�so��f�G��j�T�����n�����=�UR�a�����n���P�(�f��)�f��.�8�Then��������g�O� �n9�(�T�����n���P�T�����m��Ĺ)���������=�UR�a�����1����(�f�G��j�T�����n���P�T�����m��Ĺ)�=��a�����m���(�f�G��j�T�����n���P�)�������������=�UR�a�����m��Ĺ(�a�����n���P�(�f�G��)�f��)�=��a�����m��Ĺ(�f��)�a�����n���P�(�f��)������������=�UR� �n9�(�T�����n���P�)� ��(�T�����m��Ĺ)�;��������iF�so��� �X�is�a�homomorphism.������	:Con��rv�ersely��V,���assume���� ����is�a�homomorphism.�}Then��f�G��j�T�����n�����=��UR�����P�����a�����m��Ĺ(�f��j�T�����n���P�)�q��n9���2�m��r��,�so���to�sho��rw�that�����iF�f�G��j�T�����n�����=�UR�a�����n���P�(�f��)�f��(�w��re��)m�ust�sho�w�that��a�����m��Ĺ(�f�G��j�T�����n���P�)�UR=��a�����n���(�f�G��)�a�����m��Ĺ(�f��).�%`Recall��)that�� �n9�(�T�����n���)�UR=��a�����1����(�f�G��j�T�����n���)�=�����iF�a�����n���P�,��th��rus�������PDP�a�����n���P�(�f�G��)�a�����m��Ĺ(�f��)��������	=�UR�a�����1����(�f�G��j�T�����n���P�)�a�����1���(�f��j�T�����m��Ĺ)�UR=�� �n9�(�T�����n���P�)� ��(�T�����m���)������������	=�UR� �n9�(�T�����n���P�T�����m��Ĺ)�=��a�����1����(�f�G��j�T�����n���j�T�����m��Ĺ)�����������	=�UR�a�����m��Ĺ(�f�G��j�T�����n���P�)��������iFas��desired.���������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����������k�������iF�18�Zކ�CHAPTER��4.�	#�EMBEDDING�HECKE�OPERA��VTORS�IN�THE�DUAL�����뎌��;��k�������덠���\���iF�Chapter�	T{5��2�����iFRationalit��8�y�	T{and�In�tegralit�y�Questions��>������iF�5.1��
��Review��U}���iF�In�jDthe�previous�lecture�w��re�lo�S�ok�ed�at�subspaces��V�����.��M�����k��	R���C�[[�q�n9�]],��+(�k������4),�and�jDconsidered������iFthe���space��T�n�=��T�(�V��p�)�=��C�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�n����End���zџ���C��#��V�,	�of���Hec��rk�e�op�S�erators�on��V��p�.�'�W��Ve�dened�a�����iFpairing����T����V����!�UR�C��b��ry�(�T���;���f�G��)��7!��a�����1����(�f��j�T��ƹ)���and�sho��rw�ed���this�pairing�is�nondegenerate�and�that�����iFit��induces�isomorphisms��T�����P���UR����԰���n:�=��������Hom��(y�(�V��;����C�)�and��V�����P���������԰���
��=�������kHom��+�(�T�;��C�).��-�Ǎ���iF�5.2��
��In��u�tegralit�y�����iF�Fix���k��A��a$�4�and�let��S���=��S�����k��	+�b�S�e�the�space�of�w��reigh�t���k�X��cusp�forms�with�resp�ect�to�the�action�of������iFSL�����2����(�Z�)��k].�8�Let��`����������S��׹(�Q�)��������}=�UR�S�����k���:�\����Q�[[�q�n9�]]�������������l�S��׹(�Z�)��������}=�UR�S�����k���:�\����Z�[[�q�n9�]]�:�����VW�����iF�Theorem��5.2.1.���=$�Ther��ffe�35is�a��C�-b�asis�of��M�����k��	V��c�onsisting�of�forms�with�inte�gr�al�c�o�ecients.��K퍍���iFPr��ffo�of.���2��This��is�seen�b��ry�exhibiting�a�basis.�8�Recall�that�for�all��k��o��UR�4��%�������G�����k��x�=�UR�������ō�S��b�����k���33�[��z�c��
�΍�2�k�����t��+�������P�1����������X���'؍��M�k�6��=1�����������X����������d�j�k���)UT�d�����k�6���1���q��n9����n���*獑�iF�is��the��k�g�th�Eisenstein�series�whic��rh�is�a�mo�S�dular�form�of�w�eigh�t��k�QŹand��"������\�E�����k��x�=�UR�������ō�33�2�k��33�[��z�c��
�΍� �b�����k������t������G�����k���=�1���+����������"�ˍ��iF�is�
oits�normalization.��4Since�the�Bernoulli�n��rum�b�S�ers�
o�b�����2����;����:�:�:��ʚ;���b�����8���s�ha�v�e�1�as�n�umerator�(this�isn't�����iFalw��ra�ys�A�the�case,�W��b�����10��鮹=�����Fu��<��5��ٟ���z�����66�������)�w��re�see�that��E�����4��	ѹand��E�����6���ha��rv�e�A�co�S�ecien�ts�in��Z��and�constan�t�term�����iF1.�8�F��Vurthermore��one�sho��rws�b�y�dimension�and�indep�S�endence�argumen�ts�that�the�forms������)�f�E��������a���ڍ�4������E��������b���ڍ�6������j�4�a����+�6�b�UR�=��k�g�g�����iF�form��a�basis�for��M�����k��#��.���ces��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������‰#19�����Ġ�k�������iF�20�`���CHAPTER��5.�	#�RA��VTIONALITY�AND�INTEGRALITY�QUESTIONS�����덠�B�ƍ��iF�5.3��7��Victor�z�Miller's�Thesis��b#��iF�Let���d�UR�=��dim���ꚟ���C�� ~��S�����k��#��,��0then�Victor�Miller�sho��rw�ed�in�his�thesis�(see�[�11����],��0c�h.�-X,�theorem�4.4)�that�����iFthere��exists�������f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d��4��2�UR�S�����k��#��(�Z�)����suc��rh��that��G�0�a�����i��dڹ(�f�����j��f
�)�=�������ij������iF�for��1�UR���i;���j�%���d�.�8�The��f�����i��O��clearly�form�a�basis.���
����iF�Prop�`osition��5.3.1.���y���L��ffet�35�R�n��=�UR�Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR���E��nd�(�S�����k��#��)�,�35then��R�n��=��UR�����L����*������d��	U_����i�=1��� ���Z�T�����i��d��.������iFPr��ffo�of.���02��T��Vo�)�see�that��T�����1����;������������;���T�����d���2�(m�T��=��T�(�S�����k��#��)�)�are�linearly�indep�S�enden��rt�o�v�er��C��supp�S�ose������iF�����P����*�����d��	U_���i�=1���(UG�c�����i��d��T�����i���,�=�UR0,��then��_��w3�0�UR=��a�����1����(�f�����j��f
�j���������X����UT�c�����i��d��T�����i���)�UR=�������X���
㇍�
���i������c�����i��d��a�����i���(�f�����j���)�UR=�������X���
㇍�
���i������c�����i��d�������ij��
�6�=��c�����j���:��$\��iF�F��Vrom�Ӏthe�isomorphism��T�����P���UR����԰���n:�=��������Hom��(y�(�S�����k��#��;����C�)�w��re�kno�w�that��dim���hȟ���C�� ���T�UR�=��d�,��!so�Ӏw�e�can�write�an�y��T�����n�����iF�as��a��C�-linear�com��rbination���p���1��T�����n�����=�������	�*�d�����UR���X���
㇍�S�i�=1������c�����n��8:�i������T�����i��d��;�
��c�����n��8:�i���*�2�UR�C�:��y�iF�But����V���Z�UR�3��a�����n���P�(�f�����j��f
�)�=��a�����1����(�f�����j���j�T�����n���P�)�=�������	�*�d��������X���
㇍�S�i�=1������c�����n��8:�i������a�����1����(�f�����j���j�T�����i��dڹ)�=�������	�*�d��������X���
㇍�S�i�=1������c�����n��8:�i������a�����i���(�f�����j��f
�)�=��c�����n��8:�j�������iF�so��the��c�����n��8:�i����j�all�lie�in��Z��whic��rh�completes�the�pro�S�of.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����J���	:Th��rus���R��is�an�in�tegral�Hec�k�e�algebra�of�nite�rank��d��o�v�er��Z�.�8�W��Ve�ha�v�e�a�map���a������>�S��׹(�Z�)������R��������n[�!�UR�Z���������������(�f���;���T��ƹ)��������n[�7!�UR�a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�������iFwhic��rh��induces�an�em�b�S�edding��������S��׹(�Z�)�UR�,���!���Hom����(�R�J;����Z�)�����P�������԰���n:�=��������Z�����d��ߨ�:������iF�Exer��ffcise�355.3.2.���\��Pro��rv�e�
%that�the�map��S��׹(�Z�)�>��,���!���Hom���1(�R�J;����Z�)�
%is�in�fact�an�isomorphism�of��T�-�����iFmo�S�dules.�8�[Hin��rt:�Sho�w��the�cok�ernel�is�torsion�free.]��'�ʍ��iF�5.4��7��P��u�etersson�z�Inner�Pro��=duct����iF�The��main�theorem�is���
����iF�Theorem��5.4.1.���j$�The�35�T�����n�����2�UR�T�(�S�����k��#��)��ar��ffe�al���l�diagonalizable�over��C�.����	:�T��Vo�%tpro��rv�e�this�w�e�note�that��S�����k��
I�supp�S�orts�a�non-degenerate�p�ositiv��re�denite�Hermitean�����iFinner��pro�S�duct�(the�P��retersson�inner�pro�duct)���a����f(�f���;���g�n9�)�UR�7!�h�f�;���g�n9�i�2��C����iF�suc��rh��that��h�f�G��j�T�����n���P�;���g�n9�i�UR�=��h�f���;�g�n9�j�T�����n���P�i�.�8�W��Ve��need�some�bac��rkground�facts.���
����iF�Denition��5.4.2.���o�	�An�ҁop�S�erator��T�tG�is��normal��if�it�comm��rutes�with�its�adjoin�t,�wth�us��T���T�����2���A��=����iF�T���Ɵ��2���a��T��ƹ.������Р�k��������iF�5.4.�	#�PETERSSON��INNER�PR��rODUCT��-�21�����덠�B�ƍ��	:�T�����n��	���is��clearly�normal�since��T����2�������RA��n���	��=�UR�T�����n���P�,���T�����iF�Theorem��5.4.3.���=$�A�35normal�op��ffer�ator�35is�diagonalizable.�����	:�Th��rus��eac�h��T�����n��	���is�diagonalizable.�������iF�Theorem��5.4.4.���=$�A���c��ffommuting���family�of�semisimple�(=diagonalizable)�op�er�ators�c�an�b�e�si-������iFmultane��ffously�35diagonalize�d.�����	:�Since���the��T�����n��	_�comm��rute�this�implies��S�����k���E�has�a�basis�consisting�of�normalized�eigenforms��f�G��.�����iFTheir��eigen��rv��X�alues�are�real�since���������b�R�a�����n���P�(�f�G��)�h�f���;���f��i��������>6�=�UR�h�a�����n���P�(�f�G��)�f���;���f��i��=��h�f��j�T�����n���P�;���f��i�������������>6�=�UR�h�f���;���a�����n���P�(�f�G��)�f��i��=�����`�z�	��
p���a�����n���P�(�f��)���^��h�f���;���f��i�:����������iF�Exer��ffcise�355.4.5.���/��The��&co�S�ecien��rts��a�����n��rv�of�the�eigenforms�are�totally�real�algebraic�in�tegers.�ص[Hin�t:�����iFThe��space��S�����k��2�is�stable�under�the�action�of��Aut���H(�C�)�on�co�S�ecien��rts:���if��f��Q�=��UR�����P����*������1��	U_�����n�=1���"���c�����n���P�q��n9���2�n��	k��2�UR�S�����k���and�����iF��Ë�2��UR�Aut��=(�C�)�ќthen���n9�(�f�G��)�UR=�������P����*������1��	U_�����n�=1���"�����(�c�����n���P�)�q�����2�n��	�%�is�ќagain�in��S�����k���.�(c��rhec�k�ќthis�b��ry�writing��f���in�terms�of�a�����iFbasis����f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d��4��2�UR�S��׹(�Z�)).�7�Next�use�the�fact�that��f�/��is�an�eigenform�i���n9�(�f�G��)�is�an�eigenform.]������	:Let����mh<�H�r��=�UR�f�x����+��iy�Ë�:��x;���y��2��R�;��ꦹand���z�y�>��0�g�������iF�b�S�e��the�upp�er�half�plane.�8�Then�the�v��rolume�form������w����dx�^�dy��۟���z����ꍑ� y��I{�����2������!몹is�in�v��X�arian�t�under�the�action�of������`�}GL�����x��q��+������q�2���x���(�R�)�UR=��f�M��6�2���GL��������2����(�R�)�j������det���Q�(�M�@�)��>��0�g�:�����iF�If����h�=����UR��G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������!�g�2��UR�GL�����x�����+��������2���e�(�R�)�then������G��������)����j��a����)b���:G����Sc���1�d��������i��G������"��acts�on��H�P�b��ry��������A��
��������d������a������b���������&c����A�d��������\��
��������:�J�z��5�7!������ō����az�3��+����b�����[��z����
�΍�-cz�3��+����d������
��iF�and��one�has��;����y�Im����k(������ō�33�az�3��+����b��33�[��z����
�΍�-cz�3��+����d�����"^�)�UR=������ō��	�&det����(����)�����[��z�+N�
�΍�j�cz�3��+����d�j������2������0��y�n9:�������iF�Dieren��rtiating�����Fu����az�V��+�b��۟���z�
џ�ꍐEcz�V��+�d�����I��giv�es��Lz�����d�<�d�(������ō�33�az�3��+����b��33�[��z����
�΍�-cz�3��+����d�����"^�)��������wv=������ō����a�(�cz�3��+����d�)�dz����c�(�az��+��b�)�dz�����[��z���K�
�΍�+
��(�cz�3��+����d�)������2���������� Yy������wv�=������ō���(�ad������bc�)�dz�����[��z�::�
�΍�[\�(�cz�3��+����d�)������2����������������wv�=������ō���det�(����)�����[��z�-�*�
�΍(�cz�3��+����d�)������2������3?��dz���������iF�Th��rus,��under�the�action�of�����,��dz�3��^����d����d��z��5��K�z����	�ݹtak�es�on�a�factor�of��+��������ō�����det���
o(����)����2�2���q��[��z�[T�
�΍�(�cz�3��+����d�)������2����(�c���d��z��5��K�z����ݹ+��d�)������2������Щj�=����UR��
����������ō���ҹdet��!	�(����)���1�[��z�+N�
�΍�j�cz�3��+����d�j������2���������7��
������?^��]��2��C�b�:�������iF�Denition��5.4.6.���B�	�The���Petersson�35inner�pr��ffo�duct��of�forms��f���;���g�Ë�2�UR�S�����k��	:�is�dened�b��ry���p��j���<�URf���;���g�Ë>�=���甆�Z���	���
�_��nH��MI�(�f�G��(�z���)����`�z�0M�
p���g�n9�(�z��)���0M�y��n9����k���˹)������ō�33�dx����^��dy��33�[��z�&a��
�΍�
�Ry��n9�����2������(���;��
썑�iF�where���UR=��SL�����2����(�Z�)��'Wi.���T���	:In��rtegrating�.�o�v�er��nH�L��can�b�S�e�tak�en�to�mean�in�tegrating�o�v�er�a�fundamen�tal�domain�for�����iFthe�'�action�of��H���.���Sho��rwing�that�the�op�S�erators��T�����n�����are�self-adjoin�t�with�resp�S�ect�to�the�P�etersson�����iFinner��/pro�S�duct�is�a�harder�computation�than�Serre�[�24����]�migh��rt�lead�one�to�b�eliev��re�|�it�tak�es�����iFa��bit�of�though��rt.������'��k�������iF�22�`���CHAPTER��5.�	#�RA��VTIONALITY�AND�INTEGRALITY�QUESTIONS�����뎌��Ϡ�k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{6��2���iFMo��
dular�	T{Curv��8�es��>����iF�6.1��
��Cusp�z�F��aGorms��b#���iF�Recall��that�if��N�Lֹis�a�p�S�ositiv��re�in�teger�w�e�dene�the�congruence�subgroups�(�N�@�)�����������1����(�N��)��������iF������0����(�N�@�)��b��ry��P�����8Y������0����(�N�@�)�������[��=�UR�f�����G��������)������a�����b���:G����c���Gd�����������G������|�2���SL�����2����(�Z�)��*��:��c����0���(�mo�S�d���B�N�@�)�g������Ӎ����8Y�������1����(�N�@�)�������[��=�UR�f�����G��������)������a�����b���:G����c���Gd�����������G������|�2���SL�����2����(�Z�)��*��:��a����d����1�;���c����0���(�mo�S�d���B�N�@�)�g����������=��(�N�@�)�������[��=�UR�f�����G��������)������a�����b���:G����c���Gd�����������G������|�2���SL�����2����(�Z�)��*��:������G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������!�g�������G��������)����
�R�1���X�0����ፍ�
�R0���X�1�����������G������*��(�mo�S�d���B�N�@�)�g�:��������	:�Let�Կ�b�S�e�one�of�the�ab�o��rv�e�Կsubgroups.�1�One�can�giv��re�a�construction�of�the�space��S�����k��#��()�of������iFcusp���forms�of�w��reigh�t����k�D��for�the�action�of��using�the�language�of�algebraic�geometry��V.��ELet��X�������	$F�=������iF���`�z�W{�
p���nH�������������#Ĺb�S�e�cthe�compactifaction�of�the�upp�er�half�plane�(union�the�cusps)�mo�dulo�the�action�of�����iF.�\�Then����X�������	Ő�can�b�S�e�giv��ren�the�structure�of�Riemann�surface�and��S�����2����()�i�=��H���V���2�0���Z�(�X����������;����
����2�1���)���where�����iF
����2�1���	�is�the�sheaf�of�dieren��rtial�1-forms�on��X���������.���This�w�orks�since�an�elemen�t�of��H���V���2�0���Z�(�X����������;����
����2�1����)�is�����iFa���dieren��rtial�form��f�G��(�z���)�dz��,��Zholomorphic���on��H��n�and�the�cusps,�whic��rh�is�in�v��X�arian�t�with�resp�S�ect�����iFto��the�action�of�.�8�If��
��n�=����UR��G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������!�g�2�UR��then������O�d�(�
���(�z���))�=dz��5�=�UR(�cz�3��+����d�)������2������iF�so��������f�G��(�
���(�z���))�d�(�
��(�z��))�UR=��f�G��(�z��)�dz���"���iF�i���f�2��satises�the�mo�S�dular�condition������Z�f�G��(�
���(�z���))�UR=�(�cz�3��+����d�)�����2����f��(�z���)�:�����	:�There��is�a�similar�construction�of��S�����k��	:�for��k��o>�UR�2.��'XI����iF�6.2��
��Mo��=dular�z�Curv��u�es��b#���iF�One��^kno��rws�that��SL�����2����(�Z�)��)�s�nH��parameterizes�isomorphism�classes�of�elliptic�curv�es.�MThe�other�����iFcongruence��Bsubgroups�also�giv��re�rise�to�similar�parameterizations.���Th�us������0����(�N�@�)�nH���param-�����iFeterizes���pairs�(�E��;���C�ܞ�)�where��E���is�an�elliptic�curv��re�and��C��{�is�a�cyclic�subgroup�of�order��N�@�,�����iFand��������1����(�N�@�)�nH��@�parameterizes�pairs�(�E��;���P��ƹ)�where��E�=��is�an�elliptic�curv��re�and��P�+^�is�a�p�S�oin�t�of�����iFexact��order��N�@�.�VtNote�that�one�can�also�giv��re�a�p�S�oin�t�of�exact�order��N�5h�b�y�giving�an�injection�����iF�Z�=��X�N�@��Z�UR�,���!��E���[�N��]�?or�equiv��X�alen��rtly�an�injection���������:�������=����
�����N�����,���!�UR�E���[�N��]�where���������:�������=����
�����N��)��denotes�the��N��th�ro�S�ots�of�����iFunit��ry��V.��v(�N�@�)�nH�V�parameterizes�8kpairs�(�E��;����f���;���O�g�)�8kwhere��f��;�����O�g��is�a�basis�for��E���[�N�@�]�����P���UR����԰���n:�=�������(�Z�=��X�N��Z�)����2�2����.�����	:The��ab�S�o��rv�e�quotien�ts�spaces�are�called��mo��ffduli�"�sp�ac�es��for�the��mo�duli�"�pr�oblem��of�determining�����iFequiv��X�alence��classes�of�pairs�(�E���+�extra�structure).�����‰#23�����X��k�������iF�24�v��CHAPTER��6.�	#�MODULAR�CUR����VES�����덠�C䌍��iF�6.3��7��Classifying�z��6D��tG�G�cmr17�(�N���)�-structures��b#����iF�Denition��6.3.1.���o�	�Let��e�S�q<�b�S�e�an�arbitrary�sc��rheme.�
�An��elliptic��hcurv��e��E��=S��is�a�prop�S�er�����iFsmo�S�oth��curv��re��e������-������E���Kl���������r�f��������3,���i�?��38���i?�����iy�����������������r��S������%'��iF�with��geometrically�connected�b�S�ers�all�of�gen��rus�one,�giv�e�with�a�section�\0".��YP��	:Lo�S�osely���sp�eaking,��prop�er�is�a�generalization�of�pro��jectiv��re�and�smo�oth�generalizes�non-����iFsingularit��ry��V.�8�See��Hartshorne�[�7����],�c�hapter�I�S�I�I,��section�10,�for�the�precise�denitions.������iF�Denition��6.3.2.���o�	�Let����S��y�b�S�e�an��ry�sc�heme�and��E��=S��y�an�elliptic�curv�e.�k�A���(�N�@�)�-structure��on����iF�E��=S���is��a�group�homomorphism���3���L��'�UR�:�(�Z�=��X�N�@��Z�)�����2��V�!��E���[�N��](�S��׹)����iFwhose��image�\generates"��E���[�N�@�](�S��׹).����	:A��go�S�o�d�reference�is�c��rhapter�3�of�Katz�and�Mazur�[�9����].�����	:Dene�ŷa�functor�from�the�category�of��Q�-sc��rhemes�to�the�category�of�sets�b�y�sending�a����iFsc��rheme���S���to�the�set�of�isomorphism�classes�of�pairs���3�����(�E��;����(�N�@�)�-structure��2T")����Qwhere���E�S"�is�an�elliptic�curv��re�dened�o�v�er��S�Q�and�isomorphisms�(preserving�the�(�N�@�)-structure)�����iFare�]�tak��ren�o�v�er��S��׹.��aAn�isomorphism�preserv�es�the�(�N�@�)-structure�if�it�tak�es�the�t�w�o�distin-����iFguished��generators�to�the�t��rw�o��distinguished�generators�in�the�image�(in�the�correct�order).������iF�Theorem��6.3.3.���j$�F���or��n�N�(�����4��the�functor�dene��ffd�ab�ove�is�r�epr�esentable�and�the�obje�ct�r�ep-����iFr��ffesenting�35it�is�the�mo�dular�curve��X�$��c�orr�esp�onding�to��(�N�@�)�.����	:�What�l.this�means�is�that�giv��ren�a��Q�-sc�heme��S��׹,�̐the�set��X��(�S��)��=��Mor��������Q��-sc�Îhemes���Ci*�(�S��;���X��)�l.is����iFisomorphic��to�the�image�of�the�functor's�v��X�alue�on��S��׹.����	:There���is�a�natural�w��ra�y���to�map�a�pair�(�E��;����(�N�@�)�-structure��2T")�to�an��N��th�ro�S�ot�of�unit��ry��V.�p"If����iF�P�S�;���Q�꨹are�the�distinguished�basis�of��E���[�N�@�]�w��re�send�the�pair�(�E�;����(�N�@�)�-structure��2T")�to���3�����e�����N��D�(�P�S�;���Q�)�UR�2���������
������UP����
g����N�����iF�where����e�����N��U#�:�;��E���[�N�@�]�ӭ���E��[�N�@�]�;��!����W������������;�����
M�����N��̹is���the�W��Veil�pairing.�
U�F�or�the�denition�of�this�pairing�����iFsee�e�c��rhapter�I�S�I�I,�e�section�8�of�Silv�erman�[�33����].���The�W��Veil�pairing�is�bilinear,���alternating,�non-����iFdegenerate,��Galois�in��rv��X�arian�t,��and�maps�surjectiv��rely�on�to���b �����c�����������
�i����N����.��'^R���iF�6.4��7��More�z�on�In��u�tegral�Hec�k�e�Op��=erators��b#��iF�W��Ve��care�considering�the�algebra�of�in��rtegral�Hec�k�e�op�S�erators��T���=��T�����Z��7��on��cthe�space�of�cusp����iFforms����S�����k��#��(�C�)�with�resp�S�ect�to�the�action�of�the�full�mo�dular�group��SL�����2����(�Z�)��'��.��Our�goal�is�to�see����iFwh��ry���T�����P���UR����԰���n:�=��������Z����2�d���P�where��d�UR�=��dim���ꚟ���C�� ~��S�����k��#��(�C�).����	:Supp�S�ose���A�UR���C��is�an��ry��subring��of��C��and�recall�that���3���A��T�����A��
36�=�UR�A�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End���b����C��!���S�����k��#��:����iF�W��Ve��ha��rv�e�a�natural�map������
<�T�����A��	���
�����A���C�UR�!��T�����C���쨍�iF�but��w��re�do�not�y�et�kno�w�that�it�is�an�isomorphism.������r��k��������iF�6.5.�	#�COMPLEX��CONJUGA��VTION�ce�25�����덠�B�ƍ���iF�6.5��
��Complex�z�Conjugation��ђ���iF�W��Ve��ha��rv�e�a�conjugate�linear�map�on�functions��$i�����f�G��(��W�)�UR�7!�����`�z���
p���f��(����d��z�qi��K�����qi�)���#RA�:�����iF�Since��ꨟ��`�z�&�-�
p��(�e�������2��I{i���y��\)�&��B�������)���-�'=�UR�e����2�2��I{i����,��it�follo��rws�that��$Ig���������	��1����������X���
�ҍ��G5�n�=1�����E�a�����n���P�q��n9����n��	k��7!����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=1��������d��z��Q��K��a�����n����"}��q��n9����n���$���iF�so��it�is�reasonable�to�call�this�map�\complex�conjugation".�8�F��Vurthermore,�if�w��re�kno�w�that�������S�����k��#��(�C�)�UR=��C����
�����Q��
��S�����k���(�Q�)�����iFthen�e�it�follo��rws�that�complex�conjugation�tak�es��S�����k��#��(�C�)�in�to��S�����k��#��(�C�).�T��Vo�see�this�note�that�if�w�e������iFha��rv�e��the�ab�S�o��rv�e��equalit�y�then�ev�ery�elemen�t�of��S�����k��#��(�C�)�is�a��C�-linear�com�bination�of�elemen�ts�of�����iF�S�����k��#��(�Q�)��[and�con��rv�ersely��V,��jand��[it�is�clear�that�the�set�of�suc��rh��C�-linear�com�binations�is�in�v��X�arian�t�����iFunder��the�action�of�complex�conjugation.��)gK����iF�6.6��
��Isomorphism�z�in�the�Real�Case�������iF�Prop�`osition��6.6.1.���L��T�����R��
}(�
�����R���C�����P���UR����԰���n:�=��������T�����C�����,�35as��C�-ve��ffctor�sp�ac�es.��������iFPr��ffo�of.���2��Since����S�����k��#��(�R�)��G=��S�����k���(�C�)�9��\��R�[[�q�n9�]]���and�since�theorem�5.1�assures�us�that�there�is�a��C�-�����iFbasis��of��S�����k��#��(�C�)�consisting�of�forms�with�in��rtegral�co�S�ecien�ts,���w�e�see�that��S�����k��#��(�R�)�����P���V�����԰���o˹=������R����2�d���;�where�����iF�d��?�=��dim���v�����C��"
r�S�����k��#��(�C�).��(An��ry��Delemen�t�of��S�����k��#��(�R�)�is�a��C�-linear�com�bination�of�the�in�tegral�basis,�����iFhence��Qequating�real�and�imaginary�parts,���an��R�-linear�com��rbination�of�the�in�tegral�basis,���and�����iFthe���in��rtegral�basis�sta�ys�indep�S�enden�t�o�v�er��R�.)�͚By�considering�the�explicit�form�ula�for�the�����iFaction��of�the�Hec��rk�e��op�S�erators��T�����n����on��S�����k��@T�(see�section�3)�w��re�see�that��T�����R��
�B�lea�v�es��S�����k��#��(�R�)�in�v��X�arian�t,�����iFth��rus��$i��j�L�T�����R��'ҹ=�UR�R�[��:���:�:��ʜ;���T�����d��ߨ�;��:�:�:���]�UR����End���b����R��"4��S�����k��#��(�R�)�:���Ѝ��iF�In��section�4�w��re�dened�a�\p�S�erfect"�pairing��$i����6�T�����C��
>������S�����k��#��(�C�)�UR�!��C�����iF�whic��rh�allo�w�ed�us�to�sho�w�that��T�����C������P����*����԰�����=�����s��S�����k��#��(�C�)�:��By�restricting�to��R��w�e�again�get�a�p�S�erfect������iFpairing��so�w��re�see�that��T�����R������P���'�����԰���@��=������{�S�����k��#��(�R�)�����P���UR����԰���n:�=��������R����2�d���P�whic�h�implies�that������=�T�����R��	�;�
�����R��
}(�C����2��������p���UR���$!����\x�T�����C�����:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����m<���	:�This��also�sho��rws�that��S�����k��#��(�C�)�����P���UR����԰���n:�=��������C����
�����R��
}(�S�����k���(�R�)��so�w�e�ha�v�e�complex�conjugation�o�v�er��R�.��)gK����iF�6.7��
��The�z�Eic��u�hler-Shim�ura�Isomorphism�����iF�Our�'�goal�in�this�section�is�to�outline�a�homological�in��rterpretation�of��S�����k��#��.���F��Vor�details�see������iFc��rhapter��6�of�Lang�[�11����],�the�original�pap�S�er�of�Shim�ura�[�32����],�or�c�hapter�VI�S�I�I��of�Shim�ura�[�31����].�����׈��k�������iF�26�v��CHAPTER��6.�	#�MODULAR�CUR����VES�����덠�B�ƍ�	:�Ho��rw���is��S�����k��#��(�C�)�sort�of�isomorphic�to��H���V���2�1���Z�(�X����������;����R�)?��Supp�S�ose��k�۹=���2�and������SL�����2����(�Z�)��-q�is�a�����iFcongruence�s�subgroup,��flet��X�������	$F�=��UR���`�z��w�
p���nH���`^�b�S�e�the�Riemann�surface�obtained�b��ry�compactifying�the����iFupp�S�er��half�plane�mo�dulo�the�action�of�.�8�Then��S�����k��#��(�C�)�UR=��H���V���2�0���Z�(�X����������;����
����2�1����)��so�w��re�ha�v�e�a�pairing���6�����H�����1����(�X����������;����Z�)������S�����k��#��(�C�)�UR�!��C����iF�giv��ren��b�y�in�tegration�������c(�
��;���!�n9�)�UR�7!���甆�Z���	���
�_�
��Y��!�:��(��iF�This��giv��res�an�em�b�S�edding�����^<�Z�����2�d������P���t�����԰�����=�������H�����1����(�X����������;����Z�)�UR�,���!���Hom����۟���C��#bȹ(�S�����k��#��(�C�)�;��C�)�����P�������԰���n:�=��������C�����d�����iF�of�.Ba�\lattice"�in��C����2�d��ߨ�.��(W��Ve�sa��ry�\lattice"�since�there�w�ere�some�commen�ts�b�y�Rib�S�et�that��Z��ܞ���2�2�d������iF�isn't�\a�lattice�b�S�ecause�the�rank�migh��rt�b�e�to�o�small�since�a�subring�of��C����2�d����ha��rving��Z�-rank�2�d����iF�migh��rt�`not�spans��C����2�d����o�v�er��C�).��	P�assing�to�the�quotien�t�(and�compactifying)�giv�es�a�complex����iFtorus��called�the�Jacobian�of��X����������:��Again�using�the�ab�S�o��rv�e��pairing�w��re�get�an�em�b�S�edding���6���h2�C�����d������P���4�����԰���M�=�����ߣ�S�����k��#��(�C�)�UR�,���!���Hom����(�H�����1����(�X����������;����Z�)�;��C�)�����P���UR����԰���n:�=��������C�����2�d�����iF�whic��rh,��up�S�on�taking�the�real�part,�giv�es����fJ��S�����k��#��(�C�)�UR�!���Hom����(�H�����1����(�X����������;����Z�)�;��R�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����1���Z�(�X��������;��R�)�����P���UR����԰���n:�=��������H�������V�1���ڍ�p����Z�(�;��R�)����iFwhere�7��H����2���V�1��RA��p����Z�(�;����R�)�denotes�the��p��ffar�ab�olic�7��group�cohomology�of��with�resp�S�ect�to�the�trivial�����iFaction.�C�It�C�is�this�result,�Y�that�w��re�ma�y�view��S�����k��#��(�C�)�as�the�cohomology�group��H����2���V�1��RA��p����Z�(�;����R�),�Y�that����iFw��ras��alluded�to�ab�S�o�v�e.����	:Shim��rura��generalized�this�for�arbitrary��k��o��UR�2�so�that���6���5��S�����k��#��(�C�)�����P���UR����԰���n:�=��������H�������V�1���ڍ�p����Z�(�;���V�����k���)����iFwhere�s��V�����k��	�S�is�a��k�o���1�dimensional��R�-v��rector�space.��,The�isomorphism�is�(appro�ximately)�the�����iFfollo��rwing:�8��f��Q�2�UR�S�����k��#��(�C�)��is�sen�t�to�the�map�������B��
��n�7!��UR�Re���3۟甆�Z�����M��3��
�x���q�0�����އ���q�0����.}��f�G��(��W�)�������i�����d��;�
��i�UR�=�0�;����:�:�:��ʚ;���k�������2�:���Z��iF�Let���W���=�UR�R������R�,�then��acts�on��W��n�b��ry��3������戟�q������d�������a����t�b��������Jc������d��������q�����,��:���UR��q������d���*��x�������l�y���������q������7!���UR��q������d���*��ax����+��by�������*�cx����+��dy�����2����q�����h��iF�so���acts�on��������V�����k��x�=��URSym���ژ���x�k�6���2��+ڤ�W���=�UR�W���Ɵ���
�k�6���2��>L�=S�����k�6���2����<��iF�where���S�����k�6���2��궹is�the�symmetric�group�on��k�������2�sym��rb�S�ols�(note�that��dim����V�����k��x�=�UR�k������1).�8�Let���6������L�UR�=��H�������V�1���ڍ�p����Z�(�;�����Sym����D���x�k�6���2��(�R�(�Z������Z�))����iFthen��under�the�isomorphism������+��S�����k��#��(�C�)�����P���UR����԰���n:�=��������H�������V�1���ڍ�p����Z�(�;����R�)����iF�L��E�is�a�sublattice�of��S�����k��#��(�C�)�of��Z�-rank�2�whic��rh�is��T�����n���P�-stable�for�all��n�.�ӿTh�us�w�e�ha�v�e�an�em�b�S�edding�����c'�T�����Z��	�}�=�UR�T��,���!���End��b�L����iF�and��so��T�����R��'����UR�End���b����R�� 4��(�L����
��R�)��and��T�����Z��	'��
�����Z���R�����P���UR����԰���n:�=��������T�����R���(�whic��rh��has�rank��d�.��������k��������iF�6.8.�	#�THE��PETTERSON�INNER�PR��rODUCT�IS�HECKE�COMP��VA�TIBLE�Jv
�27�����덠�B�ƍ���iF�6.8��
��The�L�P��u�etterson�Inner�Pro��=duct�is�Hec�k�e�Compatible��b#�����iF�Theorem��6.8.1.���=$�L��ffet�35��UR=��SL�����2����(�Z�)��'Wi�,�let��f���;���g�Ë�2��S�����k��#��(�C�)�,�and�let�� s���zչ�h�f���;���g�n9�i�UR�=���甆�Z���	���
�_��nH��MG�f�G��(��W�)����`�z����
p���g��(���)������y������k�������ō����dxdy�����[��z�5�
�΍��y�������2������!f�:��"�_���iF�Then�D�this�inte��ffgr�al�D�is�wel���l-dene��ffd�and�He�cke�c�omp�atible,�I*that�is,��h�f�G��j�T�����n���P�;���g�n9�i�uٹ=��h�f���;�g�n9�j�T�����n���P�i�D��for�al���l������iF�n�.��������iFPr��ffo�of.���2��See��Chapter�3�of�Lang�[�11����].��� �cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������k��k�������iF�28�v��CHAPTER��6.�	#�MODULAR�CUR����VES�����뎌����k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{7��2���iFHigher�	T{W����eigh��8�t�Mo��
dular�F�orms��6����iF�W��Ve�qUare�considering�the�spaces��S�����k��#��(�C�),����S�����k���(�Q�)�qUand��S�����k��#��(�Z�)�whic��rh�all�ha�v�e�rank��d�.�oEac�h�is�acted������iFup�S�on���b��ry�the�Hec�k�e�algebra��T�.�"�W��Ve�dened�a�Hec�k�e�compatible�inner�pro�S�duct�(the�P�eterrson�����iFpro�S�duct)��and�used�it�to�sho��rw�that�������f-�S�����k��#��(�Z�)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����Z��.���(�T�;����Z�)�:��'������iF�7.1��
��Denitions�z�of�T��b#����2�\I��ama��ry��fb�S�e�asking�y�ou�to�explain�something�w�e�ha�v�e�already�discussed,��sbut�ha�v�e������2w��re��in�trinsically�dened�the�Hec�k�e�op�S�erators�y�et?"�������2{��Saul�Sc��rhliemer��].���	:The�{��T�����n��	$�are�dened�as�op�S�erators�on��S�����k��#��(�C�)�b��ry�dening�their�action�on�mo�dular�forms�and�����iFnoting�?�from�explicit�form��rulas�that��S�����k��#��(�C�)�is�preserv�ed.���But�the��T�����n���ڹcan�b�S�e�though�t�of�in�other�����iFw��ra�ys,��for�example,�since����t��S�����k��#��(�C�)�����P���UR����԰���n:�=��������H�������V�1���ڍ�p����Z�(�;�����Sym����D���x�k�6���2��(�R�(�R������R�))�����iFone��ma��ry�giv�e�an��explicit��description�of�the�action�of��T�����n��	���on��H����2���V�1��RA��p����Z�.������iF�7.2��
��Double�z�Cosets��b#���iF�Let���p��b�S�e�a�prime�and����su�M�����p����=�UR�f��h��2��M�����2����(�Z�)�:���det����(����)�=��p�g�:�����iF�Let���F���:�UR�L�!��C��b�S�e�a�function�on�the�free�ab�elian�group�of�lattices�and�recall�that��T�����p��|m�acts�on�����iF�F��n�b��ry����z�/(�T�����p���]�F��ƹ)(�L�)�UR=��p�����k�6���1�����d|���X��������5����1�L���-:�0������L����ߍ���(�L�:�L���-:�0�����)=�p�����6B�F��(�L�����0���9�)�:��([���iF�One��can�write��M�����p����as�a�disjoin��rt�union�of�left�cosets,�����=��M�����p����=��URSL�����2����(�Z�)����)Wg��q������d���2,��p���Bl�0�������2/�0���Bl1�����G�h��q�����RǾ�SL�����2����(�Z�)��z'=����	hb���[���%ۍ������/h�ad�=�p���0퍍�UR�0��b<d��������ȟ�q������d���'� �a���8_-b�������'ˣ�0���7�!�d�����=�#��q�����H�y�SL�����2����(�Z�)��nÎ�:��,&׍��iF�Then��)�����P����֟��(�L�:�L������0�����)=�p��6T�L����2�0���b�ma��ry�)b�S�e�though�t�of�as�the�sum�of�the�images�of��L��under�the�action�of������iFthe�Ґleft�cosets�of��M�����p���]�.��F��Vor�a�complete�exp�S�osition,��in�greater�generalit��ry�,��see�Shim��rura�[�31����],�����iFesp�S�ecially��c��rhapter�3.�����‰#29�����T��k�������iF�30�����CHAPTER��7.�	#�HIGHER�WEIGHT�MODULAR�F��rORMS�����덠�B�ƍ��iF�7.3��7��More�z�General�Congruence�Subgroups��b#����iF�Denition��7.3.1.���o�	�A���Diric��hlet��c�haracter��mo�S�d��N�+��is�a�homomorphism��5k���yY�"�UR�:�(�Z�=n�Z�)�������V�!��C����������iF�extended��to��Z�=��X�N�@��Z��b��ry�putting��"�(�m�)�UR=�0��if�(�m;���N��)�UR�6�=�1.���7��	:Fix��in��rtegers��k��o��UR�0�and��N��6���1.�8�In�this�section�w��re�consider�the�spaces����յB�S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;����)����iFfor��Diric��rhlet�c�haracters��"��mo�S�d��N�+��and�explicitly�describ�e�the�action�of�the�Hec��rk�e��op�erators��"
ʍ����:l��z��(����ǭ������T�����n���P�;����X�n�UR���1���fa������h�d�i�;����X�d�UR�2��(�Z�=��X�N�@��Z�)����2��������"
ˍ�iF�on��these�spaces.��������iF�R��ffemark�357.3.2.���Y��Let�f�n��b�S�e�a�p�ositiv��re�in�teger.���If�(�n;���N�@�)�'H=�1,���then�fthe��T�����n��
R�b�S�eha�v�e�lik�e�they�do�����iFfor���SL�����2����(�Z�)��'�.�8�In��fact,�the��T�����n��	���and��h�d�i��comm��rute�and�������(�f�G��j�T�����n���P�;���g�n9�)�UR=�(�f���;�g�n9�jh�n�i������1��\|�T�����n���P�)������b(�f�G��jh�d�i�;���g�n9�)�UR=�(�f���;�g�n9�jh�d�i������1��\|�)�����iFso�98the��T�����n��	ሹ(for��n��prime�to��N�@�)�and��h�d�i��are�sim��rultaneously�diagonalizable.�$�But�if�(�n;���N��)���6�=�1����iFthen���T�����n��	���ma��ry�not�b�S�e�diagonalizable.���7����iF�Denition��7.3.3.���o�	�Let����fm��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�UR=��f�f��Q�:��f�G��(�
���W�)�=�(�c�Ź+����d�)�����k���f�G��(��W�)���all��<d�
��n�2�������1����(�N�@�)�g����iF�where�the��f�O�are�assumed�holomorphic�on��H�ۢ[���f��cusps����g�.��F��Vor�eac��rh�Diric�hlet�c�haracter��"��mo�S�d����iF�N�+��let����D��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)�UR=��f�f��Q�:��f�G��(�
���W�)(�c�Ź+����d�)������k��\�=��"�(�d�)�f��2��all���c�
��n�=������G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������!�g�2�������0���(�N�@�)�g�:���7��	:�When���"�UR�6�=�0�and��f��Q�2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)�one�calls��"��the��neb�`en��t�ypus��of��f�G��.����	:Let��D�d���2��(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���	hH�and�let��f��
�2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)).�q�Let��
�?*�=������G��������)�����a���=�b���:G���9��0����)�d�������>ϟ�G������$V��2�������1����(�N�@�)�b�S�e�a�matrix�whose����iFlo��rw�er��righ�t�en�try�is�congruen�t�to��d��mo�S�d��N�@�.�8�Then�w�e�dene������v�f�G��(��W�)�jh�d�i�UR�=��f��(�
���W�)(�c�Ź+����d�)������k���
�:����	:�Since���f�G��jh�d�i��)�=��"�(�d�)�f��,�
�S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)��is�the��"�(�d�)�eigenspace�of��h�d�i��and��h�d�i��is�diagonalizable����iFso��one�has�a�direct�sum�decomp�S�osition���]���م�S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�UR=�����ɟ��M��������"�:(�Z�=��N��"�Z�)��������UT�!�C����������A�c�S�����k���(�����1����(�N�@�)�;���"�)�:��%�=��iF�If���f��Q�2�UR�S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)�then��������ן�q������d�����/��1�����.0�������Ζ�0����!���1������V՟�q�������2�UR������0����(�N�@�)��/F��iFso�����7�f�G��(���W�)(��1)������k��\�=�UR�"�(��1)�f��(���)�����iFso���that��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)�b^=�0���unless��"�(��1)�b^=�(��1)����2�k���.�Th��rus���ab�S�out�half�of�the�direct�summands����iFv��X�anish.��������k��������iF�7.4.�	#�EXPLICIT��F��rORMULAS�+�31�����덠�B�ƍ���iF�7.4��
��Explicit�z�F��aGorm��u�ulas��b#���iF�Let�������T��f��Q�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=1������a�����n���P�q��n9����n��	k��2�UR�S�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;���"�)���Y���iFand��let��p��b�S�e�a�prime,�then��4�W��P���f�G��j�T�����p����=���ܙ���UR�8��
�ԍ�UR>������UR>����UR>����UR<������UR>����UR>����UR>����UR:����������������j��1�����
�����X���
�ҍ��D�n�=1���!UT�a�����np��	��q��n9����n���1�+����p�����k�6���1���"�(�p�)�������j��1����������X���
�ҍ��D�n�=1���UT�a�����n���P�q��n9����pn��
]��;����c^p��UV�6�URj�N���"����������j��1�����
�����X���
�ҍ��D�n�=1���!UT�a�����np��	��q��n9����n���1�+���0�;����c^p�j�N������5����iF�When���p�j�N�@�,��T�����p����is�often�denoted��U�����p���and�called�an�A��rtkin-Lehner�op�S�erator.������	:W��Ve��ha��rv�e�the�relations������������T�����m����T�����n���������W.�=�UR�T�����mn��
-�;�
���(�m;���n�)�=�1�����Y��������d�T��O��p������k����������W.�=���UR��z��(����ǭ���
�(�T�����p���]�)����2�k��#��;���5��p�j�N���fa���
�?�;���5��p��UV�6�URj�N���������.a����iF�7.5��
��Old�z�and�New�F��aGorms�����iF�W���arning:���T�����p��Z�is���not�necessarily�diagonalizable�if��p�j�N�@�.��There�is�an�example�due�to�Shim��rura,�����iFto��presen��rt�it�w�e�m�ust�rst�in�tro�S�duce�old�and�new�forms.�����	:Let�0��M�qp�and��N��b�S�e�p�ositiv��re�in�tegers�suc�h�that��M�@��j�N�qp�and�let��d�j�����Fu����N��33����z�	���M�����jV�.���If��f�G��(��W�)�UR�2��S�����k��#��(�����1����(�M��))�0�then�����iF�f�G��(�d�W�)�UR�2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)).��bW��Ve�.th��rus�ha�v�e�a�map��S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�UR�!��S�����k���(�����1����(�N�@�))�.for�eac��rh��d�j�����Fu����N��33����z�	���M�����jV�.��bCom�bining�����iFthese��giv��res�a�map����r�S�'�����M���B�:����UR���M�������6�d�j���������Ȉ�N��33�s^�\)�ܟ��M�������wv�S�����k��#��(�����1����(�d�))�UR�!��S�����k���(�����1����(�N�@�))�:��(Nލ����iF�Denition��7.5.1.���B�	�The�H�old���part��of��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�is�the�subspace�generated�b��ry�the�images�of�����iFthe���'�����M��
n��for��M�@��j�N��,���M��6�6�=�UR�N��.������	:W��Ve���remark�that�the��new�j6part��of��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�is�the�orthogonal�complemen��rt�of�the�old�����iFpart��with�resp�S�ect�to�the�P��retersson�inner�pro�duct.����� ۠�k�������iF�32�����CHAPTER��7.�	#�HIGHER�WEIGHT�MODULAR�F��rORMS�����뎌�!"��k�������덠��;���iF�Chapter�	T{8��2HR���iFNew�	T{F����orms��6�R���iF�T��Vo�S�da��ry�nSw�e�discuss�ho�w�the�Hec�k�e�op�S�erators��T�����n��
��on��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�can�fail�to�b�e�diagonalizable.������iFLet���N�+��b�S�e�a�p�ositiv��re�in�teger�and��M�+��a�divisor�of��N�@�.�8�F��Vor�eac�h��d�j�����Fu����N��33����z�	���M�����T��w�e�dene�a�map��X���N�������d��4��:�UR�S�����k��#��(�����1����(�M�@�))��!��S�����k���(�����1����(�N�@�))�:�J�f�G��(��W�)��7!��f��(�d�W�)�:�����iF�Note��Mthat�when��T�����p��	P��acts�on�the�image�space��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�w��re�will�often�denote�it�b�y��U�����p���]�.��W��Ve�����iFm��rust��c�hec�k�that��f�G��(�d�W�)�UR�2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)).�8�Dene�for��
��n�=������G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������|�,���΍�^y^(�f�G��j�[�
���]�����k��#��)(��W�)�UR=���det����(�
��)�����k�6���1���(�cz�3��+����d�)������k���
�f�G��(�
��(��W�))�:�����iF�Th��rus�V��f��Q�2�UR�S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�i��f�G��j�[�
���]�����k���(��W�)�UR=��f�G��(���)�V�(and��f����is�holomorphic).�~No��rw�let��f�G��(���)�UR�2�������1����(�M�@�)�V�and�����iFlet�L$������d����=�����@��G��������],���{@�d���4�0����ፍ��0���41�������^6��G�������8�.�]TThen��f�G��j�[������d��ߨ�]�����k��#��(��W�)��@=��d����2�k�6���1���f��(�d�W�)�L$is�a�mo�S�dular�form�on������1����(�N�@�)�since���������1��O��d���\|������1���(�M�@�)������d������iF�con��rtains��������1����(�N�@�)�(c�hec�k�this�directly�b�y�conjugating�an�elemen�t�of������1����(�N�@�)�b�y�������d��ߨ�).��Moreo�v�er�����iFif����f��is�a�cusp�form�then�so�is��f�G��j�[������d��ߨ�]�����k��#��.�ЌIf��f���2����S�����k���(�����1����(�M�@�))�is�nonzero,��0then�as��d��v��X�aries�o��rv�er�����iFdivisors��of�����Fu���1�N��۟���z�	���M�����T��,�the�v��X�arious��f�G��(�d�W�)�are�linearly�indep�S�enden��rt.���R���	:Supp�S�ose�λ�f��Q�2�UR�S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�is�a�normalized�eigenform�for�all�of�the�Hec��rk�e�λop�erators��T�����n��	w�and�����iF�h�n�i�,��and��p��is�a�prime�not�dividiing��M�@�.�8�Then����u�m�f�G��j�T�����p����=�UR�af��
��and��+��f��jh�p�i��=��"�(�p�)�f���:�����iF�Assume���N��6�=�UR�p����2�r���b�M�+��where��r�>6�is�an�in��rteger����1.�8�Let��������f�����i��dڹ(��W�)�UR=��f�G��(�p�����i����W�)�;�����iF�so�b>�f�����0����;����:�:�:��ʚ;���f�����r���are�the�images�of��f��=�under�the�maps�dened�ab�S�o��rv�e�b>and��f�h޹=� ��f�����0���.���Consider�the�����iFaction��of��U�����p����on�the��f�����i��dڹ.�8�F��Vrom�previous�w��rork�w�e�ha�v�e��͙�����iH��f�G��j�T�����p������������=����UR���X���
�����n��1������a�����np��	��q��n9����n���1�+����"�(�p�)�p�����k�6���1��������X����%Ub�a�����n���P�q��n9����pn���������������=�UR�f�����0����j�U�����p��r�+����"�(�p�)�p�����k�6���1���f�����1���������iF�so��X���T�$�f�����0����j�U�����p����=�UR�f�G��j�T�����p��r�����"�(�p�)�p�����k�6�����
�f�����1��V�=��af�����0��j����"�(�p�)�p�����k�6���1���f�����1����:������iF�Also����cE��f�����1����j�U�����p����=�UR(������X����UV�a�����n���P�q��n9����pn��
]�)�j�U�����p���=�������X�������a�����n���P�q��n9����n��	k۹=��f�����0����:������iF�More��generally�one�can�sho��rw�that��f�����i��d��j�U�����p����=�UR�f�����i��1��AV�.�����‰#33����"���k�������iF�34�+���CHAPTER��8.�	#�NEW�F��rORMS�����덠�B�ƍ�	:�U�����p���ڹpreserv��res�}the�t�w�o�dimensional�v�ector�space�spanned�b�y��f�����0��ҁ�and��f�����1����.��`The�matrix�of��U�����p������iF�is��T�����A�UR�=������
��������d���!Lr�a���HC�1�������
���"�(�p�)�p����2�k�6���1����HC�0�������N#��
�������a��iF�whic��rh��has�c�haracteristic�p�S�olynomial��U�����������A����(�X��)�UR=��X������2��\/�����aX��+�+��p�����k�6���1���"�(�p�)�:��)9鍍�iF�8.1��7��Connection�z�With�Galois�Represen��u�tations��›��iF�This�yleads�to�a�striking�connection�with�Galois�represen��rtations.��%Let��f���b�S�e�a�mo�dular�form����iFand�u��E�)ѹb�S�e�the�eld�generated�o��rv�er�u��Q��b��ry�the�co�ecien��rts�of��f�G��.��Let��`��b�e�a�prime�and����a�prime����iFlying��o��rv�er��`�.�8�Then�one�constructs�a�represen�tation���������������ʬ�:�UR�G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)��!���GL����(2�;���E�������uZ�)�:����iF�If��5�p����6���j�N�@�`�,��then���������
��is�unramied�at��p�,�so�there�is�a�F��Vrob�S�enious�elemen��rt��frob���6'����p��"��2���G��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�).����iFOne��can�sho��rw�that�����������Kdet�����(��������uZ�(�frob��������p��WO�))��������Z�=�UR�p�����k�6���1���"�(�p�)�������������΁T��Vr����(��������uZ�(�frob��������p��WO�))��������Z�=�UR�a�����p����=��a;�������iF�so��the�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of���������uZ�(�frob��������p��WO�)�UR�2���GL��������2����(�E��������)��is�����s1�X������2��\/�����a�����p���]�X��+�+��p�����k�6���1���"�(�p�)�:��)9鍍�iF�8.2��7��Semisimplicit��u�y�z�of��U�����p���›����iF�Question��8.2.1.���i���Is�35�U�����p�����semisimple�on�the�sp��ffan�of��f�����0���9�and��f�����1����?��m9��	:�If��the�eigen��rv��X�alues�are�distinct�the�answ�er�is�clearly�y�es.�{]If�the�eigen�v��X�alues�are�the�same,����iFthen���X�����2�2��\/�����aX��+�+��p����2�k�6���1���"�(�p�)�has�discriminan��rt�zero,�that�is,�4�"�(�p�)�p����2�k�6���1��U`�=�UR�a����2�2�����so������k��a�UR�=�2�p�������33�k����1��33����\)
�ڟ����2������[email protected]��'s�p���oB��'s�z��ן
؍��"�(�p�)����0��:����iF�Is��Sthis�p�S�ossible?��The�answ��rer�is�still��unknown�,���although�it�is�a�curious�fact�that�the�Raman�ujan����iFconjectures� s(pro��rv�ed�b�y�Delign�in�1973)�imply�that��j�a�j�UR��2�p����2���33�k����1��33����\)
�ڟ����2����[email protected]�,�H�so�the�ab�S�o��rv�e�equalit�y�remains����iFtaun��rting.���r��	:When��&�k��V�=�92�W��Veil�sho��rw�ed��&that���������uZ�(�frob��������p��WO�)�is�semisimple�so�if�the�eigen��rv��X�alues�of��U�����p��	���are����iFequal��(then���������uZ�(�frob��������p��WO�)�is�a�scalar.��But�Edixho��rv�en��(and�Coleman�[�5����]�sho��rw�that�it�is�not�a�scalar����iFb��ry��lo�S�oking�at�the�ab�elian�v��X�ariet��ry�attac�hed�to��f�G��.��)9鍍�iF�8.3��7��Shim��u�ura's�z�Example�of�Nonsemisimple��U�����p���›��iF�Let�Y��W��[�b�S�e�the�space�spanned�b��ry��f�����0����;���f�����1��	��and�let��V���b�e�the�space�spanned�b��ry��f�����0����;���f�����1���;�f�����2���;�f�����3���.����U�����p�����iF�acts���on��V�N8=W�j��b��ry����:�z�
���	���f�����2�������7!�UR�0�and����:�z�
���	���f�����3�����7!��UR��:�z�
���	���f�����2����
���.�-�Th��rus�the�matrix�of�the�action�of��U�����p����on��V�N8=W�j��is������G��������)����H��0����1����ፍ�H�0����0���������G���������iF�whic��rh���is�nonzero�and�nilp�S�oten�t�hence�not�semisimple.�:�Since��W�7��is�in�v��X�arian�t�under��U�����p��	]U�this����iFsho��rws��that��U�����p����is�not�semisimple�on��V��p�.�����#,��k��������iF�8.4.�	#�AN��INTERESTING�DUALITY�x�35�����덠�B�ƍ���iF�8.4��
��An�z�In��u�teresting�Dualit�y��b#���iF�No��rw�ͤsupp�S�ose��N��6�=�UR1�th�us������1����(�N�@�)�UR=��SL�����2���(�Z�)��'Wi.�/4Because�ͤof�the�P��retersson�pro�S�duct�all�the��T�����n��	u�are������iFdiagonalizable,��so��S�����k��x�=�UR�S�����k��#��(�����1����(1))�has�a�basis��Dc������f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d������iF�of��normalized�eigenforms�where��d�UR�=��dim����S�����k��#��.�8�Let���T��=��T�����C����,�then�there�is�a��c��ffanonic�al��map����wҒ�T�����C��
�?�,���!�UR�C�����d��4��:�J�T���7!��(������1����;����:�:�:��ʚ;��������d��ߨ�)�����iFwhere�V�f�����i��d��j�T���=�(������i���f�����i���.�{This�map�is�clearly�injectiv��re�and�w�e�kno�w�b�y�previous�argumen�ts�that������iFdim������T�����C��
�?�=�UR�d�꨹so�the�map�is�an�isomorphism�of��C�-v��rector�spaces.�����	:The��form������*�v�Ë�=�UR�f�����1��j��+�����������UN�+����f�����n���x����iF�generates����S�����k��	 �as�a��T�-mo�S�dule.�n|Since��v�j��corresp�onds�to�the�v��rector�(1�;����:�:�:��ʚ;����1)�and��T�����P���s�����԰������=�����<��C����2�d���/�acts�����iFon����S�����k������P����8����԰���� �=�����h5�C����2�d���{�comp�S�onen��rt�wise�this�is�just�the�statemen�t�that��C����2�d���{�is�generated�b�y�(1�;����:�:�:��ʚ;����1)�as�����iFa���C����2�d��ߨ�-mo�S�dule�{�whic��rh�is�clear.�8�Th�us�w�e�ha�v�e�sim�ultaneously:�����	:1)���S�����k��	:�is�free�of�rank�1�o��rv�er���T�,�and�����	:2)���S�����k��x�=��URHom����۟���C��#bȹ(�T�;����C�)�as��T�-mo�S�dules,�th��rus������I��T�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����C��0
q�(�T�;����C�)�:�����iF�The��zisomorphism�sends�an�elemen��rt�of��T����2���T��to��T���v��1�2��S�����k��#��.�JVSince�the�iden��rtication��S�����k��
6��=������iFHom�����ϟ���C���v��(�T�;����C�)��Ww��ras�constructed�using�the�P�etersson�pro�S�duct�it�is�canonical�and�since�the�����iFc��rhoice�\�of�a�normalized�eigen�basis��f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d��	<+�is�canonical�w�e�see�that�the�isomorphism��T�����P���������԰����̹=����������iFHom�����ϟ���C���v��(�T�;����C�)��is�canonical.��qy�����iF�Prop�`osition��8.4.1.���L���v�Ë�2�UR�S�����k��#��(�Q�)�������iF�Pr��ffo�of.���2��Let��*��Ë�2�URG��.�al�C��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�),���then�if��f�����i���is�a�normalized�eigenform�so�is���n9�(�f�����i��dڹ)�(from�the�explicit�����iFform��rula).�8�Th�us����n9�(�f�����1��j��+�����������UN�+����f�����n���P�)�UR=��f�����1���+�����������UN�+����f�����n��	���for��all���X�as�desired.���p���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����%Ӎ��	:No��rw��w�e�consider�the�case�for�general��N�@�.�8�Recall�that�w�e�ha�v�e�dened�maps��Dc������S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�UR�!��S�����k���(�����1����(�N�@�))�����iFfor��all��M�+��dividing��N��and�all�divisors��d��of�����Fu���1�N��۟���z�	���M�����T��.��qy�����iF�Denition��8.4.2.���B�	�The�qr�old��part��of��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�is�the�space�generated�b��ry�all�images�of�these�����iFmaps��with��M�@��j�N��but��M��6�6�=�UR�N��.�2TThe��new�ippart��is�the�orthogonal�complemen��rt�of�the�old�part�����iFwith��resp�S�ect�to�the�P��retersson�pro�duct.�����	:There��is�an�algebraic�denition�of�the�new�part.�8�One�denes�certain�trace�maps��Dc������S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�UR�!��S�����k���(�����1����(�M�@�))�����iFfor�O]all��M�A�<��N�@�,�h��M��j�N��A�whic��rh�O]are�the�adjoin�ts�to�the�ab�S�o�v�e�maps�(w.r.t�P�etersson�pro�S�duct).�����iFThen���f�2��is�in�the�new�part�of��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�i��f��is�killed�b��ry�all�of�these�maps.�����	:It�a:can�b�S�e�sho��rwn�that�the��T�����n��	��act�semisimply�on��S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�����new���ֹfor�all��M������1.�	��Th�us�����iF�S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�����new��D�has��a�basis�of�eigenforms.�8�W��Ve�ha��rv�e��a�natural�map��^�����t����M�������taT�M��"�j�N����Z��S�����k��#��(�����1����(�M�@�))�����new��x��,���!�UR�S�����k���(�����1���(�N�@�))�:�����$:���k�������iF�36�+���CHAPTER��8.�	#�NEW�F��rORMS�����덠�B�ƍ�iF�The�!]image�in��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�of�an�eigenform��f�i\�for�some��S�����k���(�����1����(�M�@�))�����new��D��is�called�a��newform��of�����iFlev��rel�|��M�����f���q�=�UR�M�@�.�3Note�that�a�newform�is�not�necessarily�an�eigenform�for�the�Hec�k�e�op�S�erators����iFacting��on��S�����k��#��(�����1����(�N�@�)).�8�Let������]�v�Ë�=����UR���X���'؍�	�o�f������f�G��(�q�������I>�N���l�s^�\)�֟��M���f�����u�)�UR�2��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))���r��iFwhere��<the�sum�is�tak��ren�o�v�er�all�newforms��f�+;�of�w�eigh�t��k�JY�and�some�lev�el��M�@��j�N��.��This��<generalizes����iFthe�q��v�߿�constructed�ab�S�o��rv�e�q�when��N�/��=��1�and�has�man��ry�of�the�same�go�o�d�prop�erties.�	�{F��Vor����iFexample,�e��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�is�free�of�rank�1�o��rv�er��T��with�basis�elemen��rt��v�n9�.��The�co�S�ecien�ts�of��v����iF�lie�PNin��Q�,�i�but�to�sho��rw�this�w�e�need�to�kno�w�the�new�part�of��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�is�stable�under�the����iFaction�.�of�the�Galois�group�of��Q�.��This�is�not�easy�since�the�new�part�is�dened�in�terms�of����iFthe��UP��retersson�pro�S�duct�whic�h�is�an�analytic�construction.� �Serre�circum�v�en�ts�this�problem�b�y����iFgiving��an�alternativ��re�denition�in�terms�of�trace�maps�going�the�other�w�a�y��V.��'0���iF�8.5��7��Observ���ations�z�on��T�����n���b#��iF�Let�r�T�����Q��r�=����Q�[�����������;���T�����n���P�;��������]�rand����=�(1)�=��SL�����2����(�Z�)��'��.��>Let�r�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d����b�S�e�a�basis�of��consisting����iFof��normalized�eigenforms.��L\����iF�Prop�`osition��8.5.1.���y���The�35c��ffo�ecients�of�the��f�����i����ar�e�total���ly�r�e�al�algebr�aic�inte�gers.������iFPr��ffo�of.���02��G��.�al�C��(�C�=�Q�)��Zacts�on��f�����i��	)4�b��ry�acting�on�the�co�S�ecien�ts�of�its��q�n9�-expansion.�
��F��Vrom�the�����iFexplicit�Uyform��rula�in�section�3.2�one�sees�that�the�set��f�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d��ߨ�g��is�stable�under�the�action����iFof�:��G��.�al�C��(�C�=�Q�).�	)�F��Vor�an��ry��i�,����a�����n���P�(�f�����i��dڹ)�is�an�eigen�v��X�alue�of��T�����n��
�-�since��f�����i��d��j�T�����n��9�=����a�����n���P�(�f�����i���)�f�����i���,���and�:��T�����n���is����iFself-adjoin��rt��$so��a�����n���P�(�f�����i��dڹ)�m�ust�b�S�e�real.�0	Th�us�all�conjugates�of��a�����n���P�(�f�����i��dڹ)�are�real�and�there�are�only����iFnitely��man��ry�since�a�conjugate�of��a�����n���P�(�f�����i��dڹ)�m�ust�b�S�e��a�����n���P�(�f�����j��f
�)�for�some��j��ӹ,�1�UR���j�%���d�.���7�}��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����L\����iF�Prop�`osition��8.5.2.���y���The�35op��ffer�ators��h�d�i��on��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))��lie�in��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�.������iFPr��ffo�of.���02��It��is�enough�to�sho��rw��h�p�i�UR2��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]��for�There�is�a�form��rula�relating��h�p�i��and��T�����p���]�,��nk������p�����k�6���1���h�p�i�UR�=���T�����p���������x�2��j\�����T����p������2�����:����iF�By�\�Diric��rhlet's�theorem�on�prime's�in�arithmetic�progression,�ymsee�VI�S�I�I.4�\�of�Lang�[�10����],�there�����iFis��another�prime��q��T�congruen��rt�to��p��mo�S�d��N�@�.�8Since��p����2�k�6���1���)�and��q��n9���2�k�6���1���b�are�relativ�ely�prime�there����iFexist��in��rtegers��a��and��b��so�that��ap����2�k�6���1�����+����bq��n9���2�k�6���1��Ù�=�UR1.�8�Then��nk��h��h�p�i�UR�=��h�p�i�(�ap�����k�6���1�����+����bq��n9����k�6���1��nG�)�=��a�(��T�����p�����^���x�2��
���T����p������2�����)�+��b�(��T�����q����w����x�2������T����q��I{�����2������)�:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:�Let�aE�b�S�e�a�set�of�represen��rtativ�es�aEof��f�f�����1����;����:�:�:��ʚ;���f�����d��ߨ�gnG��.�al�C��(�C�=�Q�).���It�is�unkno��rwn�whether�or�����iFnot���#�can�b�S�e�larger�than�one,�ۗthat�is,�whether�the�eigenforms�are�all�conjugate�under�the����iFaction��of�Galois.�8�Let��K�����f���q�=�UR�Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�(�f�G��)�;��:�:�:���)��and�dened�a�homomorphism�of��Q�-algebras��nk���^��T�����Q��1��!�UR�K�����f���q�:��T�����n�����7!����꨹where��%�X�T�����n���P�f��Q�=��f����iF�T��Vaking��the�pro�S�duct�o��rv�er��a�set�of�represen��rtativ�es��of�the��f�����i��O��yields�a�map���]���}�T�����Q�����2����v����p���1�����!�����������Y���'؍�8��f����2����.�O�K�����f��� -��iF�whic��rh��one�can�sho�w�is�an�isomorphism�of��Q�-algebras.���.����iF�Example�358.5.3.���]��Consider���S�����2����(�����0���(�N�@�))�with��N�+��prime,�then����ȘC�T�����Q������P���1�����԰���J��=������q�E�����1��j���������������E�����t�����iF�with��the��E�����i��O��totally�real�elds.�8�When��N��6�=�UR37,�that��T�����Q������P���1�����԰���J��=������q�Q������Q�.�����%K���k�������덠��U,���iF�Chapter�	T{9��2bf���iFSome�	T{Explicit�Gen��8�us�Computations��>bf����iF�9.1��
��Computing�z�the�Dimension�of��S�����k����()��*6���iF�Let���k��o�=�UR2�unless�otherwise�noted,�and�let������SL�����2����(�Z�)��+Bb�S�e�a�congruence�subgroup.�8�Then���2����S�S�����2����()�UR=��H���V����0���Z�(�X����������;����
�����1���)�����iFwhere���2���2��X�������	$F�=�UR(�nH���)����[��(�n�P�����1����(�Q�))�:��Xe���iF�By��denition��dim����H���V���2�0���Z�(�X����������;����
����2�1����)�is�the�gen��rus�of��X��������.���2�����iF�Exer��ffcise�359.1.1.���/��Pro��rv�e��that�when��UR=��SL�����2����(�Z�)��+Bthen���n�P����2�1����(�Q�)�is�a�p�S�oin��rt.�����	:Since���UR���(1)�there�is�a�co��rv�ering��22*���������u9F�nH��������2{���2{��������������������UO!������À��X���������Kl�������������3,��}�?��38��}?����}y�����������������������3,���He?��38���He?�����Hey�������������줍��m���(1)�nH��������2{���2{��������������������UO!�������w�X�����(1)��������h���kJ�j��J�����^O����^O��������������������UO!������>K�P����2�1����(�C�)������22)���iFwhic��rh�^�is�only�ramied�at�p�S�oin�ts�ab�S�o�v�e�0�;����1728�;��1�^��(0�corresp�S�onds�to��i��and����to�1728�under������iF�j��ӹ).�������iF�Example�359.1.2.���0��Supp�S�ose��p�UR=������0����(�N�@�),��Hthen�the�degree�of�the�co��rv�ering�is�the�index�(�SL�����2����(�Z�)��&�=�f�1�g�UR�:�����iF�����0����(�N�@�)�=�f�1�g�).�'�A��cp�S�oin��rt��pon��Y�����(1)��b�corresp�onds�to�an�elliptic�curv��re,���whereas�a�p�oin��rts�on��Y�����0����(�N�@�)�����iFcorresp�S�ond��to�a�pair�consisting�of�an�elliptic�curv��re�and�a�subgroup�of�order��N�@�.��*t!����iF�9.2��
��Application�z�of�Riemann-Hurwitz��*6���iF�No��rw���w�e�compute�the�gen�us�of��X�������
u�b�y�applying�the�Riemann-Hurwitz�form�ula.�m�In�tuitiv�ely�����iFthe�I�Euler�c��rharcteristic�should�b�S�e�totally�additiv�e,�jthat�is,�if��A��and��B����are�disjoin��rt�spaces�then���2����-��(�A����[��B���)�UR=���(�A�)���+���(�B��)�:�����iF�Let�zE�X�kȹb�S�e�a�compact�Riemann�surface�of�gen��rus��g�n9�,���then���(�X��)�UR=�2�����2�g��.�jSince�zE��(�f��p�S�oin��rt���|�g�)�UR=�1�����iFw��re��should�ha�v�e�that����?����(�X��+����f�p�����1����;����:�:�:��ʚ;���p�����n���P�g�)�UR=���(�X��)����n�(1)�=�(2����2�g�n9�)����n:�����‰#�37����&`m��k�������iF�38���*�CHAPTER��9.�	#�SOME�EXPLICIT�GENUS�COMPUT��VA�TIONS�����덠�B�ƍ�iF�If���w��re�ha�v�e�an�umramied�co�v�ering��X�Q>�!�_��Y��5�of�degree��d��then���(�X��)�=��d�������(�Y��p�).�K8Consider���the�����iFco��rv�ering��#r9�����E�����p�X�������y�����f��p�S�oin��rts��o�v�er�0�;����1728�;��1��pYVg���Kl�������������3,���i�?��38���i?�����iy������������������\�X�����(1)��V����f�0�;����1728�;��1g������*�P��iF�Since���X�����(1)��it�has�gen��rus�0,����X�����(1)������:�f�0�;����1728�;��1g���has�Euler�c�haracteristic�2�:����3��=���1.���If��w�e����iFlet���g����=��u��(�X���������)�then���(�X�����������f��p�S�oin��rts��o�v�er�0�;����1728�;��1��pYVg��=�2����2�g�/V���n�����0���!���n�����1728��A-���n�����1��	�,��where���n�����p�����iF�denotes��the�n��rum�b�S�er��of�p�oin��rts�lying�o�v�er��p�.�8�Th�us���d�UR�=�2������2�g�����n�����0��j����n�����1728��*����n�����1��갹whence��≍��p�2�g�������2�UR=��d����n�����0��j����n�����1728��*����n�����1��	�:��a��	:�Supp�S�ose��J��/=������0����(�N�@�)�with��N��>��3,���then��n�����0��	L3�=��d=�3�and��n�����1728��?�=��d=�2�(I'm�not�sure�wh��ry).����iFThe���degree��d��of�the�co��rv�ering���is�equal�to�the�n��rum�b�S�er���of�unordered�ordered�basis�of��E���[�N�@�],����iFth��rus��≍���/�d�UR�=�#����SL���މ����2�����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�2�:��r���iF�W��Ve�
�still�need�to�compute��n�����1��	�.���SL�����2����(�Z�)��-�acts�on��P����2�1����(�Q�)�if�w��re�view��P����2�1���(�Q�)�as�all�pairs�(�a;���b�)�of����iFrelativ��rely��kprime�in�tegers�and�supp�S�ose��1��corresp�onds�to�(1�;����0).�)!The�stabilizer�of�(1�;��0)�is�the����iFsugroup�<�f�����G��������)������a�����b���:G����c���Gd�����������G�������X�2�����SL�����2����(�Z�)��+)A:����c��=�0�g��of�upp�S�er�triangular�matrices.���Since�the�p�oin��rts�lying�o�v�er����iF�1�꨹are�all�conjugate�b��ry�the�Galois�group�of�the�co�v�ering�(whic�h�is��SL����3����2���7�(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�),��!�č��|0zn��rum�b�S�er��of�cusps���58=������ō���order��of��SL����3����2���7�(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�����[��z��I��
�΍����order��of�stabilizer�of��1������x�:�����iF�W��Ve��th��rus�ha�v�e������V"2�g�n9�(�X��(�N�@�))������2�UR=������ō����d�����[��z��
�΍���6������b�������ō�%%�d���۟[��z�
���
�΍N������u���iF�where�����Fu�����d��۟���z��D���N��������is��the�n��rum�b�S�er��of�cusps.��(�ፍ�iF�9.3��7��Explicit�z�Gen��u�us�Computations���덑iF�Let����N��R>�bn�3�and�consider�the�mo�S�dular�curv��re��X�S�=��X��(�N�@�).�/There�is�a�natural�co��rv�ering���map��dz��iF�X�F��!�UR�X��(1)�����h����j��J���������!������C�.�8�Let���d��b�S�e�the�degree,�then�����-I2�g�������2�UR=��d����m�����0��j����m�����1728��*����m�����1�����iF�where�š�g�3ڹis�the�gen��rus�of��X��$�and��m�����x����is�the�n�um�b�S�er�of�p�oin��rts�lying�o�v�er��x�.�
��Since��m�����0��
���is����iFappro��rximately�����Fu����d��۟���z�_���ꍐ��3������^�and���m�����1728��j��is�appro�ximately�����Fu����d��۟���z�_���ꍐ��2�����
���,��!�r���{�2�g�������2�UR=������ō����d�����[��z��
�΍���6������b���m�����1��������P�small��correction�factor��y���:��(�ፍ�iF�9.4��7��The�z�Gen��u�us�of��X�[��(�N���)���덑iF�No��rw�kaw�e�coun�t�the�n�um�b�S�er�of�cusps�of��X��(�N�@�),���that�is,�the�size�of�(�N�@�)�n�P����2�1����(�Q�).��There�is�a����iFsurjectiv��re��map�from��SL�����2����(�Z�)��+�gto��P����2�1����(�Q�)�giv�en�b�y��!∍��������
��������d������a���ӟ�b��������t�c�����d��������,���
�����㬮�7!����UR��
��������d���
��a���9b�������7c�����d������� ���
��������'��
�������d���/Y�1�������/Y0�������4�U��
�����<&�:�����'jT��k��������iF�9.5.�	#�THE��GENUS�OF��X�����0����(�N�@�)�+S�39�����덠�B�ƍ��iFLet�3��U�tԹb�S�e�the�k��rernel,�FBth�us�3��U��is�the�stabilizer�of��1���=������G��������)����R�1����ፍ�R0����������G�������,�FBso�3��U��=��f�����G��������)������1���P�a����ፍ���0���%61����������G�������-�:��a��2��Z�g�.��Then������iFthe��cusps�of��X��(�N�@�)�are�the�elemen��rts�of���⍑3��(�N�@�)�n�(�SL�����2����(�Z�)��&�=U��)�UR=�((�N�@�)�n�����SL�����2����(�Z�)��)�=U��6�=��SL���3ݟ���2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=U�����iF�whic��rh��has�order��;�������ō��`�#����SL���މ����2�����(�Z�=��X�N�@��Z�)���`��[��z�G�/�
�΍���2�N�������b�=������ō����d�����[��z�
���
�΍N�����eN:��Ӫ���	:�Substituting��this�in��rto�the�ab�S�o�v�e�form�ula�giv�es��:ō�x�z2�g�������2�UR=������ō����d�����[��z��
�΍���6������b�������ō�%%�d���۟[��z�
���
�΍N�������=������ō�	���d�����[��z����
�΍�6�N�����EJ�(�N�����6)�����iFso��s������g�Ë�=�UR1���+������ō�!�d���۟[��z�i��
�΍�12�N�����z��(�N�����6)�:�����iF�When���N�+��is�prime���0��R���d�UR�=������ō���1�����[��z����
�΍2�������#����SL���މ����2�����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=������ō���1�����[��z����
�΍2�����F\�������ō��۹(�N�����2�2���������1)(�N�����2�2�������N��)���۟[��z�^�$�
�΍��v�N�������1�����d
2�:��Ӫ���iF�Th��rus��when��N��6�=�UR5,��d��=�60�so��g�Ë�=�0,�and�when��N��6�=�7,��d��=�168�so��g�Ë�=�3.��([����iF�9.5��
��The�z�Gen��u�us�of��X�����0��_��(�N���)��b#���iF�Supp�S�ose���N��6>�UR�3�and��N���is�prime.�/�The�co��rv�ering��map��X�����0����(�N�@�)��!��X��(1)�is�of�degree��N��>�+�rZ1�since������iFa�� p�S�oin��rt�of��X�����0����(�N�@�)�corresp�onds�to�an�elliptic�curv��re�along�with�a�subgroup�of�order��N��and�����iFthere��are��N�댹+���1�suc��rh�subgroups�b�S�ecause��N�+��is�prime.��C�����iF�Exer��ffcise�359.5.1.���/��X�����0����(�N�@�)�٣has�t��rw�o�٣cusps;�Q!they�are�the�orbit�of��1��whic��rh�is�unramied�and�0�����iFwhic��rh��is�ramied�of�order��N�@�.�����	:Th��rus����t�2�g�������2�UR=��N�댹+�1����2����n�����1728��*����n�����0����:������iFn�����0��	��is�O�the�n��rum�b�S�er�O�of�pairs�(�E��;���C�ܞ�)�(mo�dulo�isomorphism)�suc��rh�that��E���has��j��ӹ-in�v��X�arian�t�0.�g�So��y���iFw��re��consider��E�\��=����C�=�Z�[�����CH��33��1+�i����`��p���\��`��\)@��o��3�����33��(�z��.��ꍑ
��2�����"��]�whic�h�has�endomorphism�ring��End��(G(�E���)���=��Z�[����wx����������������������6���Ź].�ˁNo�w���������C�����������-I����6���M�=���1������iFacts��on�the�cyclic�subgroups��C��F�so,�letting��!�X�b�S�e�a�primitiv��re�cub�e�ro�ot�of�unit��ry��V,�w�e�ha�v�e���⍑{c(�E��;���C�ܞ�)�����P���UR����԰���n:�=�������(�E�;�!�n9C�ܞ�)�����P���UR����԰���n:�=�������(�E�;�!��n9����2��.=�C�ܞ�)�:�����iF�This���migh��rt�lead�one�to�think�that��m�����0��	]ȹis�(�N�e~�+�$�1)�=�3,�ʋbut�it�ma�y�b�S�e�bigger�if,�ʋfor�example,������iF�C���=�/��!�n9C�ܞ�.�}LTh��rus�ww�e�m�ust�coun�t�those��C���so�that��!�n9C���=�/��C��or��!��n9���2�2��.=�C���=�/��C�ܞ�,�G+that�is,�those��C�����iF�whic��rh�#�are�stable�under��O���=��c�Z�[�����CH��33��1+�i����`��p���\��`��\)@��o��3�����33��(�z��.��ꍑ
��2�����"��].���So�w�e�m�ust�compute�the�n�um�b�S�er�of�stable��O�UV�=��X�N�@��O��-�����iFsubmo�S�dules��of�order��N�@�.�8�This�dep�ends�on�the�structure�of��O�UV�=��X�N�@��O��:��$q퍑B���O�UV�=��X�N�@��O����=���UR��z��(����ǭ���
�F�����N��
�������F�����N�����H��if��(�����Fu��33��3��33����z�
�|��ꍑ���N�����
B�)�UR=�1�(�N�+��splits)����fa���
�F����N���"�����2������H��if��(�����Fu��33��3��33����z�
�|��ꍑ���N�����
B�)�UR=���1�(�N�+��sta��rys�inert)�������$q�iFSince���O�UV�=��X�N�@��O�O�=����F����N���"�����2���a|�is�a�eld�it�has�no�submo�S�dules�of�order��N��,�*Kwhereas��F�����N��
����Q�F�����N��6չhas�t��rw�o�����iF�O�UV�=��X�N�@��O��-submo�S�dules��of�order��N��,�namely��F�����N��
�������0�and�0����F�����N��D�.�8�Th��rus����h�I�m�����0��V�=���UR��z��(����ǭ�������Fu��33�N��"�+1��33����z�u���ꍑ�3��������A��if���N��6��UR�2���(�mo�S�d���B3)����fa�������Fu��33�N��"��1��33����z�u���ꍑ�3�����$�ι+���2����A��if���N��6��UR�1���(�mo�S�d���B3)����������(y���k�������iF�40���*�CHAPTER��9.�	#�SOME�EXPLICIT�GENUS�COMPUT��VA�TIONS�����덠�B�ƍ���iF�Exer��ffcise�359.5.2.���\��It���is�an�exercise�in�elegance�to�write�this�as�a�single�form��rula�in�v�olving�the�����iFquadratic��sym��rb�S�ol.��|ݍ�	:By��similar�reasoning�one�sho��rws�that��$N
���IC�m�����1728���b�=���UR��z��(����ǭ�������Fu��33�N��"�+1��33����z�u���ꍑ�2��������A��if���N��6��UR�3���(�mo�S�d���B4)����fa�������Fu��33�N��"��1��33����z�u���ꍑ�2�����$�ι+���2����A��if���N��6��UR�1���(�mo�S�d���B4)�������$����iFW��Ve�o*can�no��rw�compute�the�gen�us�of��X�����0����(�N�@�)�for�an�y�prime��N�@�.��gF��Vor�example,��Kif��N�w¹=�6�37�then����iF2�g�@����Ź2���=�36����(2�+�18)����(14)�=�2�%�so��g�'Թ=���2.��Similarly��V,�4N�X�����0����(13)�has�gen��rus�0�and��X�����0���(11)�has����iFgen��rus��1.�8�In�general,��X�����0����(�N�@�)�has�gen�us�appro�ximately��N�F:=�12.����	:Serre���constructed�a�nice�form��rula�for�the�ab�S�o�v�e�gen�us.���Supp�S�ose��N��>����3�is�a�prime�and����iFwrite���N��6�=�UR12�a����+��b��with�0�UR���b����11.�8�Then�Serre's�form��rula�is�����������LΉff���
&c����ͤY���ff�T����d�b����ff���"yd�1���>�5���Q�7���j|%11�
.��Y���ff�����ff�������ͤY���ff��͟��d�g�;���ff����a������1���>�4�a���P�5a���c6a����+�1��͟Y���ff����ff������+-؍��iF�9.6��7��Mo��=dular�z�F��aGorms�mo�d��p��b#��iF�Let���N�+��b�S�e�a�p�ositiv��re�in�teger,�let��p��b�S�e�a�prime�and�assume��is�either������0����(�N�@�)�or������1���(�N�@�).��y�����iF�Denition��9.6.1.���o�	�Let���M�����k��#��(�;����Z�)�UR=��M�����k���(�;����C�)����\��Z�[[�q�n9�]],��then��x����J4�M�����k��#��(�;����F�����p���]�)�UR=��M�����k���(�;����Z�)����
�����Z��	'��F�����p�����iF�is��the�space�of��mo�`dular��forms�mo�d��p�꨹of�w��reigh�t���k�g�.����	:Supp�S�ose���p�UR�=��N�@�,�then�one�has��Serre's��Equalit��y�:��������M�����p�+1���ٹ(�SL�����2����(�Z�)��$�;����F�����p���]�)�UR=��M�����2����(�����0���(�p�)�;��F�����p���]�)����	:The��map�from�the�righ��rt�hand�side�to�the�left�hand�side�is�accomplished�via�a�certain�����iFnormalized��Eisenstein�series.�8�Recall�that�in��SL�����2����(�Z�)��'�,��#��������G�����k��x�=�UR�������ō�33�B�����k���33�[��z���
�΍�֗�2�k�����!¹+�������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1����(������X��������v�d�j�n���UV�d�����k�6���1���)�q��n9����n���'ԍ�iF�and�������ٌ�E�����k��x�=�UR1����������ō��r�2�k���۟[��z���
�΍B�����k�������������h�1�����!����X���
�ҍ���n�=1���&w�(������X��������v�d�j�n���UV�d�����k�6���1���)�q��n9����n����:��#ⵍ�iF�One���nds��ord����ϟ���p���,�(�������q��33�B��i?�k���33�^��z�^��ꍑd�2�k�����
fĹ)�using�Kummer�congruences.���In�particular,��ord�������p���O�(�B�����p��1���ٹ)�UR=���1�;����so��E�����p��1���+�����iF�1�UP(�mo�S�d���B�p�).�tNTh��rus�S�m�ultiplication�b�y��E�����p��1�����raises�the�lev�el�b�y��p��>���1�but�do�S�es�not�c��rhange�the����iF�q�n9�-expansion��mo�S�d��p�.�8�W��Ve�th��rus�get�a�map��x������M�����2����(�����0���(�p�)�;����F�����p���]�)�UR�!��M�����p�+1���ٹ(�����0����(�p�)�;��F�����p���]�)�:����iF�The��map������ի�M�����p�+1���ٹ(�����0����(�p�)�;����F�����p���]�)�UR�!��M�����p�+1���(�SL�����2����(�Z�)��$�;����F�����p���]�)���ݍ�iFis��~the�trace�map�(whic��rh�is�dual�to�the�natural�inclusion�going�the�other�w�a�y)�and�is�accom-����iFplished��b��ry�a�v�eraging�in�order�to�get�a�form�in�v��X�arian�t�under��SL�����2����(�Z�)��'�.�����)�Ԡ�k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{10��2���iFThe�	T{Field�of�Mo��
duli��6����iF�In�Sgthis�c��rhapter�w�e�will�study�the�eld�of�denition�of�the�mo�S�dular�curv�es��X��(�N�@�),�q��X�����0����(�N��),�and������iF�X�����1����(�N�@�).�����	:The���function�eld�of��X��(1)�UR=��P����2��1��h���Q����b�is����Q�(�t�).�'�If��E�k�is�an�elliptic�curv��re�giv�en�b�y�a�W��Veierstrass�����iFequation���y��n9���2�2�����=�UR4�x����2�3��j������g�����2����x����g�����3�����then��m���}_��j��ӹ(�E���)�UR=��j��(�g�����2����;���g�����3���)�UR=������ō�e'1728�g����2��n9�3��RA�2�������[��z�0ǟ
�΍�g����ߍ�n9�3��S�2����������27�g����ߍ�n9�2��S�3�������5��:�����iF�The�I�j���in��rv��X�arian�t�determines�the�isomorphism�class�of��E��`�o�v�er��C�.���Pic�k�an�elliptic�curv�e��E��=�Q�(�t�)�����iFsuc��rh��sthat��j��ӹ(�E���)�UR=��t�.�+$In��sparticular�w�e�could�pic�k�the�elliptic�curv�e�with�W��Veierstrass�equation��Qz��q��y��n9����2�����=�UR4�x�����3��j��������ō�+�27�t���۟[��z�*h͟
�΍t������1728�����/y��x����������ō�+�27�t���۟[��z�*h͟
�΍t����1728������:�����	:�Let�m��E��=k���b�S�e�an�arbitrary�elliptic�curv��re�and��N����a�p�ositiv��re�in�teger�prime�to��c�har��K��k�g�.��1Then�����iF�E���[�N�@�](���:�z����	���k������)�����P���UR����԰���n:�=�������(�Z�=��X�N��Z�)����2�2����.�(�Let����k�g�(�E��[�N��])���b�S�e�the�eld�obtained�b��ry�adjoining�the�co�ordinates�of�the�����iF�N�@�-torsion���p�S�oin��rts�of��E���.��Consider�the�to�w�er�of�elds����:�z����	���k����z���3�k�g�(�E���[�N�@�])����k��.��There���is�a�Galois�����iFrepresen��rtation��on�the��N�+��torsion�of��E���:���
��]�1�G��.�al�C��(���:�z����	���k�����=k�g�)�����ȍ�����X.�E�R!;N���?8���UR���۽���������ۺ!�����!˹Aut��4�(�E���[�N�@�])�����P���UR����԰���n:�=��������GL��� ������2��%O��(�Z�=��X�N��Z�)�������iFand�)��G��.�al�C��(���:�z����	���k�����=k�g�(�E���[�N�@�]))���=��k��rer��kn(������E�r�;N��#@�)�:��Th��rus�the�Galois�group�of�the�extension��Q�(�t�)(�E���[�N�@�])�o�v�er�����iF�Q�(�t�)��Pis�con��rtained�in��GL�������2��?�(�Z�=��X�N�@��Z�).�I�Let��X��(�N��)�b�S�e�the�curv��re�corresp�onding�to�the�function�����iFeld�Zt�Q�(�t�)(�E���[�N�@�])�o��rv�er�Zt�Q�.��Since����S��z�
#��	�\��Q����\���Q�(�t�)(�E��[�N�@�])�is�con��rtained�in��Q�(����wx����������������������N��+�),�wK�X��(�N��)�is�dened�o��rv�er�����iF�Q�(����wx����������������������N��+�).�����	:Comp�S�osing��������E��0�with�the�natural�map��GL���zC����2��:G�(�Z�=��X�N�@��Z�)�UR�!���GL��������2����(�Z�=�N�@��Z�)�=�f�1�g�꨹giv��res�a�map�����f�m��d��z�t��K������l���T�E��w7��:�UR�G��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)��!���GL��������2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�:�������iF�Prop�`osition��10.0.2.����Sx��d��z�t��K������Y�]��T�E��d��is�35surje��ffctive�i�������E��`��is�surje�ctive.���ߍ����iFPr��ffo�of.���2��If����d��z�t��K������+���T�E��u:�is�surjectiv��re�then�either������G���������M�����0���o��1����9����1���m�0������� ���G������+�
�or�its�negativ�e�lies�in�the�image�of���.��FTh�us��������iF��G��������T������F��1����WJ0����9����7�0����	��1�������刟�G������
�E�lie���in�the�image�of���.�Since����d��z�t��K������
�/��T�E��Lr�is�surjectiv��re�this�implies�that����is�surjectiv�e.�The�����iFcon��rv�erse��is�trivial.���n�+��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'D>����iF�10.1��iBDigression�z�on�Mo��=duli��b#���iF�X�����0����(�N�@�)(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)�= is�the�set�of����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���ֹ-isomorpisms�classes�of�pairs�(�E��;���C�ܞ�)�where��E�=���\-�z�
۶�	�ӍK���ֹis�an�elliptic�curv��re�����iFand��
�C����is�a�cyclic�subgroup�of�order��N�@�.�,�X�����0����(�N��)(�K�ܞ�)��
is�the�set�of�isomorphism�classes�of�pairs�����iF(�E��;���C�ܞ�)��suc��rh�that�for�all���Ë�2�URG��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��),���n9�(�E��;���C��)�UR=�(�E��;���C��).�8�There��is�a�map����5���f��k�g�-isomorphism��classes�of�pairs�(�E��;���C�ܞ�)�=K���z��g�UR!��X�����0����(�N�@�)(�K�ܞ�)�����‰#41����*� �k�������iF�42��N�CHAPTER��10.�	#�THE�FIELD�OF�MODULI�����덠�B�ƍ�iF�whic��rh�_Jis�\notoriously"�non-injectiv�e.�
kDeligne�and�Rapap�S�ort�[�13����]�pro�v�e�the�map�is�surjectiv�e.�����iFWhen�hK�N��6�=�UR1�they�observ��re�that�the�map�is�surjectiv�e,��^then�for��N��6>�UR�1�they�sho�w�that�certain����iFobstructions��v��X�anish.�8�A�related�question�is��/����iF�Question��10.1.1.���ph��If�ti�E��=���\-�z�
۶�	�ӍK���P�is�isomorphic�to�al���l�its�Galois�c��ffonjugates,���is�ther�e��E������2�0���P�=K�Q�which����iFis�35isomorphic�to��E��L�over����\-�z�
۶�	�Ӎ�K�����?��'~)���iF�10.2��AiBWhen�z�is�������E��a��Surjectiv��u�e?��b#����iF�Prop�`osition��10.2.1.����x��L��ffet��E�����1����and��E�����2���b��ffe�el���liptic�curves�dene�d�over��K�ܟ�with�e�qual��j����-invariants,����iFthus����E�����1������P���V����԰���.>�=��������E�����2��v��over����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������.�<�Assume��E�����1���and��E�����2���do�not�have�c��ffomplex�multiplic�ation�over����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������.�<�Then����iF������E��q�1�����is�35surje��ffctive�i�������E��q�2����is�surje��ffctive.������iFPr��ffo�of.���02��Assume���������E��q�1����;�is�surjectiv��re.�<�Since��E�����1����has�no�complex�m�ultiplication�o�v�er����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���ǚ�,���3Aut�����E�����1��p�=����iF�f�1�g�.��8Cho�S�ose�an�isomorphism��'����:��E�����1�����2����Z����p���Q����
~!�����(�E�����2����o��rv�er����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����ѹ.�Then�for������2���G��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�w��re�ha�v�e�the����iFdiagram��#�{�����ak����C��E�����1��������h���"�'��J�����i����i��������������������UO!��������E�����2����Kl����������`�=��������3,����N�?��38����N?������Ny�������������������8x�=��������3,�����?��38����?������y�������������������qy���2����z�E�����1��������h������I{'��J�����i����i��������������������UO!�������
I���2���
��E�����2�������*�Ѝ�iF�Th��rus�����n9'�P�=���'��for�all����J�2�G��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�),��so��'��:��E�����1����[�N�@�]��!��E�����2���[�N�@�]���denes�an�equiv��X�alence�����iF��d��z�t��K������x���T�E��q�1�������P���"^�����԰���"wչ=������1� ��d��z�t��K������7Ĕ��T�E��q�2���B��.�	�Since�|=������E��q�1���a��is�surjectiv��re�this�implies����d��z�t��K����������T�E��q�2����E�is�surjectiv�e�whic�h,��b�y�the�previous����iFprop�S�osition,��implies�������E��q�2������is�surjectiv��re.���
��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����[e��	:Let���K�5ݹ=�Y?�C�(�j��ӹ),�e�with��j�Ɩ�transcenden��rtal�o�v�er��C�.��2Let��E��=K��a�b�S�e�an�elliptic�curv�e�with��j��ӹ-����iFin��rv��X�arian�t���j��ӹ.�8�Fix�a�p�S�ositiv��re�in�teger��N�+��and�let��ፒ���������E��
�ڹ:�UR�G��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)��!���GL��������2����(�Z�=��X�N�@��Z�)����iFb�S�e���the�asso�ciated�Galois�represen��rtation.�
	�Then��det���g������E���5�is�the�cyclotomic�c�haracter�whic�h�����iFis�
/trivial�since��C��con��rtains�the��N�@�th�ro�S�ots�of�unit�y��V.��uTh�us�the�image�of�������E��7��lands�inside�of�����iFSL���Gџ���2��չ(�Z�=��X�N�@��Z�).��dOur��next�theorem�states�that�a�generic�elliptic�curv��re�has�maximal�p�S�ossible����iFGalois��action�on�its�division�p�S�oin��rts.������iF�Theorem��10.2.2.���p�$������E��
�ڹ:�UR�G��.�al�C��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)��!���SL���3ݟ���2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�35�is�surje��ffctive.����	:�Igusa���[�8����]�found�an�algebraic�pro�S�of�of�this�theorem�W��Ve�will�no��rw�mak�e�some�commen�ts�on����iFho��rw��an�analytic�pro�S�of�go�es.��[e����iF�Pr��ffo�of.���02��Let�5�C�(�j��ӹ)�UR=��K�1�=��F�����1���9�b�S�e�the�eld�of�mo�dular�functions�for��SL�����2����(�Z�)��'L.��Supp�ose��N��6��UR�3�and����iFlet����F�����N����b�S�e�the�eld�of�mereomorphic�functions�for�(�N�@�).�/�Then��F�����N��D�=�F�����1���˹is�a�Galois�extension����iFwith��Galois�group��SL����3����2���7�(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�.����	:Let���E��ݹb�S�e�an�elliptic�curv��re�o�v�er��K��d�with��j��ӹ-in�v��X�arian�t��j��ӹ.��;W��Ve�will�sho�w�that��G��.�al�C��(�F�����N��D�=�F�����1����)��/=�����iFSL���Gџ���2��չ(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�ɜ�acts�transitiv��rely�on�the��x�-co�S�ordinates�of�the��N�
��torsion�p�oin��rts�of��E���.�-�This����iFwill�^�sho��rw�that����d��z�t��K������	n��T�E����maps�surjectiv�ely�on�to��SL���=����2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�.�
,Then�b�y�prop�S�osition�10.0.2,�z�������E�����iF�maps��surjectiv��rely�on�to��SL����3����2���7�(�Z�=��X�N�@��Z�),�as�claimed.����	:W��Ve��+will�no��rw�construct�the��x�-co�S�ordinates�of��E���[�N�@�]�as�functions�on��H�ӹwhic�h�are�in�v��X�arian�t����iFunder��(�N�@�).�8�(Th��rus��K�ܞ�(�E���[�N��]�=�f�1�g�)�UR��F�����N��D�.)����	:Let�o����o�2�URH����and�let��L��������x�=��Z���+����Z�.��Consider��}�(�z���;���L�������2&�)�whic��rh�giv�es�the��x��co�S�ordinate�of��C�=L����������iF�in��it�standard�form.�8�Dene,�for�eac��rh�nonzero�(�r�;���s�)�UR�2��((�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�)����2�2����,��a�function��������f�����(�r�Î;s�)��U��:�UR�H�r�!��C��:�J���o�7!������ō����g�����2����(��W�)�����[��z��L�
�΍�g�����3����(��W�)�������}�(������ō�33�r�S��Ź+����s��33�[��z� ;�
�΍�
�SN�����"x�;���L�������2&�)�:�����+���k��������iF�10.3.�	#�OBSER����V�A��VTIONS�K]�43�����덠�B�ƍ��iFFirst��notice�that�for�an��ry���h�=����UR��G��������)����
�R�a�����b���:G���?�c����md����������G������!�g�2��UR�SL�����2����(�Z�)��'Wi,��Xڍ�����f�����(�r�Î;s�)����(����W�)�UR=��f���(�r�Î;s�)�����G��������)������a���/b���:G���UYc�����d�������|��G�������*�Ź(���)�:�������iF�Indeed,�i��}�I;�is�homogenous�of�degree���2,��g�����2��	?�is�mo�S�dular�of�w��reigh�t�I;4�and��g�����3���is�mo�S�dular�of�w��reigh�t������iF6,��so��Li�����@7��f�����(�r�Î;s�)����(����W�)�������qz=������ō����g�����2����(����W�)�����[��z�!��
�΍�g�����3����(����W�)�����'=��}�(������ō�33�r�S����Ź+����s��33�[��z�'��
�΍�z�N�����*i�)����� Yy�����qz=�UR(�c�Ź+����d�)������2�������ō����g�����2����(��W�)�����[��z��L�
�΍�g�����3����(��W�)�����'�.�}�(������ō�33�r�S�a��+��r�S�b��+��cs��+��sd��33�[��z�d�ʟ
�΍���N�@�(�c��+��d�)�����gW0)����������qz=������ō����g�����2����(��W�)�����[��z��L�
�΍�g�����3����(��W�)�������}�(������ō�33(�r�S�a����+��sc�)��Ź+��r�b��+��sd��33�[��z�g��
�΍�.|�N�����j	O�)�UR=��f�����(�r�Î;s�)���v=�(��W�)��������	:If��B��S��2��xH��with��g�����2����(��W�)�;���g�����3���(���)��x�6�=�0��Bthen�the��f�����(�r�Î;s�)����(���)�are�the��x�-co�S�ordinates�of�the�nonzero�����iF�N�@�-division�p�p�S�oin��rts�of��E�����j�v�(���r�)�����.�ʊThe�v��X�arious��f�����(�r�Î;s�)����(��W�)�are�distinct.�Th��rus��SL���O����2���(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g��acts�����iFtransitiv��rely��on�the��f�����(�r�Î;s�)����.�}�The�consequence�is�that�the��N��@���2�2���*���B�1�nonzero�division�p�S�oin�ts�of��E�����j������iF�ha��rv�e���x�-co�S�ordinates�in����\.�z�	��	�ҍ�F����
������N�����equal�to�the��f�����(�r�Î;s�)��U��2�URF�����N��D�.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'�0����iF�10.3��iBObserv���ations��b#�����iF�Prop�`osition��10.3.1.���Sx��If�)��E��=�Q�(����wx����������������������N��+�)(�t�)��is�an�el���liptic�curve�with��j��ӹ(�E��)�UR=��t�,�+�then�)�������E��W.�has�image������iF�SL����Gџ���2���չ(�Z�=��X�N�@��Z�)�.���)�����iFPr��ffo�of.���2��Since�n��Q�(����wx����������������������N��+�)�con��rtains�the��N�@�th�ro�S�ots�of�unit�y��N�@�th�cyclotomic�c�haracter�is�trivial�����iFhence���the�determinen��rt�of�������E��w�is�trivial.�'�Th�us�the�image�of�������E��w�lies�in��SL����z����2���~�(�Z�=��X�N�@��Z�).�'�In�the�����iFother��direction,�there�is�a�natural�inclusion��Xڍ��Z�SL���99����2���=�(�Z�=��X�N�@��Z�)�UR=��G��.�al�C��(�C�(�t�)(�E���[�N��])�=�C�(�t�))��,���!�G��.�al�C��(�Q�(����wx����������������������N��+�)(�t�)(�E���[�N��])�=�Q�(����wx����������������������N���)(�t�))�:��������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����)�����iF�Prop�`osition��10.3.2.���Sx��If��n�E��=�Q�(�t�)��is�an�el���liptic�curve�with��j��ӹ(�E��)�K=��t�,�2�then��n������E�����has�image������iF�GL���������2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�35�and����S��z�
#��	�\��Q���j�\����Q�(�t�)(�E���[�N��])�UR=��Q�(����wx����������������������N��+�)�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��Since��|�Q�(�t�)�con��rtains�no��N�@�th�ro�S�ots�of�unit�y��V,���the�mo�S�d��N��`�cyclotomic�c�haracter,���and�hence�����iF�det�����E��-��,��zis���surjectiv��re�on�to�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2�����.�sSince�the�image�of�������E����already�con�tains��S���L�����2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�it�����iFm��rust��equal��GL�����2����(�Z�=��X�N�@��Z�).�8�F��Vor�the�second�assertion�consider�the�diagram��4V�����$B����v�.��S��z�
#��	�\��Q������~XQ�(�t�)(�E���[�N�@�])�������zEI�j����s�j���ユ�S���L�����2�������j���Q�(����wx����������������������N��+�)����)�����4��Q�(����wx����������������������N��+�)(�t�)������2p�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2�����zEI�j����s�j���ユ�GL�����2����=S���L�����2��V�=�UR(�Z�=��X�N�@��Z�)����2��������v�.�Q����)�����[��Q�(�t�)�����3E������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����c���	:This�@giv��res�a�w�a�y�to�view��X�����0����(�N�@�)�as�a�pro��jectiv�e�algebraic�curv�e�o�v�er��Q�.�9?Let��K��e�=����Q�(�t�)�����iFand��let��L�UR�=��K�ܞ�(�E���[�N�@�])�=��Q�(����wx����������������������N��+�)(�t�).�8�Then��Xڍ�]��H�B��=�UR�f�����G��������r���������P����ፍ���0���P��������CR��G�������T�g����GL��������2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=��G��.�al�C��(�L=K�ܞ�)�:�����iF�The��xed�eld��L����2�H��`�is�an�extension�of��Q�(�t�)�of�transcendence�degree�1�with�eld�of�constan��rts������iF��S��z�
#��	�\��Q����7{�\����L����2�H��n��=�UR�Q�,��i.e.,�a�pro��jectiv��re�algebraic�curv�e.�����,���k�������iF�44��N�CHAPTER��10.�	#�THE�FIELD�OF�MODULI�����덠�B�ƍ��iF�10.4��AiBA�z�Descen��u�t�Problem��}ۍ�iF�Consider��the�follo��rwing�exercise�whic�h�ma�y�b�S�e�approac�hed�in�an�honest�or�dishonest�w�a�y��V.���捍��iF�Exer��ffcise�3510.4.1.���b��Supp�S�ose��b�L=K���is�a�nite�Galois�extension�and��G��&�=��G��.�al�C��(�L=K�ܞ�).��
Let��b�E��=L�����iF�b�S�e���an�elliptic�curv��re,��Aassume��Aut���������L�� �W�E�L�=����f�1�g�,�and�supp�S�ose�that�for�all��g��2����G�,�there�is�an����iFisomorphism��ꨟ��2�g�����E����2��������p���	i����;!������E����o��rv�er���L�.�8�Sho�w�that�there�exists��E�����0����=K��F�suc�h�that��E�����0������P���V����԰���.>�=��������E����o�v�er��L�.����	:�Caution!�		��The�0;exercise�is��false��as�stated.�Both�the�dishonet�and�honest�approac��rhes����iFb�S�elo��rw�I0w�ork�only�if��L��is�a�separable�closure�of��K�ܞ�.�
No�w:��$can�one�construct�a�coun�terexample?������	:�Discussion.��First��the�hard,��#but�\honest"�w��ra�y��to�lo�S�ok�at�this�problem.�F��Vor�notions�on����iFdescen��rt��+see�Serre�[�23����].�-By�descen�t�theory��V,��Dto�giv�e��E�����0���/�is�the�same�as�to�giv�e�a�family�(������g�����)�����g�I{�2�G�����iF�of��maps�������g���¹:���ğ��2�g�����E����2��������p���a�����!�����s�E�ҵ�suc��rh�that�������g�I{h��
h��=���������g�������	���2�g���	������h��	���where�����2�g���������h��	��=��g�<B���	������h��3����g��n9���2��1��ʵ�.���Note��that�������g�������	���2�g���	������h�����iF�maps��	���2�g�I{h�����E�>��!����E���.���This�	�is�the�natural�condition�to�imp�S�ose,��b�ecause�	�if��f�җ�:��E�����0�����2����J����p���J����	�n!������E���and�w��re�let����iF������g��*P�=�UR�f����������2�g����(�f��G����2��1���{�)��then�������g�I{h��
A�=�������g�����������2�g���������h��e�.����	:Using��our�h��ryp�S�othesis�c�ho�S�ose,�for�eac�h��g�Ë�2�UR�G�,�an�isomorphism���捒���������g��*P�:��UR����g��*R�E����2��������p���	i����;!������E��:����iF�Dene��a�map��c��b��ry���捒����c�(�g�n9;���h�)�UR=�������g������������g���������h���������������1��O��g�I{h���\|�:��/���iF�Note��that��c�(�g�n9;���h�)�UR�2���Aut��=�E�	i�=��f�1�g�꨹so��c��denes�an�elemen��rt�of����t�,�H���V����2���Z�(�G;����f�1�g�)�UR���H���V����2���(�G��.�al�C��(���\-�z����	�Ӎ�L�����=K�ܞ�)�;����f�1�g�)�=��B��r�S��(�K��)[2]�:����iF�Here���B��r�S��(�K�ܞ�)[2]�denotes�the�2-torsion�of�the�Brauer�group�����2k�B��r�S��(�K�ܞ�)�UR=��H���V����2���Z�(�G��.�al�C��(���\-�z����	�Ӎ�L�����=K��)�;������\-�z����	�ӍL����	�����������)�:����iF�This��probably�leads�to�an�honest�pro�S�of.����	:The��,dishonest�approac��rh�is�to�note�that��g�n9�(�j��ӹ(�E���))�UR=��j��(�E���)��,for�all��g�Ë�2�UR�G��since�all�conjugates�����iFof�a��E���are�isomorphic�and��j��ӹ(����2�g����E���)��f=��g�n9�(�j��(�E���)).�	�Th��rus�a��j��(�E��)��f�2��K�>&�so�a�w��re�can�dene��E�����0����=K��b��ry����iFsubstituting��.�j��ӹ(�E���)�in��rto�the�univ�ersal�elliptic�curv�e�form�ula�(see�I�S�I�I.1.4��.of�[�33����]).��This�giv�es�an����iFelliptic��curv��re��E�����0�����dened�o�v�er��K��F�but�isomorphic�to��E����o�v�er����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����^�.��(ig���iF�10.5��AiBSecond�z�Lo��=ok�at�the�Descen��u�t�Exercise��}ۍ�iF�Last��time�w��re�talk�ed�ab�S�out�the�follo�wing�problem.�}�Supp�S�ose��L=K��'�is�a�Galois�extension�with�����iFc��rhar��#Gn�K��r�=���0,��and��klet��E��=L��b�S�e�an�elliptic�curv��re.�*Supp�ose�that�for�all���_
�2����G��=��G��.�al�C��(�L=K�ܞ�),�����iF���2���G�E�����P���2u����԰���K]�=�����*�E�㩹o��rv�er�/��L�.�	�Conclude�that�there�is�an�elliptic�curv��re��E�����0����=K�0�suc�h�that��E�����0������P���
>b����԰���
WJ�=������E�㩹o�v�er����iF�L�.�~�The�WJconclusion�ma��ry�fail�to�hold�if��L��is�a�nite�extension�of��K�ܞ�,�rsbut�the�exercise�is�true����iFwhen�5��L��?�=����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������.�XFirst�w��re�giv�e�a�descen�t�argumen�t�whic�h�holds�when��L��?�=����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����Źand�then�giv��re�a����iFcoun��rterexample��to�the�more�general�statemen�t.����	:F��Vor��g�n9;���h����2��G��=��G��.�al�C��(�L=K�ܞ�)�w��re�dene�an�automorphism��c�(�g�n9;���h�)��2���Aut�����E�U�=��f�1�g�.��ACho�S�ose����iFfor��ev��rery��g�Ë�2�URG��.�al�C��(�L=K�ܞ�)�some�isomorphism���捒���������g��*P�:��UR����g��*R�E����2��������p���	i����;!������E��:����iF�If��the�������g��x�w��rere�to�all�satisfy�the�compatibilit�y�criterion�������g�I{h��
A�=�UR������g���y���{���2�g���{������h��		�then�b�y�descen�t�theory�����iFw��re�جcould�nd�a��K�ܞ�-structure�on��E���,�-that�is�a�mo�S�del�for��E��ùdened�o�v�er��K��J�and�isomorphic����iFto����E�Oɹo��rv�er��L�.�K�Dene��c�(�g�n9;���h�)�b�y��c�(�g�n9;���h�)������g�I{h��=��=���������g���/���#1���2�g���1������h��
��so��c�(�g�;���h�)�measures�ho��rw�m�uc�h�the�������g������-�;��k��������iF�10.6.�	#�A��rCTION��OF���GL���zC����2��b�,�45�����덠�B�ƍ��iFfail���to�satisfy�the�compatibilit��ry�criterion.�ʔSince��c�(�g�n9;���h�)�is�a�co�S�cycle�it�denes�an�elemen�ts������iFof�	�H���V���2�2���Z�(�G;����f�1�g�).���W��Ve�w��ran�t�	to�kno��rw�that�this�elemen�t�is�trivial.���When��L�<��=����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���r�,�P�the�	map�����iF�H���V���2�2���Z�(�G;����f�1�g�)�UR�!��H���V���2�2���(�G;���L����2�����)��is�injectiv��re.�8�T��Vo�see�this�rst�consider�the�exact�sequence��j����R�0�UR�!�f�1�g�!����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����1���������2�����2���p���F^�����!�����$���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����/�Ɵ�����7��!��0���@���iFwhere��2�UR:����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����1������F^�!����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����1������۴�is�the�squaring�map.�8�T��Vaking�cohomology�yields�an�exact�sequence����\FK�H���V����1���Z�(�G;������\-�z�
۶�	�ӍK����۴���������)�UR�!��H���V����2���(�G;����f�1�g�)��!��H���V����2���(�G;������\-�z�
۶�	�ӍK����۴���������)�:�����iF�By�FtHilb�S�ert's�theorem�90�([�25����]�Ch.�LEX,�Prop.�2),�]g�H���V���2�1���Z�(�G;����f�1�g�)��=�0.�Th��rus�Ftw�e�ha�v�e�an�exact������iFsequence����b5�0�UR�!��H���V����2���Z�(�G;����f�1�g�)��!��H���V����2���(�G;������\-�z�
۶�	�ӍK����۴���������)[2]��!��0�:���@���iF�Th��rus���H���V���2�2���Z�(�G;����f�1�g�)�naturally�sits�inside��H���V���2�2���(�G;���L����2�����).�����	:T��Vo��:nish�Rib�S�et�do�es�something�with�dieren��rtials�and��H���V���2�0���Z�(����2�g����E��;����
����2�1����)�whic�h�I��don't�under-�����iFstand.�����	:The�R�coun��rterexample�in�the�case�when��L=K�/w�is�nite�w�as�pro�vided�b�y�Kevin�Buzzard�����iF(who�K�said�Coates�ga��rv�e�K�it�to�him).�\�Let��L��׹=��Q�(�i�),�d6�K��u�=��Q�K�and��E����b�S�e�the�elliptic�curv��re�with�����iFW��Veirstrass��equation��iy��n9���2�2�����=�UR�x����2�3����+�7�x��+�1.�&Then���E�f+�is�isomorphic�to�its�conjugate�o��rv�er���L��but�one�����iFcan��sho��rw�directly�that��E����has�no�mo�S�del�o�v�er��Q�.��'������iF�10.6��iBAction�z�of���GL���������2���b#���iFLet�ى�N�,�>���3�b�S�e�an�in��rteger�and��E��=�Q�(�j��ӹ)�an�elliptic�curv�e�with��j��ӹ-in�v��X�arian�t��j��ӹ(�E���)���=��j��.��Then�����iFthere��is�a�Galois�extension��������fd����U�F�����N��n��=�UR�Q�(�j��ӹ)(�E���[�N�@�]�=�f�1�g�)�������ƾu�j�������i�F�����1��V�=�UR�Q�(�j��ӹ)�����">���iFwith�UGalois�group��GL���䦟���2�����(�Z�=��X�N�@��Z�)�=�f�1�g�.�Think�of��Q�(�j��ӹ)(�E���[�N��]�=�f�1�g��as�the�eld�obtained�from�����iF�Q�(�j��ӹ)�b��ry�adjoining�the��x�-co�S�ordinates�of�the��N�@�-torsion�p�oin��rts�of��E���.��ENote�that�this�situation�����iFdiers��from�the�previous�situation�in�that�the�base�eld��C��has�b�S�een�replaced�b��ry��Q�.�����	:Consider������6�F��c�=����UR���[�����3\�N������F�����N����ݍ��iF�whic��rh�R�corresp�S�onds�to�a�pro��jectiv�e�system�of�mo�S�dular�curv�es�.�p�Let��A�����f��	�ιb�S�e�the�ring�of�nite�����iFad��r��s�eles,��th�us�����k��A�����f���q�=����w^����UR�Q����1�=�����T^����UR�Z���?��
����Q�UR��������Y���
�ҍ��P�p������Q�����p���]�:��6ҍ��iF�A�����f��	aǹcan��b�S�e�though��rt�of�as����t�|�f�(�x�����p���]�)�UR:��x�����p����2��Z�����p�����for��almost�all��p��V���g�:�����iF�The�group��GL���������2��g��(�A�����f��w�)�acts�on��F�1�.��<T��Vo�understand�what�this�action�is�w��re�rst�consider�the���j���iFsubgroup���GL���zC����2��:G�(����0^����Z���@�)��of��GL���zC����2���(�A�����f��w�).�����	:It��can�b�S�e�sho��rwn�that���@��D��F��c�=�UR�Q�(�f�����N�a>;�(�r�Î;s�)���̹:�(�r��r;���s�)��2��(�Z�=��X�N�@��Z�)�����2��j�����f�(0�;��0)�g�;�N��6���1)�����iFwhere���f�����N�a>;�(�r�Î;s�)��h"�is�a�function��>Z��U�3�f�����N�a>;�(�r�Î;s�)���̹:�UR�H�r�!��C��:�J���o�7!������ō����g�����2����(��W�)�����[��z��L�
�΍�g�����3����(��W�)�������}�(������ō�33�r�S��Ź+����s��33�[��z� ;�
�΍�
�SN�����"x�;���L�������2&�)�:�����.镠�k�������iF�46��N�CHAPTER��10.�	#�THE�FIELD�OF�MODULI�����덠�B�ƍ�iF�W��Ve�cddene�the�action�of��GL���������2����(����0^����Z���@�)�on��F��u�as�follo��rws.��Let��g��
�2��"ԹGL����o����2��rs�(����0^����Z����),���then�to�giv��re�the�action�����iFof�3d�g����on��f�����N�a>;�(�r�Î;s�)���޹rst�map��g��in��rto��GL���������2����(�Z�=��X�N�@��Z�)�via�the�natural�reduction�map,�E�then�note�that�����iFGL��������2�� ��(�Z�=��X�N�@��Z�)��acts�on��f�����N�a>;�(�r�Î;s�)��h"�b��ry�� �v�����|�K��G���������d����xM�a����1Zb���������c�����Nd���������P��G��������������f�����N�a>;�(�r�Î;s�)���̹=�UR�f��	���N�a>;�(�r�Î;s�)�����
�������)�����X�a�����b���:G���	c���\sd�������&ǟ�
������;$?�=��f�����N�a>;�(�r�<ra�+�sc;r�b�+�sd�)��@d��:��%Sr��	:�Let���E����b�S�e�an�elliptic�curv��re.�8�Then�the�univ�ersal�T��Vate�mo�S�dule�is��u����8�T��ƹ(�E���)�UR=�����lim����i��������!�������E��[�N�@�]�=�������Y���
�ҍ��P�p������T�����p���]�(�E��)�:��'{;��iF�There���is�an�isomorphism���t��:�����h^����af�Z����2�2�������2���M~����p��������t�!����-�
�T��ƹ(�E���).�
��Via�righ��rt�comp�S�osition��GL���D�����2����(����0^����Z���@�)�acts�on�the����iFcollection�X�of�all�suc��rh�isomorphism�����.�	�]So��GL����m����2���q�(����0^����Z���@�)�acts�naturally�on�pairs�(�E��;�����)�but�the����iFaction�ado�S�es�nothing�to��E���.���One�of�the�rst�imp�ortan��rt�things�w�e�m�ust�do�in�understanding����iFthe�vOconstruction�of�things�lik��re�Shim�ura�v��X�arieties�is�to�free�ourselv�es�and�allo�w��GL�������2����(����0^����Z���@�)�to�act����iFon��the��E���'s�as�w��rell.����	:Let������^-�g�Ë�=����UR��
��������d���
��a���9b�������7c�����d������� ���
�����+E��2��UR�GL�����x�����+��������2���e�(�Q�)��^@��iF(th��rus��#�g�G\�has�p�S�ositiv�e�determinen�t).�ݴLet����o�2�URH��˹and�let��E�	i�=��E�������I�b�S�e�the�elliptic�curv��re�determined����iFb��ry��the�lattice��L��������x�=�UR�Z����+��Z��W�.�8�Let������9����������x�:�UR�L��������=��Z����+��Z�����2���7����p����o���^A!�������Z�����2�����iF�b�S�e��the�isomorphism�dened�b��ry����o�7!�UR�(1�;����0)�and�1��7!��(0�;����1).�8�No��rw�view���h�=���������	ιas�a�map���������h�:�UR�Z�����2�����2��������p���V���	�(!����|�H�����1����(�E���(�C�)�;����Z�)�:����iF�T��Vensoring��with��Q��then�giv��res�another�map�(also�denoted�����)�����3	��h�:�UR�Q�����2�����2��������p���V���	�(!����|�H�����1����(�E��;����Q�)�:����iF�Then�����7�����g�X�is�another�isomorphism������;�Q�����2������h������g��J����V���
�����������:�!���� ���H�����1����(�E��;����Q�)����iFwhic��rh�g�induces�an�isomorphim��Z����2�2�����2���t�����p��������
��!�����|�L����2�0�����)��H�����1����(�E��;����Q�)�where��L����2�0��5��is�a�lattice.��iThere�exists�an�����iFelliptic��curv��re��E������2�0���P�=�C��and�a�map���UR�2���Hom����(�E������2�0���;���E���)����
��Q�꨹whic��rh�induces�a�map�(also�denoted���)������"��UR�:��H�����1����(�E�������0���P�;����Z�)����2��������p������$!����\x�L�����0��#����H�����1���(�E��;����Q�)����iFon��homology�groups.����	:No��rw���w�e�can�dene�an�action�on�pairs�(�E��;������)�b�y�sending�(�E��;������)�to�(�E�����2�0���P�;���������2�0���ȹ).��Here��������2�0��{��is�the����iFmap���������2�0��7�:�UR�Z����2�2��V�!��H�����1����(�E������2�1��t�;����Z�)�giv��ren�b�y�the�comp�S�osition��7ލ��#�Z�����2������h����g��J����V����E!����J��L�����0�����2���	�9����-:��1����p���#����w�����������!����uS�H�����1����(�E�������1��t�;����Z�)�:����	:�In��more�concrete�terms�the�action�is�����0�g�Ë�:�UR(�E�������2&�;�����������)��7!��(�E��������0���ڍ�����;�����������0���ڍ�����)����iFwhere�����W���2�0��z��=�UR�g�n9��o�=�����Fu�����a��r�+�b��������z�uI��ꍐEc��r�+�d�����1�:��[[�CHECK�THIS�SOMETIME�SOON!!]]�����/���k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{11��2���iFHec��8�k�e�	T{Op��
erators�as�Corresp�ondences��>����iF�11.1��iBSome�z�Philosoph��u�y��b#���iF�W��Ve�?�are�studying�mo�S�dular�forms�o��rv�er�?��C��and�more�generally�o��rv�er�?�subrings��R�Y*�of��C�.���The�Hec��rk�e������iFalgebras���o�S�ccur�naturally�as�op�erators�on�v��X�arious�spaces�of�mo�dular�forms.�%�W��Ve�are�aiming�����iFfor���an�arithmetic�p�S�ersp�ectiv��re.�+�One���w�a�y�is�to�study�the�arithmetic�of�cusp�forms�of�w�eigh�t�2�����iFfor�ucongruence�subgroups�lik��re������0����(�N�@�)�or������1���(�N�@�).��These�cusp�forms�corresp�S�ond�to�dieren��rtials�����iFon��tthe�mo�S�dular�curv��res��X�����0����(�N�@�)�and��X�����1���(�N�@�).�<CW��Ve�ha��rv�e��tconstructed�mo�S�dels�for�eac��rh�of�these�����iFo��rv�er���Q�.�����	:When�ʊ�N��@���2�0���j�N�n�there�is�a�natural�map��X��(�N�@�)�UR�!��X��(�N��@���2�0���).�.+Th��rus�ʊw�e�get�a�to�w�er�of�curv�es�and�����iFa��corresp�S�onding�to��rw�er��of�n��rum�b�er��elds.��D%����ff�������������������������������~#�����[����������X��(�N�@�)���ڳ!�F�����N��������~�#�����[�������e��X��(�N��@���2�0���)���ڳ!�F����2��1�0��b���N���������~�#�����[������������������������������D�ȍ��iF�T��Vaking��limits�giv��res�a�curv�e��X�Fչ=����URlim����i���UR� ����c�������X��(�N�@�)�and�a�corresp�S�onding�eld��F��c�=����URlim����i����UR����!����F�����N��D�.�����	:There���is�an�action�of��GL���?L����2���P�(�A�����f��w�)�on�pairs�(�E��;������).�%8By��A�����f��	&йw��re�mean�the�ring�of�nite�ad���s�eles,�����iFwhic��rh�؇ma�y�b�S�e�iden�tied�with�the�restricted�pro�S�duct�������Q���-ޟ��p���9�Q�����p���]�.�|The�subscript��f�G��,��for�`nite',�����iFindicates�Qthat�the�innite�place�is�omitted.�	lCThe�full�ring�of�ad��r��s�eles�is��A��w�=��A�����f��	������R�.�If�����iF�g�Ë�2��UR�GL��������2����(�A�����f��w�),��then��g�X�acts�on�pairs�(�E��;������)�where��E����is�an�elliptic�curv��re�and��o���(��h�:�����T^����UR�Z�����2�������2���5V����p��������\z!����$���T��ƹ(�E���)�UR=�������Y���
�ҍ��P�p������T�����p���]�(�E��)�:��$�^���iF�Note��that����o�%�A�����f���q�=�����T^����UR�Z���?��
�����Z��	'��Q�UR�=�������Y�������Z�����p��r�
�����Z���Q��=����w^�����Q���
x��;�����iF�and���T��ƹ(�E���)�is�free�of�rank�2�o��rv�er�����^������Z���*��.�8�Let���j��u�T�V��p�(�E���)�UR=��T��ƹ(�E��)����
�����Z��	'��Q��=�������Y���
�ҍ��P�p������V�����p���]�(�E��)��%�
���iFwhere�l�the�pro�S�duct�is�restricted�and��V�����p���]�(�E���)���=��T�����p���(�E���)����
�����Z���p������Q�����p���.�	��View�l��g�U�2���GL���v����2��6��(�A�����f��w�)�as�an��]܍��iFautomorphism���of�����^�����Q����2�2�����f�.�`hThen���u|��a��g�f�sends����'�^�����Z����2�2����W�����AG�^����~�Q����2�2������to�a�lattice��T���Ɵ��2�0��	�}��~�V��p�(�E���).�As�a�lemma,�����‰#47����0
���k�������iF�48�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����덠�B�ƍ�iF�one�rsho��rws�that�there�is�an�elliptic�curv�e��E������2�0���¹and�a�canonical�map�����:��E������2�0��\�!��E�Ɖ�suc�h�rthat�the�����iFinduced�~map������2�0��#��:�UR�V��p�(�E������2�0���P�)����2��������p������$!����\x�V��(�E���)�~is�an�isomorphism�whic��rh�sends��T��ƹ(�E�����2�0���P�)�maps�to��T���Ɵ��2�0����in��V��p�(�E��).����iFThen���g�X�sends�the�pair�(�E��;������)�to�(�E�����2�0���P�;��������2�0�����ݟ�^�1����������7���g�n9�).��)i���iF�11.2��AiBHec��u�k�e�z�Op��=erators�as�Corresp�ondences������iF�Our�goal�is�to�think�of�Hec��rk�e�op�S�erators�(�T�����n���P�,�*�h�d�i�)�as�ob��jects�dened�o��rv�er��Q�.��W��Ve�will�dene����iFthe��Hec��rk�e�op�S�erators�as�corresp�ondences.��A؍���iF�Denition��11.2.1.���v�	�Let�"6�C�����1��	�:�and��C�����2���b�S�e�curv��res,�pthen�a��corresp�`ondence��C�����1��
'��!!�g��C�����2���is�a����iFcurv��re���C��F�together�with�morphisms���h�:�UR�C�1��!��C�����1�����and�������:��C��!��C�����2����.��,s�����|n�������C���S덍����DE���w����
�����2��.������������`���8㍒�}�&����������ٞ��C�����1����u�C�����2������,s���iF�Giving�Їa�corresp�S�ondence��C�����1��V�!!�UR�C�����2�����the��dual�a�corresp�`ondence��C�����2���!!�UR�C�����1�����is�obtained�b��ry����iFlo�S�oking��at�the�diagram�in�a�mirror�� s�����|n�������C���S덍�������ݛ����8㍒�2��.���������DE������
�����}�&����������ٞ��C�����2����u�C�����1������+k̍�	:�The�~simplest�case�to�consider�is�the�mo�S�dular�curv��re��X�����0����(�N�@�)�and�Hec�k�e�op�S�erator��T�����p���]�,���where����iF�p��UV�6�URj�N�@�.�ߎW��Ve�޳view��T�����p����as�a�corresp�S�ondence��X�����0����(�N��)�UR�!!��X�����0����(�N��),�Jth��rus�޳there�is�a�curv�e��C�1�=�UR�X�����0����(�pN�@�)����iFplus��2�maps����7�and��������|n����O�X�����0����(�pN�@�)���S덍����DE���m����
�����(��.������������"f���8㍒���&�������������X�����0����(�N�@�)������X�����0����(�N�@�)�����'����iFThe���maps���Y�and�����are�degeneracy�maps�whic��rh�forget�data.�lET��Vo�dene�them�view��X�����0����(�N�@�)�as����iFclassifying�~pairs�(�E��;���C�ܞ�)�where��E����is�an�elliptic�curv��re�and��C�����P���_�����԰���x��=�����7��Z�=��X�N�@��Z��is�a�cyclic�subgroup�of����iForder���N�@�.��ASimilarly��X�����0����(�pN��)�classies�pairs�(�E��;���G�)�where��G���=��C�������D�����P��������԰���g�=��������Z�=��X�N��Z����Z�=p�Z�ȹand����iF�D�>6�is��cyclic�of�order��p�.�8�Then���N������v ��h�:�UR(�E��;���G�)��������X��7!�UR�(�E��;���C�ܞ�)�������������{�����:�UR(�E��;���G�)��������X��7!�UR�(�E��=D�S�;����(�C��F�+����D��)�=D��)�������iFNo��rw���w�e�no�w�translate�this�in�to�the�language�of�complex�analysis.�*�The�rst�map����+�corre-�����iFsp�S�onds��to�the�map���N����]�����0����(�pN�@�)�nH�r�!�UR������0���(�N��)�nH������iF�induced���b��ry�the�inclusion������0����(�pN�@�)�UR�,���!�������0���(�N�@�).��The���second�map���4ѹis�constructed�b��ry�comp�S�osing����iFthe��map��I����@������0����nH����2���������p���r����$�!�������z ��
��������d������p���+�y�0���������0���+�y1�������1ju��
�����8�!������0���(�pN�@�)�����
��������d���*��p���Y�0�������-�0���Y1��������U��
������$��]���1��/w}�nH������iF�with��the�map�to������0����(�N�@�)�nH�P�induced�b��ry�the�inclusion��!�M����w�����0����(�N�@�)�UR�������
��������d���
��p���e��0�������
��0���e�1������� E���
�����'pS������0���(�pN�@�)�����
��������d���*��p���Y�0�������-�0���Y1��������U��
������$��]���1������1��k��������iF�11.3.�	#�GENERALITIES��ON�CORRESPONDENCES����49�����덠�B�ƍ��	:The��maps����7�and������induce�maps���/��Y_
����������ӓ�;������O���������:�UR�H���V����0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;��
�����1���)�UR�!��H���V����0���Z�(�X�����0���(�pN�@�)�;����
�����1���)�:�����iF�W��Ve�lcan�iden��rtify��S�����2����(�����0���(�N�@�))�lwith��H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N��)�;����
����2�1���p�b��ry�sending�the�cusp�form��f�G��(��W�)�to�the�holo-������iFmorphic��dieren��rtial��f�G��(��W�)�d��.�8�No�w��w�e�get�maps����q������������ӓ�;������O���������:�UR�S�����2����(�����0���(�N�@�))��!��S�����2���(�����0���(�pN�@�))�:�������iF�Exer��ffcise�3511.2.2.���5��Sho��rw���that��������2���ӓ�(�f�G��)�UR=��f�Ƞ�though�t���of�as�a�cusp�form�with�resp�S�ect�to�the�smaller�����iFgroup�������0����(�pN�@�).�8�Then�sho��rw�that��"�-���5�����O������jS�(�f�G��)�UR=��p�������j��1����������X���
�ҍ��D�n�=1���UT�a�����n���P�q��n9����pN�����:��$Q4���iF�(Rib�S�et��w��ras�unsure�whether�the�factor�of��p��should�b�e�there.)��'������iF�11.3��iBGeneralities�z�on�Corresp��=ondences��b#���iF�Let�7��X��,�J��Y��p�,�and��C�A�b�S�e�curv��res�and�let���K2�and�����b�e�nonconstan��rt�holomorphic�maps�so�that�w�e�����iFha��rv�e��the�corresp�S�ondence���I����|n�������C���S덍����DE�������
��������.�������������tX���8㍒�u�&�����������m��X����T�Y�����&4\���iF�Then��w��re�ha�v�e�maps��aX��a��H���V����0���Z�(�X�Jg;����
�����1����)����2��������-:�����p���UR���5�!�������H���V����0���(�C�5�;��
�����1����)�����h����������J����UR�����!�����R�H���V����0���(�Y��;��
�����1����)�:������iF�The��comp�S�osition���������j������������2����;�is�a�map������V�H���V����0���Z�(�X�Jg;����
�����1����)�UR�!��H���V����0���(�Y��;����
�����1����)�:�����iF�Switc��rhing��the�roles�of��X��+�and��Y���giv�es�a�map������V�H���V����0���Z�(�Y��;����
�����1����)�UR�!��H���V����0���(�X�Jg;����
�����1����)�:�����	:�In��this�con��rtext�w�e�can�iden�tify��T�����p����b�y�viewing�it�as�the�map����K2���������j���������������(�:�UR�H���V����0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
�����1���)��!��H���V����0���Z�(�X�����0���(�N�@�)�;����j�O�S�meg�n9a�����1���)�����iFand��using�the�fact�that��S�����2����(�����0���(�N�@�))�UR=��H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N��)�;����
����2�1���).��One��should�reco��rv�er��the�explicit�repre-�����iFsen��rtation����c��T�����p����:����UR���X�������a�����n���P�q��n9����n��	k��7!����UR���X�����a�����np��	��q��n9����n���1�+����p���������X����UT�a�����n���q��n9����np��
]��:��$���	:�No��rw��lets�think�more�generally�ab�S�out�corresp�ondences.���Supp�ose��'���:��X��u�!��Y��i�is��a�map�of�����iFcurv��res.�8�Let���UR���X��+�����Y���b�S�e�the�graph�of��'�.�8�This�giv��res�a�stupid�corresp�ondence��+Px����|n���Ľf���S덍����DE�������
������d�.�������������}����8㍒���&�����������dn�X����^Y�����,}č��iF�W��Ve��can�reconstruct��'��since��'�(�x�)�UR=����O�(�������2��1��p�(�x�)).�����2&J��k�������iF�50�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����덠�B�ƍ�	:�More���generally�supp�S�ose���~ع:�kI��!��X�y�has���degree��d�kI���1.�"�View����������2��1��p�(�x�)�as�a�divisor�on�.�����iFThen�����O�(�������2��1��p�)�is�a�divisor�on��Y��p�.�8�W��Ve�th��rus�get�a�map���|�����3Div���͏I���x�n���7��X�����h��у��i>�����-:��1���J����F����<O��������������������J�!�����'��Div���:!0���x�dn��F)&�Y��:�����iF�In��Wparticular,��when��d����=�0,�there��Ww��re�get�a�map��Div���um���x�0��5o�X���!�����Div�������x�0��I�Y��:��No�w�apply�this�to�the����iFsp�S�ecial��case�of��T�����p���]�.�8��T�����p����is�the�corresp�ondence��'}����|n����O��X�����0����(�pN�@�)���S덍����DE���m����
�����(��.������������"f���8㍒���&�������������X�����0����(�N�@�)������X�����0����(�N�@�)�����&wV��iFand��the�induced�map�is���f��gg(�E��;���C�ܞ�)����2���o�����-:�����p��UR�7!�������G���X����������D�<r�2�E�r��[�p�]���/8ǹ(�E�;�C��F�����D�S��)�����h���5���J���UR�7!�������G���X����������D�<r�2�E�r��[�p�]���/8ǹ(�E�=D�;����(�C��F�+����D��)�=D��)��!�4��iFTh��rus��w�e�ha�v�e�a�map���5�����v���
�n������濹divisors��on��X�����0����(�N�@�)������Sǟ�
�o���������������s!����UR��
�n�����US�divisors��on��X�����0����(�N�@�)�����h׳��
�o������6��iF�This��Fstrongly�resem��rbles�the�original�denition�of��T�����p��	���as�a�corresp�S�ondence�of�lattices.�=�But����iFthere���w��ras�a�factor�of��p����2�k�6���1�����then�whic�h�anno�y�ed�Ogus.�2�It�disapp�S�ears�here�though,�۪and�this�is����iFrelated��to�the�`p'�in�the�exercise.��'DR���iF�11.4��AiBJacobians�z�of�Curv��u�es��b#��iF�Let���X��+�b�S�e�a�curv��re�of�gen�us��g�X�o�v�er�a�eld��k�g�.�8�There�is�an�imp�S�ortan�t�asso�S�ciation�������W���
�n�����b�curv��res���X���=k�������֟�
�o��������F)��������!����UR��
�n�����?��Jacobians���J�rac�(�X��)�UR=��J��(�X��)��of�curv��res������-���
�o������6��iF�b�S�et��rw�een��curv�es�and�their�asso�S�ciated�Jacobians.���U����iF�Denition��11.4.1.���v�	�Let�}�X��b�S�e�a�curv��re,�j3then�the��Jacobian��of��X��is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�of����iFdimension��N�g����whose�underlying�group�is�isomorphic�to�the�group�of�divisors�of�degree�0�on��X����iF�mo�S�dulo��linear�equiv��X�alence.����	:There���are�man��ry�constructions�of�the�Jacobian�of�a�curv�e.�;W��Ve�rst�consider�the�Albanese����iFconstruction.�*Recall�;that�o��rv�er�;�C��an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�is�just��C����2�g�����=�L��where��L��is�a�lattice�(and����iFhence��a�free��Z�-mo�S�dule�of�rank�2�g�n9�).�8�There�is�an�em��rb�edding������������H�����1����(�X�Jg;����Z�)��������rr�,���!�UR�H���V����0���Z�(�X�Jg;����
�����1����)������������������]��
�������rr�7!��UR�甆�Z���	���
�_�
��Y�������ۦ��iF�Then��w��re�realize��J�r�(�X��)�as�a�quotien�t��������J�r�(�X��)�UR=��H���V����0���Z�(�X�Jg;����
�����1����)��������=H�����1���(�X�;����Z�)�:����iF�In�6�this�construction��J�r�(�X��)�is�co��rv��X�arian�tly�6�asso�S�ciated�to��X��.�There�are�other�constructions�in�����iFwhic��rh����J�r�(�X��)�is�con�tra�v��X�arian�tly�asso�S�ciated�to��X��.��If��F�%X�is�a�corresp�ondence��X�K�!!�Y��Y��p�,���then����iF�F��induces�c#a�map��J�r�(�X��)�"e�!��J��(�Y��p�)�c#and�also�a�map��J��(�Y��p�)�"e�!��J��(�X��).��RIf�c#�X��=��Y����so�that��X�T��and����iF�Y�are�RGthe�same,�l/one�can�often�b�S�e�confused�whic��rh�dualit�y�should�b�S�e�used.�o�F��Vortunately�,�l/for����iF�T�����p��	�E�when���p��is�prime�to��N�_̹it�do�S�es�not�matter.�աBut�it�matters�a�lot�if��p�j�N��since�then�w��re����iFha��rv�e�>lnoncomm�uting�confusable�op�S�erators�and,�S]\this�has�resulted�in�lots�of�mistak�es�in�the����iFliterature."�����33?��k��������iF�11.5.�	#�MORE��ON�HECKE�OPERA��VTORS��䍹51�����덠�B�ƍ���iF�11.5��iBMore�z�on�Hec��u�k�e�z�Op��=erators��b#���iF�Our�2�goal�is�to�mo��rv�e�2�things�do��rwn�to��Q��from��C��or����S��z�
#��	�\��Q���V5�.��In�doing�this�w�e�w�an�t�to�understand������iF�T�����n��	��(or�p>�T�����p���]�),���that�is,�ho��rw�they�act�on�the�asso�S�ciated�Jacobians�and�ho�w�they�can�b�S�e�view�ed�as�����iFcorresp�S�ondences.�]In��c��rharacteristic��p��the�form�ulas�of�Eic�hler-Shim�ura�will�pla�y�an�imp�S�ortan�t�����iFrole.�����	:W��Ve�۱consider��T�����p��	��as�a�corresp�S�ondence�on��X�����1����(�N�@�)�or��X�����0���(�N�@�).��T��Vo�a��rv�oid�۱confusion�w��re�will�����iFmainly�#�consider��T�����p�����on��X�����0����(�N�@�)�with��p��C�6��?j�N��.��Th��rus�assume,�1�unless�otherwise�stated,�that��p��C�6��?j�N�@�.�����iFRemem��rb�S�er��that��T�����p����w�as�dened�to�b�S�e�the�corresp�ondence��)tN����|n����O��X�����0����(�pN�@�)���S덍����DE���m����
�����(��.�������������f���8㍒��&�������������X�����0����(�N�@�)���悽�X�����0����(�N�@�)�����)H���iFThink�V�of��X�����0����(�pN�@�)�as�consisting�of�pairs�(���E��뀉z�	f���	f�;���D�S��)�where��D��V�is�a�cyclic�subgroup�of��E�
߹of�order�����iF�p�M:�and����E���뀉z�	f���0�is�the��enhanc��ffe�d�M:�elliptic�curv��re�consisting�of�an�elliptic�curv�e��E�Q�along�with�a�cyclic�����iFsubgroup�u�of�order��N�@�.��The�degeneracy�map�����forgets�the�subgroup��D���and�the�degeneracy�����iFmap�������divides�b��ry�it.�8�By�con�tra�v��X�arian�t�functorialit�y�w�e�ha�v�e�a�comm�utativ�e�diagram��-ɍ���l����Y3�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)����������n�T���-:��.:����ƍ�p������=������UT����i>��-:�����
����������i�����������������������������������������������0�!�������D~�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)���&p�������3,��{�k���38��{�k����{�k���������3,���k��38���k�����k�����������3,������38�������������������3,������38�����������������^����e_b�S�����2����(�����0���(�N�@�))�����������E�T���p����
����7����Ě�!�������p��S�����2����(�����0���(�N�@�))��������iFOur��Econ��rv�en�tion�to�dene��T����2�������RA��p���	_�as�������������������O���2���g��instead�of��������������������2����عw��ras�completely�psyc�hological�b�S�ecause������iFthere��is�a�canonical�dualit��ry�relating�the�t�w�o.��W��Ve�c�hose�the�w�a�y�w�e�did�b�S�ecause�of�the�analogy�����iFwith��the�case�of�a�morphism��'�UR�:��Y����!��X��+�with��graph��whic��rh�induces�a�corresp�S�ondence��''�����Ë���Ľf���ű������8卒�7J���q�1���
�����d�.���������8卒׎����q�2���
������&�������������Y���ֻ�X�����''���iF�Since��the�morphism��'��induces�a�map�on�global�sections�in�the�other�direction���䍑fX��H���V����0���Z�(�X�Jg;����
�����1����)(�X��)�����h����'���-:����J����UR���I�!�����N�(�Y��p�)�UR=��H���V����0���(�Y��;����
�����1����)���T���iFit��\is�psyc��rhologically�natural�for�more�general�corresp�S�ondence�suc�h�as��T�����p��	���to�map�from�the�����iFrigh��rt��to�the�left.�����	:The�ŗmorphisms����&�and���o�in�the�denition�of��T�����p��	��are�dened�o��rv�er�ŗ�Q�.�ɬThis�can�b�S�e�seen�����iFusing�-�the�general�theory�of�represen��rtable�functors�[Ho�w?].��Th�us�since��T�����p���V�is�dened�o�v�er��Q�����iF�most�of�the�algebraic�geometric�ob��jects�w��re�will�construct�related�to��T�����p���v�will�b�S�e�dened�o�v�er�����iF�Q�.��'������iF�11.6��iBHec��u�k�e�z�Op��=erators�acting�on�Jacobians�����iF�The�E-Jacobian��J�r�(�X�����0����(�N�@�))��#=��J�����0���(�N�@�)�E-is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�dened�o�v�er��Q�.�	HnThere�are�b�S�oth�����iFco��rv��X�arian�t�/�and�con��rtra�v�arian�t�/�formations�of��J�����0����(�N�@�).���Th��rus�a�map���h�:�UR�X�����0���(�pN�@�)��!��X�����0���(�N�@�)�/�induces�����iFmaps���'����ِ�������J�����0����(�pN�@�)����@Q�J�����0����(�pN�@�)���&p�������������2�������3,��ӓ�x��38��ӓ?����ӓ?�����������3,���c?��38���c?�����cy������d�����������7�����c�J�����0����(�N�@�)����3(�J�����0����(�N�@�)��������4B��k�������iF�52�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����덠�B�ƍ�iF�Note�ؖthat���������E������������2���(�:�UR�J�����0����(�N�@�)��!��J�����0���(�N�@�)�ؖis�just�m��rultiplication�b�y��deg���Q(����)�UR=��p����+�1,��3since�ؖthere�are�����iF�p�va�+�1�S�subgroups�of�order��p��in����E���뀉z�	f����v�.��(A��rt�least�when��p��UV�6�URj�N�@�,�q�when��p�j�N����there�are�only��p��subgroups.)���C��	:W��Ve��;will�often�refer�to��T�����p��k��as�������p���as�Shim��rura�do�S�es�in�his�b�o�ok.�!fThere�are�t��rw�o��;p�ossible�w��ra�ys����iFto��{dene��T�����p��	{�=���������p��	عas�an�endomorphism�of��J�����0����(�N�@�).��ZW��Ve�could�either�dene��T�����p���as�������������6��������2���	��or����iFequiv��X�alen��rtly��as���������j���������O���2���	T��(assuming�still�that��p��UV�6�URj�N�@�).��$�H���iF�11.6.1��E�The�ffAlbanese�Map���U��iF�There���is�a�w��ra�y���to�map�the�curv��re��X�����0����(�N�@�)�in�to�its�Jacobian�since�the�underlying�group�structure����iFof���J�����0����(�N�@�)�is��D����?��J�����0����(�N�@�)�UR=��������������
�n�����s.�divisors��of�degree�0�on��X�����0���(�N�@�)����������
�o��������	�T�z��4�=s����� ����
n�����,�I�principal��divisors������j���
�o���������%�iF�Once��w��re�ha�v�e�c�hosen�a�rational�p�S�oin�t,�sa�y��1�,�on��X�����0����(�N�@�)�w�e�obtain�the�Albanese�map��|ɍ��:Y����:�UR�X�����0����(�N�@�)��!��J�����0���(�N�@�)�:��x��7!��x�����1����iF�whic��rh��7sends�a�p�S�oin�t��x��to�the�divisor��x��	��1�.��The��7map���AŹgiv�es�us�a�w�a�y�to�pullbac�k�dieren�tials�����iFon�eG�J�����0����(�N�@�).�	��Let��Cot��Sq�J�����0���(�N�@�)�denote�the�cotangen��rt�space�of��J�����0���(�N�@�)�(or�the�space�of�regular����iFdieren��rtials).�8�The��diagram��2�獍��ِ�����ʾCot������J�����0����(�N�@�)����������8;����-:��O�����ƍ�p�����
���S� ���[email protected]��������
��Cot��*���J�����0����(�N�@�)���&p�����W���S����2�������3,����?��38���?�����y�����
��o���%<o�����3,��?��38�?���y��������S����2�����������X�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)����������-��T���-:��.:����ƍ�p�����
���u� ������������	]=�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)�������iFma��ry�.b�S�e�tak�en�to�giv�e�a�denition�of�������p��׋�since�there�is�a�unique�endomorphism�������p��\��:��0�J�����0����(�N�@�)��!�����iF�J�����0����(�N�@�)��inducing�a�map������2���s���RA��p���	?�whic��rh�mak�es�the�diagram�comm�ute.����	:No��rw��supp�S�ose��is�a�corresp�ondence��X�F��!!�UR�Y���so�w��re�ha�v�e�a�diagram��,�����|n����f���S덍����DE�������
����۽d�.������������}����8㍒��&�����������dn�X���^Y�����,���iF�F��Vor�Ҳexample,��}think�of��as�the�graph�of�a�morphism��'�UR�:��X�F��!��Y��p�.�0��Ҳshould�naturally�induce����iFa��map��|ɍ�����H���V����0���Z�(�Y��;����
�����1����)����UR�����
��!�UR�H���V����0���(�X�Jg;��
�����1����)�:��&덑iF�T��Vaking��Jacobians�w��re�see�that�the�comp�S�osition��^!���])�J�r�(�X��)����2��������-:�����p���UR���5�!�������J��()�����h����������J����UR�����!�����R�J��(�Y��p�)��|ɍ�iFgiv��res��a�map���������j������������2���(�:�UR�J�r�(�X��)��!��J��(�Y��p�).�8�On��cotangen��rt�spaces�this�induces�a�map�����*����������~;������������V�:�UR�H���V����0���Z�(�Y��;����
�����1����)��!��H���V����0���(�X�Jg;����
�����1����)�:�����	:�No��rw,�y�after�]c�hoice�of�a�rational�p�S�oin�t,�y�the�map��X�	��!�%�J�r�(�X��)�induces�a�map��Cot��KH�J��(�X��)�%�!�����iF�H���V���2�0���Z�(�X�Jg;����
����2�1����).��This�!is�in�fact�indep�S�enden��rt�of�the�c�hoice�of�rational�p�S�oin�t�since�dieren�tials�on����iF�J�r�(�X��)��are�in��rv��X�arian�t��under�translation.�����5T��k��������iF�11.7.�	#�THE��EICHLER-SHIMURA�RELA��VTION:�P�AR�T�I����53�����덠�B�ƍ��	:The���map��J�r�(�X��)����!��J��(�Y��p�)���is�preferred�in�the�literature.��It�is�said�to�b�S�e�induced�b��ry�the������iFAlbanese���functorialit��ry�of�the�Jacobian.��W��Ve�could�ha�v�e�just�as�easily�dened�a�map�from�����iF�J�r�(�Y��p�)�UR�!��J��(�X��).�8�T��Vo��see�this�let������:�� �Ë�=�UR��������j���������������(�:��J�r�(�X��)��!��J��(�Y��p�)�:�����iF�Dualizing��induces�a�map�� ��n9���2�_��	�;�=�UR��������j���������O���2����.)��R����S�J�r�(�X��)����2�_��������h���_f� ��I{��-:�_���J�����~� ��dč���������j��������p�J�r�(�Y��p�)����2�_����&p����.>�o�����3,����38���������������o�����3,����38������������7���� ��J�r�(�X��)����]�J�r�(�Y��p�)��������iFwhere�9w��re�ha�v�e�used�the�fact�that�Jacobians�are�canonically�auto�S�dual.���This�canonical�dualit�y������iFis��discussed�in�Mumford's�[�17����]�and�[�18��]�and�in�Milne's�article�in�[�30��].��#^�����iF�11.6.2���The�ffHec���k�e�Algebra��pэ��iF�W��Ve��hno��rw�ha�v�e�������p����=�XL�T�����p���2���End��e	�J�����0����(�N�@�)��hfor�ev��rery�prime��p�.�>If��p�j�N��,���then�w��re�m�ust�decide�b�S�et�w�een�����iF��������y���������O���2���	kl�and������������������2���ӓ�.�|3The�usual�c��rhoice�is�the�one�whic�h�induces�the�usual��T�����p���v�on�cusp�forms.�����iFIf��y��rou�don't�lik�e�y�our�c�hoice�y�ou�can�get�out�of�it�with�A�tkin-Lehrer�op�S�erators.������	:Let�����u}+�T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����p���]�;��:�:�:���]�UR����End��b�J�����0����(�N�@�)��T	���iFthen��q�T��is�the�same�as��T�����Z��b�����End���(�S�����2����(�����0���(�N�@�))).��<T��Vo��qsee�this�rst�note�that�there�is�a�map�����iF�T�UR�!��T�����Z��	��whic��rh�c�is�not�a�prior�injectiv�e,�~�but�whic�h�is�injectiv�e�b�S�ecause�elemen�ts�of��End��p��J�����0����(�N�@�)�����iFare��completely�determined�b��ry�their�action�on��Cot�����J�����0����(�N�@�).��(�e����iF�11.7��iBThe�z�Eic��u�hler-Shim�ura�Relation:���P�art�I�����iF�J�����0����(�N�@�)��is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�dened�o�v�er��Q��so�it�is�natural�to�ask�for�those�primes��p��for�����iFwhic��rh��2�J�����0����(�N�@�)�ha�v�e�go�S�o�d��2reduction.�~In�the�1950's�Igusa�managed�to�sho�w�that��J�����0����(�N�@�)�has�����iFgo�S�o�d�treduction�for�all��p�?F�6�j�N�@�.��8He�tdid�this�b��ry�rst�viewing��J�����0����(�N��)�as�a�sc��rheme�o�v�er��sp�S�ec��b��Q�,�����iFthen���\spreading�things�out"�to�mak��re�an�ab�S�elian�sc�heme�o�v�er��sp�S�ec����Z�[1�=��X�N�@�].�+qHe�did�this�b�y�����iFtaking�#�the�Jacobian�of�the�normalization�of��X�����0����(�N�@�)�(whic��rh�is�dened�o�v�er��Z�[1�=��X�N�@�])�in��P�����Z�[1�=��N��"�]���{�.�����	:The�E�Eic��rhler-Shim�ura�form�ula�is�a�form�ula�for��T�����p��	
)�in�c�haracteristic��p��(or�equiv��X�alen�tly�for�����iFendomorphisms��L������p��	��2���"�End���(�J�����0����(�N�@�)�=�F�����p���]�))�for�all��p��for�whic��rh��J�����0���(�N�@�)�has�go�S�o�d��Lreduction�at��p�.�����iFSupp�S�ose�~no��rw�that��p�P:�6�P6j�N�@�,���then��X�����0����(�N��)�=�F�����p��	Ek�has�the�same�sort�of�prop�S�erties�as��X�����0����(�N��)�=�Q�.��In�����iFparticular��Oit�classies�enhanced�elliptic�curv��res����E���뀉z�	f���AZ�where����E���뀉z�	f�����=�Y�(�E��;���C�ܞ�)�is�an�elliptic�curv�e�o�v�er�����iF�F�����p����along��with�a�cyclic�subgroup�of�order��N�@�.�����	:Next�#w��re�ask�what�happ�S�ens�to�the�map�������p��
0Z�:�h��X�����0����(�N�@�)��!��X�����0���(�N�@�)�=�Q�#�in�reduction.���Th��rus�����iFconsider��the�corresp�S�ondence��,GP����|n����O��X�����0����(�N�@�p�)���S덍����DE���m����
�����(��.�������������f���8㍒��&�������������X�����0����(�N�@�)���悽�X�����0����(�N�@�)�����,�����iF�X�����0����(�N�@�)�Rhas�go�S�o�d�Rreduction�at��p�,�k�but��X�����0���(�N�@�p�)�ma��ry�not.�oF��Vortunately�Deligne�and�Rapap�S�ort�����iFsho��rw�ed���that��X�����0����(�N�@�p�)�has�relativ��rely�b�S�enign�reduction�at��p�.�0�The�rst�step�is�to�form�a�mo�del�����iFof�d��X�����0����(�N�@�p�)�=�F�����p���]�.�FOv��rer��F�����p���,���X�����0����(�N�@�p�)�can�b�S�e�though��rt�of�as�t�w�o�copies�of��X�����0����(�N�@�)�glued�b�y�pairing�����6d��k�������iF�54�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����덠�B�ƍ�iF�o��
the�sup�S�ersingular�p�oin��rts�(th�us�corresp�S�onding�sup�ersingular�p�oin��rts�are�glued).�*VThe�set�of�����iFsup�S�ersingular��p�oin��rts������y�UR���X�����0����(�N�@�)(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
CϹ)������iFis�Qthe�set�of�p�S�oin��rts�represen�ted�b�y�sup�S�ersingular�elliptic�curv�es.��There�are�only�nitely�man�y����iFof��these,�in�fact��g��+���1�where��g�X�is�the�gen��rus�of��X�����0����(�N�@�).����	:Next��w��re�m�ust�understand�the�follo�wing�constellation�of�diagrams��BJߍ���)*������X�����0����(�N�@�)���)���X�����0����(�N�@�)���&p�������3,���(����38���(������(���������O��&�����.�������3,��8�����38��8������8������������������3,���(���38���(������(���������O��X�����0����(�N�@�p�)�������3,��8�����38��8������8����������#�������3,���(�?��38���(�?�����(�y����������DE��Δ����
�����O��.����������������8㍒���&����������3,��6���?��38��6��?����6��y��������7������X�����0����(�N�@�)���)���X�����0����(�N�@�)�����L롍��iF�11.8��AiBThe�z�Eic��u�hler-Shim�ura�Relation:���P�art�I��=I��b#��iF�Supp�S�ose��5�p��is�a�prime,���p��0�6��,j�N�@�.���Consider�the�corresp�ondence��T�����p��	i��:��,�X�����0����(�N�@�)��!!��X�����0���(�N�@�)��5whic��rh����iFtak��res�� an�enhanced�elliptic�curv�e����E���뀉z�	f�����to�the�sum�������P���~͟��#�D�<r�=�p����,-��E��,-��뀉z�	f���5�\=D�'��of�quotien�ts�of����E���뀉z�	f�����b�y�subgroups����iFof��order��p�.�8�This�is�the�corresp�S�ondence��*������|n����O��X�����0����(�pN�@�)���S덍����DE���m����
�����(��.������������"f���8㍒���&�������������X�����0����(�N�@�)������X�����0����(�N�@�)�����+�F��iFF��Vrom�p�this�one�gets�������p��	��=�9X�T�����p���:��J�����0����(�N�@�)��!��J�����0���(�N�@�)�p�b��ry�functorialit�y��V.���(Henceforth�w�e�will�denote����iFShim��rura's��C������p�����b�y��T�����p���]�.)�ھThere�are�man�y�w�a�ys�to�think�of��J�����0����(�N�@�).�ھThe�cotangen�t�space��Cot���m�J�����0����(�N�@�)����iFof����J�����0����(�N�@�)�is�the�space�of�holomorphic�(or�translation�in��rv��X�arian�t)���dieren�tials�on��J�����0����(�N�@�),���whic�h����iFis��misomorphic�to��S�����2����(�����0���(�N�@�)).�6wThis��mgiv��res�a�connection�b�S�et�w�een�our�geometric�denition�of��T�����p�����iF�and���the�denition,���presen��rted�at�the�b�S�eginning�of�the�course,�of��T�����p��c5�as�an�op�S�erator�on�a�space����iFof��cusp�forms.����	:The��%Eic��rhler-Shim�ura�relation�tak�es�place�in��End����(�J�����0����(�N�@�)�����F���p���A�).��
Since��X�����0���(�N�@�)�reduces�\nicely"����iFin���c��rharacteristic��p�,���w�e�can�apply�the�Jacobian�construction�to��X�����0����(�N�@�)�����F���p���A�.��F��Vurthermore�the����iFnatural��reduction�map�������jEnd����)(�J�����0����(�N�@�))�UR�,���!���End��b(�J�����0���(�N�@�))�����F���p������iF�is��yinjectiv��re.�&[[Wh�y�is�this�true?�&It�seems�at�rst�glance�to�b�S�e�the�sort�of�thing�that�migh�t�b�S�e����iFfalse,��so��wh��ry�is�it�true?]]��]Let��F���:�UR�X�����0����(�N�@�)�����F���p���V��!��X�����0���(�N�@�)�����F���p���
�_�b�S�e��the�F��Vrob�enius�map�in�c��rharacteristic����iF�p�.��`Th��rus,�$]if���K����=����K�ܞ�(�X�����0����(�N�@�))�is�the�function�eld�of�the�nonsingular�curv�e��X�����0����(�N�@�),�$]then��F����is����iFinduced�'�b��ry�the��p�-th�p�S�o�w�er�map��K����!����K��:��a��7!��a����2�p���]�.��qBy�'�b�S�oth�functorialities��F��I�induces�maps����iFon��the�Jacobian�of��X�����0����(�N�@�)�����F���p���A�.��,���[������2����	G�V��J�er���p����~�����S�!�������������J�����0����(�N�@�)�����F���p��������J�����0����(�N�@�)�����F���p������x������2����٠�F��J�rob���p��� �� ��Hh��������������������*j���iF�Note��kthat��V��Ver��6L������F��Vrob���M=��/ F��Vrob��������V��Ver���=�/ �p��k�since��p��is�the�degree�of��F��ƹ.�
?)Since�the�Albanese����iFfunctorialit��ry��is�giv�en�b�y�pullbac�k�of�dieren�tials,��xR���� �F��Vrob���|=�UR�F����������and���1.V��Ver��F"S=��F��Vrob��������W�_��$~��=��F���Ɵ�����a��:�����7u���k��������iF�11.8.�	#�THE��EICHLER-SHIMURA�RELA��VTION:�P�AR�T�I�S�I��p׹55�����덠�B�ƍ����iF�Theorem��11.8.1�(Eic��hler-Shim�ura).�������The�35formula�of�Eichler-Shimur��ffa�is��9D����J�T�����p����=��URF��Vrob���+����V��Ver�����:�������iF�Pr��ffo�of.���2��View���X�����0����(�pN�@�)�����F���p����_�as�t��rw�o��copies�of��X�����0���(�N�@�)�����F���p����_�glued�along�corresp�S�onding�sup�ersingular������iFp�S�oin��rts.�8�No�w��consider�the�diagram�of�sc��rhemes�o�v�er��F�����p���]�.��:�f����_F���a��X�����0����(�N�@�)�����F���p�����_�X�����0����(�N�@�)�����F���p������Q������DE���ů�r��
��������&���������DE���@�s��
�����]�.��������������X�����0����(�pN�@�)�����F���p�����S덍����DE������
��������.�������������[email protected]���8㍒�]�&���������a��X�����0����(�N�@�)�����F���p�����_�X�����0����(�N�@�)�����F���p�������:�`���iF�W��Ve�m��rust�dene��r�U��and��s�.�Ho�w�can�w�e�dene�a�map��X�����0����(�N�@�)�����F���p���~g�!�}&�X�����0���(�pN��)�����F���p���O�in�c��rharacteristic�����iF�p�?��<A���p�S�oin��rt��of��X�����0����(�N�@�)�����F���p����]�is�an�enhanced�elliptic�curv�e����E���뀉z�	f����A�=��i(�E��;���C�ܞ�)�consisting�of�an�elliptic�����iFcurv��re�/V(not�necessarily�dened�o�v�er��F�����p���]�)�along�with�a�cyclic�subgroup�of�order��N�@�.��The�map�����iF�r�>6�sends�����E��ꨟ뀉z�	f���<�to�����E��ꨟ뀉z�	f����plus��an�isogen��ry�of�degree��p�,����������E����2�����frob���p���	i���
ZY����������?!����U��E�������(�p�)���9D���iF�where���E������2�(�p�)����is�the�curv��re�obtained�from��E��3�b�y�hitting�all�dening�equations�b�y�F��Vrob�S�enious,�����iFthat�dis,�~�b��ry��p�-th�p�S�o�w�ering�the�co�S�ecien�ts�of�the�dening�equations�for��E���.��W��Ve�m�ust�in�tro�S�duce�����iF�E������2�(�p�)��G�since�/��E���migh��rt�not�b�S�e�dened�o�v�er��F�����p���T�so�F��Vrob�S�enious�w�ouldn't�b�S�e�an�endomorphism�of�����iF�E���.�8�Th��rus���r�>6�is�the�map���0���iV�r���:���J�E��J�뀉z�	f����X�7!�UR�(���E��뀉z�	f���	f�;���E����2�����frob���p���	i���
ZY����������?!����U��E�������(�p�)���)�������iFand��similarly�w��re�dene��s��to�b�S�e�the�map�����Tq�s�UR�:���J�E��J�뀉z�	f����X�7!��(���E��뀉z�	f���	f�;���E����2����Q�v�Îer���p��	i� ��d|����������"�����'��E�������(�p�)������iF�where���3v��rer���is��3the�dual�of��frob��%.��W��Ve�ma��ry�view����¹as�the�map�sending�an�isogen�y��E�)�!�^�E������2�0����to�����iFthe��rcurv��re��E���,��dand�similarly�w�e�ma�y�view���,��as�the�map�sending�an�isogen�y��E������2�0�����!�W��E�6��to�the�����iFcurv��re����E������2�0���P�.�,MViewing�elemen�ts�of��X�����0����(�N�@�)�as�isogenies�of�degree��N�ҹis�equiv��X�alen�t�to�our�previous�����iFview�|�of��X�����0����(�N�@�)�as�consisting�of�pairs�(�E��;���C�ܞ�)�where��C�Y��is�a�cyclic�subgroup�of�order��N��,��tbut�����iFthe��isogen��ry�viewp�S�oin�t�is�b�S�etter�suited�to�the�purp�ose�at�hand.�8�Th��rus��������Q���h�:��������71(�E�	i�!�UR�E�������0���P�)��7!��E������������������:��������71(�E�������0��ע�!�UR�E���)��7!��E������0���������iF�It�Ջno��rw�follo�ws�immediately�that��������r���=��URid����and���)����s�UR�=��id��
�.�1�Note�Ջalso�that�������s�UR�=���)����r���=��F�����iF�is��the�map��E�	i�7!�UR�E������2�(�p�)���.�����	:A��rt���least�in�tuitiv�ely�w�e�ma�y�view��X�����0����(�pN�@�)�����F���p���
��as�the�disjoin�t�union�of�t�w�o�copies�of��X�����0����(�N�@�)�����F���p���A�.�����iFThen��&c9�������|n���S��X�����0����(�pN�@�)�����F���p�����S덍����DE��0�b���
����-J,�.�������������6Z���8㍒��w�&�������������X�����0����(�N�@�)�����F���p������&�X�����0����(�N�@�)�����F���p��������������1�=���|n���?�!�X�����0����(�N�@�)�����F���p�����S덍����DE���?��id��U-=���r��
�������.�������������D#�F�.:�=��i>��r��8㍒��W�&����������UR�X�����0����(�N�@�)�����F���p�����v���X�����0����(�N�@�)�����F���p����������7S鍍������+���|n���>�w�X�����0����(�N�@�)�����F���p�����S덍����������F�.:�=��i>��r��8㍑R�.���������DE���2��id���H!=���r��
�������&�������������X�����0����(�N�@�)�����F���p�����vHF�X�����0����(�N�@�)�����F���p����������)c8���iF�[[F��Vor��some�reason�I�guess�this�is�supp�S�osed�to�pro��rv�e��that��T�����p����=��URF�rob���+����V�er����.�8�Wh��ry?]]���+���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������8�%��k�������iF�56�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����덠�B�ƍ��iF�11.9��AiBApplications��b#��iF�W��Ve���ha��rv�e�the�relation��T�����p��	>��=��w5F��Vrob�� b+����V��Ver��3�in��End����(�J�����0����(�N�@�)�����F���p���A�).�7�Ho�w�can�w�e�apply�this�form�ula?�����iFConsider��the��`�-adic�T��Vate�mo�S�dule�������dDT��Vate����������`������(�J�����0����(�N�@�))�UR=�����lim����i���� ����c��������J�����0���(�N�@�)[�`�������3��]����
�����Z��i?�`����E�Q�����`�����iF�whic��rh��is�a�v�ector�space�of�dimension�2�g�n9�(�X�����0����(�N�@�))�o�v�er��Q�����`����.���When��`���6�=��p���the�image�of�����iFT��Vate���"������`��&���(�J�����0����(�N�@�))��^under�reduction�mo�S�d��p��is�basically�the�same�as�the�original�mo�dule�in�c��rharac-����iFteristic��0.���Denote�also�b��ry��T��Vate���K����`��C��(�J�����0����(�N�@�))�the�image�of��T��Vate���K����`���(�J�����0����(�N�@�))�under�reduction�mo�S�d��p�.����iFOn���QT��Vate���賟���`��ᙹ(�J�����0����(�N�@�))��Qw��re�ha�v�e�linear�op�S�erators��F��Vrob���e�����p��,ݹ,����V��Ver���������p��Z�and��T�����p�����whic�h�satisfy��T�����p����=��URF��Vrob���������p��!�ܹ+����V��Ver��������p�����iF�and�����kz2F��Vrob����#a����p����������V��Ver��������p�����=��URV��Ver����5����p��������F��Vrob����-����p��!�ܹ=�UR�p��=��m��rultiplication��b�y��p��d��:���䍑iF�Since���p��is�in��rv�ertible��(b�S�ecause��p��is�prime�to��`�),��������T�����p����=��URF��Vrob���������p��!�ܹ+�p�(�F���r�S�ob�����p���]�)������1�����iF�and��th��rus������{GF��Vrob�����W���$v�2��"���$v�p��������T�����p����[�F��Vrob���p�����p��%7�+�p�UR�=�0�:���䍑iF�This�Gxis�a�b�S�eautiful�quadratic�relation�and�so�w��re�should�b�e�able�to�get�something�out�of�it.����iFW��Ve��3will�come�bac��rk�to�this�shortly�,��but�rst�w��re�consider�the�v��X�arious�ob��jects�acting�on�the����iF�`�-adic��T��Vate�mo�S�dule.��8�T�ate���eB����`�� ^(�(�J�����0����(�N�@�))�is�acted�up�S�on�in�a�natural�w��ra�y��b�y���ȍ����Ů1.�����(�2Gal��;$�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)������Ů2.�����(�2End���=�����Q��E�g�(�J�����0����(�N�@�))����
�����Z��i?�`����E�Q�����`��㎹(whic��rh��acts�b�y�functorialit�y)����iFThese�y�actions�comm��rute�with�eac�h�other�since�endomorphisms�dened�o�v�er��Q��aren't�eected����iFb��ry�/{the�action�of�the�Galois�group�of��Q�.��|Reducing�mo�S�d��p��w�e�also�ha�v�e�the�comm�uting�actions�������Ů3.�����(�2Gal��;$�(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�)������Ů4.�����(�2End���=�����F���p���H�2�(�J�����0����(�N�@�))����
�����Z��i?�`����E�Q�����`����[��	:�Note��that�a�decomp�S�osition�group�group��D�����p������UR�Gal���(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�acts�(after�mo�dding�out�b��ry�the����iFcorresp�S�onding�4�inertia�group)�in�the�same�w��ra�y�4�as��Gal����(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�)�and�the�action�is�unramied,����iFth��rus���4�is�a�sp�S�ecial�case�of�1.�!�[[This�could�b�e�wrong,��nb�ecause�I'm�p�erp�etually�confused�ab�out����iFthis��idea.]]����	:The�ˠF��Vrob�S�enius�elemen��rts��F�rob��!I
�2���>�Gal��/�(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�)�and��F�rob��!I
�2���>�End���������F���p���$�>�(�J�����0����(�N�@�))�C��
�����Z��i?�`���
]p�Q�����`���induce����iFthe���same��op�S�erator�on�T��Vate�mo�dules.��In�other�w��rords,�M�on�the�T��Vate�mo�dule�the�morphism�����iFF��Vrob���#u����p��+�c�on���the�Jacobian�acts�in�the�same�w��ra�y���as��'�����p��0��2��i��Gal���H(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�).�\�Note�that�while��'��is�in�a����iFquotien��rt��of�a�decomp�S�osition�group�one�often�tak�es�a�lift�to�get�an�elemen�t��'�����p����2��UR�Gal���(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�).����	:On���T��Vate���
����`���(�J�����0����(�N�@�))��w��re�ha�v�e�a�quadratic�relationship��������'������2���ڍ�p���r�����T�����p���]�'�����p���+��p�UR�=�0�:����iF�This��pla��rys�a�role�when�one�tries�to�separate�out�pieces�of�the�Jacobian.�8�Let��������R�n��=�UR�Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����p���]�;��:�:�:���]�UR����End��b�J�����0����(�N�@�)����iFwhere�{�w��re�only�adjoin�those��T�����p��
C�with��p����6���j�N�@�.�	��Think�of��R����as�a�reduced�Hec�k�e�algebra,���in����iFparticular,���R��is�a�subring�of��T�.�8�Then��������R����
����Q�UR�=����������r��������Y���
㇍�S�i�=1������E�����i������9�ʠ�k��������iF�11.10.�	#�MORE��ON�EICHLER-SHIMURA��,�57�����덠�B�ƍ��iFwhere��3the��E�����i��!
�are�totally�real�n��rum�b�S�er��3elds.���The�factors��E�����i���are�in�bijection�with�the�Ga-������iFlois���conjugacy�classes�of�w��reigh�t���2�newforms��f���on������0����(�M�@�)�(for�some��M��j�N��).�j�Galois�acts�on�����iFnewforms��b��ry�hitting�their�co�S�ecien�ts.�8�The�bijection�is�the�map���v��{��f��Q�7!�UR�Q�(�co�S�ecien��rts��of��f��O��)�=��E�����i������iF�Observ��re�Վthat�the�map�is�the�same�if�w�e�replace��f���b�y�one�of�its�conjugates.���[[In�order�to������iFsee���this�don't�w��re�need�to�kno�w�that��Q�(�co�S�ecs��of��f��<�U�)�is�Galois?��?Do�w�e�kno�w�this?]]��?This�����iFdecomp�S�osition��is�a�decomp�osition�of�a�subring��L��N���R����
����Q�UR����End��b(�J�����0����(�N�@�))��
��Q����Dꍓ�def�����P�=�����ÒEnd��&�Q(�J�����0����(�N�@�)��
��Q�)�:���v���iF�Th��rus��it�induces�a�direct�pro�S�duct�decomp�osition�of��J�����0����(�N�@�),�]�so��J�����0���(�N�@�)�gets�divided�up�in��rto�����iFsub��rv��X�arieties�Ywhic�h�corresp�S�ond�to�conjugacy�classes�of�newforms.��A�X�newform�of�exact�lev�el�����iF�N�+��corresp�S�onds��to�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�of�dimension��N�@�.�����	:The��relationship������s�'������2���ڍ�p���r�����T�����p���]�'�����p���+��p�UR�=�0��Eō��iFreminds�Xjone�of�the�Caley-Hamilton�theorem�in�whic��rh�the�co�S�ecien�ts�w�ould�b�S�e�the�trace�and�����iFdeterminen��rt.�8�Th�us��it�seems�reasonable�to�exp�S�ect�that�����{M�T��Vr���a-�'�����p����=�UR�T�����p����U�and����15wdet���C�1�'�����p���=��p:�����iF�This��is�is�true�but�it�do�S�es�not�follo��rw�formally�from�the�giv�en�quadratic�relation.�It�is�pro�v�ed�����iFin��a�fairly�direct�manner�using�the�W��Veil�pairing.��'�1����iF�11.10��!�More�z�on�Eic��u�hler-Shim�ura��b#�����iF�R��ffemark�3511.10.1�(Useful�R�efer�enc�es).����!�A��rt���the�time�of�this�writing�(Marc�h,��1996)�sev�eral�useful�����iFpap�S�ers��on�last�y��rear's�F��Vermat�conference�could�b�e�obtained�via��ftp��from�����C���gauss.math.brown.edu:/dist/FermatConference�����	:�Viewing���T�����p����as�an�elemen��rt�of��End����g����F���p���#���(�J�����0����(�N�@�)�����F���p���A�)�w�e�ha�v�e�the�Eic�hler-Shim�ura�relation������J�T�����p����=��URF��Vrob���+����V��Ver�����:�����iF�Let�C��T��b�S�e�the�algebra�of�Hec��rk�e�C�op�erators�view��red�as�a�subring�of��End���P�����Q��!-�(�J�����0����(�N�@�)).�DPThen�since������iF�S�����2����(�����0���(�N�@�))��is�the�tangen��rt�space�to��J�����0����(�N��)������n�1�T������{|���UR�End���b����Q�� >��(�J�����0����(�N�@�))�UR����End���b����C�����(�J�����0���(�N�@�))�����������{|���UR�End���b����C�����(�Hom��y�(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)�:��������iF�[I��don't��understand�ho��rw�this�is�the�tangen�t�space!]�a"Th�us�the��T��constructed�b�S�efore�is�really�����iFthe��same�ring�of�Hec��rk�e��op�S�erators�as�w��re�obtained�via�the�mo�dular�forms�construction.�����	:Let�d)�X��c�=����T��Vate���B����`�� �(�(�J�����0����(�N�@�))�and�supp�S�ose��p��is�a�prime�dieren��rt�from��`�.�	�bIf��g��b�is�the�gen�us�����iFof�b��X�����0����(�N�@�)�then��X�T�is�a��Q�����`����-v��rector�space�of�dimension�2�g�n9�.�	��Since�the��`�-torsion�of��J�����0���(�N�@�)�����F���p�������iF�is��=the�reduction�mo�S�d��p��of�the��`�-torsion�of��J�����0����(�N�@�)�the�op�erator��T�����p��	���acts�on��X��.��Similarly�if�����iF�'�����p����2��"/�Gal��}�(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�cis�a�F��Vrob�S�enius�elemen��rt�then�there�is�an�asso�ciated�map��F��Vrob���2����p��%6��on��X��.���The�����iFEic��rhler-Shim�ura��relation�lifts�to�c��rharacteristic�0�to�giv�e�[[ho�w?�8�wh�y?�this��isn't�clear.]�����o�T�����p����=�UR�'�����p��r�+����p'�������1���ڍ�p���\|�:�����:�,��k�������iF�58�d��CHAPTER��11.�	#�HECKE�OPERA��VTORS�AS�CORRESPONDENCES�����뎌�;����k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{12��2���iFAb��
elian�	T{V����arieties�from�Mo�dular�����iFF����orms��6����iF�In�[ this�section�w��re�will�describ�S�e�ho�w�to�break��J�����0����(�N�@�)�up�in�to�sub�v��X�arieties��A�����f��	�?�corresp�S�onding������iFto��}cusp�forms��f�G��.�
K`This�w��ras�originally�done�b�y�Shim�ura,��see�Theorem�7.14�of�[�31����].�
K`Let�����iF�N����b�S�e��a�p�ositiv��re�in�teger�and�let��T��b�S�e�the�algebra�of�Hec�k�e�op�S�erators�on��J�����0����(�N�@�).���Let��T�����0��	�=�����iF�Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���:�UR(�n;�N�@�)�=�1]����T��l�b�S�e�the�subalgebra�of��T��obtained�b��ry�adjoining�to��Z��only�those�����iFHec��rk�e���op�S�erators��T�����n��
,��with��n��relativ��rely�prime�to��N�@�.��If��f��u�=��[v�����P��!�a�����n���P�q��n9���2�n����,��+let��E�����f��	ҕ�=�[v�Q�(�a�����1����;���a�����2���;��:�:�:��ʜ�).�����iFThen��as�in�the�previous�section��������T�����0��j��
����Q�UR�=�������Y���'؍��o�f������E�����f��w�;������iF�where��G�f�F�runs�o��rv�er��Ga�set�of�represen��rtativ�es��Gof�the�space�of�newforms�of�w��reigh�t��G2�and�lev��rel�divid-�����iFing��N��mo�S�dulo�conjugation�b��ry��Gal��LD(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�J�W��Ve�call�the�conjugates�of�a�newform�its�compan-�����iFions.���Eac��rh�8��f��Ϲin�the�pro�S�duct��T�����0���j�
�?f�Q��con�tains�a�pro��jection�������f���q�=�UR(0�;����:�:�:��ʚ;����0�;��1�;��0�;��:�:�:��;��0)�UR�2�������Q�����E�����f������iF�where�Uthe�1�is�in�the��f�G��th�p�S�osition.���Since��T�����0��i������T��and��T��is�free�o��rv�er�U�Z�,�(�these�pro��jectors�lie�����iFin��s�T���
��Q�.�3ASince��T��
��Q��is�comm��rutativ�e�and�the�������f��

��are�m�utually�orthogonal�idemp�S�oten�ts�����iFwhose��sum�is�(1�;����1�;��:�:�:��ʚ;��1)��w��re�see�that��T����
��Q�꨹breaks�in�to�a�pro�S�duct�of�algebras���x����z�T����
��Q�UR�=�������Y��������}>y
rsfs10�A���L����f��#�#�:���~���iF�(The��map�is��x�UR�7!�������P�����x�����f��w�.)��f������iF�Exer��ffcise�3512.0.2.���5��Sho��rw���that��dim���9G����E��i?�f����%���A���/_�����f��9{�is�the�n�um�b�S�er�of�divisors�of�����Fu�����N���2����z�,۟��N��"�(�f����)������?�where��N�@�(�f�G��)�is�the�����iFlev��rel��of�the�newform��f�G��.�����	:Let's�3	examine�a�particular�case�of�this�exercise.���Let��q��B�b�S�e�a�prime,�W�supp�ose��f�{�is�a�newform�����iFof��lev��rel��N�@�(�f�G��),�and��N��6�=�UR�N��(�f�G��)�q�X�with��q�Ï�6�URj�N��(�f�G��).�8�W��Ve�sho��rw�that���ڍ���:�A����������f�����=�UR�E�����f��w�[�U�@�]�=�(�U������2���������a�����q�����U�댹+��q�n9�)�����iFand�Їhence��dim���eϟ���E��i?�f����$�(�A���.������f��7X��=�UR2�whic��rh,���as�exp�S�ected,�is�the�n��rum�b�S�er�Їof�divisors�of��N�F:=��X�N�@�(�f�G��)�UR=��q�n9�.�0*The������iFrst��wstep�is�to�view���A����ӟ���f��i�as�the�space�of�op�S�erators�generated�b��ry�the��T�����p���Թacting�on�the�cusp�forms�����iF�f�G��(�d�W�)�t�for��d�j�(�N�F:=��X�N�@�(�f��)).��In�our�sp�S�ecial�case��T�����p��<�acts�as�the�scalar��a�����p���when��p��UV�6�URj�N�@�.��When��q�n9�j�N��,��J�T�����q���'؍��iF�acts��as�the�op�S�erator�often�called��U�����q�����.�88Recall�that��U�����q��}��corresp�onds�to�the�matrix������
�������M����P�a���q�����1��������
Y��q����0�������!H��
�����,[x�with��Ou���iFresp�S�ect��to�a�suitable�basis�(see�section�9).�8�Th��rus��U�����q����satises�the�relation��U����2��@��2��RA��q����������a�����q�����U�댹+��q�n9�.�������iF�Exer��ffcise�3512.0.3.���5��W��Vrite��꨽A���
�����f���˹in��general�as���ڍ�����E�����f��w�[��:���:�:��ʜ;���U�����q�����;��:�:�:���]�=I�����iF�where�N��I�@'�is�an�ideal�and�the��U�����q��㢹corresp�S�ond�to�primes�dividing��N�F:=��X�N�@�(�f�G��).�d�[Hin��rt:��See�Lemma������iF4.4��of�[�4����]�for�the�answ��rer.]�����‰#59����<�|��k�������iF�60�]���CHAPTER��12.�	#�ABELIAN�V����ARIETIES�FR��rOM�MODULAR�F�ORMS�����덠�B�ƍ�	:�One���can�dene�an�ab�S�elian�sub��rv��X�ariet�y����A�����f��
N�of��J�����0����(�N�@�)�as�follo��rws.�-As�ab�o��rv�e���let�������f��
N�b�e�the�����iF�f�G��th��;pro��jector�in��T�����0���A�
�$=�Q��G�=�������Q���ڞ���g�����E�����g�����.�P�W��Ve��;w��rould�lik�e�to�dene��A�����f��
Z�to�b�S�e�the�image�of��J�����0����(�N�@�)����iFunder�ܖ������f��w�.��But�������f��
S��isn't�an�endomorphism�of��J�����0����(�N�@�).�But�������f��
h=�2����End����(�J�����0����(�N�@�))�O`�
��Q�ܖ�so�there����iFexists����n��suc��rh�that��n�����f���)�2��j
�End��v�(�J�����0����(�N�@�)).�]eIt�th�us�mak�es�sense�to�let��A�����f���)�=�j
�n�����f��w�(�J�����0����(�N�@�)).�]eThis�is����iFindep�S�enden��rt,��up�to�isogen�y��V,�of�the�c�hoice�of��n�.������	:Due�to�the�fact�that��A�����f���;�is�only�dened�up�to�isogen��ry�it�is�natural�to�consider�the�category����iFof��Kab�S�elian�v��X�arieties�up�to�isogen��ry�(whose�ob��jects�are�ab�elian�v��X�arieties�and�morphisms�are����iFisogenies��Do��rv�er��Q�).�j�In�this�category��J�����0����(�N�@�)�is�decomp�S�oses�in�to�sub�v��X�arieties��A�����f��	rc�since�w�e�ha�v�e����iFan��isogen��ry��Pꍍ����}���Y���'؍��M��f����s��A�����f���q�!�UR�J�����0����(�N�@�)�:��!�8��	:�Ov��rer���C��w�e�can�view�this�decomp�S�osition�in�y�et�another�w�a�y��V.�8�Think�of��J�����0����(�N�@�)�����C��~��as���������J�����0����(�N�@�)�UR=��Hom����(�S�����2���(�����0���(�N�@�))�;����C�)�=H�����1���(�X�����0���(�N��)�;����Z�)�:����iF�T����acts�on��J�����0����(�N�@�)�via�the�action�of��T��on��S�����2���(�����0���(�N�@�)).�iThis�allo��rws�us�to�view��J�����0���(�N�@�)��natur��ffal���ly�����iF�as�@p�V�N8=�L��where��V���is�a�complex�v��rector�space�and��L��a�lattice�in��V��p�.�#The�Hec�k�e�algebra��T��breaks����iF�V�Oйapart��`in��rto�a�direct�sum��V�Gg�=���������L���O���f��wl�V�����f��w�.��F��Vortunately�,��since��`the�Hec�k�e�op�S�erators�act�on��V�����f�����iF�and�^�L��in�a�compatible�w��ra�y��V,�K�V�����f��:�\���L�^�is�a�lattice�in��V�����f��w�.��Th��rus��A�����f��		9�=���V�����f���=�(�V�����f��:�\���L�)�is�an�ab�S�elian����iFv��X�ariet��ry��V.����	:Supp�S�ose�\��A�����f��ӱ�and��A�����g��1��are�not�companions,�x�th��rus��f����is�not�congruen�t�to��g��˹mo�S�dulo�the�actions����iFof����Gal��8r(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�4>What���is�#(�A�����f��c�\��D�A�����g�����)?�The�general�answ��rer�isn't�kno�wn�but�exp�S�erimen�tal�and����iFtheoretical��evidence�indicates�that�this�n��rum�b�S�er��is�link��red�to�congruences�b�et��rw�een���f�2��and��g�n9�.����	:It�31is�imp�S�ortan��rt�to�emphasize�the�case�when��f�{0�is�a�newform�of�lev�el�exactly��N�t�in�whic�h����iFcase��꨽A���
�����f��Xu�=�UR�E�����f��	aǹ[[wh��ry?]].�8�Fix��suc�h�an��f�G��,�let��E�	i�=�UR�E�����f��	aǹand�let����������d�UR�=��dim����A�����f���q�=��dim���ꚟ���Q�� ��E�����f���=�[�E�����f���:��Q�]�:����iF�Let���`��b�S�e�a�prime�and�consider��T��Vate���
����`��"���the��Q�����`����-adic�T��Vate�mo�dule�of��A�����f��w�.�8�Recall�that�������T��Vate����?����`����=�����URlim����i���UR� ����c��������������ڞ�A�����f��w�[�`�������3��]�:���	��iF�Note���that��T��Vate����3����`������P���"k����԰���"S�=�����.��Q����2��d��y��`���ߨ�.�CThere�is�a�natural�action�of��E����
�����Q��	�'�Q�����`��~��on��T��Vate����3����`����.�By�algebraic�n��rum�b�S�er�����iFtheory��Pꍒƾ9�E�^��
�����Q��
��Q�����`��N8�=����UR���Y�����������j�`������E��������"r��iF�where������runs�through�primes�of��E�P��lying�o��rv�er����`��and��E�������
�denotes�the�completion�of��E��with����iFresp�S�ect��to�the�absolute�v��X�alue�induced�b��ry���.�8�Th�us��T��Vate���
����`��"���decomp�S�oses�as�a�pro�duct��Pꍍ����T��Vate���� >����`���nv�=����UR���Y�����������j�`�������T��Vate���+�
�������'���iF�where���T��Vate���
������$w�is��an��E�������	`�v��rector�space.�8�The�follo�wing�lemma�will�pro�v�e�useful.��#H����iF�Lemma��12.0.4.���g^��L��ffet�35the�notation�b�e�as�ab�ove.�fiThen�for�al���l�����������dim���ݗ`����E��i?������<��T��Vate���i������3Ź=�UR2�:�������iF�Pr��ffo�of.���02��W��Vrite���A�����f���5�=�f�V�����f��w�=�L�����f���.�VmThe�dimension�of��L�����f��(|�
��]�Q��as�a�v��rector�space�o�v�er��E�����f��	k��is��dim�����V�����f��w�=d����iF�[[UNFINISHED]]���s� ��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������=�u��k��������iF�12.1.�	#�COMPUTING��THE�DETERMINENT�OF�������������61�����덠�B�ƍ��	:No��rw���consider��T��Vate�����������"
�whic�h�is�an��E�������)��v�ector�space�of�dimension�2.�цSince�the�Hec�k�e�op�S�erators������iFare��dened�o��rv�er���Q��it�follo��rws�that��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�acts�on��T��Vate����}����`��$�~�in�a�w�a�y�compatible�with�the�����iFaction��of��E�^��
�����Q��
��Q�����`����.�8�W��Ve�th��rus�get�a�map��x���]�������`��N8�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���Aut���=����E�r��
��\r�5�E�tcmbx6�Q�����Q��i?�`����8�¹T��Vate���O�$����`��W,\�=��GL��������2����(�E�^��
�����Q��
��Q�����`����)�=�������Y���'؍��Q��������GL���%:C����2��)�G�(�E�������uZ�)�:��$4b���iF�Th��rus��������`��㎹is�the�direct�sum�of�maps���������	`�where����vKx��������ʬ�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���End���b����E��i?����$j�(�T��Vate���,b���������)�����iFgiv��res���the�action�of��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�on��T��Vate����B������!5��.�4�If��p�u]�6�uYj�`N��Ĺthen���������
	:�is�unramied�at��p�.�In�this�case������iFit��`mak��res�sense�to�consider���������uZ�(�'�����p���]�)�where��'�����p�����is�a�F��Vrob�S�enius�elemen�t�at��p�.�\Then���������uZ�(�'�����p���]�)�has�a�����iFw��rell-dened�D�trace�and�determinen�t�or�equiv��X�alen�tly�a�w�ell-dened�c�haracteristic�p�S�olynomial�����iF(�X��).��������iF�Theorem��12.0.5.���C�$�Supp��ffose�N
�p�a�6�aj�`N�@��.���L�et��(�X��)��b�e�the�char�acteristic�p�olynomial�of���������uZ�(�'�����p���]�)�.�����iFThen�����Ib�(�X��)�UR=��X������2��\/�����a�����p���]�X��+�+��p���ݍ��iF�wher��ffe�35�a�����p�����is�the��p�th�c�o�ecient�of�the�mo�dular�form��f�{4�(thus��a�����p�����is�the�image�of��T�����p���in��E�����f��w�).�������iFPr��ffo�of.���2��By��the�Ca��ryley-Hamilton�theorem����Z����������uZ�(�'�)�����2��j�������T��Vr���.(���������(�'�))���������(�'�)���+���det����d(��������uZ�(�'�))�UR=�0�:�����iF�Using�`]the�W��Veil�pairing�one�can�sho��rw�that��T�r��s�(��������uZ�(�'�))��=��a�����p���]�.��W�e�`]pro��rv�e�that��det���(��������uZ�(�'�))��=��p�.������iFThis��is�a�consequence�of�the�fact�that�������ZVdet�����(��������uZ�)�UR=�������`������iF�where��������`��㎹is�the��`�th�cyclotomic�c��rharacter�����
�������`��N8�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!��Z���������ڍ�`���V���E�����������ڍ��������iF�[[Apparen��rtly��one�con�tin�ues�from�here�b�y�arguing�that�the�F��Vrob�S�enii�are�dense�in�some�pro�duct�����iFand��so�Tc��rheb�S�etaro�v��densit�y�implies�something.]]�����ӄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����\����	:The�$�simplest�case�is�when��A�����f��	�ڹis�an�elliptic�curv��re.��In�[�33����]�it�is�sho�wn�that��det��vw(������`����)��+=�������`���.�����iFThis��is�pro��rv�ed��using�the�W��Veil�pairing.�V[[I���couldn't�nd�where�in�silv��rerman,��]but�I�didn't�lo�S�ok�����iFhard.]]�8�More��generally�w��re�dene�a�W��Veil�pairing������x�T��Vate����[�A�����f��!�������T��Vate����A������_���ڍ�f���	��!�UR�E�����`����(1)�:�����iF�Note���that��A�����f��
��is�not�necessarily�self-dual�as�w��ras�the�case�when��g��#�=���1.�Z�Note�also�that�the�����iFpairing��maps�in��rto��E�����`����(1)�instead�of��Q�����`���(1)�UR=���������
������UP����
g����`��_��.��(	����iF�12.1��iBComputing�z�the�Determinen��u�t�of����������b#���iF�Let�{��f�H0�=��1�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n���b�b�S�e�a�newform�of�w��reigh�t�{�2�and�lev��rel�exactly��N�@�.�	�rTh�us��f��عis�a�common�����iFeigenform��for�the�Hec��rk�e��op�S�erators�acting�on��S�����2����(�����0���(�N�@�))��and��f�4��is�orthogonal�to�the�forms�����iFof��|lo��rw�er�w�eigh�t.�3\Then��f��{�giv�es�rise�to�an�ab�S�elian�sub�v��X�ariet�y��A�t��=��A�����f��	�����J�����0����(�N�@�).�3\There�is�a�����iFcanonical�D�action�of��T����
��Q�D��on��A�.�FtSince��A��is�the�image�of��J�����0����(�N�@�)�under�the�pro��jection�map�����>�U��k�������iF�62�]���CHAPTER��12.�	#�ABELIAN�V����ARIETIES�FR��rOM�MODULAR�F�ORMS�����덠�B�ƍ�iF������f��w�,� the��action�of��T����
��Q���factors�through�the�quotien��rt��E�����f��	��=����Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�;��:�:�:���).��The��dimension�����iFof���A��is�equal�to�the�degree�[�E�����f���q�:�UR�Q�].�8�The�mo�S�dule������kT��Vate����=͟���`���6��(�A�)�UR=�����lim����i���� ����c��������A�[�`�������3��]����iFis��free�of�rank�2�o��rv�er����Ʃ*�E�����f��!��
����Q�����`��N8�=����UR���Y�����������j�`������E�������uZ�:��"W ��iF�Th��rus��w�e�obtain�a�decomp�S�osition�������_�T��Vate���̌����`��Є�(�A�)�UR=�������Y�����������j�`�������T��Vate���+�
������1Ld�(�A�)�:��'�E��iF�F��Vor��eac��rh����this�giv�es�a�map�����g���������ʬ�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���Aut���=����E��i?�����$�n�T��Vate���<�����D�|�=��GL����(2�;���E�������uZ�)�:����iF�If���p��a�6�aj�`N�2r�w��re�consider���������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��)�where��F��Vrob���������p��#�)�2���Gal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�is�a�F��Vrob�S�enius�elemen��rt�for��p��(note����iFthe�wnc��rhange�in�notation,���b�S�efore�w�e�called�the�F��Vrob�S�enius�elemen�t��'�����p���]�).��3W��Ve�next�discuss�wh�y����iF��������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��)��satises��X�����2�2��\/�����a�����p���]�X��+�+��p�UR�=�0.��������iF�Theorem��12.1.1.���p�$�L��ffet�the�notation�b�e�as�ab�ove.�Then���T��Vr���(��������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��))�UR=��a�����p���^�and���det��Q�(���������(�F��Vrob����/����p��p��))�=����iF�p�.����	:�The�H�main�step�is�to�sho��rw�that��det������������	j��=���������`����.�SoIn�order�to�do�this�w�e�m�ust�rst�in�tro�S�duce����iFthe��W��Veil�pairing�on��T�ate���
����`��!��A�.�8�W�e�need�a�little�bac��rkground�on�ab�S�elian�v��X�arieties.��)T2���iF�12.2��AiBDualit��u�y�z�and�P�olarizations���F��iF�Let�\�A��b�S�e�an�ab�elian�v��X�ariet��ry��V.��2A�[��divisor��on��A��is�an�in�tegral�linear�com�bination�������P����m�����i��d��D�����i����of����iFco�S�dimension�� 1�algebraic�sub��rv��X�arieties��D�����i��dڹ.�3�If��f�#�is�a�rational�function�on��A��then�w�e�dene�the����iF�divisor��of��f�2��to��b�S�e��������(�f�G��)�UR=�������X�������(�ord����؟���D���z�f��)�D�S�:��Ι��iF�(See��Hartshorne�[�7����]�I�S�I.6�for�the�denition�of��ord���〟���D���"�f�G��.)������	:Tw��ro��1divisors��D�����1���5�and��D�����2���are��linearly���equiv��@alen��t��(denoted��D�����1��"*��b&�D�����2����)�if��D�����1��o������D�����2���=�b&(�f�G��)����iFfor��some�rational�function��f�G��.��}W��Ve�denote�b��ry��Pic��wz(�A�)�the�group�of�divisors�mo�S�dulo�linear�equiv-����iFalence.���Tw��ro��divisors��D�����1��ׯ�and��D�����2���are��algebraically���equiv��@alen��t��if��D�����1���is�linearly�equiv��X�alen��rt����iFto��2a�translate�of��D�����2���6�(i.e.�5��D�����1��V��UR�D�����2��WY�+��U�a��for�some��a��2��A�).�5�The�subgroup�of��Pic��\-(�A�)�of�divisors����iFalgebraically�9equiv��X�alen��rt�to�zero�is�denoted��Pic����4���x�0���8�(�A�).���It�is�a�fact�that��Pic����4���x�0���(�A�)�is�an�ab�S�elian����iFv��X�ariet��ry�=,called�the��dual��of��A��and�denoted��A����2�_��*��.��In�the�more�general�arithmetic�setting��Pic����'���x�0��x+�(�A�)����iFis�vreplaced�b��ry�isomorphism�classes�of�certain�in�v�ertible�shea�v�es�of�degree�0.�A�u��p�`olarization����iF�of���A��is�an�isogen��ry��A�UR�!���Pic����M���x�0���Q�(�A�)��of�the�form�������a�UR�7!��t���������ڍ�a�����L���
�L������1�����iF�where��/�t����2����RA��a���	���is�translation�b��ry��A��and��L��is�an�ample�in�v�ertible�sheaf.�duF��Vor�further�details�sees����iFMilne's���article�[�16����]�or�Murt��ry's�b�S�o�ok���[�19��].�*�[[I'v��re�giv�en�t�w�o�dieren�t�denitions.�*�Th�us�I'v�e����iFcorned�.�m��ryself�and�should�probably�rewrite�all�of�the�ab�S�o�v�e�as�so�S�on�as�I�.�ha�v�e�a�b�S�etter�idea����iFof��what�is�going�on�from�Milne's�p�S�oin��rt�of�view.]]�����?�9��k��������iF�12.3.�	#�THE��WEIL�P��VAIRING�36��63�����덠�B�ƍ��	:Since����A��u���J�����0����(�N�@�),��>auto�S�dualit��ry�giv�es�an�isomorphism��J�����0����(�N�@�)����2���1#����p����u���XG!�������J�����0���(�N��)����2�_��
�i�so���w��re�obtain�a������iFcanonical��p�S�olarization��'�UR�:��A��!��A����2�_��*��.�8�The��diagram�is��,>�����fd����x��J�����0����(�N�@�)�������h������autodual�Kity��J���������S��������������������������������������������������!�������#�J�����0����(�N�@�)����2�_������������[�����8#���e������;�A�������h���7�pol�Kar�<riz�V�ation��J������������j���������������������������������������������������������/!�������Al�A����2�_������6F>����iF�12.3��iBThe�z�W��aGeil�P��u�airing������iF�Let���A�:D�=��A�����f��
~��b�S�e�the�ab�elian�v��X�ariet��ry�connected�to�the�mo�dular�form��f�G��.���One�can�dene�a�����iFbilinear��pairing�������A�[�n�]������A�����_��*��[�n�]�UR�!���������
������UP����
g����n���O���iF�whic��rh��Iis�a�natural�generalization�of�the�W��Veil�pairing�for�an�elliptic�curv�e.��See��x�16�of�Milne's�����iFarcticle��R[�16����].�k�The�canonical�p�S�olarization�of��A��is�an�isogen��ry��'����:��A��!��A����2�_��*��.�Com��rbining��Rthis�����iFwith��the�pairing�giv��res�a�map�������A�[�n�]������A�[�n�]�UR�!���������
������UP����
g����n���O���iF�whic��rh��Eis�alternating.���But�it�is�not�a�p�S�erfect�pairing.�F��Vortunately�,���up�S�on��Etaking�limits,�w��re�����iFobtain��a�p�S�erfect�pairing����>��(��;�����)�UR:��T��Vate���������`��z��(�A�)�������T��Vate����
����`����(�A�)�UR�!��Q�����`����(1)�=�����lim����i���� ����c�������������bǞ������
�����͟���`���������'���
�����Z��i?�`����E�Q�����`���:�����iF�If���t�UR�2��T�����0��j��
����Q�����`��㎹then�(�ta;���a����2�0���9�)�=�(�a;�ta����2�0���9�).�������	:Using��the�p�S�olarization��'��w��re�can�construct�a�map��End���g(�A�)�UR�!���End��b(�A�)����
��Q�꨹b�y�����W��t�UR�7!��t�������V�=��'������1��\|�t�����_��*��':�����iF�The�يmap��t�UR�7!��t����2������is�يcalled�the��Rosati�F4in��v�olution�ي�and�has�the�prop�S�ert��ry�that�(�ta;���a����2�0���9�)�UR=�(�a;�t����2�����a����2�0���9�)������iFfor���a;���a����2�0��#��2��UR�T��Vate���������`��z��(�A�).�����	:No��rw��restrict�the�form����l��(��;�����)�UR:��T��Vate���������`��z��(�A�)�������T��Vate����
����`����(�A�)�UR�!��Q�����`����(1)�����iFto���T��Vate���
������ �d�(�A�)��obtaining����i_��h�;����i�UR�:��T��Vate�������������(�A�)�������T��Vate����
������Ld�(�A�)�UR�!��Q�����`����(1)�:��O���iF�The���form��h�;����i��is�alternating�and�nondegenerate.�t�The�nondegeneracy�follo��rws�from�the�non-������iFdegeneracy�T�of�(��;�����)�and�the�fact�that�(�T��Vate���,b���������;���T��Vate���,`����������0���!S��)�	�=�0�T�when���	��6�=������2�0���9�.�wKThe�T�pairing��h�;��i��is�����iFGalois��equiv��X�arian��rt�in�the�follo�wing�sense.�8�If����2��UR�Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�and��x;���y��2��UR�T��Vate�����������#ᶹthen���Í�u^\�h��n9x;����y��i�UR�=���n9�h�x;�y��i�UR�=�������`����(��n9�)�h�x;�y��i�:�����iF�Note��that���X�acts�on��Q�����`����(1)�b��ry�m�ultiplication�b�y�������`����(��n9�).��(������iF�12.4��iBThe�z�F��aGancy�Pro��=of������iF�There�L(are�t��rw�o�L(pro�S�ofs�of�the�theorem,�d�a�fancy�pro�of�and�a�concrete�pro�of.�]aW��Ve�rst�presen��rt������iFthe��fancy�pro�S�of.�8�The�pairing��h�;����i��is�a�alternating�and�bilinear�form�so�it�denes�a�map�������h�;����i�UR�:�������2���ڍ�E��i?������
�W�T��Vate���$ѹ������-�e�!��Q�����`����(1)�:�����@��k�������iF�64�]���CHAPTER��12.�	#�ABELIAN�V����ARIETIES�FR��rOM�MODULAR�F�ORMS�����덠�B�ƍ�iF�It��is�not��a��]priori��true�that�w��re�can�tak�e�the�w�edge�pro�S�duct�o�v�er��E�������
^�instead�of��Q�����`����,���but�w�e�����iFcan��b�S�ecause��h�tx;���y�n9�i�UR�=��h�x;�ty�n9�i�꨹for�an��ry��t�UR�2��E�������uZ�.�8�Let���D���=�����2�2�����T��Vate����d������'Lf�and�note�that��dim�������E��i?����%%G�D���=�1.����	:There��is�a�trace�map�whic��rh�giv�es�an�iden�tication����������Hom����8+����Q��i?�`������(�D�S�;����Q�����`����(1))�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����E��i?����4ݹ(�D�;�E�������uZ�(1))����iFTh��rus�9��h�;����i��is�an�isomorphism��D�����P���/�����԰���H��=�����`��E�������uZ�(1).�&S[[I�9�don't�see�this�implication�righ�t�no�w.]]�&SIt�no�w�����iFfollo��rws��that��det��<b��������ʬ�=�UR������`����.��'�����iF�12.5��AiBThe�z�Concrete�Pro��=of��b#��iF�No��rw�D,w�e�consider�the�concrete�pro�S�of.�	EmSupp�ose�����2���n�Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�),���then�w��re�m�ust�sho�w�that�����iFdet���(��n9�)�5l=�������`����(���).���Cho�S�ose�nQv��rectors��x;���y����2��5l�T��Vate���aΟ�����%Ey�whic�h�are�linearly�indep�S�enden�t�o�v�er��E�������uZ�.���Let����iF�a;���b;�c;�d��^�2��E�������	��b�S�e�D�dened�b��ry���n9�(�x�)��^=��ax���+��cy��̹and�D����(�y��)��^=��bx���+��dy��.�F�Let�D���a��=��^�ad����bc���������`����(���),����iFth��rus��w�e�w�an�t�to�sho�w�that���Ȅ�=�UR0.�8�W��Ve�ha�v�e���������o>������`����(��n9�)�h�x;���y��i��������rb�=�UR�h��n9x;����y��i������������rb�=�UR�h�ax����+��cy�n9;���bx��+��dy��i�����������rb�=�UR�h�ax;���bx�i����+��h�ax;�dy�n9�i��+��h�cy�;���bx�i��+��h�cy�;���dy��i�����������rb�=�UR�h�ax;���dy�n9�i����+��h�cy�;���bx�i�����������rb�=�UR�h�adx;���y�n9�i����h�bcx;�y�n9�i�UR�=��h�(�ad������bc�)�x;�y�n9�i�������iF�T��Vo��see�that��h�ax;���bx�i�UR�=�0��w��re�noted�that��������h�ax;���bx�i�UR�=��h�abx;�x�i��=��h�x;�abx�i��=��h�ax;�bx�i�:����iF�[[Of���course�it�lo�S�oks�lik��re�the�next�step�is�to�o�use�nondegeneracy�to�conclude�that�������`����(��n9�)��_=�����iF�ad������bc�,�+3but�Kit�is�not�clear�to�me�ho��rw�to�safely�do�this.���My�problem�is�that�the�expression����iF(�ad������bc�)�h�x;���y�n9�i�G��do�S�es�not�really�mak��re�sense�unless�w�e�kno�w�that��ad������bc��b�2��Q�������uZ�(1)�G�and,�^�ev�en����iFthen,�J7wh��ry�7is�this�equal�to�the�last�expression?�6I�7clearly�lac�k�some�crucial�bit�of�kno�wledge����iFab�S�out���Q�������uZ�(1)]]��'�����iF�12.6��AiBThe�z�Construction�for��X�����1��_��(�N���)��b#��iF�Let���f��Q�=��UR�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n��	�b�S�e�a�newform�for������1����(�N�@�),�Јso��f�G��j�T�����n�����=�UR�a�����n���f���for�all��n�UR���1��and��f�G��jh�d�i�UR�=��"�(�d�)�f��for����iFall�w��d�UR�2��(�Z�=��X�N�@��Z�)����2�����.��In�the�case�of��X�����1���(�N�@�),����E�����f����is�either�totally�real�or�it�can�b�S�e�a�CM�w�eld.��If�it����iFis���a�CM���eld�then�it�has�a�canonical�complex�conjugation����:
�z�UV��������
<H�:�UR�a�����n�����7!��"�(�n�)����2��1��\|�a�����n���P�.�3The���analogous����iFform��rulas��are���������$T��Vr����(������`����(�F��Vrob����/����p��p��))�������(�=�UR�a�����p�����������������det�����(������`����(�F��Vrob����/����p��p��))�������(�=�UR�"�(�p�)�p�������	:�There�j�are�some�details�concerning�signs�whic��rh�w�e�m�ust�consider.��NFirst,���for�ev�ery��p��w�e����iFcan�@dene��T�����p��ם�as�a�corresp�S�ondence�on��X�����1����(�N�@�)�with���#Ϲand������dened�in�an�analogous�w��ra�y�@to�the����iFw��ra�y���they�w��rere�dened�in�the�case�of��X�����0����(�N�@�).�i{But�no�w�w�e�m�ust�c�ho�S�ose�if�the�corresp�onding����iFendomorphism�]�of��J�����1����(�N�@�)�should�b�S�e�(�T�����p���]�)���������or�(�T�����p���)����2�����.�	�The�second�c��rhoice�concerns�what�happ�S�ens����iFin�>gthe�Eic��rhler-Shim�ura�>grelation.�	4Recall�that��X�����1����(�N�@�)�classies�pairs�(�E��;���p�)�where��E��~�is�an����iFelliptic���curv��re�and��p��is�a�p�S�oin�t�of�order��N�@�.��Equiv��X�alen�tly��V,�M�X�����1����(�N��)���classies�pairs�consisting����iFof�N;an�elliptic�curv��re�and�an�em�b�S�edding��Z�=��X�N�@��Z����,���!��E���.�c�But�N;this�is�a�bad�w�a�y�to�lo�S�ok�at�this.�����A��k��������iF�12.6.�	#�THE��CONSTR��rUCTION�F�OR��X�����1����(�N�@�)���A65�����덠�B�ƍ��iFA��b�S�etter���w��ra�y�is�to�view��X�����1����(�N�@�)�as�classifying�pairs�consisting�of�an�elliptic�curv�e�and�an������iFem��rb�S�edding��������AX������������
�^����N����,���!�UR�E�9��b�ecause���the�asso�S�ciated�T��Vate�curv�e�has�a�cop�y�of��������AX������������
�^����N��6?�naturally�sitting�in�����iFit.�)BWhen���passing�to��J�����1����(�N�@�)�w��re�tak�e�the�Picard�functoralit�y�suc�h�that�if��T�����p����:�UR�J�����1����(�N�@�)��!��J�����1���(�N�@�)�����iFthen��(�T����2�����_��RA��p����v�)����2������on��H���V���2�0���Z�(�X�����1����(�N�@�)�;����
����2�1���)�UR=��S�����2����(�����1���(�N��))��is�the�classical��T�����p���]�.�����B""��k�������iF�66�]���CHAPTER��12.�	#�ABELIAN�V����ARIETIES�FR��rOM�MODULAR�F�ORMS�����뎌�C%���k�������덠����iF�Chapter�	T{13��2����iFThe�	T{Gorenstein�Prop��
ert��8�y��6�����iF�Supp�S�ose��=�f��Q�=��UR�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n��	ƹis�a�newform�of�exact�lev��rel��N�@!�and�w�eigh�t�2�for�the�congruence�subgroup������iF�����0����(�N�@�).�.�Let�̴�E�	i�=�UR�Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�;��:�:�:���)�̴and�let����b�S�e�a�place�of��E��˹lieing�o��rv�er�̴the�prime��`��of��Q�.�.�The�����iFaction�݅of��Gal��95(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�on�the��`�-adic�T��Vate�mo�S�dule�of�the�ab�elian�v��X�ariet��ry��A�����f��
T��asso�ciated�to��f�����iF�giv��res��rise�to�a�represen�tation�����9���������ʬ�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���GL��������2����(�E�������uZ�)�����iFwith����det������������x�=��������`��	�ǹand����T��Vr���e��������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��)�=��a�����p��
�>�for����p��"�6�j�`N�@�.�
ߊW��Ve�ask,�Eoho��rw�can�w�e�reduce�this������iFrepresen��rtation��mo�S�dule���?��ꍍ���iF�Lemma��13.0.1.���:^��L��ffet�t.�O�Ʉ�b�e�the�ring�of�inte�gers�of��E�������uZ�.�)TThen���������	��is�e�quivalent�to�a�r�epr�esen-�����iFtation�35which�takes�values�in���GL����П���2���Թ(�O�UV�)�.�������iFPr��ffo�of.���2��View��xGL��������2��Ǡ�(�E�������uZ�)�xas�the�group�of�automorphisms�of�a�2�dimensional��E��������-v��rector�space��V��p�.�����iFA���lattice���is�a�free��O�UV�-mo�S�dule�of�rank�2�suc��rh�that��L�/�
��E�����������P���ʬ����԰���㔹=�����uU�V��p�.�!LIt���suces�to�nd�an��O��-lattice�����iF�L���in��V��c�whic��rh�is�in�v��X�arian�t�under�the�action�(via���������uZ�)�of��Gal��[�(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�x�F��Vor�then�the�matrices�of������iFGal�����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��awith�resp�S�ect�to�a�basis�of��V�eѹconsisting�of�v��rectors�from��L��will�ha�v�e�co�S�ecien�ts�in�����iF�O�UV�.�&oCho�S�ose��-an��ry�lattice��L�����0��	-^��mZ�V��p�.�Since��L�����0��	O1�is�discrete�and��Gal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�is�compact�the�set�of�����iFlattices�M
�g�n9L�����0��	
�with��g�k�2���ǹGal��Xw(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�is�nite.�`Let��L��ǹ=�������P���r�g�L�����0��	
�b�S�e�M
the�sum�of�the�nitely�man��ry�����iFconjugates��of��L�����0����,�then��L��is�Galois�in��rv��X�arian�t.����1U��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����ٍ��iFIt��no��rw�mak�es�sense�to�let����d��z�t��K������	���T����ȹ=�UR���������
uR�mo�S�d��'����.�8�This�is�expressed�b�y�the�diagram��)�ݍ���J�������hGal���<(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�������h���d���i?����J������������!��������>_�GL����������2������(�O�UV�)�������³��&����ir#����������GL����p�����2���0��(�O�UV�=�)�����)Sݍ��iFThe���dra��rwbac�k�to�this�approac�h�is�that����d��z�t��K���������T����޹is�not�in�trinsic�b�S�ecause�the�denition�dep�ends�����iFon���the�c��rhoice�of��L�����0����.��qIn�fact,��:it�is�p�S�ossible�to�obtain�nonisomorphic�represen�tations����d��z�t��K������
����T���Թb�y�����iFdieren��rt��c�hoices�of��Gal��r�(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)����!���GL���0V����2���Z�(�O�UV�).���By�nonisomorphic�w��re�mean�nonisomorphic�o�v�er�����iF�O�?��(the��represen��rtations�are�isomorphic�o�v�er��E�������uZ�).�������	:The�-go�S�o�d�denition�is�to�let����d��z�t��K������	<���T������b�e�the�semisimplication�of�the�reduction�of����������q�mo�dulo���.�����iFBy���the�semisimplication�of�a�represen��rtation�w�e�mean�the�direct�sum�of�the�Jordan-H�� older�����iFfactors�LCin�a�ltration�of��V��p�.�]�Supp�S�ose���i��:���tGal��W$(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��t�!���GL��������2��K�(�F�)�LCis�a�mo�d��`��Galois�represen-�����iFtation.���If�qN�g����2��:��Gal���2(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�then�the�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of�the�action�of��g�߇�in�the�mo�d�����iF���T�represen��rtation�is�the�same�as�the�c�haracteristic�p�S�olynomial�of��g�K��in�the�semisimplication.�����iFThe�frepresen��rtation����d��z�t��K������	u���T���Q�is�semisimple�(since�it�is�a�semisimplication)�and��det����ן�d��z�t��K�������K��T���$���=�UR������`����޹mo�S�d��&~ �`�����iF�is�i#the�mo�S�d��`��cyclotomic�c��rharacter,���so�for�example�������`����(�F��Vrob����/����p��p��)��Y=��p�����mo�d��"�:�`�.�	�QF��Vurthermore,�����‰#67����D&��k�������iF�68�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ��iF�T��Vr��|�(���d��z�t��K������t��T����ι(�F��Vrob����/����p��p��))�D=��a�����p����U�mo�S�d��'L���.��
This�`�sho��rws�that�the�c�haracteristic�p�S�olynomials�corresp�onding�����iFto���N��d��z�t��K������	�Ÿ�T���j�are��Nindep�S�enden��rt�of�our�c�hoice�of�an�isomorphic�represen�tation�with�v��X�alues�in��GL���R����2���(�O�UV�).����iFTh��rus��the�follo�wing�theorem�implies�that����d��z�t��K������	���T���Z�only�dep�S�ends�on��f�2��and���.���5����iF�Theorem��13.0.2�(Brauer-Nesbit).���ӥZ�Supp��ffose�w������1����;��������2��	���:���G��!���GL����(�V��p�)��ar��ffe�two�nite�dimen-����iFsional���semisimple�r��ffepr�esentations���of�a�gr��ffoup��G��over�a�nite�eld��k�g�.��	Assume�furthermor�e����iFthat�$�for�every��g�Ë�2�UR�G��the�char��ffacteristic�p�olynomial�of�������1����(�g�n9�)��is�the�same�as�the�char�acteristic����iFp��ffolynomial�35of�������2����(�g�n9�)�.�fiThen�������1���9�and�������2���ar��ffe�e�quivalent.����	:�The��pro�S�of�can�b�e�found�in�section�30.16�of�[�3����].���	:The��pHec��rk�e�op�S�erators��T�����n��D��act�on�the�space��S�����2����(�����0���(�N�@�)).��xLet��T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End��b(�S�����2����(�����0���(�N�@�)))����iFand��precall�that��T��is�a�comm��rutativ�e��pring�whic��rh�is�a��Z�-mo�S�dule�of�rank�equal�to��dim���1�����C��ţ�S�����2����(�����0���(�N�@�)).����iFLet���m��b�S�e�a�maximal�ideal�of��T��and�let��k��o�=�UR�T�=�m��=��F�����`�����������b�e��the�residue�eld.������iF�Prop�`osition��13.0.3.����x��Ther��ffe�35is�a�(unique)�semisimple�r�epr�esentation���썒�q#������m���:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���GL��������2����(�k�g�)����iF�such�35that�������m�����is�unr��ffamie�d�35outside��`N�t�and���������&��T��Vr���:=(������m�����(�F��Vrob����/����p��p��))��������N=�UR�T�����p����Q�mo�S�d��+L��m��������������聹det����:=(������m�����(�F��Vrob����/����p��p��))��������N=�UR�p����mo�S�d��&�6�m�����:�����iF�Pr��ffo�of.���02��It��is�enough�to�pro��rv�e��the�assertion�with��T��replaced�b��ry�����>��T�����0��V�=�UR�Z�[�f��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���:�(�n;�N�@�)�=�1�g�]�:����iF�Indeed,� �a�maximal�ideal�of��T��pulls�bac��rk�to�a�maximal�ideal�of��T�����0����[[wh�y�is�this�true�in�this�����iFcase?]]�8�and���k�����0��V�=�UR�T�����0����=�m�����0�����k�g�.�8�No��rw��&jҍ��@��T�����0��V��UR�T�����0��j��
����Q��=�������	w�t��������Y���
㇍�S�i�=1������E�����i���&b���iF�with��the��E�����i��O��n��rum�b�S�er��elds.�8�Let��O�����E��8:�i���
�ʹb�e�the�ring�of�in��rtegers�of��E�����i��O��and�let��O����=��UR�����Q�����O�����E��8:�i���	�"�.�8�Then��ꐍ��P��m�����0��V��UR�T�����0����������Y�������O�����E��8:�i���	�"�:��名�iF�By�fthe�going-up�theorem�there�is�a�maximal�ideal���UR��������Q�����O�����E��8:�i���
M'�lieing�fo��rv�er��m�����0����,���and��k�����0��V��URO�UV�=�.����iFUsing��the�construction�outlined�ab�S�o��rv�e��(the�eld��E����is�the�only��E�����i��~��for�whic��rh��E�����i��/��\�ʩ���U�6�=�0)��w�e����iFcan��mak��re�a�represen�tation���썍���Ÿ�d��z�t��K�������6��T������:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���GL��������2����(�O�UV�=�)���>��iFwith��Zdet���`��d��z�t��K������o���T���(*��=�E�������`��	@�and��ZT��Vr���!ޟ�d��z�t��K������1R��T���#�~�=��T�����p����U�mo�S�d��'L��m�Z�(b�S�ecause�of�the�w��ra�y�Zw�e�ha�v�e�set�things�up��T�����p�����iF�pla��rys�RLthe�role�of��a�����p���]�).�	o�Th�us�this�represen�tation�has�the�required�prop�S�erties,��5but�it�tak�es����iFv��X�alues���in��GL����d����2��Nh�(�O�UV�=�)�instead�of��k�����0����.�uDSince�the�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of�ev�ery����d��z�t��K������=��T������(�g�n9�)�for����iF�g�^�2���ɹGal��Ky(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)���has�co�S�ecien��rts�in�the�subeld��k�����0��	������O�UV�=��there�is�a�mo�del�for���������
Q(�o��rv�er����k�����0����.����iFThis��is�the�extra�bit�of�information�w��re�need�to�complete�the�pro�S�of.���It�is�a�fact�ab�out�nite����iFelds���and�is�someho��rw�related�to�the�fact�that�the�Brauer�group�of�a�nite�eld�is�trivial.�~[[It����iFw��rould���b�S�e��gr��ffe�at���to�ha�v�e�a�reference�for�this�fact�ab�S�out�nite�elds�b�ecause,���judging�from�the����iFaudience,��it�is�not�an�extremely�w��rell-kno�wn��result.]]����^���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������E7��k��������iF�13.1.�	#�THE��GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY��V�69�����덠�B�ƍ��	:Let��us�lo�S�ok�at�this�construction�in�another�w��ra�y��V.�A�W�rite���T�����0����
�Z��Q��=��E�����1�����Z����������Z��E�����t��h�and������iFrecall�({that��E�����i���U�corresp�S�onds�to�a�newform�of�lev��rel��M�@��j�N�i_�(one�can�obtain��E�����i���b��ry�adjoining�the�����iFco�S�ecien��rts�ܪof�some�newform�of�lev�el��M�@��j�N���to��Q�).��Also,�+�J�����0����(�N��)�is�isogenous�to�a�pro�S�duct�����iF�A�����1������������������A�����t���ʹ.�
��Consider���one�of�the�factors,�7�sa��ry��E�����1����,�and�supp�S�ose,�to�x�ideas,�that�it�����iFcorresp�S�onds��to�a�newform�of�exact�lev��rel��N�@�.�V�Since��T��Vate���!
����`��!��A�����1�����is�free�of�rank�2�o�v�er��E�����1��q{�
�����Q��
���Q�����`����,�����iFw��re���obtain�a�2-dimensional�represen�tation���������uZ�.�QRReducing�mo�S�d����and�semisimplifying�giv�es�����iFthe�represen��rtation�constructed�in�the�ab�S�o�v�e�prop�S�osition.�|ABut�it�is�also�p�ossible�that�one�����iFof�U�the�elds��E�����i�����corresp�S�onds�to�a�newform��f��ɹof�lev��rel��M����prop�erly�dividing��N�@�.�	zGThen�the�����iFasso�S�ciated���ab�elian�v��X�ariet��ry��A�����i����has�to�o�large�of�dimension.��So�[[someho��rw?!]]�w�e���rep�S�eat�the�����iFwhole��construction�with��J�����0����(�N�@�)�to�get�a�2�dimensional�represen��rtation.�����	:Let����A�w'�=��A�����1�����b�S�e�as�ab�o��rv�e.�t�Then��T��acts�on��A�����1�����whic�h�w�e�view�as�an�ab�S�elian�sub�v��X�ariet�y�of�����iF�J�����0����(�N�@�).�0�Let���w��S��z�	c��	�\��T���{�b�S�e��wthe�quotien��rt�of��T��b�y�the�k�ernel�of�the�map��T�UR�!���End��b�A�����1����.�0�Although���w��S��z�	c��	�\��T���{�sits�����iFin���O�����1���͹whic��rh�is�the�ring�of�in�tegers�of�a�eld,��C���S��z�	c��	�\��T�����migh�t�not�b�S�e�in�tegrally�closed�in��O�����1����.��@Consider�����iFthe�4usual��Z�����`����-adic�T��Vate�mo�S�dule��T�ate���`}����`��Yc�(�A�����1����)�����P����X����԰����@�=�������Z����2��2��j�dim���A��y��`��� R�(�dim���F�A��X�=�[�E�����1���\�:��Q�]).�:This�4T�ate�mo�S�dule�����iFhas�a�faithful�action�of����S��z�	c��	�\��T���@=�
�Ǒ�Z�����`����.��DBy�the�theory�of�semilo�S�cal�rings�this�ring�decomp�oses�as�a�����iFpro�S�duct���򍍒�
��S��z�	c��	�\��T����"�
����Z�����`��N8�=����UR���Y����������m�j�`��������S��z�	c��	�\��T����5����m��&���:�� �7���iF�Th��rus��	gT��Vate���5ɟ���`��#8�decomp�S�oses�	gas�a�pro�duct�������Q���^����m���	k�T��Vate���15͟���m��9�|�(�A�����1����).��It�w��rould�b�e�nice�if��T��Vate���5ɟ���`��#8�w��rere�free�of�����iFrank�2�o��rv�er����S��z�	c��	�\��T���H��
����Z�����`����but�this�is�not�kno��rwn�to�b�S�e�true�in�general,�%�although�it�has�often�b�een�����iFv��reried���in�sp�S�ecial�cases.�3�F��Vor�this�to�b�e�true�w��re�m�ust�ha�v�e�that,���for�all��m�j�`�,��T��Vate���K����m��'��is�free�of�����iFrank��2�o��rv�er��ꨟ�S��z�	c��	�\��T����
N5����m����.�����	:Next��w��re�put�things�in�a�nite�con�text�instead�of�a�pro��jectiv�e�limit�con�text.�-�Let��J�S�=�����iF�J�����0����(�N�@�),�:
then���b��ry�Albanese�or�Picard�functorialit�y��T�����End��*��J�r�.�]�Let����m����T��b�S�e�a�maximal�����iFideal.�8�Let����\���J�r�[�m�]�UR=��f�t��2��J��(���S��z�
#��	�\��Q���
#��)�:��xt��=�0���for�all��&/��x��2��m�g�:���`���iF�Note�[that��J�r�[�m�]�����J��[�`�]�[where��`��is�the�rational�prime�lying�in��m�.��>No��rw��J��[�`�]�is�an��F�����`��T�v��rector�����iFspace��of�rank�2�g�vԹwhere��g��is�the�gen��rus�of��X�����0����(�N�@�).��Although�it�is�true�that��J�r�[�`�]�is�a��T�=`�-mo�S�dule�����iFit���is�not�con��rv�enien�t���to�w��rork�with��T�=`��since�it�migh�t�not�b�S�e�a�pro�duct�of�eld�and�there�can�����iFb�S�e�=�some�unpleasan��rt�ramication.�1�It�is�more�con�v�enien�t�to�w�ork�with��J�r�[�m�]�since��T�=�m��is�a�����iFeld.�7�Th��rus,���via��,another�optic,��J�r�[�m�]�is�a��k�g�[�G�]-mo�S�dule�where��k��o�=�UR�T�=�m��and��G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�����iFThe�?�naiv��re�hop�S�e�is�that��J�r�[�m�]�is�a�mo�del�for�������m�����,�UCat�least�when�������m��꠹is�irreducible.�8�This�do�es�����iFnot��quite�w��rork,�but�w�e�do�ha�v�e�the�follo�wing���������iF�Theorem��13.0.4.���C�$�J�r�[�m�]�35�is�a�mo��ffdel�for�������m�����when��`�UR�6�=�2�35�and��`��UV�6�URj�N�@��.��'�4����iF�13.1��iBThe�z�Gorenstein�Prop��=ert��u�y��b#���iF�Let����u��T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End��b�J�����0����(�N�@�)�����iFand�rlet��m�;����T�r�b�S�e�a�maximal�ideal.�� Let��`�;��2��m�r�b�e�the�prime�of��Z��o��rv�er�rwhic�h��m��lies.�� W��Ve�����iFha��rv�e��constructed�a�represen��rtation���{q$������m���:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���GL��������2����(�T�=�m�)�����iFwhic��rh��is�semisimple�b�y�construction.�8�It�is�unramied�outside��`N�+��and�for�an�y�prime��p��UV�6�URj�`N�@�,��������&�T��Vr���:=(������m�����(�F��Vrob����/����p��p��))��������N=�UR�T�����p����Q�mo�S�d��+L��m�������������z聹det����:=(������m�����(�F��Vrob����/����p��p��))��������N=�UR�p����mo�S�d��&�6�m��������FJ��k�������iF�70�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ�iF�W��Ve�will�usually�b�S�e�in��rterested�in�the�case�when�������m��
�Ĺis�irreducible.��&Let��T�����m��
ູ=����6lim����i���6� ����c��������T�=�m����2�i��d��T�����iF�denote��%the�completion�of��T��at��m�.��Note�that��T����
�����Z��u�Z�����`��N8�=��UR�����Q��������m�j�`��*��T�����m�����.�Our�goal�is�to�pro��rv�e��%that�����iFif���m��UV�6�URj�2�N�+��and�������m���W�is�irreducible,�then��T�����m���is�Gorenstein.���]����iF�Denition��13.1.1.���v�	�Let�Y�O�e��b�S�e�a�complete�discrete�v��X�aluation�ring.��Let��T���b�e�a�lo�cal��O�UV�-algebra����iFwhic��rh���as�a�mo�S�dule�if�nite�and�free�o�v�er��O�UV�.�"�Then��T�J��is�a��Gorenstein�4R�O��-algebra��if�there�is����iFan��isomorphism�of��T��ƹ-mo�S�dules��T����2���������p���������!������>�Hom���.wǟ���O��5�ֹ(�T���;����O�UV�).����	:Th��rus� �T�����m���is�Gorenstein�if��Hom���������Z��i?�`���%�F�(�T�����m�����;����Z�����`����)����2��������p���UR���$!����\x�T�����m���.��as� �T�����m���Ϲmo�S�dules.�In�tuitiv�ely� this�means����iF�T�����m���W�is��\auto�S�dual".������iF�Theorem��13.1.2.���p�$�L��ffet��C�J�qĹ=�UR�J�����0����(�N�@�)�,��slet�the�r�epr�esentation�������m��K��b�e�the�as�c�onstructe�d�in�Pr�op�o-����iFsition�35??�fiand�assume�������m�����is�irr��ffe�ducible�35and��m��UV�6�URj�2�N�@��.�L��ffet��p����+1�J�r�[�m�]�UR=��f�a��:��xa��=�0��35�for�al���l��'��x��2��m�g���J��[�`�]�:����iF�Then�����dim���#ݟ���T�=�m��.ߣ�J�r�[�m�]�ؗ=�2����and��J��[�m�]��as�a�Galois�mo��ffdule�is�a�2-dimensional�r�epr�esentation�����iFgiving�35rise�to�������m�����.����	:�[[Do�S�es�Jgiving�rise�mean�the�c��rhar�p�oly's�are�all�the�same�or�that�the�semisimplications����iFare��isomorphic?]]�8�An�easy�argumen��rt�sho�ws�that�the�theorem�implies��T�����m���W�is�Gorenstein.����	:W��Ve���rst�consider�the�structure�of��W���=�UR�J�r�[�m�].���Supp�S�ose�the�t��rw�o���dimensional�represen��rtation��p����_�������m���:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���Aut���=����T�=�m��,���V����iF�constructed�C)b�S�efore�is�irreducible.�	BbConsider�the�semisimplication��W���Ɵ��2�s.s.���}�of��W��ƹ,��Ith��rus��W�����2�s.s.������iF�is�ɲthe�direct�sum�of�its�Jordan-H�� older�factors�as�a��Gal��%b(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)-mo�S�dule.���Mazur�pro��rv�ed�ɲthe����iFfollo��rwing��theorem.������iF�Theorem��13.1.3.���p�$�Ther��ffe�35is�some�inte�ger��t�UR���0�35�so�that��p����y��W���Ɵ���C#�f�cmti8�Cs.s.������P��������԰������=�����k��V�G�����������UN����V��¹=�UR�V���p����t��.:�:����	:�If��A������m��v�is�in�fact��absolutely�Cirr��ffe�ducible��A�then�it�is�a�result�of�Boston,��ULenstra,�and��ARib�S�et�[�2����]�����iFthat���W�����P���9g����԰���RO�=�����&_�V�����+�������W(�+��V��p�.�p�A���represen��rtation�is�absolutely�irreducible�if�it�is�irreducible�o�v�er����iFthe��algebraic�closure.���It�can�b�S�e�sho��rwn�that�if��`��/�6�=�2��and�������m�����is�irreducible�then�������m���m��rust�b�S�e����iFabsolutely��irreducible.����	:The��-construction�of��W�Z�is�nice�and�gen��rtle�whereas�the�construction�of��V�U��is�accomplished����iFvia��brute�force.��2t����iF�Pr��ffo�of.���02��(Mazur)��W��Ve�w��ran�t��to�compare��V���with��W��ƹ.�8�Let��d�UR�=��dim����W��.�8�Let��p����Qh�W���Ɵ�����	��=��URHom����۟���T�=�m��/���(�W��r;����T�=�m�(1))����iFwhere���T�=�m�(1)�UR=��T�=�m����
�����Z�����K����㎞�����	'�����9�����`��2z�.�8�W��Ve�need�to�sho��rw�that������W���Ɵ���s.s.��9������W���Ɵ�����s.s.�������P���$�����԰���=��=�����!�S�V�G���������UN��V��¹=�UR�V���p����d�����iF�as�ފrepresen��rtations�of��Gal��::(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�߁Note�that�eac�h�side�is�a�semisimple�mo�S�dule�of�dimension�2�d�.�����iFT��Vo��Aobtain�the�isomorphism�w��re�sho�w�that�the�t�w�o�represen�tations�ha�v�e�the�same�c�haracteristic����iFp�S�olynomials��so�they�are�isomorphic.����	:W��Ve�Qw��ran�t�to�sho�w�that�the�c�haracteristic�p�S�olynomial�of��F��Vrob����3����p��#��is�the�same�for�b�oth��W���Ɵ��2�s.s.��+�����iF�W����Ɵ��2�s.s.���H�and����V��i���6�������m��6��V��p�.��&The�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of��F��Vrob���a����p��%�
�on��V�U/�is��X�����2�2������T�����p���]�X�(|�+��p���=����iF(�X�L���[,�r�S��)(�X����pr��S����2��1���
�)��where��r���lies�in�a�suitable�algebraic�closure.��YIt�follo��rws�that�the�c�haracteristic�����G`c��k��������iF�13.1.�	#�THE��GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY��V�71�����덠�B�ƍ��iFp�S�olynomial�n�of��F��Vrob�������p��%NP�on��V���p���2�d�����is�(�x�����r��)����2�d��ߨ�(�x����pr�����2��1���
�)����2�d��ߨ�.�ŎOn�n��W���the�c��rharacteristic�p�olynomial�of�������iFF��Vrob����u����p����o�is���(�X�G��#�������1����)������������(�X���������d��ߨ�)���where�������i��
w�is�either��r��+�or��pr��S����2��1���
�.�"�This�is�b�S�ecause�Eic��rhler-Shim�ura�����iFimplies��a�F��Vrob���
�����p��'3��m��rust�a�satisfy��F��Vrob�����W��
��2��"��
��p���#�
��T�����p����[�F��Vrob���p�����p��%7�+�p��_�=�0.�	�q[[I�a#don't�a�see�this�implication.]]�On�������iF�W���Ɵ��2���
E�the��c��rharacteristic�p�S�olynomial�of��F��Vrob����M����p��$8ȹis�(�X������M�p���������1��諍1���p�)������������(�X����p���������1��O��d���p�).�6�[[This��is�someho��rw�����iFtied�(fup�with�the�denition�of��W���Ɵ��2���
�0�and�I�(Vcan't�quite�understand�it.]]��Th��rus�on��W�vw��Ա�W���Ɵ��2���aʹ,�7�the�����iFc��rharacteristic��p�S�olynomial�of��F��Vrob����ן���p��$Eܹis��$�C��������g��d����������Y���
㇍�
���i�=1���BN�(�X��+����������i��dڹ)(�X����p���������1��
���i���p�)�UR=��������*�d��������Y���
㇍�S�i�=1������(�X��+���r�S��)(�X����pr��S������1���
�)�UR=�(�X��+���r�S��)�����d��ߨ�(�X����pr��S������1���
�)�����d��ߨ�:��#܍��iF�Therefore��the�c��rharacteristic�p�S�olynomial�of��F��Vrob����ԟ���p��"�ֹon��W�����	��W���Ɵ��2���	�o�is�the�same�as�the�c�haracteristic�����iFp�S�olynomial��of��F��Vrob���bA����p��#ⰹon��V������E`���������E`�V��p�.�(YThe�p�oin��rt�is�that�although�the�������i���could�all��a��priori��b�e�����iF�r�
�or���pr��S����2��1���
�,�·b��ry�adding�in��W���Ɵ��2���
)I�ev�erything�pairs�o�correctly��V.�-([[I��vdon't�understand�wh�y�w�e�only�����iFha��rv�e���to�c��rhec�k���that�the�t��rw�o���represen�tations�agree�on��F��Vrob���j�����p�� 2�.�+,There�are�lots�of�other�elemen�ts�����iFin���Gal��FX(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�),��righ��rt?]]���\i1��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������	:W��Ve�;next�sho��rw�that��J�r�[�m�]����6�=�0.�	*This�;do�S�es�not�follo�w�from�the�theorem�pro�v�ed�ab�S�o�v�e�����iFb�S�ecause��9it�do�es�not�rule�out�the�p�ossibilit��ry�that��t�5��=�0��9and�hence��W���Ɵ��2�s.s.������P���������԰����ֹ=�����#O�0.�
J�Supp�ose�����iF�J�r�[�m�]�UR=�0,���then�ދw��re�will�sho�w�that��J�r�[�m����2�i��dڹ]�UR=�0�ދfor�all��i�UR���1.�4�W��Ve�ދconsider�the��`�-divisible�group�����iF�J�����m���?�=�,��[�����i��d��J�r�[�m����2�i���].��>T��Vo�iget�a�b�S�etter�feel�for�what�is�going�on,���temp�orarily�forget�ab�out��m��and�����iFjust��consider�the�T��Vate�mo�S�dule�corresp�onding�to��`�.�����	:It��is�standard�to�consider�the�T��Vate�mo�S�dule��'΍��~j$T��Vate����������`����j�J�qĹ=�����URlim����i���UR� ����c��������J�r�[�`�����i��dڹ]�����P���UR����԰���n:�=��������Z������2��j�dim���J���ڍ`���%�:�����iF�It��is�completely�equiv��X�alen��rt�to�consider����u:L�J�����`��N8�:=�UR�[������1���ڍ�i�=1���AV�J�r�[�`�����i��dڹ]����2��������p������$!����\x�(�Q�����`�����=�Z�����`���)�����2��j�dim���J��%�:�����iF�Note�o}that�since��Q�����`�����=�Z�����`��hc�is�not�a�ring�the�last�isomorphism�m��rust�b�S�e�view�ed�as�an�isomorphism������iFof��ab�S�elian�groups.��[In�[�14����]�Mazur�called��T��Vate����|����`���`�J�����P���q�����԰������=������mHom��)��(�Q�����`�����=�Z�����`���;���J�����`���)��the�co��rv��X�arian�t��T��Vate�mo�dule.�����iFCall�����KFT��Vate�����x��b/��������b/��`���h��J�qĹ:=��URHom����(�J�����`�����;����Q�����`���=�Z�����`���)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����Z��i?�`���2�!�(�T��Vate���,b����`��%F�J��:;��Z�����`���)��l}���iFthe�4con��rtra�v��X�arian�t�T��Vate�mo�S�dule.���[[Wh�y�are�the�last�t�w�o�isomorphic?]]���The�co�v��X�arian�t�and�con-�����iFtra��rv��X�arian�t��4T��Vate�mo�S�dules�are�related�b��ry�a�W�eil�pairing��J�r�[�`����2�i��dڹ]�h_���J��[�`����2�i��dڹ]�UR�!���������
������UP����
g���`������i����k�.�.T��Vaking��4pro��jectiv��re�����iFlimits��w��re�obtain�a�pairing��'΍�[���h�;����i�UR�:��T��Vate���������`�� z��J��������T��Vate����
����`�����J�q��!��Z�����`����(1)�=�����lim����i���� ����c�������������bǞ������
�����͟��`������i���#�%�:�����iF�This��giv��res�a�map������S-�T��Vate���jZ.����`��pS�J�q��!��UR�Hom����(�T��Vate���,b����`��%F�J��:;����Z�����`����(1))�UR=�(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����d�J�r�)(1)�����iFwhere��(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����d�J�r�)(1)�UR=�(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����J�r�)����
��Z�����`����(1).�8��Z�����`���(1)��is�a��Z�����`����-mo�S�dule�where��Al�������8���X�����?��a�����i��d��`�����i���������=S�=�UR���������-a6cmex8�P��K�����a��8:�i��,r�`���-:�i����Am���iF�[[This���should�probably�b�S�e�said�long�ago.]]�8QThis�pairing�is�not�a�pairing�of��T�-mo�dules,��Rsince�����iFif�?��t����2��T��then��h�tx;���y�n9�i��=��h�x;�t����2�_��*��y�n9�i�:�?��It�is�more�con��rv�enien�t�?�to�use�an�adapted�pairing�dened�as�����iFfollo��rws.�)vLet��i�w����=�UR�w�����V��
��2���End��b�J�����0����(�N�@�)�b�S�e�the�A��rtkin-Lehner�in�v�olution�so�that��t����2�_��	��=�UR�w�R�tw��.�)vDene�����iFa��new��T�-compatible�pairing�b��ry�[�x;���y�n9�]�UR:=��h�x;�w�R�y�n9�i�:�꨹Then��'΍�J�j[�tx;���y�n9�]�UR=��h�tx;�w�R�y�n9�i��=��h�x;�t�����_��*��w�R�y�n9�i��=��h�x;�w�R�ty�n9�i��=�[�x;�ty�n9�]�:�����Hs#��k�������iF�72�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ�	:�The��pairing�[��;�����]�denes�an�isomorphism�of��T����
��Z�����`����-mo�S�dules��aF����d�T��Vate���������`������J����2����r����p���q����#�!�����x�Hom���-�s����Z��i?�`���8�(�T��Vate���,b����`��%F�J��:;����Z�����`����(1))�:����iF�Since�FH�Z�����`����(1)�is�a�free�mo�S�dule�of�rank�1�o��rv�er�FH�Z�����`��?.�a�suitable�c��rhoice�of�basis�giv�es�an�isomorphism�����iFof���T����
��Z�����`����-mo�S�dules����Bń(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����d�J�r�)(1)�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����Z��i?�`���2�!�(�T��Vate���,b����`��%F�J��:;����Z�����`����(1))�����P���UR����԰���n:�=��������Hom���(y�����Z��i?�`����(�T��Vate���,b����`���J��:;����Z�����`����)�UR=��T��Vate�����x��������������`���!A��J�:����iF�Th��rus���T��Vate���
����`��!��J����2����r����p���q����#�!�����x�T��Vate�����x��,�L�������,�L�`���3eN�J�r�.��w8����iF�Pr��ffo�of.���02��(That��J�r�[�m�]����6�=�0.)���The�p�S�oin��rt�is�that�the�con�tra�v��X�arian�t�T��Vate�mo�S�dule��Hom����(�J�����`�����;����Q�����`���=�Z�����`���)����iFis�tthe�P��ron�trjagin�tdual�of��T�����`����.���Ho��rw�do�S�es�this�relate�to��T��Vate����c����m��&K�J�r�?�Since��T�,�
��Z�����`������P���8����԰���P�=�������s�����Q���!!ʟ��m�j�`��1���T�����m�����,���
���iFT��Vate���"������`��(���J�����P���q�����԰������=������m�����Q���qğ��m�j�`���,�˹T��Vate���D-����m��N���J����so��Mw��re�can�dene��T��Vate�����x��ѯ�������ѯ�m���%|\�J�qĹ:=��URHom����۟���Z��i?�`���%�x�(�T��Vate���,b����m��!��J��:;����Z�����`����).�!�W��Veil�pro�v�ed�that�����iFT��Vate���"������m��[email protected]�J�����P���q�����԰������=�����m�T���ate����2����RA��m������J����is�q;nonzero.�fView��T��Vate�����x��������������m���%HJ�J��as�b�S�eing�dual�to��J�����m���in�the�sense�of�P��ron�trjagin����iFdualit��ry���and�so�(�T��Vate�����x��,b�������,b�m���!��J�r�)�=�(�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m���#�
�J��)���is�dual�to��J�r�[�m�].�|�If��J��[�m�]��A=�0���then�this�quotien��rt�is����iF0,�'so�.ANak��X�a��ry�ama's�lemma�w�ould�imply�that��T��Vate�����x��Z��������Z��m���'P�J����=�| 0.�	�This�w�ould�con�tradicts�W��Veil's����iFassertion.�8�Therefore���J�r�[�m�]�UR�6�=�0.���.Q���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(͍��iF�13.2��AiBPro��=of�z�the�Gorenstein�Prop�ert��u�y��b#��iF�W��Ve�0pare�considering�the�situation�with�resp�S�ect�to��J�����0����(�N�@�)�although�w��re�could�consider��J�����1���(�N�@�).����iFLet��f�T������End��B�J�����0����(�N�@�)�b�S�e�the�Hec��rk�e�algebra�and�let��m�����T��b�S�e�a�maximal�ideal.�/Let��`��b�e����iFthe�?�c��rharacteristic�of�the�residue�class�eld��T�=�m�.�7�Let��T�����m�����=������lim����i������ ����c�����7��T�=�m����2�i��d��T�.�Then��T���
�����Z��	a��Z�����`����=�����iF�����Q��������m�j�`��'>��T�����m�����.�A�[[I��w��ran�t�to�put�a�go�S�o�d�reference�for�this�A��rtiy�ah-Macdonald�lik�e�fact�here.]]�A�Eac�h�����iF�T�����m���W�acts��on��T��Vate���
����`��!��J�����0����(�N�@�)�so�w��re�obtain�a�pro�S�duct�decomp�osition��z䍍����T��Vate���������`�����J�����0����(�N�@�)�UR=�������Y����������m�j�`�������T��Vate���+�
����m��6���J�����0���(�N�@�)�:��'l��iF�W��Ve��ha��rv�e�the�follo�wing�t�w�o�facts:��e������Ů1.�����(�2T��Vate���?������m��J�A�J�����0����(�N�@�)�UR�6�=�0��w8�����Ů2.�����(�2T��Vate���?������`��E�x�J�����0����(�N�@�)��is��T����
��Z�����`����-auto�S�dual��and�eac��rh��T��Vate���
����m��%���J�����0���(�N�@�)�is��Z�����`����-auto�S�dual.����iF[[auto�S�dualit��ry��for�whic�h�dual?�8�I�think�it�is�the�linear�dual�since�this�is�used.]]����	:Let���W���=�UR�J�r�[�m�],���then�the�action�of��Gal��@E(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�on��W��[�giv��res�a�represen�tation�of��Gal��@E(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)����iFo��rv�er��rthe�eld��T�=�m�.�6>W��Ve�compared��W�68�with�a�certain�t��rw�o��rdimensional�represen��rtation�������m��
!�:�����iFGal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)����!��V��o��rv�er�{��T�=�m�.�	��Assume�unless�otherwise�stated�that��V��is�irreducible�as�a�����iFGal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)-mo�S�dule.��Let���T��Vate�������`��!_W�=��URT��Vate���������`�� z��J�����0����(�N�@�)��and��T��Vate�������m��& �=��URT��Vate���������m��%,a�J�����0���(�N�@�).��A��{formal�argumen��rt����iFdue��to�Mazur�sho��rw�ed��that��������W���Ɵ���s.s.������P��������԰������=������O�V�G�����������UN����V��¹=�UR�V���p�����t��ʲ�:���Ս�iF�W��Ve��ha��rv�e�not�y�et�determined��t��but�w�e�w�ould�lik�e�to�sho�w�that��t�UR�=�1.������iF�Denition��13.2.1.���v�	�The��p�P��on�trjagin�dual��of�a�mo�S�dule��M��T�is�the�mo�dule��M��@���2�^��
��:=��URHom����(�M���;����Q�=�Z�)����iFwhere�=��M�~~�is�view��red�as�an�ab�S�elian�group�(if��M��is�top�S�ological,�`7only�tak��re�those�homomorphisms����iFwhose��jk��rernel�is�compact).��&The��linear��bdual��of�a�mo�S�dule��M�
N�o�v�er�a�ring��R�崹is�the�mo�S�dule����iF�M��@���2���	V:�=��URHom����۟���R��"�n�(�M���;���R�J�).������iF�Exer��ffcise�3513.2.2.���b��Note��that�(�Q�����`�����=�Z�����`���)����2�^��	��=�UR�Z�����`��㎹and���Z����2��^��y���`����=��Q�����`�����=�Z�����`���.�����I�	��k��������iF�13.2.�	#�PR��rOOF��THE�GORENSTEIN�PR�OPER��VTY��c�73�����덠�B�ƍ����iF�Solution.������W��Ve��can�think�of��Q�����`�����=�Z�����`��㎹as��$����n�:�f�������+��1�����׽���X���'؍�n�=��k�����a�����n���P�`�����n�����:�UR�k��o>��0���and���|0����a�����i���,�<�`�g�:��&����iF�Let�k((�b�����i��dڹ)����2��Z�����`��	d�so��b�����i��	H��2��Z�=`����2�i��d��Z��and��b�����i�+1��%���b�����i���*�(�mo�S�d���B�`����2�i��dڹ).�	�`Dene�a�map��Q�����`�����=�Z�����`��	ܯ�!��Q�=�Z��b��ry������iF1�=`����2�i����7!��%�b�����i��d��=`����2�i���.���T��Vo��>c��rhec�k�that�this�is�w�ell-dened�it�suces�to�c�hec�k�that�1�=`����2�i���maps�to�the�����iFsame��place�as��`������1�=`����2�i�+1��AV�.�8�No��rw��1�=`����2�i���,�7!�UR�b�����i��d��=`����2�i��O��and��ʔ��q���`������1�=`�����i�+1�����7!�UR�`����b�����i�+1��AV�=`�����i�+1���=�UR�b�����i�+1���=`�����i��d��:�����iF�So��w��re�just�need�to�c�hec�k�that��������b�����i�+1��AV�=`�����i���,��UR�b�����i��d��=`�����i��dι(�mo�S�d���B�Z�)�:�����iF�This��is�just�the�assertion�that�(�b�����i�+1���������b�����i��dڹ)�=`����2�i���,�2�UR�Z��whic��rh�is�true�since��b�����i�+1�������b�����i���*�(�mo�S�d���B�`����2�i��dڹ).�����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������iF�Prop�`osition��13.2.3.���Sx��L��ffet�35the�notation�b�e�as�ab�ove,�then��t�UR>��0�:�������iF�Pr��ffo�of.���2��The��pidea�is�to�use�Nak��X�a��ry�ama's��plemma�to�sho��rw�that�if��t�8�=�0��pand�hence��W����=�80������iFthen����T��Vate���A����m��)ȫ�=��0���whic��rh�is�clearly�false.�6�But�the�relation�b�S�et�w�een��W����and��T��Vate���A����m��)�Ϲis�rather�����iFcon��rv�oluted.�8�In��fact��J�r�[�`����2�1��	�]�is�the�P��ron�trjagin��dual�of��T��Vate�����x��
�������
�`�����,�that�is,��ʔ��m[�J�r�[�`�����1��	�]�����^��	��=��URT��Vate�����x��������������`���"�
�=��URHom����۟���Z��i?�`���%�x�(�T��Vate���,b����`��%H�;����Z�����`����)�����iFand�����a҆(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����f�)�����^��	��=��URHom����(�T��Vate�����x��,b�������,b�`����;����Q�����`�����=�Z�����`���)�UR=��J�r�[�`�����1��	�]�:���?���iF�[[First:�\�Wh��ry��are�they�dual?�neSecond:�Wh��ry�are�w�e�homing�in�to��Q�����`�����=�Z�����`���e�instead�of��Q�=�Z�?]]�����iFLo�S�oking��at�the��m�-adic�part�sho��rws�that��ʔ��{�w�J�r�[�m�����1��	�]�UR=��Hom����(�T��Vate�����x��,b�������,b�m�����;����Q�����`�����=�Z�����`���)�����iFand��hence�����f���J�r�[�m�]�UR=��Hom����(�T��Vate�����x��,b�������,b�m���!��=�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m����;����Z�=`�Z�)�:�����iF�Th��rus�&�if��J�r�[�m�]��x=�0�&�then�Nak��X�a�y�ama's�lemma�implies��T��Vate�����x��S
�������S
�m���'�4�=��x0.���By�auto�S�dualit�y�this�implies������iFT��Vate����������m�����=�UR0.�����Z��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����L*���	:W��Ve� mha��rv�e�t�w�o�goals.��/The�rst�is�to�sho�w�that��t�d��=�1,�m�i.e.,�that��J�r�[�m�]�is�2-dimensional�����iFo��rv�er�B�T�=�m�.�|�The�second�is�to�pro��rv�e�Bthat��T�����m����is�Gorenstein,��i.e.,�that�B�T�����m������P���&y����԰���?a�=��������Hom���1q#����Z��i?�`���;���(�T�����m�����;����Z�����`����).�����iFThis���is�one�of�the�main�theorems�in�the�sub��ject.�	�W��Ve�are�assuming�throughout�that�������m��
0C�is�����iFirreducible�.�and��`��UV�6�URj�2�N�@�.��5Lo�S�osely�sp�eaking�the�condition�that��`�UR�6�j�2�N�o��means�.�that��J�r�[�m�]�has�go�o�d�����iFreduction�oat��`��and�that��J�r�[�m�]�can�b�S�e�understo�o�d�just�b��ry�understanding��J�r�[�m�]�in�c�haracteristic�����iF�`�.�RDW��Ve��w��ran�t�to�pro�v�e�that��T�����m���ιis�Gorenstein�b�S�ecause�this�prop�ert��ry�pla�ys�an�essen�tial�role�in�����iFpro��rving��that��T�����m���W�is�a�lo�S�cal�complete�in�tersection.��2?�����iF�Example�3513.2.4.���6��K.��KBuzzard�presen��rted�the�follo�wing�example�of�a�non-Gorenstein�ring.� �Let��ʔ��L<	�T���=�UR�f�(�a;���b;�c;�d�)��2��Z������4���ڍ�p�����:��a����b����c����d���(�mo�S�d���B�p�)�g�:�����iF�Then���T��n�is�lo�S�cal�but�not�Gorenstein.�����	:F��Vor�Gno��rw�w�e�temp�S�orarily�p�ostp�one�the�pro�of�of�the�rst�goal�and�instead�sho��rw�that�the������iFrst��goal�implies�the�second.�����J�#��k�������iF�74�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ���iF�Theorem��13.2.5.���p�$�Supp��ffose�}!�J�r�[�m�]��is�two�dimensional�over��T�=�m��(thus��t��5�=�1�).�D-Then�}!�T�����m��
'��is�����iFGor��ffenstein.�������iFPr��ffo�of.���02��W��Ve��ha��rv�e�seen�b�S�efore�that���?������82�J�r�[�m�]���������=��URHom����۟���Z�=`�Z��0�(�T��Vate�����x��,b�������,b�m���!��=�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m����;����Z�=`�Z�)�������������=��URHom����۟���T�=�m��/���(�T��Vate�����x��,b�������,b�m���!��=�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m����;����T�=�m�)�:�������iF�Th��rus���the�dual�of��T��Vate�����x���J��������J�m���%[��=�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m����is���t�w�o�dimensional�o�v�er��T�=�m��and�hence��T��Vate�����x���J��������J�m���%[��=�m�����T��Vate�����x��,`�������,`�m������iF�itself�G4is�t��rw�o�G4dimensional�o��rv�er�G4�T�=�m�.�N�By�Nak��X�a��ry�ama's�G4lemma�and�auto�S�dualit��ry�of��T��Vate���s�����m��(ey�this����iFimplies���T��Vate���
����m��'�a�is��generated�b��ry�2�elemen�ts�o�v�er��T�����m�����.�8�There�is�a�surjection�����x>�T�����m��UW�����T�����m����������UZ!��!��UR�T��Vate���������m��%,a�:����iF�In�k�fact�it�is�true�that��rank����\����Z��i?�`����'���T��Vate���>�Y����m��K�x�=�1p2����rank���,`����Z��i?�`���%E��T�����m�����.���W��Ve�temp�S�orarily�p�ostp�one�the�pro�of�of����iFthis��Rclaim.�q�Assuming�this�claim�and�using�the�fact�that�a�surjection�b�S�et��rw�een��R�Z�����`����-mo�dules����iFof�X3the�same�rank�is�an�isomorphism�implies�that��T��Vate���������m������P���(?����԰���(W�=�����5�)�T�����m�������=�T�����m�����.���No��rw��T�����m��
�is�a�direct����iFsummand�Gof�the�free��Z�����`��?��mo�S�dule��T��Vate���sq����m��&e/�so��T�����m���is�pro��jectiv��re.�XA�F�pro�jectiv�e�Gmo�S�dule�o�v�er�a�lo�S�cal����iFring��Zis�free.�&Th��rus��T�����m��]	�is�free�of�rank�1�and�hence�auto�S�dual�(Gorenstein).�[[This�argumen��rt�is����iFan��alternativ��re�to�Mazur's�{�it�seems�to�S�o�easy��V...�8�ma�yb�S�e�I�am�missing�something.]]����	:W��Ve��return�to�the�claim�that��������rank���������Z��i?�`��������T��Vate����*����m���*�=�UR2����rank���,`����Z��i?�`���%E��T�����m�����:����iF�This��is�equiv��X�alen��rt�to�the�assertion�that�������ddim����N�����Q��i?�`�����ǒ�T��Vate���������m��˞��
�����Z��i?�`���
��Q�����`��N8�=�UR2����dim����F����Q��i?�`���#,�T�����m��UW�
�����Z��i?�`����E�Q�����`�����:����iF�The��mo�S�dule��T��Vate���
����`��!��J�����0����(�N�@�)�is�the�pro��jectiv��re�limit�of�the��`�-p�o��rw�er��torsion�on�the�Jacobian��z���P��J�r�(�C�)�UR=������ō����Hom�������C��$���(�S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����C�)�;��C�)�����[��z�|:$�
�΍�d��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)���������:��<}��iF�Let�p��L�9��=��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)�b�S�e�the�lattice.��Then��L��is�a��T�-mo�dule�and��T��Vate��������`��#ρ�=�9��L���
�����Z��	��Z�����`��i��(since����iF�L=`����2�i��d��L�����P���UR����԰���n:�=�������(�����Fu��e��1��33����z��X����`������i������	��L�)�=L�).�8�T��Vensoring��with��R��giv��res�������ZS<�L����
�����Z��	'��R��������෹=��URHom����۟���C��#bȹ(�S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����C�)�;��C�)�������������=��URHom����۟���R��#�[�(�S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����R�)�;��C�)������������=��URHom����۟���R��#�[�(�S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����R�)�;��R�)����
�����R��
}(�C�UR�=�(�T��
�����Z��	'��R�)��
�����R��
}(�C������?��iF�Th��rus����L�,?�
�����Z���j�R��is�free�of�rank�2�o�v�er��T�,?�
�����Z���j�R��and��L��
�����Z���j�C��is�free�of�rank�2�o��rv�er����T��
�����Z���j�C�.�$?Next����iFc��rho�S�ose��an�em�b�S�edding��Q�����`��N8�,���!�UR�C�.�8�No�w��T��Vate�������`��"�^�is�a�mo�S�dule�o�v�er��T��b�
��Z�����`��N8�=��UR�����Q��������m�j�`��*��T�����m���:�so��w�e�ha�v�e���
��iFa��decomp�S�osition��T��Vate���
����`��"eB�=��UR�����Q��������m�j�`���*��T��Vate���6W����m��?��.�8�Since��⍍����T��Vate�����/����`�����
�����Z��i?�`���
��Q�����`��N8�=����UR���Y���
�ҍ���m�������T��Vate���+�
����m��6���
�����Z��i?�`����Q�����`���V���iF�w��re��can�tensor�with��C��to�see�that�������zT��Vate�����ܟ���`��í��
�����Z��i?�`���
��C�UR�=�������Y���
�ҍ���m�������T��Vate���+�
����m��6���
�����Z��i?�`����C�:��I��iF�But���pT��Vate����ҟ���`�����
�����Z��i?�`���
��C�UR�=��L�
�����Z��}+�C��p�is�free�of�rank�2�o��rv�er��p�T�
�C�.��xTherefore�the�pro�S�duct�������Q���
�ǟ��m����t�T��Vate���/�֟���m��:s��
�����Z��i?�`����C����iF�is��free�of�rank�2�o��rv�er���T����
��C�.�8�Since������!�T����
��C�UR�=�(�T����
�����Z��	'��Z�����`����)��
�����Z��i?�`����E�C�UR�=�������Y���
�ҍ���m������(�T�����m��UW�
�����Z��i?�`����C�)��V���iFw��re��conclude�that�for�eac�h��m�,��T��Vate���
����m��%���
�����Z��i?�`���
��C��is�free�of�rank�2�o�v�er��T�����m��UW�
�����Z��i?�`����E�C�.�8�This�implies��������dim����1����C�����˹T��Vate�����-����m��ќ��
�����Z��i?�`���
��C�UR�=�2����dim����F����C��)1�T�����m��UW�
�����Z��i?�`����E�C����iF�whic��rh��completes�the�pro�S�of.���A`DŽ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������K����k��������iF�13.3.�	#�FINITE��FLA��VT�GR��rOUP�SCHEMES��ܻ�75�����덠�B�ƍ���iF�13.2.1���V���fague�ffCommen���ts���5���iF�Ogus��Hcommen��rted�that�this�same�pro�S�of�sho�ws�that��T�',�
�����Z���W�C��is�Gorenstein.�#kThen�he�said�that������iFsomething��called�\faithfully�
at�descen��rt"�could�then�sho�w�that��T����
�����Z��	'��Q��is�Gorenstein.���Ӎ��	:W��Ve��`ha��rv�e�giv�en�the�classical�argumen�t�of�Mazur�that��T�����m��l�is�Gorenstein,���but�w�e�still�ha�v�en't�����iFsho��rwn��bthat��J�r�[�m�]�has�dimension�2.�x
This�will�b�S�e�accomplished�next�time�using�Dieudonn���s�e�����iFmo�S�dules.��)�����iF�13.3��iBFinite�z�Flat�Group�Sc��u�hemes���X�����iF�Denition��13.3.1.���I�	�Let�,)�S���b�S�e�a�sc��rheme.��cThen�a��group��Csc��heme�o�v�er��S���is�,)a�group�ob��ject�����iFin��the�category�of��S��׹-sc��rhemes.�����	:Th��rus���a�group�sc�heme�o�v�er��S�[¹is�a�sc�heme��G=S�[¹equipp�S�ed�with��S��׹-morphisms��m�UR�:��G�}���G�UR�!��G�,������iFin��rv���i8:�UR�G��!��G�꨹and�a�section�1�����G��
t�:�UR�S�)�!��G�꨹satisfying�the�usual�group�axioms.�����	:Supp�S�ose��>�G��is�a�group�sc��rheme�o�v�er�the�nite�eld��F�����q�����.�#�If��R�Ĉ�is�an��F�����q���-algebra�then��G�(�R�J�)�UR=������iFMor���C(�sp�S�ec�����R�J;���G�)��is�a�group.�8�It�is�the�group�of��R��-v��X�alued�p�S�oin��rts�of��G�.�����	:W��Ve��consider�sev��reral�standard�examples�of�group�sc�hemes.��fy�����iF�Example�3513.3.2.���6��The�:�m��rultiplicativ�e�group�sc�heme��G�����m��?¹is��G�����m��Z�=��URsp�S�ec��D0�Z�[�x;�����Fu��w��1��31����z������x�����	/K�]�with�morphisms.�����iF[[giv��re��maps,�etc.]]�8�The�additiv�e�group�sc�heme�is��sp�S�ec��ن�Z�[�x�]...�������iF�Example�3513.3.3.���6��The��group�sc��rheme���^������О�����������֟���p���H�is�the�k�ernel�of�the�morphism��G�����m��
��!���G�����m���ٹinduced�����iFb��ry��=�x�D��7!��x����2�p���]�.�
e�Th�us��������_��������;����������p���M�=��sp�S�ec��3��Z�[�x�]�=�(�x����2�p�������N�1)��=and�so�for�an�y��F�����q�����-algebra��R����w�e�ha�v�e�that�������������%�������iD�����{����p���Bd�(�R�J�)�"8=��f�r�u��2��R�;��:��r��S����2�p��	=#�=�1�g�.��The�c	group�sc��rheme�������p��	*f�is�the�k�ernel�of�the�morphism��G�����a��	&�!�"8�G�����a������iF�induced��fb��ry�[[what!!��what�is�alphap??�it�should�b�S�e�the�additiv��re�group�sc�heme�of�order�p,�����iFno?]].�����	:Let�r=�A��b�S�e�a�nite�algebra�o��rv�er�r=�F�����p��9��and�supp�ose��G�UR�=��sp�ec��D0�A�r=�ane�group�sc��rheme�(o�v�er��F�����p���]�).�����iFThen��the��order��of��G��is�dened�to�b�S�e�the�dimension�of��A��as�an��F�����p����v��rector�space.�������iF�Example�3513.3.4.���6��Let�D�E��=�F�����p��ء�b�S�e�an�elliptic�curv��re.���Then��G��	�=��E��[�p�]�Dis�a�group�sc��rheme�of�order�����iF�p����2�2���"�[[wh��ry��is�this�true?]].�1�This�is�w�onderful�b�S�ecause�this�is�the�order�that��E���[�p�]�should�ha�v�e�in�����iFanalogy��with�the�c��rharacteristic�0�situation.�8�When�w�e�just�lo�S�ok�at�p�oin��rts�w�e�ha�v�e��%;؍�v��#�G�(���S��z�
Cϟ	�\��F�����p����
CϹ)�UR=�����z��(����ǭ���
�1����"�Msup�S�ersingular����fa���
�p����"�M�ordinary������j��:��/�!����iF�13.4��iBReform��u�ulation�z�of��V��V�=����W��x�problem���X���iF�Let�nR�J�qĹ=�UR�J�����0����(�N�@�)�b�S�e�the�Jacobian�of��X�����0���(�N�@�).�nThen��J��Ĺis�dened�o��rv�er�nR�Q��and�has�go�S�o�d�nRreduction�����iFat�'�all�primes�not�dividing��N�@�.��Assume��`��is�a�prime�not�dividing��N��.���J�r�[�`�]�extends�to�a�nite�����iF
at��group�sc��rheme�o�v�er��Z�[�����Fu�����1��33����z��D����N�����	���].�z�This�is�a�non�trivial�result�of�Grothendiec�k�(SGA�g7I,�LNM�����iF288).�8�Since���`��UV�6�URj�N�@�,��J�r�[�`�]�giv��res�rise�to�a�group�sc�heme�o�v�er��F�����`����.���Ӎ��	:W��Ve�`zha��rv�e�\forcefully"�constructed�a�Galois�represen�tation�������m��|K�:�ќ�G��!��V���of�dimension�����iF2�ӱo��rv�er��T�=�m�.���Our�goal�is�to�sho�w�that�this�is�isomorphic�to�the�naturally�dened�Galois�����iFrepresen��rtation���W���=�UR�J�r�[�m�].�8�So�far�w�e�kno�w�that��fy���7n0�UR���V������W�����J�r�[�`�]�:�����iF�Our��assumptions�are�that��`��UV�6�URj�N�@�,��V���is�irreducible,�and��`��6�=�2.�����L�H��k�������iF�76�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ�	:�Let���~&�J��~&�뀉z�����P�b�S�e�~&�J����though��rt�of�as�a�sc�heme�o�v�er��Z�����`����.��Grothendiec�k�sho�w�ed�that����J���뀉z�����P�is�the�sp�S�ectrum�����iFof��a�free�nite��Z�����`����-mo�S�dule.�60Ra��rynaud�(1974)�sho�w�ed�that�if��`�UR�6�=�2��then�essen�tially�ev�erything����iFab�S�out���Dh�J��Dh�뀉z�����l�[�`�]�Dhcan�b�e�seen�in�terms�of��J�r�[�`�](���\-�z�	NW�	�Ӎ�Q����	NW��T�`��
G=�).�F He�go�es�on�to�construct�group�sc��rheme����V���뀉z�	v���չand������iF�W��iF�뀉z�����
�o��rv�er���Z�����`��㎹suc�h�that�������'j�V���'j�뀉z�	v���������UR�W��UR�뀉z�����d5����UR�J��UR�뀉z����
�V�[�`�]�:��[email protected]��	:�Our���goal�is�to�pro��rv�e���that�the�inclusion��V�	6,���!�l��W�0��of�Galois�mo�S�dules�is�an�isomorphism.����iFRa��rynaud�#'sho�w�ed�noted�that�the�category�of�nite�
at�group�sc�hemes�o�v�er��Z�����`��
�is�an�ab�S�elian����iFcategory���so�the�cok��rernel����Q���@ԉz�	NW���*�=�����W����뀉z�����R�=��V��뀉z�	v��׹is�dened.�s_F��Vurthermore,��]�V�5q�=���W�J��i����Q���@ԉz�	NW���=��0.�s_Since����Q���@ԉz�	NW�����iF�is�|
at����Q���@ԉz�	NW���
Yӟ;��F��i?�`����+�has�the�same�dimension�o��rv�er�|�F�����`��b�as����Q���@ԉz�	NW���
Yӟ;��Q��i?�`����7�has�o��rv�er�|�Q�����`����.��]P�assing�to�c�haracteristic��`��A��iF�yields��an�exact�sequence�����n�0�UR�!����V���뀉z�	v����W��`�F��i?�`���c��!����W���뀉z��������`�F��i?�`�����!����Q���@ԉz�	NW������;��F��i?�`���;��!��0�:��ć��iF�Th��rus����V��b,���!�[��W�&��is�an�isomorphism�i����V���뀉z�	v���
����`�F��i?�`������,��!���[��W��[�뀉z���������`�F��i?�`����R�is�an�isomorphism.��Since����V���뀉z�	v��
���,������W�����뀉z�����e�,���and����Q���@ԉz�	NW�����iF�ha��rv�e��an�action�of��k��#�=�S�T�=�m��that�are��k�g�-v��rector�space�sc�hemes.��This�leads�us�to�Dieudonn���s�e����iFtheory��V.��'&b���iF�13.5��AiBDieudonn��3���|e�z�Theory��b#��iF�Let�L�G=k��i�b�S�e�a�nite��k�g�-v��rector�space�sc�heme�where��k��i�is�a�nite�eld�of�order��q�n9�.�Supp�S�ose��G��has����iForder��n�q��n9���2�n��
���so��G��is�lo�S�cally�the�sp�ectrum�of�a�rank��n��algebra�o��rv�er��n�k�g�.�2The�Dieudonn��r��s�e�functor����iFcon��rtra�v��X�arian�tly�H�asso�S�ciates�to��G��an��n��dimensional��k�g�-v��rector�space��D��(�G�).�S�Let��F��Vrob����:����G��!��G����iF�b�S�e��[the�morphism�induced�b��ry�the��p�th�p�o��rw�er��[map�on�the�underlying�rings�and�let��V��Ver��3�b�e�the����iFdual��of��F��Vrob��m7.�,Let��'�UR�=��D�S��(�F��Vrob���/)��and����=�UR�D��(�V��Ver����),���then�it�is�a�prop�ert��ry�of�the�functor��D���that����iF�'��������=�UR��lo���'��=�0.�8�The��functor��D�>6�is�a�fully�faithful�functor.���@����iF�Example�3513.5.1.���c��Let��r�k��o�=�UR�F�����p���]�.�!�If��G��is�either��������a-�������p����
�3����p��~��,��J������p���,�or��r�Z�=p�Z��then��D�S��(�G�)�is�a�one-dimensional����iFv��rector�3space�o�v�er��F�.���In�the�case�of�������p���]�,���'���=���]Ϲ=�0.�F��Vor��������������1����%����p���Q�,���'��=�0�3and���]��6�=��1�and�for��Z�=p�Z�,����iF�'�UR�6�=�1��and����=�UR0.�8�[[The�latter�t��rw�o��could�b�S�e�rev��rersed!]]����	:Let���G����2�_��	��=��URHom����(�G;���wv�����������������	�����p��
��)�denote�the�Cartier�dual�of�the�sc��rheme��G�.�8�Then��[email protected]������D�S��(�G�����_��*��)�UR=��Hom����۟���k�� �m�(�D��(�G�)�;���k�g�)����iF(�'�꨹and����o�are�switc��rhed.)������iF�Example�3513.5.2.���c��Let���A��b�S�e�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er��F�����`��	y�and�let��G�	�=��A�[�`�].�	�Then���G��is�an�����iF�F�����`����-v��rector��Vspace�sc�heme�of�order��`����2�2�g��	�.���Th�us��D�S��(�G�)�is�a�2�g�n9�-dimensional��F�����`����-v�ector�space�and����iFfurthermore����D�S��(�G�)��e=��H����2���V�1��b���D�<rR���)7�(�A=�F�����`����).��<The�Ho�S�dge�ltration�on��H����2���V�1��b���D�<rR������of�the�ab�elian�v��X�ariet��ry��A����iF�giv��res��rise�to�a�diagram��0B������e����ՏCHom����(�H���V���2�0���Z�(�A����2�_��*��;����
����2�1����)�;��F�����`����)���NZ(=���m[��T���an�(�A����2�_��*��)�����������jj������V�0���/5��!���E5��H���V���2�0���Z�(�A;����
����2�1����)�����!�����D�S��(�G�)�����A�!����&��H����2���V�1��b���D�<rR���)7�(�A=�F�����`����)���L���!���l��H���V���2�1���Z�(�A;����O�UV�)�����@�!���ŜB�0�������A�jj������jj�������=��D�S��(�A�����=�F��i?�`�����[�`�])���L���!���b���D�S��(�A�����=�F��i?�`�����[�V��Ver����])�����@�!���ŜB�0�����0B���	:There��is�an�exact�sequence��[email protected]����0�UR�!��W�����F��i?�`���
�.�!��J�����F��i?�`���
Bܹ[�`�]����2�����m���p�������[!������J�����F��i?�`����[�`�]����iFso��b�S�ecause��D�>6�is�an�exact�functor�the�sequence����� =�D�S��(�J�����F��i?�`���
Bܹ[�`�])����2�����m���p���UR����[!������D��(�J�����F��i?�`����[�`�])�UR�!��D�S��(�W�����F��i?�`����)��!��0����iFis��exact.�8�F��Vollo��rwing�F�on��rtaine�w�e�consider������6�D�S��(�W�����F��i?�`���
Bܹ[�V��Ver����])�UR=��H���V����1���Z�(�J��:;����O�UV�)�=�m�H���V����1���(�J�;����O�UV�)�:�����Mؒ��k��������iF�13.6.�	#�THE��PR��rOOF:�P��VAR�T��I�S�I�+��77�����덠�B�ƍ���iF�13.6��iBThe�z�Pro��=of:���P��u�art�I�I��b#���iF�[[W��Ve�6�all�just�returned�from�the�W�ashington�D.C.�conference�and�will�no��rw�resume�the�pro�S�of.]]������	:Let��O�J�����0����(�N�@�)�b�S�e�the�Jacobian�of��X�����0���(�N�@�).�6mLet��m�UR���T��O�b�S�e�a�maximal�ideal�and�supp�ose��m�j�`�.�����iFAssume��6that��`�c��6�=�2��6and��`��c��6�c�j�N�@�.�R�The�assumption�that��`��6�=�2�is�necessary�for�Ra��rynaud's�theory�����iFand�h�w��re�assume�that��`�+��6�+�j�N��l�so�that�our�group�sc�hemes�will�ha�v�e�go�S�o�d�h�reduction.��W��Ve�attac�h�����iFto���m��a�2�dimensional�semisimple�represen��rtation�������m���:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!��V�=��and��only�consider�the�����iFcase��that�������m���W�is�irreducible.�����	:The�%��m�-torsion�of�the�Jacobian,�4��W�[�=��!�J�����0����(���S��z�
#��	�\��Q���
#��)[�m�],�is�%�naturally�a�Galois�mo�S�dule.��W��Ve�ha��rv�e�����iFsho��rwn���that��W�[�6�=�w�0.�uCBy�(Boston-Lenstra-Rib�S�et)��W�����P�������԰���2C�=������G�V�T�����\������p���\�V��9�(the�n��rum�b�S�er���of�fractions�����iFis��ynot�determined).�+{W��Ve�pro��rv�ed��ythat��W���Ɵ��2�s:s:������P���x����԰���%`�=������!�V�����X��������&�X��V��p�.�Cho�S�ose�an�inclusion��V���,���!�UR�W�d?�and�����iFlet���Q�UR�=��W�S�=V���b�e�the�cok��rernel.���񍍍��iF�Theorem��13.6.1.���C�$�Q�UR�=�0�35�so���dim����}����T�=�m��-�C�W���=�UR2�����	:T��Vo�Depro��rv�e�the�theorem�w�e�in�tro�S�duce�the�\mac�hine"�of�nite�
at�group�sc�hemes�o�v�er��Z�����`����.������iFF��Vor���example,����W�"Y�extends�to�a�nite�
at�group�sc��rheme��W�����Z��i?�`���
�0�whic�h�is�dened�to�b�S�e�the�Zariski�����iFclosure��of��W��n�in��J�����Z��i?�`���
��[�`�].�8�P��rassing�to�group�sc�hemes�yields�an�exact�sequence��$���~��0�UR�!��V�����Z��i?�`���
n��!��W�����Z��i?�`����!��Q�����Z��i?�`����!��0�:�����iF�Reducing��mo�S�d��`��then�yields�an�exact�sequence�of��F�����`����-group�sc��rhemes����~��0�UR�!��V�����F��i?�`���
�.�!��W�����F��i?�`����!��Q�����F��i?�`����!��0�:�����iF�The��p�S�oin��rt�is�that��Q�UR�=�0��i��Q�����Z��i?�`���
n�=�UR0�i��Q�����F��i?�`���
�.�=�0.������	:Next��w��re�in�tro�S�duced�the�exact�con�tra�v��X�arian�t�Dieudonn���s�e�functor����C3W�D���:�UR(���Groups�Sc��rhemes��[���=�F�����`��㎹)���������
��!��(���Linear�Algebra��T��)�:�����iFD���sends��a�group�sc��rheme��G��to�a��T�=�m��v�ector�space�equipp�S�ed�with�t�w�o�endomorphisms�����iF�'�UR�=��F��Vrob���)and�����=��V��Ver���5.�8�Applying��D�>6�giv��res�an�exact�sequence�of��T�=�m�-v�ector�spaces����p�
0�UR�!��D�S��(�Q�)��!��D��(�W��ƹ)��!��D��(�V��p�)��!��0�����iFwhere��ev��rerything�is�no�w�view�ed�o�v�er��F�����`����.���񍍍��iF�Lemma��13.6.2.���:^��D�S��(�W��ƹ[�V��Ver����])�UR=�(�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�����F��i?�`���
B��;����
����2�1���)[�m�])����2���������iF�Pr��ffo�of.���2��W��Ve��ha��rv�e�the�diagram��2������qǍ��[���D�S��(�J�����F��i?�`���
Bܹ[�`�])����R�=����%��H����2���V�1��b���D�<rR���)7�(�J�����F��i?�`���
Bܹ)�������pB��#����
�#������U2��D�S��(�J�����F��i?�`���
Bܹ[�V��Ver����])����R�=�����
�H���V���2�1���Z�(�J�����F��i?�`���
B��;����O�����J��\r�F����`����m�)���i<���pB��#����
�#������W6��D�S��(�W��ƹ[�V��Ver����])����R�=����v �H���V���2�1���Z�(�J�����F��i?�`���
B��;����O�����J�����)�=�m�H���V���2�1���(�J�����F��i?�`����;����O�����J�����)��������iFF��Vurthermore��w��re�ha�v�e�the�iden�tications��$������Q���H���V����1���Z�(�J�����F��i?�`���
B��;����O�����J�����)���������=��URT��Van��>((�J������r�_���ڍ�F��i?�`����
Bܹ)�UR=��Cot��C~(�J������r�_���ڍ�F��i?�`�����)�������������������=�UR�H���V����0���Z�(�J��r����_��G"�;����
�����1����)�������V�=��H���V����0���(�X�����0����(�N�@�)�;����
�����1���)��������������iF�F��Vor��the�last�iden��rtication�w�e�m�ust�ha�v�e��J��r���2�_��
�t�=��URAlb����(�X�����0����(�N�@�)).�8�Finally�������g0 �D�S��(�W��ƹ[�V��Ver����])����������=�UR�H���V����1���Z�(�J��:;����O�����J�����)�=�m�H���V����1���(�J�;����O�����J�����)��������������=�UR(�H���V����0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�����F��i?�`���
B��;����
�����1���)[�m�])��������:�����������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������N�
��k�������iF�78�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����덠�B�ƍ���iF�Lemma��13.6.3.���g^��H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�����F��i?�`���
B��;����
����2�1���)[�m�]�35�has��T�=�m��dimension���UR�1�.��")����iFPr��ffo�of.���02��Let����S���=�^��H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�����F��i?�`���
B��;����
����2�1���)[�m�].��Then��S��,���!�^��F�����`����[[�q�n9�]].�W��Ve�dened�the�Hec��rk�e�op�S�erators�����iF�T�����n��	"�on�y��S�,��via�the�iden��rtication��S�����P���)����԰���!�=��������H���V���2�1���Z�(�J��:;����O�����J�����)�so�that�they�act�on��S�)��UR�F�����`����[[�q�n9�]]�in�the�standard����iFw��ra�y��V.�	5Let�0�T�(�S��׹)�b�S�e�the�subalgebra�of��End��<�(�S��)�generated�b��ry�the�images�of�the��T�����n��	�j�in��End��<�(�S��).����iF(�T�(�S��׹)��is�not�a�subring�of��T�.)�8�There�is�a�p�S�erfect�pairing���ڍ�����}�T�(�S��׹)������S�����������q�������t!�UR�F�����`��������������e�(�T���;���f�G��)��������q�7!�UR�a�����1����(�f�G��j�T��ƹ)�������iFTh��rus���Bdim��������F��i?�`���$`d�T�(�S��׹)�a�=��dim����ݟ���F��i?�`���$9��S�;�and��Bso��dim��������T�(�S�r}�)��-���S�l��a��1.��Since��m��acts�trivially�on��S��there�is�a�����iFsurjection���T�=�m����UR�����
��!��!�UR�T�(�S��׹).�8�Th��rus������S}dim�����ş���T�=�m��ڤ��S�)���UR�dim���ꚟ���T�(�S�r}�)��,v�S���UR�1����iFas��desired.����ػ��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����c��	:An��application�of�the�ab�S�o��rv�e��lemma�sho��rws�that��D��(�W��ƹ[�V��Ver����])�has��T�=�m��dimension���UR�1.������iF�Lemma��13.6.4.���g^��D�S��(�W��ƹ[�V��Ver����])�����P���UR����԰���n:�=��������D��(�V��p�[�V��Ver��])������iF�Pr��ffo�of.���02��Consider��the�follo��rwing�diagram.��S�f����2+���u}0����t�0���oM�0�������um�#����d�#���o=}#������(F¹0���8&��!���j)��D�S��(�Q�)�����g�!����k��D�S��(�W��ƹ)���,���!���c�4�D�S��(�V��p�)������!�������0������j���#��UR�V��Ver��������#��UR�V��Ver����d�c�#��UR�V��Ver�������(F�0���8&��!���j)��D�S��(�Q�)�����g�!����k��D�S��(�W��ƹ)���,���!���c�4�D�S��(�V��p�)������!�������0������um�#����d�#���o=}#����x���(F¹0���8&��!���N&��D�S��(�Q�)�=�����V��Ver�����D��(�Q�)�����g�!���³i�D�S��(�W��ƹ)�=�����V��Ver�����D��(�W��)������2���+�2�?��?���p���(����.HX����������"!������G�|�D�S��(�V��p�)�=�����V��Ver�����D��(�V��)������!�������0������um�#����d�#���o=}#������u}�0����t�0���oM�0�����T\��iF�D�S��(�V��p�)���has�dimension�2�so�since��V��Ver���������F��Vrob���=��URF��Vrob��������V��Ver���3=�UR0���and��V��Ver���,����F��Vrob��mare�b�oth�nonzero�����iFthey�t�m��rust�eac�h�ha�v�e�rank�1�(in�the�sense�of�undergraduate�linear�algebra).�	�RSince��D��\�is����iFexact,����D�S��(�V��p�[�V��Ver����])�[ =��D��(�V��p�)�=�����V��Ver�����D��(�V��)��and��D��(�W��ƹ[�V��Ver����])�[ =��D��(�W��ƹ)�=�����V��Ver�����D��(�W��).�CBy��the�previous����iFlemma���udim�����D�S��(�W��ƹ)�=�����V��Ver�����D��(�W��)�w=�1.�tFTh��rus��u�D�S��(�W��)�=�����V��Ver�����D��(�W��)�w�!��D�S��(�V��p�)�=�����V��Ver�����D��(�V��)��uis�a�map�of����iF1���dimensional�v��rector�spaces�so�to�sho�w�that�it�is�an�isomorphism�w�e�just�need�to�sho�w�that����iFit��is�surjectiv��re.�8�This�follo�ws�from�the�comm�utativit�y�of�the�square��4�,�����e�����D�S��(�W��ƹ)���߼��!����e�D�S��(�V��p�)���T���!���j���0���������#���*�#������zY��D�S��(�W��ƹ)�=�����V��Ver�����D��(�W��)���߼��!�������D�S��(�V��p�)�=�����V��Ver�����D��(�V��)������*��#������:��0�����4�:������e��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����c��	:Supp�S�ose��for�the�momen��rt�that�w�e�admit�(Boston-Lenstra-Rib�S�et).�8�Then���ڍ��K\�W���=�UR�V�G�����������UN����V��¹=��V���p�����t�����iF�so������۬�D�S��(�W��ƹ[�V��Ver����])�����P���UR����԰���n:�=��������D��(�V��p�[�V��Ver��])������t������O��k��������iF�13.7.�	#�KEY��RESUL��VT�OF�BOSTON-LENSTRA-RIBET��q�79�����덠�B�ƍ��iFand��hence��t�UR�=�1.������	:Alternativ��rely�C�w�e�can�a�v�oid�the�use�of�Boston-Lenstra-Rib�S�et.�4Supp�ose��Q�UR�6�=�0.�4Then�there�����iFis�7lan�injection��V�tl,���!����Q�.�-[[I�7Xcan't�see�this�without�using�B-L-R.�It�isn't�ob��rvious�to�me�from�����iF0�.��!��V��	�!��W��_�!��Q��!��0.]]���Th��rus�jOo�v�er��F�����`����,��9�V��p�[�V��Ver����]�.��,���!��Q�[�V��Ver��].���Since�jO�V��p�[�V��Ver��]��6�=�0�jOthis�implies�����iF�Q�[�V��Ver����]��K�6�=�0.��Th��rus����D�S��(�Q�)�=�����V��Ver�����D��(�Q�)��K=��D�S��(�Q�[�V��Ver��])��6�=�0.��But���the�b�S�ottom�ro��rw�of�the�ab�o��rv�e�����iFdiagram��implies��D�S��(�Q�)�=�����V��Ver�����D��(�Q�)�UR=�0��so��Q�UR�=�0.��(V����iF�13.7��iBKey�z�Result�of�Boston-Lenstra-Rib��=et��b#���iF�Let���G��b�S�e�a�group�(i.e.,��h�G�UR�=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)),�let���k�5�b�S�e�a�eld�(i.e.,��k��o�=�UR�T�=�m�),�and�let��V�5��b�S�e�a�t��rw�o�����iFdimensional���k�g�-represen��rtation�of��G��giv�en�b�y�����|���UR�:��k�g�[�G�]��!���End���b����k�����(�V��p�)�=��M�����2����(�k��)�:�����iF�The�Ök��rey�h�yp�S�othesis�is�that��V�`�is�absolutely�irreducible,���i.e.,�that�Ö���is�surjectiv�e.�êF��Vor�eac�h������iF�g�Ë�2�UR�G�꨹consider����i�x�p�����g��*P�=�UR�g��n9����2���������g��n7�T��Vr������(�g�n9�)�+���det����b��(�g��)�UR�2��k�g�[�G�]�:�����iF�By��the�Ca��ryley-Hamilton�theorem���(�p�����g�����)�UR=�0.�.Let���J��~�b�S�e�the�t�w�o-sided�ideal�of��k�g�[�G�]�generated�����iFb��ry��all��p�����g�����suc�h�that��g�Ë�2�UR�G�.�8�Since��J�q�����k��rer�������,����induces�a�map����������Ë�:�UR�k�g�[�G�]�=J�q��!���End���b����k�����(�V��p�)�:�������iF�Theorem��13.7.1�(Boston-Lenstra-Rib�`et).����t��If�35���n�is�surje��ffctive�then����is�an�isomorphism.������	:�In��"particular�if��V�*��is�absolutely�irreducible�then����[�is�surjectiv��re.�	The�theorem�can�b�S�e�false������iFwhen���dim����V���>�UR�2.�����	:Supp�S�ose�o��W���is�a�second�represen��rtation�of��G��giv�en�b�y���띹:��k�g�[�G�]��!���End���\(�W��ƹ)�o�and�that�����iF��(�J�r�)��=��f�0�g����End���F(�W��ƹ).���Then����W�x��is�a�mo�S�dule�o��rv�er����k�g�[�G�]�=J���=���End��(�V��p�).���But��End���(�V��)�is�a�����iFsemisimple�g�ring�so�an��ry��End��t^(�V��p�)�mo�S�dule�is�a�direct�sum�of�simple��End��(�V��p�)�mo�S�dules.�
2The�only�����iFsimple���End���g(�V��p�)��mo�S�dule�is��V��.�8�Th��rus��W�����P��������԰����=��������V�����2����-:�n����ǹfor�some��n�.�����P��k�������iF�80�����CHAPTER��13.�	#�THE�GORENSTEIN�PR��rOPER��VTY�����뎌�Q��k�������덠������iF�Chapter�	T{14��2&؍��iFLo��
cal�	T{Prop�erties�of��E��g��Hcmmi12�E���?�F��g��qcmmi12�F���7����iF�Let�40�f�|/�b�S�e�a�newform�of�w��reigh�t�402�on������0����(�N�@�).�	xT��Vo��f��w��re�ha�v�e�asso�S�ciated�an�ab�elian�v��X�ariet��ry������iF�A�~�=��A�����f��	y��furnished��with�an�action�of��E�2�=�~�Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�(�f�G��)�;��:�:�:���).���Let���O�����E��0�b�S�e�the�ring�of�in��rtegers�����iFof���E����and���UR��O�����E��0�a��prime.�8�Then�w��re�obtain�a���-adic�represen�tation��􈍒�9���������ʬ�:��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�UR�!���GL��������2����(�E�������uZ�)�����iFon�ܿthe�T��Vate�mo�S�dule��T�ate���	!����`��!�A�UR�=����lim����i���� ����c�������A�[�����2�i��dڹ].�4=W�e�ܿwill�study�the�lo�S�cal�prop�erties�of���������	R�at�v��X�arious������iFprimes���p�.��)ߍ���iF�14.1��iBDenitions������iF�T��Vo��bview���������	��lo�S�cally�at��p��w��re�restrict�to�the�decomp�osition�group��D�����p����=��URGal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�at��p�.�Recall�����iFthe��`denition�of��D�����p���]�.�1Let��K����b�S�e�a�nite�extension�of��Q��and�let��w�&
�b�e�a�prime�of��K����lying�o��rv�er�����iF�p�.�8�Then��the�decomp�S�osition�group�at��w�=R�is�dened�to�b�e��􈍑q�G�D�����w��
%�=�UR�f���2���Gal���(�K�5�=�Q�)�:���n9w����=��w�R��g�:��`�����iF�Prop�`osition��14.1.1.���Sx��D�����w������P���
%�����԰���
>׹=������ИGal��),H(�K�����w��Н�=�Q�����p���]�)��B8�����iF�Pr��ffo�of.���2��Dene�ERa�map��Gal���(�K�����w��Н�=�Q�����p���]�)���!��D�����w���b��ry�ER��]��7!�������j�K��
�6�.�H�Since�������j�K��݈�xes��Q��this�restriction�is�����iFan�ePelemen��rt�of��Gal���(�K�5�=Q�).�mSince��w�R��O�����K���w�����is�the�unique�maximal�ideal�of��O�����K���w����and���Ӊ�induces�an�����iFautomorphism�6qof��O�����K���w���
�^�,�Idit�follo��rws�that���n9�(�w�R��O�����K���w����)��Q=��w�R��O�����K���w����.�<Th��rus�6q������j�K��
�6�(�w��)��Q=��w���so�������j�K��n��2��D�����w��Н�.�����iFThe��map���Ë�7!�UR������j�K���޹is�bijectiv��re�b�S�ecause��K��F�is�dense�in��K�����w��Н�.�����w��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����ݗ���	:Let��􈍑>�
�D�����p����=�����URlim����i���UR� ����c������������w�7�j�p��#z�D�����w��
%�=�����URlim����i���UR� ����c������������w�7�j�p���%x�Gal��7w((�K�����w���=�Q�����p���]�)�UR=��Gal���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���)�:�����iF�F��Vor��peac��rh��w�R��j�p��let�the�inertia�group��I�����w��	m
�b�S�e�the�k�ernel�of�the�map�from��D�����w��	m
�in�to��Gal��� (�O�����K��;��=w�R�;����Z�=p�Z�).�����iFLet���I�����p����=����URlim����i���UR� ����c�����������w�7�j�p��#z�I�����w���.������iF�14.2��iBLo��=cal�z�Prop�erties�when��p��
>�:!",�G�
cmsy10�6���j�N������iF�Next�w��re�study�lo�S�cal�prop�erties�of���������
�f�at�primes��p�Jl�6�Jhj�N�@�.��Th��rus�supp�ose��p�Jl�6�Jhj�N�Q�and��p��6�=��`��=������iFc��rhar���Gp(�O�����E��-��=�).�8�Let���D�����p����=��URGal���(����S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���#�й).�Then��B8������wv1)������2���������uZ�j�D�����p������is��qunramied�(i.e.,��I��������uZ�(�I�����p���]�)�UR=��f�1�g�)��qth��rus�����������j�D�����p������factors�through��D�����p���]�=I�����p��Iιso����������(�F��Vrob����/����p��p��)������2is��dened.�����‰#81����Rk��k�������iF�82��g��CHAPTER��14.�	#�LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�������������덠�B�ƍ����wv�2)�����(�2T��Vr��4ܸ(��������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��))�UR=��a�����p���]�(�f�G��)��J������S�2+)����(�2W��Ve���can�describ�S�e����������uZ�j�D�����p���n�up�to�isomorphism.�+KIt�is�the�unique�semisimple�represen��rtation�����(�2satisfying��1)�and�2).��'u����iF�14.3��AiBW��aGeil-Deligne�z�Groups��b#��iF�Notice��Xthat�ev��rerything�is�sort�of�indep�S�enden�t�of���.��Using�W��Veil-Deligne�groups�w�e�can����iFsummarize��all�of�these���-adic�represen��rtations�in�terms�of�data�whic�h�mak�es����disapp�S�ear.����	:W��Ve��ha��rv�e�an�exact�sequence��F[���	"1�UR�!��I�����p����!���Gal���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)��!���Gal��(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�)��!��0�:���M��iF�Since���Gal���(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�)�hv=�����x^�����Z���a��there��is�an�injection��Z�hv�,���!���Gal���&(���S��z�|r�	�\��F����|r����p���=�F�����p���]�).�
�8Dene��the�W��Veil�group����iF�W��ƹ(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)��,����Gal��)�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p���=�Q�����p���]�)���to�b�S�e�the�set�of�elemen��rts�of��Gal��P�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p���=�Q�����p���]�)�mapping�to��Z��,�������iF�Gal����(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
C��=�F�����p���]�).�8��W��n�ts��in��rto�the�exact�sequence�������1�UR�!��I�����p����!��W��ƹ(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)��!��Z��!��1�:����	:�There���is�a�standard�w��ra�y���in�whic��rh�the�newform��f�չgiv�es�rise�to�a�represen�tation�of��W��ƹ.����iFF��Vactor�NJthe�p�S�olynomial��x����2�2�������~�a�����p���]�(�f�G��)�x��+��p�NJ�as�a�pro�duct�(�x��~���r��)(�x����r�����2�0��!ǹ)�NJwith��r��r;���r�����2�0�� ��2����C�.�c�Dene����iFmaps������,������b��ry������Y��h�:�UR�Z��!��C�������V�:�1��7!��r��0p��£j����:�UR�Z��!��C�������V�:�1��7!��r��S�����0�����iF�Com��rbining�����7�and������and�the�map��W��ƹ(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�UR�!��Z�꨹yields�a�map������w����7���������:�UR�W��ƹ(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)��!���GL��������2����(�C�)���獒�
`���7!����UR��
��������d���
�����(��n9�)���5""0�������v0���,L3���O�(��n9�)�������C�
��
�����K��:����iF�Moreo��rv�er�����7���������giv�es�rise�via�some�construction�to�all�the���-adic�represen�tations���������uZ�.��'u����iF�14.4��AiBLo��=cal�z�Prop�erties�when��p�j�N��b#��iF�Supp�S�ose�Y��p�j�N����but��p�s�6�=��`�.��8Cara��ry�ol�Y�w�as�able�to�generalize�1)�in�his�thesis�whic�h�builds�up�S�on�����iFthe�X7w��rork�of�Langlands�and�Deligne�in�the�direction�of�Deligne-Rapap�S�ort�and�Katz-Mazur.����iFThe�/aidea�is�that�the�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��A��has�a�conductor�whic�h�is�a�p�S�ositiv�e�in�teger�divisible�b�y����iFthose�@sprimes�of�bad�reduction.�$The�conductor�of��A��satises��cond��g(�A�)�UR=��M��@���2�g��	VU�where�@s�g��=��dim����A����iF�and���M�+��is�the�reduced�conductor�of��A�.������iF�Theorem��14.4.1�(Cara��y�ol).������M��6�=�UR�N�@��.����	:�Ho��rw���can�w�e�generalize�2)�or�2+)?�b�F��Vor�eac�h��p��dividing��N�9u�there�is�a�represen�tation�������p����of������iFWD�� t�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�<o��rv�er��C��suc�h�that�������p��	h�giv�es�rise�to����������uZ�j�D�����p������for�all������6���j�p�.�-	Here��WD��G�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�is�the�����iFW��Veil-Deligne��group�whic��rh�is�Deligne's�generalization�of�the�W�eil�group.����WD���}(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�is�an����iFextension��lof��W��ƹ(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�).�wWhat�is�������p��bɹsupp�S�osed�to�b�e?�wThe�p�oin��rt�is�that�������p��bɹis�determined�b�y����iF�f�G��.��Th��rus�Zfev�ery��f��e�giv�es�rise�to�a�family�(������p���]�)�����p��X�prime��ސ�.��T��Vo�really�think�ab�S�out�������p��	!ùw�e�m�ust�think����iFab�S�out���mo�dular�forms�in�an�adelic�con��rtext�instead�of�viewing�them�as�holomorphic�functions����iFon��the�complex�upp�S�er�halfplane.����	:If�FZ�p����2�2����j�N��>�and��f�9e�=���f�����P����a�����n���P�q��n9���2�n��
\�is�a�newform�of�lev��rel��p����2�2��	^�then�it�is�a�classical�fact�that��a�����p���ù=��f0.����iFBut��the�study�of����������uZ�j�D�����p���>.�is�ric��rh�and�\corresp�S�onds�to�a�rather�inno�cuous�lo�oking�crystal".�����S)���k��������iF�14.5.�	#�DEFINITION��OF�THE�REDUCED�CONDUCTOR�����83�����덠�B�ƍ���iF�14.5��iBDenition�z�of�the�Reduced�Conductor�����iF�W��Ve��Ano��rw�dene�the�reduced�conductor.�s�Let����b�S�e�a�prime�of��E��X�and��p��a�prime�of��Q��suc�h������iFthat��V����6��
j�p�.���W��Ve�w��ran�t��Vto�dene�some�in��rteger��e�(�p�)�so�that��p����2�e�(�p�)����is�the��p�-part�of�the�reduced�����iFconductor.�k�W��Ve���will�not�dene��e�(�p�)�but�what�w��re�will�do�is�dene�an�in�teger��e�(�p;����)�whic�h�is�����iFthe���p��part�of�the�conductor.�8��e�(�p;����)�is�indep�S�enden��rt�of����but�this�will�not�b�e�pro��rv�ed��here.��͜���	:Consider��hԍ�u����������uZ�j�D�����p����ع:��URGal���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�UR�!���Aut���=����E��i?����$�n�V��:������iF�Let���V���p���2�I��
���UR�V���b�S�e�the�inertia�in��rv��X�arian�ts��of��V��p�,�i.e.,��hԍ�\%D�V���p����I��
��=�UR�f�v�Ë�2��V��¹:���������uZ�(��n9�)(�v��)�UR=��v��X�for��all��&����2��I���g�:�����iF�Since����������w(�is�unramied�at��p��i���������uZ�(�I�����p���]�)�UR=��f�1�g�ιw��re�commen�t�that���������w(�is�unramied�at��p��i��V���p���2�I��
��=�UR�V��p�.������iFLet�����@�e�(�p;����)�UR=��dim����V�N8=V���p����I��
e�+�����s2�(�p;��)������iFwhere����s2�(�p;����)�is�the�Sw��ran�conductor.��OBy�w�orking�with�nite�represen�tations�w�e�dene���s2�(�p;����)�����iFas��Efollo��rws.�)�Cho�S�ose�a��D�����p���]�-stable�lattice��L��in��V�Y��b�y�rst�c�ho�S�osing�an�arbitrary�one�then�taking�����iFthe��sum�of�its�nitely�man��ry�conjugates.�2�Let����\-�z�	v�	�Ӎ�V���d]�=���L=L��whic�h�is�a�2�dimensional�v�ector�����iFspace�<to��rv�er��k��g�=��J�O�����E��-��=�.�	.CLet��G��b�S�e�the�quotien�t�of��Gal���$(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�b�y�the�k�ernel�of�the�map�������iFGal�����(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)�3v�!���Aut���;����K���$V���\-�z�	v�	�Ӎ�V���-��.�
F�Th��rus����G��=��Gal���&(�K�5�=�Q�����p���)���for�some�nite�extension��K�5�=�Q�����p���.�
F�The��� ���iFextension����K�`k�is�nite�o��rv�er����Q�����p��	K*�since��G�Y�����Aut���AŸ���k���eR��\-�z�	v�	�Ӎ�V���-_$�and����Aut���k�����k����"��\-�z�	v�	�Ӎ�V���-��is���a�2�����2���matrix�ring�o��rv�er���a�����iFnite��eld.�8�The�corresp�S�onding�diagram�is��)@�����H����o�Gal���a�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)����:��!��������Aut����������k����L��\-�z�	v�	�Ӎ�V���������U�&�����[��������:��G�UR�=��Gal���(�K�5�=�Q�����p���]�)�����)�����	:Consider��in��G��the�sequence�of�\higher�ramication�groups"��hԍ����G�UR�=��G������1�������G�����0��V���G�����1�����������UL�:�����iF�Here���G�����0�����is�the�inertia�group�of��K�5�=�Q�����p���R�and��G�����1���is�the��p�-sylo��rw�subgroup�of��G�����0���[[the�usages�of������iF\the"�uin�this�sen��rtence�mak�es�me�nerv�ous.]]��HLet��G�����i���c�=���f�g����2��G�����0��?��:��ord��xa(�g�n9�)��������)�����i��+�1�g�u�where�����iF��X�is��some�kind�of�uniformizing�parameter�[[I�missed�this�{�what�is���n9�?]]�8�Let��$�ҍ�kҔ��s2�(�p;����)�UR=����������1��������X���
㇍�S�i�=1��������ō�+�Թ1���۟[��z�-��
�΍(�G�����0��V�:��G�����i��dڹ)������H��dim��\fB(���\-�z�	v�	�Ӎ�V���	v=���\-�z�	v�	�ӍV��������G��8:�i�����)�:��%�����iF�It��is�a�theorem�that���s2�(�p;����)�is�an�in��rteger�and�do�S�es�not�dep�end�on���.��͜���	:If��to�start�with�w��re�only�had����\-�z�	v�	�Ӎ�V���KU�and�not��V���w�e�could�dene��#�&���fٳcond���(���\-�z�	v�	�Ӎ�V���	v�)�UR=����������1��������X���
㇍�S�i�=0��������ō�+�Թ1���۟[��z�-��
�΍(�G�����0��V�:��G�����i��dڹ)������H��dim��\fB(���\-�z�	v�	�Ӎ�V���=���\-�z�	v�	�ӍV��������G��8:�i�����)�:��%T⍑�iF�Then����b5�e�(�p;����)�UR=��cond��|^(���\-�z�	v�	�Ӎ�V���	v�)���+�(�dim����F��\-�z�	v�	�Ӎ�V����K����I��&�@����dim��?��V���p����I��k��)�:��]>���	:�A��Oreference�ƈfor�m��ruc�h�ƈof�this�material�is�Serre's��L��ffo�c�al��OF���actors�of��L�-functions�of���-adic�����iFR��ffepr�esentations�.�����T<\��k�������iF�84��g��CHAPTER��14.�	#�LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�������������덠�B�ƍ��iF�14.6��AiBIn��u�tro��=duction��b#��iF�Our�ggoal�is�to�study�lo�S�cal�prop�erties�of�the���-adic�represen��rtations���������	���arising�from�a�w�eigh�t�����iF2�p�newform�of�lev��rel��N����on������0����(�N�@�).��TThere�is�a�theorem�of�Cara�y�ol�whic�h�states�roughly�that����iFif��p�J��6�=��`��then���������uZ�j�D�����p��	�|�is�predictable�from�\the�comp�S�onen��rt�at��p��of��f�G��".��DT��Vo�understand�this����iFtheorem��0w��re�m�ust�understand�what�is�mean�t�b�y�\the�comp�S�onen�t�at��p��of��f�G��".�8xIf��p����2�2��7��6�w�j�N���this����iFcomp�S�onen��rt���is�easy�to�determine�but�if��p����2�2����j�N��عit�is�harder.��One�reason�is�that�when��p����2�2���j�N��عthen����iF�a�����p���]�(�f�G��)��T=�0.�δ[[this��should�b�S�e�easy�to�see�so�there�should�b�e�an�argumen��rt�here.]]�δIf��a�����p���]�(�f�G��)��T=�0��H��iFand��r��������
��:�� �Gal��|8(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)� ��!���Aut��M(�V�������uZ�)�then��V����4���p�I���p���	�d�����GJ�=�0.�b=This�means�that�there�is�no�ramication����iFgoing���on�at��p�.�#�See�Casselman,��f\On�represen��rtations�of��GL�(2)�and�the�arithmetic�of�mo�S�dular����iFcurv��res",��An�t�w�erp�I�S�I.��'�)���iF�14.7��AiBAdelic�Q�Represen��u�tations�Asso��=ciated�to�Mo�dular�F��aGorms������iF�Let����R���b�S�e�a�subring�of��A����2�2��V�=�UR�R����2�2��٤����(����0^����Z���
Y��
�����Z�����Q�)����2�2����,���supp�ose�that��R�����P���n�����԰������=�����E�Q����2�2��c��and�that��R���
�����Q��	��A�����P���UR����԰���n:�=��������A����2�2����.���j��iFLet����L��"�=��R�C��\�*��(�R����2�2��������Z��^�����Z����2�2����*��).�l�Then�the�natural�map��L��
����Z��^�����Z������!��"�Z����2�2��	f��is�an�isomorphism.�l�[[Is�the����iFisomorphism��"implied�b��ry�the�denition�of��L��or�is�it�part�of�the�requiremen�t�for��L��to�actually����iFform��an�adelic�lattice?]]�8��L��is�called�an��adelic�35lattic��ffe�.����	:The�g�space�of�mo�S�dular�forms��S�����2����(�����0���(�N�@�))�g�is�isomorphic�to�a�certain�space�of�functions����iFon��x�G�(�A�)�+�=��GL���i(2�;����A�).�
9PSee�Borel-Jacquet�[[Corv��X�allis?]]�or�Diamond-T��Va��rylor,�,In�v�en�tiones����iFMathematica,��115�(1994)�[[what�is�title?]]�8�W��Ve�will�describ�S�e�this�isomorphism.����	:W��Vrite�]i�A���=��R������A�����f��	�Ĺ=���A�����1�������A����2�1��
]q�where��A�����f��	�Ĺ=��������Q��m��Q�����p��	$ƹ(restricted�pro�S�duct)�is�the�ring�of����iFnite��]adeles.�k�A�����1��
�e�denotes�the�adeles�with�resp�S�ect�to�the�place��1��so��A�����1��%��=�%��R�,�?�and��A����2�1�����iF�denotes��the�adeles�a��rw�a�y��from�the�place��1��so��A����2�1��UZ�=�UR�A�����f��w�.����	:�S�����2����(�����0���(�N�@�))��is�isomorphic�to�the�set�of�functions��'�UR�:��G�(�A�)��!��C�꨹whic��rh�satisfy���������wv0)����(�2�'�꨹is�left�in��rv��X�arian�t��b�y��G�(�Q�),�i.e.,��'�(�x�)�UR=��'�(�g�n9x�)�for�all��g�Ë�2��G�(�Q�)�and�all��x��2��G�(�A�),��2>�����wv1)����(�2�'�(�xu����2�1��	�)�UR=��'�(�x�)��for�all��x�UR�2��G�(�A�)��and�all��u����2�1��UZ�2�UR�U��@���2�1��
@�,�������wv2)����(�2�'�(�xu�����1��	�)�UR=��'�(�x�)�j��ӹ(�u�����1���;���i�)����2��k���
��det���(�u�����1���)��for�all��x�UR�2��G�(�A�)��and��u�����1��UZ�2�UR�U�����1���,�������wv3)����(�2holomorph��ry��V,��cuspidal,�and�gro�wth�conditions.����iF�U��@���2�1��+��is��the�adelic�v��rersion�of������0����(�N�@�).�8�Th�us��U��@���2�1��+��is�the�compact�op�S�en�subgroup�� o׍�g%��U��@����1��
�>�=�UR�f�����
��������d���*��a����b���������c���U�d�������p���
�����'��2���GL��������2����(����0^����Z���@�)�:��c����0���(�mo�S�d���B�N�@�)�g���G�(�A�����f��w�)�:����iF�(F��Vor��u�����1����(�N�@�)�the�condition�is�that��c�UR���0�UP(�mo�S�d���B�N��)��uand��d�UR���1�UP(�mo�S�d���B�N��)��ubut��a��is�not�restricted.)�����	:Next�Mw��re�describ�S�e��U�����1����������GL����R����2��LV�(�R�).��_�GL������2�����(�R�)�op�erates�on��H������2���6׹=����C�����R�M�b��ry��z����7!�����Fu��/��az�V��+�b��/����z�
џ�ꍐEcz�V��+�d�����p�.�_�Let����iF�U�����1��갹b�S�e��the�stabilizer�of��i�.����	:The��third�condition�in��rv�olv�es��the��automorphy�35factor��j��{�dened�b��ry���+�����j��ӹ(�����
��������d���*��a����b���������c���U�d�������p���
�����$�[�;���z���)�UR=��cz�3��+����d:�� o׍�iF�T��Vo��explain�the�holomorph��ry�condition�3)�w�e�dene,�for�an�y��g�Ë�2�UR�G�(�A�����f��w�)�a�map��o؍��t$������g�I{;'����:�UR�H���������
�r�!��C��������hi�UR�7!��'�(�g�n9h�)�j��ӹ(�h;���i�)�����k��#��(��det���Q�(�h�))������1��\|�:�����UMj��k��������iF�14.7.�	#�ADELIC��REPRESENT��VA�TIONS�ASSOCIA�TED�TO�MODULAR�F��rORMS�(���85�����덠�B�ƍ��iFHere�A��h�UR�2��G�(�A�����f��w�)�so��hi��2�H������2���: �.��There�ma��ry�b�S�e�sev�eral�dieren�t��h�UR�2��G�(�A�����f��w�)�whic��rh�giv�e�the�same������iF�hi�r6�2�H������2���5��so���it�m��rust�b�S�e�c�hec�k�ed�that�������g�I{;'���
�is�w�ell-dened.�k�Supp�S�ose��hi�r6�=��h����2�0���9�i�,���then����h����2��1��\|�h����2�0���i�r6�=��i�.�����iFTh��rus���h����2��1��\|�h����2�0��#��2�UR�U�����1��	�,�so�b�y�2),���⍑^�$�'�(�g�n9h������1��\|�h�����0���9�)�UR=��'�(�g��)�j��ӹ(�h������1��\|�h�����0���9�;���i�)������k����
��det����(�h������1���h�����0���)�:�����iF�Th��rus�����KtE�'�(�g�n9h������1��\|�h�����0���9�)�����det���Q�(�h�����0���)������1���ι=�UR�'�(�g��)�j��ӹ(�h������1��\|�h�����0���;���i�)������k����
��det����(�h�)������1���:������iF�Substituting���g�n9h��for��g�X�yields����I���'�(�g�n9h�����0���9�)(��det���Q�(�h�����0���))������1���ι=�UR�'�(�g�h�)�j��ӹ(�h������1��\|�h�����0���;���i�)������k���
�(��det���Q�(�h�))������1���:�����iF�[[Wh��ry���do�S�es�not�the�automorph�y�factor�w�ork�out�righ�t??�]:(]]�The�holomorph�y�condition�is�����iFthat��the�family�of�maps�������g�I{;'����are�all�holomorphic.�����	:The��cuspidal�condition�is�that�for�all��g�Ë�2�UR�G�(�A�),�the�in��rtegral���@������甆�Z�����`�
�_�u�2�A�=�Q�����'�(�����G��������)������1���P�u����ፍ���0���Y=1��������,��G������o.�;���g�n9�)�du�UR�=�0��"2A���iFv��X�anishes.�K�Since����A�=�Q��is�compact�it�has�a�Haar�measure�dened�mo�S�dulo��k��g���2���	���whic��rh�induces�����iF�du�.�l�Although���the�in��rtegral�is�not�w�ell-dened�the�v��X�anishing�or�non-v�anishing�of�the�in��rtegral�����iFis.�����	:W��Ve���can�no��rw�describ�S�e�the�isomorphism�b�et��rw�een����S�����k��#��(�����0����(�N�@�))�and�the�space�of�suc��rh�functions�����iF�'�꨹on��G�(�A�).����^6��f��꨹space�of��'��satisfying�0-3���TF�g�UR!��S�����k��#��(�����0����(�N�@�))�������>�'�UR�7!��f�����iF�where���f�2��is�the�restriction�to��H�r��=�UR�H������2�+��$ȹof�the�function���⍒����hi�UR�7!��'�(�h�)�j��ӹ(�h;���i�)�����k��#��(��det���Q��h�)������1��\|�:�����	:�No��rw�ލw�e�can�asso�S�ciate�to�a�newform��f�&��a�represen�tation�of��G�(�A�).�߂W��Ve�can�w�eak�en�condition�����iF1)��to�get���0�������1-)������2�'�(�xu����2�1��	�)��'=��'�(�x�)�>�for�all��x��'�2��G�(�A�)�>�and�all��u����2�1���/�2��'�U��@���2�1��~�where��U��@���2�1���is��some��compact�op�S�en������2subgroup��of��G�(�A�����f��w�).���/���iF[[can���the��U��@���2�1��"Źv��X�ary�for�eac��rh��x�UR�2��G�(�A�)���or�are�they�xed�throughout?]]�5�Let��S��;�b�S�e�the�space�of�����iFall�3functions�satisfying�all�conditions�except�1-)�replaces�1).�ЂThis�space�has�a�left�action�of�����iF�G�(�A�):�������(�g�������'�)(�x�)�UR=��'�(�xg�n9�)������iFIf���f�c��is�a�newform�corresp�S�onding�to�some��'��via�the�ab�o��rv�e��isomorphism�then�via�this�action�����iF�f�N�giv��res��Orise�to�an�innite�dimensional�represen�tation���2��of��G�(�A�).�,In�fact�w�e�obtain,���for�eac�h�����iFprime��s�p�,���a�represen��rtation�������p��sйof��GL��<(2�;����Q�����p���]�).�$$The�represen�tation�space�is�������P���W ���g�I{�2��GL�����q�2��$��(�Q���p��Z��)��?O8�C�+����g������'�.�������iFOur��immediate�goal�is�to�understand�������p��� �for�as�man��ry��p��as�p�S�ossible.��[[spherical�represen�tations�����iFha��rv�e��something�to�do�with�this.�8�are�the�������p����spherical�reps?]]�����	:W��Ve�(are�studying�lo�S�cal�prop�erties�of�the���-adic�represen��rtations������������asso�ciated�to�a�newform�����iF�f��/�of��0w��reigh�t�2,��{lev�el��N���and�c�haracter��"�UR�:�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���V�!��C����2���m4�(with��cond���<(�"�)�j�N�@�).�$cLet��`��2��Z��b�S�e�the�����iFprime��o��rv�er�whic�h����lies.�8�W��Ve�lo�S�ok�at���������	`�lo�cally�at��p�,��p�UR�6�=��`�.�����	:As�[cw��re�sa�w�last�time��f��b�giv�es�rise�to�an�irreducible�represen�tation�of��GL����(2�;����A�).��An�irre-�����iFducible�3orepresen��rtation�of��GL�(2�;����A�)�giv�es�rise�to�a�family�of�represen�tations�(������v���
�)�where��v����is�����V`Ҡ�k�������iF�86��g��CHAPTER��14.�	#�LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�������������덠�B�ƍ�iF�a���prime�or��1��and�������v�����is�an�irreducible�represen��rtation�of��GL��5G(2�;����Q�����v���
�).�!�This�is�b�S�ecause��Q�����v��B_��UR�A�����iF�so���GL��zC(2�;����Q�����v���
�)�UR����GL����(2�;��A�).����	:Cara��ry�ol�pwpro�v�ed�that�if��p�9�6�=��`��then���������uZ�j�����D���p���D��dep�S�ends,���up�to�isomorphism,�only�on�������p���]�.��NThe����iFmost�y	in��rteresting�case�of�the�pro�S�of�of�this�theorem�is�the�case�when��p����2�2���p�6��hj�N�@�.�	�Ev�erything����iFnecessary��to�obtain�a�pro�S�of�in�this�case�w��ras�a�v��X�ailable�in�the�w�ork�of�Langlands�[1972].����	:T��Vo�j�get�an�idea�of�what�is�going�on�w��re�will�rst�consider�the�case�when��p����6���j�N�@�.�	��The����iFc��rharacteristic�Tfp�S�olynomial�of�F��Vrob�enious�(at�least�psyc��rhologically)�under�the�represen�tation����iF��������uZ�j�����D���p������is������A�x�����2��j������a�����p���]�x��+��p"�(�p�)�UR=�(�x������r�S��)(�x����s�)�:��H��iF�Because�I2of�W��Veil's�pro�S�of�of�the�Riemann�h��ryp�othesis�for�ab�elian�v��X�arieties�[o��rv�er�I2nite�elds?]����iFone��kno��rws�that��j�r�S��j�.�=��j�s�j��=��������p���.�����z�孟z��p������.�{�Since����������
vA�arises�from�the�action�of�Galois�on�an�ab�elian����iFv��X�ariet��ry�P�whic�h�has�go�S�o�d�reduction�at��p��(since��p�V�6�Rj�N�@�)�it�follo��rws�that���������uZ�j�����D���p���$�is�unramied.�k�[[Is����iFthis��in�Serre-T��Vate,�1968?]]�8�W�e�also�kno��rw�that���������uZ�(�F�rob����/����p��p��)�has�c��rharacteristic�p�S�olynomial��4�������x�����2��j������a�����p���]�x��+��p"�(�p�)�UR�2��E���[�x�]�:����iF�In���this�situation�one�also�kno��rws�that���������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��)�is�semisimple�[[pro�S�of:���Rib�et���no�dded�at�����iFColeman��who�smiled�at�no�S�dded�bac��rk.]]�8�Th�us��4�����M��������ʬ�����UR��
��������d���
�p�r���_��0�������
�0������s������� ?���
�����'j��:����iF�In��this�situation�what�is�the�represen��rtation�������p����of��GL��zC(2�;����Q�����p���]�)?�8�There�are�t�w�o�c�haracters��4����X����;�������:�UR�Q���������ڍ�p�����!��C����������iF�(called��\Gr�� ossenc��rharacters�of�t�yp�S�e�(a,0)")�suc�h�that���������Ů1.����(�2���7�and�������are�unramied�in�the�sense�that�����3����j�����Z��������G��p����-T�=�UR���O�j�����Z��������G��p�����=�1�:����(�2�This�Z*is�a�reasonable�condition�since�under�some�sort�of�lo�S�cal�class�eld�theory��Q����2����RA��p����'ȍ�(�2�em��rb�S�eds�VLas�a�dense�subgroup�of��Gal����(���S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���]�)�and�under�this�em�b�S�edding�the�inertia����(�2subgroup���I�F����UR�Gal���(���S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���]�)�corresp�S�onds�to��Z����2����RA��p����.��[[This�could�b�S�e�wrong.�Also,�F�is��I����\�u�Q����2����RA��p�����=����(�2�Z����2����RA��p����]�?]]���0�����Ů2.����(�2����(�p����2��1��\|�)�UR=��r�S��,�����O�(�p����2��1���)�=��s�.������	:In�6Dthe�1950's�W��Veil�found�a�w��ra�y�6Dunder�whic��rh���Iӹand����corresp�S�ond�to�con�tin�uous�c�haracters����iF��������uZ�,����������	`�on��Gal��FX(���S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���]�)�with�v��X�alues�in����\-�z�	f��	�Ӎ�E��������
Qd���
f[��
Qd�����f�suc��rh�that�������Ů1.����(�2��������	`�and�����������are�unramied.���0�����Ů2.����(�2��������uZ�(�F��Vrob����/����p��p��)�UR=��r�>6�and�����������(�F��Vrob����/����p��p��)�=��s�.����iFOne��has�that���������ʬ�=�UR�������� ������������uZ�.�8�See�Serre-T��Vate�[�29����].�[[Wh��ry�see�this?]]����	:Dene��a�c��rharacter��on�the�Borel�subgroup����������B��X�=����UR��
��������d���
�������������
��0������������ ���
�����*�����UR�GL����(2�;����Q�����p���]�)����iFb��ry���S���=������
��������d���*��x�����y��������W�0����S�z�������ݟ�
�����(�۹=�UR����(�x�)���O�(�z���)��2��C���������:�����Wr��k��������iF�14.8.�	#�MORE��LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�THE���������uZ�.��yʹ87�����덠�B�ƍ��iFThen��卑\|�������p����=��URInd�����4������GL�� ��(2�;�Q���p��Z��)��	�������B���=`6�:=�UR�C�[�GL����(2�;����Q�����p���]�)]����
�����C�[�B�d��]��Ż�C�:�������iF�W��Ve��/call�this�induced�represen��rtation�������p��x��the�unramied�principal�series�represen�tation�asso�S�ci-������iFated��to����G�and�����and�write�������p����=��URPS����(���;�����O�).�7�P��reople�sa�y�������p����is�spherical�in�the�sense�that�there�����iFis��Ka�v��rector�in�the�represen�tation�space�in�v��X�arian�t�under�the�maximal�compact�subgroup�of������iFGL�����(2�;����Q�����p���]�).��[[Rib�S�et�w�w��ras�sligh�tly�unsure�ab�S�out�the�correct�denition�of�spherical.]]��[[F��Vor�some�����iFm��rysterious�3�reason]]�since�������p����=��ѓPS��W:(���;�����O�)�it�follo�ws�that�����,�E������and�hence���������uZ�j�D�����p����is�completely�����iFdetermined��b��ry�������p���]�.�8�[[This�is�the�p�S�oin�t�and�i�don't�see�this.]]���L���	:Next�r�w��re�consider�the�more�dicult�case�when��p�jj�N��s�(�p��divides��N��exactly).��There�are�t��rw�o�����iFcases��to�consider���~������	:a������2�"�꨹is�ramied�at��p��(�p�j�����cond��'
(�"�))��������bb������2�"�꨹is�unramied�at��p��(�p��UV�6�URj�����cond��'
(�"�)).��)Q�����iF�14.8��iBMore�z�Lo��=cal�Prop�erties�of�the���������Z��.���q���iF�Let��p�f��o�b�S�e�a�newform�of�lev��rel��N�@�.�]9Then��f��corresp�S�onds�to�a�represen��rtation������=��p�
������v���
�.�]9If���j�`������iF�and�I0�`��9�6�=��p��then���������uZ�j�D�����p��	��corresp�S�onds�to�������p���under�the�Langlands�corresp�S�ondence.�TxThe�details�����iFof�6�this�corresp�S�ondence�w��rere�gured�out�b�y�Philip�Kutzk�o,�I�but�Cara�y�ol�completed�it�in�the�����iFexceptional��case�(to�b�S�e�dened�later).�8�There�are�3�cases�to�consider.���~������wva)������2�p��UV�6�URj�N���������Z�b)������2�p�jj�N����������c)������2�p����2�2����j�N�����iF�W��Ve��Nconsidered�the�rst�t��rw�o��Ncases�last�time.���The�third�case�is�dieren��rt�b�S�ecause�the�same������iFsort��Yof�analysis�as�w��re�applied�to�the�rst�t�w�o�cases�no�longer�w�orks�in�the�sense�that�w�e�no�����iFlonger��kno��rw�what�������p����lo�S�oks�lik�e.��$����iF�14.8.1���P���ossibilities�fffor����g�ffcmmi12���(��
�b>

cmmi10�p����N���iF�Case���1�(principal�series)�*�In�this�case,�P�������p����=��URPS����(���;�����O�).���Here���;�������:�UR�Q����2����RA��p�����!��C����2����
�are�*unramied�����iFc��rharacters.�g�Q����2����RA��p�����corresp�S�onds�S>to�a�dense�subgroup�of�the�ab�elian�Galois�group�of��Q�����p����under�the�����iFcorresp�S�ondence��elucidated�in�Serre's�\Lo�cal�Classeld�Theory"�(in�Cassels�and�F��Vrohlic��rh).��*Mɍ����8�����*�Q����2����RA��p��������!��������Gal����K(���S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���]�)����2�ab���������n��#����ޕ#��������N��Z������!��������^�������Z����yh�=��URGal���(���S��z�
Cϟ	�\��F�����p����
C��=�F�����p���]�)�����)����iFUnder�!this�corresp�S�ondence���4��and����R�corresp�ond�to�Galois�represen��rtations���������
�]�and����������and�����iF��������uZ�j�D�����p�����UR�������� �������������.�����	:�Case�-�2�(sp�`ecial)���In�this�case,���������p���p�is�the��sp��ffe�cial���automorphic�represen��rtation�corresp�S�onding�����iFto�mthe�Galois�represen��rtation���|��
���st��Ќwhere��mst��sis�mthe�Stein�b�S�erg�represen�tation�whic�h�arises�����iFsomeho��rw�>�from�a�split-m�ultiplicativ�e�reduction�elliptic�curv�e�and����is�a�Diric�hlet�c�haracter.�����iFIn��this�case��䍒��W��������uZ�j�D�����p����=�UR�����
������
��������d���	�T������`����*�����������0���:�1�������%*���
�����,UU�:�����X����k�������iF�88��g��CHAPTER��14.�	#�LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�������������덠�B�ƍ�	:�Case���3�(cuspidal)�W��Case�3�o�S�ccurs�when�������p���do�es�not�fall�in��rto�either�of�the�previous�cases.�����iFSuc��rh���a�������p��	zX�is�called�cuspidal�or�sup�S�er-cuspidal.���Some�of�these�������p���come�from�the�follo��rwing����iFrecip�S�e.��Fix�(;an�algebraic�closure����S��z���	�\��Q�����p����;`�of��Q�����p���]�.�Let��K�ٹb�S�e�a�quadratic�extension�of��Q�����p���]�.�Let����iF� �Ë�:�UR�K��ܞ���2������!��C����2������b�S�e��a�Gr�� ossenc��rharacter.�8�Then�� �X�giv�es�rise�to�a�c�haracter��M�����N� �������ʬ�:��URGal���(���S��z���	�\��Q�����p�������=K�ܞ�)�UR�!����\-�z�	f��	�Ӎ�E������������
f[����������iF�whic��rh��induces���������uZ�j�D�����p���]�.�8�That�is,���p��m3��������uZ�j�D�����p����=��URInd�����4������Gal��!�+(���n]�\)�M�����Q���p�����M�=�Q���p��Z��)��` �����Gal��!�+(���n]�\)�M�����Q���p�����M�=K����)���F�?� �������ʬ�:��URGal���(���S��z���	�\��Q�����p�������=�Q�����p���]�)�UR�!���GL����(2�;������\-�z�	f��	�ӍE����f���������)�:��`���iF�This���represen��rtation�is�irreducible�i�� ���is�not�in�v��X�arian�t�under�the�canonical�conjugation�of�����iF�K�5�=�Q�����p���]�.�8�The��8pair�� �n9�,��N�K��ֹgiv��res�rise�(via�the�construction�of�Jacquet-Langlands)�to�a�represen-����iFtation���of������� �I{;K��?йof��GL��_|(2�;����Q�����p���]�).�/�Those�represen��rtations�whic�h�do�not�come�from�this�recip�S�e�and����iFwhic��rh���do�not�fall�in�to�case�1�or�case�2�ab�S�o�v�e�are�called��extr��ffaor�dinary�.�r�They���can�only�o�S�ccur����iFwhen���p�UR���2.��㍑	:When��can�the�v��X�arious�cases�o�S�ccur?����	:Case��1)�o�S�ccurs,�e.g,�if��p��UV�6�URj�N�@�,�and�also�if��p�jj�N�+��and��"��(the�c��rharacter�of��f�G��)�is�ramied�at��p�.����	:Case��2)�o�S�ccurs�if��p�jj�N�+��and��"��is�unramied�at��p�.��&����iF�14.8.2��E�The�ffcase��`����=��p��x獑iF�W��Ve�$�consider���������uZ�j�D�����p���
�where���j�p��and��p���=��`�.���W�rite�$��f��=�������P��b��a�����n���P�q��n9���2�n����.���The�case�when�����6�j�a�����p���
�is�called�����iFthe�¡ordinary�case.���This�case�is�v��rery�similar�to�the�case�for�an�ordinary�elliptic�curv�e.���In����iFother��w��rords,������ɗ���������uZ�j�D�����p����=����UR��
��������d���
���������������Vd�0������������#Y3��
�����*���:�����iF�[[Rib�S�et�0hmen��rtioned�that�there�is�a�pap�er�on�this�b��ry�Mazur�and�Wiles�in�the�American�Journal����iFof�:�Mathematics.�)�Lo�S�ok�the�reference�up.]]�An�imp�S�ortan��rt�p�oin��rt�is�that����=�is�unramied�so�it����iFmak��res��ysense�to�consider����O�(�F��Vrob����/����p��p��)�UR=��a�����p����2��E����2������y������uZ�.���Since��y�����ȹis�the�determinen�t,�
��������=�UR�����2��k�6���1��RA��p����"��=�������p���]�"����iF�(after���setting��k��o�=�UR2�to�x�ideas),�,Ithis�giv��res�some�description�of�what�is�going�on.��The�ob�vious����iFquestion��to�ask�is�whether�or�not�*�is�non��rtrivial.�8�That�is,�is���������uZ�j�D�����p����semisimple�or�not?��㍑	:When����f�̹�has�w��reigh�t���2,��then��f��giv��res�rise�to�an�ab�S�elian�v��X�ariet�y��A�UR�=��A�����f��w�.��Then�������������is�dened����iFb��ry��{lo�S�oking�at�the�action�of�Galois�on�the���-adic�division�p�oin��rts�on��A�.�,�If�none�of�the����lying����iFo��rv�er��b�p��divide��a�����p�����then��A��is�ordinary�at��p�.�;A�stronger�statemen��rt�is�that�the��p�-divisible�group����iF�A�[�p����2�1��	�]��has�go�S�o�d��ordinary�reduction.����	:One���simple�case�is�when��f���has�CM.�By�this�w��re�mean�that�there�is�a�c�haracter������6�=�1����iFof�1�order�2�suc��rh�that��a�����n��	v��=��]��(�n�)�a�����n��	��for�all��n��prime�to��cond��X�(��).�7[[This�is�not�a�t�yp�S�o,�C�I�1�do�not����iFmean��0m��d��z��Q��K��a�����n�����ҹ=����(�n�)�a�����n���P�.�
0Coleman�0msaid�that��a�����n��	td�=���(�n�)�a�����n��	ؽ�is�just�a�funn��ry�w�a�y�to�sa�y�that�half�of����iFthe�s�a�����n��
a�are�0.]]��It�is�easy�to�pro��rv�e�sthat��f���has�CM�r�i�the���������	�k�b�S�ecome�ab�elian�on�some�op�en����iFsubgroup���of��Gal���R(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�of�nite�index.��Rib�S�et�explains�this�in�his�article�in�[�21����].�If��f�ԡ�has�CM����iFthen��Qsince�the�represen��rtation���������	=��is�almost�ab�S�elian�one�can�sho�w�that�*�is�trivial.�-nRib�S�et�said����iFhe�Y=do�S�es�not�kno��rw�whether�the�con�v�erse�is�true.���Note�that��f��<�has�CM�Y!i��A�����f��w�=���S��z�
#��	�\��Q���|ʹhas�CM.�If����iFall�,��j�p��are�ordinary�(i.e.,��they�do�not�divide��a�����p���]�)�and�if�*�is�trivial�for�ev��rery���������uZ�j�D�����p��̉�it�is�easy����iFto��sho��rw�using�[�26����]�that��A��has�CM.����	:Next���w��re�will�sa�y�something�more�ab�S�out�represen�tations�whic�h�app�S�ear�to�b�e�ordinary��V.����iFConsider�jthe�situation�in�whic��rh��f���has�w�eigh�t�2�and��p��exactly�divides�the�lev�el��N���of��f�G��.����iFSupp�S�ose�Mwfurthermore�that�the�c��rharacter��"��of��f��v�is�unramied�at��p�.�	aMThen�������p��
Թis�a�sp�ecial�����Y�7��k��������iF�14.8.�	#�MORE��LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�THE���������uZ�.��yʹ89�����덠�B�ƍ��iFrepresen��rtation.�The��h��-adic�represen�tations�for��`�f��6�=��p��h�are�(up�to�c�haracters�of�nite�order)������iFlik��re��represen�tations�attac�hed�to�some�T��Vate�curv�e.�8�The�situation�is�similar�when��`�UR�=��p��since�� �S�������������uZ�j�D�����p����=����UR��
��������d���
���������������Vd�0������������#Y3��
�����*���:��!����iF�As�u�in�the�case�of�a�T��Vate�curv��re����=����=�UR������p���]�.��Up�to�a�quadratic�c�haracter�w�e�kno�w�the�situation�����iFsince�2����K�=�Y�������p���]�"�.��Also���ā�is�still�unramied�and����O�(�F��Vrob����/����p��p��)�=��a�����p��	ᏹis�a�unit.��W��Ve�kno��rw�that�����iF�a����2��2��RA��p�����=�UR�"�(�p�)��:is�a�ro�S�ot�of�unit��ry��V.�$�When��k��o�=�2�the�case�of�a�spherical�represen��rtation�mimics�what�����iFhapp�S�ens�e�for�ordinary�reduction.���The�upp�er�righ��rt�hand�en�try�*�is�nev�er�trivial�in�this�case�����iF[[b�S�ecause��of�something�to�do�with�extensions�and�Kummer�theory]].�����	:Rib�S�et�TRsaid�he�kno��rws�nothing�ab�out�the�situation�when��k��o>�UR�2.��If��p�jj�N��6�and��"��is�unramied�����iFat�Å�p��then�������p����is�sp�S�ecial�so���������uZ�,��Y�`�UR�6�=��p�Å�are�again�of�the�form������G��������x2���C�����s�����:G����O�0����h��������*���G������ ���.�+�So�w��re�still�kno�w�ev�erything�����iFup�_�to�a�quadratic�c��rharacter.�	�xBut�if��`�Ќ�=��p�_۹some�c�haracters�are�Ho�S�dge-T��Vate�[[what�do�es�����iFthat��mean?]]��[so�b��ry�a�theorem�of�F��Valtings�they�can�not�b�S�e�bizarre�p�o��rw�ers��of�the�cyclotomic�����iFc��rharacter.��KThe�Xvm�ultiplicativ�e�case�lik�e�the�ordinary�case�is�v�ery�sp�S�ecial�to�the�case��k�wV�=�92.�����iFWiles��uses�this�hea��rvily�in�his�pro�S�of.�z�If��k�g̹is�arbitrary�then��a����2��2��RA��p���B-�=�z��"�(�p�)�p������L䍑33�k��33�s^�\)����6:�2�����}����.��1��ګ�so��a�����p����is�not�a�unit�����iFfor�?m�k�L�>�囹2�so�there�is�no�in��rv��X�arian�t�?mline.�7.So�the�represen��rtation�is�probably�irreducible�in�the�����iFcase����k��o>�UR�2,��sin��rterestingly�enough.��[[Ec�hos�of�\y�eah",��s\strange"�and�\v�ery�strange"�are�heard�����iFthroughout��the�ro�S�om.]]��"ʫ����iF�14.8.3���T���fate�ffCurv���es��@���iF�K.�)�Buzzard�told�me�something�ab�S�out�T��Vate�curv��res.��TSupp�ose��E��=�Q�����p���,�is�an�elliptic�curv��re�with�����iFm��rultiplicativ�e�Ccreduction�at��p��and�that��j�L��2���Q�����p��

��is�the��j��ӹ-in��rv��X�arian�t�Ccof��E���.�	CUsing�a�form��rula�����iFwhic��rh���can�b�S�e�found�in�Chapter�V���of�[�34����]�one�nds��q��]�=�h$�q�n9�(�j��ӹ)�with��j�q��j�h$�<��1.�ZThe���T��Vate�curv��re�is�����iF�E���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p����)���=����S��z�
#��	�\��Q����F��T�p����=q��n9���2�Z���d�.�WThe�J�p��torsion�on�the�T��Vate�curv��re�is��f�����2����a��RA�p����й(�q��n9���2�1�=p��
���)����2�b����:���0����a;���b����p�����1�g�.�Galois���z���iFacts��b��ry�������p����7!�UR�����2����a��RA�p���	�x�and��q��n9���2�1�=p��
��7!������2����a��RA�p������q��n9���2�1�=p��
���.�8�Th��rus�the�asso�S�ciated�Galois�represen�tation�is������G��������],���j�����p����O������������0���O�1����������G������$�.�����Z�[��k�������iF�90��g��CHAPTER��14.�	#�LOCAL�PR��rOPER��VTIES�OF�������������뎌�[���k�������덠��'P���iF�Chapter�	T{15��24����iFThe�	T{W����eigh��8�t�and�Serre's�Conjectures��>4�����iF�15.1��iBIn��u�tro��=duction�������iF�The�bnext�topic�is�a�close�study�of�the�reduction�of�these�represen��rtations�mo�S�d��`�.��sStarting�with������iFsome��Qeigenform��f�?P�w��re�mak�e�a�represen�tation���������	l��then�reducing�mo�S�d����giv�es�a�represen�tation������iF��d��z�t��K�������x���T������.�8�The��motiv��X�ating�question�is���������iF�Question��15.1.1.���Ch��Which��p��ffossible�eigenforms�of�various�weight�and�level�might�give�rise�to�����iFsome��35��d��z�t��K������
B���T�����.�����	:�W��Ve��migh��rt�as�w�ell�assume����d��z�t��K������
����T������is�irreducible�although�in�teresting�w�ork�has�b�S�een�done�in�����iFthe���reducible�case.�<The�main�trends�in�the�sub��ject�are�\lo��rw�ering"���and�\raising".�The�result�����iFafter���m��ruc�h�w�orks�is�that�certain�of�Serre's�conjectures�are�v��X�alid�in�the�sense�that�if���������	T�arises�����iFfrom��sa�mo�S�dular�form�then�the�lev��rel�and�w�eigh�t�of�the�mo�S�dular�form�is�what�Serre�exp�ected.�����iFIf����������	`�\lo�S�oks�lik��re"�it�comes�from�a�certain�space�then�it�do�es.�������	:The�5Squestion�can�also�b�S�e�view��red�via�the�opp�osite�optic.��What�is�the�most��bizarr��ffe��kind�����iFof�u/�f��.�that�could�giv��re�rise�to���������uZ�?��tUsing�certain�prop�S�erties�of��cond���;(���������)�one�can�obtain�some�����iFsort��of�con��rtrol�on�the�p�S�ossible�w�eigh�ts�and�lev�els.�8�This�is�used�in�the�w�ork�of�Wiles.��)YU����iF�15.2��iBReview�z�of�the���-adic�case�������iF�A���newform����f����of�lev��rel��N��ڹgiv�es�rise�to�a�system�(������;f����)�of���-adic�represen�tations.��W��Ve�try�to�����iFdescrib�S�e�b�what�go�es�on�with���������uZ�j�D�����p���]�.���W��Ve�kno��rw�ev�erything,��in�principal�at�least,�when��p�"�6�=��`�����iF�and���j�`��b�S�ecause�of�Cara��ry�ol's�theorem.��When��p��X�=��`��the�situation�is�more�complicated.�The�����iFsimplest��cases�are�when����������Ů1.������2�p�UR�6�j�N�+��and��(�a�����p���]�;���N�@�)�=�1,�this�is�the�ordinary�go�S�o�d�reduction�case.��������Ů2.������2�p�jj�N�@�,��the�w��reigh�t��of��f�2��is�2,�and�the�c��rharacter��"��asso�S�ciated�to��f��is�unramied�at��p�.�����iFThese�5Pt��rw�o�cases�are�parallel.�	�But�if�in�case�2�the�w�eigh�t�is�strictly�greater�than�2�then������iFnothing��is�kno��rwn.��)YU����iF�15.3��iBSerre's�z�conjecture�0�������iF�Next�`�w��re�talk�ab�S�out�the�situation�for�mo�d��`��represen��rtations.���The�basic�reference�is�Serre's�����iF1987��article�[�27����].�����‰#91����\�i��k�������iF�92�o�t�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ���iF�Conjecture��15.3.1�(Serre's�Conjecture�0).��� �Supp�S�ose�������F��UR�:��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����F�)����iFis���a�mo�S�dular�represen��rtation�with��F��a�nite�eld.�*�Assume����is�irreducible�and�o�dd,��Qi.e.,�that������iFdet���(��)(�c�)�UR=���1��where��c��is�complex�conjugation.�8�Then�Serre�conjectures�that����is�mo�S�dular.���鍑	:F��Vormally��Qthis�means�that����is�isomorphic�to�a�reduction�of�some�������f�h�;��>Z�where��f�6P�is�a�newform����iFon�������1����(�N�@�)�for�some��N�5l�and����is�a�prime�of��O��v�=�f �O�����E��i?�f����[�.�VFix�an�algebraic�closure����S��z�|r�	�\��F���e��of��F�.�Then��ҍ�iFthere��is�an�em��rb�S�edding�of��O�UV�=��in�to����S��z�|r�	�\��F���Q¹and�a�natural�inclusion�of��F��in�to����S��z�|r�	�\��F���g�.��(덍��A����:N�O�UV�=������,���!����
��S��z�|r�	�\��F���������
Y��[������
�F�����'m?��iF�T��Vo��4sa��ry�that����is�isomorphic�to�the�reduction�of�������f�h�;��=�w�e�mean�that����d��z�t��K������	ƨ��T�;f��Fɹand����are�isomorphic�����iFo��rv�er��ꨟ�S��z�|r�	�\��F���g�.��"�����iF�15.3.1��E�Problems��@��iF�One��problem�is�that����liv��res�in�a�sligh�tly�smaller�eld�that��O�UV�=��w�ould�suggest.��t����iF�Example�3515.3.2.���c��Let��V�f��U�b�S�e�the�unique�newform�[?]�$�of�lev��rel�23�w�eigh�t�2�and�trivial�c�haracter.��y��iFThe��bco�S�ecien��rts�of��f��a�liv�e�in��O����=�UR�O��5��Q�(����`��p���\��`��\)@��o��5����U`)��#��=��Z�[�����CH��33�1+����`��p���\��`��\)@��o��5�����33��(�z�1ܟ�ꍑ��2������B�]�:��b�F��Vor�example,����a�����2��bf�satises��x����2�2�����
�x����1�UR=�0.����iFT��Vak��re��@����=�2.�S�Then��O�UV�=�����P�������԰�����=�����c[�F�����4����.�S�Th��rus����d��z�t��K������
����T�;f���liv�es�o�v�er��F�����4����.�S�If�w�e�just�consider�those��a�����p��	e��with��F���iF�p�g��6�=�2�;����23���one�can�sho��rw�that�these�elemen�ts�all�actually�liv�e�in��Z�[������p���
��ljz����	�9��5������]�whic�h�maps�mo�S�d����to����iF�F�����2��6���v��F�����4����.�tBecause��dof�this�it�can�b�S�e�sho��rwn�that����d��z�t��K������

؟�T�;f���)�has�a�mo�del����o��rv�er��d�F�����2����.�tThis�is�b�ecause����iFthe�-Ftraces�and�dets�of�F��Vrob�S�enius�at�primes�where�F�rob�S�enius�is�dened�(i.e.,�=��p�Ƶ�6�=�2�;����23)�-Ftak��re����iFv��X�alues�bVin��F�����2����.���Geometrically��V,���AGL���ܟ���2����(�F�����2���)�����P���!����԰���9�=������e�S�����3��	"Z�so�bVthe�represen��rtation����w�e�get�is�one�in�whic�h����iFGalois���acts�as��S�����3���ֹon�3�p�S�oin��rts�of��X�����0����(23).�7�T��Vo�see�that����is�mo�dular�w��re�migh�t�need�to�pass�to����iFan���algebraic�closure.�EUStarting�with���\c�:��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL���������2����(�F�����2����)���w��re�w�an�t�to�sa�y�������P���\c����԰���uK�=��������d��z�t��K���������T�;f��"�~�.�EUBut����iFthis��isomorphism�only�tak��res�place�o�v�er��F�����4����.����	:A��rt���this�p�S�oin�t�K.�Buzzard�sa�ys,��T\Ma�yb�S�e�there�is�some��b��ffetter��mo�dular�form�so�that�the����iFasso�S�ciated��4represen��rtation�actually�tak�es�v��X�alues�in��F�����2��	u8�and�is�isomorphic�to���.���That�w�ould����iFb�S�e�K�a�stronger�conjecture."�[zRib�et�resp�onds�that�he�has�nev��rer�though�t�ab�S�out�that�question.����iFNext�܃Cask��rel�asks�if�the�determinen�t�of�an�y�������f�h�;��,��is�a�cyclotomic�c�haracter.�4)The�answ�er�is�no����iFunless�Em�f��l�is�a�mo�S�dular�form�with�resp�ect�to������0����(�N�@�).�I.Here��f��l�is�a�mo�dular�form�with�resp�ect����iFto�������1����(�N�@�).��'�e���iF�15.4��AiBSerre's�z�conjecture�1��b#��iF�The��next�conjecture�in�Serre's�pap�S�er�[�27����]�is�no��rw�a�theorem�when��`��is�o�dd.������iF�Theorem��15.4.1.���p�$�Supp��ffose�*��`��is�o�dd.�;If�the�mo�d��`��r�epr�esentation����is�irr�e�ducible�and�mo�dular����iFthen�35���arises�fr��ffom�a�newform��f�{4�of�some�sp�e�cic�weight��k�g�(��)��and�level��N�@�(��)�.����	:�Here�2�N�@�(��)�is�a�sort�of�conductor�of����dened�as�b�S�efore.��cIt�is�called�the�\Artin�conductor".����iFIt��is�a�pro�S�duct�������Q���?����p�6�=�`�� ��p����2�e�(�p�)��?�where��e�(�p�)�is�a�sum��$�L���������2��1�������1���X���
㇍���2�i�=0��������ō��@��1���P��[��z�-��
�΍(�G�����0��V�:�UR�G�����i��dڹ)�������C�dim��
�!(�V�N8=V���p����G��8:�i����z�)�:�����]�1��k��������iF�15.4.�	#�SERRE'S��CONJECTURE�1���93�����덠�B�ƍ��iFHere�5��V��l�is�the�represen��rtation�space�of���.�	�The�factor�����Fu����1��i/����z��5���(�G��q�0��*��:�G��8:�i��,r�)�����*a��dep�S�ends�only�on��G�����0��
IM�=��I��j�I�����p���]�.��#Z���iF[[Should��jI���really�sa��ry��G�����0��@չ=�����(�I�����p���]�)�the�image�of��I�����p��
�ǹsitting�inside��Aut���/(�V��p�)?]]�
�%There�is,�>�in������iFparticular,��a�term�corresp�S�onding�to��i�UR�=�0��whic��rh�is��dim���(�V�N8=V���p���2�I���p���&¹).�8�Th�us���b����b�e�(�p�)�UR=��dim���(�V�N8=V���p����I���p���&¹)���+���s2�(�p�)�:�����iF�Since��B�dim�����V�������2�B�it�follo��rws�that��dim����(�V�N8=V���p���2�I���p���&¹)����2.�@�This�dimension�is�0�if����is�unramied�at�����iF�p�.�4<The�ܼterm���s2�(�p�)�is�called�the�Sw��ran�conductor.�It�is�0�if����is�tamely�ramied�at��p�.�There�is�����iFa�<�relationship�b�S�et��rw�een�<�this�conductor�and�something�in��rv�olving�<��f�G��.�.�Supp�ose�������P���������԰������=��������d��z�t��K������&U��T�;f��(+׹where�����iF�f�2��is��a�newform�of�lev��rel��N�@�.�8�It�turns�out�that�����C�*ord���T�����p��Y�_�(�N�@�)�UR=��dim���(�V�������uZ�=V����4���p�I���p���	�d�����&¹)���+���s2�(�p�)�UR=��e�(�p�)���+���Perror��term���~����iFwhere��Jthe�error�term�is��dim����(�V���p���2�I���p���&¹)�������dim��M�(�V����4���p�I���p���	�d������).�v�[[Cryptic��Jstatemen��rt:�b#The�p�S�oin�t�is�that�when�����iFreducing��qmo�S�d����more�things�can�b�ecome�in��rv��X�arian�t.]]��<The��qthing�to�k��reep�in�mind�is�that�if�����iF�f�H�giv��res�rise�to����then�the�p�S�o�w�er�of��p��in�the�lev�el�of��f�H�is�constrained�since�it�is�giv�en�b�y�����iFcertain��zform��rulas�only�dep�S�ending�on��e�(�p�)�and�an�error�term�whic�h�has�magnitude�at�most�2.�����iFThe�B�Artin�conductor�of����is�some�minimal�prime�to��p��lev��rel�whic�h�can�giv�e�rise�to���.�A:Serre�����iFconjectured��that�there�is�suc��rh�an��f�2��whic�h�giv�es�rise�to���.���!���	:The�R�w��reigh�t��k�g�(��)�dep�S�ends�only�on���j�I�����`����.�q�Th�us��k�g�(��)�is�some�analog�for��e�(�`�).�q�It�is�kind�of�����iFhard���to�kno��rw�where�to�b�S�egin�to�explain�ev�erything.���Wh�y�is�Serre's�conjecture�actually�a�����iFtheorem?��%������iF�15.4.1���Key�ffbac���kground�p�s3oin�ts��.(���iF�One�L�idea�is�that�ev��rery�mo�S�dular�represen�tation����m�ust�come�from�an��f����of�lev�el�prime�to��`�.�����iFImagine�_l�f��k�is�a�mo�S�dular�form�of�lev��rel��`�.�
wConsider�the�corresp�onding�mo�d��`��represen��rtation.�
wIt�����iFis��munramied�outside��`��so��N�@�(�`�)�_#=�1.�J.The��mconjecture�then�implies�this�mo�S�d��`��represen��rtation�����iFcomes���from�a�lev��rel�1�mo�S�dular�form�(i.e.,��a�mo�dular�form�on��SL���������2��y��(�Z�))�of�higher�w��reigh�t.�3�This�����iFis��a�classical�result.�����	:There���is�a�relationship�b�S�et��rw�een���mo�d��`��forms�on��SL����7����2��K;�(�Z�)�of�w��reigh�t����`�,
�+�1�and�mo�S�d��`��forms�����iFon�x������0����(�`�)�of�w��reigh�t�x�2.�	�The�dimensions�of�these�spaces�are�the�same�o��rv�er�x��F�����`��	q{�or�o��rv�er�x��C�.�����iFThere���is�a�map�from�one�space�to�the�other.�(1If����:�z���	���f���2-�is�a�mo�S�dular�form�of�w��reigh�t���2�on������0����(�`�)�����iFm��rultiplication�&1b�y�a�certain�form�giv�es�a�form�of�w�eigh�t��`��1�+�1�on������0����(�`�).��{Then�a��rv�eraging�(or�����iFtaking�H+the�trace)�giv��res�a�mo�S�dular�form��SL���&�����2��溹(�Z�).��The�whole�pro�cess�is,�h�in�some�sense,�just�the�����iFiden��rtit�y�d�map.�RIt�w��ras�disco�v�ered�through�an�appropriate�calculation�of�Serre,��1972,�An�t�w�erp.�����iFThat�l�the�form��rula�w�orks�w�as�pro�v�ed�(via�explicit�computations)�in�the�Berk�eley�Ph.D.�thesis�����iFof��?C.�Queen�[�20����].�+�Katz�thinks�it�is�easy�to�pro��rv�e��?the�form��rula�from�the�righ�t�magical�mo�S�duli�����iFp�S�oin��rt�^3of�view.���[[Rib�et�sa��rys�he�has�nev�er�seen�this.]]���Rib�S�et�ga�v�e�a�concrete�pro�S�of�for��`��>��2�����iFin��[�22����].�6�It�w��rould�b�S�e�nice�if�someone�w�ould�construct�a�clear�pro�S�of�for�the�case��`�UR�=�2.�6�[[I��am�����iFconfused��ab�S�out�what�Rib�et�is�talking�ab�out.�8�What�form��rula?]]�����	:W��Ve���no��rw�allude�to�the�pro�S�of�of�the�theorem�(Serre's�conjecture�1)�when��`�UR>��2.�)Start���with�����iFa��represen��rtation���.�8�It�comes�from�some�(p�S�ossibly�terrible)�mo�dular�from��f�G��.�����	:�Step�351.�8�Mak��re��the�lev�el�prime�to��`��via�some�concrete�argumen�t.�����	:�Step�H&2.��ĹT��Vry��to�compare��N�@�(��)�and��N��(�f�G��).���These�are�t��rw�o��prime�to��`��n��rum�b�S�ers.�What���P���iFhapp�S�ens��Hif��p�j�����G���33�N��"�(�f����)��33����z�,۟�ꍐNf�N��"�(��)������A�?���Cara��ry�ol��Hseparated�things�in��rto�appropriate�cases.�In�eac��rh�case�replace�����iF�f�U��b��ry�
�a�b�S�etter�form�so�the�ratio�has�a�smaller�p�o��rw�er�
�of��p��in�it.���This�is�\lev��rel�lo�w�ering".�����iFEv��ren�tually���w�e�get�to�the�case��N�@�(��)�UR=��N��(�f�G��).��Using���a�pap�S�er�of�Edixho��rv�en���[�6����]�one�sho��rws�that�����iFthe��w��reigh�t��k�QŹof��f�2��can�b�S�e�made�equal�to��k�g�(��).�����^�ڠ�k�������iF�94�o�t�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ�	:�What���is��k�g�(��)?�5�W��Ve�giv��re�some�of�the�bac�kground�whic�h�leads�to�Serre's�n�umerical�recip�S�e.�����iFStart�with�a�mo�S�dular�form��f�K�of�lo��rw�w�eigh�t��k�g�.��DT��Vry�to�describ�S�e�what�happ�ens�if�w��re�tak�e�the����iFrepresen��rtation��attac�hed�to��f��and�reduce�mo�S�d����then�restrict�to�obtain����d��z�t��K������	�u��T�;f���b�j�I�����`����.�0�Assume�rst����iFthat��w��re�are�in�the�follo�wing�situation:���������5�����(�2�the��lev��rel��N��6�=�UR�N�@�(�f�G��)�is�prime�to��`�,��@������5�����(�2��j�`�,��������5�����(�2�the��w��reigh�t��k�QŹis�suc�h�that�2�UR���k��o���`����+�1.����iFThere�,are�other�cases�to�consider�but�w��re�lo�S�ok�at�this�one�rst.��Recall�that��det��}�(��)�ĩ=��������k�6���1��O��`����"�����iF�where���cond���(�"�)�j�N�@�.�8�Therefore���������det����$�(��)�j�I�����`��N8�=�UR�������k�6���1��O��`����Ia��iF�so�6Qw��re�see�immediately�that��det���
(��)�giv�es��k��n�mo�S�d��`��w���1.�	�This�6Qp�ermits�the�p�ossibilit��ry�that����iF�k� s�=��V�`�Ҫ�+�1�%jbut�in�fact����comes�from�another�form�of�w��reigh�t�%j2,�4since�2����`�Ҫ�+�1�UP(�mo�S�d���B�`����1).����iFBut�w(this�is�only�a�p�S�ossibilit��ry�when�2�dieren�t�w�eigh�ts�could�giv�e�some���.�`So�w�e�should�mak�e����iFthe��follo��rwing�agreemen�t:�l�if�there�is�a�form�of�w�eigh�t�2�giving����then�ma�yb�S�e�it�is�b�etter�not����iFto��lo�S�ok�at��f�G��.�8�[[There�is�laugh��rter�throughout�the�ro�om.]]����	:Next�~�supp�S�ose�the�w��reigh�t�~�is�b�et��rw�een�~�2�and��`��and�w��re�are�in�the�ordinary�case�so��a�����`����(�f�G��)�UR�6��0���Ӎ�iF(�mo�S�d���B��).�8�Then�?���j�I�����`���]�=�����w��
�������	Ӎ��
!����[email protected]��k����1��p���`�����#�g����	�č����0���#�g1�������)�i��
�����5O�exactly�as�b�S�efore.�[[Ogus�sa��rys,�U?\*�is�nev�er�0".�8�Rib�S�et�sa�ys,��"(��iF\No,��Kno,�no.��Oh��]w��rait,�it's�m��ry�theorem�that�if�this�represen�tation�w�ere�a�direct�sum�of�2����iFc��rharacters,�:]i.e.,����۹=�0,�:]then�*lone�can�nd�a�w�eigh�t�2�form�giving���.]]��+This�can�b�S�e�describ�ed����iFusing��Kummer�theory�but�\I�do�not�think�ab�S�out�it�this�w��ra�y��V."��'�o���iF�15.5��AiBThe�z�w��u�eigh�t�and�fundamen�tal�c�haracters��b#��iF�Let�����J
��UR�:��Gal���(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)��!���GL����(2�;����F�����`����������r�)����iFb�S�e��an�irreducible�mo�dular�mo�d��`��represen��rtation.�!Let��D���=�UR�D�����p����=��Gal���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�p�����=�Q�����p���]�)��b�e�the�decom-����iFp�S�osition��group�at��p�.���T��Vo�da��ry�w�e�will�see�ho�w�studying�the�lo�S�cal�prop�erties�of����help�us�to����iFunderstand��the�follo��rwing�theorem.�������iF�Theorem��15.5.1.���p�$�If��<�`�UR>��2��and����is�mo��ffdular�then����is�mo�dular�of�a�c�ertain�weight��k�g�(��)��and����iFlevel�35�N�@�(��)�.����	:�Since�����is�mo�S�dular,� ����N�����d��z�t��K������
Ÿ�T�;f���B�for��some�mo�dular�form��f�G��.� �The�theorem�asserts�that�w��re����iFcan��Wactually�tak��re��f��Q�2�UR�S�����k�6��(��)��]�(�����1����(�N�@�(��))).�,pAs�w�e�ha�v�e�seen�b�S�efore��N�@�(��)�is�the�prime�to��`��Artin����iFconductor��of���.����	:T��Vo�S�da��ry�2.w�e�attac�k�the�question�of�what��k�g�(��)�should�b�S�e.�	sT��Vo�do�this�w�e�restrict�to�the����iFinertia��bgroup��I�����p���]�.�(Before�doing�this�w��re�in�tro�S�duce�a�certain�pair�of�c�haracters.�(First�w�e�pro�v�e����iFa�:�lemma.�	(�Let����˹b�S�e�the�semisimplication�of���j�����D�����.�Th��rus����˹is�either�a�direct�sum�of�t�w�o����iFc��rharacters��or���j�����D���L�dep�S�ending�on�whether�or�not���j�����D���is�irreducible.������iF�Lemma��15.5.2.���g^��The�u^r��ffepr�esentation�����is�tame,���i.e,�����is�trivial�on�the��`�-Sylow�sub��ffgr�oup�of����iF�I�����`�����.����	:Pr��ffo�of.�
���Let��T�P�^�b�S�e�the��`�-Sylo��rw�subgroup�of��I�����`����.�)oSince��I�����`���:�is�normal�in��D��and��P��is�unique�it����iFfollo��rws��that��P��n�is�normal�in��D�S��.�8�Let��W���=�UR�F�����`���������G�����F�����`�����������b�e�the�represen��rtation�space�of���n9�.�8�Then���⍒����W���Ɵ���P���=�UR�f�w����2��W���:���n9�(��W�)�w��=��w����for��all��4-2���o�2��P����g�����_���k��������iF�15.5.�	#�THE��WEIGHT�AND�FUND��rAMENT��VAL�CHARA�CTERS�AI�95�����덠�B�ƍ��iFis��6a�subspace�of��W����in��rv��X�arian�t��6under�the�action�of��D�S��.�"�T��Vo�see�this�let�����2��d�D�6Ĺand�supp�ose������iF�w����2�UR�W���Ɵ��2�P�����.�8�Since���P��n�is�normal�in��D�S��,��������2��1��p��W�h�=�������2�0����for��some����W���2�0��z��2��P��ƹ.�8�Therefore������u�B��n9�(����)������1��\|���(��W�)���(���)�w����=�UR���(���W����0��%V�)�w��=�UR�w�����iF�so����n9�(��W�)���(����)�w����=�UR���(���)�w�=R�hence�����(���)�w����2�UR�W���Ɵ��2�P�����.�����	:But��,�W���Ɵ��2�P����6�=�UR0.�T��Vo�see�this�write��W�>�as�a�disjoin��rt�union�of�its�orbits�under�the�action�of��P��ƹ.�����iFSince�~��P� ��is�an��`�-Sylo��rw�group�and��W��is�nite�w��re�see�that�the�size�of�eac�h�orbit�is�either�1�or�a�����iFp�S�ositiv��re�1�p�o�w�er�1�of��`�.��2No�w��f�0�g��is�a�singleton�orbit,�V��W��e�has��`�-p�S�o�w�er�order,�V�and�all�non-singleton�����iForbits���ha��rv�e�order�a�p�S�ositiv�e�p�S�o�w�er�of��`��so�there�m�ust�b�S�e�at�least��`�c���1�other�singleton�orbits.�����iFEac��rh��of�these�other�singleton�orbits�giv�es�a�nonzero�elemen�t�of��W���Ɵ��2�P�����.�����	:If���W���Ɵ��2�P����=�a�W�+Թthen��P��acts�trivially�so�w��re�are�done.�
If��W���Ɵ��2�P�����6�=�a�W��then��W���Ɵ��2�P��=��is�a�one�����iFdimensional�x�subspace�in��rv��X�arian�t�x�under��D���so�b��ry�semisimplicit�y����ƹis�a�diagonal�represen�tation.�����iFSupp�S�ose�����o�2�UR�P��n�then���AŹhas�order��`����2�n��	���for�some��n�.�8�W��Vrite�� M����n9�(��W�)�UR=�����q������d���*�����#m��0�������0���"�r������/ߟ�q�����!ᡍ��iF�then���������2�`���-:�n�����=�UR1�and�����O���2�`���-:�n���
��=�1.�8�Since����;�������2��F�����`�����������it�follo��rws�that���h�=������=�1.���g>m��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:The��lemma�implies���n9�j�����I���k�factors�through�the�tame�quotien��rt��I�����t����=�UR�I��=P��ƹ.�(W��Ve�no�w�describ�S�e��I�����t������iF�explicitly��V.��Let�E��Q����2��tame��RA�p����n�b�S�e�the�maximal�tame�extension�of��Q�����p����and�let��K�1�=�UR�Q����2��ur��RA�p�����b�e�the�maximal�����iFunramied��extension.�8�Since��P��n�is�the�part�of�inertia�xing��Q����2��tame��RA�p����͹,����~�f�I�����t����=�UR�I��=P���=��Gal���(�Q������tame���ڍp������=�Q������ur���ڍp���	[email protected]�)�:�����iF�F��Vor��eac��rh��n��prime�to��p��there�is�a�to�w�er�of�elds��EoG���Ӆ�����s�Q����2��tame��RA�p���������ƾu�j���ꕍ����\�K�ܞ�(�p����L䍑���1��33�s^�\)�7����n�������)�������ƾu�j�������CH�K�1�=�UR�Q����2��ur��RA�p��������ƾu�j���������Q�����p������H�덑�iF�By�Q6Kummer�theory��Gal����(�K�ܞ�(�p����L䍑���1��33�s^�\)�7����n�������)�=K��)��=�������n���P�(�K�ܞ�)�Q6where�������n���(�K�ܞ�)�denotes�the�group�of��n�th�ro�S�ots�����iFof�`>unit��ry�in��K�ܞ�.�
�Th�us�for�eac�h��n��prime�to��p��w�e�obtain�b�y�restriction�a�map��I�����t����!�UR������n���P�(�K�ܞ�).�
�They�����iFare��compatible�so�passing�to�the�limit�w��re�obtain�a�map��g���U<��I�����t����!���UR�lim��33���� �n����������n���P�(�K�ܞ�)�UR=�������Y���'؍����r�<r�6�=�p��������lim��33��Q�� �a���&�b������r��<r�����a���	�(�K��)�=�������Y���'؍����r�<r�6�=�p������Z�����r���b�(1)�:��%�3���iF�View��red��more�clev�erly�mo�S�d��p��w�e�obtain�a�map�����E�I�����t����!���UR�lim��33���� �n����������n���P�(���S��z�|r�	�\��F����|r����p��
CϹ)�UR=���lim��33���� �n����F���������ڍ�p������n����	��:�������	:�W��Ve��no��rw�x�atten�tion�on��n�UR�=��p����2�i��V���+�1.���The��p�S�oin�t�is,�=�that�for�ev�ery�suc�h��i��w�e�ha�v�e�a�standard�����iFmap�����٭�I�����t����!�UR�F��������,B��p������i�������:�������iF�W��Ve��Ycall�this�map�the��fundamental���char��ffacter�of�level��i�.���This��Yis�unnatural�b�S�ecause�w��re�had�����iFto���tak��re�an�em�b�S�edding��F�����`���������
N��,���!���g��S��z�|r�	�\��F����
.ٟ���`��'��.��"Instead�Serre�b�egins�with�some�disem��rb�o�died�eld��F�Y��of�����`�̠�k�������iF�96�o�t�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ�iF�order�)U�p����2�i��dڹ.���There�are��i��dieren��rt�maps��F����p������i���
g��!�s��F���corresp�S�onding�to�the��i��automorphisms�of�����iF�F����p������i����Ϲ.�Restricting��(these�maps�to��F����2����,B��p������i�������and�comp�S�osing�with�the�fundamen��rtal�c�haracter��I�����t����!�UR�F����2����,B��p������i�������iF�dened���ab�S�o��rv�e�giv�es�Serre's�fundamen�tal�c�haracters�of��I�����t��p��with�v��X�alues�in��F��ƹ.��W��Ve�ha�v�e�th�us����iFdened��some�c��rharacters�on��I�����t��|r�whic�h�can�b�S�e�view�ed�as�standard.����	:Recall��that�w��re�ha�v�e�a�mo�S�d��`����2���	:�represen�tation����whic�h�giv�es�rise�to�����”���Ë�:�UR�I�����t����!���GL����(2�;����F�����`����������r�)�:����iF�Since���the�elemen��rts�of��I�����t��	�m�ha�v�e�order�prime�to�the�c�haracteristic��`��this�represen�tation�is�����iFsemisimple�NIso�it�can�b�S�e�diagonalized�up�on�passing�to�an�algebraic�closure�of��F�����`����������r�.�	c�Th��rus����iF��X�corresp�S�onds��to�a�pair�of�c��rharacters�����̪����;�������:�UR�I�����t����!��F��������y��`������2�����G�:����	:�These��c��rharacters�ha�v�e�some�stabilit�y�prop�S�erties�since���OA�is�the�restriction�of�a�homomor-�����iFphism��from�the�full�decomp�S�osition�group.�8�Consider�the�to��rw�er��of�elds�����wN�K�ܞ�(�p�����O�����1��33�s^�\)�7����n�������)�UR���K�1�=��Q������ur���ڍp���Ӓ���Q�����p���]�:������iF�Let���G�UR�=��Gal���(�K�ܞ�(�p����L䍑���1��33�s^�\)�7����n�������)�=�Q�����p���]�).��Recall�that��Gal��v�(�K��(�p����L䍑���1��33�s^�\)�7����n�������)�=K��)�UR=�������n���P�(�K�ܞ�)�and��Gal��v�(�K�5�=�Q�����p���]�)�is�generated����iFb��ry��]\F��Vrob��������p�� ��.���What�]\happ�S�ens�is�that�if��h���2�������n���P�(�K�ܞ�)�]\and��g����2���G��is�suc�h�that��g�˕�restricts�to��F��Vrob��������p�����iF�then�O�w��re�ha�v�e�a�conjugation�form�ula:��z�g�n9hg�����2��1�� �=�UR�h����2�p���]�.�GApplying�O�this�reasoning�to�the�����situation����iFwith���h�UR�2��I�����t��|r�and��g�X�restricting�to��F��Vrob����ן���p��$Eܹw��re�nd�that��������n9�(�g�hg�������1��ʵ�)�UR=���n9�(�h�����p���]�)�=����(�h�)�����p���]�:����iF�Th��rus�{�the�pair�of�c�haracters��f���;�����O�g��is�stable�under��p�th�p�S�o�w�ering,���i.e.,��f���;�����O�g�UR�=��f������2�p�����;������O���2�p��q��g�.��The����iFp�S�oin��rt��is�that�����X��n9�(�g��)���(�h�)���(�g�������1��ʵ�)�UR=���n9�(�g�hg�������1���)�UR=���n9�(�h�)�����p���]�:���ٍ�iF�Th��rus��the�represen�tation��h�^��7!���n9�(�h�)����2�p��	�;�is��isomorphic�to��h�^��7!����(�h�)��via�conjugation�b��ry����(�g��).����iFTh��rus�W�����,�����as�a�pair�are�the�same�as�������2�p����,������O���2�p��
�u�as�a�pair�since�they�came�from�isomorphic����iFrepresen��rtations.����	:What��Cdo�S�es�this�mean?�&�One�p�ossibilit��ry�is�that���h�=�UR�������2�p���/�and������=�����O���2�p��q��.�&�This�means����;����^��tak��re����iFv��X�alues�!Gin��F����2����RA��p����]�.�ܼThe�other�p�S�ossibilit��ry�is�that��������2�p���6�=��J��˖�and�����O���2�p��	#��=�����.�ܼThen�������2�p���-:�2����ݹ=��J��4ֹand�����O���2�p���-:�2���
N��=������iF�so�<L���;����曹tak��re�v��X�alues�in��F����2����y��p������2������.�-�The�rst�situation�in�whic�h���O۹and���曹tak�e�v��X�alues�in��F����2����RA��p���	��is�called����iFthe���level�351��situation.�8�The�second�situation�is�called�the��level�2��situation.����	:W��Ve��swill�pla��ry�a�carniv��X�al�game,���\guess�y�our�w�eigh�t."�BFirst�w�e�consider�the�lev�el�2�case.����iFOur�fwstrategy�is�to�try�and�express���z�and���ƹin�terms�of�the�t��rw�o�fwfundamen�tal�c�haracters�of����iFlev��rel��2.����	:First�t9some�bac��rkground.�ՓBefore�stating�the�general�result�w�e�talk�ab�S�out�a�sp�ecial�case.����iFSupp�S�ose�h�E���is�an�elliptic�curv��re�o�v�er��Q��and��p��is�a�prime�(2�is�allo�w�ed).��!Assume��E���has�go�S�o�d����iFsup�S�ersingular��reduction�at��p�.�8�Then�there�is�a�represen��rtation�������>Gal���,�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�UR�!���Aut��=(�E���[�p�])����iFwhic��rh���ma�y�or�ma�y�not�b�S�e�irreducible.��It�giv�es�rise�via�restriction�to�t�w�o�c�haracters����;����c�:����iF�I�����t��&��!����F����2����RA��p����]�.�l:Serre��q[�Gr��ffoup�es���de�Galois�attach��3��L�es�aux�p��ffoints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���liptiques����iFsur��Kun�c��fforps�de�nombr�es�,��1972]���pro��rv�es�that����;����W�are�the�t�w�o�fundamen�tal�c�haracters�of�lev�el����iF1��and�that��I�����t��|r�acts�tamely�and�irreducibly��V.�8�He�also�obtained�a�map�������I�����t����!�UR�F��������y��p������2����GV����GL����(2�;����F�����p���]�)�����a
���k��������iF�15.5.�	#�THE��WEIGHT�AND�FUND��rAMENT��VAL�CHARA�CTERS�AI�97�����덠�B�ƍ��iFwhere����F����2����y��p������2�����߹sits�inside��GL��kv(2�;����F�����p���]�)�via�the�action�of�the�m��rultiplicativ�e���group�of�a�eld�on�itself������iFafter��c��rhoice�of�a�basis.��iThe�action�of��I�����t���J�on��F����2����y��p������2�������is�through�the�fundamen�tal�c�haracter.��iThis�����iFw��ras��the�w�orld's�rst�view�of�fundamen�tal�c�haracters.�����	:Serre���next�ask��red�F��Von�taine�the�corresp�S�onding�question�for�more�general�w�eigh�t.�$5The�rst�����iFpublished���pro�S�of�app�ears�in�[�6����].�ICSupp�ose��f��ȹis�a�newform�of�w��reigh�t����k��suc�h�that�2�����k��:���p�����iF�and�.�that�the�lev��rel�of��f�v��is�prime�to��p���=��`�.��T��Vak�e��.���d��z�t��K������
>��T�f�h�;�����where�.��E�����f��	@"�=��Q�(�co�S�ecien�ts��of��H�h�f�G��)�.�and�������iF�is�\+a�prime�of��O�����E��i?�f���ᆹdividing��p�.��jSupp�S�ose�w��re�are�in�the�sup�ersingular�case�so��a�����p��������0����mo�d��"�:��.�����iFSemisimplifying��and�restricting�as�b�S�efore�giv��res�a�pair�of�c�haracters����;�������:�UR�I�����t����!��F����2����RA��p����������	j�.��ۍ����iF�Theorem��15.5.3.���C�$�Under���the�ab��ffove�hyp�othesis,��%�f���;�����O�g��e�quals��f� ��n9���2�k�6���1��nG�;����(� ��n9���2�0��<r�)����2�k�6���1���g��wher�e�� ���and�����iF� ��n9���2�0��o��ar��ffe�35the�two�fundamental�char�acters�of�level��2�,�i.e.,�� �Ë�=�UR(� ��n9���2�0��<r�)����2�p�����and�� ��n9���2�0���Ĺ=�� ��n9���2�p��5��.�����	:�Edixho��rv�en's��metho�S�d�is�to�reduce�from�w��reigh�t���k�:�to�w��reigh�t��2.�%Giv�en�a�mo�S�dular�form�mo�d�����iF�p�<�on������1����(�N�@�)�of�w��reigh�t�<��k���and�c��rharacter��"��he�sho�ws�that�it�is�enough�to�lo�S�ok�at�a�corresp�onding�����iFmo�S�dular�;�form�on������1����(�N�@�p�)�of�w��reigh�t�;�2�and�c��rharacter��"!��n9���2�k�6���2���˹where��!����is�a�T��Veic�hm�uller�c�haracter�����iFon�i/(�Z�=p�Z�)����2�����.�
�This�is�a�metho�S�d�whic��rh�helps�us�understand�what�happ�ens�at�primes��p��where�a�����iFcertain���ab�S�elian�v��X�ariet��ry�do�es�not�ha��rv�e���go�o�d�reduction�but�has�p�oten��rtially�go�o�d�reduction.��In�����iFthis�V�direction�Ogus�suggests�reading�the�pap�S�er�[F��Valtings�and�Jordan,�t3�Crystal���line��c��ffohomolo�gy�����iFand��35�GL����(2�;����Q�),��Israel�J.�Math.�8�90�(1995),�no.�1-3,�1{66.]�����	:What��>can�w��re�guess�ab�S�out�the�arbitrary�situation?�(gThe�situation�is�as�follo�ws.�(gW��Ve�b�S�egin�����iFwith��.a�represen��rtation����whic�h�giv�es�rise�to�a�represen�tation���@g�whic�h�in�turn�giv�es�rise�to�����iFa���pair�of�fundamen��rtal�c�haracters�� ��n9���2�a��
1��and�(� ��n9���2�0��<r�)����2�a��	Ø�=���� ��n9���2�pa��	�e�.���(Here��a��should�b�S�e�though�t�of�as�a�����iFn��rum�b�S�er�ݭmo�d��p����2�2��P(���$�1.)�4�The�condition�that�w��re�are�not�in�lev�el�1�means�that��a��is�not�divisible�����iFb��ry���p����+�1�since�������� �n9 ������0���Ĺ=�UR� ������p�+1��gd�:��I�����t����!��F���������ڍ�p�����n���iF�is��the�unique�fundamen��rtal�c�haracter�of�lev�el�1�(namely�the�mo�S�d��p��cyclotomic�c�haracter���).�����	:W��Ve��next�do�a�Euclidean�division.�ET�ak��re�0������a�<�p����2�2��
���M��1��and�write��a���=��q�n9p��+��r�S��.�EThen�����iF�pa�� �=��q�n9p����2�2�����+�Δ�r�S�p�,�,�but�kw��re�are�w�orking�mo�S�d��p����2�2������Δ�1�so�this�b�ecomes��pa�� �=��q�<͹+�Δ�r�p�.��(What�kare�the�����iFp�S�ossible�v��X�alues�for��q��:�and��r��?���By�the�Euclidean�algorithm�0������r��w���p������1�and�0������q�"���p������1.�����iFNo��rw���what�are�the�constrain�ts�on��r��w�and��q�"�together?��The�main�constrain�t�is�that��r����6�=�UR�q�n9�,���since�����iFif�l�r��(�=����q�~��then��a��is�a�m��rultiple�of��p��^�+�1.��,So�lw�e�can��assume��that�0������r��(<�q�����p��^���1.��,W��Ve�lkno�w�����iFthat����h9��f���;�����O�g�UR�=��f�(� �n9 ������0��<r�)�����r���b�(� ������0���)�����q�I{��r��C��;����(� � ������0���)�����r���b� ������q�I{��r����g�:�����iF�F��Vor��example,�if���h�=�UR� ��n9���2�a��	\��then������h�g��h�=�UR� ��n9����q�I{p�+�r��N��=�(� ��n9����0��<r�)�����q����� ��n9����r��U�=�(� �n9 ������0���)�����r���b�(� ������0���)�����q�I{��r��C��:�����iF�Since��� �n9 �����2�0���ܹ=��j���w��re�can�view��f���;�����O�g��as�a�pair�of�c�haracters�(� ��n9���2�0��<r�)����2�q�I{��r��cn�and�� ��n9���2�q�I{��r��ѧ�whic�h�has�b�S�een������iFm��rultiplied��as�a�pair�b�y������2�r���b�.�����	:What��w��rould�happ�S�en�if�for�example��r���=�UR0?�8�In�this�case��������3�f���;�����O�g�UR�=��f�(� ��n9����0��<r�)�����k�6���1���;� ��n9����k�6���1��nG�g�����iF�where���k��o�=�UR�q��+���1.�8�So�when��r���=�0�w��re�guess�the�w�eigh�t�to�b�S�e��k�g�(��)�UR=��q��+���1.������	:What�p happ�S�ens�more�generally?��GSupp�ose��f���is�a�mo�dular�form�though��rt�of�mo�d��p��where�����iF��j�p�.���If�*��f�
M�=���N�����P��l��a�����n���P�q��n9���2�n��
A8�giv��res�rise�to����then�w�e�migh�t�w�ell�ask�what�mo�S�dular�form�giv�es�rise�to�����iF��p�
���.�/NIn���[Lecture�Notes�in�Math,�ӱno.�601]�w��re�nd�that���S�f��Q�=��UR�����P�����na�����n���P�q��n9���2�n��	�|�is�a�form�giving�rise�����iFto��r�� M�
���.�??If��k����is�the�w��reigh�t�of��f�G��,�¥then���S�f��q�has�w�eigh�t��k��j�+� M�p��+�1.�??More�generally��V,�¥since������2�r������iF�app�S�ears��in�the�pair�����,%�f� ��n9����q�I{��r����;����(� ��n9����0��<r�)�����q�I{��r��C��g����������r������ba��k�������iF�98�o�t�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ�iF�w��re��obtain������@��k�g�(��)�UR=��q�������r��6�+�1�+�(�p��+�1)�r���=�UR�q��+��pr��6�+�1�:��R,��	:�But���b�S�e�careful,���the�w��reigh�t����k�
�do�es�not�ha��rv�e���to�go�up.�&�In�fact,���it�go�es�up��p�<����1���times�then����iFends�;�up�where�it�started.�,�This�giv��res�rise�to�the�theory�of�theta�cycles�whic�h�w�e�will�study����iFin��the�next�lecture.��'�w���iF�15.6��AiBThe�j,w��u�eigh�t�in�Serre's�conjectures�on�mo��=dular�rep-����AiBresen��u�tations��b#��iF�Let���������UR�:��Gal���(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)��!���GL����(2�;����F�����p���������	j�)����iFb�S�e���a�mo�d��p��represen��rtation.��Let��`�UR�=��p��˹and�assume�that����is�sup�ersingular�and�of�lev��rel�2�at��`�.����	:Let�6o� ����and�� ��n9���2�0��r�b�S�e�the�fundamen��rtal�c�haracters�of�lev�el�2.�5Let��I��ѹ=��N�I�����`��/U�b�S�e�the�inertia�group����iFat���`�.�8�After�extension�of�scalars���j�����I�����has�the�form�� oG���j>��j�����I��$������UR��
�������+D���
�� ��n9���2�a���r� ��n9���2�0����R��^�b����;���0��������30����0�d� ��n9���2�0����;x^��^�a��@|-� ��n9���2�b��������L�ʟ�
�����S�v�:��"�j��iF�W��Ve�p�ma��ry�assume�0�9����a�<�b����p�	���1.�˃Since�p�� ��n9���2�0��v6�=�9�� ��n9���2�p��	�t�w�e�also�kno�w�that�� ��n9���2�a���r� ��n9���2�0����R��^�b�����=�9�� ��n9���2�a�+�pb��i��and�����iF� ��n9���2�0����[email protected]��^�a��M� ��n9���2�b���g�=�UR� ��n9���2�b�+�pa�����.����	:The��conjectured�w��reigh�t��is��k�g�(��)�UR=��b����+��pa��+�1.�8�Since����UR�=�� �n9 �����2�0��'�w��re�see�that���������j�����I��$���UR������a�����ϟ�
�������+D����.{� ��n9���2�0����u��^�b��a����9�0�������P0���0Q�� ��n9���2�b��a��������G�|��
�����N�(�:��"�j��iF�The�o�w��reigh�t�of��� ��n9���2�0����O��^�b��a��!����� ��n9���2�b��a�� �is��b����a��+�1.��vTwisting�a�represen��rtation�b�y����raises�the�w�eigh�t����iFb��ry��>�p�_{�+�1�(at�least�when�the�w��reigh�t�is�in�the�righ�t�range).�U�This�is�b�S�ecause�t�wisting�b�y������iF�corresp�S�onds��to�applying�the���>6�op�erator�to�the�corresp�onding�mo�dular�form.�8�Th��rus���g�����k�g�(��)�UR=��a�(�p����+�1)�+��b����a��+�1�UR=��b����+��pa��+�1�:��"�̍��iF�15.6.1��E���dC�-series��@��iF�The�,htheory�of�the�����op�S�erator�w��ras�rst�dev�elop�S�ed�b�y�Serre�and�Swinnerton{Dy�er,�<�and�later����iFjazzed��up�b��ry�Katz�[Lecture�Notes�in�Math,���V��Vol.�6�601,�Springer-V�erlag].�6�There��is�a�notion�of����iFmo�S�dular��forms�mo�d��p��and�of��q�n9�-expansion�whic��rh�giv�es�a�map��YY�������h�:����UR���M���'؍��^�k�6���0���wv�M�����k��#��(�����1����(�N�@�)�;����F�����p���]�)�UR�!��F�����p���[[�q�n9�]]�:��$t��iF�This�j|map�is�far�from�injectiv��re.��[The�k�ernel�is�generated�b�y�1�elemen�t,��pa�certain�Eisenstein����iFseries���E�����p���]�.����	:Supp�S�ose����f��Q�2�UR�F�����p���]�[[�q�n9�]]�is�in�the�image�of�����.�,�If��f��6�=�UR0�let��w�R��(�f�G��)�denote�the�smallest��k�,�so�that����iF�f�2��comes��from�some��M�����k��#��.�8�If��f��do�S�es�not�coming�from�an��ry�single��M�����k��	:�do�not�dene��w�R��(�f�G��).����	:Dene��an�op�S�erator���>6�on��F�����p���]�[[�q�n9�]]�b��ry��8�����S��S��(������X����UV�a�����n���P�q��n9����n����)�UR=��q������ō�s_d���l�[��z���
�΍dq��������(������X�����a�����n���P�q��n9����n����)�=�������X�������na�����n���q��n9����n����:��PM��iF�W��Vork��of�Serre�and�Swinnerton-Dy��rer�sho�ws�that���>6�preserv�es�the�image�of�����.�����c5��k��������iF�15.6.�e�THE��WEIGHT�IN�SERRE'S�CONJECTURES�ON�MODULAR�REPRESENT��VA�TIONS�99�����덠�B�ƍ����iF�Theorem��15.6.1.���C�$�Supp��ffose�}��f�'��6�=�ߏ0��is�a�mo�d��p��mo�dular�form�as�ab�ove.�F\If��w�R��(�f�G��)�ߏ�6��0����mo�S�d��"�:�p������iF�then�35�w�R��(��S�f�G��)�UR=��w��(�f�G��)���+��p��+�1�.������	:�The��theta�series�asso�S�ciated�to��f�2��is���s���
��w�R��(�f�G��)�;���w��(��S�f��)�;���w��(���S�����2����f��)�;����:�:�:������iF�This�!�series�is�p�S�erio�dic�!�b�ecause�F��Vermat's�Little�Theorem�implies�������2�p����f��[�=��\��f�i�and�so��w�R��(������2�p����f�G��)��\=�����iF�w�R��(��S�f�G��).���э��	:T��Vate��!ask��red�the�question:��What�are�the�p�S�ossible����-cycles?��That�is,��	what�p�ossible�sequences�����iF�w�R��(�f�G��)�;���w��(��S�f��)�;����:�:�:��չcan�H9o�ccur?�	Q�The�question�w��ras�basically�answ�ered�b�y�w�ork�of�Edixho�v�en�����iF[In��rv�en�t.�1&Math.�109,���563-594���(1992)]�and�Jo�S�c��rhno�witz���[T��Vrans.�1&A.M.S.�v��rol.�270,���1982�(253-�����iF267)].�����	:Supp�S�ose���f�(��is�an�eigenform�with�2�UR���w�R��(�f�G��)����p�.��<Supp�ose���f�(��is�sup�ersingular,��i.e.,��a�����p���]�(�f�G��)�UR=�0.�����iFSince�!��f�i��is�an�eigenform�the��a�����n��	�ѹare�m��rultiplicativ�e�!�(�a�����nm���¹=����a�����n���P�a�����m��&E�for�(�n;���m�)�=�1)�and�there�is�����iFa�x�recurrence�among�prime�p�S�o��rw�er�x�co�ecien�ts�x�so��a�����n���P�(�f�G��)�Gt=�0�x�whenev��rer��p�j�n�.��Th�us����S����2�p��1���g�f��s�=�Gt�f�����iF�hence���w�R��(���S����2�p��1���g�f�G��)�UR=��w��(�f�G��)�=��k�g�.�����	:If�"xw��re�start�with��f�jw�and�apply���v�successiv�ely�what�happ�S�ens�to�the�w�eigh�t?��QFirst�supp�S�ose�����iF�k��o�=�UR2.�8�The����S��-cycle�is���s��H�2�;����2���+�(�p��+�1)�;��2�+�2(�p��+�1)�;��:�:�:��ʚ;��2�+�(�p����2)(�p��+�1)�:�����iF�This���is�b�S�ecause�w��re�can�apply���`�th�us�raising�the�w�eigh�t�b�y��p�au�+�1���so�long�as�the�w�eigh�t�is�not�����iFa��m��rultiple�of��p�.�B�Only�the�last�term�in�the�ab�S�o�v�e�sequence�is�divisible�b�y��p�.�B�There�are��p������1�����iFterms��so�this�the�full���S��-cycle.���э��	:Next��supp�S�ose��k��o�=�UR�p�.�8�The����-cycle�is����c�Z�p;����3�;��3���+�(�p��+�1)�;����:�:�:��ʚ;����3�+�(�p��+�1)(�p����3)�:�����iF�The�c�last�term�is�divisible�b��ry��p�,���no�earlier�term�is,�and�there�are��p��
���1�c�terms�so�this�is�the�����iFfull�dP��S��-cycle.���W��Ve�kno��rw�that�the�second�term�m�ust�b�S�e�3�since�it�is�the�only�n�um�b�S�er�so�that�����iFthe�t"��S��-cycle�w��rorks�out�righ�t,���i.e.,�so�t"that�the�(�p�B���1)st�t"term�is�divisible�b�y��p��but�no�earlier�����iFterm��is.�8�If�w��re�w�ould�ha�v�e�tried�2�instead�of�3�w�e�w�ould�ha�v�e�obtained�the�sequence����3�:�p;����2�;��2���+�(�p��+�1)�;����:�:�:��ʚ;����2�+�(�p��+�1)(�p����3)�;��2�+�(�p��+�1)(�p����2)�:�����iF�This��sequence�has�one�to�S�o�man��ry�terms.���э��	:No��rw��vw�e�consider�the�general�case.�zLet��k����b�S�e�a�w�eigh�t�suc�h�that�2�UR�<�k��o<�p�.�zThe���S��-cycle�is����w��k�g;���k�Ź+���(�p��+�1)�;��:�:�:��ʚ;�k�Ź+�(�p��+�1)(�p����k�g�)�;�k������0��5V�;�k������0�����+����p��+�1�;��:�:�:��ʚ;�k��g����0�����+�(�p��+�1)(�k�����3)�:�����iF�The��Arst��p�,l���k����+�1��Aterms�of�the�sequence�are�obtained�b��ry�adding��p�,l�+�1��Asuccessiv�ely�un�til�����iFobtaining��a�term�whic��rh�is�divisible�b�y��p�.�8�Applying���>)�to�a�form�of�w�eigh�t��k���+���(�p��+�1)(�p����k�g�)�����iFcauses��bthe�w��reigh�t��bto�drop�to�some��k��g���2�0��5V�.�It�can�b�S�e�pro��rv�ed��bthat�there�is�at�most�one�drop�in�the�����iFsequence.���э��	:Ho��rw�]\can�w�e�guess��k��g���2�0��5V�?���It�m�ust�b�S�e�suc�h�that��k��g���2�0��.�+���(�p��+�1)(�k�_����3)�]\is�divisible�b�y��p�.���Th�us�����iFthe��correct�answ��rer�is���s�����k��g����0�����=�UR�p����+�3����k�g:�����dCȠ�k�������iF�100�i�x�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ��iF�15.6.2��E�Edixho���v�en's�ffpap�s3er��@��iF�Supp�S�ose�[that����is�an�irreducible�mo�d��`��g�=��p�[�represen��rtation�of�lev�el�2.���T��Vo�a�v�oid�problems�in�����iFthe��%exceptional�case�assume��`�lG���3.�aWEdixho��rv�en��%pro�v�es�that�if����is�mo�S�dular�in�the�sense�that����iF��j�comes�from�an�eigenform�in��S�����k��#��(�����1����(�N�@�))�with�(�N���;���p�)���=�1,�"�then�j���comes�from�an�eigenform����iFin���S�����k�6��(��)��]�(�����1����(�N�@�)).����	:What��are�the�elemen��rts�of�the�pro�S�of��8?��d�����Ů1.����(�2The��b�S�eha��rvior�of���j�����I���p���t��when�2�UR���w�R��(�f�G��)����p����+�1,��Y"�����Ů2.����(�2the��4fact�that�ev��rery�mo�S�dular�represen�tation����coming�from�a�cusp�form��f��3�has�the�form����(�2������f��!��
��������2�i��O��where���i�UR�2��Z�=�(�p����1)�Z�,��and�������Ů3.����(�2the��fact�that��w�R��(�f�G��)�satises�2�UR���w��(�f�G��)����p����+�1.��c��	:Serre�Q:knew�that�2�UR���w�R��(�f�G��)����p�qE�+�1�Q:but�nev��rer�published�a�pro�S�of.��Ho�w�did�Serre�talk�ab�S�out����iFhis�;Nresult�b�S�efore�Edixho��rv�en?�*�The�;Neigenforms��f��M�corresp�ond�to�systems�of�eigen��rv��X�alues�in����S��z�|r�	�\��F����������p�����iF�of��~the�Hec��rk�e��~op�S�erators��T�����r���b�,����r����6�UTj�N�@�,��r��6�UTj�p�.�/�Eigenforms��~of�w��reigh�t��~at�most��p�s-�+�1��~giv��re,���up�to�t�wist,����iFall�<+systems�of�eigen��rv��X�alues.�-iA�<p�S�ossible�pro�of�uses�the�construction�of�������f��	�J�in�terms�of�certain�������s�etale��cohomology�groups.��(A���iF�15.7��AiBThe�z�extra�assumption��b#��iF�[[The��m��rysterious�slogan�of�the�da�y�whic�h�Rib�S�et�put�up�this�time�is�\will�so�on�admit".]]����	:Let����.ҹ:��G��=��Gal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL���m(2�;����F�����`����������r�)�b�S�e�a�Galois�represen��rtation�.�{kAssume�that����is����iFirreducible,��������P���UR����԰���n:�=����������d��z�t��K������o��T�;f��"�\�,�and��`�UR>��2.�8�Then��the�theorem�is������iF�Theorem��15.7.1.���p�$�Under���the�ab��ffove�hyp�othesis,��`���c�omes�fr�om�a�mo�dular�form��f����of�weight����iF�k�g�(��)�,�35level��N�@�(��)�,�and�under�a�c��ffertain��extra��assumption�,�char�acter��"��of�or�der�prime�to��`�.����	:�The��extra�assumption�alluded�to�in�the�theorem�is�the�follo��rwing.����iF�Extra��Assumption.����	:�Not��all�of�the�follo��rwing�are�true.��d�����Ů1.����(�2�`�UR�=�3,��Y"�����Ů2.����(�2��j�����Gal��[�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U))��is�ab�S�elian,�and�������Ů3.�����(�2det��9�(��)��is�not�a�p�S�o��rw�er��of�the�mo�d�3�cyclotomic�c��rharacter���.������iF�Example�3515.7.2.���c��If��O"det����(��)�UR=���O"�is�the�mo�S�d�3�cyclotomic�c��rharacter,�n=for�example�when����comes�����iFfrom���the�Galois�represen��rtation�on�the�3-torsion�of�an�elliptic�curv�e,���then�the�extra�assumption����iFholds��so�the�theorem�applies.�8�[[as�long�as�the�additional�assumption�hold?]]��E���	:Let�����b�S�e�a�represen��rtation�as�ab�o��rv�e.�8�Then���􍍍�ͽUdet������UR�:��G��!��F�����`������������iF�is�hv��rery�lik�ely�ramied�at��`�.�
}Let����b�S�e�the�mo�d��`��cyclotomic�c��rharacter.�
}As�an�exercise�one�can�����iFsho��rw�B�that��det�������\�=������2�i��d����\�for�B�some��i��and�some����where���>�:��\�G��!��F�����`����������@�is�B�unramied�at��`�.�AQUsing����iFthe��Kronec��rk�er-W��Veb�S�er�theorem�and�class-eld�theory�one�can�pro�v�e�the�follo�wing�t�w�o�facts.��d�����Ů1.����(�2One��Gcan�write���չas�a�Diric��rhlet�c�haracter�(�Z�=��X�M�@��Z�)����2���	{��!����F����2����y���`�����������r�.���[[Do�S�es�this�mean�that������(�2�factors��through�the�mo�S�d��M�+��cyclotomic�c��rharacter?]]�����eS���k��������iF�15.7.�	#�THE��EXTRA�ASSUMPTION���101�����덠�B�ƍ�����Ů2.������2In�,tfact��M�@��j�N��(��),�|�since�,tthe�conductor�of�the�determinen��rt�of�a�represen�tation�should�������2divide���the�conductor�of�the�represen��rtation.��[[??�My���notes�ha�v�e�the�opp�S�osite�remark?]]��9I���iFTh��rus��w�e�can�view���>6�as�a�map�(�Z�=��X�N�@�(��)�Z�)����2���V�!�UR�F����2����y���`�����������r�.�����	:Let���H�B��=��URk��rer����������UR�(�Z�=��X�N�@�(��)�Z�)����2�����.�8�Dene�a�congruence�subgroup������H��D�(�N��)�b��ry�� ԍ�cF�����H��D�(�N�@�)�UR=��f�����
��������d���*��a����b���������c���U�d�������p���
�����'��2�������0����(�N��)�:��a;���d��2��H��V�g�:��X(���iF�W��Ve��ha��rv�e�the�follo�wing�theorem.�������iF�Theorem��15.7.3.���C�$�Supp��ffose�B��`�q�>��2��and����satises�the�ab��ffove�assumptions�including�the�extr�a�����iFassumption.�fiThen�35���arises�fr��ffom�a�form��f�{4�in��S�����k�6��(��)��]�(�����H��D�(�N�@�(��)))�.�����	:�In�;Yparticular,���the�theorem�is�true�if����comes�from�the��`�-torsion�represen��rtation�on�an�����iFelliptic��curv��re�since��det����=�UR���so�the�extra�assumption�is�satised.�����	:One�l�migh��rt�ask�if�the�extra�assumption�is�really�necessary��V.���A�t�rst�Serre�did�not�think�����iFthat�[�it�w��ras.���But�he�w�as�surprised�to�disco�v�er�the�follo�wing�example�whic�h�sho�ws�that�the�����iFextra��assumption�can�not�b�S�e�eliminated.��ܤ�����iF�Example�3515.7.4.���6��(Serre)�u�The�space��S�����2����(�����1���(13))�u�is�2�dimensional.�	�lLet��`��f�=�3.�There�u�is�a�����iFnewform��-�f��4�2�V5�S�����2����(�����1���(13))�of�c��rharacter��"�V5�:�(�Z�=�13�Z�)����2���9�!��C����2�����.�:oThis�c��rharacter�m�ust�b�S�e�trivial�on�����iF�f�1�g�꨹and�has�order�6.�8�Using�[[cite�Rib�S�et's�LNM�601�article]]�one�sho��rws�that��Ս�P���Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�;��:�:�:���)�UR���Q�(��:���:�:��;���"�(�d�)�;��:�:�:���)�UR=��Q�(�������p���
���Ήz�5S�
2��3����5U)�:�����iF�F��Vurthermore,��2since�&J�S�����2����(�����1���(13))�has�dimension�2�there�can�b�S�e�at�most�2�em��rb�eddings�of������iF�Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�;��:�:�:���)��in��rto��C��(eac�h�em�b�S�edding�giv�es�an�indep�S�enden�t�newform).���Th�us�one�actu-�����iFally��has�that��Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U)�UR=��Q�(��:���:�:��ʜ;���a�����n���P�;��:�:�:���).�����	:Let�����u��=�������p���u���ljz����	�9��3����Uand�let����d��z�t��K�������?��T�;f����:��G��!���GL��'(2�;����F�����3����)�b�S�e�the�asso�ciated�Galois�represen��rtation�����iF.�	�Then��m�det���u(���d��z�t��K������t��T�;f���a�)��(=����G�where�m����is�the�mo�S�d�3�cyclotomic�c��rharacter�and���;����(�"�UP�(�mo�d���B3)�����iF[[I�
�am�not�really�sure�what�this�congruence�means]].��In�particular,�V���a��has�order�2.�Th��rus�����iF�H�B��=��URk��rer����(��S��)�UR���(�Z�=�13�Z�)����2������is��exactly�the�squares�in�(�Z�=�13�Z�)����2�����.�����	:The�,Kconclusion�of�the�theorem�can�not�hold�since��S�����2����(�����H��D�(13))��
=�0.���This�,Kis�b�S�ecause�an��ry�����iFform��w��rould�ha�v�e�to�ha�v�e�a�c�haracter�whose�order�is�at�most�t�w�o�since�it�m�ust�b�S�e�trivial�����iFon�(�H��V�,�7tbut��S�����2����(�����H��D�(13))������S�����2���(�����1���(13))�(and��S�����2���(�����1���(13))�consists�of�forms�whose�c��rharacter�is�of�����iForder��6.�8�[[There�are�a�lot�of�compatibilities�to�c��rhec�k��here�whic��rh�I�ha�v�e�not�c�hec�k�ed.]]�����	:In��this�example���������5�������2�`�UR�=�3,���������5��������2�det�����꨹is�not�a�p�S�o��rw�er��of���,�and���������5��������2��d��z�t��K������ئ��T�;f�����j�����Gal��[�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U))��is�ab�S�elian.�����iFA��go�S�o�d�w��ra�y�to�see�the�last�assertion�is�to�lo�S�ok�at�the�follo�wing�form�ula:��Ս����f���
����"������1���ι=��UR��:�z���	���f�������iF�(up��to�an�Euler�factor�at�13)�in�the�sense�that�����)�������f�h�;�����
����"������1���ι=�UR�����1�\)w�����f���w�:�����iF�No��rw��reduce�mo�S�d�3�to�obtain��������^��d��z�t��K��������ҟ�T�;f���Pg�
����"������1������P���������԰���ʶ�=������\w��d��z�t��K������!k��T�;f������fc���k�������iF�102�i�x�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ�iF�since��T�f��������:�z���	���f�����(�mo�S�d�����B�����p���$�D���ljz�5S�	m9��3����3��)�(since�3�is�ramied).�h�Th��rus����d��z�t��K������
�ȟ�T�;f��#	�is�isomorphic�to�a�t�wist�of�itself�����iFb��ry���a�complex�c�haracter�th�us�b�y�elemen�tary�facts����d��z�t��K������	�n��T�;f���U�is�reducible�and�ab�S�elian�o�v�er�the�eld��Ɔ��iFcorresp�S�onding��6to�its�k��rernel.�3[[So�wh�y�is�the�Galois�group�of��Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U)�in�the�k�ernel�of����d��z�t��K������	誟�T�;f�����?]]����iF[[Rib�S�et�><suddenly�gets�v��rery�excited�and�notes�that����d��z�t��K������
M���T�;f��Tٹis�also�ab�elian�on�the�Galois�groups��F���iFof���Q�(������p���
��ljz����	�9��13������)�and��Q�(������p���
��ljz����	�9��39����)�b��ry�the�same�argumen�t.]]�����	:There��are�t��rw�o��main�ingredien��rts�in�this�theorem.�8�The�rst�is�companion�forms.��"L!���iF�15.7.1��E�Companion�ffF���forms��@��iF�The���k��rey�pap�S�ers�dealing�with�companion�forms�are�Gross�and�Coleman-V��Volo�c��rh.��The�con�text����iFis��the�follo��rwing.�&(Supp�S�ose�w�e�are�in�terested�in�the�recip�S�e�for��k�g�(��).�&(There�are�t�w�o�cases�to����iFconsider,�the�d=lev��rel�1�case�and�the�lev�el�2�case.�W��Ve�ha�v�e�already�discussed�the�lev�el�2�case.�In����iFthe��lev��rel�1�case�what�happ�S�ens?�6�If�w�e�semisimplify�and�restrict�to�inertia�w�e�obtain�a�direct����iFsum��of�t��rw�o��represen�tations.�8�There�are�t�w�o�p�S�ossibilities�for���j�I��:��&ō������j�I�Fչ=����UR��
��������d���
������2�����%WX��������9�0���!������2���������.ܭ��
������9��or��HNi��j�I��=����UR��
��������d���
������2�����%gZ�0�������90���!������2���������.ܭ��
�����6Y�:����	:�In�%mthe�second�case�it�is�easy�to�guess��k�g�(��).��/The�thing�to�do�is�to�lo�S�ok�at�the�exp�onen��rts�����iFand��;normalize�as�b�S�est�y��rou�can.���Since����ʹand���[��are�only�dened�mo�d��p�1����1��;w��re�ma�y��V,���after����iFrelab�S�eling��if�necessary��V,�assume�that�0�UR����h����������p������2.�8�F�actor��out������2���	�?�to�obtain��|�������������?�
��������
��������d���	�T�1���#S�0�������	�T0����P�����2��i>����������2�	��
�����9���:��&ō�iF�Next��x(secretly)�recall�that�if��f��w�is�ordinary�of�w��reigh�t��x�k�蕹then��f��giv��res�rise�to�the�represen�tation������������
��������d����������2�k�6���1����]�����������0���i&��������	Ŕ��
��������iF�(here��*�can�b�S�e�trivial).��[[Something�m��rust�b�e�wrong�here�b�ecause�nothing�mak��res�sense�in�the�����iFfollo��rwing�'argumen�t�unless�the�lo�w�er�righ�t�en�try�of�this�matrix�is�1�instead�of���.]]��DIf��f�o�is�of����iFw��reigh�t��i��=��������>�+�1�t��rwisting������times�b�y��q�����Fu�����d���l����z�t����dq�����(��giv�es�the�desired�represen�tation.�5 Th�us�the�w�eigh�t������iF�k�g�(��)��is�����u�(�p����+�1)���7�+���T������+�1�UR=���T��+����p��+�1�:������iF�There��is�one�ca��rv�eat.�A0Since��Serre�w��ras�terried�of�w�eigh�t�1�forms,��tif�����=�|���&׹=�0��then�Serre����iFdenes�n��k�g�(��)�6F=��p��instead�of��k�g�(��)�=�1.��\There�is�no�distinction�b�S�et��rw�een�Serre's�form�ula�and����iFthe��lab�S�o��rv�e�form�ula�when�the�w�eigh�t�is��>���1�since,��]as�Katz�pro�v�ed,��]an�y�form�of�w�eigh�t��>���1����iFlifts��*to�a�c��rharacteristic�0�form.�UgBut�this�is�not�true�for�w�eigh�t�1.�UgT��Vo�understand�the�w�eigh�t����iF1��forms�w��re�m�ust�use�sophisticated�to�S�ols�of�algebraic�geometry��V.����	:Supp�S�ose����f�芹is�of�w��reigh�t����k�g�,��]2�UR���k��o���p�F�+�1.� ,Let����d��z�t��K������	����T�;f��w�b�S�e�the�asso�ciated�represen��rtation�where����iF��꨹is�some�prime�dividing��`�UR�=��p�.�8�Then�������{��d��z�t��K���������T�;f������j�I�����p����=����UR��
��������d���
������2�k�6���1����+�z��������>>�0���+�}1�������1�{��
�����9'�:��&ō�iF�[[I�;�really�;�w��ronder�wh�y�this�should�b�S�e�so�in�suc�h�bra�v�e�generalit�y?�,�It�seems�lik�e�things�w�ere����iFnot�L�lik��re�this�just�a�min�ute�ago.]]�^{T��Vo�in�tro�S�duce�the�idea�of�a�companion�form�supp�ose�that���Ӎ�iFsomeho��rw��b�y�c�hance���UR�=�0�so�w��re�ha�v�e������
�������M����
R����-:�k����1����#���0���b����M0���#��1�������)蚟�
�����1F�.�8�T��Vak�e����and�t�wist�b�y������2�1��k��궹then��"󙍒��������
�������1��k���j�I�����p����=�UR���
�������p��k��g�j�I�����p���=����UR��
��������d���
��1���#!�0�������
�0���_������2�p��k��������1�ϟ�
�����8�{�:�����gu��k��������iF�15.8.�	#�THE��EX��rCEPTIONAL�LEVEL�1�CASE��.�103�����덠�B�ƍ��iFWhat�׮is�the�minim��rum�w�eigh�t�giving�rise�to�this�represen�tation.�2�The�lev�el�is�1�[[wh�y??]]�2�the������iFrepresen��rtation�]]is�semisimple�and�reducible�and���, �=��0,�z����=��p������k�g�,�so�]]the�natural�w��reigh�t�]]is�����iF�p�+����k���+�1.�q�Th��rus��Ithe�conjecture�predicts�that�there�should�exist�another�form��g���of�w�eigh�t�����iF�p���+�1����k���suc��rh���that�������g��*P�=�UR������f��V.�
�������2�p��k��g�.��Here��g��3�is�a��c��ffomp�anion�זform����of��f�G��.�Th��rus��g�Ë�=�UR���S����2�p��k��Z��f����where�����iF����=�UR�q�����Fu�����d���l����z�t����dq�����
�is�Ģthe���S��-op�erator�Ģw��re�dened�when�studying���S��-series.�,3This�conjecture�w�as�pro�v�ed�b�y�����iFGross�g�when��k��R�6�=�*52�;���p�.��It�w��ras�pro�v�ed�b�y�Coleman�and�V��Volo�S�c�h�when��k��R�=�*5�p�.��This�is�ho�w�w�e�����iFkno��rw��ab�S�out�the�w�eigh�t.�8�Next�time�w�e�will�talk�ab�S�out�the�c�haracter.�����	:[[What��is�the�other�main�ingredien��rt�in�the�pro�S�of.]]��'�����iF�15.8��iBThe�z�exceptional�lev��u�el�1�case��b#���iF�Let����t����UR�:��G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����F�����`����������r�)�����iFb�S�e�HEa�Galois�represen��rtation�with��`��>��2.�Q�Assume�HEthat����is�irreducible�and�mo�dular.�Q�Then�������iF�comes��from�a�mo�S�dular�form�in��S�����k�6��(��)��]�(�����1����(�N�@�p�)).�8�Here��p�UR�=��`�꨹[I�think]�and�2�UR���k�g�(��)����p����2�2��j������1.�����	:W��Ve��still�m��rust�talk�ab�S�out�the�exceptional�case�in�lev�el�1.�8�In�this�situation���͍�uH8��j�I�����`��N8�=����UR��
��������d���
������2�����%WX��������9�0���!������2���������.ܭ��
�����9\��=�UR��������X��
��������
��������d���	�T����1���������
���0���A�1�������!1�
������ �����iF�since����h�=�UR��T��+���1.�8�[[I�do�not�remem��rb�S�er�wh�y��V.]]�8�Dene�a�represen�tation���X�of��Gal��FX(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�b�y��Yy�������:=�UR�����
��������������P��������԰�����=��������J���
��������d���#u[����4����������$3��0���4��1�������:�ʟ�
�����A�v�:�����iF�F��Vortunately��w��re�kno�w�enough�to�sa�y�something�ab�S�out�the�w�eigh�t��k�g�(��n9�).�8�In�fact,��"م��s��k�g�(��n9�)�UR=�����z��(����ǭ���
�2���2���X�if��is�nite�at��`����fa���
`����+�1����5�otherwise�������"ن���iFThis��is�enough�to�determine��k�g�(��)�since��Yz��j��k�g�(��)�UR=��k��(��������X��
�����n9�)�=�(�p��+�1)��T��+��k�g�(��n9�)�:�����iF�W��Ve��ha��rv�e�not�y�et�said�what�w�e�mean�for���X�to�b�S�e�nite�at��`�.��� �����iF�Denition��15.8.1.���I�	��n9�j��D�����`���t�is�Hnite�if����j�D�����`��@��is�equiv��X�alen��rt�to�a�represen�tation�dened�b�y��G��.�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�`��s�),������iFwhere���G��ֹis�a�nite�
at��F�����`�����������v��rector�space�sc�heme�o�v�er��Z�����`����.�����	:This���denition�is�not�terribly�enligh��rtening.��T��Vo�help�fathom�what�is�going�on�w�e�consider�����iFthe�H�follo��rwing�sp�S�ecial�case.�	R�Supp�ose��E��=�Q��is�an�elliptic�curv��re�with�semistable�(=go�o�d�or�����iFm��rultiplicativ�e)��reduction�at��`�.�8�Then��E���[�`�]�denes�a�represen��rtation��Yz��z[���Ë�:�UR�G��!���Aut��=�E���[�`�]�=��GL����(2�;����F�����`����)�:�����iF�Let�������E��0�b�S�e�the�discriminan��rt�of��E���,�then���X�is�nite�at��`��i��������ord�����ǟ���`�����������E��
����UR�0���(�mo�S�d���B�`�)�:�����iF�Th��rus���when������E��,g�satises�this�requiremen�t,���k�g�(��n9�)�w�=�2.�u�Next���supp�S�ose��p�w��6�=��`��߹and�assume��E����has�����iFsemistable��}reduction�at��p�.�5|Then�the�represen��rtation���N��attac�hed�to��E���[�`�]�is�unramied�at��p��i������/�ord����(�����p����������E��
����UR�0���(�mo�S�d���B�`�)�:�����h�$��k�������iF�104�i�x�CHAPTER��15.�	#�THE�WEIGHT�AND�SERRE'S�CONJECTURES�����덠�B�ƍ�	:�The��reference�for�ev��rerything�w�e�ha�v�e�b�S�een�discussing�is�[�27����].�����	:The�$�bridge�is�Kummer�theory��V.��Let��E�ث�b�S�e�an�elliptic�curv��re�with�m�ultiplicativ�e�reduction����iFat���p�.�8�Supp�S�ose��V��¹=�UR�E���[�`�]�=��F�����`���������F�����`����.�W��Ve��ha��rv�e�a�map��P�����Y���o�:�UR�D���=��Gal���(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�`��s�=�Q�����`����)��!���Aut��=�V��:����iF�W��Ve��treat�the�case��p����=��`���and��p����6�=��`���at�the�same�time.���By�the�theory�of�T�ate�curv��res�there�is�����iFan��exact�sequence�of��D�S��-mo�dules�������0�UR�!��X�F��!��V����2���	|p����p��������G!!������Y����!��0�:����iF�[[I�*do�7not�remem��rb�S�er�him�explicitly�sa�ying�that�these�maps�should�b�S�e��D��-mo�dules�maps�but����iFthey��m��rust�b�S�e�for�the�t�wist�����2�d���m�s��to�b�S�e�a�splitting.]]��0Eac�h�of�these�terms�is�a��D�cQ�mo�S�dule�and��X����iF�and��y�Y�)�are�1�dimensional.�!RThe�action�of��D���on��Y��is�giv��ren�b�y�an�unramied�c�haracter��"��of����iForder��dividing�2�(i.e.,�the�order�is�1�or�2).�8�The�action�of��D�>6�on��X��+�is�giv��ren�b�y��"�.����	:Next�B'w��re�dene�an�elemen�t�of��H���V���2�1���Z�(�D�S�;�����Hom��y�(�Y��;���X��)).�?]Cho�ose�B'a�splitting��s��@�:��Y����!��V��p�.�Th��rus����iF�s����is�a�linear�map�(not�necessarily�a�map�of��D�S��-mo�dules)���[[otherwise�all�t��rwists�of�a�splittings����iFw��rould�=�b�S�e�trivial]]�suc�h�that����s�UR�=�1.��CF��Vor�=�eac�h��d�UR�2��D��`�consider�=�the�t�wisting�����2�d��|�s�UR�:��Y����!��V��B�dened����iFb��ry��ꨟ��2�d���R�s�(�y�n9�)�UR=��ds�(�d����2��1��\|�y��).�8�Since����������(�ds�(�d������1��\|�y�n9�))�UR=��d�(���(�s�(�d������1��\|�y�n9�)))�=��d�(�d������1���y�n9�)�=��y����iF�if�4�follo��rws�that�����2�d��.�s��is�again�a�splitting.�	sTh�us�����2�d��.�s��=���s��ǹ:��Y�#7�!��V���follo�w�ed�4�b�y����V�:����V�#7�!��Y���is����iF0.��W��Ve�^therefore�ha��rv�e�^that�����2�d����s�q����s�G��2���Hom���(�Y��;���X��).�The�^map��d�G��7!�����2�d��'6�s�^�denes�an�elemen��rt�of����iF�H���V���2�1���Z�(�D�S�;�����Hom��y�(�Y��;���X��)).����	:W��Ve��ha��rv�e�isomorphisms�����C8�H���V����1���Z�(�D�S�;�����Hom��y�(�Y��;���X��))�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����1���(�D�;��������`����)�����P���UR����԰���n:�=��������Q���������ڍ�p����]�=�Q�������`���ڍp���8��:����iF�The��last�isomorphism�follo��rws�from�Kummer�theory��V.��[[I��do�not�kno�w�where�the�rst�one����iFcomes��wfrom.]]�MTh��rus���2��denes�an�elemen�t�of��Q����2����RA��p����]�=�Q����2���`��RA�p���8�.�MSerre�pro�v�ed�that���2��is�nite�i�the����iFcorresp�S�onding��elemen��rt�of��Q����2����RA��p����]�=�Q����2���`��RA�p���#��dened�b�y���AŹis�in�the�image�of��Z����2����RA��p����]�.����	:If��M�E��=�Q�����p��	{��is�an�elliptic�curv��re�with�m�ultiplicativ�e�reduction�then�there�exists�a�T��Vate�pa-����iFrameter���q�Ë�2�UR�Q����2����RA��p�����with��V��Val����o����p���̹(�q�n9�)��>��0�suc��rh�that�����7��E�����P���	i����԰���"Q�=�������E�����q���P�:=�UR�G�����m����=q��n9����Z�����iF�o��rv�er���the�unique�quadratic�unramied�extension�of��Q�����p���]�.�']The�k��rernel�of�m�ultiplication�b�y��p����iF�giv��res�\�rise�to�an�exact�sequence�as�ab�S�o�v�e.���[[W��Vork�out�the�details�sometime!]]�F��Vurthermore,����iFthe�Velemen��rt�of��Q����2����RA��p����]�=�Q����2�����-:�`���RA��p����v�dened�b�y�the�represen�tation�comming�from��E���[�`�]�is�just�the�image����iFof���q�n9�.�8�In�this�con��rtext�there�is�a�form�ula�for������E��0�whic�h�is��"�ٍ���������E��
�ڹ=�UR�q�������0��1���������Y���
�ҍ�n7�n�=1���s�(1������q��n9����n����)�����24��	�:��$%�iF�Note��that�the�pro�S�duct�factor�is�a�unit�in��Q�����p���]�.�8�Th��rus��V��Val����o����p���ʹ�����E��
�ڹ=��URV��Val���M����p��t�q�n9�.����	:[[A��rt���this�momen�t�Ogus�asks�if�Serre�uses�Ra�ynaud's�result.�&�Rib�S�et�rst�sa�ys�no,���but�then����iFc��rhanges�+(his�mind�and�sa�ys�\Y��Ves,�{Hhe�m�ust�b�S�e�able�to�explicitly�describ�e�nite�
at�v��rector����iFspace��sc��rhemes."��lThen�Ogus�asks�what�is�wrong�with�w�eigh�t�1.��lRib�S�et�replies�that�Serre����iFdidn't� �kno��rw�ho�w�to�dene�forms�in�w�eigh�t�1.��jBut�L.�Merel�sa�ys�something�ab�S�out�Serre����iFb�S�eing��frustrated�b�ecause�he�couldn't�compute�in�w��reigh�t��1.]]�����i���k�������덠������iF�Chapter�	T{16��2����iFF����ermat's�	T{Last�Theorem��>�����iF�16.1��iBThe�z�application�to�F��aGermat��������2�\As��part�of�this�parcel,�I�can�sk��retc�h��the�application�to�F��Vermat."���Í��	:Supp�S�ose�s�that�semistable�elliptic�curv��res�o�v�er��Q��are�mo�S�dular.��yThen�FL��VT�sbis�true.�Wh��ry?������iF\As��I�ha��rv�e��explained��so�35many�times����:���:�:����"��Supp�S�ose��`�UR>��5��and���捒���a�����`�����+����b�����`���+��c�����`��N8�=�UR0�����iFwith���abc�m��6�=�0,���all�relativ��rely�prime,�and�suc��rh�that��A�m�=��a����2�`��f����1�UP(�mo�S�d���B4),����B��=��b����2�`����is�ev��ren�and�����iF�C�1�=�UR�c����2�`��N8���1�UP(�mo�S�d���B4).�8�Then��w��re�consider�the�elliptic�curv�e�����é�E�	i�:�UR�y��n9����2�����=��x�(�x������A�)(�x����B���)�:�����iF�The���minimal�35discriminant��is����������E��
�ڹ=������ō���(�AB��C�ܞ�)����2�2������[��z�)H�
�΍�o��2������8�������� ���iF�as���discussed�in�Serre's�[�27����]�and�Diamond-Kramer�[[cite�Math�Researc��rh�Letters,���1995]].�9_The�����iFconductor�b�N�����E�����is�equal�to�the�pro�S�duct�of�the�primes�dividing��AB��C�>��(so�in�particular��N�����E���is�����iFsquare-free).�F��Vurthermore,����E�Ht�is��]semistable�{�the�only�hard�place�to�c��rhec�k��]is�at�2.�Diamond-�����iFKramer��c��rhec�ks�this�explicitly��V.�������	:Here���is�ho��rw�to�get�F��Vermat's�theorem.�flView��E���[�`�]�as�a��G�o*�=��Gal����(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)-mo�S�dule.�The���idea�����iFis���to�sho��rw�that�this�represen�tation�m�ust�come�from�a�mo�S�dular�form�of�w�eigh�t�2�and�lev�el�2.�����iFThis�"�will�b�S�e�a�con��rtradiction�since�there�are�no�mo�dular�forms�of�w��reigh�t�"�2�and�lev��rel�2.��But�����iFto�apply�the�lev��rel�and�w�eigh�t�theorem�w�e�need�to�kno�w�that��E���[�`�]�is�irreducible.���The�pro�S�of�����iFof��this�is�due�to�Mazur.�����	:Let��,���8�:��G��!���Aut�����E���[�`�]�b�S�e�the�Galois�represen��rtation�on�the��`��torsion�of��E��.�mSince��E��C�is�����iFsemistable��for��p�UR�6�=��`�,��9����J��j�I�����p������P��������԰���5��=���������X��
��������d�����1���+�����������0���+�1�������1���
�����8���:���5���iF�Assume�����is�reducible.�8�Then����has�an�in��rv��X�arian�t��subspace�so��!9���([������P���UR����԰���n:�=������������
��������d���*�����)]���������
�0���(�o��������0ܟ�
�����7.��:��!�卑�iF�Then���from�the�form�of���j�I�����p��	`��w��re�see�that�the�c�haracters����+�and���C�could�b�S�e�ramied�only�at�����iF�`�.���Th��rus�qY��N$�=�:������2�i���3�and�����=������2�1��i�����where����is�the�mo�S�d��`��cyclotomic�c��rharacter.���The�exp�onen��rts�������%105����j����k�������iF�106����CHAPTER��16.�	#�FERMA��VT'S�LAST�THEOREM�����덠�B�ƍ�iF�are����i��and�1��Z���i��ֹsince������%�is�the�determinen��rt�whic�h�is���.�li[[Wh�y�is����supp�S�osed�to�b�e�the�only�����iFp�S�ossible�A�unramied�c��rharacter?�=�probably�since�whatev�er�the�c�haracter�is,�Wpit�is�a�pro�S�duct�of����iF��꨹times�something�else,�and�the�other�factor�is�ramied.]]����	:What��happ�S�ens�to����at��`�,�(&i.e.,�what��is���j�I�����`����?��uThere�are�only�t��rw�o��p�ossibilities.��uEither���j�I�����`�����iF�is��Athe�direct�sum�of�the�t��rw�o��Afundamen�tal�c�haracters�or�it�is�the�sum�of�the�trivial�c�haracter����iFwith����.���The�second�p�S�ossibilit��ry�m�ust�b�S�e�the�one�whic�h�o�S�ccurs.���[[I��do�not�understand�wh�y��V...����iFsomething��ab�S�out�\c��rharacters�globally�are�determined�b�y�lo�S�cal�information."]]��2So�either��i�UR�=�0����iFor���i�UR�=�1.�8�If��i��=�0,���S������UR�=������
��������d���
��1���1��������
��0���_���������!�h��
�����(��:������iF�This�F�means�that�there�is�an�elemen��rt�of��E���[�`�]�whose�subspace�is�left�in�v��X�arian�t�under�the�action����iFof��Galois.�8�Th��rus��E����has�a�p�S�oin�t�of�order��`��rational�o�v�er��Q�.�8�If��i�UR�=�1��then���+�������UR�=������
��������d���
������l��������>7�0����o1�������!�m��
�����)�:�� �׍�iF�Therefore�ˍ������`��N8�,���!�UR�E���[�`�].��,Divide�to�obtain��E�����2�0��ע�=�UR�E�=�����`����.��,The�represen��rtation�on��E��[�`�]�=�����`���s�is�constan��rt���Ӎ�iF(this��is�basic�linear�algebra)�so�the�resulting�represen��rtation�on��E������2�0���P�[�`�]�has�the�form������
�������b܍��
D5�1���K�����ፍ�
D5�0���Dž�����������
�����'Rڹso���j��iF�E������2�0��l��has��a�rational�p�S�oin��rt�of�order��`�.����	:No��rw�R�E���[2]�is�a�trivial�Galois�mo�S�dule�since�it�con�tains�3�ob�vious�rational�p�S�oin�ts,�k�namely����iF(0�;����0)�;��(�A;��0)�;�^��and�(�B��;����0).���Th��rus�the�group�structure�on�the�curv�e��E���(or��E������2�0���P�)�(whic�h�w�e�con-����iFstructed��from�a�coun��rterexample�to�F��Vermat)�con�tains���؍��5��Z�=�2�Z������Z�=�2�Z����Z�=`�Z�:����iF�In��YMazur's�pap�S�er�[[\rational�isogenies�of�prime�degree"]]�he�pro��rv�es��Ythat��`�
����3.�@�Since��Yw��re�����iFassumed�F�that��`��f>��5,��wthis�F�is�a�con��rtradiction.�	LlNotice�that�w�e�ha�v�e��not��just�pro�v�ed�FL��VT.����iFW��Ve�� ha��rv�e�demonstrated�the��irr��ffe�ducibility��of�the�Galois�represen��rtation�on�the��`��torsion�of�the����iFelliptic��curv��re��E����arising�from�a�h�yp�S�othetical�coun�terexample�to�FL��VT.����	:W��Ve��no��rw�ha�v�e�a�represen�tation���؍��R���UR�:��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����F�����`����)�=��Aut��=�E���[�`�]����iFwhic��rh���is�irreducible�and�mo�S�dular�of�w�eigh�t�2�and�lev�el��N��6�=�UR�N�����E��	̀�(the�conductor�of��E���).�ʥBecause�����iF��꨹is�irreducible�w��re�conclude�that����is�mo�S�dular�of�w�eigh�t��k�g�(��)�and�lev�el��N�@�(��).�8�F��Vurthermore�����s5�ord����.�����`���'�������E��
�ڹ=��URord���N*����`��G�(�AB��C�ܞ�)�����2��V�=�UR2�`�����ord����֟���`����abc����0���(�mo�S�d���B�`�)����iFso���k�g�(��)�UR=�2.����	:W��Ve��can�also�pro��rv�e��that��N�@�(��)���=�2.�}EClearly���N��(��)�j�N�����E��-��.�This��is�b�S�ecause��N��(��)�computed����iFlo�S�cally�Z4at��p�/�6�=��`�Z4�divides�the�p�o��rw�er�Z4of��p��in�the�conductor�of�the��`�-adic�represen��rtation�for��E����iF�at�ݝ�p�.�4�[[I�ݚdo�not�understand�this.]]�Since����is�only�ramied�at�2�or�ma��ryb�S�e��`�,��9�N�@�(��)�m�ust�b�S�e�a����iFp�S�o��rw�er�6of�2.�͋F��Vor��p����6�=��`�,�(���6�is�ramied�at��p��i��ord�������p���i������E��
�4�6����0�UP(�mo�d���B�`�)�whic��rh�do�es�happ�en�when����iF�p���=�2.��Since��N�����E��3��is�square�free�this�implies�that��N�@�(��)���=�2.�But��S�����2����(�����1���(2))���=�0�;��whic��rh�is�the����iFultimate��con��rtradiction!����	:But��ho��rw�do�w�e�kno�w�semistable�elliptic�curv�es�o�v�er��Q��are�mo�S�dular?��'�����iF�16.2��AiBMo��=dular�z�Elliptic�Curv��u�es��b#����iF�Theorem��16.2.1�(Theorem�A).����,��Every�35semistable�el���liptic�curve�over��Q��is�mo��ffdular.�����k����k��������iF�16.2.�	#�MODULAR��ELLIPTIC�CUR����VES��n�107�����덠�B�ƍ��	:There��are�sev��reral�w�a�ys�to�dene�a�mo�S�dular�elliptic�curv�e.��������iF�Denition��16.2.2.���I�	�Let����E�_�b�S�e�an�elliptic�curv��re.�#�Then��E��is��mo��ffdular��if�there�is�a�prime��`�UR>��2������iFsuc��rh��that�the�asso�S�ciated��`�-adic�Galois�represen�tation��f���lĆ������E�r�;`������1���-��:�UR�G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����Z�����`����)�����iFdened��b��ry�the��`�-p�S�o�w�er�division�p�S�oin�ts�on��E����is�mo�S�dular�(i.e.,�it�is�a�������f�h�;��P	�).�������iF�Denition��16.2.3.���I�	�Let�{��E�/��b�S�e�an�elliptic�curv��re�of�conductor��N�����E��-��.�	�F��Vor�eac�h�prime��p��not������iFdividing�� �N�����E��
٨�one�asso�S�ciates�a�n��rum�b�er�� �a�����p��s}�related�[[in�a�simple�w��ra�y!]]�$to�� the�n��rum�b�er�� of�p�oin��rts�����iFon�ʛthe�reduction�of��E�~��mo�S�dulo��p�.�.1Then��E��is��mo��ffdular��if�there�exists�a�cusp�form��f��Q�=��UR�����P�����b�����n���P�q��n9���2�n������iF�whic��rh��is�an�eigenform��"8���	:for�2the�Hec��rk�e�2op�S�erators�suc��rh�that��a�����p��_��=����b�����p��ُ�for�almost�all��p�.��}In�the�end�one�deduces�that�����iF�f�2��can��b�S�e�c��rhosen�to�ha�v�e�w�eigh�t�2,�trivial�c�haracter,�and�lev�el��N�����E��-��.�������iF�Denition��16.2.4�(Shim��ura).�������An�a7elliptic�curv��re��E�N�is�mo�S�dular�if�there�is�nonconstan�t�map�����iF�X�����0����(�N�@�)�UR�!��E����for��some��N��.�������iF�Theorem��16.2.5�(Theorem�B.�Wiles,�T���a��ylor-Wiles).�����Supp��ffose���E�a3�is�a�semistable�el���lip-�����iFtic��curve�over��Q��and�supp��ffose��`��is�an�o�dd�prime�such�that��E���[�`�]��is�irr�e�ducible�and�mo�dular,�����iFthen�35������E�r�;`������1���i�is�mo��ffdular�and�henc�e��E��L�is�mo�dular.�����	:�No��rw�j�w�e�sk�etc�h�a�pro�S�of�that�theorem�B�j�implies�theorem�A.�First�tak�e��`�/B�=�3.���If��E���[3]�is�����iFirreducible��then�b��ry�w�ork�of�Langlands-T��Vunnel�w�e�win.�8�The�idea�is�to�tak�e��f���HX��UR�:��G��!���GL����(2�;����F�����3����)��,���!���GL��(2�;����Z�[�������p���
���Ήz�5S�
2��2����5U])�����GL��(2�;����C�)�:�����iF�The�ep�S�oin��rt�is�that�there�are�t�w�o�maps��Z�[�������p���
���ljz�5S�	m9��2����5U]�Q��!��F�����3��	�i�giv�en�eb�y�reduction�mo�S�dulo�eac�h�of������iFthe�rimes�lying�o��rv�er�[3.���Cho�S�osing�one�giv��res�a�map��GL����(2�;����Z�[�������p���
���ljz�5S�	m9��2����5U])��7�!���GL��7�(2�;��F�����3����)�hic��rh,�'�for�����iFsome�~amazing�reason�[[whic��rh�is?]],���has�a�section.��5Then���PJ�:��G��!���GL����(2�;����C�)�~is�a�con�tin�uous�����iFrepresen��rtation�7with�o�S�dd�determinen�t�whic�h�m�ust�still�b�S�e�irreducible.�y�By�Langlands-T��Vunnel�����iFw��re��!kno�w�that����is�mo�S�dular�and�in�fact����comes�from�a�w�eigh�t�1�cusp�form��f�� �of�lev�el�a�p�S�o�w�er�����iFof�8o3�times�p�S�o��rw�ers�8oof�most�primes�dividing��cond��_{(�E���).�	"5Reducing��f��n�mo�dulo�some�prime�of�����iF�Z�[�������p���
���ljz�5S�	m9��2����5U]�lieing�o��rv�er�3�w��re�obtain�a�mo�S�d�3�mo�dular�form�whic��rh�corresp�onds�to����U�:��G��!��E���[3].�����iFThe�ڷpro�S�of�of�all�this�uses�the�immense�base-c��rhange�business�in�Langlands'�b�o�ok.�	[[Rib�et�����iFnext�?sa��rys:��\ha�v�e�to�get�3's�out�of�the�lev�el!�6,This�jac�ks�up�the�w�eigh�t,�T2and�the�lev�el�is�still�����iFnot�g�square�free.���Then�ha��rv�e�g�to�adjust�the�w��reigh�t�g�again."�I�g�do�not�kno��rw�what�the�p�S�oin�t�of�����iFthis��is.]]��"8���	:Kevin���Buzzard�ask��red�a�question�relating�to�ho�w�one�kno�ws�the�h�yp�S�othesis�needed�for�����iFthe��<theorem�on�w��reigh�ts��<and�lev��rels�applies�in�our�situation.�,�T��Vo�answ�er�this�supp�S�ose��`�UR�=�3��<or�����iF5.�vF��Vorm��jthe�asso�S�ciated�represen��rtation���UR�:��G��!���GL����(2�;����F�����`����)��jcoming�from��E���[�`�]�and�assume�it�is�����iFirreducible,��mo�S�dular�and�semistable.�������iF�Denition��16.2.6.���I�	�A��#mo�S�d��`��Galois�represen��rtation�is��semistable��if�for�all��p�V#�6�=��`�,��Athe��#inertia�����iFgroup���I�����p����acts�unip�S�oten��rtly�and�the�conjectured�w�eigh�t�is�2�or��`����+�1.�����	:Note��that��det��<b��UR�=���.�������iF�Lemma��16.2.7.���:^��Under�35the�ab��ffove�assumptions��`��divides�the�or�der�of�the�image�of���.�����l�&��k�������iF�108����CHAPTER��16.�	#�FERMA��VT'S�LAST�THEOREM�����덠�B�ƍ���iF�Pr��ffo�of.���02��If�Ԓnot,�0then����is�nite�at�all�primes��p�,�since�for�primes��p�UR�6�=��`�Ԓ�inertia�acts�trivially�[[some�����iFother��argumen��rt�for��`�]].���Inertia�acts�trivially�b�S�ecause�if�the�order�of�the�image�of����is�prime����iFto�՜�`��then����acts�diagonally��V.���F�or�՜if�not�then�since���j�I�����p��	���is�unip�S�oten��rt�(hence�all�eigen�v��X�alues��'؍�iFare�<�1),��Yin�a�suitable�basis�something�lik��re������
�����������gz�1������ ���b���gz�0�����1���������
�����*)��is�in�the�image�of����and�has�order��`�,�a���ԍ�iFcon��rtradiction.��Because�dof�niteness��k�g�(��)�#�=�2�dand��N�@�(��)�#�=�1�dwhic�h�is�a�con�tradiction�since����iFthere��are�no�forms�of�w��reigh�t��2�and�lev��rel�1.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:Next�߉w��re�consider�what�happ�S�ens�if��E���[3]�is�reducible.��There�are�t�w�o�cases�to�consider.����iFFirst�!)supp�S�ose��E���[5]�is�also�reducible.��cThen��E��@�con��rtains�a�rational�subgroup�of�order�15.�W��Ve����iFcan�Ҟc��rhec�k�b�y�hand�that�all�suc�h�curv�es�are�mo�S�dular.�0�The�k�ey�result�that�is�that��X�����0����(15)(�Q�)����iFis��nite.����	:The���second�p�S�ossibilit��ry�is�that��E���[5]�is�irreducible.���In�this�case�w�e�rst�nd�a�curv�e��E������2�0�����iF�whic��rh��is�semistable�o�v�er��Q��suc�h�that���������5�����(�2�E������2�0���P�[5]�����P���UR����԰���n:�=��������E���[5]��(this�is�easy�to�do�b�S�ecause�of�the�luc��rky�coincidence�that��X�����0����(5)�has�gen�us����(�20)��������5�����(�2�E������2�0���P�[3]��is�irreducible����iFNext���w��re�disco�v�er�that��E������2�0���is�mo�S�dular�since��E������2�0���P�[3]�is�irreducible.�?This�implies��E������2�0���[5]�is�mo�S�dular����iFhence���E���[5]�is�mo�S�dular.�8�Theorem�B�then�implies��E����is�mo�dular.�����m���k�������덠���ƍ��iF�Chapter�	T{17��2���iFDeformations��>����iF�17.1��iBIn��u�tro��=duction��b#���iF�F��Vor��the�rest�of�the�semester�let��`��b�S�e�an�o�dd�prime.�8�Let���UR�:��G��!���GL����(2�;����F�����`����������r�)��b�e�suc��rh�that���ԍ������5�������2��꨹is�mo�S�dular���򍍍����5�������2��꨹is�irreducible���������5�������2��꨹is�semistable���Ӎ����iF�Denition��17.1.1.���I�	�The��represen��rtation����is��semistable��if���������5�������2�for��all��p�UR�6�=��`�,���S����@��j�I�����p������P��������԰���5��=���������X��
��������d�����1���+�����������0���+�1�������1���
�����8���;���鍑��2�(��꨹is�t��rypically�trivial�since�most�primes�are�unramied.)���������5�������2�k�g�(��)�UR=�2���or��G�`����+�1.���Ӎ��iFThis��means�that�there�are�2�p�S�ossibilities.��������Ů1.������2��꨹is�nite�at��D�����`����.��������Ů2.����������=��j�D�����`������P���N8����԰���g �=�����������
��������d���#�����-V�����������0���,�U��������3�Ÿ�
�������鍑��2�where�������is�unramied.�8�(Since��det��<d(��)�UR=���꨹w��re�can�add�that�����j�I�����`��N8�=�UR��.)���Ӎ��iFIf��S�k�g�(��)��>=�2�then�p�S�ossibilit��ry�1�o�ccurs.�\�If��k�g�(��)��>=��`�'�+�1�then�w��re�are�in�case�2,���but�b�S�eing�in������iFcase��2�do�S�es�not�imply�that��k�g�(��)�UR=��`�?"�+�1.�'TIf�����comes�from�an�elliptic�curv��re��E��=�Q�,���then�case�1�����iFo�S�ccurs�3�if��E�籹has�go�o�d�reduction�at��`��whereas�case�2�o�ccurs�if��E�籹has�ordinary�m��rultiplicativ�e�����iFreduction��[[I�am�not�sure�ab�S�out�this�last�assertion�b�ecause�I�missed�it�in�class.]].�����	:What��is�a�deformation�of����and�when�can�w��re�pro�v�e�that�it�is�mo�S�dular?�����	:Let�E��A��b�S�e�a�complete�lo�cal�No�etherian�ring�with�maximal�ideal��m��and�residue�eld��F�����`�������������iF�(so���A��is�furnished�with�a�map��A=�m����2��������p���UR���$!����\x�F�����`����������r�).�8�Let���̍����CO~����0�������A�����s��:�UR�G��!���GL����(2�;���A�)�����iFb�S�e�1�a�represen��rtation�whic�h�is�ramied�at�only�nitely�man�y�primes.�aAssume���D9~���������=�����~����u������A�����lifts���,������iFi.e.,��the�reduction�of����~�������
�Ĺmo�S�d��m��giv��res���.�������iF�Theorem��17.1.2.���C�$�L��ffet�35the�notation�b�e�as�ab�ove,�then���E��~�������u��is�mo�dular�i�it�satises�(��).�����	:�Neither��of�the�terms�in�this�theorem�ha��rv�e��b�S�een�dened�y��ret.�������%109����n���k�������iF�110�	0��CHAPTER��17.�	#�DEF��rORMA��VTIONS�����덠�C䌍��iF�17.2��AiBCondition�z��(��)��I-��iF�Let���M�������UR�:��G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����F�����`����������r�)�����iFb�S�e��a�Galois�represen��rtation.���o��	:The��statemen��rt�w�e�wish�to�understand�is���*��(�2\All����~��������
�Ĺwhic��rh��satisfy�(��)�are�mo�S�dular."���+��	:Let�vf�A��b�S�e�a�complete�lo�cal�No�etherian�ring�with�residue�eld��F�����`����������r�.��This�means�that�w��re�����iFare��giv��ren�a�map��A=�m�����P���UR����԰���n:�=��������F�����`����������r�.�8�Supp�S�ose����~�������
On�:�UR�G��!���GL����(2�;���A�)��satises�the�follo�wing�conditions:��������5�������)ۘ�~���(�2����2�N�lifts����,��������5������(�2�det����<-R~���;�����D��=�����~���UR����
���,��������5�������)ۘ�~���(�2����2�N�is��ramied�at�only�nitely�man��ry�primes,�and��������5�����(�2�condition��(��).����	:What�rVis�condition�(��)?���It�the�requiremen��rt�that�����~�������� �ha�v�e�the�same�qualitativ�e�prop�S�erties�����iFas�����lo�S�cally�at��`�.�8�There�are�t��rw�o��cases�to�consider.���o��	:�Case���1.��)�(arising��kfrom�sup�S�ersingular�reduction�at��`�)�Supp�ose����is�nite�and�
at�at��`�.����iFThen����j�I�����`��㎹is�giv��ren�b�y�the�2�fundamen�tal�c�haracters���M���0�I�����`��N8�!�UR�F��������y��`������2�������iF�of���lev��rel�2�(instead�of�from�p�S�o�w�ers�of�these�c�haracters�b�S�ecause�of�the�semistabilit�y�assumption).�����iFCondition�~(��)�is�that�the�lift�of����is�also�constrained�to�b�S�e�nite�and�
at.��bThis�means�that����iFfor��ev��rery��n�UR���1,���M�����Ԥ~�����>�����Ѳ�j�D�����`����ڹmo�S�d��*~�m�����n�����:�UR�D�����`��N8�!���GL����(2�;���A=�m�����n���P�)�����iFis�dnite�and�
at,�~�i.e.,�it�dcomes�from�a�nite�
at�group�sc��rheme�o�v�er��Z�����`��\�whic�h�is�pro�vided�with����iFan��action�of��A=�m����2�n��	���as�endomorphisms.����	:�Case��2.�8�(bad��m��rultiplicativ�e�reduction�at��`��or�go�S�o�d�ordinary�reduction�at��`�)�In�case�2��%�L���BG��j�D�����`������P���N8����԰���g �=�����������
��������d���#�����-V�����������0���,�U��������3�Ÿ�
��������iF�where�����m�is�unramied�(equiv��X�alen��rtly�����j�I�����`��N8�=�UR��).�3[[In�the�case�of�go�S�o�d��ordinary�reduction����is�����iFgiv��ren�\b�y�the�action�of�Galois�on��E���[�`�]�in�c�haracteristic��`�.]]���Condition�(��)�is�the�requiremen�t����iFthat��Eލ���Ͳ�~���̠�����ү��j�D�����`������P���N8����԰���g �=�����������
�������(ҍ����M��~���#�������-V�����{"�����0������W��.a8~��*���,�U����������3�Ÿ�
�����;'n�;��#���iF�where����W����~��*��������!��is��unramied,����~�������wp�j�I�����`��N8�=�����~���UR����
���.�8�It�follo��rws�automatically�that����W����~��*��������lifts����O�.�����o���k��������iF�17.3.�	#�CLASSES��OF�LIFTINGS��_�111�����덠�B�ƍ���iF�17.2.1���Finite�ff
at�represen���tations��@���iF�In�$�general�what�do�S�es�it�mean�for����to�b�e�nite�and�
at.��qIt�means�that�there�exists�a�nite������iF
at�H�group�sc��rheme��G��*�o�v�er��Z�����`��A�suc�h�that��G��.�(���S��z�
#��	�\��Q����
#���T�`��s�)�is�the�represen�tation�space�of���.��This�denition�����iFis���subtle�.�����	:Coleman���ask��red�if�there�is�a�w�a�y�to�reform�ulate�the�denition�without�men�tioning�group�����iFsc��rhemes.�2_Rib�S�et��%men�tioned�Hopf�algebras�but�then�stopp�S�ed.�2_Buzzard�suggested�some�of�the�����iFsubtlet��ry��of�the�denition�b�y�claiming�that�in�some�situation����is�nite�
at�whereas������2�2��	� �is�����iFnot.�8�Ogus��v��X�aguely�conjectured�that�F��Von��rtaine's�language�is�the�w�a�y�to�understand�this.�����	:It��2is�p�S�ossible�in�case�2�ab�o��rv�e��2for���j�D�����`����to�b�e�nite�
at�without����~��������عnite�
at.��cThe�quin��rtessen-�����iFtial��example�is�an�elliptic�curv��re��E����with�sup�S�ersingular�reduction�at��`��suc�h�that��`�j�����ord����֟���`��������E��-��.��'�Z����iF�17.3��iBClasses�z�of�Liftings��b#���iF�Let�o�b�S�e�a�nite�set�of�prime�n��rum�b�ers.��6W��Ve�oc�haracterize�a�class�of�liftings����~�������R�whic�h�dep�S�ends�����iFon��.�8�What�do�S�es�it�mean�for����~�������
�Ĺto�b�e�in�the�class�of�deformations�corresp�onding�to�?��"b�����iF�17.3.1���The�ffcase��p����!",�ff
cmsy10�6�=��`�����iF�First��~w��re�talk�ab�S�out�the�case�when��p�UR�6�=��`�.� }If��~�p��2���then�there�is�no�sp�S�ecial�condition�on�����~�������	���j�I�����p���]�.�����iFIf���p�UR�62���one�requires�that����~�������
�Ĺis�qualitativ��rely�the�same�as���.�8�This�means��$2������Ů1.������2If��=���is�unramied�at��p��(whic��rh�is�the�usual�case),���then�w�e�just�require�that���ף~���������is�unramied������2at���p�.����������Ů2.������2If�����is�ramied�but�unip�S�oten��rt�at��p��so��㍒�Q��j�I�����p������P��������԰���5��=���������X��
��������d�����1���+�����������0���+�1�������1���
����������2�w��re��require�that���S�������~�����@��������j�I�����p������P��������԰���5��=���������X��
��������d�����1���+�����������0���+�1�������1���
�����8���:��'l����2�This�\
situation�can�o�S�ccur�with�an�elliptic�curv��re�whic�h�has�m�ultiplicativ�e�reduction�at�������2�p�꨹and�for�whic��rh��`��UV�6�URj�����ord����֟���p���1������E��-��.�����	:A��rt��this�p�S�oin�t�I�men�tion�the�prime�example.��R�����iF�Example�3517.3.1.���6��Supp�S�ose�����~����r����
?8�=�UR������f�h�;��*{�is��rthe���-adic�represen��rtation�attac�hed�to��f�G��.�3yWhat�can�w�e�����iFsa��ry��ab�S�out��ord���〟���p�����N�@�(�f�G��)?�8�W��Ve�kno�w�that�������TUord���ex-����p��l?��N�@�(�f�G��)�UR=��ord���N*����p����N��(��)���+��dim��?�(��)�����I���p���4�����dim��(���f~������t�)�����I���p�������iF�where�#(��)����2�I���p����u�means�the�inertia�in��rv��X�arian�ts�#in�the�represen��rtation�space�of���.��QIf����is�semistable������iFthen������<,ord����5����p����_�N�@�(��)���+��dim��?�(��)�����I���p���ߤ�=�UR2�:������iF�Since�w��re�are�assuming����is�semistable,��\ord���4����p��Ϗ�N�@�(�f�G��)��M���2.���F��Vurthermore,�\the�condition��p��M�62���is�����iFa��w��ra�y�of�sa�ying��������ord����������p�����N�@�(�f�G��)�UR=��ord���N*����p����N��(��)�:�����iF�Th��rus��the�requiremen�t�that��p�UR�62����is�that�the�error�term��dim���(��)����2�I���p���4�������dim��?�(���f~������t�)����2�I���p���t��v��X�anish.�����	:Note���that��ord���������p��k�N�@�(���f~������t�)�UR=��ord���N*����p����N��(�f�G��)���b��ry�Cara�y�ol's�theorem.��GTh�us��ord���������p��k�N�@�(�f�G��)�is�just�a�dieren�t�����iFw��ra�y��to�write��ord���〟���p�����N�@�(���f~������t�).�����p�٠�k�������iF�112�	0��CHAPTER��17.�	#�DEF��rORMA��VTIONS�����덠�B�ƍ���iF�Example�3517.3.2.���c��Imagine�-����is�ramied�at��p��and��ord���&�����p�����N�@�(��)�LJ=�1.�+Then��-�ord���&�����p���N�@�(�f�G��)�-�is�either�1�����iFor��2.�8�The�requiremen��rt�that��p�UR�62����is�that��ord���〟���p�����N�@�(�f�G��)�UR=�1.��%2����iF�17.3.2��E�The�ffcase��p����=��`����iF�Next�x�w��re�talk�ab�S�out�the�case��p�Gc�=��`�.��There�x�are�t�w�o�p�S�ossibilities:�UNeither��`�Gc�2���x�or��`�Gc�62��.��If����iF�`�UR�2����Ethen�w��re�imp�S�ose�no��further��condition�on�����~�������
g��(b�esides�the�already�imp�osed�condition�(��),����iFsemistabilit��ry���at��`�,��etc.).�5�If��`�UR�62�����and����if�nite�and�
at�(whic�h�is�not�alw�a�ys�the�case)�then����iFw��re�Ǥrequire����
~�������
���to�b�S�e�nite�and�
at.�-4If��`�UR�62���Ǥand����is�not�nite�
at�then�no�further�restriction����iF(this��is�the�T��Vate�curv��re�situation).���卑	:Supp�S�ose���_~���l�����ѿ�=�UR������f�h�;��P	�,��and���_~���l������f�b�elongs�l�to�the�class�dened�b��ry�.��W��Ve�w�an�t�to��guess��(since�there����iFis��no�Cara��ry�ol��theorem)�an�in��rteger��N�������
�<�suc�h�that��N�@�(�f�G��)�j�N����������.�8�What�is��N��������?�8�It�will�b�S�e���L������N�������	��=�����w���Y���4��ꍍ�1��p�6�=�`���+���URp�2������j��p�����2��j������
͟��Y���@O���牍����p�6�=�`���0퍍���p�62�������G�p������ord���H����p��r����N��"�(��)��'�)�����`����������:��0Eߍ�iF�Here����ord����ן���p���2�N�@�(��)���is�1�i����is�ramied�at��p�.��RThe�exp�S�onen��rt���c1�is�either�0�or�1.�It�is�1�i��k�g�(��)�UR=��`����+�1����iFor���`�UR�2���and����is�ordinary�at��`�,�i.e.,��"��̠���j�D�����`������P���N8����԰���g �=�����������
��������d���#�����-V�����������0���,�U��������3�Ÿ�
�����;'n�:��"����iF�[[This�9�denition�could�b�S�e�completely�wrong.���It�w��ras�denitely�not�presen�ted�clearly�in�class.]]����	:There�Lis�an�exercise�asso�S�ciated�with�this.���It�is�to�justify��a�Mpriori��the�denition�of���s2�.����iFSupp�S�ose,��for�example,�that�������f�h�;��:��satises�(��),�then�w��re�w�an�t�to�sho�w�that��`����2�2��Z�6�URj�N�@�(�f�G��).��sw����iF�Theorem��17.3.3.���p�$�Every���E��~���35����u��of�35class����c��ffomes�fr�om��S�����2����(�����0���(�N����������))�.����	:�Dene��an�appro��rximation��T��to�the�Hec�k�e�algebra�b�y�letting��������e�T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End��b(�S�����2����(�����0���(�N����������)))����iFwhere��w��re�adjoin�only�those��T�����n��	���for�whic�h�(�n;���`N����������)�UR=�1.�8�F��Vor��some�reason�there�exists�a�map��������T�UR�!��F�����`����������Ĺ:�J�T�����r����7!���T��Vr��h���(�F��Vrob����/����r��;��)�:����iF�Wh��ry��5should�suc�h�a�map�exist?�I�The�p�S�oin�t�is�that�w�e�kno�w�b�y�the�theorem�that����comes�b�y�����iFreduction��from�a�������f�h�;��:��with��f��Q�2�UR�S�����2����(�����0���(�N����������)).����	:But�+there�is�a�wrinkle.��*[[I�+do�not�understand:���He�sa��rys:�\Clearly��N�@�(��)�j�N����������.��*�k�g�(��)���=�2�+or����iF�`���+�1.���If�	��k�g�(��)���=��`���+�1�then������=���1�so��`�j�N����������.���Ha��rv�e�to�tric�kily�slip�o�v�er�to�w�eigh�t�2�in�order�to����iFget���f�G��."�8�This�do�S�es�not�mak��re�an�y�sense�to�me.]]��*}X���iF�17.4��AiBWiles'�z�Hec��u�k�e�algebra��mail protected]��iF�Comp�S�osing��4the�map��T��v�!�O�����E��i?�f���a��with��4reduction�mo�d����from��O�����E��i?�f���a��to��F�����`���������
x��w��re�obtain�a�map����iF�T��J�!��F�����`����������r�.�JLet�E��m��b�S�e�the�k��rernel.�Then��m��is�a�maximal�ideal�of��T�.�Wiles'�Hec��rk�e�E�algebra�is����iFthe��completion��T�����m���W�of��T��at��m�.�8�[[F��Vor�some�reason]]�there�exists���������X[~����E���������:�UR�G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����T�����m�����)�����q۠�k��������iF�17.4.�	#�WILES'��HECKE�ALGEBRA�
@�113�����덠�B�ƍ��iFsuc��rh�$�that��T��Vr��8x(���f~������t�(�F��Vrob����/����r��;��))���=��T�����r���b�.��What�$�mak�es�this�useful�is�that���7X~�������YX�is��universal��for�lifts�of�t�yp�S�e������iF.�8�This��means�that�giv��ren�an�y�lift���AŹof�t�yp�S�e��there�exists�a�map�������>�'�UR�:��GL����(2�;����T�����m�����)��!���GL��(2�;���A�)�����iFsuc��rh��that����o�=�UR�'���f�~������t�.�����	:Another���k��rey�idea�that�the�appro�ximation��T��obtained�b�y�just�adjoining�those��T�����n��
|B�with�����iF(�n;���`N����������)�i�=�1���is,�-�after�completing�at�certain�primes,�actually�equal�to�the�whole�Hec��rk�e�����iFalgebra.�����r,��k�������iF�114�	0��CHAPTER��17.�	#�DEF��rORMA��VTIONS�����뎌�sA��k�������덠��[����iF�Chapter�	T{18��2hЍ��iFThe�	T{Hec��8�k�e�Algebra��ET��������>hЍ���iF�18.1��iBThe�z�Hec��u�k�e�Algebra��mail protected]���iF�Throughout��this�lecture��`�0>�6�=��p���and��`�0>���3.�}�W��Ve��are�studying�the�represen��rtation���0>�:��G��!�������iF�GL�����(2�;����F�����`����������r�).���This�mis�an�irreducible�represen��rtation,����`��is�o�S�dd,����is�semistable,�and��det������33�=���.�����iFT��Vo�5'single�out�certain�classes�of�liftings�w��re�let��b�S�e�a�nite�set�of�primes.��`Let��A��b�e�a�complete�����iFlo�S�cal���No�etherian�ring�with�residue�led��F�����`����������r�.�qmW��Ve�tak��re�liftings����~�������
�^�:�uh�G��!���GL��(2�;���A�)�suc��rh�that����~�����������iF�reduces��do��rwn�to���,���$det�����D~���������L��=�����~���UR����
���,��$and����i~�������
z�is�\lik�e"����a�w�a�y�from�.��F��Vor�example,��$if����is�unramied�����iFat���p��w��re�also�w�an�t����~�������
�Ĺunramied�at��p�,�etc.���Ѝ��	:Assume���)�~���0����=Թis�0mo�S�dular.��xW��Ve�guess�the�serious�divisibilit��ry�condition�that��N�@�(�f�G��)�j�N����������.�Recall�����iFthat���o��|���N�������	��=�����w���Y���4��ꍍ�1��p�6�=�`���+���URp�2������j��p�����2��j������
͟��Y���@O���牍����p�6�=�`���0퍍���p�62�������G�p������ord���H����p��r����N��"�(��)��'�)�����`����������:��*^[���iF�T��Vo��dene���]ڹconsider�t��rw�o��cases.����������5�������2�level�351�c��ffase.�8�T��Vak��re����Ȅ�=�UR1�if��`��2���or�if����is�not�nite�at��`�.�8�T��Vak��re���Ȅ�=�0�otherwise.���������5�������2�level�352�c��ffase.�8�This��is�the�case�when���j�I�����`��㎹has�order��`����2�2��j������1.�T��Vak��re���Ȅ�=�UR0.�����	:�A���priori�)��nob�S�o�dy�seems�to�kno��rw�ho�w�to�pro�v�e�that��N�@�(�f�G��)�j�N�������	�S�giv�en�only�that���<%~�������b�is�mo�S�dular.������iFIn��the�end�w��re�will�sho�w�that�all�mo�S�dular����~�������
�Ĺin�fact�come�from���o������S�����2����(�����0���(�N����������))�:�����iF�This��can�b�S�e�regarded�as�a�pro�of�that��N�@�(��)�j�N����������.�����	:Last��time�w��re�tried�to�get�things�going�b�y�dening�the��anemic�35He��ffcke�algebr�a����c�e�T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End��b(�S�����2����(�����0���(�N����������)))�����iFwhere�B�w��re�only�adjoin�those��T�����n���D�for�whic�h�(�n;���`N����������)�UR=�1.��By�B�some�lev�el�lo�w�ering�theorem�there������iFexists�SVan��f�O~�2��S�����w��Н�(�����0����(�N����������))�giving���e�~�������� �so�w��re�obtain�a�map��T��!��F�.�r�The�map�sends��T�����n��	���to�the�����iFreduction�Lmo�S�dulo����of�its�eigen��rv��X�alue�on��f�G��.���(���is�a�prime�of�the�ring�of�in�tegers�of��E�����f��	�k�lying�����iFo��rv�er���`�.)�8�[[...�something�ab�S�out�needing�an��f�2��of�the�righ��rt�lev�el�=��N�@�(��).]]�����	:Let��z�m�UR���T��b�S�e�the�k��rernel�of�the�ab�o��rv�e�dened�map��T�UR�!��F�.�%�Then��m��is�a�maximal�ideal.�����iFLet���T�����m���W�b�S�e�the�completion�of��T��at��m��and�note�that���o���f��T�����m���,���!�UR�T����
�����Z��	'��Z�����`�����:�������%�115����t���k�������iF�116���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�W��Ve��
need�to�kno��rw�that��T�����m��H��is�Gorenstein.�VThis�is�done�b�y�comparing��T�����m��H��to�some�full�Hec�k�e�����iFring.�8�Th��rus���a���H��T�UR���R�n��=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR����End��b(�S�����2����(�����0���(�N����������)))���q��iFwhere�|the�full�Hec��rk�e�|ring��R��g�is�obtained�b��ry�adjoining�the��T�����n��
$m�for��al���l��in�tegers��n�.��@W��Ve�should����iFthink��of��R��as�����4��R�n��=�UR�T�[�T�����`�����;����f�U�����P��
g�:��p�j�N����������g�]�:���q��iF�Note��that��T�����`��㎹ma��ry�or�ma�y�not�b�S�e�a��U�����`��㎹dep�ending�on�if��`�j�N����������.��@�����iF�Lemma��18.1.1.���g^��If�a��`����6���j�N�������p�then��R���=��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�.��_Thus�if��T�����`��Z��is�not�a��U�����`���then�we�do�not�ne��ffe�d����iF�T�����`�����.������iFPr��ffo�of.���02��This��lemma�is�an�in��rteresting�thing�and�the�pro�S�of�go�es�as�follo��rws.���Oo�oh.�Sorry��V,�(Sthis����iFis��not�true.�8�Ummm....�hmm.��@ ��	:The�K�ring��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�is�clearly�of�nite�index�in��R�e�since:��1if��q��	�is�a�random�prime�n��rum�b�S�er����iFconsider�ܼ�R����
�����Z��	c�Q�����q��q��compared�to��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]��8�
�����Z���Q�����q�����.�4<[[I�ܸdo�not�kno��rw�ho�w�to�do�this�argumen�t.����iFThe�6olemma�as�stated�ab�S�o��rv�e�6oprobably�isn't�really�true.���The�p�oin��rt�is�that�the�follo�wing�lemma����iFis��the�one�w��re�need�and�it�is�true.]]���Մ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����A#��	:Let���T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�b�S�e�the�ring�obtained�b��ry�adjoining�to��T��just�those��U�����p����with��p�j�N����������.������iF�Lemma��18.1.2.���g^��If����`��UV�6�URj�N�������
A.�then�the�index��(�R�n��:��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�])��is�prime�to��`�.�4�Note�that�we�assume����iF�`�UR���3�.������iFPr��ffo�of.���02��W��Ve�Qm��rust�sho�w�that�the�map��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�UR�!��R�J=`R�jY�is�Qsurjectiv�e.��[[I�P�though�t�ab�S�out�it�for����iFa���min��rute�and�did�not�see�wh�y�this�suces.�"�Am�I��xb�S�eing�stupid?]]�Let��A�UR�=��F�����`����[�T�����n�����:�(�n;���`�)�=�1]����iFb�S�e��the�image�of��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�in��R�J=`R��so�w��re�ha�v�e�a�diagram��+[e����fd����n��T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�������*������e!���g�R�J=`R��������L��&����T[���������A�����+���	:�W��Ve��m��rust�sho�w�that��A�UR�=��R�J=`R��.�8�There��is�a�b�S�eautiful�dualit�y���a��xf��R�J=`R��������S�����2����(�����0���(�N����������);����F�����`����)�UR�!��F�����`����޹(p�S�erfect��pairing)��c���:����iF�Th��rus���A����2�?��
qʹ=�UR0�i��A��=��R�J=`R��.��@ ��	:Supp�S�ose�{0��F�6�=��f��E�2��A����2�?��x�,�
�then��a�����n���P�(�f�G��)�=�0�for�all��n��suc��rh�that�(�n;���`�)�=�1.��XTh��rus��f��E�=�������P��+��a�����n`��	!6�q��n9���2�n`��	�o�.�����iFLet��H��
H�=����q�����Fu�����d���l����z�t����dq�������b�S�e�the�theta�op�erator.���Since�the�c��rharacteristic�is��`�,��0���(�f�G��)���=�0.���On��Hthe�other������iFhand�z��w�R��(�f�G��)�J�=�2�and�since��`����3,����`�J��6�j�2.��
Th��rus��w�R��(��S�f�G��)�=��w��(�f�G��)��+��`��+�1�J�=�2��+��`��+�1�z�whic��rh�is�a����iFcon��rtradiction�5�since���S�f�l�=��m0�and��w�R��(0)�=�0��6�=�3���+��`�.��[[The�5�w��reigh�t�is�an�in�teger��not��a�n�um�b�S�er����iFmo�S�d���`�,�righ��rt?]]����f���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����A#����iF�Example�3518.1.3.���c��The�"Zlemma�only�applies�if��`�����3.���Supp�S�ose�"Z�`��=�2�and�consider��S�����2����(�����0���(23)).����iFThen��A����1Q�T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�]�UR=��Z�[����|��p���
��|Ήz����
�2��5������]����R�n��=��Z�[������ō�331���+�������p�������ljz����	�9��5�����33�[��z�$8ҟ
�΍�,k2�����&�8]��[���iFso��(�R�n��:�UR�T�[�U�����p���]�;����:�:�:��ʜ�])�is�not�prime�to�2.�����u'���k��������iF�18.2.�	#�THE��MAXIMAL�IDEAL�IN��R�=��117�����덠�B�ƍ����iF�R��ffemark�3518.1.4.���2��If���N��6�=�UR�N�������
�<�then�������~b
rank�����o����Z�����T�UR�=����'z���X��������M��"�j�N���N��S�����2����(�����0���(�M�@�))�����new���&�,���iF�and�������:hrank����fʟ���Z������R�n��=��URdim����S�����2����(�����0���(�N�@�))�:���ލ��iF�There��is�an�injection���򍍍��v�M���M�������vW��M��"�j�N����Q2�S�����2����(�����0���(�M�@�))�����new���'�,���!�UR�S�����2���(�����0���(�N��))��"2����iFbut����S�����2����(�����0���(�M�@�))����2�new��,}�is�t��rypically�m�uc�h�smaller�than��S�����2����(�����0���(�N�@�)).��(V����iF�18.2��iBThe�z�maximal�ideal�in��R��b#���iF�The��plan�is�to�nd�a�sp�S�ecial�maximal�ideal��m�����R���'�Y����fd����Q�m�����R����Ƅ������e�R��������j��[���ڋ�[����������m���Ƅ��������T�����=��:��*�ō��iF�Once��w��re�nally�found�the�correct��m��and��m�����R��
�;�then��T�����m�����2���������p������
��!����'�R�����m��X.�R����_�will�b�S�e�an�isomorphism.�����	:In���nding��m�����R��
�+�w��re�will�not�in�v�ok�e�some�abstract�going�up�theorem�but�w�e�will�\pro�S�duce"�����iF�m�����R��
�;�b��ry��some�other�pro�S�cess.�����	:The��ideal��m��w��ras�dened�b�y�a�newform��f�2��lev�el��M�@��j�N����������.�8�The�co�S�ecien�ts�of��f�2��lie�in��C���*��O�������ʬ�=�UR(�O�����E��i?�f����[�)�����������iF�where����E�����f��
1�is�the�co�S�ecien��rt�ring�of��f�Թand����is�a�prime�lying�o�v�er��`�.��fTh�us��O�������
0/�is�an��`�-adic������iFin��rteger�B�ring.�A<Comp�S�osing�the�residue�class�map��O�������	`��!���P��S��z�|r�	�\��F������with�the�eigen�v��X�alue�map��T��P�!�O�����������iF�w��re��obtain�the�map��T�UR�!����S��z�|r�	�\��F����Ĺ.�����	:In� �order�to�obtain�the�correct��m�����R��*�w��re�will�mak�e�a�sequence�of�c�hanges�to��f�h��to�mak�e�����iFsome��go�S�o�d�newform.��V[[Is�the�motiv��X�ation�for�all�this�the�fact�that�the�lemma�will�not�apply�����iFif���`�j�N����������?]]��"������iF�18.2.1���Strip�ffa���w�a�y�certain�Euler�factors��@���iF�W��Vrite���f��Q�=��UR�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n����.�8�Replace��f�2��b��ry�������о�h�UR�=����jj���X���
����certain��X�n���&���a�����n���P�q��n9����n����z���iF�where��the�sum�is�o��rv�er��those��n��whic��rh�are�prime�to�eac�h��p�UR�2��.�7�What��do�S�es�this�mean?�If�w��re�����iFthink��ab�S�out�the��L�-function��L�(�f���;���s�)�UR=�������Q��������p��r�L�����p���]�(�f�;���s�),��then��h��has��L�-function��j⍒���L�(�h;���s�)�UR=�����w���Y���'؍��p�62����j��L�����p���]�(�f���;�s�)�:��&�J���iF�F��Vurthermore�&making�this�c��rhange�do�S�es�not�tak�e�us�out�of��S�����2����(�����0���(�N����������)),�4�i.e.,��h��v�2��S�����2����(�����0���(�N��������)).�����iF[[He��Bexplained�wh��ry�but�m�y�notes�are�v�ery�incomplete.��iThey�sa�y:���Wh�y��V.��iBecause��h�UR�=�(�f��q�
��r�"�)��
�����iF�"�,��H(�"��p�Diric��rhlet�c�haracter�ramied�at�primes�in��N����������).��xGet�a�form�of�lev�el��lcm���(������Q���UW���p�2������p����2�2����;���N�@�(�f�G��))�j�N����������.�����iFCan��strip�and�sta��ry�in�space�since��N�������
�<�has�correct�squares�built�in�to�it.]]�����v8$��k�������iF�118���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ���iF�R��ffemark�3518.2.1.���_��Supp�S�ose��that��p�jj�N����������.�8�Then��p�UR�62����and��p�jj�N�@�(��).�The�lev��rel�of��f�2��is��$�d���Q��N�@�(�f�G��)�UR=�����z��(����ǭ���
�N��(��)�;����:�M�if���k�g�(��)�=�2����fa���
�N��(��)�`;����:�M�if���k�g�(��)�=��`����+�1����������:��$�e��iF�If��|�p�jj�N�@�(��)�then��f�G��j�T�����p����=�UR�a�����p���]�(�f��)�f��.�-'Th��rus��|�h��is�already�an�eigenform�for��T�����p���ٹunless��p��2���in�whic��rh�����iFthe��eigen��rv��X�alue�is�0.����	:[[I�mdo�m>not�understand�this�remark.���Wh��ry�w�ould�the�eigen�v��X�alue�b�S�eing�0�mean�that��T�����p��	4��is����iFnot��\an�eigenform?�}�F��Vurthermore,���what�is�the�p�S�oin��rt�of�this�remark�in�the�wider�con�text�of����iFtransforming���f�2��in��rto�a�go�S�o�d��newform.]]��"�����iF�18.2.2��E�Mak���e�ffin�to�an�eigenform�for��U��(��`���@��iF�W��Ve�q�p�S�erform�this�op�eration�to��f����to�obtain�a�form��g���then�apply�the�ab�o��rv�e�q�op�eration�to�get����iFthe���ultimate��h��ha��rving�the�desired�prop�S�erties.�K�Do�this�if��`�j�N�������?D�but��`����6���j�N�@�(�f�G��).�This�happ�S�ens����iFprecisely���if��`�}��2�����and����is�go�S�o�d���and�ordinary�at��`�.�B�Then��f�G��j�U�����`�����is�just�some�random�junk.����iFConsider�R`�g�Ë�=�UR�f����+�s���f�G��(�q��n9���2�`��g�)�where����is�some�co�S�ecien��rt.�W��Ve�see�that�if����is�c�hosen�correctly�then����iF�g�n9�j�U�����`��Ƶ�=����C�ܞg����for�1rsome�constan��rt��C��.�
=There�are�2�p�S�ossible�c��rhoices�for����whic�h�lead�to�2�c�hoices����iFfor���C�ܞ�.�8�Let��a�����`��N8�=�UR�a�����`����(�f�G��),�then��C��F�can�b�S�e�either�ro�ot�of��>Y����m�X������2��\/�+����a�����`�����X��+�+��`�UR�=�0�:����iF�This�y�equation�has�exactly�one�unit�ro�S�ot�in��O�������uZ�.�,The�reason�is�b�ecause�w��re�are�in�the�ordinary�����iFsituation��9so��a�����`����is�a�unit.�#But��`��is�not�a�unit.�The�sum�of�the�ro�S�ots�is�a�unit�but�the�pro�duct����iFis�I�not.�;[[Ev��ren�this�is�not�clear�to�me�righ�t�no�w.�;Denitely�c�hec�k�this�later.]]�;Mak�e�the�c�hoice����iFof�����so�that�real�ro�S�ot�is��C�ܞ�.�8�Then�w��re�obtain�a��g�X�suc�h�that��>Y����L�g�n9�j�U�����`��N8�=��UR(unit)��$�����g�:����	:�Next��apply�the�ab�S�o��rv�e��pro�cedure�to�strip��g�X�and�end�up�with�an��h��suc��rh�that��G�������5�����(�2�h�j�U�����`��N8�=��UR(unit)��$�����h�,��m>������5�����(�2�h�j�U�����p����=�UR0��for��p��2���(�p��6�=��`�),�and��������5�����(�2�h�j�T�����p����=�UR�a�����p���]�(�f�G��)������h�꨹for��p��62��.����	:No��rw�1Ztak�e�the�form��h�.��It�giv�es�a�map��R����!�ͨO�������	���whic�h�extends��T�ͨ�!�O�������uZ�.��Let��m�����R��$�b�S�e�the�����iFk��rernel�6Hof�the�map��R��T�!���
��S��z�|r�	�\��F����Ĺobtained�b�y�comp�S�osing��R��T�!��
O�������	���with��O�������	Kd�!����S��z�|r�	�\��F���R|�.��A�64lot�of�further����iFanalysis�[psho��rws�that��T�����m�����!�J�R�����m���r���2��is�an�isomorphism.��8W��Ve�end�up�ha�ving�to�sho�w�separately����iFthat��the�map�is�injectiv��re�and�surjectiv�e.����	:[[In��this�whole�lecture��p�UR�6�=��`�.]]����	:[[Wiles'��notation:�8�His��T�����m��X.�R����_�is�m��ry��R��and�his��T����2�0����is�m�y��T�����m�����.��(����iF�18.3��AiBThe�z�Galois�Represen��u�tation��b#��iF�W��Ve���started�with�a�represen��rtation���,�O\c�hose�a�nite�set�of�primes��and�then�made�the����iFcompleted��Hec��rk�e�algebra��T�����m�����.��Our�goal�is�to�construct�the�univ�ersal�deformation�of����of����iFt��ryp�S�e��.�8�The�univ�ersal�deformation�is�a�represen�tation��>Y������~����2�����d��:�UR�G��!���GL����(2�;����T�����m�����)�����wEr��k��������iF�18.3.�	#�THE��GALOIS�REPRESENT��VA�TION���119�����덠�B�ƍ��iFsuc��rh��that�for�all�primes��p��with��p��UV�6�URj�`N����������,����~�������	��(�F��Vrob����/����p��p��)�has�trace��T�����p����2��T�����m���W�and�determinen��rt��p�.������	:W��Ve��no��rw�pro�S�ceed�with�the�construction�of����~�������	��.�8�Let��� ��o���T�UR�=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�;�
���(�n;�`N����������)�UR=�1�����iFb�S�e��the�anemic�Hec��rk�e��algebra.�8�Then��T����
��Q�꨹decomp�oses�as�a�pro�duct�of�elds��_������T����
��Q�UR�=�������Y���'؍��o�f������E�����f���"�����iF�where�…the�pro�S�duct�is�o��rv�er�…a�set�of�represen��rtativ�es�…for�the�Galois�conjugacy�classes�of�newforms�����iFof�؏w��reigh�t�2,��-trivial�c�haracter,��-and�lev�el�dividing��N����������.�2�Since��T��is�in�tegral�(it�is�for�example�a�����iFnite��rank��Z�-mo�S�dule),��T�UR�,���!�������Q��������f��!��O�����f��w�.�8�Since���Z�����`��㎹is�a�
at��Z�-mo�dule,�����s/	�T����
��Z�����`��N8�,���!����UR���Y���'؍��o�f������O�����f��!��
��Z�����`���=����UR���Y���'؍���f�h�;������O�����f�h�;���#Yd���iF�where��the�pro�S�duct�is�o��rv�er��a�set�of�represen��rtativ�es���f�2��and�all���j�`�.�����	:�T�����m��O]�is���a�direct�factor�of��T���
��Z�����`����.�!�[[This���is�denitely�not�the�assertion�that��T�����m���is�an��O�����f�h�;��P	�.�����iFWhat��exactly�is�it�the�assertion�of�really?]]�����	:W��Ve��can�restrict�the�pro�S�duct�to�a�certain�nite�set��S���and�still�obtain�an�injection��������T�����m���,���!����
�0���Y�������UR�(�f�h�;�)�2�S���#
c�O�����f�h�;��P	�:��$<��iF�The�Lnite�set��S��#�consists�of�those�(�f���;����)�suc��rh�that�the�prime����of��O�����f��	wk�pulls�bac�k�to��m��under�����iFthe�Vmap��T����!�O�����f��	�u�obtained�Vb��ry�comp�S�osing��T����!�������Q����I���f��Yf�O�����f���with�Vthe�pro��jection�on��rto��O�����f��w�.���[[Wh�y�����iFis��|this�enough�so�that��T�����m��~+�still�injects�in?]]�1'Restricting�to�a�nite�pro�S�duct�is�needed�so�that��	�����[����/ޟ��Y�������(�f�h�;�)�2�S�����O�����f�h�;���[�:�UR�T�����m�����]��<��1�:��#�F���	:�Giv��ren���f�2��and����there�exists�a�represen�tation��� ���N�������f�h�;���[�:�UR�G��!���GL����(2�;����O�����f�h�;��P	�)�:�����iF�It��is�suc��rh�that��T��Vr���,������f�h�;��P	�(�F��Vrob����/����p��p��)�UR=��a�����p����is��the�image�of��T�����p���under�the�inclusion��dÍ���Q�T����
��Z�����`��N8�,���!����
�0���Y�������UR�(�f�h�;�)�2�S���#
c�O�����f�h�;��P	�:�����iF�Put��some�of�these�������f�h�;��:��together�to�create�a�new�represen��rtation����8�������0��#��=����
�0���Y�������UR�(�f�h�;�)�2�S���#
c������f�h�;���[�:�UR�G��!���GL����(2�;���������Y����UT�O�����f�h�;��P	�)�����GL��(2�;����T�����m��UW�
����Q�)�:�����iF�The��sough��rt�after�univ�ersal�deformation����~�������
�Ĺis�a�map�making�the�follo�wing�diagram�comm�ute��&�5����&����:��G�������h���������-:�0���J�����!.����B�!���������M�GL���s�(2�;����T�����m��UW�
����Q�)������������~�����������K�&���ݽ�[��������Kg�GL����(2�;����T�����m�����)�����'o����iF�Theorem��18.3.1.���C�$�����2�0��n�is�35e��ffquivalent�to�a�r�epr�esentation�taking�values�in���GL����(2�;����T�����m�����)�.��rd���	:�One��*w��ra�y�to�[[try�to]]�pro�v�e�this�theorem�is�b�y�in�v�oking�a�general�theorem�of�Cara�y�ol.������iF[[and��	then�what?�,do�S�es�this�w��ra�y��	w�ork?�wh�y��	is�it�not�a�go�S�o�d��	w��ra�y?]]�But��	the�righ��rt�w�a�y�to�����iFpro��rv�e��the�theorem�is�Wiles'�w��ra�y��V.�����xT��k�������iF�120���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ��iF�18.3.1��E�The�ffstructure�of�T��(��<�"V

cmbx10�m���Uv��iF�Just��as�an�aside�let�us�review�the�structure�of��T�����m�����.���ȍ�����5�����(�2�T�����m���W�is��lo�S�cal.��������5�����(�2�T�����m���W�is��not�necessarily�a�discrete�v��X�aluation�ring.��������5�����(�2�T�����m��UW�
����Q�꨹is�a�pro�S�duct�of�nite�extensions�of��Q�����`����.��������5�����(�2�T�����m���W�is��not�necessarily�a�pro�S�duct�of�rings��O�����f�h�;��P	�.��������5�����(�2�T�����m���W�need��not�b�S�e�in��rtegral.�8�[[or�can�I�sa�y��V,�\IS�not�in�tegral."�8�?]]��#č��iF�18.3.2��E�The�ffphilosoph���y�in�this�picture����iF�Cho�S�ose�S��c��to�b�e�a�complex�conjugation�in��G�[�=��Gal��d(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�).�tmSince�S��`��is�o�dd��det����(�c�)�[=���1�S�is�a�����iFv��rery��strong�condition�whic�h�rigidies�the�situation.�����iF�18.3.3��E�Massage�ff�����iF�Cho�S�ose��t��rw�o�1-dimensional�subspaces�so�that�� ����̫���(�c�)�UR=������
��������d���
���1���#�Q0�������*�0���#�Q1�������)�M��
��������iF�with��rresp�S�ect�to�an��ry�basis�consisting�of�one�v�ector�from�eac�h�subspace.�2�F��Vor�an�y����2�UR�G��write������&��(��n9�)�UR=������
��������d���
��a��������� �
�b�������������7�c��������� O��d�������������,���
�����3:��:����iF�Then���a����������d�������	���and��b��������c�������	���are�someho��rw�in�trinsically�dened.�8�This�is�b�S�ecause�����5���(��n9c�)�UR=������
��������d���
���a���������,��?�������Ls?���)�U�d�������������5eV��
�������U��iF�so��=捒�L�a��������Q�=������ō����T��Vr���(��(��n9�))�������T��Vr���.(��(��c�))�����[��z�j��
�΍�2r�2������5���iFand������m�d��������Q�=������ō����T��Vr���(��(��n9�))���+��T��Vr���.(��(��c�))�����[��z�j�E�
�΍�2Y�2�����pN��:���1��iF�Since�[�w��re�kno�w�the�determinen�t�it�follo�ws�that��b����������c�������	Ϲis�also�in�trinsically�kno�wn.�	C[[The�p�S�oin�t�is�����iFthat��w��re�kno�w�certain�things�ab�S�out�these�matrices�in�terms�of�their�traces�and�determinan�ts.]]���ȍ���iF�Prop�`osition��18.3.2.����x��Ther��ffe�35exists��g�Ë�2�UR�G��such�that��b�����g�����c�����g��*P�6�=�0�.������iFPr��ffo�of.���02��Since����is�irreducible�there�exists�������1����suc��rh�that��b�������q�1���
��6�=���0�and�there�exists�������2���suc��rh�that����iF�c�������q�2���
O��6�=�Ɍ0.��If�.��b�������q�2����6�=�0�.�or��c�������q�1���
O��6�=�0�then�w��re�are�done.��So�the�only�problem�case�is�when��b�������q�1���
O��=�0����iFand����c�������q�2�����=���0.�$�Easy�linear�algebra�sho��rws�that�in�this�situation��g�k�=�������1���������2��	��has�the�required����iFprop�S�ert��ry��V.����([��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������	:No��rw���rigidify�b�y�c�ho�S�osing�a�basis�so�that��b�����g��>��=�i�1.�\�Doing�this�do�es�not�x�a�basis�b�ecause����iFthey��are�man��ry�w�a�ys�to�c�ho�S�ose�suc�h�a�basis.�����yc���k��������iF�18.3.�	#�THE��GALOIS�REPRESENT��VA�TION���121�����덠�B�ƍ���iF�18.3.4���Massage�ff�����=�
!",�

cmsy10�0���@���iF�Cho�S�ose��a�basis�of�(�T�����m��UW�
����Q�)����2�2�����so�that��!
����������0���9�(�c�)�UR=������
��������d���
���1���#�Q0�������*�0���#�Q1�������)�M��
�����0���:�� @5���iF�F��Vor��an��ry����2�UR�G��write���S����������0���9�(��n9�)�UR=������
��������d���
��a��������� �
�b�������������7�c��������� O��d�������������,���
������$���	:�Using�h�an�argumen��rt�as�ab�S�o�v�e�sho�ws�that��a����������;���d�������	��2�,�T�����m��
��since�the�traces�liv�e�in��T�����m�����.��uF��Vur-������iFthermore���b����������c��������Q�2�UR�T�����m���W�since�the�determinen��rt�is�in��T�����m�����.�����	:The���key��{observation��is�that��b����������c�������
c�reduces�mo�S�d��m��to�giv��re�the�previous��b��������c�������
b�2���F��corre-�����iFsp�S�onding���to���(��n9�).�3�This�is�b�ecause�the�determinan��rts�and�traces�of������2�0����are�lifts�of�the�ones�����iFfrom��3��.�=�Since��m��is�the�maximal�ideal�of�a�lo�S�cal�ring�and��b�����g�����c�����g���1�reduces�mo�d��m��to�something�����iFnonzero��it�follo��rws�that��b�����g�����c�����g�����is�a�unit�in��T�����m�����.�����	:Cho�S�ose��a�basis�so�that������D�������0���9�(�c�)�UR=������
��������d���
���1���#�Q0�������*�0���#�Q1�������)�M��
���������iF�and��also�so�that����x��������0���9�(�g�n9�)�UR=������
��������d���
��a�����g����"��1���������u����d�����g��������*o���
�����4���2���GL����(2�;����T�����m�����)�:��
s���iF�Here���u��is�a�unit�in��T�����m�����.��p�����iF�Prop�`osition��18.3.3.���Sx��Write���S����������0���9�(��n9�)�UR=������
��������d���
��a��������� �
�b�������������7�c��������� O��d�������������,���
���������iF�with�35r��ffesp�e�ct�to�the�b�asis�chosen�ab�ove.�fiThen��a����������;���b��������;�c��������;�d��������Q�2�UR�T�����m�����.�������iFPr��ffo�of.���2��W��Ve�#�already�kno��rw�that��a����������;���d�������	[��2����T�����m�����.��jThe�question�is�ho�w�to�sho�w�that��b����������;���c�������	[��2����T�����m�����.������iFSince�����q��������0���9�(��n9g��)�UR=������
��������d���
��a����������a�����g����+����b��������u���`D��?�������#%?���K��c�������O��+����d����������d�����g��������z� ��
���������iF�w��re�"see�that��a����������a�����g���¹+����b��������u����2��T�����m�����:�"�Since��a����������a�����g��a��2����T�����m���ѹit�follo�ws�that��b����������u����2��T�����m�����.��MSince�"�u��is�a�unit�����iFin���T�����m���W�this�implies��b��������Q�2�UR�T�����m�����.�8�Similarly��c�������O��+����d����������d�����g��*P�2��T�����m���W�so��c��������Q�2��T�����m�����.���q���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����_%���	:As���y��rou�no�w�see,��@in�this�situation�w�e�can�pro�v�e�Cara�y�ol's�theorem�with�just�some�matrix�����iFcomputations.��<[[This��is�basically�a�eld�lo��rw�ering��represen�tation�theorem.��<The�thing�that�����iFmak��res��Zit�easy�is�that�there�exists�something�(namely��c�)�with�distinct�eigen�v��X�alues�whic�h�is�����iFrational��o��rv�er�the�residue�eld.���Sc�h�ur's�pap�S�er,�B�mo�dels�o��rv�er�smaller�elds.���\Sc�h�ur's�metho�S�d".]]��"������iF�18.3.5���Represen���tations�fffrom�mo�s3dular�forms�mo�d��`��@���iF�If��my��rou�remem�b�S�er�bac�k�in�the�70's�p�S�eople�w�ould�tak�e�an��f���2�`��S�����2����(�����0���(�N�@�);����F�)��mwhic�h�is�an�����iFeigenform��for�almost�all�the�Hec��rk�e��op�S�erators��
��^�%�T�����p���]�f��Q�=�UR�c�����p���f���for��almost�all��p�,�and��c�����p����2��F�����:�����iF�The��question�is�then:�8�Can�y��rou�nd��������UR�:��G��!���GL����(2�;����F�)�����zp=��k�������iF�122���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�suc��rh��that�������a�T��Vr���u?(��(�F��Vrob����/����p��p��))�UR=��c�����p�����and����!��det���1ܓ(��(�F��Vrob����/����p���))�=��p����iF�for�%Xall�but�nitely�man��ry��p�?���The�answ�er�is�y�es.���The�idea�is�to�nd����b�y�taking�������f�h�;��ua�[[whic�h����iFw��ras��constructed�b�y�Shim�ura?]]��for�some��f�O��and�reducing�mo�S�d���.�The�only�sp�S�ecial�thing����iFthat���w��re�need�is�a�lemma�sa�ying�that�the�eigen�v��X�alues�in�c�haracteristic��`��lift�to�eigen�v��X�alues�in����iFc��rharacteristic��0.��"mN���iF�18.3.6��E�Represen���tations�fffrom�mo�s3dular�forms�mo�d��`����=�n���@��iF�Serre��and�Deligne�ask��red:�8�\What�happ�S�ens�mo�d��`����2�n���P�?"����	:More���precisely��V,���let��R��C�b�S�e�a�lo�cal�nite�Artin�ring�suc��rh�that��`����2�n���P�R��r�=��(0�for�some��n�.�j�T��Vak�e����iF�f��Q�2�UR�S�����2����(�����0���(�N�@�);����R�J�)��satisfying�the�h��ryp�S�othesis��������f�r����2�UR�R�n��:��r�S�f��Q�=�0�g��=��f�0�g�:����iF�This��&is�done�to�insure�that�certain�eigen��rv��X�alues�are�unique.�"
Assume�that�for�almost�all��p��one�����iFhas���T�����p���]�f��Q�=�UR�c�����p���f�2��with��c�����p����2�UR�R�J�.�8�The�problem�is�to�nd����:��G��!���GL����(2�;���R�J�)�suc��rh�that������a�T��Vr���u?(��(�F��Vrob����/����p��p��))�UR=��c�����p�����and����!��det���1ܓ(��(�F��Vrob����/����p���))�=��p����iF�for��almost�all��p�.����	:The���big�stum��rbling�blo�S�c�k�is�that����need�not�b�S�e�the�reduction�of�some�������g�I{;�����for�an�y��g�n9;����.��[[I����iFcouldn't��understand�wh��ry�{�I���wrote�\can�mix�up��f�G��'s�from�c�haracteristic�0�so�can�not�get�one����iFwhic��rh��reduces�correctly��V."]]����	:Let�c��T�#��=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����p���]�;��:�:�:���]�c�where�w��re�only�adjoin�those��T�����p��	+(�for�whic�h��f��ʹis�an�eigen�v�ector�[[I����iFmade�x7this�last�part�up,���but�it�seems�v��rery�reasonable]].��Then��f��6�ob�viously�giv�es�a�rise�to�a����iFmap�������T�UR�!��R�n��:��T���7!��?��eigen��rv��X�alue��of��T��n�on��f��t��:����iF�The�6�strange�h��ryp�S�othesis�on��f�~��insures�that�the�eigen�v��X�alue�is�unique.���Indeed,�Z�supp�S�ose��T���f��Q�=�UR�af����iF�and�JH�T���f�@�=���bf�G��,�b0then�0�=��T���f�3������T�f�@�=��af�3������bf��=�(�a������b�)�f��G�so�JHb��ry�the�h�yp�S�othesis��a������b���=�0�JHso����iF�a�UR�=��b�.����	:Since�59the�pullbac��rk�of�the�maximal�ideal�of��R�N��is�a�maximal�ideal�of��T��w�e�get�a�map����iF�T�����m��
��!�\N�R��s�for��)some��m�.�c[[I��do�not�understand�wh��ry�w�e�suddenly�get�this�map�and�I��do�not����iFkno��rw��wh�y�the�pullbac�k�of�the�maximal�ideal�is�maximal.]]����	:No��rw��Dthe�problem�is�solv�ed.�
h�T��Vak�e������2�0��	�:�F��G��!���GL���M(2�;����T�����m�����)��Dwith�the�sough�t�after�trace����iFand�l�determinen��rt�prop�S�erties.��7Then�let����b�e�the�map�obtained�b��ry�comp�osing�with�the�map�����iFGL����(2�;����T�����m�����)�UR�!���GL����(2�;�R�J�).��'�����iF�18.4��AiB�������0��
G��is�z�of�t��u�yp��=e����b#��iF�Let������b�S�e�mo�dular�irreducible�and�semistable�mo�d��`��represen��rtation�with��`��>��2.���Let����b�e����iFa�Y�nite�set�of�primes.��
Then��N�@�(��)�j�N����������.�W��Ve�constructed�the�anemic�Hec��rk�e�Y�algebra��T��whic��rh����iFcon��rtains���a�certain�maximal�ideal��m�.�$�W��Ve�then�consider�the�completion��T�����m��Yr�of��T��at��m�.�Next����iFw��re��constructed����™������0��#��:�UR�G��!���GL����(2�;����T�����m�����)����iFlifting����.�8�Th��rus�the�diagram��U����&����H#�G�������h��ڹ&����-:�0���J�����.x����O�!���������GL�(2�;����T�����m�����)�������ӌ���UR�&�����#��������|�GL�(2�;����F�)��������{ՠ�k��������iF�18.5.�	#�ISOMORPHISM��BETWEEN��T�����M��
�\�AND��R�����M��X.�R����A��123�����덠�B�ƍ��iFcomm��rutes.������	:Some��dening�prop�S�erties�of������2�0����are����������5��������2�det��������2�0��#��=�����~���UR����
���.���
�������5��������2�T��Vr��	ܶ�����2�0���9�(�F��Vrob����/����r��;��)��=��T�����r���b�.�D�Since��top�S�ologically��T�����m��
�>�is�generated�b��ry�the��F��Vrob���������r��&��this�is�a�tigh�t������2condition.���������5�������2�����2�0����is��a�lift�of�t��ryp�S�e�.������	:T��Vo�_�sa��ry������2�0��-�is�a�lift�of�t�yp�S�e��en�tails�that������2�0��-�is�unramied�outside�primes��p�j�N����������.�
�This�is�true�����iFb�S�ecause������2�0���Q�is�constructed�from�v��X�arious�������f�h�;��U!�with��N�@�(�f�G��)�j�N����������.��1If��p��R�6�=��`��and��p�j�N��(��)�then��p�jj�N����������.�����iFRecall��that������0_��j�D�����p�������UR��q������d���*�����]���������
�0����r������%ߟ�q�����a����iF�where����h�=�UR���O��and����7�and������are�unramied.�8�F��Vor������2�0����to�b�S�e�a�lift�of�t��ryp�e��w��re�require�that������C������0���9�j�D�����p�������UR��q�����(ҍ����
T��~���*�������]�����{"���
�0������W��hU~��*����r��������%ߟ�q����� �6���iF�where���!~����#����{�and����W���~��*����#����:��are��#unramied�lifts�and���!~��������{�=����W��s~��*���j�����
���.�^Q[[I�� nd�it�migh��rt�y��#o�S�dd�that���
��is����times�an�����iFunramied�hc��rharacter�and�y�et���{��is�not�ramied!���Ho�w�can�that�b�S�e?���Restricted�to�inertia�������iF�and�B���V(�w��rould�b�S�e�trivial�but����w�ould�not�b�S�e.]]�@�Is�this�true�of������2�0���9�?�Y��Ves�since�b��ry�a�theorem�of�����iFLanglands��the�factors��R卒�f�������f�h�;��P	�j�D�����p�������UR��q�����(ҍ����
T��~���*�������]�����{"���
�0������W��hU~��*����r��������%ߟ�q����/�5�:������iF�[[Rib�S�et��Lsaid�more�ab�out�this�but�it�do�es�not�form�a�cohesiv��re�whole�in�m�y�mind.��Here�is�����iFwhat�_[I�_=ha��rv�e�got.���Since�������f�h�;���d�ob�viously�ramied�at��p�,�|��p�jj�N�@�(�f�G��)�j�N����������.���������f�h�;��P	�j�D�����p��	&��is�lik�e�an�elliptic��'؍��iFcurv��re�@with�bad�m�ultiplicativ�e�reduction�at��p�.�9That�������f�h�;��P	�j�D�����p�������江�
�����T������
��~���
[������AZ����	%����
�%�0�����㎍���~��r���>���������x��
����(c4�really�comes�do�wn�to���Z���iFDeligne-Rapap�S�ort.��dIf�r�write��f���=��=�����P�����a�����n���P�q��n9���2�n����,���then��a�����p��	w�6�=�=0�and����W��#�~��*��������A�(�F��Vrob����/����p��p��)�=��a�����p���]�,�����~���������!��(�F��Vrob����/����p���)�=��pa�����p���]�.�����iFTh��rus���a����2��2��RA��p���Yǹ=��j1�since���8�~����������W��
L7�~��*����T����z+�=���.���Th��rus��a�����p��Yǹ=���1�and��a�����p����U�mo�S�d��'L����=����O�(�F��Vrob����/����p��p��)�=���1�indep�S�enden��rt�of�����iF(�f���;����).�8�So��w��re�ha�v�e�these�n�um�b�S�ers��a�����p����=�UR�a�����p���]�(�f�G��)�=���1,��indep�enden��rt�of���.�8�]]��'�S����iF�18.5��iBIsomorphism�z�b��=et��u�w�een�T�����m��:��and��R�����m���3�R����b#���iF�Let�M��T������R��׹=��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�M�b�S�e�the�anemic�Hec��rk�e�M�algebra�with�maximal�ideal��m�.�	a�The�����iFdierence�k�b�S�et��rw�een��T��and��R��)�is�that��R��con��rtains�all�the�Hec�k�e�op�S�erators�whereas��T��only�����iFcon��rtains��xthe��T�����p��	cչwith��p����6���j�`N����������.�NOWiles�pro�v�ed�that�the�map��T�����m��
.��!����R�����m��X.�R���U/�is�an�isomorphism.�����iFWhic��rh���Hec�k�e�op�S�erators�are�going�to�hit�the�missing��T�����p���]�?��If�w�e�do�the�analysis�in��R�����m��X.�R���@m�w�e�see�����iFthat��[[I�think�for��p�UR�6�=��`�!]]����{���T�����p����=���UR��z��(����ǭ���
��1�;����+8׹for���p�j�N����������,��p�UR�62������fa���
0�;����+8׹for���p�UR�2��������}���:��jn���iF�This�g�tak��res�care�of�ev�erything�except��T�����`����.���In�pro�ving�the�surjectivit�y�of��T�����m��Ԝ�!�)��R�����m��X.�R��� G�w�e�are�����iFquite��xhapp��ry�to�kno�w�that��T�����p����=�UR��1�or�0.�!{Pro�ving�this�is�a�bit�unpalatable.�!{It�is�describ�S�ed�in�����iF[�4����].�����	:Consider��the�comm��ruting�diagram��$�s����fd�������T�����m������,�,���!�����ּ�����Q���,�O�����f�h�;���������4��&����p?"������ԛ�R�����m��X.�R�������	��:�����|�c��k�������iF�124���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�The��map��R�����m��X.�R������!��ߟ����Q��^4�O�����f�h�;��:��is�constructed�b��ry�massaging��f�2��b�y�stripping�a�w�a�y�certain�Euler�����iFfactors���so�as�to�obtain�an�eigen��rv�ector���for�all�the�Hec��rk�e���op�S�erators.�
pThis�diagram�forces����iF�T�����m���!�UR�R�����m��X.�R����_�to��b�S�e�injectiv��re.����	:[[Ogus:�.�Is��?it�clearly�surjectiv��re�on�the�residue�eld?�2Rib�S�et:�Y��Ves.�Ogus:�OK,��?then�w��re�just����iFneed��to�pro��rv�e��it�is����s�etale.]]����	:F��Vrom���the�theory�of�the����T�op�S�erator�w��re�already�kno�w�t�w�o-thirds�of�the�times�that��T����iF�con��rtains���T�����`����.����	:Supp�S�ose�c��`�j�N����������.��This�en��rtails�that�w�e�are�in�the�ordinary�case,�~����is�not�nite�at��`�,�or��`�UR�2��.����iFW��Ve��did�not�pro��rv�e��in�this�situation�that��T�����`��N8�2�UR�Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���:�(�n;�`�)�=�1].����	:Using�F�generators�and�relations�and�brute�force�one�sho��rws�that��R�����m��X.�R���^R�!���������Q�����O�����f�h�;�����is�an����iFinjection.�8�Then��w��re�can�compare�ev�erything�in�������Q��?��O�����f�h�;��P	�.�8�No�w��!(����o�������f�h�;��P	�j�D�����`��N8����UR��q�����(ҍ����
T��~���*�������]�����{"���
�0������W��hU~��*����r��������%ߟ�q����� #G��iF�and�������W���+W~��*����zt�������(�F��Vrob����/����`����)�UR=��T�����`��N8�2�������Y�������O�����f�h�;��P	�:�����iF�Using��Dargumen��rts�lik�e�last�time�one�sho�ws�that����W��k'~��*���������(�F��Vrob����/����`����)�can�b�S�e�expressed�in�terms�of�the����iFtraces��of�v��X�arious�op�S�erators.�8�This�pro��rv�es��surjectivit�y�in�this�case.����	:Ultimately���w��re�ha�v�e��T�����m������P�������԰����=��������R�����m��X.�R������.�*�The�virtue�of��T�����m��kT�is�that�it�is�generated�b�y�traces.�*�The����iFvirtue�B�of��R�����m��X.�R������is�that�it�is�Gorenstein.�A�W��Ve�ha��rv�e�B�seen�this�if��`���6��j�N����������.�In�fact�it�is�Gorenstein����iFev��ren�ʈif��`�jj�N����������.�.+[[Rib�S�et:�(�As�I�ʀstand�here�to�da��ry�I�ʀdo�not�kno�w�ho�w�to�pro�v�e�this�last�assertion����iFin�Zexactly�one�case.���Ogus:�nDY��Vou�mean�there�is�another�gap�in�Wiles'�pro�S�of.�Rib�et:�nDNo,�it�Zis����iFjust�a�something�I�a�need�to�w��rork�out.]]�9When��`�jj�N�������
F�there�are�2�cases.�Either����is�not�nite�at��`����iF�or�E�it�is.��The�case�when����is�not�nite�at��`��w��ras�tak�en�care�of�in�[[cite�a�pap�S�er�b�y�Mazur-Rib�S�et,����iFAsterisque,���reference?]].�,oA��Jpro�S�of��Tthat��R�����m��X.�R���~�is�Gorenstein�when����is�nite�at��`��(�`�UR�2��)��Tis�not����iFin��the�literature.����	:No��rw��forget��R�����m��X.�R����_�and�just�think�of��T�����m���W�in�b�S�oth�w�a�ys:�8�trace�generated�and�Gorenstein.��'腍��iF�18.6��AiBDeformations��b#��iF�Fix�-an�absolutely�irreducible�mo�S�dular�mo�d��`��represen��rtation����and�a�nite�set�of�primes�.����iFConsider�eDthe�category��C�y�of�complete�lo�S�cal�No�etherian��W��ƹ(�F�)-algebras��A��(with��A=�m�&�=��F�).����iFHere�=�F�UR�=��F�����`���������ك�and��W��ƹ(�F�)�is�the�ring�of�Witt�v��rectors,�_�i.e.,�the�ring�of�in��rtegers�of�an�unramied����iFextension��of��Q�����`��㎹of�degree����ǹ.����	:Dene��a�functor��F��c�:�UR�C��!���Set��(ݹb��ry��sending��A��in��C��ݹto�the�set�of�equiv��X�alence�classes�of�lifts��Pc����ɲA~���ȟ��������:�UR�G��!���GL����(2�;���A�)����iFof�:���of�t��ryp�S�e�.���The�equiv��X�alence�relation�is�that�����~���������1����w�������~�����������2�����i�:there�exists��M����2�����GL��&�(2�;���A�)�with�����iF�M��6����UR��q������d���*��1���
�0�������*�0���
�1�����!ꢟ�q����2H�(�mo�S�d���B�m�)��suc��rh�that���bf~���������1����r�=�UR�M��@���2��1�����~����`������2����l��M���:����	:�Mazur��pro��rv�ed�[�15����]�that��F���is�represen�table.��{Í���iF�Theorem��18.6.1.���p�$�Ther��ffe�35exists�a�lift��Pc����B������Cuniv���P�:�UR�G��!���GL����(2�;���R����������)����iF�of��typ��ffe����such�that�given�any�lift����l�~�������|D�:����G��!���GL��e(2�;���A�)���ther�e�exists�a�unique�homomorphism�����iF�'�UR�:��R�������	���!��A�35�such�that��'�����������Cuniv���P����g��~���UR����
���in�35the�sense�of�the�ab��ffove�e�quivalenc�e�r�elation.�����}�u��k��������iF�18.7.�	#�WILES��MAIN�CONJECTURE���P�125�����덠�B�ƍ��	:Lenstra��gured�out�ho��rw�to�concretely�construct��R����������.������	:Bac��rk�3�in�the�studen�t�da�ys�of�Rib�S�et�and�Ogus,�F?Sc�hlessinger�wrote�a�widely�quoted�thesis�����iFwhic��rh��giv�es�conditions�under�whic�h�a�certain�class�of�functors�can�b�S�e�represen�table.�U9Mazur�����iFc��rhec�ks��these�conditions�in�his�pap�S�er.�����	:[[Buzzard:�[�What��happ�S�ened�to�Sc��rhlessinger�an�yw�a�ys?�mBRib�S�et:�[�He�ended�up�at�Univ�ersit�y�����iFof��North�Carolina,�Chap�S�el�Hill.]]�����	:W��Ve��*ha��rv�e�constructed�����~�������ZO�=��������2�0��l�:��G��!���GL��.L(2�;����T�����m�����).�}fBy�the�theorem�there�exists�a�unique�����iFmorphism���'�UR�:��R�������	���!��T�����m���W�suc��rh�that������2�0��#��=��'�����������univ��ʺ�.���e�����iF�Theorem��18.6.2.���C�$�'����is�an�isomorphism�thus������2�0����is�the�universal�deformation�and��T�����m���{�is�the�����iFuniversal�35deformation�ring.�����	:�This��will�imply�that�an��ry�lift�of�t�yp�S�e��is�mo�dular.�����	:The��morphism��'��is�surjectiv��re�since��w���,^��T�����p����=��URT��Vr����{<~���h�����xJ�(�F��Vrob����/����p��p��)�UR=��T��Vr��h��'�����������univ��ʺ�(�F��Vrob����/����p���)�UR=��'�(�T��Vr���(������univ��ʺ�(�F��Vrob����/����p���)))�:�����	:�W��Ve��ha��rv�e�t�w�o�v�ery�abstractly�dened�lo�S�cal�No�etherian�rings.�A�Ho��rw�w�ould�y�ou�pro�v�e�they������iFare��isomorphic?�8�Most�p�S�eople�w��rould�b�e�terried�b��ry�this�question.�8�Wiles�dealt�with�it.��'�O����iF�18.7��iBWiles�z�Main�Conjecture��b#����2�\W��Ve��:are�lik��re�a�train�whic�h�is�trying�to�reac�h�F��Vermat's�Last�Theorem.�:�Of�course������2it��has�not�made�all�of�its�sc��rheduled�stops.�8�But�it�is�on�its�w�a�y��V."��Q܍��	:W��Ve��ha��rv�e�a�represen�tation���k��:��G��!���GL���(2�;����F�).�#1T��Vak��re��F��=��F�����`�����for�our�applications�to�S�da��ry��V.�����iFThen��the�ring�of�Witt�v��rectors�is��W��ƹ(�F�)�UR=��Z�����`����.�8�The��Hec�k�e�algebra�can�b�S�e�em�b�S�edded�as���?���a��T�����m�������Q���Y�������UR�(�g�I{;�)�2A���$6��O�����g�I{;��N�:��&Ǎ��iF�The��Hec��rk�e�algebra��T�����m���W�has�the�follo�wing�prop�S�erties.���f�������5�������2�The��index�of��T�����m���W�in�������Q��?��O�����g�I{;��9'�is�nite.��4x�������5�������2�Gorenstein��as�a��Z�����`����-mo�S�dule,�i.e.,�there�exists�an�isomorphism��Hom���d1����Z��i?�`���&}ι(�T�����m�����;����Z�����`���)�����P���UR����԰���n:�=��������T�����m���.���������5�������2�T�����m���W�is��generated�b��ry�the��T�����r��}
�with��r�>6�prime�and�(�r�;���`N����������)�UR=�1.�����	:W��Ve��ha��rv�e�constructed�a�represen�tation��w�����O������0��#��:�UR�G��!���GL����(2�;����T�����m�����)�:�����iF�Comp�S�osing��appropriately�with�the�map��T�����m���,���!��UR�����Q�����O�����g�I{;��9'�giv��res�a�map���D���@��G�UR�!�����"���Y��������(�g�I{;�)�����G�GL��(O�(2�;����O�����g�I{;��N�)�:��&�x���iF�This��is�the�pro�S�duct�of�represen��rtations�������Q��?�������g�I{;��N�.�8�The�triangle�is��*Rg����&���~>h�G�������h����U����-:�0���J�����������!��������Q�GL����(2�;����T�����m�����)���������������Q����i������g�I{;�����&�����#�������ʋ������Q������GL���p�(2�;����O�����g�I{;��N�)��������~�q��k�������iF�126���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�Moreo��rv�er,��X�����2�0�����is��ha�deformation�of����of�t��ryp�S�e��so�it�lifts����and�satises�certain�\nice�as���"�����iFprop�S�erties��at�primes��p�UR�62��.���Ӎ�	:Let���x����d������univ�� �:�UR�G��!���GL����(2�;���R����������)��HፑiFb�S�e�eNthe�univ��rersal�deformation�of����of�t�yp�S�e�.���Lenstra�ga�v�e�a�v�ery�concrete�pap�S�er�[�12����]�con-����iFstructing�5�this�������univ��ʺ�.�.Before�his�pap�S�er�there�w��ras�only�Sc�hlesinger's�thesis.�.By�the�denition����iFof��$������univ���޹there�exists�a�unique�map��'�UR�:��R�������	���!��T�����m���=��T�������
w��suc��rh��$that��'�|���������univ�� �=�UR�����2�0���9�.�1_By��$�'���������univ�����iF�w��re�
�mean�the�comp�S�osition�of�������univ���_�with�the�map��GL���@(2�;���R����������)����!���GL�� {(2�;��T�����m�����)�
�induces�b��ry��'�.���As����iFnoted��last�time�it�is�easy�to�see�that��'��is�surjectiv��re.�������iF�Theorem��18.7.1�(Wiles�main�`conjecture').���5W�'�35�is�an�isomorphism�(for�e��ffach���).����	:�The��theorem�implies�the�follo��rwing�useful�result.������iF�Theorem��18.7.2.���p�$�Supp��ffose��1�E��H�is�a�semistable�el���liptic�curve�over��Q��and�that�for�some��`�UR>��2�����iF�the�35r��ffepr�esentation���UR�=�������`;E��6�on��E���[�`�]��is�irr��ffe�ducible�and�mo�dular.�fiThen��E��L�is�mo�dular.������iFPr��ffo�of.���02��The��represen��rtation��������Y~������������=�UR������`������1���R�;E��-��:��G��!���GL����(2�;����Z�����`����)��HፑiFon��the��`�-p�S�o��rw�er��torsion��E���[�`����2�1��	�]�UR=��[�E��[�`����2�n���P�]��is�a�lift�of���x���P��UR�:��G��!���Aut��=(�E���[�`�])�=��GL����(2�;����F�����`����)�:����iF�F��Vurthermore,���d"~���Q��������is�+�a�deformation�of����of�t��ryp�S�e�.��(Applying�univ�ersalit�y�and�using�the�theorem�����iFthat���R�����������P���	������԰���
ι=��������T�������
�<�w��re�get�a�map����{(R�T�������	���!�UR�Z�����`��N8�:�J�T�����r����7!��a�����r���=��a�����r���b�(�E���)�=��trace������~���ʔ����$��(�F��Vrob����/����r��;��)�:����iF�The��relev��X�an��rt�diagram�is��Sˍ���fd���ׂ�R��������������L��#����P<&�������I�T�������������������g!������P>�Z�����`������"�3��iF�where��the�map��R�������	���!�UR�Z�����`��㎹is�giv��ren�b�y������<trace��ԱR������univ��ʺ�(�F��Vrob����/����r��;��)�UR�7!��a�����r���b�:����iF�No��rw��pthe�full�Hec�k�e�algebra��Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]��pem��rb�S�eds�in�to�the�completion��T����������.�4�Comp�S�osing�this����iFwith��the�map��T�������	���!�UR�Z�����`��㎹ab�S�o��rv�e��w�e�obtain�a�map��������h�:�UR�Z�[��:���:�:��ʜ;���T�����n���P�;��:�:�:���]�UR�!��Z�����`�����:����iF�Because�Yof�the�dualit��ry�b�S�et�w�een�the�Hec�k�e�algebra�and�mo�S�dular�forms�there�exists�a�mo�dular����iFform����h�UR�2��S�����2����(�����0���(�N����������)�;����Z�����`����)�corresp�S�onding�to�����.�+7Since����=�is�a�homomorphism��h��is�a�normalized����iFeigenform.�ΛF��Vurthermore����a�����r���b�(�h�)�UR=��a�����r���(�E���)��2��Z��عfor�all�primes��r����6�URj�`N����������.�ΛSince�almost�all�co�S�ecien��rts����iFof�s��h��are�in��rtegral�it�follo�ws�that��h��is�in�tegral.�ӾBecause�w�e�kno�w�a�lot�ab�S�out�eigenforms�w�e����iFcan��massage��h��to�an�eigenform�in��S�����2����(�����0���(�N�����E��-��)�;����Z�).���ρ{��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����;h��	:[[Some��undigested�commen��rts�follo�w.]]���������5�����(�2�Once��there�is�an��ry�connection�b�S�et�w�een����and�a�mo�S�dular�form�one�can�pro�v�e�T��Vaniy�ama-����(�2Shim��rura��in�as�strong�a�form�as�desired.�8�See�the�article��Numb��ffer�35the�ory�as�Gad
y�.��������k��������iF�18.8.�	#��T�������
�<�IS��A�COMPLETE�INTERSECTION�����127�����덠�B�ƍ������5�������2�T��Vak��re��$the�ab�S�elian�v��X�ariet�y��A�����h��	7�attac�hed�to��h�.�0_The���-adic�represen�tation�will�ha�v�e�pieces�������2with�
�the�same�represen��rtations.��Using�T��Vate's�conjecture�w�e�see�that��E��˹is�isogenous�to������2�A�����h��e�.���Use��at�some�p�S�oin��rts�Cara�y�ol's�theorem:���If��g��5�is�a�form�giving�rising�to�the�ab�S�elian������2v��X�ariet��ry���A��then�the�conductor�of��A��is�the�same�as�the�conductor�of��g�n9�.��R֍������5�������2�T��Vate�bpro��rv�ed�that�if�t�w�o�elliptic�curv�es�ha�v�e�isomorphic�������`������1���0K�for�some��`��then�they�are������2isogenous.��'y�����iF�18.8��iBT�������wM�is�z�a�complete�in��u�tersection��b#���iF�Recall��the�construction�of��T�������	��=�UR�T�����m�����.�8�Let��T��b�S�e�the�anemic�Hec��rk�e��algebra.�Then���ލ�����T����
��Z�����`��N8�,���!����UR���Y�������O�����g�I{;���{����iF�where�]�the�pro�S�duct�is�o��rv�er�]�a�complete�set�of�represen��rtativ�es�]�(for�the�action�of�Galois�on�����iFeigenforms)��n�g�G��and�primes����lying�o��rv�er��n�`�.�1W��Ve�found�a�sp�S�ecic�(�f���;����)�for���=��;��n�suc��rh�that������iF��d��z�t��K�������x���T�;f�����=�UR��.��The�`maximal�ideal��m��w��ras�dened�as�follo�ws.��The�form��f�d_�induces�a�map��T�UR�!�O�����f�h�;��P	�.������iFT��Vaking���the�quotien��rt�of��O�����f�h�;��L�b�y�its�maximal�ideal�w�e�obtain�a�map��T�t`�!����S��z�|r�	�\��F�����ҟ���`��鸹.�o�Then����m��is�the�����iFk��rernel��of�this�map.�8�The�diagram�is��$5����(�����|��T��������.r�#����K&���������?�O�����f�h�;��������Ǐ�����v!��������M��S��z�|r�	�\��F����噿����`������&�㍑�iF�The��map��O�����f�h�;���[�!��UR��S��z�|r�	�\��F�����ğ���`���R�is������V�a�����r���b�(�f�G��)�UR�7!���trace��ʔ��(�F��Vrob����/����r��;��)�:��<A���	:�T��Vo�J�x�ideas�w��re�c�heat�and�supp�S�ose��O�����f�h�;��I.�=��%�Z�����`����.�Y�[[In�Wiles'�optic�this�is�OK�J�since�he�can�����iFw��rork��this�w�a�y�then�tensor�ev�erything�at�the�end.]]�����	:No��rw�F9������f�h�;���B�is�a�distinguished�deformation�of����[[\Distinguished"�is�not�mean�t�in�a�math-�����iFematical���sense]].�O1The�map��f��¹giv��res�rise�to�a�map��T�������(�!��zO��й=��Z�����`�����whic�h���w�e�also�denote�b�y�����iF�f���ꍍ��J�����Y�R�������������h���y��'��J�����������DZ!���������T��������������>��&����O]#�UR�f������͎Q�O����=�UR�Z�����`������4_����iF�18.9��iBThe�z�inequalit��u�y��#�O�z��=�k������#�}�����T��	��=}�������2��
����T���
ё���}�����R��	���=}�������2��
����R�������iF�Let����wg��UR�:��G��=��Gal���(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)��!���GL����(2�;����F�����`����)��<A���iFb�S�e��irreducible�and�mo�dular�with��`�Ze>��2.�A�Let���b�e�a�nite�set�of�primes.�A�W��Ve�assume�there�is�����iFa��mo�S�dular�form��f�2��of�w��reigh�t��2�with�co�ecien��rts�in��Z�����`��㎹whic�h�giv�es�rise���.�8�Let��a썒���������f�h�;���[�:�UR�G��!���GL����(2�;����Z�����`����)�����iFb�S�e��the�represen��rtation�coming�from��f�G��,�then�������f�h�;��:��reduces�to����mo�dulo��`�.������	:Let����R�������5;�b�S�e�the�univ��rersal�deformation�ring,��gso�ev�ery�deformation�of����of�t�yp�S�e��factors�����iFthrough�l�R���������in�an�appropriate�sense.��-Let��T��������b�S�e�the�Hec��rk�e�lring�asso�ciated�to�.��-It�is�a�����iF�Z�����`����-algebra��whic��rh�is�free�of�nite�rank.�8�F��Vurthermore���ލ�V���T�������	�������Q���Y�������UR�(�g�I{;�)�2A���$6��O�����g�I{;���ѹ=�UR�O�����f�h�;��"d�����I���Y����������(�g�I{;�)�2Af�(�f�h�;�)�g���E<��O�����g�I{;��������Š�k�������iF�128���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�where�Z�A��is�as�dened�b�S�efore.��9Dene�pro��jections��pr�����1��	�and��pr�����2���on��rto�the�rst�and�rest�of�the�����iFfactors,��resp�S�ectiv��rely��2j�����r��pr�����1�������cܹ:���������mg���Y�������§h�(�g�I{;�)�2A���㈻�O�����g�I{;�����!�URO����=��O�����f�h�;�����"fp�����r��pr�����2�������cܹ:���������mg���Y�������§h�(�g�I{;�)�2A���㈻�O�����g�I{;�����!����d����Y�������UR�(�g�I{;�)�6�=(�f�h�;�)���0�@�O�����g�I{;�����"e���	:�Let�c��'�#�:��R�������
Ƨ�!��T��������b�S�e�the�map�coming�from�the�univ��rersal�prop�ert��ry�of��R����������.���This�map�is����iFsurjectiv��re.�8�The��famous�triangle�whic�h�dominates�all�of�the�theory�is��$=b����J��������R�������������h���y��'��J������ޓ��������L!��!������
���T�������������;�#�UR�pr�����1���������X�O����=�UR�Z�����`������.�C���iF�18.9.1��E�The�ffdenitions�of�the�ideals��@��iF�W��Ve��no��rw�dene�t�w�o�ideals.�8�View��T�������
�<�as�sitting�in�the�pro�S�duct�������Q��?��O�����g�I{;��N�.��p������Ů1.����(�2The���c��ffongruenc�e�35ide�al���Ë��URO�?��is��e��������Ë�:=�UR�O���\����T�������	��=��k��rer��������
�����*��pr�����2��V�:��T��������!����d����Y��������(�g�I{;�)�6�=(�f�h�;�)���0�@�O�����g�I{;�����N��
������&�f������2.����(�2The��prime�ideal��}�����T��	�i��UR�T�������
�<�is��������}�����T��	�i�=��URk��rer��������
�����*��pr�����1��V�:�UR�T�������	���!�O����UV��
�������h��	:�It��is�true�that��������#�O�UV�=�Ë��UR�#�}�����T����=}������2���ڍ�T����:���X��iF�The��condition�for�equalit��ry�is�a�theorem�of�Wiles.������iF�Theorem��18.9.1.���p�$T�������
���is�35a�c��ffomplete�interse�ction�i��#�O�UV�=�Ë�=�UR#�}�����T����=}����2��2��b���T����:����	:�There��is�an�analogous�construction�for���x���Rh� �Ë�=�UR�pr�����1��j������'��:��R�������	���!�O�UV�:����iF�The��diagram�is���ꍍ��J����ɥ��R�������������h���)��'��J�����������U!������	A��T��������������;� �Ë�&����+#�UR�pr�����1�������S��O����"��:��!rB��iF�Let��|�}�����R����b�S�e�the�k��rernel�of�� �n9�.��]F��Vrom�the�comm�utativit�y�of�the�ab�S�o�v�e�diagram�w�e�see�that�� �����iF�maps���}�����R�����
H�������>!��!�UR�}�����T����.�8�Th��rus�w�e�ha�v�e�an�induced�map����:�z���	��� �����on�\tangen�t�spaces"������\���:�z���	��� �����ǹ:�UR�}�����R����=}������2���ڍ�R������
H�������>!��!��}�����T����=}������2���ڍ�T����:����iF�It��follo��rws�that������#�O�UV�=�Ë��UR�#�}�����T����=}������2���ڍ�T���	�i���#�}�����R����=}������2���ڍ�R����:���X��iF�There��is�an�analogous�theorem.��p�����iF�Theorem��18.9.2.���p�$�The�35ab��ffove�ine�qualities�ar�e�al���l�e�qualities�i��������5�����(�2�'�UR�:��R�������	���!��T�������
���is�35an�isomorphism,�and��%�������5�����(�2�T�������
���is�35a�c��ffomplete�interse�ction�ring.����������k��������iF�18.9.�	#�THE��INEQUALITY��#�O�UV�=�Ë��UR�#�}�����T����=}����2��2��b���T���	�i���}�����R����=}����2��2��b���R�����й129�����덠�B�ƍ���iF�18.9.2���Aside:�32Selmer�ffGroups�������iF�Let���M�E��b�S�e�the�set�of�matrices�in��M�@�(2�;����Q�����`�����=�Z�����`���)��whic��rh�ha�v�e�trace�0.��rThen��GL���t(2�;����Z�����`����)�op�S�erates������iFon����M�޻�b��ry�conjugation.�RlTh�us��G��acts�on��M�޻�via�the�represen�tation������2�0��T��:��O�G��!���GL���(2�;����Z�����`����).�RlT��Vo�����iF�}�����R����=}����2��2��b���R���
ʥ�there��corresp�S�onds�the��Selmer�!5gr��ffoup��whic��rh�is�a�subgroup�of��H���V���2�1���Z�(�Gal��[�(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�;���M�@�).�2YThe�����iFsubgroup��is��#B��3ڄ�H�������V�1���ڍ������(�G;���M�@�)�UR=��Hom����۟���O��#F�(�}�����R����=}������2���ڍ�R����;��Q�����`�����=�Z�����`���)�UR���H���V����1���Z�(�Gal��[�(����S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q��'�)�;�M�@�)�:���x���iF�[[Since�;�Flac��rh's�thesis�there�has�b�S�een�a�problem�of�trying�to�get�an�upp�er�b�ound�for�the�����iFSelmer��group.�8�Wiles�con��rv�erted��it�in��rto�the�ab�S�o�v�e�problem.]]��$A����iF�18.9.3���Outline�ffof�some�pro�s3ofs�����iF�W��Ve��outline�the�k��rey�steps�in�the�pro�S�of�that�#�}�����R����=}����2��2��b���R���
H���UR�#�O�UV�=�n9�.�� �A���iF�Step��1:���UR=��;�����iF�The�1�k��rey�step�is�the�minimal�case�when��UR=��;�.��+This�1�is�done�in�[�35����].�They�claim�to�b�S�e�pro��rving�����iFthe��apparen��rtly�w�eak�er�statemen�t�that��T�������
�<�a�complete�in�tersection�implies��#B���
�#�}�����T����=}������2���ڍ�T���	�i�=�UR#�O�UV�=�n9:�����iF�But��in�Wiles'�pap�S�er�[�36����]�he�obtains�the�inequalit��ry��"D���m#�}�����R����=}������2���ڍ�R���
H��������ō����(#�}�����T����=}����2��2��b���T����)����2�2������[��z�9�\�
�΍��9�#�O�UV�=�����?�:��!3ԍ��iF�Com��rbining��these�t�w�o�sho�ws�that�������#�}�����R����=}������2���ڍ�R���
H���UR�#�O�UV�=�n9:�����iF�In��an�app�S�endix�to�[�35����]�F��Valtings�pro��rv�es��directly�that�������#�}�����R����=}������2���ڍ�R���
H���UR�#�O�UV�=�n9:��Y����	:�[[A��rt��Rthis�p�S�oin�t�there�w�ere�some�remarks�ab�S�out�wh�y�Wiles�migh�t�ha�v�e�tak�en�a�circular������iFroute��in�his�Annals�pap�S�er.�8�Rib�et��replied,�������2\As��OSerre�sa��rys,���it�is�sometimes�b�S�etter�to�lea�v�e�out�an�y�psyc�hological�b�S�eha�vior������2related�_to�ho��rw�p�S�eople�did�something�but�instead�just�rep�ort�on�what�they�did."]]�� �A���iF�Step��2:�P��assage�from���UR=��;���to����9�general�����iF�The�$,second�step�is�the�induction�step�in�whic��rh�w�e�m�ust�understand�what�happ�S�ens�as������iFgro��rws.�8�Th�us���is�replaced�b��ry�����2�0��#��=�UR����[�f�q�n9�g�꨹where��q�X�is�some�prime�not�in�.���k���	:W��Ve���will�use�the�follo��rwing�notation.�T�The�ob��ject�attac�hed�to�����2�0���8�will�b�S�e�denoted�the�same�����iFw��ra�y��Was�the�ob��ject�attac��rhed�to��but�with�a�����2�0��Đ�.�[�Th�us�(�}�����R����=}����2��2��b���R����)����2�0��Đ�denotes��Wthe�Selmer�group�for�����iF����2�0���9�.�����	:The��c��rhange�in�the�Selmer�group�when��is�replaced�b�y�����2�0���Źis�completely�go�v�erned�b�y�����iFsome��lo�S�cal�cohomology�group.�8�There�is�a�constan��rt��c�����q����suc�h�that��#B��f-o#(�}�����R����=}������2���ڍ�R����)�����0��#���UR�c�����q�����#(�}�����R���=}������2���ڍ�R����)����c�����q�����#�O�UV�=�n9:�������@��k�������iF�130���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������덠�B�ƍ�iF�So��w��re�just�need�to�kno�w�that������Ǝ#�O�UV�=��n9����0������UR�c�����q�����#�O��=�n9;��E��iF�i.e.,��that����n9���2�0��'�is��smal���l��as�an�ideal�in��O�UV�.�8�W��Ve�need�a�form��rula�for�the�ratio�of�the�t�w�o�orders.����	:Let����T��b�S�e�the�anemic�ring�of�Hec��rk�e���op�erators�on��S�����2����(�����0���(�N����������))���obtained�b��ry�adjoining�to��Z����iF�all��Hthe�Hec��rk�e��Hop�S�erators��T�����n��	g��with��n��prime�to��`N����������.�*kLet��T����2�0�����b�e�the�anemic�Hec��rk�e��Hring�of�Hec��rk�e����iFop�S�erators��on��S�����2����(�����0���(�N�����������0���	U[�)).����	:Since���N����������j�N�����������0���
@�there�is�an�inclusion��W������S�����2����(�����0���(�N����������))�UR�,���!��S�����2����(�����0���(�N�����������0���	U[�))�:����iF�There��sis�one�subtlet��ry��V,���this�injection�is�not�equiv��X�arian�t�for�all�of�the�Hec�k�e�op�S�erators.�BBut�����iFthis���is�no�problem�b�S�ecause��T��and��T����2�0��u�are�anemic.�"ESo�the�inclusion�induces�a�restriction�map����iF�r���:�UR�T����2�0��#��!��T�.����	:W��Ve�%�no��rw�in�tro�S�duce�a�relativ�e�v�ersion�of�����whic�h�is�an�ideal��I��������T�.��QOne�w�a�y�to�think�of����iF�I��+�is��as��T����\��T����2�0����where���T��and��T����2�0���are�b�S�oth�view��red�as�subrings�of�������Q��?��O�����g�I{;���6�܍����4�����g�T����2�0�������2�����r���p�������������r�!������[email protected]�T��������J�\��� "\��������I�T����2��0�����m������0��������T�����m��������J�\��� "\�������������Q����Vg���(�g�I{;�)���A\�O�����g�I{;�����&j�,���!�����rߟ����Q����	�6���more��
��(�g�I{;�)��3��O�����g�I{;������5�*��iF�The��denition�Lenstra�w��rould�giv�e�is�that��W������I�Fչ:=�UR�r�S��(�Ann��������T������0������(�k��rer����(�r��)))�:����	:�The��amazing�form��rula�is������`!���n9����0���Ĺ=�UR��������f�G��(�I��)����iFwhere�2)�f��Ĺ:����T��!�O���is�the�map�induced�b��ry�the�mo�S�dular�form��f�G��.�	b[[After�in�tro�S�ducing�this����iFdenition�U2Ogus�w��ras�v�ery�curious�ab�S�out�ho�w�deep�it�is,�sin�particular,�ab�S�out�whether�its�pro�of����iFuses���the�Gorensteiness�of��T�.�#�Rib�S�et�said,��z\someho��rw�I���do�not�think�this�form�ula�can�p�S�ossibly����iFb�S�e��profound."]]����	:W��Ve�@�pause�with�an�aside�to�consider�Wiles'�original�denition�of���n9�.�;lBy�dualit��ry�the�map����iF�f��Q�:�UR�T�������	���!��Z�����`��㎹induces��W�������f��G�����_��
��:��URHom����۟���Z��i?�`���%�x�(�Z�����`�����;����Z�����`���)�UR�!���Hom����۟���Z��i?�`����(�T����������;����Z�����`����)�����P�������԰���n:�=��������T��������:����iF�Because���T�������
K�is�Gorenstein�there�is�an�isomorphism��Hom���!����Z��i?�`���&:��(�T����������;����Z�����`����)�����P���UR����԰���n:�=��������T��������.�"}No��rw���f��G����2�_��r��(�id��	ʤ)�UR�2��T�����������iF�so���f�G��(�f�����2�_��r��(�id��	ʤ))�UR�2�O����=��Z�����`����.�8�Wiles�let���Ë�=�(�f�G��(�f�����2�_��r��(�id��	ʤ)))�b�S�e�the�ideal�generated�b��ry��f��(�f�����2�_��r��(�id��	ʤ)).����	:T��Vo���nish�step�2�w��re�m�ust�sho�w�that�#�O�UV�=f�G��(�I��)�w!���c�����q�����,�|i.e.,�that���\�I���is�small".�tv[[I���do�not�see����iFho��rw���this�actually�nishes�step�2,���but�it�is�reasonable�that�it�should.�
0Ho�w�do�S�es�this�index����iFrelate��to�the�index�of��f�G��(�I��)��X�in��O�UV�?]]����	:Let���J�qĹ=�UR�J�����0����(�N����������)�and��J��r���2�0��?��=��J�����0����(�N�����������0���	U[�).�8�Since��W�����`�S�����2����(�����0���(�N����������))�UR�,���!��S�����2����(�����0���(�N�����������0���	U[�))����iFfunctorialit��ry�)�of�the�Jacobian�induces�a�map��J��|,���!�t
�J��r���2�0��꫹.��lBy�auto�S�dualit�y�w�e�also�obtain�an�����iFinjection��O�J��r���2�_�����,���!����J��r���2�0�����and��J�D��\�(`�J��r���2�_���q�is�a�nite�subgroup�of��J��r���2�0��꫹.�b�[[I��denitely�do�not�understand����iFwh��ry���J��is�not�just�equal�to��J��r���2�?��8�.�8�Where�do�S�es�the�other�em�b�S�edding��J��r���2�?���<�,���!�UR�J��r���2�0���S�come�from?]]����	:It��can�b�S�e�seen�that��J���\����J��r���2�_��
�t�=�UR�J�r�[��s2�]�for�some���Ȅ�2��T�.�8�It�turns�out�that��W������Ann�����4����T����I�(�J���\����J��r����_��G"�)�UR=��T��\����s0�End���(�J�r�)�����s2�T�:�������u��k��������iF�18.9.�	#�THE��INEQUALITY��#�O�UV�=�Ë��UR�#�}�����T����=}����2��2��b���T���	�i���}�����R����=}����2��2��b���R�����й131�����덠�B�ƍ��iFIt�(�is�an�observ��X�able�fact�that��f�G��(��s2�T�)�is�an�ideal�of��O�~�of�norm��c�����q�����.��:The��he��ffart��of�the�whole�matter������iFis��to�see�that�the�inclusion���������s2�T�UR���T����\����s0�End���(�J�r�)�����iFis���an�equalit��ry�after�lo�S�calization�at��m�.�:�T��Vo�do�this�w�e�ha�v�e�to�kno�w�that��T��Vate����H����m��$l��(�J�r�)�����P���x�����԰������=�����F��T����2��2��RA��m������.�����iFThis���is�equiv��X�alen��rt�to�the�Gorenstein�business.��jWith�this�in�hand�one�can�just�c�hec�k�this�����iFequalit��ry��V.�����	:[[Unfortunately�.�w��re�w�ere�no�w�10�min�utes�passed�when�the�course�should�end.�	Realizing�����iFthis���Rib�S�et�brough��rt�ev�erything�to�a�close.�,As�is�the�tradition�at�the�end�of�a�course�the�ro�S�om�����iFerupted��in�applause.]]���������k�������iF�132���x�CHAPTER��18.�	#�THE�HECKE�ALGEBRA��T�����������뎌��à�k�������덠��;ٍ��iF�Bibliograph��8�y��6�����1��[1]���(x�N.��Katz,��A��2ntwerp�35Pr��ffo�c�e�e�dings�,��Lecture�Notes�in�Mathematics,�v��rol.�350���\����1�[2]���(x�N.���Boston,��H.W.�Lenstra,�Jr.,�K.A.�Rib�S�et,��Quotients��cof�gr��ffoup�rings�arising�����(x�fr��ffom��two-dimensional�r�epr�esentations�,���C.R.��_Acad.�Sci.�P��raris,�t.��312�,�Ser.�I,����(x�F��Vev.��1991,�p.�323{328������1�[3]���(x�C.��8Curtis�and�I.�Reiner,���R��ffepr�esentation��The�ory�of�Finite�Gr�oups�and�Asso�ciate����(x�A��2lgebr��ffas�,��John�Wiley�and�Sons,�1962������1�[4]���(x�H.�4�Darmon,�G�F.�Diamond,�R.�T��Va��rylor,��F���ermat's�wzL��ffast�The�or�em�,�G�CMS�4�Pro�S�ceed-����(x�ings,��1996������1�[5]���(x�R.�#$Coleman�and�B.�Edixho��rv�en,�1C�Semi-simplicity�g of�the��U�����p��	.}�op��ffer�ator�g on�wie��ffght����(x�2�35mo��ffdular�forms�,��to�app�S�ear,�1996������1�[6]���(x�B.�އEdixho��rv�en,��The�^weight�in�Serr��ffe's�c�onje�ctur�es�on�mo�dular�forms�,�In��rv�en�t.����(x�Math.��109�(1992),�no.�3,�563{594������1�[7]���(x�R.��Hartshorne,��A��2lgebr��ffaic�35Ge�ometry�,��GTM�52,�1977������1�[8]���(x�J.���Igusa,�¼�Fibr��ffe�Vsystems�of�Jac�obian�varieties�,�¼I.���Amer.�J.�of�Maths.,�78,�1956,����(x�p.��171-199;�I�S�I,��id�.,�p.�745-760;�I�I�I,��id.�,�81,�1959,�p.�453{476������1�[9]���(x�Katz��!and�Mazur,��@�A��2rithmetic�>�Mo��ffduli�of�El���liptic�Curves�,�Princeton��!Univ��rersit�y����(x�Press,��1985������Q�[10]���(x�S.�O�Lang,�i�A��2lgebr��ffaic��'Numb�er�The�ory�,�iGTM�O�110,�Springer-V��Verlag,�2nd�O�edition,����(x�1994������Q�[11]���(x�S.�t!Lang,���Intr��ffo�duction���to�Mo��ffdular�F���orms�,�Grundlehren�t!222,�Springer-V��Verlag,����(x�1976������Q�[12]���(x�H.��Lenstra,�8B.�de�Smit,��Explicit�H6c��ffonstruction�of�universal�deformation�rings�,����(x�Pro�S�ceedings��of�the�Conference�at�Boston�Univ��rersit�y��V,��Spring-V�erlag,�1996������Q�[13]���(x��L��ffe�ctur�e�35Notes�in�Mathematics,�V���ol.�349������Q��[14]���(x�B.�5UMazur,���Mo��ffdular�c'curves�and�the�Eisenstein�ide�al�,��Publ.�5UMath.�IHES�5�47����(x��(1977)��133{186.������Q�[15]���(x�B.��kMazur,�?��Deforming�-�Galois�r��ffepr�esentations�,�in:�ZgGalois��kgroups�o��rv�er��k�Q�,�Y.����(x�Ihara,��K.���Rib�S�et,�J-P��V.�Serre,�eds.,�MSRI���Publ.��16�,�Springer-V��Verlag,�New�Y��Vork,����(x�Berlin,��Heidelb�S�erg,�1989,�pp.�385-437.�������%133�����B��k�������iF�134�d}"�BIBLIOGRAPHY�����덠�B�ƍ���=Q��[16]���Ux�J.S.�e�Milne,��.�A��2b��ffelian���V���arieties�,�in��A��2rithmetic���Ge��ffometry�,�ed.�Cornell�and�Silv��rer-�����Ux�man,��Springer-V��Verlag,�1986��-v����=Q�[17]���Ux�D.��Mumford,��Ge��ffometric�35Invariant�The�ory������=Q��[18]���Ux�D.��Mumford,��A��2b��ffelian�35V���arieties������=Q��[19]���Ux�V.��yKumar�Murt��ry��V,����Intr��ffo�duction�4�to�A��2b��ffelian�V���arieties�,�American��yMathematical����Ux�So�S�ciet��ry��V,��1993������=Q�[20]���Ux�C.�$9Queen,�2�pap�S�er�in��Numb��ffer�hThe�ory�and�A��2lgebr�a�,�2�pap�S�ers�$9submitted�to�the�J.����Ux�of��Num��rb.�Theory��V,�1977������=Q�[21]���Ux�K.��Rib�S�et,��L��ffe�ctur�e�35Notes�in�Mathematics,�V���olume�601�,��Springer-V��Verlag,�19xx������=Q�[22]���Ux�K.��A.�Rib�S�et,�!��R��ffep�ort�on�mo��ffd��`��r�epr�esentations�of��Gal�C��(���\-�z�	NW�	�Ӎ�Q���	NW=Q�)��Pro�S�ceedings�of����Ux�Symp�S�osia��in�Pure�Mathematics,�V��Vol�55�(1994),�P��rart�2������=Q�[23]���Ux�J.P��V.�Y�Serre,��s�A��2lgebr��ffaic���Gr�oups�and�Class�Fields�,��sGTM�YR117,�Springer-V��Verlag,����Ux�1988������=Q�[24]���Ux�J.P��V.��Serre,��A�35Course�in�A��2rithmetic�,��GTM�7,�Springer-V�erlag,�1973������=Q�[25]���Ux�J.P��V.��Serre,��L��ffo�c�al�35Fields�,��GTM�67,�Springer-V�erlag,�1979������=Q�[26]���Ux�J.P��V.��Serre,���-adic�35R��ffepr�esentations�and�El���liptic�Curves�,������=Q�[27]���Ux�J.�i�P��V.�Serre,��h�Sur���les�r��ffepr��3��L�esentations�mo�dulair�es�de�de�gr��3��L�e�2�de��Gal�C��(���\-�z�	NW�	�Ӎ�Q���	NW=Q�),��hDuk��re����Ux�Mathematical��Journal,�V��Vol.�54,�No.�1�(1987)������=Q�[28]���Ux�J.��P��V.�Serre,����Pr��ffopri��3��L�et��es�galoisennes�de�p��ffoints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���liptiques�,����Ux�In��rv�en�t.��Math.�15,�(1972),�259{331������=Q�[29]���Ux�J.P��V.���Serre,�MJ.�T�ate,�M�Go��ffo�d�
fR�e�duction�of�A��2b�elian�V���arieties�,�MAnnals���of�Mathe-����Ux�matics,��V��Vol.�88,�No.�3,�No��rv�em�b�S�er,��1968,�pp.�492{517������=Q�[30]���Ux�O.F.G.�%�Sc��rhilling,�4T�A��2rithmetic��ffal�ibA�lgebr�aic�ibGe�ometry�,�4TPro�S�ceedings�%�of�a�Confer-����Ux�ence��Held�at�Purdue�Univ��rersit�y��V,��Harp�S�er's,�1963������=Q�[31]���Ux�G.���Shim��rura,��Intr��ffo�duction�,to�the�A��2rithmetic�The��ffory�of�A�utomorphic�F���unctions�,����Ux�Princeton��Univ��rersit�y�Press,�1994������=Q�[32]���Ux�G.��yShim��rura,���Sur��les�int��3��L�egr��ffales�attach���L�ees�aux�formes�automorphes�,��J.��yMath.����Ux�So�S�c.��Japan,�11,�No.�4,�1959,�pp.�291{311������=Q�[33]���Ux�J.�"�Silv��rerman,�0��The�f�A��2rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�GTM�"�106,�Springer-V��Verlag,����Ux�1986������=Q�[34]���Ux�J.�\�Silv��rerman,��`�A��ffdvanc�e�d��vT���opics�in�the�A��2rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�GTM����Ux�151,��Springer-V��Verlag,�1994.������=Q�[35]���Ux�R.�)�T��Va��rylor,�9]A.�Wiles,��R��2ing�mthe��ffor�etic�pr�op�erties�of�c�ertain�He�cke�algebr�as�,�9]An-����Ux�nals��of�Math.��141��(1995),�553{572.������=Q�[36]���Ux�A.���Wiles,���Mo��ffdular�0el���liptic�curves�and�F���ermat's�L�ast�The�or�em�,��Annals���of�Math.����Ux��141�꨹(1995),�443{551.������$��k��������iF�BIBLIOGRAPHY�d}"�135�����뎌��(��k�������덠��9፟���iF�Index���q��������9ፑiF�(�N�@�)-structures,��23,�24��:��iFAlbanese,��50,�52{54,�69����iFBrauer-Nesbit��theorem,�68���
��iFBuzzard,��45,�73,�89,�92,�107,�111,�125����iFcomplete��in��rtersection,�73,�127{129����iFcongruence��subgroup,�2����iFcusp��forms,�2����iFdeformations,��109,�111,�118,�119,�124{127����iFDeligne,��3����iFdescen��rt,��44,�75����iFEic��rhler,��3����iFEic��rhler-Shim�ura,��25,�51,�53{55,�57,�64,�71����iFeigenforms,��17����iFEisenstein��series,�15,�19,�40,�98����iFnite��
at�represen��rtations,�111,�112����iFnite�g�
at�sc��rhemes,���75{77,�103,�104,�110,�����3iF111����iFGalois��represen��rtations,�1,�7,�34����iFGorenstein,��67,�69,�72����iFGrothendiec��rk,��75,�76����iFHec��rk�e��op�S�erator,�2,�11����iFinner��pro�S�duct,�16,�20,�27����iFJacobian,��1,�26,�50{54,�56,�74,�75,�77,�130����iFLenstra,��125,�126,�130����iFMazur,��6,�70{72,�75,�105,�106����iFmo�S�dular��curv��res,�1,�23,�41,�45,�47,�84����iFnewform,��31����iFnon-Gorenstein,��73����iFOgus,��50,�75,�94,�97,�104,�111,�124,�130����iFoptic,��69,�91,�127����iFSelmer��group,�129��������9ፒ�semistable,�u103,�105{109,�111,�115,�122,�����.�126�����Serre,�IG3,�5,�7{9,�15,�21,�36,�40,�44,�83,�86,����.�87,��91{96,�98,�100{102�����Serre's��conjecture,�8�����Shim��rura,��2,�3,�5,�26,�29,�31,�34,�52,�107�����Shim��rura��v��X�ariet�y��V,�46������T��Vate��curv��re,�65,�89,�104,�112����������%136����(|���;��k��h�
��F��g��qcmmi12�E��g��Hcmmi12�C#�f�cmti8�<�"V

cmbx10�:!",�G�
cmsy10�9��g�G�cmmi12�8��N�ffcmbx12�7��N�G�cmbx12�6D��tG�G�cmr17�5�E�tcmbx6�42�@�cmbx8�-a6cmex8�,��u
cmex10�+q�%cmsy6�*�K�cmsy8�)!",�
cmsy10�(;�cmmi6�'�2cmmi8�&��g�cmmi12�%�Aa�cmr6�$|{Ycmr8�#߆�Tcmtt12�"���@cmti12�!��N�cmbx12� ��N��Hcmbx12�}h!�cmsl12�!",�ff
cmsy10���g�ffcmmi12�X�Qffcmr12�D��t�qG�cmr17�}>y
rsfs10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�.��������