Sharedwww / rank4 / mestre-fr.texOpen in CoCalc
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{trace}

\include{header-fr}

\renewcommand{\a}{\alpha}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\renewcommand{\t}{\theta}
\renewcommand{\l}{\lambda}
\newcommand{\w}{\omega}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\renewcommand{\r}{\rho}

\newcommand{\codim}{\textrm{codim}}

\newcommand{\s}[1]{\langle #1 \rangle}
\renewcommand{\O}{\mathcal{O}}


\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Eis}{Eis}
\DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
\DeclareMathOperator{\Nor}{Nor}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}

\newcommand{\T}{\mathbf{T}}

\title{La m\'{e}thode des graphes.\\ Exemples et applications.}
\author{J.-F. Mestre. \\Ed. }


\begin{document}
\maketitle

%%line 102 -- check with original...?

\section{Introduction}

Soit $S_k(N,\e)$ l'espace des formes paraboliques de poids $k$, de
niveau $N$ et de caract\`{e}re  $\e$, o\`{u} $k$ et $N$ sont des
entiers $\geq 1$, et $\e$ un caract\`{e}re de Dirichlet mod $N$.
Il existe plusieurs mani\`{e}res d'en construire une base.  On
peut par exemple utiliser la formule des traces de Selberg: notons
$\Tr(n)$ la trace de $T_n$, le $n^{ienne}$ op\'{e}rateur de Hecke.
La fonction
\[f=\sum_{n=1}^\infty \Tr(n)q^n\] appartient alors \`{a} $S_k(N,\e)$.
L'ensemble des $f_i=T_if$ engendre cet espace et cela permet
th\'{e}oriquement d'en obtenir une base.  Par exemple, si $N$ est
premier, si $\e=1$, et si $k=2$, l'ensemble des $f_i$, $1\leq
i\leq g$, o\`{u} $g$ est le genre de $X_0(N)$, est une base de
$S_2(N,1)$.

Mais m\^{e}me dans ce cas, qui est le plus favorable, les calculs
deviennent rapidement insurmontables: sur un ordinateur de taille
moyenne, on ne peut gu\`{e}re esp\'{e}rer traiter des niveaux $N$
plus gros que $5000$ (toujours avec $N$ premier, poids $2$ et
caract\`{e}re trivial): en effet, le calcul de $\Tr(n)$
n\'{e}cessite la connaissance de nombreux  nombres de classes de
corps quadratiques imaginaires - dont le discriminant est de
l'ordre de grandeur de $n$ -- et, pour avoir la base $\vvn{f}{g}$,
il faut calculer $\Tr(n)$ pour $n\leq g^2$.

Nous d\'{e}crivons dans le paragraphe suivant une m\'{e}thode, la
``m\'{e}thode des graphes'', reposant sur des r\'{e}sultats de
Deuring et Eichler, et d\'{e}veloppe\'{e}e par J. Oesterl\'{e} et
moi-m\^{e}me, qui permet d'obtenir plus rapidement (au moins dans
le cas $N$ premier) une base de $S_2(N,1)$.

Dans le second paragraphe, nous indiquons comment cette
m\'{e}thode a permis de montrer que certaines courbes elliptiques
d\'{e}finies sur $\Q$ sont des courbes de Weil (ce qui, en
l'occurrence, par l'obtention d'une courbe de Weil ad\'{e}quate,
donne tous les corps quadratiques imaginaires de nombres de
classes 3, \`{a} l'aide d'un r\'{e}sultat de Goldfeld et des
travaux r\'{e}cents de Gross et Zagier).

Le troisi\`{e}me paragraphe est consacr\'{e} \`{a} la
v\'{e}rification d'une conjecture de Serre dans certains cas
particuliers, v\'{e}rification qui a \'{e}t\'{e} possible
gr\^{a}ce \`{a} la m\'{e}thode expos\'{e}e dans le premier
paragraphe. On sait que cette conjecture, si elle est vraie, a de
nombreuses cons\'{e}quences (la conjecture de
Shimura-Taniyama-Weil, ainsi que le th\'{e}or\`{e}me de Fermat, en
d\'{e}couleraient en particulier).

\section{La m\'{e}thode des graphes}

\subsection{D\'{e}finitions et notations}

Dans ce qui suit, $p$ d\'{e}signe un nombre premier, $N_1$ un
entier positif premier \`{a} $p$.  On pose $N=pN_1$.

Soit \[M_N=\oplus_S\Z[S]\] o\`{u} $S$ d\'{e}crit l'ensemble des
points supersinguliers de $X_0(N_1)$ en caract\'{e}ristique $p$,
c'est-\`{a}-dire l'ensemble des couples $(E,C)$ form\'{e}s d'une
courbe elliptique d\'{e}finie sur $\overline{\F}_p$ munie d'un
groupe cyclique $C$ d'ordre $N_1$. Deux tels couples sont
identifi\'{e}s s'ils sont, dans un sens \'{e}vident,
$\overline{\F}_p$-isomorphes.

Posons \[\a_S=\frac{|\Aut(S)|}{2},\] o\`{u} $\Aut(S)$ d\'{e}signe
le groupe des $\overline{\F}_p$-automorphismes de $S$. On a
toujours $\a_S\leq 12$, et m\^{e}me, si $p$ ne divise pas 6,
$\a_S\leq 3$.

On peut alors d\'{e}finir un produit scalaire sur $M_N$ par
$\s{S,S}=\a_S$ et $\s{S,S'}=0$ si $S\neq S'$.  Soit
$\Eis=\sum\a_S^{-1}[S]$, et soit
\[
  M_N^0=\left\{\sum x_S[S] : \sum x_S=0\right\}
\]
l'orthogonal de $\Eis$.

Pour tout entier $n\geq 1$ premier \`{a} $p$, on d\'{e}finit un
op\'{e}rateur $T_n$ sur $M$ par:
\[T_n(E,C)=\sum_{C_n}(E/C_n,(C+C_n)/C_n),\] o\`{u} $C_n$ parcourt les sous-groupe
d'ordre $n$ de $E$ dels que $C\cap C_n=\{0$\}.

Pour tout entier $q$ divisant $N_1$ et premier \`{a} $q'=N_1/q$,
on d\'{e}finit de m\^{e}me des involutions $W_q$ par:
\[W_q(E,C)=(E/q'C,(E_q+C)/q'C),\] o\`{u} $E_q$ est le groupe des points
d'ordre $q$ de $E$.

Enfin, on d\'{e}finit une involution $W_p$ par $W_p=-\Frob_p$,
o\`{u} $\Frob_p$ est l'endomorphisme de $M_N$ qui transforme
$(E,C)$ en $(E^p,C^p)$. (Le fait qu'il s'agit d'une involution
refl\`{e}te le fait que les points supersinguliers sont
d\'{e}finis sur $\F_{p^2}$.)

Ces divers op\'{e}rateurs poss\'{e}dent les propri\'{e}t\'{e}s
suivantes: l'ensemble des $W_q$ et des $T_n$, $n$ premier \`{a}
$N$, engendre un semi-groupe commutatif d'op\'{e}rateurs
hermitiens par rapport au produit scalaire  $\s{\cdot, \cdot}$.
Les $T_n$ commutent entre eux pour tout $n$ premier \`{a} $p$.  Si
$q=q_1q_2$, $q_1$ et $q_2$ premiers entre eux, et si $n=n_1n_2$,
$n_1$ et $n_2$ premiers entre eux et premiers \`{a} $p$, on a
$W_q=W_{q_1}W_{q_2}$ et $T_n=T_{n_1}T_{n_2}$.

Par ailleurs, pour tout $d$ divisant $N_1$, on a un morphisme
$\phi_d$ de $M_N$ vers $M_{N/d}$ qui transforme $(E,C)$ en
$(E,dC)$. Ce morphisme commute aux $T_n$, $n$ premier \`{a} $N$,
et aux $W_q$, pour $q$ divisant $N/d$.  Pour $d$ divisant $N_1$ et
premier \`{a} $N_1/d$, on a la formule
\[T_d\phi_d=\phi_d(T_d+W_d)\]

\subsection{Un isomorphisme avec $S_2(N)$}

On consid\`{e}re ici l'espace $S_2(N)$ des formes paraboliques de
poids $2$ sur le groupe $\Gamma_0(N)$, muni de sa structure
naturelle de $\T$-module, o\`{u} $\T$ est l'alg\`{e}bre de Hecke
\cite{1}.

%% NEWFORMS

\begin{thmfr} Il existe un isomorphisme, compatible avec l'action des op\'{e}rateurs
de Hecke, entre l'espace vectoriel $M_N^0\otimes \CC$ et le
sous-espace de $S_2(N)$ engendr\'{e} par les newforms de niveau
$N$ et les oldforms provenant des formes paraboliques de poids 2
et de niveau $pd$, $d$ divisant $N_1$.
\end{thmfr}

\begin{remark} Supposons $N$ (ou $N_1$, cela revient au m\^{e}me)
sans facteur carr\'{e}.  On peut alors d\'{e}terminer facilement
le sous-espace de $M_N^0$ correspondant aux newforms de $S_2(N)$:
il s'agit du sous-espace form\'{e} des $x$ tels que, pour tout $d$
divisant $N_1$, on ait
\[
  \phi_d(x)=\phi_d(W_d(x))=0.
\]
En particulier, si $N =pq$, $q$ premier, c'est le sous-espace de
$M_{pq}$ intersection du noyau de $\phi_q$ et de $\phi_qW_q$.
\end{remark}

\subsection{Rapport avec les alg\`{e}bres de quaternions}

Les matrices des op\'{e}rateurs $T_n$ agissant sur $M_N$ ne sont
rien d'autre que les matrices de Brandt classiques [15],
construites d'ordinaire \`{a} partir d'alg\`{e}bres de
quaternions.

En effet, soit $B_{p,\infty}$ l'alg\`{e}bre de quaternions sur
$\Q$ ramifi\'{e}e en $p$ et l'infini, soit $\O$ un ordre d'Eichler
de niveau $N_1$ (d\'{e}fini par Eichler \cite{6} dans le cas
o\`{u} $N_1$ est sans facteur carr\'{e}, et d\'{e}fini dans le cas
g\'{e}neral par Pizer \cite{14}), et soient $\vvn{I}{h}$ des
repr\'{e}sentants des classes d'id\'{e}aux \`{a} gauche de $\O$.

Soient $\O_i$ les ordres \`{a} droite (i.e., normalisateurs \`{a}
droite) des id\'{e}aux $I_i$, et $e_i$ le nombre des unit\'{e}s de
$\O_i$. La matrice de Brandt $B(n)=(b_{i,j}^{(n)})$ a lors comme
terme g\'{e}n\'{e}ral
\[
b_{i,j}^{(n)} =
 e_j^{-1}\cdot |\{\a : \a\in
  I_j^{-1}I_i,\,\Nor(\a)\Nor(I_j)/\Nor(I_i)=n\}|,
\]
o\`{u} $\Nor$ est la norme sur $B_{p,\infty}$ (la norme d'un
id\'{e}al \'{e}tant le pgcd des normes de ses \'{e}l\'{e}ments non
nuls).

Dans le langage des courbes supersinguli\`{e}res en
caract\'{e}ristique $p$, on peut donner de ces matrices, o\`{u}
plus exactement de leurs transpos\'{e}es l'interpr\'{e}tation
suivante:

Soit $S$ un point supersingulier comme en I.1, c'est-\`{a}-dire
une courbe elliptique supersinguli\`{e}re $E$ d\'{e}finie sur
$\overline{\F}_p$ munie d'un groupe $C$ cyclique d'ordre $N_1$.
L'anneau des endomorphismes $\O_1$ de $S$ est un ordre d'Eichler
de niveau $N_1$.  A tout autre point supersingulier $S'=(E',C')$,
associons l'ensemble $I_{S,S'}$ des homomorphismes de $S$ vers
$S'$, i.e. l'ensemble des homomorphismes $\a$ de $E$ sur $E'$ qui
envoient $C$ sur $C'$.  C'est de mani\`{e}re \'{e}vidente un
id\'{e}al \`{a} droite sur $\O_1$, et l'id\'{e}al inverse n'est
autre que $I_{S',S}$. On peut alors montrer que tout id\'{e}al
\`{a} droite de $\O_1$ est obtenu de cette mani\`{e}re, et que
tout ordre d'Eichler de niveau $N_1$ est anneau d'endomorphismes
d'un point supersingulier $S$.  Il est alors clair que le term
g\'{e}n\'{e}ral $b_{i,j}^{(n)}$ de la $n^{ieme}$ matrice de Brandt
est le nombre d'isog\'{e}nies de $S_i$ vers $S_j$ (les points
supersinguliers \'{e}tant convenablement index\'{e}s), deux telles
isog\'{e}nies \'{e}tant identifi\'{e}es si elles diff\`{e}rent par
un automorphisme de $S_j$.  On retrouve donc la matrice de
l'op\'{e}rateur $T_n$ agissant sur le module $M_N$.

D'autre part, si \`{a} tout couple de points supersinguliers
$(S,S')$ on associe la fonction
\[\t_{S,S'}(q)=\sum_\a q^{\deg\a}\]o\`{u} $\a$ parcourt les morphsimes de
$S$ vers $S'$, on retrouve les fonctions $\t$ classiquement
associ\'{e}es aux id\'{e}aux d'ordres de quaternions, ou, si l'on
pr\'{e}f\`{e}re, aux formes quadratiques enti\`{e}res d\'{e}finies
positives \`{a} 4 variables.

Il est alors facile de montrer que, si $\sum{x_S}[S]$ est un
\'{e}l\'{e}ment de $M_N\otimes \CC$ vecteur propre de tous les
op\'{e}rateurs de Hecke, et si $f(q)$ est la forme modulaire
correspondante, on a, pour tout $S'$:
\[x_{S'}f(q)=\sum_Sx_S\t_{S,S'}\]
ce qui permet en th\'{e}orie de trouver \`{a} partir des $x_S$ les
coefficients $a_n$ de $f$.  En pratique, malheureusement, le
calcul d'un $a_n$ demande la connaissance de toutes les
isog\'{e}nies de degr\'{e} $n$ arrivant vers $S'$, et il ne semble
pas y avoir d'algorithme simple pour cela.

N\'{e}anmoins, dans certains cas, il existe une autre m\'{e}thode
pour calculer les coefficients de $f$ qui ce pr\^{e}te plus
facilement au calcul:

supposons donc ici $N$ premier (donc \'{e}gal \`{a} $p$) ou $N$ de
la forme $pq$, o\`{u} $q$ est premier et $X_0(q)$ de genre $0$
(donc $q=2,3,5,7$ ou $13$).

Dans l'appendice, nous donnons dans chacun de ces cas une
\'{e}quation de $X_0(q)$ de la forme $xy=p^k$, ainsi que l'action
de op\'{e}rateurs de Hecke $T_2$ et $T_3$ sur $X_0(q)$, qui est
donn\'{e}e par une \'{e}quation \'{e}tonnament simple compar\'{e}e
\`{a} celle des polyn\^{o}mes modulaires $\Phi_2(j,j')$ et
$\Phi_3(j,j')$ (qui donnent l'action de $T_2$ et $T_3$ sur
$X_0(1)$, param\'{e}tr\'{e} par l'invariant modulaire $j$, cf. le
paragraphe 2.4).

Posons $u=x$ si $N=pq$ et $u=j$ si $N=p$. Le d\'{e}veloppement de
Fourier de $u$ au voisinage de l'infini est alors $1/q+\cdots$.
Soit $f(q)=\sum a_nq^n$ une newform normalis\'{e}e de niveau $N$
et poids $2$ correspondant \`{a} un vecteur $\sum x_S[S]$ de
$M_N^0\otimes K$, o\`{u} $K$ est l'extension de $\Q$ engendr\'{e}e
par les $a_n$.  Il existe alors un id\'{e}al premier $\wp$ de $K$
au-dessus de $p$ tel qu'on a:

\bean\left(\sum x_S u(S)\right)f(q)\frac{dq}{q}\equiv \sum
x_S\frac{du}{u-u(S)} \pmod{\wp} .\eean

(Il s'agit d'une congruence entre s\'{e}ries de Laurent en $q$).

Supposons par exemple que $f$ corresponde \`{a} une courbe de Weil
de conducteur $N$, donc que les $a_n$ soient dans $\Z$. Les $x_S$
sont alors dans $\Z$, et on peut montrer que $\sum x_Su(S)\neq 0$.
On connait donc les $a_n$ mod $p$ pour tout $n$.  Mais
l'in\'{e}galit\'{e} de Hasse $|a_l|<2\sqrt{l}$ pour $l$ premier
montre qu'en fait on les connait exactement pour $n<p^2/16$.

%% NETWORK

\subsection{Construction explicite du r\'{e}seau $M_N$}

Dans ce paragraphe, nous supposons pour simplifier que $N$ est
impair.  Supposons connu un mod\`{e}le explicite de la courbe
$X_0(N_1)$, ainsi que l'action de l'op\'{e}rateur de Hecke $T_2$
sur ce mod\`{e}le (cf. Appendice).

%%INERT

Il nous fait d'abord trouver un point supersingulier.  Notons
qu'ils sont tous d\'{e}finis sur $\F_{p^2}$.  Par exemple,
supposons pour simplifier $N=p$.  On cherche d'abord si $p$ est
inerte dans l'un des $9$ corps quadratiques imaginaires de nombre
de classes $1$.  Si oui, on peut prendre pour valeur de $j$
initiale l'invariant modulaire de la courbe \`{a} multiplications
complexes par l'anneau des entiers du corps correspondant.  Si
non, on peut conna\^{i}tre une liste des polyn\^{o}mes minimaux
des invariants modulaires de courbes elliptiques \`{a}
multiplications complexes par des corps quadratiques imaginaires
de petit nombre de classes, et appliquer la m\^{e}me m\'{e}thode.
Il faut ici r\'{e}soudre dans $\F_{p^2}$ une \'{e}quation
polynomiale, ce qui se fait en $\log p$ op\'{e}rations -- tout au
moins probabilistiquement. Supposons enfin que toutes ces
tentatives aient \'{e}chou\'{e}es; il reste la possibilit\'{e}
d'\'{e}num\'{e}rer toutes les valeurs de $\F_p$ jusqu'\`{a} en
trouver une supersinguli\`{e}re.  On sait qu'il en existe toujours
dans $\F_p$, mais malheureusement en assez petit nombre -- de
l'ordre de grandeur du nombre de classes de $\Q(\sqrt{-p})$, soit
environ $\sqrt{p}$.

Supposons donc connu un point supersingulier $S_1$.  La
connaissance de l'action de $T_2$ sur le mod\`{e}le donn\'{e} de
$X_0(N_1)$ nous permet d'obtenir les trois points supersinguliers
$S_2,S_3$ et $S_4$ (non forc\'{e}ment distincts) li\'{e}s \`{a}
$S_1$ par une 2-isog\'{e}nie.  Il s'agit de r\'{e}soudre un
polyn\^{o}me de degr\'{e} 3 sur $\F_{p^2}$, ce qui requiert
l'extraction de racines cubiques et de racines carr\'{e}es,
op\'{e}rations ne n\'{e}cessitant que $O(\log p)$ op\'{e}rations.
Parfois, on peut d'ailleurs \'{e}viter cette r\'{e}solution:
supposons ici encore $N=p$, et que l'on ait, par exemple, $p\equiv
2 (\m 3)$.  Alors $p$ est inert dans $\Q(\sqrt{-3})$, donc $j=0$
est une valeur supersinguli\`{e}re, et on sait que les trois
isog\'{e}nies de degr\'{e} 2 envoient la courbe d'invariant nul
sur la courbe \`{a} multiplications complexes par $\Z[\sqrt{-3}]$,
dont l'invariant est $j=54000$.

De toutes mani\`{e}res, on a au plus une seule fois \`{a}
r\'{e}soudre une \'{e}quation du troisi\`{e}me degr\'{e}: en
effet, une fois connu $S_2$, on cherche \`{a} partir de $S_i$,
$i\geq 2$, les trois points supersinguliers qui lui sont
reli\'{e}s, mais  \emph{on en conna\^{\^{i}}t d\'{e}j\`{a} un}, et
donc il ne reste \`{a} r\'{e}soudre qu'une \'{e}quation du second
degr\'{e}, donc \`{a} extraire une racien carr\'{e}e sur
$\F_{p^2}$, ce qui est rapide (les m\'{e}thodes probabilistes
demandant $O(\log p)$ op\'{e}rations, par un algorithme tr\`{e}s
simple \`{a} mettre en oeuvre).

Pour montrer que l'on obtient ainsi, de proche en proche, tous les
points supersinguliers de $M_N$, il suffit de montrer que le
graphe de $T_2$ (et plus g\'{e}n\'{e}ralement de $T_n$) est
connexe.  Mais, comme me l'a fait remarquer J.-P. Serre, la valeur
propre $a_2=3$ de $T_2$ sur $M_N$ de multiplicit\'{e} \'{e}gale au
nombre de composantes connexes du graphe de $T_2$.  Or, dans
$M_N$, l'espace $M_N^0$ correspondant aux formes paraboliques est
de codimension 1, donc 3 est valeur propre simple de $T_2$ dans
$M_N$, (car, pour une forme parabolique, on a $|a_2|<2\sqrt{2}$)
et le graphe de $T_2$ est donc connexe.

En conclusion, en un algorithme en $O(N\log N)$ op\'{e}rations, on
a donc trouv\'{e} tous les points supersinguliers et la matrice de
Brandt $B_2$ associ\'{e}e.  L'un des int\'{e}r\^{e}ts de cette
matrice est d'\^{e}tre tr\`{e}s creuse: dans chque ligne (et
chaque colonne) il y a au plus trois termes non nuls, qui sont des
entiers dont la somme est 3.  Cela permet, \'{e}tant donn\'{e} une
valeur propre, de trouver assez rapidement, si $N$ n'est pas trop
grand, les vecteurs propres correspondants.

\subsection{Exemples}

\be

\item Prenons par exemple $N=p=37$. Comme $37$ est inerte dans le
corps quadratique imaginaire $\Q(\sqrt{-2})$, on peut prendre
comme premier sommet de notre graphe la courbe $E_1$ \`{a}
multiplications complexes par $\Z[\sqrt{-2}]$, dont l'invariant
modulaire est $j_1=8000\equiv 8 \m 37$; il nous faut \`{a}
pr\'{e}sent trouver les invariants des courbes 2-isog\`{e}nes
\`{a} celle-ci, c'est-\`{a}-dire r\'{e}soudre l'\'{e}quation
$\Phi_2(x,8000)\equiv 0 (\m 37)$.  Or $\sqrt{-2}$ est un
endomorphisme de degr\'{e} 2 de $E_1$, donc $j_1$ est racine (sur
$\Q$) du polyn\^{o}me $\Phi_2(x,8000)$. En divisant ce
polyn\^{o}me par $x-8000$, on trouve donc un polyn\^{o}me du
second degr\'{e} dont les racines sont $j_2$ et $j_3$, les
invariants des deux autres courbes $E_2$ et $E_3$ reli\'{e}es
\`{a} $E_1$ par une isog\'{e}nie de degr\'{e} 2.  Soit
$\w\in\F_{p^2}$ tel que $\w^2=-2$.  On trouve alors $j_2=3+14\w$
et $j_3=3-14\w$.

Une autre m\'{e}thode pour trouver $j_2$ et $j_3$ consiste \`{a}
remarquer que 37 est \'{e}galement inerte dans le corps
$K=\Q(\sqrt{-15})$, dont le nombre de classes est 2.  Le
polyn\^{o}me du second degr\'{e} donnant les valeurs des
invariants modulaires des 2 courbes \`{a} multiplications
complexes par l'anneau des entiers de $K$ est
$x^2+191025x-121287375$, dont les racines engendrent
$\Q(\sqrt{5})$, donc modulo $37$ sont conjugu\'{e}es dans
$\F_{37^2}$.  On retrouve ainsi $j_2$ et $j_3$.

Pour $N$ premier congru \`{a} 1 mod 12, le nombre de courbes
supersinguli\`{e}res mod $N$ est \'{e}gal \`{a} $(N-1)/12$.  Pour
$N=37$, on a donc trouv\'{e} les 3 courbes supersinguli\`{e}res
voulues.  Il reste \`{a} trouver l'action de $T_2$ sur $E_2$ (on
en d\'{e}duira par conjugaison l'action sur $E_3$).  Il n'est pas
possible qu'il y ait 2 isog\'{e}nies de $E_2$ sur $E_1$, car alors
il y aurait 5 isog\'{e}nies de degr\'{e} 2 partant de $E_1$.  Il
n'est pas non plus possible qu'il y ait une 2-isog\'{e}nie de
$E_2$ sur $E_2$.

En effet, s'il existe une 2-isog\'{e}nie d'une courbe elliptique
d'invariant $j$ sur elle-m\^{e}me, cet invariant est racine de
l'\'{e}quation $\Phi_2(x,x)=0$, \'{e}quation de degr\'{e} 4 qui
s'\'{e}crit \[(x-1728)(x-8000)(x+3375)^2\].

(Pour le voir, on peut faire le calcul \`{a} partir l'\'{e}quation
de $\Phi_2(j,j')$ ci-dessus.  On peut aussi chercher quelles sont
les courbes \`{a} multiplications complexes qui admettent un
endomorphisme de degr\`{e} 2, c'est-\`{a}-dire quels sont les
corps quadratiques imaginaires qui contiennent un \'{e}l\'{e}ment
de norme 2.  On trouve, \`{a} multiplication par une unit\'{e} du
corps pr\`{e}s, les \'{e}l\'{e}ments $1+i,\sqrt{-2},
\frac{1+\sqrt{-7}}{2}$ and $\frac{1-\sqrt{-7}}{2}$, qui sont les
endomorphismes de degr\'{e} 2 des courbes d'invariant
$j=1728,j=8000$, et pour les deux derniers, $j=-3375$.)

Par suite, modulo $p$, le graphe de $T_2$ ne peut contenir de
boucle d'une courbe supersinguli\`{e}re sur elle-m\^{e}me que si
cette courbe est d\'{e}finie sur $\F_p$ (et, plus
pr\'{e}cis\'{e}ment, est l'une des 3 courbes d\'{e}crites
ci-dessus).  Par cons\'{e}quent, il y a 2 isog\'{e}nies reliant
$E_2$ \`{a} $E_3$, et le graphe de $T_2$ agissant sur $M_{37}$ est
compl\`{e}tement d\'{e}termin\'{e}.

Pour calculer les vecteurs propres correspondants, on peut
\'{e}videmment diagonaliser la matrice $(3,3)$ de $T_2$, mais il y
a encore plus simple:

l'involution $W_{37}=-\Frob_{37}$ d\'{e}coupe $M_{37}$ de
mani\`{e}re \'{e}vidente en deux sous-espaces propres orthogonaux,
l'un, engendr\'{e} par $u_1=[E_2]-[E_3]$, associ\'{e} \`{a} la
valeur propre 1, l'autre, associ\'{e} \`{a} la valeur propre -1,
engendr\'{e} par $\Eis=[E_1]+[E_2]+[E_3]$ et par le produit
vectoriel de $u_1$ et $\Eis$, soit $u_2=2[E_1]-[E_2]-[E_3]$.  On
en d\'{e}duit donc, sans recours \`{a} coefficients dans $\Q$, et
donc le fait que $J_0(37)$, la jacobienne de $X_0(37)$, est
isog\`{e}ne au produit de 2 courbes elliptiques (ce qui est bien
connu, voir par exemple \cite{9}).  La formule (1) ci-dessue
permet alors d'obtenir les 83 premiers termes de leur fonction
$L$.

\item $p-37,N=2\cdot 37$.

Pour \'{e}tudier $X_0(74)$, on utilise le morphisme $\phi_2$ de
$M_{74}$ vers $M_{37}$ d\'{e}fini plus haut.  Les fibres de chacun
des trois points supersinguliers $[E_1],[E_2]$ et $[E_3]$ de
$X_0(1) \m 37$ sont form\'{e}es de trois points supersinguliers
distincts de $X_0(2) \m 2$.  D'une mani\`{e}re g\'{e}n\'{e}rale,
notons que si $\vvn{S}{k}$ sont les points supersinguliers de
$X_0(qM) \m p$ au-dessus d'un point supersingulier $S$ de $X_0(M)
\m p$ ($p$ et $q$ premiers et premiers \`{a} l'entier $M$), on a
la formule \[\frac{q+1}{\Aut S}=\sum_1^k\frac{1}{\Aut S_i}.\]

L'\'{e}quation de $X_0(2)$ utilis\'{e}e ici est celle d\'{e}crite
dans l'appendice:
$$uv=2^{12},$$
l'involution $W_2$ \'{e}changeant $u$ et $v$.  Rappelons d'autre
part que $W_{37}=-\Frob_{37}$, et que $j=(u+16)^3/u$ (o\`{u} $j$
est l'invariant de la courbe $E$, image du point $(E,C)$ de
$X_0(2)$ par le morphisme ``oubli'' de $X_0(2)$ sur $X_0(1))$. De
l'\'{e}quation $j=j_1=8$, on tire les valeurs des trois points
supersinguliers au-dessus de $E_1$, de coordonn\'{e}es
$u_1=(-1+\w)/2,u_2=(-1-\w)/2=W_2(u_1)$ et $u_3=27=W_2(u_2)$. (Ici
encore, il \'{e}tait possible de deviner la valeur de $u_3$, car
il est clair d'apr\`{e}s l'action de $T(2)$ sur $X_0(1) \m 37$
faite pr\'{e}c\'{e}demment que l'un des points au-dessus de $E_1$
doit \^{e}tre invariant par $W_2$; or les 2 solutions de
$u^2=2^{12}$ sont $u=u_1$ et $u=-u_1$. En les rempla\c{c}ant dans
l'\'{e}quation donnat $j$, on voit qu'il s'agit de $u_1$. Pour
trouver $u_2$ et $u_3$, il suffit de r\'{e}soudre une \'{e}quation
du  second degr\'{e}.)

On calcule ensuite $u_4=W_2(u_1)=2^{12}/u_1=-5-5\w$, et on trouve
que l'invariant $j(u_4)$ correspondant est  $j_2=3+14\w$. On
r\'{e}soud l'\'{e}quation du second degr\'{e} donnant les 2 autres
points au-dessus de $j_2$, d'\`{o}u $u_5=15+17\w$ et
$u_6=16-12\w$.  Notons alors $u_7=W_2(u_2)=\bar{u}_4,
u_8=W_2(u_5)=\bar{u}_5$ et $u_9=W_2(u_6)=\bar{u}_6$ les abscisses
des trois points supersinguliers au-dessus de $E_3$ ($x\to
\bar{x}$ \'{e}tant l'automorphisme non trivial de $\F_{p^2}$.)
Nous avons ainsi la liste de tous les points supersinguliers de
$X_0(2) \m 37$.

Comme il a \'{e}t\'{e} dit plus haut, l'espace $M_{74}^{new}$
correspondant aux newforms est l'intersection du noyau de $\phi_2$
et de $\phi_2W_2$.  Si on note $[u_i]$, $i=1,\ldots, 9$ les
g\'{e}n\'{e}rateurs de $M_{74}$ correspondant aux points
supersinguliers d'abscisse $u_i$, un examen facile de l'action de
$W_{37}$ et $W_2$ montre que $M_{74}^{new}$ est somme directe de
deux sous-espaces de dimension 2, l'un $G_1$, engendr\'{e} par
$e_1=[u_1]-[u_2]-[u_4]+[u_7]-[u_9]$ et
$e_2=[u_5]-[u_6]-[u_8]+[u_9]$, sur lequel $W_{37}=-W_2=1$,
l'autre, $G_2$, engendr\'{e} par
$e_3=[u_1]+[u_2]-2[u_3]+[u_4]-[u_6]+[u_7]-[u_9]$, sur lequel
$W_2=-W_{37}=1$.

En utilisant l'\'{e}quation de $T_3$ agissant sur $X_0(2)$ (cf.
l'appendice) on montre alors que la matrice de $T_3$ agissant sur
$G_1$ (resp. $G_2$) dans la base $(e_1,e_2)$ (resp. $(e_3,e_4)$)) est
$\left(%
\begin{array}{cc}
  -1 & 1 \\
  1 & 0 \\
\end{array}%
\right)$, de polyn\^{o}me caract\'{e}ristique $x^2+x-1$ (resp. $\left(%
\begin{array}{cc}
  3 & 1 \\
  1 & 0 \\
\end{array}%
\right)$, de polyn\^{o}me caract\'{e}ristique  $x^2-3x-1$).

On en d\'{e}duit que $J_0^{new}(74)$ est isog\`{e}ne \`{a} un
produit de 2 vari\'{e}t\'{e}s ab\'{e}liennes simples, $A_1$ (resp.
$A_2$), \`{a} multiplications r\'{e}elles par l'anneau des entiers
de $\Q(\sqrt{5}),$ (resp. $\Q(\sqrt{13})$.)

Si $\l=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $\mu=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$, les
vecteurs $v_1=e_1+(\l+1)e_2,v_2=e_1-\l e_2,v_3=\mu e_3+e_4$ et
$v_4=(3-\mu)e_3+e_4$ correspondent aux 4 newforms
$f_1,f_2,f_3,f_4$ de poids 2 et de niveau 74.  En utilisant la
congruence (1), on peut alors, comme ci-dessus, obtenir la valeur
des 83 premiers coefficients de ces newforms.  Par exemple, pour
$f_1$, la liste des premi\`{e}res valeurs de $a_l$ est
\[\begin{array}{ccccccc}
  l & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 \\
  a_l & 1 & \frac{-1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-3\sqrt{5}}{2} & -1+\sqrt{5} & \frac{-5-\sqrt{5}}{2} & \frac{1+3\sqrt{5}}{2}\\
\end{array}\]

alors que pour $f_3$ on trouve
\[\begin{array}{ccccccc}
  l & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 \\
  a_l & -1 & \frac{3+\sqrt{13}}{2} & -1-\sqrt{13} & \frac{1-\sqrt{13}}{2} & \frac{-1-\sqrt{13}}{2} & \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\
\end{array}\]

\ee

\section{Application \`{a} la recherche de courbes de Weil}

Soit $f=\sum a_nq^n$ une newform de poids 2 et de niveau $N$, dont
les coefficients $a_n$ sont dans $\Z$.  Elle correspond donc \`{a}
une courbe de Weil forte $\E$ de conducteur $N$.  Malheureusement,
les coefficients $a_n$ ne donnent que peu de renseignements sur
$\E$, et ne permettent pas d'obtenir simplement une \'{e}quation
de $\E$. (Dans \cite{10}, on d\'{e}crit une m\'{e}thode due \`{a}
Serre qui permet parfois d'en trouver une, mais cela n'a rien de
syst\'{e}matique.) Nous donnons ci-apr\`{e}s une m\'{e}thode qui,
au moins dans le cas o\`{u} $N=p$ est premier, r\'{e}soud ce
probl\`{e}me.

On suppose donc d\'{e}sormais $N$ premier.  D'apr\`{e}s les
paragraphes pr\'{e}c\'{e}dents, \`{a} la newform $f$ est
associ\'{e} un vecteur $v_f=\sum x_S[S]$, $x_S\in\Z$, vecteur
propre des op\'{e}rateurs de Hecke d\'{e}finis dans le paragraph
2.1.  Le th\'{e}or\`{e}me 1 ne d\'{e}crit pas l'isomorphisme
(d'ailleurs non canonique) entre $S_2(N)$ et $M_N^0\otimes\CC$.
Mais supposons connus les premiers termes $a_n$ de $f$ ($a_2$
suffit en g\'{e}n\'{e}ral).  La construction du paragraphe 2.4
hous donne simultan\'{e}ment les valeurs supersinguli\`{e}res mod
$N$ et le graphe de $T_2$ agissant sur $M_N$.  Nous pouvons donc
d\'{e}terminer l'espace propre $V_2$ associ\'{e} \`{a} la valeur
propre $a_2$.  S'il est de dimension 1, nous avons $v_f$, ou tout
au moins l'espace qu'il engendre.  Sinon, on applique $T_3$ sur
$V_2$ (qui est exp\'{e}rimentalement de petite dimension -- pour
les conducteurs $< 80000$, $\dim V_2$ ne d\`{e}passe pas 6),
jusqu'\`{a} trouver un espace de dimension 1, correspondant aux
m\^{e}mes valeurs propres des op\'{e}rateurs $T_l$ que $f$.
Choisissons dans cet espace un vecteur $r_f=\sum x_E[E]$, les
\'{e}tant dans $\Z$ et premiers entre eux; $w-f$ est donc
d\'{e}termin\'{e} au signe pr\`{e}s.

Pour aller plus loin, il nous faut \`{a} pr\'{e}sent une
interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de ces $x_E$

Soient donc $\d=\pm N^\delta$ le discriminant d'un mod\`{e}le
minimal de Weierstrass de $\E$, $\phi:X_0(N)\to\E$ un
rev\^{e}tement minimal de $\E$, et $n=\deg \phi$.

D'apr\`{e}s Deligne-Rapoport \cite{5}, il existe un mod\`{e}le
$X_0(N)_{/\Z}$ de $X_0(N)$ d\'{e}fini sur $\Z$ dont la
r\'{e}duction modulo $N$ est la r\'{e}union de deux droites
projectives, l'une, $C_\infty$, classifiant les courbes
elliptiques en caract\'{e}ristique $N$ munies du sch\'{e}ma en
groupes noyau du Frobenius (donc correspondant \`{a} des
isog\'{e}nies ins\'{e}parables), l'autre, $C_0$, classifiant les
courbes munies du ``Verschiebung''.  Ces deux droites se coupent
aux points supersinguliers.  Quant \`{a} la courbe $\E$, la
r\'{e}duction modulo $N$ de son mod\`{e}le de N\'{e}ron a une
composante neutre $\E^0_{/\F_N}$ isomorphe sur $\F_{N^2}$ au
groupe multiplicatif $G_m$.  On peut montrer que le rev\^{e}tement
$\phi$ se prolonge \`{a} $X_0(N)_{/\Z}-\S$, o\`{u} $\S$ est
l'ensemble des points supersinguliers en caract\'{e}ristique $N$,
et d\'{e}finit par sp\'{e}cialisation et restriction une
application r\'{e}guli\`{e}re de $C_\infty - S$ sur
$\E^0_{/\overline{\F}_N}$, d'o\`{u} une fonction rationnelle
$\phi$ sur $C_\infty$, dont les p\^{o}les  et les z\'{e}ros
appartiennent \`{a} $\E$.  Le diviseur $\sum \l_E[E]$ o de $\phi$,
$E$ parcourant les courbes supersinguli\`{e}res $\m N$, est donc
un \'{e}l\'{e}ment de $M_N^0$, d\'{e}fini au signe pr\`{e}s
(d\'{e}pendant du choix de l'isomorphisme de $\E^0_{/\F_N}$ sur
$G_m$.)

\begin{proposition} Avec les notations ci-dessus, le diviseur $(\Phi)=\sum
\l_E[E]$ est \'{e}gal \'{a} $\pm r_f$.
\end{proposition}

Il n'est pas tr\`{e}s difficile de voir que $(\Phi)$ est
proportionnel \`{a} $r_f$. Par contre, le fait que les $l_E$ sont
premiers entre eux se d\'{e}duit du beau r\'{e}sultat que Ribet
vient d'obtenir\footnote{K.Ribet, {\it Lectures on Serre's
conjectures}, MSRI, Fall 1986}, \`{a} savoir que, si $l$ est un
nombre premier distinct de 2 et 3, toute forme parabolique mod $l$
de poids 2 et de niveau $Np$, o\`{u} $Np$ est sans facteur
carr\'{e}, dont la repr\'{e}sentation mod $l$ associ\'{e}e est
irr\'{e}ductible et n ramifi\'{e}e en $p$, provient d'une forme
parabolique mod $l$ de poids 2 et de niveau $N$ (ce r\'{e}sultat
avait \'{e}t\'{e} conjectur\'{e} par Serre, dans une lettre qu'il
m'avait adress\'{e}e en ao\^{u}t 1985.  On en d\'{e}duit en
particulier que la conjecture de Taniyama-Weil implique le grand
th\'{e}or\`{e}me de Fermat).

Pour prouver la proposition pr\'{e}c\'{e}dente, on montre d'abord
que $\delta$ est reli\'{e} aux $\l_E$ par la formule $$\delta=\gcd
(\l_E\w_E-\l_F\w_F)$$ o\`{u} $\w_E$ est le nombre d'automorphismes
de $E$. Supposons qu'un nombre premier $l$ divise le pgcd des
$\l_E$.  Il divise alors $\delta$, et on en d\'{e}duit que $p$
n'est pas ramifi\'{e} dans le corps des points d'ordre $l$ de
$\E$. Si $l$ est premier \`{a} 6, le th\'{e}or\`{e}me de Ribet
implique que la forme modulaire $f$ associ\'{e}e \`{a} $\E$ est
congrue mod $l$ \`{a} une forme modulaire de poids 2 et de niveau
1, qui ne peut \^{e}tre que la s\'{e}rie d'Eiseinstein.  La courbe
$\E$ \'{e}tant semi-stable, cela implique d'apr\`{e}s \cite{16},
p.306, que $\E$ ou une courbe qui lui est $\Q$-isog\`{e}ne
poss\`{e}de un point fini d'ordre $l$.  Si $l=2$ ou $3$, on a le
m\^{e}me r\'{e}sultat gr\^{a}ce \`{a} \cite{4}, Appendice.  Or on
conna\^{\^{i}}t explicitement les courbes de conducteur premier
poss\'{e}dant de la torsion \cite{11}, \`{a} savoir les courbes
$11A$ et $11B$ de \cite{19}, qui ont un point d'ordre 5, les
courbes $17A,17B$ et $17C$ (un point d'ordre 4), $17D$ (d'ordre
2), $19A$ et $19B$ (d'ordre 3), $37B$ et $37C$ (d'ordre 3), et les
courbes de Setzer-Neumann \cite{18}, qui est \'{e}gal au nombre de
points d'ordre fini rationnels sur $\Q$ des courbes
consid\'{e}r\'{e}es, et on v\'{e}rifie que les $\l_E$ sont
premiers entre eux.  En dehors de ces cas, les courbes $\E$ n'ont
pas de torsion sur $\Q$, et sont seules dans leur classe
d'isog\'{e}nie sur $\Q$; on a donc $\delta=1$, et les $\l_E$ sont
premiers entre eux.  Ceci d\'{e}montre la proposition.  Notons
qu'en cours de d\'{e}monstration on a montr\'{e} que le
th\'{e}or\`{e}me de Ribet implique \'{e}galement le r\'{e}sultat
suivant:

\begin{thmfr}
Soit $E$ une courbe de Weil forte de conducteur premier $N$.  La
valuation de son discriminant en $N$ est alors \'{e}gale au nombre
de points de torsion de $E(\Q)$.
\end{thmfr}

Nous \'{e}non\c{c}ons \`{a} pr\'{e}sent sans d\'{e}monstration le
th\'{e}or\`{e}me qui permet d'obtenir explicitement une
\'{e}quation de $\E$ une fois connus les $\l_E$.

\begin{thmfr}
SoitLet $\E$ une courbe de Weil forte de conducteur premier $N$,
et  $\sum \l_E[E]$ l'\'{e}l\'{e}ment de $M_N^0$ associ\'{e} \`{a}
$\E$ par la construction ci-dessus.  Il existe une \'{e}quation de
$\E$
\[y^2=x^3-\frac{c_4}{48}x-\frac{c_6}{864}\]
avec $c_4$ et $c_6$ dans $\Z$, tels que, si $H=\sup
(\sqrt{|c_4|},\sqrt[3]{|c_6|})$, on $a$, avec les notations
ci-dessus L \be

\item $H\leq \frac{8n}{\sqrt{N}-2}(\log (H^6/1728)+b)$, o\`{u}
$b=(\Gamma(1/3)/\Gamma(2/3))^3=7.74316962\ldots$.

\item Soit $\d'=(c_4^3-c_6^2)/1728$. Alors $\d'=\d$ si $\E$ est
supersinguli\`{e}re en 2, et $\d'=\d$ ou $2^{12}\d$ sinon.

\item $c_4\equiv (\sum\l_Ej_E)^4 \m N$.

\item $c_6\equiv -(\sum\l_Ej_E)^6 \m N$.

\item $n\delta=\l_E^2\w_E$.

\ee
\end{thmfr}

Si les $\l_E$ sont connus, 5 permet d'obtenir $n$, et 1 d'obtenir
une borne de $H$ donc de $c_4$ et $c_6$. Par 2, on connait
$c_4^3-c_6^2=1728\d',$ ce qui permet de trouver $c_4$ et $c_6$.
Les congruences 3 et 4 permettent de diminuer notablement le
nombre de calculs.  On a donc ainsi trouv\'{e} une \'{e}quation de
la courbe de Weil forte correspondant \`{a} la newform $f$
initiale.

En fait, cette m\'{e}thode permet aussi de prouver qu'une courbe
elliptique de conducteur $N$ premier assez petit est de Weil.
Supposons en effet donn\'{e}e une telle courbe, par exemple par
son \'{e}quation.  Nous pouvons alors calculer le nombre de ses
points $N_l$ mod $l$ pour $l=2,3,\ldots$. On cherche ensuite, par
la m\'{e}thode des graphes, si $a_2=3-N_2$ est valeur propre de
$T_2$ agissant sur $M_N$. Si non, la conjecture de Taniyama-Weil
est fausse.  Si oui, on continue avec $T_3$ agissant sur l'espace
propre trouv\'{e}, s'il n'est pas de dimension 1, jusqu'\`{a}
trouver un espace propre de dimension 1 pour les op\'{e}rateurs de
Hecke, \`{a} valeurs propres enti\`{e}res.  S'il n'existe pas, on
a un contre-exemple \`{a} la conjecture de Taniyama-Weil.  S'il
existe, on calcule une \'{e}quation de la courbe de Weil
correspondante.  Si cette courbe se r\'{e}v\`{e}le \^{e}tre
isog\`{e}ne \`{a} la courbe initiale, on a fini.  Sinon, la courbe
initiale n'est pas de Weil.

En particulier, cela a permis de montrer que la courbe elliptique
d'\'{e}quation

\[y^2+y=x^3-7x+6\] de conducteur 5077, est une courbe de Weil.

Cette courbe semble \^{e}tre la plus petite courbe (lorsqu'on
ordonne les courbes par conducteurs croissants) ayant un groupe de
Mordell-Weil de rang $\geq 3$ \cite{3}.  Son int\'{e}r\^{e}t est
le suivant:

Soit $f(z)=\sum a_nq^n$ ($q=e^{2\pi iz}$), une newform de poids 2
et de conducteur $N$, et $L(s)=\sum a_nn^{-s}$, la fonction $L$
associ\'{e}e.  Si l'ordre en 1 de $L$ est $\geq 3$, Goldfeld a
montr\'{e} qu'il existe une constante $C_f$ calculable telle que
\[\log p<C_fh(-p),\] o\`{u} $p$ est un nombre premier $\equiv 3 (\m 4)$ et
premier \`{a} $N$ et $h(-p)$ le nombre de classes du corps
quadratique imaginaire de discriminant $-p$. On a des formules
analogues, mais plus compliqu\'{e}es, dans le cas des corps
quadratiques imaginaires de discriminant non premier (voir
\cite{13} par exemple).

Si la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie, toute
courbe de Weil dont le groupe de Mordell-Weil sur $\Q$ est de rang
$\geq 3$ devrait fournir de telles formes modulaires, mais
jusqu'aux travaux de Gross et Zagier \cite{8}, on n'avait aucun
moyen de v\'{e}rifier que la d\'{e}riv\'{e}e en 1 de la fonction
$L$ d'une courbe de Weil est effectivement nulle.  Les
r\'{e}sultats de Gross et Zagier permettent par contre
d'\'{e}crire $L'(1)$ comme un produit d'un facteur non nul
ais\'{e}ment calculable et de la hauteur de N\'{e}ron-Tate d'un
point de Heegner (cf. \cite{8} pour les d\'{e}tails).  Il est
alors possible, en minorant la hauteur des points rationnels de la
courbe et en majorant $L'(1)$ par un calcul approch\'{e}, de
montrer que $L$ est d'ordre $\geq 3$ en $s=1$. (Dans toute ce qui
pr\'{e}c\'{e}de, on a consid\'{e}r\'{e} des courbes de Weil
impaires, c'est-\`{a}-dire dont la fonction $L$ a un ordre impair
en 1 -- ou, si l'on pr\'{e}f\`{e}re, dont le signe de
l'\'{e}quation fonctionnelle est -1.)

On a plusieurs moyens de construire des courbes de Weil doint le
groupe de Mordell-Weil est de rang $\geq 3$ (et qui sont donc de
bons candidats pour la question pr\'{e}c\'{e}dente: par la
m\'{e}thode de Gross-Zagier, on peut calculer $L'(1)$.  Si $L'(1)$
est nul, on a une fonction $L$ qui permet d'obtenir une majoration
de la valeur absolue du discriminant des corps quadratiques
imaginaires de nombre de classes donn\'{e}; s'il est non nul, la
conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est fausse!  Il va sans
dire que jusqu'\`{a} pr\'{e}sent, on s est toujours trouv\'{e}
dans le premier cas...) On peut par exemple chercher des courbes
\`{a} multiplications complexes de rang 3 (on sait a priori
qu'elles sont de Weil), mais la constant $C_f$ est alors tr\`{e}s
grande.  On peut aussi tordre une courbe de Weil (par exemple la
courbe $37C$ de \cite{19} jusqu'\`{a} obtenir une courbe de rang 3
(en l'occurrence, pour la courbe $37C$, on peut tordre par
$\Q(\sqrt{-139})$, comme le montrent Gross et Zagier \cite{8}).
Ceci conduit \`{a} une constante $C_f$ de l'odre de grandeur de
7000.

On peut enfin choisir une courbe elliptique quelconque d\'{e}finie
sur $\Q$, de rang 3, et tenter de montrer que c'est une courbe de
Weil. C'est ce qui a \'{e}t\'{e} fait dans \cite{10} pour la
courbe ci-dessus de conducteur 5077, en employant la formule des
traces.  Mais le calcul a \'{e}t\'{e} tr\`{e}s long (5 ehures sur
l'ordinateur employ\'{e}, un IBM 4341).  Le m\'{e}thode des
graphes a permis de le faire en environ 5 secondes sur le m\^{e}me
ordinateur.

Pour cette courbe, on a $C_f<50$: tout corps quadratique
imaginaire de discriminant $d$, avec $|d|>e^{150}$ a donc un
nombre de classes $\geq 4$. D'autre part, il n'existe pas de corps
quadratique imaginaire de discriminant $d$ et de nombre de classes
3 pour $907<|d|<10^{2500}$ \cite {12}.  Par suite (apr\`{e}s
examen d'une table donnant les nombres de classes des premiers
corps quadratiques):

\begin{thmfr}
Les corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 3 sont les
seize corps de discriminant
$-23,-31,-59.-83,-107,-139,-211,-283,-307,-331,-379,-499,-547,-643,-883,-907$.
\end{thmfr}

\section{Application \`{a} une conjecture de Serre}

Soit $\r$ une repr\'{e}sentation contique de
$\Gal(\overline{\Q}/\Q)$ dans $\GL_2(V)$, o\`{u} $V$ est un espace
vectoriel de dimension 2 sur un corps fini $\F_q$ de
caract\'{e}ristique $p$. On suppose cette repr\'{e}sentation
impaire, c'est-\`{a}-dire que l'image $\r(c)$ de la conjugaison
complexe $c$, vue comme \'{e}l\'{e}ment de
$\Gal(\overline{\Q}/\Q)$, a comme valeurs propres -1 et 1.  Dans
ce qui suit, on pose $G=Im\r$.

Dans \cite{17}, Serre d\'{e}finit le niveau, le caract\`{e}re et
le poids d'une telle repr\'{e}sentation:
\be

\item Le niveau.

Soit $l$ un nombre premier premier \`{a} $p$.  On note $G_i$,
$i=0,\ldots$ les groupes de ramification de $\r$ en $l$. Soit
\[n(l)=\sum_{i=0}^\infty \frac{g_i}{g_0}\codim V^{G_i},\]o\`{u}
$g_i$ est l'ordre de $G_i|$.

Le conducteur de la repr\'{e}sentation $\r$ est alors d\'{e}fini
comme \'{e}tant \[N=\prod_{l\neq p}l^{n(l)}.\]

\item Le caract\`{e}re.

Le d\'{e}terminant de $\r$ fournit un caract\`{e}re de
Gal$(\overline{\Q}/\Q)$ dans $\F_q^*$,dont le conducteur divise
$pN$.  Par suite, on peut \'{e}crire
\[\det\r=\e\chi^{k-1},\]o\`{u} $\chi$ est le caract\`{e}re cyclotomique de conducteur
$p$ et o\`{u} $\e$ est un caract\`{e}re $(\Z/N\Z)^*\to\F_q^*.$
L'entier $k$ est d\'{e}fini mod $(p-1)$,et le fait que la
repr\'{e}sentation est impaire implique que $\e(-1)=(-1)^k$.

Par d\'{e}finition, $\e$ est le caract\`{e}re de la
repr\'{e}sentation $\r$.

\item Le poids.

L'entier $k$ est d\'{e}fini  mod $(p-1)$.  Je renvoie \`{a}
l'article de Serre pour la d\'{e}finition du poids $k\in\Z$ de la
repr\'{e}sentation $\r$.  Alors que le conducteur $N$ ne
d\'{e}pend que du comportement de $\r$ aux places premi\`{e}res
\`{a} $p$, la d\'{e}finition du poids ne fait intervenir que les
propri\'{e}t\'{e}s locales en $p$ de la repr\'{e}sentation $\r$.

\ee

La conjecture de Serre peut alors s'\'{e}noncer ainsi:

\begin{conjecture}
Soit $\r$ une repr\'{e}sentation comme ci-dessus, de poids $k$, de
niveau $N$ et de caract\`{e}re $\e$.  Supposons cette
repr\'{e}sentation irr\'{e}ductible.  Elle provient alors d'une
forme parabolique $\m p$ de poids $k$, niveau $N$ caract\`{e}re
$\e$.
\end{conjecture}

Cette conjecture, si elle \'{e}tait vraie, aurait de nombreuses
cons\'{e}quences: elle implique notamment la conjecture de
Taniyama-Weil, et le grand th\'{e}or\`{e}me de Fermat.

Beaucoup de telles repr\'{e}sentations $\r$ sont modulaires, soit
par constructions, soit parce qu'elles entrent dans le cadre de
conjectures classiques (Langlands, Artin, $\ldots$) qui entrainent
la conjecture (parfois sulement sous une forme faible,
c'est-\`{a}-dire avec un poids ou un conducteur plus grands que
ceux d\'{e}finis dans \cite{17}.)

Pour v\'{e}rifier (ou infirmer) la conjecture de Serre, il faut
trouver des extensions $K/\Q$, de groupe de Galois un sous-groupe
de GL$_2(\F_q)$ \`{a} d\'{e}terminant impair si $p\neq 2$.  Il
n'est en g\'{e}n\'{e}ral pas difficile de calculer, pour $l$
premier et pas trop grand, la trace $a_l$ de $\Frob_l$ dans
GL$_2(\F_q)$: si $P(x)$ est un polyn\^{o}me dont les racines
engendrent $K$, la d\'{e}composition de $P \m l$ suffit souvent.

Il est par contre beaucoup plus ardu de trouver la forme modulaire
$\m p$, si elle existe, qui correspond \`{a} la repr\'{e}sentation
$\r$ donn\'{e}e par le corps $K$: le discriminant de $K$ est
souvent gros, donc aussi le conducteur de $\r$, qui lui est
intimement li\'{e}, et il n'est alors pas possible de mener les
calculs \`{a} bien

\subsection{Le cas $SL_2(\mathbb{F}_4)$}

Un cas troublant est celui o\`{u} $p=2$, car, du fait que
$-1\equiv 1 (\m 2)$, toute repr\'{e}sentation est alors impaire.

Les repr\'{e}sentations de $\Gal(\overline{\Q}/\Q)$ dans
$\GL_2(\F_2)=S_3$ (m\^{e}me totalement r\'{e}elles, cf. \cite{17})
proviennent de formes modulaires de poids 1, le groupe $S_3$
pouvant \^{e}tre r\'{e}alis\'{e} comme un sous-groupe de
$\GL_2(\CC)$. On peut alors esp\'{e}rer que par multiplication par
des s\'{e}ries d'Eiseinstein convenables, on obtienne une forme
modulaire de poids et de niveau pr\'{e}dits par la conjecture de
Serre (cf. \cite{17} pour des exemples).

Pour obtenir des cas plus int\'{e}ressants en caract\'{e}ristique
2, on consid\`{e}re des repr\'{e}sentations \`{a} valeurs dans
$\GL_2(\F_4)$.  L'isomorphisme $A_5\simeq \SL_2(\F_4)$ permet d'en
obtenir plusieurs exemples.  Soit donc une extension $K$ de $\Q$
de Galois $A_5$.  Comme $A_5$ se plonge dans $PGL_2(\CC)$, si le
corps n'est pas totalement r\'{e}el, la repr\'{e}sentation $\r$
associ\'{e}e provient encore d'une forme modulaire de poids 1
(modulo la conjecture d'Artin; cf. \cite{2}).  Supposons par
contre que $K$ soit totalement r\'{e}el; aucune des conjectures
classiques ne nous permet alors de soup\c{c}onner $\r$ de provenir
d'une forme modulaire, m\^{e}me de poids ou de niveau
\'{e}l\'{e}ve.  C'est ce cas que nous \'{e}tudions en d\'{e}tail
dans ce qui suit.  La m\'{e}thode des graphes a ici \'{e}t\'{e}
indispensable, les formes modulaires recherch\'{e}es ayant de trop
gros conducteurs pour \^{e}tre \'{e}tudi\'{e}es \`{a} l'aide de la
formule des traces de Eichler-Selberg.

Soit donc $P(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$ un polyn\^{o}me
\`{a} coefficients dans $\Q$ de degr\'{e} 5, de discriminant $D$.
Pour que le corps des racines de $P$ soit $A_5$, il faut et il
suffit que $P$ soit irr\'{e}ductible, que $D$ soit un carr\'{e},
et qu'il existe un nombre premier $l$ ne divisant pas $D$ tel que
$P \m l$ ait exactement 2 racines dans $\F_l$ (cette derni\`{e}re
condition assurant que le groupe est bien $A_5$ tout entier).

Il est clair que $\e=1$.  Si $p$ divise $D$, $p$ premier \`{a} 30,
 $n(p)=1$ si it seulment si l'inertie en p est d'ordre 2, et donc si le polyn\^{o}me $P$
 a des racines au plus doubles mod $p$. Quant au poids $k$, il est 2 ou 4 suivant
 la ramification de $K$ en 2.  Pour simplifier les calculs, nous avons limit\'{e}
 la recherche d'exemples aux repr\'{e}sentations de niveau premier et de poids 2.

 D'autre part, bien qu'il s'agisse de repr\'{e}sentations dans
 $SL_2(\F_4)$, le coefficient $a_2$ de la forme modulaire cherch\'{e}e, si elle existe, peut
 ne pas \^{e}tre dans $\F_4$, mais dans $\F_{16}$.  Cela provient du fait que le
 coefficient $a_l$ d'une forme modulaire $\m l$ est \'{e}gal \`{a} une valeur propre de
$\Frob_l$, et non \`{a} sa trace.  Or, si une matrice de
$SL_2(\F_4)$ est d'ordre 5, ses valeurs propres sont dans
$\F_{16}$, et non dans $\F_4$.

Les exemples trait\'{e}s ci-dessous ont \'{e}te obtenus en faisant
tout d'abord une recherche syst\'{e}matique sur ordinateur (l'IBM
4341 de l'ENS, rue d'Ulm) de polyn\^{o}mes convenables (totalement
r\'{e}els, de type $A_5$, dont le conducteur de la
repr\'{e}sentation associ\'{e}e est un nombre premier $N$, et dont
le poids est 2.

Ensuite, pour chachun de ces polyn\^{o}mes $P$, on a calcul\'{e}
la valeur propre $a_2$ correspondante (dans $\F_16$), et on a
cherch\'{e} s'il existe une forme modulaire mod 2 de niveau $N$ et
de poids 2 telle que $T_2$ ait $a_2$ comme valeur propre.  Dans
tous les cas consid\'{e}r\'{e}s, on a alors trouv\'{e} un espace
propre de  dimension 1 ou 2.  En employant les op\'{e}rateurs
$T_3$ et $T_5$, on a alors calcul\'{e} les coefficients $a_3$ et
$a_5$, et v\'{e}rifi\'{e} qu'ils ont la valeur pr\'{e}dite par le
type de d\'{e}composition de $P$ en 3 et 5.

\'{E}videmment, cela ne prouve pas vraiment que la
repr\'{e}sentation $\r$ associ\'{e}e \`{a} $P$ est modulaire: nous
avons seulement exhib\'{e} une forme modulaire mod 2 du bon niveau
et du bon poids dont les termes $a_2,a_3$ et $a_5$ conviennent.
 Mais c'est une bonne pr\'{e}somption de la v\'{e}racit\'{e} de la conjecture
 de Serre dans les cas consid\'{e}r\'{e}s: une recherche extensive sur de nombreux
 nombres premiers $N$ des coefficients $a_2$ de formes modulaires de poids 2
 et de niveau $N$ montre en effet qu'il est rare qu'ils soient dans
 des corps de petit degr\'{e}.  (En fait, il semble que 2, et plus g\'{e}n\'{e}ralement
les petits nombres premiers, soient les plus ``inertes'' possibles
dans les corps intervenant dans l'alg\`{e}bre de Hecke des formes
modulaires, corps qui eux-m\^{e}mes paraissent en g\'{e}n\'{e}ral
\^{e}tre du plus gors degr\'{e} possible, compte tenu des
contraintes du type involutions d'Atkin-Lehner, premiers
d'Eiseinstein, etc. Il arrive \'{e}videmment qu'il y ait des
petits facteurs, -- correspondant par exemple aux courbes
elliptiques de conducteur premier -- mais c'est apparemment
rare.)

\subsection{Quelques exemples}

\be

\item $P(x)=x^5-10x^3+2x^2+19x-6$.

Le discriminant de $P$ est $(2^3887)^2$. Ce polyn\^{o}me est
irr\'{e}ductible mod 5, donc irr\'{e}ductible sur $\Q$.  Ses
racines sont toutes r\'{e}elles (on peut par exemple appliquer
l'algorithme de Sturm).  On a

\[P(x)\equiv x(x-1)(x^3+x^2-1) \m 3,\] ce qui fournit un cycle d'ordre 3;
le groupe de Galois de $K$, le corps des racines de $P$, est donc
$A_5$.

%%
%%
%% THESE COMPUTATIONS ARE NOT CORRECT.
%% I AM REDOING THEM
%%
%%

%ORIGINAL: From $P(x)\equiv (x-446)(x-126)^2(x-538)^2 \m 887$ one gets that

Du fait que $P(x)\equiv (x-462)(x-755)^2(x-788)^2 \m
887$\footnote{correction from original: $P(x)\equiv
(x-446)(x-126)^2(x-538)^2 \m 887$} on d\'{e}duit que le conducteur
$N$ de la repr\'{e}sentation associ\'{e}e \`{a} $P$ est $N=887$.
On peut \'{e}galement montrer que 3 est ``peu ramifi\'{e}'' au
sens de \cite{17}, donc le poids de $\r$ est 2.  Un examen facile
de la r\'{e}duction de $P$ mod 2 montre que les coefficients
$a_2,a_3$ et $a_5$ de la forme modulaire mod 2 de niveau 887 qui
doit correspondre via la conjecture de Serre \`{a} $\r$ sont 1, 1
et $j$ (o\`{u} $j\in\F_4$ v\'{e}rifie $j^2+j+1=0$).

On applique alors la m\'{e}thode des graphes: l'espace des formes
modulaires mod 2 de poids 2 et niveau 887 est de dimension 73, et
le calcul montre que l'espace propre $G_1$ de $T_2$ correspondant
\`{a} la valeur propre 1 est de dimension 2; $T_3$ agit comme
l'identit\'{e} sur $G_1$, et $j$ et $j^2$ sont les valeurs propres
de $T_5$ agissant sur $G_1$, d'o\`{u} une base de $G_1$ form\'{e}e
de $f_1=q+q^2+q^3+q^4+jq^5+\cdots$ et
$f_2=q+q^2+q^3+q^4+j^2q^5+\cdots$, vecteurs propres des
op\'{e}rateurs de Hecke.  Ceci corrobore parfaitement la
conjecture.

\item $P(x)=x^5-23x^3+55x^2-33x-1$.

Then $D=13613^2,P(x)\equiv (x-6308)(x-2211)^2(x-8248)^2 \m 13613$,
$N=13613$; $P$ \'{e}tant irr\'{e}ductible mod 2, $\Frob_2$ est un
cycle d'ordre 5, et $a_2=\zeta_5$, une racine cinqui\`{e}me de
l'unit\`{e}, vue comme \'{e}l\'{e}ment de  $\F_{16}$.  La calcul
montre alors que, dans l'espace des formes modulaires mod 2 de
niveau 13613 et de poids 2, qui est de dimension 1134, $\zeta_5$
est valeur propre simple de $T_2$.  Les coefficients $a_3$ et
$a_5$ sont respectivement \'{e}gaux \`{a}
$1+\zeta_5^2+\zeta_5^3=j$ et \`{a} $\zeta_5^2+\zeta_5^3=j^2$, qui
sont bien les traces de $\Frob_3$ et $\Frob_5$ dans $\SL_2(\F_4)$.

\item \'{E}non\c{c}ons rapidement les autres polyn\^{o}mes
trouv\'{e}s; dans chaque cas, il existe une forme modulaire de
poids 2 et du bon niveau, dont les premiers termes $a_n$
correspondent \`{a} ceux pr\'{e}dits par la conjecture de Serre.
\[P(x)=x^5+x^4-16x^3-7x^2+57x-35,N=8311,\sqrt{D}=N\]
\[P(x)=x^5+2x^4-43x^3+29x^2+2x-3,N=8447,\sqrt{D}=2^2N\]
\[P(x)=x^5+x^4-13x^3-14x^2+18x+14,N=15233,\sqrt{D}=2N\]
\[P(x)=x^5+x^4-37x^3+67x^2+21x+1,N=24077,\sqrt{D}=2^2N\]

\ee

\section{Appendice: Les courbes $X_0(p)$ de genre 0}

Dans \cite{5}, il est montr\'{e} que, si $p$ est un nombre
premier, la courbe $X_0(p)$ sur $\Z_p$ est formellement isomorphe
\`{a} la courbe d'\'{e}quation  $xy=p^k$ au voisinage de tout
point se r\'{e}duisant mod $p$ en un point supersingulier $S$, $k$
\'{e}tant la moiti\'{e} du nombre d'automorphismes de $S$.

Si $X_0(p)$ est de genre 0 (i.e., $p=2,3,5,7,$ et $13$) on a en
fait un tel mod\`{e}le sur $\Z$, donn\'{e} par la fonction \bean
x=\left(\frac{\eta(z)}{\eta(pz)}\right)^\frac{24}{p-1},\eean
o\`{u} $\eta(z)=q^{1/24}\prod_{i=1}^\infty (1-q^n)$ and $q=e^{2\pi
iz}$.

Ceci d\'{e}coule de Fricke \cite{7}, qui donne \'{e}galement, pour
chacune des valeurs de $p$ ci-dessus, l'expression du morphisme
oubli $j:X_0(p)\to X_0(1)$, qui \`{a} tout point $(E,C)$ de
$X_0(p)$ associe le point $(E)$ de $X_0(1)$, param\'{e}tr\'{e} par
l'invariant modulaire $j$.

Dans ce qui suit, nous rappelons ces \'{e}quations, et donnons
\'{e}galement l'expression des correspondances $T_2$ et $T_3$ sur
ces courbes.  La variable $x$ est celle donn\'{e}e par
l'\'{e}quation (2), l'involution $W_p$ \'{e}change $x$ et $y$ et
le diviseur de $x$ est $(0)-(\infty)$, o\`{u} $0$ et $\infty$ sont
les deux pointes de $X_0(p)$.

\be

\item $p=2$ Les \`{e}quations donn\'{e}es par Fricke
(l\'{e}g\`{e}rement modifi\'{e}es pour donner un mod\`{e}le de
$X_0(2)$ sur $\Z$) sont:
\[xy=2^{12}\]
\[j=\frac{(x+16)^3}{x}\]

$T_2$ est donn\'{e} par: \[y^2-y(x^2+2^43x)-2^{12}x=0\] (A tout
point $x$ est associ\'{e}e par $T_2$ la somme formelle des points
de coordonn\'{e}es $y$ racines de ce polyn\^{o}me.)

$T_3$ est donn\'{e} par:
\[x^4+y^4-x^3y^3-2^33^2x^2y^2(x+y)-2^23^25^2xy(x^2+y^2)+2\cdot
3^21579x^2y^2-2^{15}3^2xy(x+y)-2^{24}xy=0\]

\item $p=3$.
\[xy=3^6\]
\[j=\frac{(x+27)(x+3)^3}{x}\]
\[T_2:x^3+y^3-2^33xy(x+y)-x^2y^2-3^6xy=0\]
\[T_3:y^3-y^2(x^3+2^23^2x^2+2\cdot 3^25y)-3^6yx
(x+2^23^2)-3^{12}x=0\]

\item $p=5$.
\[xy=5^3\]
\[j=\frac{(x^2+10x+5)^3}{x}\]
\[T_2:x^3+y^3-x^2y^2-2^3xy(x+y)-7^2xy=0\]
\[T_3:x^4+y^4-x^3y^3-2\cdot 3^2x^2y^2(x+y)-3^4xy(x^2+y^2)-2\cdot
3^223x^2y^2-2250xy(x+y)-5^6xy=0\]

\item $p=7$.
\[xy=7^2\]
\[j=\frac{(x^2+13x+49)(x^2+5x+1)^3}{x}\]
\[T_2:x^3+y^3-x^2y^2-2^3xy(x+y)-7^2xy=0\]
\[T_3:x^4+y^4-x^3y^3-2^23x^2y^2(x+y)-2\cdot 3\cdot 7xy(x^2+y^2)-3\cdot
53x^2y^2-2^23\cdot 7^2xy(x+y)-7^4xy=0\]

\item $p=13$.
\[xy=13\]
\[j=\frac{(x^2+5x+13)(x^4+7x^3+20x^2+19x+1)^3}{x}\]
\[T_2:x^3+y^3-x^2y^2-2^2xy(x+y)-13xy=0\]
\[T_3:x^4+y^4-x^3y^3-2\cdot 3x^2y^2(x+y)- 3\cdot 5xy(x^2+y^2)-3\cdot
11x^2y^2-2\cdot 3\cdot 13xy(x+y)-13^2xy=0\]

\ee

Les polyn\^{o}mes ci-dessus donnat $T_2$ et $T_3$ sont donc
d'\'{e}criture plus simple que les \'{e}quations modulaires
classiques $\Phi_2(j,j')$ et $\Phi_3(j,j')$ (qui correspondent
\`{a} l'action de $T_2$ et $T_3$ sur $X_0(1)$).  A titre de
comparaison, nous rappelons leur expression:

\bea \Phi_2(j,j') &=& j^3+j'^3-j^2j'^2+2^43\cdot
31jj'(j+j')-2^43^45^3(j^2+j'^2)\\
&& + 3^45^34027jj'+2^83^75^6(j+j')-2^{12}3^95^9 \eea

\bea \Phi_3(j,j') &=&
j^4+j'^4-j^3j'^3-2^23^39907jj'(j^2+j'^2)+2^33^231j^2j'^2(j+j')\\
&&-2^{16}5^33^517\cdot 263jj'(j+j')+2^{15}3^25^3(j^3+j'^3)+2\cdot
3^413\cdot 193\cdot 6367j^2j'^2\\
&& - 2^{31}5^622973jj'+2^{30}3^35^6(j^2+j'^2)+2^{45}3^35^9(j+j')
\eea

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{1}
A.O.L. Atkin, J. Lehner, \emph{Hecke operators on $\Gamma_0(m)$},
Math. Ann. \textbf{185} (1970), 134-160.

\bibitem{2}
J.P. Buhler, \emph{Icosahedral Galois Representations}, Springer
Lecture Notes \textbf{654} (1978).

\bibitem{3}
J.P. Buhler, B. Gross, D. Zagier, \emph{On the conjecture of Birch
and Swinnerton-Dyer for an elliptic curve of rank 3}, Math. Of
Comp. \textbf{44} (1985), 473-481.

\bibitem{4}
A. Brumer, K. Kramer, \emph{The rank of elliptic curves}, Duke
Math. J. \textbf{44} (1977), 716-743.

\bibitem{5}
P. Deligne, M. Rapoport, \emph{Les sch\'{e}mas de modules de
courbes elliptiques}, Springer Lecture Notes \textbf{349} (1973),
143-316.

\bibitem{6}
M. Eichler, \emph{Zur Zahlentheorie der
Quaternionen-Algebren}, J. reine angew. Math. \textbf{195} (1956),
127-151.

\bibitem{7}
R. Fricke, Lehrbuch der Algebra, III, Braunschweig, F. Vieweg $\&$
Sohn, 1928.

\bibitem{8}
B. Gross, D. Zagier, \emph{Points de Heegner et d\'{e}riv\'{e}es
de fonctions L}, C. R. Acad. Sc. Paris \textbf{297} (1983), 85-87.

\bibitem{9}
B. Mazur, P. Swinnerton-Dyer, \emph{Arithmetic of Weil
curves}, Invent. Math. \textbf{25} (1974), 1-61.

\bibitem{10}
J. -F. Mestre, \emph{Courbes de Weil de conducteur} 5077, C.R.
Acad. Sc. Paris \textbf{300} (1985), 509-512.

\bibitem{11}
I. Miyawaki, \emph{Elliptic curves of prime power conductor with
$\Q$-rational points of finite order}, Osaka Math. J. \textbf{10}
(1973), 309-323.

\bibitem{12}
H.L. Montgomery, P. J. Weinberger, \emph{Notes on small class
numbers}, Acta Arithm. \textbf{24} (1973), 529-542.

\bibitem{13}
J. Oesterl\'{e}, \emph{Nombres de classes des corps quadratiques
imaginaires}, Se'm. Bourbaki, Juin 1984.

\bibitem{14}
A. Pizer, \emph{On the arithmetic of quaternion algebras II}, J.
Math. Soc. Japan \textbf{28} (1976), 676-688.

\bibitem{15}
A. Pizer, \emph{An algorithm for copmuting modular forms on
$\Gamma_0(N)$}, J. of Alg. \textbf{64} (1980), 340-390.

\bibitem{16}
J.-P. Serre, \emph{Propri\'{e}t\'{e}s galoisiennes des points
d'ordre fini des courbes elliptiques}, Invent. Math. \textbf{15}
(1972), 259-331.

\bibitem{17}
J.-P. Serre, \emph{Sur les repr\'{e}sentations modulaires de
degr\'{e} 2 de $\Gal(\overline{\Q}/\Q)$}, \`{a} para\^{\^{i}}tre
dans Duke Math. J.

\bibitem{18}
C. B. Setzer, \emph{Elliptic curves of prime conductor}, J. London
Math. Soc. \textbf{10} (1975), 367-378.

\bibitem{19}
Tables, \emph{Modular Functions of One Variable IV}, Springer
Lecture Notes \textbf{476} (1975), 33-52.

\end{thebibliography}

\end{document}