Sharedwww / rank4 / mestre-fr.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2004.02.18:2006��������;���m���tZu����%{������D��t�qG�cmr17�La�B�m��uO���etho���de�des�graphes.�����"�Exemples�B�et�applications.��#�􍍍����6P�X�Qffcmr12�J.-F.��/Mestre.�������TEd.������.&a���{�F���4ebruary��/18,�2004��5����� ��N�G�cmbx12�1��0��In��u�tro��=duction��b#����X�Qcmr12�Soit�۵�#��g�cmmi12�S�����$�2cmmi8�k��#��(�N���;���"�)�l'espace�des�formes�parab�S�oliques�de�p�oids��k�g�,��de�niv��reau��N���et�de�caract���s�ere�������"�,���o�S����vu�s^�k��{�et��N��B�son��rt�des�en�tiers��&!",�
cmsy10��>�1,���et��"��un�caract���s�ere�de�Diric�hlet�mo�S�d��N�@�.��Il�existe�����plusieurs�`mani��r��s�eres�d'en�construire�une�base.�
�On�p�S�eut�par�exemple�utiliser�la�form�ule�����des��traces�de�Selb�S�erg:�8notons��T��Vr����(�n�)�la�trace�de��T�����n���P�,��ile��n����2�ienne���t�op��r��s�erateur�de�Hec�k�e.�8[La�����fonction�������!��f��Q�=����������'�K�cmsy8�1�����UR���)��u
cmex10�X���
�ҍ����n�!|{Ycmr8�=1�������T��Vr��"�.(�n�)�q��n9����n���}���appartien��rt���alors��� a��S�����k��#��(�N���;���"�).�o�L'ensem�ble�des��f�����i�����=�(#�T�����i��d��f�D�engendre�cet�espace�et�cela�����p�S�ermet�z�th��r��s�eoriquemen�t�d'en�obtenir�une�base.�	�UP�ar�exemple,���si��N����est�premier,�si������"����=�1,��et��si��k��ѹ=���2,�l'ensem��rble�des��f�����i��dڹ,�1������i����g�n9�,�o�S����vu���g�t!�est�le�genre�de��X�����0����(�N�@�),�est�une�����base��de��S�����2����(�N���;����1).����%�Mais�G�m��r^��s�eme�dans�ce�cas,�^�qui�est�le�plus�fa�v�orable,�^�les�calculs�deviennen�t�rapide-�����men��rt���insurmon�tables:�sur�un�ordinateur�de�taille�mo�y�enne,��Ton�ne�p�S�eut�gu���s�ere�esp���s�erer�����traiter�'Kdes�niv��reaux��N�h/�plus�gros�que�5000�(toujours�a�v�ec��N�h/�premier,�6tp�S�oids�2�et�car-�����act��r��s�ere�&trivial):�q�en�eet,�NFle�calcul�de��T��Vr���(�n�)�n���s�ecessite�la�connaissance�de�nom�breux�����nom��rbres�e;de�classes�de�corps�quadratiques�imaginaires�-�don�t�le�discriminan�t�est�de�����l'ordre��de�grandeur�de��n��{�et,��p�S�our�a��rv�oir��la�base��f�����1����;���f�����2���;��:�:�:��ʜ;�f�����g�����,��il��faut�calculer��T��Vr��C(�n�)�����p�S�our���n�UR���g��n9���2�2��.=�.����%�Nous��pd��r��s�ecriv�ons�dans�le�paragraphe�suiv��X�an�t�une�m���s�etho�S�de,��Hla�\m���s�etho�S�de�des�graphes",�����rep�S�osan��rt���sur�des�r���s�esultats�de�Deuring�et�Eic�hler,���et�d���s�ev�elopp�S�e��ee���par�J.�Oesterl���s�e�et�����moi-m��r^��s�eme,���qui��
p�S�ermet�d'obtenir�plus�rapidemen�t�(au�moins�dans�le�cas��N��premier)�����une��base�de��S�����2����(�N���;����1).����%�Dans��le�second�paragraphe,��Xnous�indiquons�commen��rt�cette�m���s�etho�S�de�a�p�ermis�de�����mon��rtrer��que�certaines�courb�S�es�elliptiques�d���s�enies�sur��5��N�cmbx12�Q��son�t�des�courb�S�es�de�W��Veil�����(ce���qui,�en�l'o�S�ccurrence,�par�l'obten��rtion�d'une�courb�S�e�de�W��Veil�ad���s�equate,�donne�tous������1����*���;���m���tZu����������les���corps�quadratiques�imaginaires�de�nom��rbres�de�classes�3,��A�� a�l'aide�d'un�r���s�esultat�de������Goldfeld��et�des�tra��rv��X�aux�r���s�ecen�ts�de�Gross�et�Zagier).����%�Le�@�troisi��r��s�eme�paragraphe�est�consacr���s�e��� a�la�v���s�erication�d'une�conjecture�de�Serre�����dans��
certains�cas�particuliers,�'�v��r��s�erication�qui�a�a|�et��r�e�p�S�ossible�gr^�� ace��a�la�m��r��s�etho�S�de�����exp�S�os��r��s�ee�D�dans�le�premier�paragraphe.�F�On�sait�que�cette�conjecture,�[si�elle�est�vraie,�����a�?�de�nom��rbreuses�cons���s�equences�(la�conjecture�de�Shim�ura-T��Vaniy�ama-W�eil,�T�ainsi�?�que�����le��th��r��s�eor��eme��de�F��Vermat,�en�d��r�ecouleraien�t��en�particulier).��(V�����2��0��La�z�m��3���|etho��=de�des�graphes���#�����8��N�ffcmbx12�2.1��8fD��U��Aenitions�ffet�notations��@����Dans��ce�qui�suit,��+�p��d��r��s�esigne�un�nom�bre�premier,��+�N�����1��Z�un�en�tier�p�S�ositif�premier��� a��p�.�On�����p�S�ose���N��6�=�UR�pN�����1����.����%�Soit�����I��M�����N��n��=�UR������S����Z�[�S��׹]�����o�S����vu�F��S����d��r��s�ecrit�l'ensem�ble�des�p�S�oin�ts�sup�S�ersinguliers�de��X�����0����(�N�����1���)�F�en�caract���s�eristique��p�,�����c'est-�� a-dire��l'ensem��rble�des�couples�(�E��;���C�ܞ�)�form���s�es�d'une�courb�S�e�elliptique�d���s�enie�sur��������K�z�UV�	���2���
msbm10�F���������p��#��m��runie�,�d'un�group�S�e�cyclique��C�	!�d'ordre��N�����1����.��qDeux�tels�couples�son�t�iden�ti���s�es�s'ils�����son��rt,��dans�un�sens����s�eviden�t,����K�z�UV�	���F����?�����p��[�-isomorphes.����%�P��rosons��;����������S��	s4�=������ō����j�����Aut����(�S��׹)�j�����[��z�-���
�΍��b�2�����3^w�;��e⍑��o�S����vu��Aut���(�S��׹)�d��r��s�esigne�le�group�e�des����K�z�UV�	���F����ph����p��7Ź-automorphismes�de��S��׹.��On�a�toujours�������S��	ŝ�����12,�����et��m��r^��s�eme,�si��p��ne�divise�pas�6,�������S��	s4��UR�3.����%�On�"7p�S�eut�alors�d��r��s�enir�un�pro�duit�scalaire�sur��M�����N��;{�par��h�S��;���S����i���=�������S��
@�et�"7�h�S�;���S���ן��2�0����i��=�0�����si���S�)�6�=�UR�S���ן��2�0����.�8�Soit��Eis��$�=�������P��������������1��8O��S���p�[�S��׹],�et�soit��
����4��M������@��0���ڍ�N���n��=���UR��
�n�����US��X�������x�����S���[�S��׹]�UR:�������X�������x�����S��	s4�=�0���
�o����"(����l'orthogonal��de��Eis���=.����%�P��rour��tout�en�tier��n�UR���1��premier��� a��p�,�on�d���s�enit�un�op���s�erateur��T�����n��	���sur��M�+��par:��������T�����n���P�(�E��;���C�ܞ�)�UR=�������X�����ir�C���%;�cmmi6�n�������(�E�=C�����n���P�;����(�C��F�+����C�����n���)�=C�����n���)�;��&DI����o�S����vu���C�����n��	���parcourt�les�sous-group�e�d'ordre��n��de��E����dels�que��C��F�\����C�����n�����=�UR�f�0�g�.����%�P��rour�xtout�en�tier��q��P�divisan�t��N�����1��	8�et�premier��� a��q��n9���2�0�����=�F�N�����1����=q�n9�,��son�d���s�enit�de�m�^��s�eme�des�����in��rv�olutions���W�����q����par:�������
�W�����q�����(�E��;���C�ܞ�)�UR=�(�E�=q��n9����0��<r�C�5�;����(�E�����q��?��+����C�ܞ�)�=q��n9����0���C��)�;�������2����ɠ��;���m���tZu����������o�S����vu���E�����q����est�le�group�e�des�p�oin��rts�d'ordre��q�X�de��E���.�����%�Enn,��Hon��pd��r��s�enit�une�in�v�olution��W�����p��c͹par��W�����p����=�UR������F��Vrob����-����p��p��,��Ho�S����vu��F��Vrob���E�����p��!�l�est�l'endomorphisme�����de���M�����N��T�qui�transforme�(�E��;���C�ܞ�)�en�(�E�����2�p��{t�;���C��ܞ���2�p�����).��(Le�fait�qu'il�s'agit�d'une�in��rv�olution��re
���s�ete�����le��fait�que�les�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�son��rt�d���s�enis�sur��F����p������"�Aa�cmr6�2�����.)����%�Ces��div��rers�op���s�erateurs�p�S�oss���s�eden�t�les�propri���s�et��es��suiv��X�an�tes:��gl'ensem�ble�des��W�����q�����et�des������T�����n���P�,�;n�n���premier��� a��N�@�,�engendre�un�semi-group�S�e�comm��rutatif�d'op���s�erateurs�hermitiens�par�����rapp�S�ort�au�pro�duit�scalaire��h�;����i�.��+Les��T�����n��	�f�comm��ruten�t�en�tre�eux�p�S�our�tout��n��premier������� a���p�.�TSi��q����=�d��q�����1����q�����2���,����q�����1�����et���q�����2���premiers�en��rtre�eux,���et�si��n�d��=��n�����1����n�����2���,����n�����1�����et��n�����2���premiers�en��rtre�����eux��et�premiers��� a��p�,�on�a��W�����q���P�=�UR�W�����q��q�1���v*�W�����q��q�2���`ҹet��T�����n�����=��T�����n��q�1���	���T�����n��q�2����.����%�P��rar�]5ailleurs,�y�p�S�our�tout��d��divisan�t��N�����1����,�y�on�a�un�morphisme�������d��	<ݹde��M�����N��vy�v�ers��M�����N�$�=d�������qui��transforme�(�E��;���C�ܞ�)�en�(�E�;���dC�ܞ�).�{nCe�morphisme�comm��rute�aux��T�����n���P�,�c�n��premier��� a��N�@�,�����et�Baux��W�����q�����,�O�p�S�our��q�v{�divisan��rt��N�F:=d�.���P�our��d��divisan�t��N�����1��	�F�et�premier��� a��N�����1����=d�,�O�on�a�la�����form��rule������r�T�����d��ߨ������d��4��=�UR������d���(�T�����d���P�+����W�����d���)��"ʫ�����2.2��8fUn�ffisomorphisme�a���v�ec�ff���g�ffcmmi12�S��(��K�`y

cmr10�2����(�N���)��@����On���consid��r��s�ere�ici�l'espace��S�����2����(�N�@�)�des�formes�parab�S�oliques�de�p�oids�2�sur�le�group�e����������0����(�N�@�),��Mm��runi���de�sa�structure�naturelle�de��T�-mo�S�dule,�o����vu����T��est�l'alg��r��s�ebre�de�Hec�k�e�[�1����].�������Th��q����eor��eme�q�2.1.����Il��Lexiste�un�isomorphisme,���compatible�a��rv�ec��Ll'action�des�op��r��s�erateurs�����de�lHec��rk�e,��en�tre�l'espace�v�ectoriel��M����2��@��0��b���N���
�\�
���C��et�le�sous-espace�de��S�����2����(�N�@�)�engendr���s�e�par�����les�newforms�de�niv��reau��N�Q�et�les�oldforms�pro�v�enan�t�des�formes�parab�S�oliques�de�p�oids�����2��et�de�niv��reau��pd�,��d��divisan�t��N�����1����.������Remark��2.2.�+*�Supp�S�osons�?0�N���(ou��N�����1����,�TRcela�revien��rt�au�m�^��s�eme)�sans�facteur�carr���s�e.�6xOn�����p�S�eut���alors�d��r��s�eterminer�facilemen�t�le�sous-espace�de��M����2��@��0��b���N�����corresp�S�ondan�t�aux�newforms�����de���S�����2����(�N�@�):�9�il�s'agit�du�sous-espace�form��r��s�e�des��x��tels�que,��;p�S�our�tout��d��divisan�t��N�����1����,��;on�����ait�����m�������d��ߨ�(�x�)�UR=�������d���(�W�����d���(�x�))�=�0�:������En�+eparticulier,�{�si��N��&�=�wB�pq�n9�,��q����premier,�c'est�le�sous-espace�de��M�����pq����in��rtersection�du�����no��ry�au��de�������q����et�de�������q�����W�����q���.��"ʫ�����2.3��8fRapp�s3ort�ffa���v�ec�les�alg��U��Aebres�de�quaternions��@����Les�Txmatrices�des�op��r��s�erateurs��T�����n���ȹagissan�t�sur��M�����N��m��ne�son�t�rien�d'autre�que�les�matrices�����de��aBrandt�classiques�[15],��construites�d'ordinaire��� a�partir�d'alg��r��s�ebres�de�quaternions.����%�En���eet,��soit��B�����p;�1��V��l'alg��r��s�ebre�de�quaternions�sur��Q��rami���s�ee�en��p��et�l'inni,��soit������O�<ܹun��ordre�d'Eic��rhler�de�niv�eau��N�����1�����(d���s�eni�par�Eic�hler�[�6����]�dans�le�cas�o�S����vu��N�����1�����est�sans�����facteur���carr��r��s�e,��Tet�d���s�eni�dans�le�cas�g���s�eneral�par�Pizer�[�14����]),��Tet�soien�t��I�����1����;���I�����2���;��:�:�:��ʜ;�I�����h��	V��des�����repr��r��s�esen�tan�ts��des�classes�d'id��r�eaux��� a�gauc��rhe�de��O�UV�.������3����;���;���m���tZu��������%��Soien��rt���O�����i��Q��les�ordres��� a�droite�(i.e.,��/normalisateurs��a�droite)�des�id��r��s�eaux��I�����i��dڹ,��/et��e�����i��Q��le��"!���nom��rbre�A�des�unit���s�es�de��O�����i��dڹ.�=wLa�matrice�de�Brandt��B���(�n�)��,=�(�b����ߍ�(�n�)��	5h��i;j���Dȹ)�A�a�lors�comme�terme������g��r��s�en��eral����Uv��b����ߍ�(�n�)��	5h��i;j�����=�UR�e�������1��
���j���$����jf��h�:����2��I���������1��
���j���M��I�����i��d��;�����Nor��@�(����)����Nor��@�(�I�����j��f
�)�=�����Nor��(�I�����i���)�UR=��n�gj�;��!����o�S����vu��%bNor���mest�%bla�norme�sur��B�����p;�1���;�(la�norme�d'un�id��r��s�eal����etan�t�%ble�pgcd�des�normes�de�ses����,$��s�el��r�emen�ts��non�n�uls).����%�Dans�<#le�langage�des�courb�S�es�sup�ersinguli��r��s�eres�en�caract���s�eristique��p�,�_
on�p�S�eut�donner�����de��ces�matrices,�o�S����vu�plus�exactemen��rt�de�leurs�transp�os��r��s�ees�l'in�terpr���s�etation�suiv��X�an�te:����%�Soit��+�S�j�un�p�S�oin��rt�sup�ersingulier�comme�en�I.1,��Kc'est-�� a-dire�une�courb�e�elliptique�����sup�S�ersinguli��r��s�ere�[��E�۹d��enie�[�sur����K�z�UV�	���F����
�����p���;�m��runie�d'un�group�S�e��C�8b�cyclique�d'ordre��N�����1����.�	?L'anneau�����des�
9endomorphismes��O�����1��	�=�de��S���est�un�ordre�d'Eic��rhler�de�niv�eau��N�����1����.���A��tout�autre�����p�S�oin��rt�Ōsup�ersingulier��S���ן��2�0��J��=���(�E������2�0���P�;���C��ܞ���2�0���׹),��Easso�cions�l'ensem��rble��I�����S���;S��r}�����(q�%cmsy6�0�����des�homomorphismes�����de��(�S�|��v��rers��S���ן��2�0����,�Шi.e.�.l'ensem�ble�des�homomorphismes���ݷ�de��E�~?�sur��E������2�0��Lx�qui�en�v�oien�t��C��ƹsur������C��ܞ���2�0���׹.�8uC'est��gde�mani��r��s�ere����eviden�te��gun�id���s�eal��� a�droite�sur��O�����1����,��et�l'id���s�eal�in�v�erse�n'est�autre�����que�F��I�����S��r}�����0��$D�;S�����.�M|On�p�S�eut�alors�mon��rtrer�que�tout�id���s�eal��� a�droite�de��O�����1��	�est�obten�u�de�cette�����mani��r��s�ere,�)�et��gque�tout�ordre�d'Eic�hler�de�niv�eau��N�����1���k�est�anneau�d'endomorphismes�d'un�����p�S�oin��rt�	�sup�ersingulier��S��׹.���Il�est�alors�clair�que�le�term�g��r��s�en��eral�	��b����ߍ�(�n�)��	5h��i;j���N��de�la��n����2�ieme���`�matrice�����de��SBrandt�est�le�nom��rbre�d'isog���s�enies�de��S�����i��-�v�ers��S�����j��	]�(les�p�S�oin�ts�sup�S�ersinguliers�J���s�etan�t�����con��rv�enablemen�t�rindex���s�es),��deux�telles�isog���s�enies����etan��rt�iden�ti���s�ees�si�elles�di���s�eren�t�par�����un��automorphisme�de��S�����j��f
�.��On�retrouv��re�donc�la�matrice�de�l'op���s�erateur��T�����n��
bb�agissan�t�����sur��le�mo�S�dule��M�����N��D�.����%�D'autre��Dpart,���si��� a�tout�couple�de�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�(�S��;���S���ן��2�0����)�on�asso�cie�la�fonc-�����tion�����3�������S���;S��r}�����0���Q�(�q�n9�)�UR=�������X���
�ҍ�	E3�������q�������deg���*�������m�����o�S����vu��@���Ϲparcourt�les�morphsimes�de��S���v��rers��S���ן��2�0����,�#�on�retrouv�e�les�fonctions���8ιclassique-�����men��rt���asso�S�ci���s�ees�aux�id���s�eaux�d'ordres�de�quaternions,��ou,�si�l'on�pr��r��s�ef��ere,��aux���formes�����quadratiques��en��rti���s�eres�d���s�enies�p�S�ositiv�es��� a�4�v��X�ariables.����%�Il��est�alors�facile�de�mon��rtrer�que,��^si�������P������x�����S���i�[�S��׹]�est�un��y��s�el��emen�t��de��M�����N��
�M�
��	�C��v�ecteur�����propre��de�tous�les�op��r��s�erateurs�de�Hec�k�e,��iet�si��f�G��(�q�n9�)�est�la�forme�mo�S�dulaire�corresp�on-�����dan��rte,��on�a,�p�S�our�tout��S���ן��2�0����:�����w��x�����S��r}�����0���ϩ�f�G��(�q�n9�)�UR=�������X�����	1
�S������x�����S���������S���;S��r}�����0����:�����ce�Lkqui�p�S�ermet�en�th��r��s�eorie�de�trouv�er��� a�partir�des��x�����S��jM�les�co�S�ecien�ts��a�����n��
�de��f�G��.�	^)En�����pratique,��7malheureusemen��rt,�le�Ěcalcul�d'un��a�����n��	l�demande�la�connaissance�de�toutes�les�����isog��r��s�enies��Ide�degr���s�e��n��arriv��X�an�t�v�ers��S���ן��2�0����,���et�il�ne�sem�ble�pas�y�a�v�oir�d'algorithme�simple�����p�S�our��cela.����%�N��r��s�eanmoins,��dans��dcertains�cas,�il�existe�une�autre�m��r��s�etho�S�de�p�our�calculer�les�co�ef-�����cien��rts��de��f�2��qui�ce�pr�^��s�ete�plus�facilemen�t�au�calcul:����%�supp�S�osons�(Bdonc�ici��N�i&�premier�(donc�Դ��s�egal��� a��p�)�ou��N��de�la�forme��pq�n9�,�w�o�S����vu��q��{�est�����premier��et��X�����0����(�q�n9�)�de�genre�0�(donc��q�Ë�=�UR2�;����3�;��5�;��7��ou�13).������4����+����;���m���tZu��������%��Dans�l=l'app�S�endice,���nous�donnons�dans�c��rhacun�de�ces�cas�une����s�equation�de��X�����0����(�q�n9�)������de�m�la�forme��xy��c�=�4*�p����2�k��#��,��Oainsi�que�l'action�de�op��r��s�erateurs�de�Hec�k�e��T�����2��	-��et��T�����3���sur��X�����0����(�q�n9�),�����qui��Nest�donn��r��s�ee�par�une�G��equation��etonnamen��rt��Nsimple�compar���s�ee��� a�celle�des�p�S�olyn^�omes�����mo�S�dulaires�������2����(�j��;���j���ӟ��2�0��{�)�et������3���(�j��;���j���ӟ��2�0��{�)�(qui�donnen��rt�l'action�de��T�����2����et��T�����3���sur��X�����0����(1),���param��r��s�etr��e�����par��l'in��rv��X�arian�t�mo�S�dulaire��j��ӹ,�cf.�8�le�paragraphe�2.4).����%�P��rosons����u�UR�=��x��si��N��6�=��pq��Źet��u��=��j�>_�si��N��6�=��p�.�,Le�d��r��s�ev�elopp�S�emen�t�de�F��Vourier�de��u��au�����v��roisinage��yde�l'inni�est�alors�1�=q�q�+����������ǹ.�{Soit��f�G��(�q�n9�)�UR=�������P�����a�����n���P�q�����2�n��	��une��ynewform�normalis��r��s�ee�����de�P5niv��reau��N���et�p�S�oids�2�corresp�ondan��rt��� a�un�v�ecteur�������P�����x�����S���[�S��׹]�de��M����2��@��0��b���N����\�
���K�ܞ�,���o�S����vu��K������est���l'extension�de��Q��engendr��r��s�ee�par�les��a�����n���P�.��Il�existe�alors�un�id���s�eal�premier��}��de��K������au-dessus��de��p��tel�qu'on�a:���@�������\ਟ�
������dT��X����w`��x�����S����u�(�S��׹)���
�������f�G��(�q�n9�)������ō�33�dq��33�[��z���
�΍�
�q�����z������UR���X�������x�����S�������ō�y
�du��Q�[��z�-�
�΍u������u�(�S��׹)�����A�)(�mo�S�d���B�}�)�:�������|˹(1)�����0��%�(Il��s'agit�d'une�congruence�en��rtre�s���s�eries�de�Lauren�t�en��q�n9�).����%�Supp�S�osons�F2par�exemple�que��f��1�corresp�onde��� a�une�courb�e�de�W��Veil�de�conducteur������N�@�,�2donc��Ique�les��a�����n��
���soien��rt�dans��Z�.��Les��x�����S��
�+�son�t�alors�dans��Z�,�2et�on�p�S�eut�mon�trer�����que��$ϟ����P���z�x�����S����u�(�S��׹)��N�6�=�0.��UOn�$�connait�donc�les��a�����n��	��mo�S�d��p��p�our�tout��n�.��UMais�l'in��r��s�egalit��e�$�de�����Hasse�q�j�a�����l��!��j�:�<��2�������p���
�����z��
:��l����4��p�S�our��l����premier�mon��rtre�qu'en�fait�on�les�connait�exactemen�t�p�S�our������n�UR<�p����2�2����=�16.��"Q����2.4��8fConstruction�ffexplicite�du�r��U��Aeseau��M��(��
�b>

cmmi10�N���@����Dans�x-ce�paragraphe,���nous�supp�S�osons�p�our�simplier�que��N���est�impair.��oSupp�osons�����conn��ru�un�mo�S�d���s�ele�explicite�de�la�courb�S�e��X�����0����(�N�����1���),�dainsi�que�l'action�de�l'op���s�erateur�de�����Hec��rk�e���T�����2�����sur�ce�mo�S�d��r��s�ele�(cf.�8�App�endice).����%�Il��nous�fait�d'ab�S�ord�trouv��rer�un�p�oin��rt�sup�ersingulier.�
2Notons�qu'ils�son��rt�tous�����d��r��s�enis���sur��F����p������2�����.�\�P�ar�exemple,���supp�S�osons�p�our�simplier��N����=�i��p�.�\�On�c��rherc�he���d'ab�ord�����si�aE�p��est�inerte�dans�l'un�des�9�corps�quadratiques�imaginaires�de�nom��rbre�de�classes�1.�����Si��xoui,���on�p�S�eut�prendre�p�our�v��X�aleur�de��j�EK�initiale�l'in��rv�arian�t��xmo�S�dulaire�de�la�courb�e��� a�����m��rultiplications�#�complexes�par�l'anneau�des�en�tiers�du�corps�corresp�S�ondan�t.��?Si�non,�����on���p�S�eut�conna����^��n<tre�une�liste�des�p�olyn^�� omes�minimaux�des�in��rv��X�arian�ts���mo�dulaires�de�����courb�S�es�elliptiques��� a�m��rultiplications�complexes�par�des�corps�quadratiques�imagi-�����naires�Z�de�p�S�etit�nom��rbre�de�classes,�w�et�appliquer�la�m�^��s�eme�m���s�etho�S�de.��Il�faut�ici�r���s�esoudre�����dans�X�F����p������2���J�une����s�equation�p�S�olynomiale,�u`ce�qui�se�fait�en��log���W�p��op��r�erations�{�tout�au�moins�����probabilistiquemen��rt.�	#�Supp�S�osons�8�enn�que�toutes�ces�ten�tativ�es�aien�t��Y��s�ec�hou��ees;��il�����reste��kla�p�S�ossibilit��r��s�e�d'���s�en�um��erer��ktoutes�les�v��X�aleurs�de��F�����p��oȹjusqu'�� a�en�trouv�er�une�sup�S�er-�����singuli��r��s�ere.�S(On��ksait�qu'il�en�existe�toujours�dans��F�����p���]�,���mais�malheureusemen�t�en�assez�����p�S�etit�B�nom��rbre�{�de�l'ordre�de�grandeur�du�nom�bre�de�classes�de��Q�(�����N�p���
���N�z�;�d���p����;�),�d.soit�en�viron������������p���������z�孟z��p����#ea�.����%�Supp�S�osons���donc�conn��ru�un�p�oin��rt�sup�ersingulier��S�����1����.�CoLa�connaissance�de�l'action�����de�B��T�����2��	��sur�le�mo�S�d��r��s�ele�donn���s�e�de��X�����0����(�N�����1���)�B�nous�p�S�ermet�d'obtenir�les�trois�p�oin��rts�sup�er-������5����>l���;���m���tZu����������singuliers��^�S�����2����;���S�����3��Mb�et��S�����4���(non�forc��r��s�emen�t��^distincts)�li��r�es��� a��S�����1��Mb�par�une�2-isog��r�enie.��Il�s'agit������de�6vr��r��s�esoudre�un�p�S�olyn^�� ome�de�degr���s�e�3�sur��F����p������2�����,�Iice�qui�requiert�l'extraction�de�racines�����cubiques�G�et�de�racines�carr��r��s�ees,���op��erations�G�ne�n��r�ecessitan�t�G�que��O�S��(�log��-I�p�)�op��r�erations.�����P��rarfois,�5on�Բp�S�eut�d'ailleurs��$��s�eviter�cette�r���s�esolution:��supp�S�osons�ici�encore��N�$��=���p�,�5et�����que�o�l'on�ait,��3par�exemple,��p�UR���2(���mo�S�d�����B3).��Alors�o��p��est�inert�dans��Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U),�donc��j�%�=�UR0�����est�V�une�v��X�aleur�sup�S�ersinguli��r��s�ere,�tXet�on�sait�que�les�trois�isog���s�enies�de�degr���s�e�2�en�v�oien�t�la�����courb�S�e�E�d'in��rv��X�arian�t�n�ul�sur�la�courb�S�e��� a�m�ultiplications�complexes�par��Z�[�������p���
���ljz�5S�	m9��3����5U],�\�don�t�����l'in��rv��X�arian�t��est��j�%�=�UR54000.����%�De��	toutes�mani��r��s�eres,�2�on�a�au�plus�une�seule�fois��� a�r���s�esoudre�une�j{�equation�du�����troisi��r��s�eme�y]degr��e:�;en�y]eet,��une�fois�conn��ru��S�����2����,�on�c��rherc�he�y]�� a�partir�de��S�����i��dڹ,��i�UR���2,�les�y]trois�����p�S�oin��rts��sup�ersinguliers�qui�lui�son��rt�reli���s�es,�Hmais��;���@cmti12�on�G�en�c��ffonna^����^��31t�d��3��L�ej����a�un�,�Het�donc�il�ne�����reste����� a�r��r��s�esoudre�qu'une��K�equation�du�second�degr��r�e,��idonc��� a�extraire�une�racien�carr��r�ee�����sur�(��F����p������2�����,�Once�qui�est�rapide�(les�m��r��s�etho�S�des�probabilistes�demandan�t��O�S��(�log��-I�p�)�op���s�erations,�����par��un�algorithme�tr��r��s�es�simple��� a�mettre�en�o�S�euvre).����%�P��rour��mon�trer�que�l'on�obtien�t�ainsi,�'�de�pro�S�c�he�en�pro�S�c�he,�'�tous�les�p�S�oin�ts�sup�S�er-�����singuliers�3�de��M�����N��D�,�E�il�sut�de�mon��rtrer�que�le�graphe�de��T�����2���(et�plus�g���s�en��eralemen�t�3�de������T�����n���P�)��Fest�connexe.��Mais,�	�comme�me�l'a�fait�remarquer�J.-P��V.�Serre,�la�v��X�aleur�propre������a�����2���y�=��u3�Csde��T�����2��	w�sur��M�����N��\��de�m��rultiplicit���s�e����egale�Csau�nom��rbre�de�comp�S�osan�tes�connexes�du�����graphe�S�de��T�����2����.��Or,�rdans��M�����N��D�,�l'espace��M����2��@��0��b���N���m!�corresp�S�ondan��rt�aux�formes�parab�oliques�est�����de��%co�S�dimension�1,��donc�3�est�v��X�aleur�propre�simple�de��T�����2��	F)�dans��M�����N��D�,�(car,�p�S�our�une�����forme��parab�S�olique,�on�a��j�a�����2����j�UR�<��2������p���
��ljz����	�9��2������)��et�le�graphe�de��T�����2�����est�donc�connexe.����%�En�sconclusion,�<en�un�algorithme�en��O�S��(�N��@�log��n+�N�@�)�op��r��s�erations,�on�a�donc�trouv��r��s�e�tous�����les�+�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�et�la�matrice�de�Brandt��B�����2����asso�ci��r��s�ee.���L'un�des�in�t���s�er�^�ets�+�de�����cette�`�matrice�est�d'��r^��s�etre�tr���s�es�creuse:�$�dans�c�hque�ligne�(et�c�haque�colonne)�il�y�a�au�����plus�X%trois�termes�non�n��ruls,�s�qui�son�t�des�en�tiers�don�t�la�somme�est�3.��WCela�p�S�ermet,����,$��s�etan��rt�C�donn��e�C�une�v��X�aleur�propre,���de�trouv��rer�assez�rapidemen�t,���si��N����n'est�pas�trop�����grand,��les�v��recteurs�propres�corresp�S�ondan�ts.��"ʫ�����2.5��8fExemples��@�����!��1.����0ߞPrenons�.~par�exemple��N�q)�=�0E�p��=�37.�aComme�.~37�est�inerte�dans�le�corps����0ߞquadratique���imaginaire��Q�(�������p���
���ljz�5S�	m9��2����5U),�U�on�p�S�eut�prendre�comme�premier�sommet����0ߞde���notre�graphe�la�courb�S�e��E�����1��	|ȹ�� a�m��rultiplications�complexes�par��Z�[�������p���
���ljz�5S�	m9��2����5U],��Kdon�t����0ߞl'in��rv��X�arian�t�&^mo�S�dulaire�est��j�����1��z��=���8000����8���mo�d�����B37;�D9il�&^nous�faut��� a�pr��r��s�esen�t�&^trouv�er����0ߞles�
in��rv��X�arian�ts�des�courb�S�es�2-isog���s�enes��� a�celle-ci,��c'est-�a-dire�r��r��s�esoudre�l'���s�equation����0ߞ�����2����(�x;����8000)�F����0(���mo�S�d�����B37).��kOr���x������p���x����ljz�5S�	m9��2����"&West�x�un�endomorphisme�de�degr��r��s�e�2�de��E�����1���,����0ߞdonc�ʩ�j�����1�����est�racine�(sur��Q�)�du�p�S�olyn^�� ome������2����(�x;����8000).�.6En�divisan��rt�ce�p�olyn^�� ome����0ߞpar��0�x�%����8000,��Ron�trouv��re�donc�un�p�S�olyn^�� ome�du�second�degr���s�e�don�t�les�racines����0ߞson��rt�59�j�����2���=�et��j�����3����,�G�les�in�v��X�arian�ts�des�deux�autres�courb�S�es��E�����2���=�et��E�����3���reli��r��s�ees��� a��E�����1���par����0ߞune�k�isog��r��s�enie�de�degr���s�e�2.�	�hSoit��!�S)�2����F����p������2���]ٹtel�que��!��n9���2�2��-�=���2.�	�hOn�trouv��re�alors����0ߞ�j�����2��V�=�UR3���+�14�!�X�et���j�����3���=�UR3����14�!�n9�.������6����Q!���;���m���tZu��������0ߞ�Une�ҡautre�m��r��s�etho�S�de�p�our�trouv��rer��j�����2��
���et��j�����3���consiste��� a�remarquer�que�37�est�����0���s�egalemen��rt�iMinerte�dans�le�corps��K�	��=�,��Q�(�������p���
���ljz�O�	m9��15����Q),���don�t�le�nom�bre�de�classes�est����0ߞ2.�rLe��^p�S�olyn^�� ome�du�second�degr��r��s�e�donnan�t�les�v��X�aleurs�des�in�v��X�arian�ts�mo�S�dulaires����0ߞdes�ǡ2�courb�S�es��� a�m��rultiplications�complexes�par�l'anneau�des�en�tiers�de��K��?�est����0ߞ�x����2�2�����+���191025�x����121287375,�\don��rt�a�les�racines�engendren�t��Q�(������p���
��ljz����	�9��5������),�\donc�mo�S�dulo����0ߞ37��son��rt�conjugu���s�ees�dans��F����37������2���
*��.�8�On�retrouv�e�ainsi��j�����2�����et��j�����3����.�����0ߞP��rour�;��N�|ȹpremier�congru��� a�1�mo�S�d�12,��3le�nom�bre�de�courb�S�es�sup�ersinguli��r��s�eres����0ߞmo�S�d�Y��N����est�3��s�egal��� a�(�N�70���L�1)�=�12.��+P��rour��N�SP�=�l37,�u�on�a�donc�trouv���s�e�les�3�courb�S�es����0ߞsup�S�ersinguli��r��s�eres�Xv�oulues.�Il�reste��� a�trouv�er�l'action�de��T�����2���sur��E�����2���(on�en�d��r��s�eduira����0ߞpar���conjugaison�l'action�sur��E�����3����).�-�Il�n'est�pas�p�S�ossible�qu'il�y�ait�2�isog��r��s�enies�de����0ߞ�E�����2��	
�sur�_�E�����1����,�|car�alors�il�y�aurait�5�isog��r��s�enies�de�degr���s�e�2�partan�t�de��E�����1����.���Il�n'est����0ߞpas��non�plus�p�S�ossible�qu'il�y�ait�une�2-isog��r��s�enie�de��E�����2�����sur��E�����2����.����0ߞEn�sUeet,��2s'il�existe�une�2-isog��r��s�enie�d'une�courb�S�e�elliptique�d'in�v��X�arian�t��j� (�sur�elle-����0ߞm��r^��s�eme,���cet��Iin�v��X�arian�t�est�racine�de�l'���s�equation������2����(�x;���x�)�`�=�0,��c��s�equation�de�degr��r�e�4����0ߞqui��s'��r��s�ecrit�����o�(�x������1728)(�x����8000)(�x��+�3375)�����2�����0ߞ�.����0ߞ(P��rour�\�le�v�oir,�ygon�p�S�eut�faire�le�calcul��� a�partir�l'���s�equation�de������2����(�j��;���j���ӟ��2�0��{�)�ci-dessus.����0ߞOn�.�p�S�eut�aussi�c��rherc�her�.�quelles�son��rt�les�courb�es��� a�m��rultiplications�complexes����0ߞqui�/admetten��rt�un�endomorphisme�de�degr���s�e�2,�@c'est-�� a-dire�quels�son�t�les�corps����0ߞquadratiques�"cimaginaires�qui�con��rtiennen�t�"cun�����s�el��emen�t�"cde�norme�2.��On�trouv��re,����0ߞ�� a��Im��rultiplication�par�une�unit���s�e�du�corps�pr���s�es,��qles�_��el��emen�ts��I1�3A+��i;����������p������ljz�5S�	m9��2����5S�;�����؜��31�1+�����=�p���\���=�\)
�|�4Í�7�����31�dԉz��T��ꍑG(2������7Ӎ�0ߞ�and�����؜��5�1������=p���\���=�\)
�|�4Í�7�����5�dԉz��T��ꍑG(2�����$6��,�G�qui��son��rt�les�endomorphismes�de�degr���s�e�2�des�courb�S�es�d'in�v��X�arian�t����0ߞ�j�%�=�UR1728�;���j��=�8000,��et�p�S�our�les�deux�derniers,��j�%�=���3375.)����0ߞP��rar�
*suite,��mo�S�dulo��p�,�le�graphe�de��T�����2���.�ne�p�S�eut�con��rtenir�de�b�oucle�d'une�courb�e����0ߞsup�S�ersinguli��r��s�ere��sur�elle-m�^��s�eme�que�si�cette�courb�S�e�est�d���s�enie�sur��F�����p��	�b�(et,�plus����0ߞpr��r��s�ecis��emen�t,�8est�_l'une�des�3�courb�S�es�d��r�ecrites�ci-dessus).��rP��rar�cons���s�equen�t,�8il�y�a�2����0ߞisog��r��s�enies�W�relian�t��E�����2��͹�� a��E�����3����,�u)et�le�graphe�de��T�����2���agissan��rt�sur��M�����37��Wѹest�compl���s�etemen�t����0ߞd��r��s�etermin��e.����0ߞP��rour��Ucalculer�les�v�ecteurs�propres�corresp�S�ondan�ts,���on�p�S�eut�f���s�evidemmen�t�diago-����0ߞnaliser��la�matrice�(3�;����3)�de��T�����2����,�mais�il�y�a�encore�plus�simple:����0ߞl'in��rv�olution����W�����37��
}f�=�}^������F��Vrob����-����37��'A˹d���s�ecoup�S�e��M�����37��
���de�mani���s�ere�E�eviden��rte�en�deux�sous-����0ߞespaces���propres�orthogonaux,��Rl'un,�engendr��r��s�e���par��u�����1��.��=�n�[�E�����2����]������[�E�����3���],��Rasso�S�ci��r��s�e����� a�la����0ߞv��X�aleur��propre�1,�D#l'autre,�asso�S�ci��r��s�e���� a�la�v�aleur�propre�-1,�D#engendr��r��s�e�par��Eis��Ti=�UR[�E�����1����]��+����0ߞ[�E�����2����]��+�[�E�����3���]�u�et�par�le�pro�S�duit�v��rectoriel�de��u�����1��5�et��Eis��Zr,��9soit��u�����2��V�=�UR2[�E�����1���]�����[�E�����2���]����[�E�����3���].����0ߞOn��en�d��r��s�eduit�donc,��Psans�recours��� a�co�S�ecien�ts�dans��Q�,��Pet�donc�le�fait�que����0ߞ�J�����0����(37),�{�la�_�jacobienne�de��X�����0���(37),�{�est�isog��r��s�ene�au�pro�S�duit�de�2�courb�es�elliptiques����0ߞ(ce���qui�est�bien�conn��ru,��v�oir���par�exemple�[�9����]).�NjLa�form��rule�(1)�ci-dessue�p�S�ermet����0ߞalors��d'obtenir�les�83�premiers�termes�de�leur�fonction��L�.������7����e'���;���m���tZu�����������!��2.����0ߞ�p������37�;���N��6�=�UR2����37.��Pȍ�0ߞP��rour�4���s�etudier��d�X�����0����(74),���on�utilise�le�morphisme�������2��	Hh�de��M�����74��
�l�v�ers��M�����37��
�l�d���s�eni�plus�����0ߞhaut.�5`Les��'bres�de�c��rhacun�des�trois�p�S�oin�ts�sup�S�ersinguliers�[�E�����1����]�;����[�E�����2���]��'et�[�E�����3����]�de����0ߞ�X�����0����(1)���mo�S�d�����B37��pson��rt�form���s�ees�de�trois�p�S�oin�ts�sup�S�ersinguliers�distincts�de��X�����0����(2)���mo�d�����B2.����0ߞD'une�`�mani��r��s�ere�g���s�en��erale,�~notons�`�que�si��S�����1����;���S�����2���;��:�:�:��ʜ;�S�����k��	�0�son��rt�`�les�p�S�oin�ts�sup�S�ersin-����0ߞguliers��pde��X�����0����(�q�n9M�@�)���mo�S�d�����B�p��au-dessus�d'un�p�S�oin��rt�sup�ersingulier��S�OG�de��X�����0����(�M�@�)���mo�d�����B�p����0ߞ�(�p�꨹et��q�X�premiers�et�premiers��� a�l'en��rtier��M�@�),�on�a�la�form�ule��$v荍�����ō����q��+���1�����[��z�ԋ�
�΍�Aut�����S������x��=�������	�5�k�����UR���X���
�ҍ�	���1��������ō�%1$�1���۟[��z� ���
�΍�Aut�����S�����i������9���:��(�E��0ߞ�L'��r��s�equation��de��X�����0����(2)�utilis���s�ee�ici�est�celle�d���s�ecrite�dans�l'app�S�endice:��5x���P��uv�Ë�=�UR2�����12��	�;����0ߞ�l'in��rv�olution�߫�W�����2��L!���s�ec�hangean�t��u��et��v�n9�.���Rapp�S�elons�d'autre�part�que��W�����37��UZ�=�UR������F��Vrob����-����37��"�5�,�����0ߞet��Eque��j�O�=��F(�u�/׹+�16)����2�3����=u��E�(o�S����vu��j�[�est�l'in��rv��X�arian�t��Ede�la�courb�e��E���,��,image�du�p�oin��rt����0ߞ(�E��;���C�ܞ�)�ӷde��X�����0����(2)�par�le�morphisme�\oubli"�de��X�����0���(2)�sur��X�����0���(1)).�1:De�l'��r��s�equation����0ߞ�j�풹=�@��j�����1��
ù=�8,�S�on�_tire�les�v��X�aleurs�des�trois�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�au-dessus�de����0ߞ�E�����1����,���de�Bco�S�ordonn��r��s�ees��u�����1��
]˹=���(��1��p+��!�n9�)�=�2�;���u�����2���=���(��1����!�n9�)�=�2�=��W�����2����(�u�����1���)�Bet��u�����3��
]˹=����0ߞ27�Z�=��W�����2����(�u�����2���).�B�(Ici���encore,��il��P��s�etait�p�S�ossible�de�deviner�la�v��X�aleur�de��u�����3����,�car�il�est����0ߞclair�4d'apr��r��s�es�l'action�de��T��ƹ(2)�sur��X�����0����(1)���mo�S�d�����B37�faite�pr���s�ec��edemmen�t�4que�l'un����0ߞdes���p�S�oin��rts�au-dessus�de��E�����1��	���doit��^��s�etre�in�v��X�arian�t�par��W�����2����;��or�les�2�solutions�de����0ߞ�u����2�2����=�'2����2�12��
e�son��rt�e��u��=��u�����1��	%�et��u��=���u�����1����.���En�les�rempla��� can��rt�dans�l'���s�equation�donnat����0ߞ�j��ӹ,��=on���v��roit�qu'il�s'agit�de��u�����1����.���P�our�trouv�er��u�����2��	�et��u�����3����,��=il�sut�de�r���s�esoudre�une����0���s�equation��du�second�degr��r�e.)����0ߞOn���calcule�ensuite��u�����4�����=�ۂ�W�����2����(�u�����1���)�=�2����2�12��	�=u�����1�����=���5�����5�!�n9�,��4et���on�trouv��re�que����0ߞl'in��rv��X�arian�t�S��j��ӹ(�u�����4����)�corresp�S�ondan��rt�est��j�����2��
|P�=��L3���+�14�!�n9�.�	t�On�S�r���s�esoud�l'���s�equation�du����0ߞsecond��degr��r��s�e�donnan�t�les�2�autres�p�S�oin�ts�au-dessus�de��j�����2����,�%md'�� ou��u�����5��e\�=��X15�ʫ+�17�!����0ߞ�et�M5�u�����6��
pҹ=���16��
���12�!�n9�.�	`�Notons�alors��u�����7��
pҹ=����W�����2����(�u�����2���)�=���l\����u�����4���� ��;���u�����8��
pҹ=��W�����2���(�u�����5���)�=���l\����u�����5����n�et����0ߞ�u�����9��V�=�UR�W�����2����(�u�����6���)�=��������u�����6����6.�les�p�abscisses�des�trois�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�au-dessus�de��E�����3�����0ߞ�(�x�����h�����=�!����������h�x����>���s�etan��rt�Al'automorphisme�non�trivial�de��F����p������2�����.)�<Nous�a�v�ons�ainsi�la�liste����0ߞde��tous�les�p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�de��X�����0����(2)���mo�d�����B37.����0ߞComme�eil�a�����s�et��r�e�edit�plus�haut,��l'espace��M����2��@��new��RA��74���>��corresp�S�ondan�t�aux�newforms�est����0ߞl'in��rtersection�`�du�no�y�au�de�������2��
 ��et�de�������2����W�����2���.�	�
Si�`�on�note�[�u�����i��dڹ],��:�i���=�1�;����:�:�:��ʜ;����9�`�les����0ߞg��r��s�en��erateurs��%de��M�����74���-�corresp�S�ondan��rt�aux�p�oin��rts�sup�ersinguliers�d'abscisse��u�����i��dڹ,��?un����0ߞexamen���facile�de�l'action�de��W�����37��
���et��W�����2��	a��mon��rtre�que��M����2��@��new��RA��74�����est�somme�directe����0ߞde��$deux�sous-espaces�de�dimension�2,���l'un��G�����1����,�engendr��r��s�e�par��e�����1��'/�=�g+[�u�����1����]������[�u�����2���]������0ߞ�[�u�����4����]��u+�[�u�����7���]����[�u�����9���]�g6et��e�����2���X�=�)T[�u�����5���]��u���[�u�����6���]����[�u�����8���]�+�[�u�����9���],��Ysur�g6lequel��W�����37��
)\�=�)T��W�����2���X�=�1,����0ߞl'autre,���G�����2����,�engendr��r��s�e��4par��e�����3��V�=�UR[�u�����1���]���+�[�u�����2���]����2[�u�����3���]�+�[�u�����4���]����[�u�����6���]�+�[�u�����7���]����[�u�����9���],��sur����0ߞlequel���W�����2��V�=�UR��W�����37��UZ�=�1.������8����	x���;���m���tZu��������0ߞ�En���utilisan��rt�l'���s�equation�de��T�����3��	~�agissan�t�sur��X�����0����(2)�(cf.���l'app�S�endice)�on�mon�tre�����0ߞalors�R-que�la�matrice�de��T�����3��
1�agissan��rt�sur��G�����1���(resp.�	op�G�����2����)�dans�la�base�(�e�����1���;���e�����2���)�����0ߞ(resp.�7�(�e�����3����;���e�����4���)))��est�����q������d�������1���*�=1�������f�1���*�=0�����5�9��q����>���,��cde�p�S�olyn^�� ome�caract��r��s�eristique��x����2�2��bT�+��P�x����1��(resp.��������0ߞ��q������d���>���3���N��1�������>��1���N��0�����Yt��q����bJF�,��de�p�S�olyn^�� ome�caract��r��s�eristique��x����2�2��j������3�x����1).��`ƍ�0ߞOn��en�d��r��s�eduit�que��J����2��r�new��RA��0���Ϲ(74)�est�isog���s�ene��� a�un�pro�S�duit�de�2�v��X�ari���s�et��es��ab��eliennes����0ߞsimples,�]i�A�����1��	�F�(resp.����A�����2����),��� a�Bm��rultiplications�r���s�eelles�par�l'anneau�des�en�tiers�de����0ߞ�Q�(������p���
��ljz����	�9��5������)�;�꨹(resp.�8��Q�(������p���
��ljz����	�9��13������).)���@��0ߞSi�����UR�=�����CH������1+����`��p���\��`��\)@��o��5���������(�z��T��ꍑG(2�����&��et����=�����CH�����3+����`��p���\��`��\)���o��13���������(�z�q��ꍑ�2����� -��,��\les�v��recteurs��v�����1��V�=��e�����1�����+��(���+�1)�e�����2����;���v�����2��V�=��e�����1�������e�����2����;���v�����3��V�=����0ߞ�e�����3���O�+��K�e�����4���<�et�,8�v�����4����=���(3�����)�e�����3���+��e�����4���<�corresp�S�onden��rt�,8aux�4�newforms��f�����1����;���f�����2���;�f�����3���;�f�����4���<�de����0ߞp�S�oids��[2�et�de�niv��reau�74.�[�En�utilisan�t�la�congruence�(1),��Hon�p�S�eut�alors,�comme����0ߞci-dessus,���obtenir�dmla�v��X�aleur�des�83�premiers�co�S�ecien��rts�de�ces�newforms.��0P�ar����0ߞexemple,��p�S�our��f�����1����,�la�liste�des�premi��r��s�eres�v��X�aleurs�de��a�����l��p�est�� �ύ����Y����
�l�����H�2�����3����##5���V[7���4��11���\�N13���n����E�a�����l������H�1�������CH����w��1+����`��p���\��`��\)@��o��5�������w��(�z��T��ꍑG(2�����������CH����11��3����`��p���\��`��\)@��o��5�������1��(�z�q��ꍑ�2��������D��1���+�������p�������ljz����	�9��5����������CH��,@���5�����`�p���\��`��\)@��o��5�����,@���(�z��T��ꍑG(2�����������CH��UuZ1+3����`��p���\��`��\)@��o��5�����UuZ��(�z�q��ꍑ�2���������%Җ��0ߞ�alors��que�p�S�our��f�����3�����on�trouv��re�������Y���w��l����I_�2����P+3���ތH5����e7���7��11���es�13���n���tQ��a�����l���������1�������CH���9�3+����`��p���\��`��\)���o��13������9��(�z�q��ꍑ�2�������ǬL��1����������p�������ljz����	�9��13����������CH��s�1�����`�p���\��`��\)���o��13�����s��(�z�q��ꍑ�2�����������CH��-W���1�����`�p���\��`��\)���o��13�����-W���(�z�!X��ꍑg*2�����������CH��Z�w��1+����`��p���\��`��\)���o��13�����Z�w��(�z�!X��ꍑg*2���������+l�����3��0��Application�XR��j>a�z�la�rec��u�herc�he�z�de�courb��=es�de�W��aGeil��b#����Soit����f��޹=���ߟ����P��R��a�����n���P�q��n9���2�n��
��une�newform�de�p�S�oids�2�et�de�niv��reau��N�@�,��Hdon�t�les�co�S�ecien�ts��a�����n��������son��rt�F~dans��Z�.�LbElle�corresp�S�ond�donc��� a�une�courb�e�de�W��Veil�forte��E�YA�de�conducteur��N�@�.�����Malheureusemen��rt,��les��^co�S�ecien�ts��a�����n��
)��ne�donnen�t�que�p�S�eu�de�renseignemen�ts�sur��E�ù,�����et���ne�p�S�ermetten��rt�pas�d'obtenir�simplemen�t�une�k&��s�equation�de��E�ù.�*9(Dans�[�10����],��~on�d���s�ecrit�����une���m��r��s�etho�S�de�due��� a�Serre�qui�p�ermet�parfois�d'en�trouv��rer�une,��amais�cela�n'a�rien�de�����syst��r��s�ematique.)�;�Nous��donnons�ci-apr���s�es�une�m���s�etho�S�de�qui,�+�au�moins�dans�le�cas�o����vu������N��6�=�UR�p�꨹est�premier,�r��r��s�esoud�ce�probl���s�eme.����%�On���supp�S�ose�donc�d��r��s�esormais��N����premier.���D'apr���s�es�les�paragraphes�pr���s�ec��eden�ts,����� a�����la�qnewform��f����est�asso�S�ci��r��s�e�un�v�ecteur��v�����f��dڹ=�������P���f�x�����S���[�S��׹],�ҕ�x�����S����2���Z�,�v�ecteur�qpropre�des�����op��r��s�erateurs�k�de�Hec�k�e�d���s�enis�dans�le�paragraph�2.1.�	��Le�th���s�eor��eme�k�1�ne�d���s�ecrit�pas�����l'isomorphisme���(d'ailleurs�non�canonique)�en��rtre��S�����2����(�N�@�)�et��M����2���0��b���N���
���
��<�C�.�2�Mais�supp�S�osons�����conn��rus�Lles�premiers�termes��a�����n��	���de��f�^K�(�a�����2���P�sut�en�g���s�en��eral).���La�Lconstruction�du�para-�����graphe��q2.4�hous�donne�sim��rultan���s�emen�t��qles�v��X�aleurs�sup�S�ersinguli��r�eres�mo�S�d��N�U�et�le�graphe�����de���T�����2���ٹagissan��rt�sur��M�����N��D�.�{hNous�p�S�ouv�ons�donc�d���s�eterminer�l'espace�propre��V�����2���ٹasso�S�ci���s�e��� a�����la�b'v��X�aleur�propre��a�����2����.�`S'il�est�de�dimension�1,�}tnous�a��rv�ons�b'�v�����f��w�,�ou�tout�au�moins�l'espace�����qu'il���engendre.�"Sinon,��|on�applique��T�����3��	M��sur��V�����2���(qui�est�exp��r��s�erimen�talemen�t���de�p�S�etite������9����
�����;���m���tZu����������dimension�M{�p�S�our�les�conducteurs��<�UR�80000,��l�dim����V�����2��
�ne�d��r��s�epasse�pas�6),�l�jusqu'�� a�trouv�er������un��uespace�de�dimension�1,��corresp�S�ondan��rt�aux�m�^��s�emes�v��X�aleurs�propres�des�op���s�erateurs������T�����l����que��=�f�G��.�3�Choisissons�dans�cet�espace�un�v��recteur��r�����f���q�=��UR�����P�����x�����E��-��[�E���],��Sles�����s�etan�t�dans��Z��et�����premiers��en��rtre�eux;��w��R�����f�2��est�donc�d���s�etermin��e��au�signe�pr���s�es.����%�P��rour��Daller�plus�loin,��Xil�nous�faut��� a�pr���s�esen�t�une�in�terpr���s�etation�g���s�eom��etrique��Dde�ces������x�����E�����%��Soien��rt���donc��UR=���N��@���2���	q6�le���discriminan�t�d'un�mo�S�d���s�ele�minimal�de�W��Veierstrass�de��E�ù,�������UR�:��X�����0����(�N�@�)���������
��!�E��k�un��rev��r^��s�etemen�t�minimal�de��E�ù,�et��n�UR�=��deg����.����%�D'apr��r��s�es� JDeligne-Rap�S�op�ort�[�5����],�-�il�existe�un�mo�d��r��s�ele��X�����0����(�N�@�)�����=�62�@�cmbx8�Z���y�de��X�����0���(�N�@�)�d��r��s�eni�sur������Z��,�don��rt�la�r���s�eduction�mo�S�dulo��N���est�la�r���s�eunion�de�deux�droites�pro��jectiv�es,��El'une,��C�����1��	�,�����classian��rt���les�courb�S�es�elliptiques�en�caract���s�eristique��N���m�unies�du�sc�h���s�ema�en�group�S�es�����no��ry�au�k�du�F��Vrob�S�enius�(donc�corresp�ondan��rt��� a�des�isog���s�enies�ins���s�eparables),���l'autre,��C�����0����,�����classian��rt�H�les�courb�S�es�m�unies�du�\V��Versc�hiebung".�R�Ces�deux�droites�se�coup�S�en�t�aux�����p�S�oin��rts���sup�ersinguliers.��BQuan�t����� a�la�courb�S�e��E�ù,�$ala�r���s�eduction�mo�S�dulo��N�3��de�son�mo�d��r��s�ele�de�����N��r��s�eron�Uxa�une�comp�S�osan�te�neutre��E����2����0��뀍�=�3p�p�msbm8�F��X.�N�����;�isomorphe�sur��F����N���"�����2����c�au�group�S�e�m�ultiplicatif��G�����m��Ĺ.�������On�uJp�S�eut�mon��rtrer�que�le�rev�^��s�etemen�t����se�prolonge��� a��X�����0����(�N�@�)�����=�Z��x����x�,���o�S����vu��x��est�l'ensem�ble�����des��/p�S�oin��rts�sup�ersinguliers�en�caract��r��s�eristique��N�@�,�'�et�d���s�enit�par�sp���s�ecialisation�et�re-�����striction��une�application�r��r��s�eguli��ere��de��C�����1��
�������S�D�sur��E����2����0��	;%��=���h��\)㍟�S��F����㍟X.�N�����ù,���d'o�S����vu�une�fonction�rationnelle���\�����`�sur��C�����1��	�,�}ndon��rt�les�p^�� oles�et�les�z���s�eros�appartiennen�t��� a��E�ù.��"Le�diviseur�������P��
�������E��-��[�E���]�o�de�������,��@�E�<�parcouran��rt���les�courb�S�es�sup�ersinguli��r��s�eres����mo�d����
0�N�@�,��@est�donc�un�4`��s�el��r�emen�t���de��M����2��@��0��b���N���D�,�����d��r��s�eni��au�signe�pr���s�es�(d���s�ep�S�endan�t�du�c�hoix�de�l'isomorphisme�de��E����2����0��뀍�=�F��X.�N�����k�sur��G�����m��Ĺ.)��������Prop�`osition���3.1.�1�A��2ve��ffc�bZles�notations�ci-dessus,�n#le�diviseur��()���=�������P��WJ������E��-��[�E���]�bZ�est����L�egal���������a�35��r�����f��w�.�����%��Il��`n'est�pas�tr��r��s�es�dicile�de�v�oir�que�()�est�prop�S�ortionnel��� a��r�����f��w�.��P�ar�con�tre,��le�����fait��"que�les��l�����E��֪�son��rt�premiers�en�tre�eux�se�d���s�eduit�du�b�S�eau�r���s�esultat�que�Rib�S�et�vien�t�����d'obtenir�����2�1�����,�}N�� a�_�sa��rv�oir�que,�}Nsi��l����est�un�nom�bre�premier�distinct�de�2�et�3,�}Ntoute�forme�����parab�S�olique��#mo�d��l�ಹde�p�oids�2�et�de�niv��reau��N�@�p�,���o����vu��N�@�p��est�sans�facteur�carr��r��s�e,���don�t�la�����repr��r��s�esen�tation�6mo�S�d��l�IŹasso�ci��r��s�ee�est�irr���s�eductible�et�n�rami���s�ee�en��p�,�3�pro�vien�t�d'une�forme�����parab�S�olique��>mo�d��l��͹de�p�oids�2�et�de�niv��reau��N��"�(ce�r���s�esultat�a�v��X�ait�B���s�et��e��>conjectur��e��>par�����Serre,��dans���une�lettre�qu'il�m'a��rv��X�ait�adress���s�ee�en�ao�S�^���vut�1985.��EOn�en�d���s�eduit�en�particulier�����que��la�conjecture�de�T��Vaniy��rama-W�eil��implique�le�grand�th���s�eor��eme��de�F��Vermat).����%�P��rour���prouv�er�la�prop�S�osition�pr���s�ec��eden�te,��on���mon�tre�d'ab�S�ord�que���$�est�reli���s�e�aux�����������E��0�par��la�form��rule�����%���Ȅ�=���URgcd����F(������E��-��!�����E��	�0����������F��O�!�����F���)�����o�S����vu����!�����E����est�le�nom��rbre�d'automorphismes�de��E���.���Supp�osons�qu'un�nom��rbre�premier��l������divise�P�le�pgcd�des�������E��-��.��Il�divise�alors���s2�,�o�et�on�en�d��r��s�eduit�que��p��n'est�pas�rami���s�e�dans�le�����corps��des�p�S�oin��rts�d'ordre��l�Es�de��E�ù.�~�Si��l��est�premier��� a�6,��le�th��r��s�eor��eme��de�Rib�S�et�implique�����que�`la�forme�mo�S�dulaire��f�Y_�asso�ci��r��s�ee��� a��E�$#�est�congrue�mo�d��l�T��� a�une�forme�mo�dulaire����
���ff��,������
����^��ٓ�Rcmr7�1�����K.Rib�Get,�UU�A�':

cmti10�AL��}'e�ctur�es���on�Serr��}'e's�c�onje�ctur�es�,�UUMSRI,�F��*�all�1986������ �10�����y���;���m���tZu����������de�_�p�S�oids�2�et�de�niv��reau�1,�|�qui�ne�p�eut��^��s�etre�que�la�s��r�erie�d'Eiseinstein.��vLa�courb�S�e��E�����,$���s�etan��rt��semi-stable,�Ycela�implique�d'apr���s�es�[�16����],�Yp.306,�que���E���ou�une�courb�S�e�qui�lui�est������Q�-isog��r��s�ene���p�S�oss��ede���un�p�S�oin��rt�ni�d'ordre��l�C��.�"�Si��l���=�UR2�ou�3,���on�a�le�m�^��s�eme�r���s�esultat�gr^�� ace������� a�{�[�4����],��App�S�endice.��NOr�on�conna^����^��n<t�explicitemen��rt�les�courb�es�de�conducteur�premier�����p�S�oss��r��s�edan�t�D�de�la�torsion�[�11����],�e��� a�sa��rv�oir�D�les�courb�es�11�A��et�11�B�ߤ�de�[�19����],�e�qui�on��rt�un�p�oin��rt�����d'ordre�mc5,��qles�courb�S�es�17�A;����17�B�i�et�17�C�J�(un�p�oin��rt�d'ordre�4),��q17�D���(d'ordre�2),�19�A��et�����19�B�/��(d'ordre���3),���37�B��et�37�C�qL�(d'ordre�3),���et�les�courb�S�es�de�Setzer-Neumann�[�18����],�qui�����est��D��s�egal�O�au�nom��rbre�de�p�S�oin�ts�d'ordre�ni�rationnels�sur��Q��des�courb�S�es�consid���s�er��ees,�����et��von�v��r��s�erie�que�les�������E��
���son�t�premiers�en�tre�eux.�,%En�dehors�de�ces�cas,��les�courb�S�es��E������n'on��rt�>�pas�de�torsion�sur��Q�,�`�et�son�t�seules�dans�leur�classe�d'isog���s�enie�sur��Q�;�w�on�a�donc�������Ȅ�=�UR1,�Q4et�*�les�������E��
X_�son��rt�premiers�en�tre�eux.���Ceci�d���s�emon�tre�la�prop�S�osition.���Notons�qu'en�����cours�k�de�d��r��s�emonstration�on�a�mon�tr���s�e�que�le�th���s�eor��eme�k�de�Rib�S�et�implique����s�egalemen�t�����le��r��r��s�esultat�suiv��X�an�t:��HЍ���Th��q����eor��eme��3.2.��^�Soit�D	�E�� �une�courb�S�e�de�W��Veil�forte�de�conducteur�premier��N�@�.�	ELa�����v��X�aluation�k/de�son�discriminan��rt�en��N���est�alors����s�egale�au�nom�bre�de�p�S�oin�ts�de�torsion�����de���E���(�Q�).����%�Nous�Y��s�enon��� cons����� a�pr��r�esen�t���sans�d��r�emonstration�le�th��r�eor��eme���qui�p�S�ermet�d'obtenir�����explicitemen��rt��une����s�equation�de��E��k�une�fois�conn�us�les�������E��-��.������Th��q����eor��eme�U{3.3.�^�SoitLet��v�E��9�une�courb�S�e�de�W��Veil�forte�de�conducteur�premier��N�@�,���et�����������P��"*]������E��-��[�E���]��xl'��r��s�el��emen�t��xde��M����2��@��0��b���N������asso�S�ci��r�e��� a��E��;�par�la�construction�ci-dessus.�QIl�existe�une����,$��s�equation��de��E���:����"�y��n9����2�����=�UR�x�����3��j��������ō�֎�c�����4����۟[��z����
�΍�48�������x����������ō�ƌ�c�����6����۟[��z���
�΍�864������W����a��rv�ec��?�c�����4��	�C�et��c�����6���dans��Z�,��tels�que,�si��H��߹=���sup���3(�����l�p������l�z�y?�
B���j�c�����4����j����yA�;���UP��v��3�����US���l�p���UU���l�z�y?�
B���j�c�����6����j������Δ�),�on��a�,�a��rv�ec��?les�notations�����ci-dessus��L��Hэ����!�1.����0ߞ�H�B�������Fu�����8�n��������z����s�����8��p���\��8��\)�D��A��N��������2�����FԹ(�log��-K(�H���V���2�6���Z�=�1728)���+��b�),��o�S����vu��b�UR�=�((1�=�3)�=�(2�=�3))����2�3��V�=�7�:�74316962�����:�:�:��ʞ�.��/`�����!�2.����0ߞSoit�>����2�0��#��=�UR(�c����2��3��RA�4���
"��J�c����2��2��RA�6�����)�=�1728.��XAlors�����2�0���=�UR�si��E�Pҹest�sup�S�ersinguli��r��s�ere�en�2,�`�et�����2�0���=�UR����0ߞou��2����2�12��	��sinon.��F�����!�3.����0ߞ�c�����4��V��UR�(������P����������E��-��j�����E���)����2�4�������mo�S�d����EF�N�@�.�������!�4.����0ߞ�c�����6��V��UR�(������P����������E��-��j�����E���)����2�6�������mo�S�d����EF�N�@�.�������!�5.����0ߞ�n�Ȅ�=�UR�����2��2��b���E���-��!�����E���.����%�Si��Ples�������E��
�عson��rt�conn�us,��.5�p�S�ermet�d'obtenir��n�,�et�1�d'obtenir�une�b�S�orne�de��H����donc������de�R��c�����4��	��et��c�����6����.�qP��rar�2,�l�on�connait��c����2��3��RA�4���������c����2��2��RA�6����~�=�z1728����2�0���9�;��ce�qui�p�S�ermet�de�trouv�er��c�����4��	��et��c�����6����.�����Les���congruences�3�et�4�p�S�ermetten��rt�de�dimin�uer�notablemen�t�le�nom�bre�de�calculs.�����On�8�a�donc�ainsi�trouv��r��s�e�une��.�equation�de�la�courb�S�e�de�W��Veil�forte�corresp�ondan��rt��� a�la�����newform���f�2��initiale.������ 11��������;���m���tZu��������%��En��fait,�܍cette�m��r��s�etho�S�de�p�ermet�aussi�de�prouv��rer�qu'une�courb�e�elliptique�de�con-������ducteur�d	�N���premier�assez�p�S�etit�est�de�W��Veil.�	�Supp�osons�en�eet�donn��r��s�ee�une�telle�����courb�S�e,��7par���exemple�par�son�1L��s�equation.��Nous�p�ouv��rons�alors�calculer�le�nom�bre�de�ses�����p�S�oin��rts�W�N�����l��(�mo�d��l�I�p�our��l���=��q2�;����3�;��:�:�:��ʞ�.���On�c��rherc�he�ensuite,�
Bpar�la�m���s�etho�S�de�des�graphes,�����si���a�����2��	m�=���3�4z���N�����2��	u�est�v��X�aleur�propre�de��T�����2���agissan��rt�sur��M�����N��D�.��'Si�non,��la�conjecture�de�����T��Vaniy��rama-W�eil�_est�fausse.��Si�oui,���on�con�tin�ue�a�v�ec��T�����3��	?c�agissan�t�sur�l'espace�propre�����trouv��r��s�e,�1+s'il���n'est�pas�de�dimension�1,�jusqu'�� a�trouv��rer�un�espace�propre�de�dimen-�����sion�1�p�S�our�les�op��r��s�erateurs�de�Hec�k�e,�	%�� a�v��X�aleurs�propres�en�ti���s�eres.��
S'il�n'existe�pas,�	%on�����a��lun�con��rtre-exemple��� a�la�conjecture�de�T��Vaniy�ama-W�eil.��,S'il��lexiste,��on�calcule�une����,$��s�equation��7de�la�courb�S�e�de�W��Veil�corresp�ondan��rte.�&eSi�cette�courb�e�se�r��r��s�ev��ele�_�^�etre��7isog��ene������� a��la�courb�S�e�initiale,�on�a�ni.�8�Sinon,�la�courb�e�initiale�n'est�pas�de�W��Veil.����%�En��particulier,�cela�a�p�S�ermis�de�mon��rtrer�que�la�courb�e�elliptique�d'��r��s�equation������Ԏ�y��n9����2����+����y�Ë�=�UR�x�����3��j����7�x��+�6��.���de��conducteur�5077,�est�une�courb�S�e�de�W��Veil.����%�Cette�%(courb�S�e�sem��rble�њ^��s�etre�la�plus�p�etite�courb�e�(lorsqu'on�ordonne�les�courb�es�����par�T conducteurs�croissan��rts)�a�y�an�t�un�group�S�e�de�Mordell-W��Veil�de�rang���ع3�[�3����].�uISon�����in��rt���s�er�^�et��est�le�suiv��X�an��rt:����%�Soit�q�f�G��(�z���)���=�������P��>��a�����n���P�q��n9���2�n��
%��(�q�'�=��e����2�2��I{iz����),��une�newform�de�p�S�oids�2�et�de�conducteur��N�@�,�et������L�(�s�)�Ȋ=�������P��s5�a�����n���P�n����2��s��
��,��Ela���fonction��L��asso�S�ci��r��s�ee.��'Si�l'ordre�en�1�de��L��est���Ȋ�3,�Goldfeld�a�����mon��rtr���s�e��qu'il�existe�une�constan��rte��C�����f��	aǹcalculable�telle�que���0����mlog��ϚQ�p�UR<�C�����f��w�h�(��p�)�;������o�S����vu�>��p��est�un�nom��rbre�premier����{�3(���mo�d�����B4)�et�premier��� a��N�ιet��h�(��p�)�le�nom��rbre�de������classes���du�corps�quadratique�imaginaire�de�discriminan��rt���p�.�
$�On�a�des�form�ules�����analogues,���mais��"plus�compliqu��r��s�ees,�dans�le�cas�des�corps�quadratiques�imaginaires�de�����discriminan��rt��non�premier�(v�oir�[�13����]�par�exemple).����%�Si�qla�conjecture�de�Birc��rh�et�Swinnerton-Dy�er�est�vraie,�Ҙtoute�courb�S�e�de�W��Veil�����don��rt��le�group�S�e�de�Mordell-W��Veil�sur��Q��est�de�rang���D��3�devrait�fournir�de�telles�����formes��mo�S�dulaires,�mais�jusqu'aux�tra��rv��X�aux�de�Gross�et�Zagier�[�8����],�on�n'a��rv��X�ait�aucun�����mo��ry�en�a5de�v��r��s�erier�que�la�d���s�eriv��ee�a5en�1�de�la�fonction��L��d'une�courb�S�e�de�W��Veil�est�����eectiv��remen�t�"Wn�ulle.���Les�r���s�esultats�de�Gross�et�Zagier�p�S�ermetten�t�par�con�tre�d'���s�ecrire������L����2�0���9�(1)�e�comme�un�pro�S�duit�d'un�facteur�non�n��rul�ais���s�emen�t�calculable�et�de�la�hauteur�����de��N��r��s�eron-T��Vate�d'un�p�S�oin�t�de�Heegner�(cf.���[�8����]�p�S�our�les�d���s�etails).���Il�est�alors�p�S�ossible,�����en��minoran��rt�la�hauteur�des�p�S�oin�ts�rationnels�de�la�courb�S�e�et�en�ma��joran�t��L����2�0���9�(1)�par�����un��calcul�appro�S�c��rh���s�e,��de��mon�trer�que��L��est�d'ordre����v�3�en��s��=�1.���(Dans�toute�ce�qui�����pr��r��s�ec��ede,��3on���a�consid��r�er��e���des�courb�S�es�de�W��Veil�impaires,��3c'est-�� a-dire�don��rt�la�fonction��L������a��Aun�ordre�impair�en�1�{�ou,�ىsi�l'on�pr��r��s�ef��ere,�ىdon�t��Ale�signe�de�l'��r�equation�fonctionnelle�����est��-1.)����%�On���a�plusieurs�mo��ry�ens���de�construire�des�courb�S�es�de�W��Veil�doin��rt�le�group�e�de�����Mordell-W��Veil�-�est�de�rang���ǡ�3�(et�qui�son��rt�donc�de�b�S�ons�candidats�p�our�la�question������ 12����
�C���;���m���tZu����������pr��r��s�ec��eden�te:��/par�sFla�m��r�etho�S�de�de�Gross-Zagier,��&on�p�eut�calculer��L����2�0���9�(1).�Si��L����2�0���(1)�est�n��rul,������on���a�une�fonction��L��qui�p�S�ermet�d'obtenir�une�ma��joration�de�la�v��X�aleur�absolue�du�����discriminan��rt��}des�corps�quadratiques�imaginaires�de�nom�bre�de�classes�donn���s�e;���s'il�est�����non���n��rul,���la�conjecture�de�Birc�h�et�Swinnerton-Dy�er�est�fausse!�<�Il�v��X�a�sans�dire�que�����jusqu'�� a�8�pr��r��s�esen�t,�\+on�s�est�toujours�trouv���s�e�dans�le�premier�cas...)���On�p�S�eut�par�exemple�����c��rherc�her�دdes�courb�S�es��� a�m��rultiplications�complexes�de�rang�3�(on�sait�a�priori�qu'elles�����son��rt�H7de�W��Veil),�_�mais�la�constan�t��C�����f��	�V�est�alors�tr���s�es�grande.�Q�On�p�S�eut�aussi�tordre�une�����courb�S�e���de�W��Veil�(par�exemple�la�courb�e�37�C��/�de�[�19����]�jusqu'�� a�obtenir�une�courb�e�de�����rang��C3�(en�l'o�S�ccurrence,�Ⱦp�our��Cla�courb�S�e�37�C�ܞ�,�on�p�S�eut�tordre�par��Q�(�������p���
���ljz��K�	m9��139����$�M),�comme�����le���mon��rtren�t�Gross�et�Zagier�[�8����]).�
.�Ceci�conduit��� a�une�constan�te��C�����f��	�de�l'o�S�dre�de�����grandeur��de�7000.����%�On���p�S�eut�enn�c��rhoisir�une�courb�e�elliptique�quelconque�d��r��s�enie�sur��Q�,�*�de�rang�3,�et�����ten��rter�U^de�mon�trer�que�c'est�une�courb�S�e�de�W��Veil.�C'est�ce�qui�a����s�et��e�U^fait�dans�[�10����]�p�S�our�����la�ɷcourb�S�e�ci-dessus�de�conducteur�5077,��Nen�emplo��ry�an�t�ɷla�form��rule�des�traces.�-�Mais�le�����calcul�w%a�#���s�et��r�e�tr��r�es�long�(5�eh��rures�sur�l'ordinateur�emplo�y���s�e,��?un�IBM�w4341).�_Le�m���s�etho�S�de�����des��graphes�a�p�S�ermis�de�le�faire�en�en��rviron�5�secondes�sur�le�m�^��s�eme�ordinateur.����%�P��rour��cette�courb�S�e,���on�a��C�����f���q�<�UR�50:��tout�corps�quadratique�imaginaire�de�discrimi-�����nan��rt�d�d�,�~�a�v�ec��j�d�j�UR�>�e����2�150����a�donc�un�nom��rbre�de�classes����4.�D'autre�part,�~�il�n'existe�pas�����de���corps�quadratique�imaginaire�de�discriminan��rt��d��et�de�nom�bre�de�classes�3�p�S�our�����907�UR�<��j�d�j��<��10����2�2500����[�12����].�5P��rar���suite�(apr���s�es�examen�d'une�table�donnan�t�les�nom�bres�de�����classes��des�premiers�corps�quadratiques):��������Th��q����eor��eme�13.4.�˪�Les��Tcorps�quadratiques�imaginaires�de�nom��rbre�de�classes�3�son�t�les�����seize��pcorps�de�discriminan��rt���23�;�����31�;���59�:��83�;���107�;���139�;���211�;���283�;���307�;���331�;���379�;���499�;���547�;���643�;���883�;���907.��'і�����4��0��Application�XR��j>a�z�une�conjecture�de�Serre��b#����Soit�,1���une�repr��r��s�esen�tation�,1con�tique�de���Gal�����(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�dans���GL�����̟���2��{й(�V��p�),�<�o�S����vu��V�ȡ�est�un�espace�����v��rectoriel���de�dimension�2�sur�un�corps�ni��F�����q����de�caract���s�eristique��p�.�B�On�supp�S�ose�cette�����repr��r��s�esen�tation��Simpaire,��c'est-�� a-dire�que�l'image���(�c�)�de�la�conjugaison�complexe��c�,�����vue�̐comme�y��s�el��r�emen�t�̐de���Gal���(@(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�),�
a�comme�v��X�aleurs�propres�-1�et�1.�ޙDans�ce�qui�����suit,��on�p�S�ose��G�UR�=��I��m�.����%�Dans��p[�17����],��HSerre�d��r��s�enit�le�niv�eau,��Hle�caract���s�ere�et�le�p�S�oids�d'une�telle�repr���s�esen�tation:�������!�1.����0ߞLe��niv��reau.��>o��0ߞSoit����l��w�un�nom��rbre�premier�premier��� a��p�.�
�On�note��G�����i��dڹ,����i�]��=�0�;����:�:�:��P��les���group�S�es�de����0ߞramication��de����en��l�C��.�8�Soit��!/Z������n�(�l�C��)�UR=����������1��������X���
㇍�S�i�=0��������ō��p�g�����i����۟[��z�
`[�
�΍�g�����0��������#qi�co�S�dim���Bs�V���p����G��8:�i����z�;��#K�0ߞ�o�S����vu���g�����i��O��est�l'ordre�de��G�����i��d��j�.������ 13�����g���;���m���tZu��������0ߞ�Le��conducteur�de�la�repr��r��s�esen�tation�����est�alors�d��r�eni�comme���etan��rt������Җ�N��6�=����UR���Y���'؍�=0�l�K�6�=�p������l��C�����n�(�l�K�)��*�:��)�������!��2.����0ߞLe��caract��r��s�ere.��W��0ߞLe���d��r��s�eterminan�t�de����fournit�un�caract���s�ere�de�Gal(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�dans��F����2����RA��q�����,don�t�le�con-�����0ߞducteur��divise��pN�@�.�8�P��rar�suite,�on�p�S�eut����s�ecrire��a ����Ԉtdet�����.��UR�=��"�����k�6���1���;����0ߞ�o�S����vu�Х���est�le�caract��r��s�ere�cyclotomique�de�conducteur��p��et�o����vu��"��est�un�caract��r��s�ere����0ߞ(�Z�=��X�N�@��Z�)����2������V�����j�!�UR�F����2����RA��q�����:�Ь�L'en��rtier��k�7ɹest�d���s�eni�mo�S�d�(�p�j����1),et�Ьle�fait�que�la�repr���s�esen�tation����0ߞest��impaire�implique�que��"�(��1)�UR=�(��1)����2�k��#��.��W��0ߞP��rar��d���s�enition,��"��est�le�caract���s�ere�de�la�repr���s�esen�tation���.��.
�����!�3.����0ߞLe��p�S�oids.����0ߞL'en��rtier����k�O��est�d���s�eni�mo�S�d�(�p�����1).���Je���ren�v�oie��� a�l'article�de�Serre�p�S�our�la�d���s�enition����0ߞdu�0�p�S�oids��k�3��2��f�Z��de�la�repr��r��s�esen�tation�0���.�
�Alors�que�le�conducteur��N�q��ne�d��r�ep�S�end����0ߞque�ߐdu�comp�S�ortemen��rt�de����aux�places�premi���s�eres��� a��p�,���la�d���s�enition�du�p�S�oids�ne����0ߞfait��in��rterv�enir�que�les�propri���s�et��es��lo�S�cales�en��p��de�la�repr��r�esen�tation����.�����%�La��conjecture�de�Serre�p�S�eut�alors�s'��r��s�enoncer�ainsi:������Conjecture�\�4.1.���Soit����une�r��ffepr��3��L�esentation�c�omme�ci-dessus,��de�p�oids��k�g�,��de�nive�au������N�A'�et�Cde�c��ffar�act��3��L�er�e�C�"�.�UnSupp�osons�c�ette�r�epr��3��L�esentation�irr���L�eductible.�UnEl���le�pr��ffovient�alors�����d'une�35forme�p��ffar�ab�olique����35mo�d����3<�p�35�de�p��ffoids��k�g�,�nive�au��N�t�c�ar�act��3��L�er�e��"�.����%��Cette��
conjecture,��csi�elle��|��s�etait�vraie,�aurait�de�nom��rbreuses�cons���s�equences:�K�elle�im-�����plique��9notammen��rt�la�conjecture�de�T��Vaniy�ama-W�eil,���et��9le�grand�th���s�eor��eme��9de�F��Vermat.����%�Beaucoup�l�de�telles�repr��r��s�esen�tations�l����son��rt�mo�S�dulaires,���soit�par�constructions,�soit�����parce���qu'elles�en��rtren�t���dans�le�cadre�de�conjectures�classiques�(Langlands,��IArtin,���:���:�:��w�)�����qui�S
en��rtrainen�t�la�conjecture�(parfois�sulemen�t�sous�une�forme�faible,�q_c'est-�� a-dire�a�v�ec�����un��p�S�oids�ou�un�conducteur�plus�grands�que�ceux�d��r��s�enis�dans�[�17����].)����%�P��rour�g�v���s�erier�(ou�inrmer)�la�conjecture�de�Serre,���il�faut�trouv�er�des�extensions������K�5�=�Q�,�L�de�%group�S�e�de�Galois�un�sous-group�e�de�GL�����2����(�F�����q�����)��� a�d��r��s�eterminan�t�%impair�si��p�UR�6�=�2.�����Il���n'est�en�g��r��s�en��eral���pas�dicile�de�calculer,��up�S�our��l��x�premier�et�pas�trop�grand,�la�trace������a�����l��J6�de��(nF��Vrob���ѝ����l��#ӹdans�(nGL�����2����(�F�����q�����):��lsi��P��ƹ(�x�)�est�un�p�S�olyn^�� ome�don��rt�les�racines�engendren�t��K�ܞ�,�����la��d��r��s�ecomp�S�osition�de��P�����ƹmo�d����'�l�.7�sut�souv��ren�t.����%�Il�z�est�par�con��rtre�b�S�eaucoup�plus�ardu�de�trouv�er�la�forme�mo�S�dulaire����mo�d�������p�,��si�elle�����existe,�F�qui�4Ycorresp�S�ond��� a�la�repr��r��s�esen�tation�4Y���donn��r�ee�par�le�corps��K�ܞ�:��Ale�discriminan��rt�����de�-W�K�	��est�souv��ren�t�-Wgros,�>donc�aussi�le�conducteur�de���,�qui�lui�est�in��rtimemen�t�-Wli���s�e,�et�����il��n'est�alors�pas�p�S�ossible�de�mener�les�calculs��� a�bien������ 14�����>���;���m���tZu�����������4.1��8fLe�ffcas��S�֜L��(��2����(����ff
msbm10�F��(��4���)��@����Un�C�cas�troublan��rt�est�celui�o�S����vu��p�T�=�2,�ټcar,�du�C�fait�que���1�T���1(���mo�d�����B2),�ټtoute������repr��r��s�esen�tation��est�alors�impaire.����%�Les�repr��r��s�esen�tations�de���Gal���k�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�)�dans���GL����������2��_��(�F�����2����)���=��S�����3���	�(m��r^��s�eme�totalemen�t�r���s�eelles,�����cf.�O�[�17����])��@pro��rviennen�t�de�formes�mo�S�dulaires�de�p�oids�1,�4&le�group�e��S�����3��	�D�p�ouv��X�an��rt���^��s�etre�����r��r��s�ealis��e�W�comme�un�sous-group�S�e�de���GL���������2����(�C�).�hOn�p�eut�alors�esp��r��s�erer�que�par�m�ultipli-�����cation��xpar�des�s��r��s�eries�d'Eiseinstein�con�v�enables,��on�obtienne�une�forme�mo�S�dulaire�de�����p�S�oids��et�de�niv��reau�pr���s�edits�par�la�conjecture�de�Serre�(cf.�8�[�17����]�p�S�our�des�exemples).����%�P��rour��_obtenir�des�cas�plus�in�t���s�eressan�ts�en�caract���s�eristique�2,�u�on�consid���s�ere�des�����repr��r��s�esen�tations��j�� a�v��X�aleurs�dans���GL��������2��?	�(�F�����4����).�G%L'isomorphisme��A�����5��o�'���]k�SL����;�����2�����(�F�����4���)�p�S�ermet�d'en�����obtenir���plusieurs�exemples.�iLSoit�donc�une�extension��K��j�de��Q��de�Galois��A�����5����.�Comme������A�����5����se�plonge�dans��P���GL�����2����(�C�),�	(si�le�corps�n'est�pas�totalemen��rt�r���s�eel,�	(la�repr���s�esen�tation�������1�asso�S�ci��r��s�ee�pro�vien�t�encore�d'une�forme�mo�S�dulaire�de�p�oids�1�(mo�dulo�la�conjecture�����d'Artin;��cf.��I[�2����]).�Supp�S�osons� par�con��rtre�que��K�侹soit�totalemen�t�r���s�eel;��aucune�des�con-�����jectures��wclassiques�ne�nous�p�S�ermet�alors�de�soup��� conner����de�pro��rv�enir��wd'une�forme�����mo�S�dulaire,��m��r^��s�eme��Bde�p�oids�ou�de�niv��reau�����s�el��ev�e.��C'est��Bce�cas�que�nous����etudions�en�����d��r��s�etail�g�dans�ce�qui�suit.���La�m���s�etho�S�de�des�graphes�a�ici��et��r�e�indisp�S�ensable,���les�formes�����mo�S�dulaires��rec��rherc�h���s�ees�a�y�an�t�de�trop�gros�conducteurs�p�S�our�1x^��s�etre��etudi��r�ees���� a�l'aide�de�����la��form��rule�des�traces�de�Eic�hler-Selb�S�erg.����%�Soit��?donc��P��ƹ(�x�)�UR=��x����2�5��[��+����a�����1����x����2�4���+��a�����2����x����2�3���+��a�����3����x����2�2���+��a�����4����x��+��a�����5���C�un��?p�S�olyn^�� ome��a�co�S�ecien��rts�����dans����Q��de�degr��r��s�e�5,���de�discriminan�t��D�S��.�IP�our�que�le�corps�des�racines�de��P�3��soit��A�����5����,���il�����faut�jZet�il�sut�que��P� �soit�irr��r��s�eductible,��que��D���soit�un�carr���s�e,��et�qu'il�existe�un�nom�bre�����premier���l�?��ne�divisan��rt�pas��D�O��tel�que��P�����ƹmo�S�d����'�l��ait�exactemen��rt�2�racines�dans��F�����l��ٹ(cette�����derni��r��s�ere��condition�assuran�t�que�le�group�S�e�est�bien��A�����5�����tout�en�tier).����%�Il�s�est�clair�que��"�>��=�1.���Si�s��p��divise��D�S��,����p��premier��� a�30,��n�(�p�)�>�=�1�s�si�it�seulmen��rt�si�����l'inertie�F�en�p�est�d'ordre�2,�]�et�donc�si�le�p�S�olyn^�� ome��P��u�a�des�racines�au�plus�doubles�����mo�S�d���p�.�7#Quan��rt�au�p�oids��k�g�,�)�il�est�2�ou�4�suiv��X�an��rt�la�ramication�de��K�Ʋ�en�2.�7#P�our�����simplier�"les�calculs,�/�nous�a��rv�ons�"limit���s�e�la�rec�herc�he�d'exemples�aux�repr���s�esen�tations�����de��niv��reau�premier�et�de�p�S�oids�2.����%�D'autre�k�part,��0bien�qu'il�s'agisse�de�repr��r��s�esen�tations�k�dans��S���L�����2����(�F�����4���),�le�k�co�S�ecien��rt��a�����2�������de�j�la�forme�mo�S�dulaire�c��rherc�h���s�ee,��si�j�elle�existe,�p�S�eut�ne�pas�d^��s�etre�dans��F�����4����,�mais�dans������F�����16��	�.�,Cela��Mpro��rvien�t�du�fait�que�le�co�S�ecien�t��a�����l����d'une�forme�mo�S�dulaire����mo�d����I��l�ܹest�p���s�egal������� a�J|une�v��X�aleur�propre�de��F��Vrob�������l��s�,�bqet�non��a�sa�trace.�X\Or,�bqsi�une�matrice�de��S���L�����2����(�F�����4���)�J|est�����d'ordre��5,�ses�v��X�aleurs�propres�son��rt�dans��F�����16��	�,�et�non�dans��F�����4����.����%�Les�=~exemples�trait��r��s�es�ci-dessous�on�t�����s�ete�obten�us�en�faisan�t�tout�d'ab�S�ord�une�����rec��rherc�he��psyst���s�ematique�sur�ordinateur�(l'IBM��4341�de�l'ENS,�rue�d'Ulm)�de�p�S�olyn^�� omes�����con��rv�enables�v�(totalemen�t�r���s�eels,���de�t�yp�S�e��A�����5����,���don�t�le�conducteur�de�la�repr���s�esen�tation�����asso�S�ci��r��s�ee��est�un�nom�bre�premier��N�@�,�et�don�t�le�p�S�oids�est�2.����%�Ensuite,���p�S�our���c��rhac�h�un�de�ces�p�S�olyn^�� omes��P��ƹ,���on�a�calcul���s�e�la�v��X�aleur�propre��a�����2�������corresp�S�ondan��rte��2(dans��F�����1����6),��Jet�on�a�c�herc�h���s�e�s'il�existe�une�forme�mo�S�dulaire�mo�d�2�de�����niv��reau�G��N����et�de�p�S�oids�2�telle�que��T�����2��	��ait��a�����2���comme�v��X�aleur�propre.�O�Dans�tous�les�cas������ 15�����N���;���m���tZu����������consid��r��s�er��es,�P�on�<wa�alors�trouv��r�e�un�espace�propre�de�dimension�1�ou�2.�.LEn�emplo��ry�an�t������les��op��r��s�erateurs��T�����3��P
�et��T�����5����,��'on�a�alors�calcul���s�e�les�co�S�ecien�ts��a�����3��P
�et��a�����5����,��'et�v���s�eri��e��qu'ils�on�t�����la��v��X�aleur�pr��r��s�edite�par�le�t�yp�S�e�de�d���s�ecomp�S�osition�de��P��n�en�3�et�5.�����&.���x��%�Evidemmen��rt,���cela�n�ne�prouv�e�pas�vraimen�t�que�la�repr���s�esen�tation����asso�S�ci���s�ee��� a��P������est�6Tmo�S�dulaire:��9nous�a��rv�ons�6Tseulemen�t�exhib���s�e�une�forme�mo�S�dulaire�mo�d�2�du�b�on�����niv��reau�Mmet�du�b�S�on�p�oids�don��rt�les�termes��a�����2����;���a�����3��

q�et��a�����5���con��rviennen�t.�	a.Mais�Mmc'est�une�����b�S�onne�9pr��r��s�esomption�de�la�v���s�eracit��e�9de�la�conjecture�de�Serre�dans�les�cas�consid���s�er��es:�����une��[rec��rherc�he�extensiv�e�sur�de�nom�breux�nom�bres�premiers��N�?�des�co�S�ecien�ts��a�����2���_�de�����formes��umo�S�dulaires�de�p�oids�2�et�de�niv��reau��N�Y�mon�tre�en�eet�qu'il�est�rare�qu'ils�soien�t�����dans�ʐdes�corps�de�p�S�etit�degr��r��s�e.���(En�fait,�.il�sem�ble�que�2,�.et�plus�g���s�en��eralemen�t�ʐles�p�S�etits�����nom��rbres��
premiers,��\soien�t�les�plus�\inertes"�p�S�ossibles�dans�les�corps�in�terv�enan�t�dans�����l'alg��r��s�ebre�@�de�Hec�k�e�des�formes�mo�S�dulaires,�b�corps�qui�eux-m�^��s�emes�paraissen�t�en�g���s�en��eral����,$^��s�etre��du�plus�gors�degr��r�e�p�S�ossible,�74compte�ten��ru�des�con�train�tes�du�t�yp�S�e�in�v�olutions�����d'A��rtkin-Lehner,�Ԥpremiers�r�d'Eiseinstein,�etc.�	��Il�arriv��re���s�evidemmen�t�qu'il�y�ait�des�����p�S�etits�'facteurs,�6{�corresp�ondan��rt�par�exemple�aux�courb�es�elliptiques�de�conducteur�����premier��{�mais�c'est�apparemmen��rt�rare.)��"ʫ�����4.2��8fQuelques�ffexemples��@�����!��1.����0ߞ�P��ƹ(�x�)�UR=��x����2�5��j������10�x����2�3���+�2�x����2�2���+�19�x����6.�����0ߞLe�
�discriminan��rt�de��P����est�(2����2�3����887)����2�2���.��fCe�
�p�S�olyn^�� ome�est�irr���s�eductible�mo�S�d�5,��donc����0ߞirr��r��s�eductible��Qsur��Q�.�6�Ses�racines�son�t�toutes�r���s�eelles�(on�p�S�eut�par�exemple�appli-����0ߞquer��l'algorithme�de�Sturm).�8�On�a������S��P��ƹ(�x�)�UR���x�(�x������1)(�x�����3��j��+��x�����2�����1)���mo�S�d�����B3�;����0ߞ�ce�^�qui�fournit�un�cycle�d'ordre�3;��Vle�group�S�e�de�Galois�de��K�ܞ�,�z�le�corps�des�racines����0ߞde���P��ƹ,�est�donc��A�����5����.����0ߞDu�L�fait�que��P��ƹ(�x�)������(�x������462)(�x����755)����2�2����(�x����788)����2�2������mo�S�d����EF887�����2�2���
��on�L�d��r��s�eduit�que����0ߞle�d/conducteur��N���de�la�repr��r��s�esen�tation�d/asso�S�ci��ee�d/�� a��P���est��N�ι=���887.�	�tOn�p�S�eut����0���s�egalemen��rt���mon�trer�que�3�est�\p�S�eu�rami���s�e"�au�sens�de�[�17����],���donc�le�p�S�oids�de������0ߞ�est�x2.�%Un�examen�facile�de�la�r��r��s�eduction�de��P�!>�mo�S�d�2�mon�tre�que�les�co�S�ecien�ts����0ߞ�a�����2����;���a�����3��޺�et���a�����5���de�la�forme�mo�S�dulaire�mo�d�2�de�niv��reau�887�qui�doit�corresp�ondre����0ߞvia��la�conjecture�de�Serre��� a����son��rt�1,�1�et��j��{�(o�S����vu��j�%�2�UR�F�����4�����v���s�erie��j���ӟ��2�2���+����j�W{�+�1�UR=�0).����0ߞOn�+�applique�alors�la�m��r��s�etho�S�de�des�graphes:��fl'espace�des�formes�mo�dulaires�mo�d����0ߞ2�d[de�p�S�oids�2�et�niv��reau�887�est�de�dimension�73,�7et�le�calcul�mon�tre�que�l'espace����0ߞpropre�$��G�����1��	���de��T�����2���corresp�S�ondan��rt��� a�la�v��X�aleur�propre�1�est�de�dimension�2;��#�T�����3�����0ߞ�agit���comme�l'iden��rtit���s�e���sur��G�����1����,��Fet��j����et��j���ӟ��2�2��	KĹson��rt�les�v��X�aleurs�propres�de��T�����5����agissan�t����0ߞsur����G�����1����,��
d'o�S����vu�une�base�de��G�����1��	n��form��r��s�ee�de��f�����1��	cy�=��u�q����+�0P�q��n9���2�2��^��+��q��n9���2�3���+��q��n9���2�4���+��j���q��n9���2�5���+����������C�et����
���ff��,������
����^��2�����correction�UUfrom�original:�qǵP�c��(�x�)���
!",�

cmsy10���(�x�8���446)(�x����126)���^��2��|s�(�x����538)���^��2������mo�Gd�����r887������ �16��������;���m���tZu��������0ߞ�f�����2���%�=��!�q�W4�+����q��n9���2�2��8�+��q��n9���2�3���+��q��n9���2�4���+��j���ӟ��2�2��l��q��n9���2�5���+������������,�]v��recteurs�F2propres�des�op���s�erateurs�de�Hec�k�e.�����0ߞCeci��corrob�S�ore�parfaitemen��rt�la�conjecture.��PЍ����!�2.����0ߞ�P��ƹ(�x�)�UR=��x����2�5��j������23�x����2�3���+�55�x����2�2�����33�x����1.��hh��0ߞThen�@��D�;o�=���13613����2�2����;���P��ƹ(�x�)����(�x��G���6308)(�x����2211)����2�2���(�x����8248)����2�2������mo�S�d����EF13613,�VI�N�(Ź=����0ߞ13613;�z��P��U���s�etan��rt�Cirr��eductible�Cmo�S�d�2,��d�F��Vrob���
Ο���2��#�est�un�cycle�d'ordre�5,�d�et��a�����2��V�=�UR������5����,�une����0ߞracine�acinqui��r��s�eme�de�l'unit���s�e,�|�vue�comme�
��el��r�emen�t�ade��F�����16��	�.�La�calcul�mon��rtre�alors����0ߞque,��udans�~�l'espace�des�formes�mo�S�dulaires�mo�d�2�de�niv��reau�13613�et�de�p�oids�2,����0ߞqui�Q�est�de�dimension�1134,�kF������5��	��est�v��X�aleur�propre�simple�de��T�����2����.�m�Les�co�S�ecien��rts����0ߞ�a�����3��Q��et����a�����5���son��rt�resp�S�ectiv�emen�t�=���s�egaux��� a�1��+������2����2��RA�5������+������2����3��RA�5����W�=�UR�j�>W�et��� a������2����2��RA�5������+������2����3��RA�5����W�=�UR�j���ӟ��2�2��l׹,��Xqui�son��rt����0ߞbien��les�traces�de��F��Vrob����ן���3��$>��et��F��Vrob����ן���5���dans���SL�����3����2���7�(�F�����4����).�������!�3.�����1����x��0ߞEnon��� cons���rapidemen��rt�les�autres�p�S�olyn^�� omes�trouv���s�es;���dans�c�haque�cas,��cil�existe����0ߞune��]forme�mo�S�dulaire�de�p�oids�2�et�du�b�on�niv��reau,��don�t��]les�premiers�termes��a�����n�����0ߞ�corresp�S�onden��rt���� a�ceux�pr���s�edits�par�la�conjecture�de�Serre.���؍�[�D�P��ƹ(�x�)�UR=��x�����5��j��+����x�����4�����16�x�����3�����7�x�����2���+�57�x����35�;���N��6�=�UR8311�;�����A�p�����A�z�
�
���D����jY�=��N�����VO+P��ƹ(�x�)�UR=��x�����5��j��+���2�x�����4�����43�x�����3���+�29�x�����2���+�2�x����3�;���N��6�=�UR8447�;�����A�p�����A�z�
�
���D����jY�=�2�����2����N���捑R�1P��ƹ(�x�)�UR=��x�����5��j��+����x�����4�����13�x�����3�����14�x�����2���+�18�x��+�14�;���N��6�=�UR15233�;�����A�p�����A�z�
�
���D����jY�=�2�N����SxP��ƹ(�x�)�UR=��x�����5��j��+����x�����4�����37�x�����3���+�67�x�����2���+�21�x��+�1�;���N��6�=�UR24077�;�����A�p�����A�z�
�
���D����jY�=�2�����2����N��'�������5��0��App��=endice:���Les�z�courb�es��D��g�G�cmmi12�DX�����0��_��D��tG�G�cmr17�(�Dp�)��de�genre�0��b#����Dans�D�[�5����],���il�est�mon��rtr���s�e�D�que,�si��p��est�un�nom��rbre�premier,�la�courb�S�e��X�����0����(�p�)�sur��Z�����p��������est�%Cformellemen��rt�isomorphe��� a�la�courb�S�e�d'���s�equation��xy��	�=�l��p����2�k��
Hչau�v�oisinage�de�tout�����p�S�oin��rt���se�r���s�eduisan�t�mo�S�d��p��en�un�p�oin��rt�sup�ersingulier��S��׹,����k��P���s�etan��rt�la�moiti���s�e�du�nom�bre�����d'automorphismes��de��S��׹.����%�Si�F2�X�����0����(�p�)�est�de�genre�0�(i.e.,�]�p��"�=�2�;����3�;��5�;��7�;�F2�et�13)�on�a�en�fait�un�tel�mo�S�d��r��s�ele�sur������Z�,��donn��r��s�e�par�la�fonction��$�����]��x�UR�=�����q��������ō�P���n9�(�z���)��
]ݟ[��z�A��
�΍��n9�(�pz���)������)�Ɵ�q�������~�6���24��3�Q�s^�\)
L�����p��1����D��;�������|˹(2)�����"���o�S����vu����n9�(�z���)�UR=��q�����2�1�=�24����G�����Q����*���C��1��	U_��C��i�=1���-��(1������q�����2�n����)��and��q�Ë�=�UR�e����2�2��I{iz����.����%�Ceci�o^d��r��s�ecoule�de�F��Vric�k�e�[�7����],���qui�donne����s�egalemen�t,���p�S�our�c�hacune�des�v��X�aleurs�de��p������ci-dessus,�LUl'expression��du�morphisme�oubli��j�㿹:�6��X�����0����(�p�)����������E!��X�����0���(1),�LUqui���� a�tout�p�S�oin��rt�����(�E��;���C�ܞ�)�-de��X�����0����(�p�)�asso�S�cie�le�p�oin��rt�(�E���)�de��X�����0����(1),�Nparam���s�etr��e�-par�l'in�v��X�arian�t�mo�S�dulaire������j��ӹ.����%�Dans��ce�qui�suit,�:�nous�rapp�S�elons�ces��C��s�equations,�et�donnons��C��s�egalemen��rt�l'expression�����des�Scorresp�S�ondances��T�����2��	�W�et��T�����3���sur�ces�courb�S�es.���La�v��X�ariable��x��est�celle�donn��r��s�ee�par������ 17����ߠ��;���m���tZu����������l'��r��s�equation��6(2),��l'in�v�olution��W�����p��<���s�ec�hange��x��et��y�6o�et�le�diviseur�de��x��est�(0)�dM���(�1�),��o�S����vu�0������et���1��son��rt�les�deux�p�S�oin�tes�de��X�����0����(�p�).��������!�1.����0ߞ�p�UR�=�2��TLes�����s�equations�donn��r�ees�par�F��Vric��rk�e��T(l��eg��eremen�t��Tmo�S�di��ees��Tp�S�our�donner�un����0ߞmo�S�d��r��s�ele��de��X�����0����(2)�sur��Z�)�son�t:��������xy�Ë�=�UR2�����12���v0���l5�j�%�=������ō���(�x����+�16)����2�3������[��z�.ɮ�
�΍�.�x���������0ߞT�����2�����est��donn��r��s�e�par:������-�y��n9����2���������y�n9�(�x�����2��j��+�2�����4����3�x�)����2�����12��	�x�UR�=�0����0ߞ(A��9tout��{p�S�oin��rt��x��est�asso�ci��r��s�ee�par��T�����2����la�somme�formelle�des�p�oin��rts�de�co�ordonn��r��s�ees����0ߞ�y�X�racines��de�ce�p�S�olyn^�� ome.)�����0ߞ�T�����3�����est��donn��r��s�e�par:�����0ߞ�x�����4����+�y��n9����4��.=��x�����3���y��n9����3����2�����3���3�����2���x�����2���y��n9����2���(�x�+�y�n9�)��2�����2���3�����2���5�����2���xy��(�x�����2���+�y������2��.=�)+2��3�����2���1579�x�����2���y������2��.=��2�����15��	�3�����2���xy��(�x�+�y��)��2�����24��	�xy�Ë�=�UR0��������!�2.����0ߞ�p�UR�=�3.�����
��xy�Ë�=�UR3�����6������W^�j�%�=������ō���(�x����+�27)(�x��+�3)����2�3������[��z�R�\�
�΍�&#�x�������x����1T�����2��V�:�UR�x�����3��j��+����y��n9����3�������2�����3����3�xy�n9�(�x��+��y��)����x�����2����y������2�������3�����6����xy�Ë�=�UR0����V/�T�����3��V�:�UR�y��n9����3���������y��n9����2��.=�(�x�����3��j��+�2�����2����3�����2���x�����2���+���2����3�����2����5�y�n9�)����3�����6���y�n9x�(�x��+�2�����2���3�����2���)����3�����12��	�x�UR�=�0�������!�3.����0ߞ�p�UR�=�5.�����
��xy�Ë�=�UR5�����3�����ʼn �j�%�=������ō���(�x����2�2��j��+���10�x��+�5)����2�3������[��z�N�؟
�΍�#�C�x�������x����/T�����2��V�:�UR�x�����3��j��+����y��n9����3�������x�����2����y��n9����2�����2�����3����xy�n9�(�x��+��y��)����7�����2����xy�Ë�=�UR0����0ߞ�T�����3��V�:�UR�x�����4����+�y��n9����4��.=��x�����3���y��n9����3����2��3�����2���x�����2���y��n9����2���(�x�+�y�n9�)��3�����4���xy��(�x�����2���+�y������2��.=�)��2��3�����2���23�x�����2���y������2��.=��2250�xy��(�x�+�y��)��5�����6���xy�Ë�=�UR0�������!�4.����0ߞ�p�UR�=�7.�����
��xy�Ë�=�UR7�����2�������6�j�%�=������ō���(�x����2�2��j��+���13�x��+�49)(�x����2�2���+�5�x��+�1)����2�3������[��z��_��
�΍�H�-�x�������x����/T�����2��V�:�UR�x�����3��j��+����y��n9����3�������x�����2����y��n9����2�����2�����3����xy�n9�(�x��+��y��)����7�����2����xy�Ë�=�UR0����0ߞ�T�����3��V�:�UR�x�����4����+�y��n9����4��.=��x�����3���y��n9����3����2�����2���3�x�����2���y��n9����2���(�x�+�y�n9�)��2��3��7�xy��(�x�����2����+�y������2���)��3��53�x�����2����y������2����2�����2����3��7�����2���xy�n9�(�x�+�y��)��7�����4����xy�Ë�=�UR0������ 18����.J���;���m���tZu�����������!��5.����0ߞ�p�UR�=�13.������}��xy�Ë�=�UR13��hd��}��j�%�=������ō���(�x����2�2��j��+���5�x��+�13)(�x����2�4���+�7�x����2�3���+�20�x����2�2���+�19�x��+�1)����2�3������[��z�����
�΍�k�U�x������ɬ���>3T�����2��V�:�UR�x�����3��j��+����y��n9����3�������x�����2����y��n9����2�����2�����2����xy�n9�(�x��+��y��)����13�xy�Ë�=�UR0���4��0ߞ�T�����3��V�:�UR�x�����4����+�y��n9����4��.=��x�����3���y��n9����3����2��3�x�����2���y��n9����2���(�x�+�y�n9�)��3��5�xy��(�x�����2����+�y������2���)��3��11�x�����2����y������2����2��3��13�xy��(�x�+�y��)��13�����2����xy�Ë�=�UR0��[6��%�Les���p�S�olyn^�� omes�ci-dessus�donnat��T�����2��b��et��T�����3���son��rt�donc�d'���s�ecriture�plus�simple�que�les����,$��s�equations��mo�S�dulaires�classiques������2����(�j��;���j���ӟ��2�0��{�)�et������3���(�j��;���j���ӟ��2�0��{�)�(qui�corresp�S�onden��rt��� a�l'action�de������T�����2�����et���T�����3���sur��X�����0����(1)).�8�A�titre�de�comparaison,�nous�rapp�S�elons�leur�expression:���_Ѝ���?�������2����(�j��;���j���ӟ���0��{�)�����r��=�������A�j���ӟ���3���+����j���ӟ���0�3��
e����j���ӟ���2��l��j���ӟ���0�2���+�2�����4����3����31�j���j������0��{�(�j�W{�+����j������0���)������2�����4����3�����4���5�����3���(�j���ӟ���2���+����j���ӟ���0�2����)�����������A+3�����4����5�����3���4027�j���j������0��%��+���2�����8����3�����7���5�����6���(�j�W{�+��j���ӟ���0��{�)����2�����12��	�3�����9���5�����9�����������������3����(�j��;���j���ӟ���0��{�)�����F\�=�����Y�_�j���ӟ���4���+����j���ӟ���0�4��
e����j���ӟ���3��l��j���ӟ���0�3�����2�����2����3�����3���9907�j���j������0��{�(�j������2���+����j������0�2����)�+�2�����3����3�����2���31�j���ӟ���2��l��j���ӟ���0�2����(�j�W{�+��j���ӟ���0��{�)��������Y�_��2�����16��	�5�����3����3�����5���17������263�j���j������0��{�(�j�W{�+����j������0���)���+�2�����15��	�3�����2����5�����3���(�j���ӟ���3���+����j���ӟ���0�3����)�+�2����3�����4����13����193����6367�j���ӟ���2��l��j���ӟ���0�2���������Y�_��2�����31��	�5�����6����22973�j���j������0��%��+���2�����30���3�����3����5�����6���(�j���ӟ���2���+����j���ӟ���0�2����)�+�2�����45���3�����3����5�����9���(�j�W{�+����j���ӟ���0��{�)����(�����References��b#����_��[1]���+��A.O.L.��@A��rtkin,��fJ.�Lehner,��He��ffcke���op�er�ators�on�������0����(�m�),��fMath.��@Ann.��185��(1970),�����+��134-160.��v΍���_�[2]���+��J.P��V.�U�Buhler,����Ic��ffosahe�dr�al��Galois�R��ffepr�esentations�,�Springer�U�Lecture�Notes��654����+���(1978).������_�[3]���+��J.P��V.��Buhler,��-B.�Gross,�D.�Zagier,��On���the�c��ffonje�ctur�e���of�Bir��ffch�and�Swinnerton-����+��Dyer�35for�an�el���liptic�curve�of�r��ffank�3�,��Math.�Of�Comp.��44��(1985),�473-481.������_�[4]���+��A.�T�Brumer,�olK.�Kramer,��The���r��ffank�of�el���liptic�curves�,�Duk��re�T�Math.�J.��44��(1977),����+��716-743.������_�[5]���+��P��V.�;Deligne,��`M.�Rap�S�op�ort,��L��ffes�%tsch��3��L�emas�de�mo�dules�de�c�ourb�es�el���liptiques�,����+��Springer��Lecture�Notes��349��(1973),�143-316.������_�[6]���+��M.���Eic��rhler,���Zur�}Zahlenthe��fforie�der�Quaternionen-A��2lgebr�en�,��J.���reine�angew.�Math.����+���195�꨹(1956),�127-151.������_�[7]���+��R.��F��Vric��rk�e,�Lehrbuc�h�der�Algebra,�I�S�I�I,�Braunsc��rh�w�eig,�F.�View�eg�&�Sohn,�1928.������ 19����:����;���m���tZu����������_��[8]���+��B.��Gross,���D.�Zagier,��Points�-�de�He��ffe�gner�-�et�d��3��L�eriv��ees�-�de�fonctions�L�,��C.�R.�Acad.�����+��Sc.��P��raris��297��(1983),�85-87.�������_�[9]���+��B.�*�Mazur,�z�P��V.�Swinnerton-Dy��rer,��A��2rithmetic�Y�of�Weil�curves�,�In��rv�en�t.�*�Math.��25����+���(1974),��1-61.�������[10]���+��J.�I�-F.�Mestre,�aw�Courb��ffes���de�Weil�de�c�onducteur��_�5077,�awC.R.�I�Acad.�Sc.�P��raris��300����+���(1985),��509-512.�������[11]���+��I.���Miy��ra�w�aki,��`�El���liptic��ucurves�of�prime�p��ffower�c�onductor�with��Q�-r�ational�p�oints�of����+��nite�35or��ffder�,��Osak��X�a�Math.�J.��10��(1973),�309-323.�������[12]���+��H.L.��Mon��rtgomery��V,���P�.�J.�W�ein��rb�S�erger,����Notes���on�smal���l�class�numb��ffers�,�Acta����+��Arithm.���24��(1973),�529-542.�������[13]���+��J.�BiOesterl��r��s�e,�d�Nombr��ffes���de�classes�des�c�orps�quadr�atiques�imaginair�es�,�dSe'm.�BiBour-����+��baki,��Juin�1984.�������[14]���+��A.�EPizer,�[��On��Gthe�arithmetic�of�quaternion�algebr��ffas�II�,�J.�Math.�So�S�c.�Japan��28����+���(1976),��676-688.�������[15]���+��A.���Pizer,����A��2n��6algorithm�for�c��ffopmuting�mo�dular�forms�on�������0����(�N�@�),���J.���of�Alg.��64����+���(1980),��340-390.�������[16]���+��J.-P��V.��Serre,�b�Pr��ffopri��3��L�et��es�>*galoisiennes�des�p��ffoints�d'or�dr�e�ni�des�c�ourb�es�el���liptiques�,����+��In��rv�en�t.��Math.��15��(1972),�259-331.�������[17]���+��J.-P��V.�E�Serre,��t�Sur�]�les�r��ffepr��3��L�esentations�mo�dulair�es�de�de�gr��3��L�e�2�de���Gal���r+�(���S��z�
#��	�\��Q���
#��=�Q�),��t�� a����+��para^����^��n<tre��dans�Duk��re�Math.�J.�������[18]���+��C.���B.�Setzer,�R�El���liptic���curves�of�prime�c��ffonductor�,�J.���London�Math.�So�S�c.��10����+���(1975),��367-378.�������[19]���+��T��Vables,��y�Mo��ffdular��6F���unctions�of�One�V�ariable�IV�,�|Springer�Lecture�Notes��476����+���(1975),��33-52.������ 20����I���;���;��N
�D��g�G�cmmi12�A�':

cmti10�;���@cmti12�8��N�ffcmbx12�62�@�cmbx8�5��N�cmbx12�3p�p�msbm8�2���
msbm10�)��u
cmex10�(q�%cmsy6�'�K�cmsy8�&!",�
cmsy10�%;�cmmi6�$�2cmmi8�#��g�cmmi12�"�Aa�cmr6�!|{Ycmr8� ��N�G�cmbx12�D��tG�G�cmr17����ff
msbm10���g�ffcmmi12�X�Qffcmr12�D��t�qG�cmr17�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7�Q.����