Sharedwww / projects / kleinerman_99paper.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2004.04.07:0913�������7
�����V������J����"V

cmbx10�THE���JA��9COBIAN,�THE�ABEL-JA�COBI�MAP��
�,�AND�ABEL'S����̻ZTHEOREM������|{Ycmr8�SETH��XKLEINERMAN��9����e�K�`y

cmr10�1.���H���-�

cmcsc10�Intr��oduction����BलThroughout,����
�b>

cmmi10�X�p�will��-denote�a�compact�Riemann�surface�of�gen���us��g��X�
!",�

cmsy10��O�1.�gORecall����6�that�UUa��$�':

cmti10�divisor�h�on��X�7�is�a�formal�sum�of�p�Goin���ts��p��in��X��with�in���teger�co�Gecien�ts,���ߍ��=��D�5�=����ܶ������u

cmex10�X����7����	0e�rcmmi7�p�O!�cmsy7�2�X���ŵn����p���R�p;���n���2��"���

msbm10�Z�:��h���6लAlso,��an���y�� meromorphic�function��f����:��i�X�^K�!��C�� �has�a�divisor�naturally�asso�Gciated�to����6�it,�UUnamely��e������(�f���)��=����ܶ����X����7���p�2�X���d�(�or�Gd����p���R�(�f��))�p:��Nꍑ6लThe�UU�de��}'gr�e�e���of�a�divisor��D��r�is�the�sum�of�its�in���teger�co�Gecien�ts:�q�for��D��r�as�ab�Go�v�e,�����Ģdeg���ő(�D�G�)��=����ܶ����X����7���p�2�X���ŵn����p���R�:��h���6लA���natural��question�to�ask�is:�9�whic���h�divisors�of�degree�0�do�not�arise�from�meromor-����6�phic���functions?��The�answ���er�is�giv�en�in�a�theorem�of�Ab�Gel,��whic�h�w�e�will�presen�t����6�here.�$�Since�njeac���h�divisor�up�to�linear�equiv��q�alence�also�corresp�Gonds�to�an�isomorphism����6�class�q�of�line�bundles�of�degree�0,��&w���e�will�also�b�Ge�able�to�use�Ab�el's�theorem�to�classify����6�degree�UU0�line�bundles�on��X�7�as�p�Goin���ts�of�a�complex�torus�called�the�Jacobian.��������X�2.�����The��Ja��cobian����BलThe�|rst�step�is�to�in���tro�Gduce�the�Jacobian�of��X���,���whic�h�w�e�will�dene�to�b�Ge�the����6�compact�UUquotien���t�of��C���^��g���\�b�y�a�certain�lattice.����B�T��*�o�3gstart,�:0consider�a�canonical�basis�for�the�homology�group��H����ٓ�Rcmr7�1��|s�(�X�:�;����Z�).�fxIt�has�2�g����6लelemen���ts,��Y�f�a����1��|s�;����:�:�:����;���a����g����;�b����1���;��:�:�:����;�b����g����g�.��iEac���h���of�these�corresp�Gond�to�closed�curv�es�in�the����6वg�[ٲ-handled�torus,�#}with��a����i��kS�and��b����i���represen���ting�the�curv�es�around�the�inner�and�outer����6�circumferences�UUof�the��i�th�handle.����B�W��*�e�B�will�denote�the�line�bundle�whose�sections�are�holomorphic�1-forms�on��X����6लb���y�V�
,�V�and�the�trivial�line�bundle�(whose�sections�are�holomorphic�functions�on��X���)����6�b���y�f�O�G�.���Let��!����1��|s�;���!����2���;��:�:�:����;�!����g���m�b�Ge�fa�normalized�basis�for��H������^��0��Lq�(�X�:�;��
).���(By�Serre�dualit���y��*�,��I��6�this�space�is�isomorphic�to��H������^��1��Lq�(�X�:�;����O�G�)���^������.)�z�The�c���hoice�of�basis�is�dep�enden���t�on�the����6�homology�UUbasis�c���hosen�ab�Go�v�e;�the�normalization�signies�that���T����+L��c��Z�������	y�a���O
�\cmmi5�i����e��!����j���IJ=�������ij��
��;���i;���j�Y��=�1�;��2�;��:�:�:����;�g�[�:�������k�1����*��7
��������6ऱ2����SETH���KLEINERMAN���V������BलNo���w��yfor�eac�h�curv�e��
�[��in�the�homology�group��H����1��|s�(�X�:�;����Z�),��w�e�can�asso�Gciate�a�v�ector����6व����
��v�in�UU�C���^��g���\�b���y�in�tegrating�eac�h�of�the��g��.�1-forms�o�v�er��
��8�,�as�follo�ws:����"�����
��覲=�������^����
#���c�Z����Ɵ	y�
��}��!����1��|s�;������c��Z���8�	y�
���!����2���;����:�:�:����;������c��Z���8�	y�
���!����g�������^����s0�:������6लBecause�rYw���e�ha�v�e�explicitly�c�hosen�the��!����i��TL�s�to�b�Ge�normalized�with�resp�ect�to�the����6�canonical�UUhomology�basis,�w���e�see�that������������a���i���
Ȁ�=���e����i��TL�;����6लthe�UU�i�th�orthonormal�basis�v���ector,�and�w�e�can�dene��ڍ���U�����b���i���	�T�=�������^����
#���c�Z����Ɵ	y�b���i������!����1��|s�;������c��Z���8�	y�b���i���Ƶ!����2���;����:�:�:����;������c��Z���8�	y�b���i����!����g�������^����zvn�=���B����i��TL�:��0���6लThese�;�2�g��n�v���ectors�(the������a���i���h�s�and������b���i���/<�s)�are�in�fact��R�-linearly�indep�Genden�t�in��C���^��g����,�@�that����6�is,��5no��-non���trivial�linear�com�bination�of�the�v�ectors�with�co�Gecien�ts�in��R��can�b�Ge�equal����6�to�UUzero.��eʍ���6��Pr��}'o�of.���V5�If�UUthey�w���ere�not,�for�some��s����i��TL�;���t����i��d�2���R��not�all�zero,�w�e�w�ould�ha�v�e���H�������Q:�g���獍��+ٟ���X����t���ꖴi�=1����HJ�s����i��TL�e����i���,�+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i���B����i��d�=��0�:��RG��6लRewriting�UUthis�in�terms�of�the�original�basis,�w���e�get����������;�g���獍���ڟ���X����t������i�=1�������K���^����A��s����i������c��Z���
�.�	y�a���i���9>�!����j��o��+�8�t����i������c��Z���
�.�	y�b���i���g�!����j���6����^�����k9�=��0���UUfor�eac���h���)#��j�R;������so����'�ύ������X�g���獍��3�����X����t����@�i�=1������O���^�����h�s����i������c��Z���
�.�	y�a���i���������9>�!����j���� �E�+�8�t����i������c��Z���
�.�	y�b���i�����1�����g�!����j������9���^�������=��0���UUfor�eac���h���)#��j�����as�UUw���ell���! ŵ:��j���6लSince�^�the��!����i���$�and���)�����!����i����Kw�constitute�a�basis�for�the�De�Rham�cohomology��H���^������1��b��D�7R���
PY�(�X���),�a8our����6�2�g�
�equations��Bof�the�form�����īR���j&��<�
��6\�!����i��d�=��0�and�����īR���j&��<�
���������!����i�����;�=��0�imply�that�all�in���tegrals�of�elemen�ts���t��6�of�Nthe�cohomology�around��
��J�are�0.�o[By�P���oincar���Ge�Ndualit�y��*�,�O�the�homotop�y�class�of�the����6�curv���e�UU�
�㍲m�ust�b�Ge�degenerate,�that�is,���H�����
�UP�=������y�g���獍������X����t���մi�=1�����㉲(����s����i��TL�[�a����1��|s�]�8�+��t����i���[�b����i���]�)���U �=��0�;����6लwhere�8�brac���k�eting�[�a����i��TL�]�and�[�b����i���]�is�used�to�represen���t�their�homology�classes�in��H����1��|s�(�X�:�;����R�).����6�Ho���w�ev�er,��Athis�b�last�result�cannot�b�Ge�true�since�the�set��f�a����1��|s�;����:�:�:����;���a����g����;�b����1���;��:�:�:����;�b����g����g�b��w���as�c�ho-����6�sen���at�the�outset�to�b�Ge�the�canonical�basis�for�the�homology�group��H����1��|s�(�X�:�;����Z�),���and����6�cannot�UUsatisfy�suc���h�an�equation.����� ����

msam10������BलTherefore��\these�v���ectors�generate�a�2�g�[ٲ-real-dimensional�lattice��in��C���^��g����,�'whic�h�w�e����6�dene�UUb���y�����g����=��f�s����1��|s�e����1���S�+��8�������g�+�8�s����g����e����g����+��t����1���B����1���S�+���������g�+��t����g����B����g�����,�UUwith���!���s����i��TL�;���t����i��d�2���Z�g�:����6लThe���Jac��}'obian���of�the�Riemann�surface��X���,�denoted��J��9�(�X��),�is�the�compact�quotien���t����6��C���^��g����=�.�Y'W��*�e�tcan�understand�it�b���y�analogy�with�the�quotien�t�of�a�real�2�g�[ٲ-dimensional����6�v���ector�UUspace�with�a�2�g�[ٲ-dimensional�lattice;�it�is�a�complex�torus.��������7
�������fJp�THE���JA���COBIAN,�THE�ABEL-JA�COBI�MAP��Z�,�AND�ABEL'S�THEOREM��+mY3����V������BलW��*�e���can�also�in���tro�Gduce�the�Jacobian�without�relying�on�a�c�hoice�of�basis,���although����6�the�UUresulting�structure�is�less�in���tuitiv�e.�q�Dene�UUa�map�as�follo���ws:��RK������������b��'���:��H����1��|s�(�X�:�;����Z�)�����������=1������Y�!���H���������0��Lq�(�X�:�;����
)�������������������������ú{�
��������=1�7�������v!�������^���
#��!�"�7!�����c��Z���UR�	y�
��!��!��[ٟ��^����<=�:���������6लThis�]�map�tak���es�closed�curv�es�in�the�homology�group�to�the�functionals�of�in�tegration����6�around��those�curv���es,�:�whic�h��are�dual�to�the�v���ector�space�of�holomorphic�1-forms.����6�The�m5image�of��'��is�a�discrete�lattice�in��H������^��0��Lq�(�X�:�;����
)���^������,��,and�the�Jacobian�in���tro�Gduced����6�ab�Go���v�e�Bcan�also�b�e�dened�as�the�quotien���t�b�y�this�lattice:�U=�J��9�(�X���)��=��H������^��0��Lq�(�X�:�;����
)���^������=���Im���
���'�.���=������3.���[
�The��Abel-Ja��cobi�Map����BलFix��a�base�p�Goin���t��p����0��n��2��K�X���.��YThe��A���b��}'el-Jac�obi�9map��s�is��a�map����:��X��-�!��J��9�(�x�).��YF��*�or����6�ev���ery�UUp�Goin�t��p���2��X���,�c���ho�Gose�a�curv�e��c��from��p����0���Ȳto��p�;�dene�the�map����as�follo�ws:����������(�p�)��=������^����
#���c�Z�����i��#��p��@����p�����Zcmr5�0����m��!����1��|s�;������c��Z�����i�����p��@��8�p���0�����!����2���;����:�:�:����;������c��Z�����i�����p��@��8�p���0�����!����g�������^���������mo�Gd�����;��K5��6लwhere�J�the�in���tegrals�are�all�along��c�.�n?W��*�e�ha�v�e�to�c�hec�k�that���(�p�)�is�w�ell-dened�as�a����6�mem���b�Ger�UUof��J��9�(�X���),�i.e.,�that�the�c�hoice�of�curv�e��c��do�Ges�not�aect�the�v��q�alue�of���(�p�).��,l����6��Pr��}'o�of.���V5�Cho�Gose�!�t���w�o�curv�es��c�,�,>�c���^��0���2�from��p����0���l�to��p�.�`�Notice�that��c��(���c���^��0���Q�=���
��8�,�,>a�closed�curv���e.����6�W��*�e�UUcan�then�write���R����S4���^����Zy���c�Z���`�	y�c��e�k�!����1��|s�;����:�:�:����;������c��Z���8�	y�c���k�!����g�������^�����u˸���8���^����	�T��c�Z���#��	y�c������0ncmsy5�0������!����1��|s�;����:�:�:����;������c��Z���8�	y�c����0����޵!����g�������^����[���=�������^����
#���c�Z����Ɵ	y�
��}��!����1��|s�;����:�:�:����;������c��Z���8�	y�
���!����g�������^����X�A�=�������
��!��:����6लSince��
��V�is�a�cycle�in�the�homology�group��H����1��|s�(�X�:�;����Z�),�M�this�dierence�is�an�elemen���t����6�of���the�lattice�.��(T��*�o�get�the�elemen���t�explicitly�,���write��
�c.�in�terms�of�the�canonical����6�homology�'ibasis��f�a����1��|s�;����:�:�:����;���a����g����;�b����1���;��:�:�:����;�b����g����g�,�0�then�'iremem���b�Ger�that������
��H��is�written�the�same����6�w���a�y�+uin�terms�of�the�corresp�Gonding�basis�for�the�lattice,�`��f�e����1��|s�;����:�:�:����;���e����g����;�B����1���;��:�:�:����;�B����g����g�.)����6�So�UUthe�map�is�w���ell-dened.��ꪝ����,l��BलAfter��=ha���ving�dened�the�Ab�Gel-Jacobi�map�on�the�p�oin���ts�of��X���,���it�extends�to����6�divisors�UUon��X�7�b���y�linearit�y:������cl������Z�����0������@�������G���X����7��
j��p�2�X����V�n����p���R�p����Z��1���A����7�[�=����ܶ����X����7����p�2�X���ŵn����p���R��(�p�)�:�� 1����9��4.�����Abel��UT's��Theorem����BलIn�ܛthe�previous�section,���w���e�dened�the�Ab�Gel-Jacobi�map���,�whic���h�brings�divisors����6�on�@�X��"�to�p�Goin���ts�of�the�complex�torus��J��9�(�X���).���Ab�el's�theorem�classies�divisors�b���y����6�their�UUimages�in�the�Jacobian.����B�W��*�e�UUwill�need�t���w�o�UUlemmas;�the�latter�will�b�Ge�stated�without�pro�of.��ō�6��Lemma���4.1.�z��F��;�or�P+two�p��}'oints��p��and��q���in��X����,�=we�c�an�pr�o�duc�e�a�1-form�which�has����6�a�K�simple�p��}'ole�at�b�oth�p�oints,�y�is�holomorphic�everywher�e�else�in��X����,�y�and�c�arries�a����6�r��}'esidue���of��1��at��p��and���1��at��q�[��.�I�Mor�e�over,���we�c�an�normalize�this�1-form�by�subtr�acting����6�a��!holomorphic�1-form�fr��}'om�it;���the�normalize�d�1-form,���now�unique,�is�denote��}'d��!����pq�����,����6�and���the�normalization�me��}'ans�that���č��ҷ'��c��Z����Ea�	y�a���i�����q�!����pq��P��=��0�����P��7
��������6ऱ4����SETH���KLEINERMAN���V������6��for���i���=�1�;����2�;��:�:�:����;�g�[��.��8k����6�Pr��}'o�of.���V5�Consider�n�the�divisor��p�I��+��q�[ٲ.��gIt�n�has�a�line�bundle�asso�Gciated�with�it,�t�denoted����6वL�(�p�W�+��q�[ٲ).���Dene���
(�p��+��q��)���to�b�Ge��H������^��0��Lq�(
�W�
��L�(�p��+��q��)).���W��*�e���w���an�t�to�nd�the�degree�of����6�this�UUspace.�q�By�Riemann-Ro�Gc���h,��UvS��h������0��|s�(
(�p�8�+��q�[ٲ))����h������1���(
(�p��+��q�[ٲ))��=�1�8���g����+��deg��\o(
(�p��+��q��))�:����6लFirst,�Mit���is�a�w���ell-kno�wn���result�that�the�degree�of�
�is�2�g�~N��"u�2�(the�pro�Gof�is�an����6�application��of�Riemann-Ro�Gc���h�and�Serre�dualit�y),���and�w�e�kno�w�that�the�degree�of����6�(�p�8�+��q�[ٲ)�UUis�2.�q�Since�degrees�add,�w���e�ha�v�e��deg��x�(
(�p�8�+��q�[ٲ))��=�2�g��.����B�No���w���h���^��1��|s�(
(�p��A�+��q�[ٲ))��=��h���^��0���(�L�(��p��A���q�[ٲ))��b���y�Serre�dualit�y��*�.�\-But��L�(��p��A���q�[ٲ)��corresp�Gonds����6�to�Nthe�space�of�meromorphic�functions��f�a��on��X��suc���h�that���div���ꅵf�=��*W�p����q�"����0,�O�that�Nis,����6�holomorphic��functions�on��X��x�whic���h�ha�v�e�zero�Ges�at��p��and��q�[ٲ.�Q2But�all�the�holomorphic����6�functions�UUon��X�7�are�the�constan���t�functions,�so�the�dimension�of�this�space�is�0.����B�Putting�UUthese�results�together,�the�equation�ab�Go���v�e�UUno�w�reads��U�O4�h������0��|s�(
(�p�8�+��q�[ٲ))����0��=�1�8���g����+�2�g�;����6लand��w���e�ha�v�e�sho�wn�that��h���^��0��|s�(
(�p���+��q�[ٲ))��=��g��+��1.�\�Also��since�the�degree�of�(�p�)�is�1,�"�the����6�same�Y�argumen���t�as�ab�Go�v�e�sho�ws�that��h���^��0��|s�(
(�p�))��]=��g�[ٲ,�Z�whic�h�Y�is�the�same�as��h���^��0��|s�(
).�~�So����6�in��;order�to�accoun���t�for�this�increase�in�degree,���w�e�m�ust�conclude�that�there�exists����6�some�UUmeromorphic�form�with�simple�p�Goles�at��p��and��q�[ٲ.����B�Since�B6it�is�generally�kno���wn�that�the�sum�of�the�residues�of�a�form�on�a�compact����6�Riemann�.bsurface�is�0,�6,w���e�can�scale�this�form�b�y�a�constan�t�to�get�residues�of�1�and����6�-1�|aat��p;���q��:�resp�Gectiv���ely��*�.���Since�the�space�of�suc�h�forms�had�dimension�1,��$this�scaling����6�pro�Gduces�UUa�unique�1-form,�whic���h�completes�the�pro�of�of�the�lemma.��81�����
��6��Lemma��84.2��(Recipro�Gcit���y�8�La�w)�.��L��}'et��8�!����1��|s�;���!����2���;��:�:�:����;�!����g��5?�b��}'e��8a�normalize�d�b�asis�for��H������^��0��Lq�(�X�:�;����
)����6��as���b��}'efor�e.���Then��;������;��c��Z����cu�	y�b����k����q��!����pq��P��=��2��[�i������c��Z�����i�����p��@��8�q����!����k��됵:�����6��Note�P�that�the�right-hand�inte��}'gr�al�P�do�es�not�app�e�ar�to�b�e�wel���l-dene�d;��vwe�ther�efor�e����6�have�%�to�sp��}'e�cify�%�that�it�b��}'e�taken�along�a�curve�fr�om��q��x�to��p��that�lies�within��X���depicte�d����6�as���a�planar��4�g�[��-gon�b��}'efor�e���identic�ations.����6��Theorem�0�4.3��(Ab�Gel)�.��L��}'et��D�W)�b�e�an�divisor�of�de�gr�e�e��0��on��X����.�m�Then��D�W)�is�the�divisor����6�of���a�mer��}'omorphic�function��f��v�if�and�only�if���(�D�G�)��=�0����in�the�Jac�obian��J��9�(�X���)�.������6�Pr��}'o�of.���V5�The�UUdivisor��D��r�is�of�degree�0,�so�w���e�can�write�it���F��Úe�D�5�=�������r������������X�������k�+B�=1���R��(�p����k��$p��8�q����k��됲)�;��Nԍ�6लwith�UUno�p�Goin���ts��p����i��TL�,��q����j����in�common.��
.ꍑB�Supp�Gose�`~�D����is�the�divisor�of�a�meromorphic�function��f���.��AConsider�the�1-form������������d���Uf�����);�fe�'�����o�f�����
U�.�����6�It��khas�a�simple�p�Gole�at�ev���ery�p�oin���t�at�whic�h��f����has�a�zero�or�a�p�Gole.�I$T��*�o�see�this,���tak�e����6�the�3�deriv��q�ativ���e�using�the�lo�Gcal�co�ordinate�wherev���er��f�GZ�lo�oks�lik���e��z��p���^��n��	�for�some��j�n�j����1,����6�and�,Jthen�divide�b���y��f���:�]Bthe�form�is�explicitly�������_}�n��_}��&�fe�~�����j�z�����
�.�.�dW��*�e�also�see�that�the�residue�at�this����6�p�Gole�UUof�the�1-form�is�the�degree�of�the�zero�or�p�ole�of��f���.��DA��B�So��the�1-forms����������D�d���Uf���D�);�fe�'�����o�f��������and������P�����ލ�L�r��%��Lk�+B�=1���Ƈ�!����p����k��_�q����k�����ha���v�e��simple�p�Goles�in�the�same�places�and����6�the���same�residues�at�those�p�Goles;��*b���y�Lemma�4.1,��[they�dier�b�y�some�holomorphic�����/E��7
�������fJp�THE���JA���COBIAN,�THE�ABEL-JA�COBI�MAP��Z�,�AND�ABEL'S�THEOREM��+mY5����V������6ल1-form,�UUwhic���h�w�e�can�write�in�terms�of�the��!����i�����basis�with�co�Gecien�ts��t����i��d�2���C�:��k�������<$����g�d��UUf����g�w�fe	���	(֍���f�������'��������ٴr������Eş���X�����8�k�+B�=1���o�!����p����k��_�q����k�����=������y�g���獍������X����t���մi�=1���㉵t����i��TL�!����i���:��vI��BलThe��next�thing�w���e�need�to�notice�is�that�for��
�T��not�con�taining�an�y�p�Goin�ts��p����i��˲or��DA��6वq����i��TL�,�2�the�)�in���tegral�����īR���⸟�<�
�����������!d���Uf���!�);�fe�'�����o�f������O�equals�2��[�im��for�some��m���2��Z�.�cGThis�)�observ��q�ation�is�in�tuitiv�e,�2�as���t��6�follo���ws:�m�for��Gan�y�sucien�tly�small�segmen�t�of�the�curv�e��
��8�,���with�endp�Goin�ts��a;���b�,���w�e����6�can���c���ho�Gose�a�branc�h�of�the�natural�logarithm�function;�?�ha�ving�made�that�c�hoice,����6�the��form���������۴d���Uf��۟);�fe�'�����o�f������M�=���d�(�log���T�f���)�is�exact,���so�the�in���tegral�from�one�endp�Goin�t�of�the�segmen�t�to�����6�the�;0other�is��log��Є�b������log����a�.�iIn�;0the�next�segmen���t�from��b��to��c�,�@jw�e�will�add��log��Є�c������log����b�,����6�using�%Ua�dieren���t�c�hoice�of�logarithmic�branc�h.�a�So�as�w�e�go�around�the�curv�e��
��8�,�.�the����6�v��q�alue�̒of�the�in���tegral�will�b�Ge�the�sum�of�the�successiv�e�dierences�accum�ulated�b�y����6�the�Et���w�o�dieren�t�branc�h�c�hoices�at�eac�h�endp�Goin�t�of�eac�h�segmen�t.�l\As�suc�h,�HTit�will����6�b�Ge�UUan�in���teger�m�ultiple�of�2��[�i�.����B�In�z�particular,��Jsince�the�ab�Go���v�e�z�statemen�t�is�true�for�all�curv�es��
��8�,��Jnote�that�it����6�suces��that�the�in���tegrals�around�the�particular�curv�es��a����i��TL�;���b����i���,���the��basis�for�the�ho-����6�mology���group,���compute�to�b�Ge�elemen���ts�of�2��[�i�Z�.��Summing�up�the�pro�of�th���us�far,����6�w���e��7ha�v�e�found�that�if��D�>T�is�the�divisor�of�a�meromorphic�function��f���,��w�e�can�nd����6वt����1��|s�;����:�:�:����;���t����g���\�in�UU�C���^��g���suc���h�that�the�in�tegrals���܍��j�~��c��Z���pn��	y�a���i�����zȟ��\� ��������Tm�r�������Y����X������t�k�+B�=1����;��!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!������;��and�����W��c��Z�����,�	y�b���i���������\� ����������r������������X��������k�+B�=1������!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����vI��6लare�UUall�elemen���ts�of�2��[�i�Z�.����B�No���w���w�e�will�pro�v�e�the�con�v�erse�of�this�statemen�t.��Assume�that�w�e�can�nd����6�suc���h�|�elemen�ts��t����i���ٲof��C���^��g����.��nDene��c����k��됵;���c���^���0��v��k���h�to�b�Ge�small�circles�around��p����k���;���q����k��h�resp�Gectiv���ely��*�.����6�Then�h�the�homology�class�of�an���y�curv�e��
��ٲin��X��I���g[����k��됸f�p����k���;���q����k���g�h��is�an�in�tegral�linear����6�com���bination�UUof�the�classes�of��a����i��TL�;���b����i���;�c����k��됵;�c���^���0��v��k����.�q�W��*�e�UUcompute���p�������c��Z����:Q�	y�c����k������V����\� �����������r�������N�����X������A��k�+B�=1����w�!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!���>̲=��2��[�i;��$N�����,��c��Z�����P�	y�c�����0�����k������������\� ����������r�������Ή����X���������k�+B�=1�����ߵ!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����˲=����2��[�i��\���6लb���y��6noting�that��!����p����k��_�q����k����has�residue�1�at��p����k���Ʋand���1�at��q����k���b���y�denition.�ShSo�the�in�tegral�������3��c��Z����m�	y�
�����磟��\� ��������!H�r��������4����X�������O�k�+B�=1������!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����v�2���2��[�i�Z�;��vI��6लas�UUneeded.����B�Using��Bthis�last�equation,��=w���e�are�able�to�create�a�function��f��Ѳwhose�divisor�is��D�G�.����6�Cho�Gose�UUa�base�p�oin���t��p����0��|s�;�dene��fI����-�f���(�p�)��=��e����%Q�#��cmex7�R�����5��c��p���=����p����0������������(����K�����P�����S��Fi�r��D���Fik���=1���&�ݟ���!���p���k��_q���k���<|�+������P�����ߍ�g�g�����gi�=1���zk�t���i��*��!���i������)����j:�:��}c��6लThis���function�is�w���ell�dened�b�Gecause�a�dieren�t�c�hoice�of�path�for�the�in�tegral�w�ould����6�result��3in�the�addition�of�an�in���tegral�o�v�er�some�closed�curv�e��
��8�,�:whic�h�w�e�ha�v�e�sho�wn����6�ab�Go���v�e�UUis�an�in���teger�m�ultiple�of�2��[�i�,�so�w�ould�ha�v�e�no�eect.�q�Then�w�e�compute���3������<$��o�صd��UUf��o�؟w�fe	���	(֍���f�����}в=���d������c��Z�����i�����p��@��8�p���0���������\� �������.H�r�������4����X������O�k�+B�=1���*��!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!���x�v�=�������r������������X������k�+B�=1����S�!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i���;�����A���7
��������6ऱ6����SETH���KLEINERMAN���V������6लb���y�	�a�v��q�ariation�of�the�fundamen�tal�theorem�of�calculus.�X�Hence�the�divisor�of��f�q�is��D�G�,����6�as�UUw���e�needed.����B�Putting�the�t���w�o�halv�es�of�the�statemen�t�together,�w�e�see�that��D�L,�is�the�divisor�of����6�a�UUmeromorphic�function��f�h�if�and�only�if�there�exist��t����i��d�2���C��suc���h�that���7���j�~��c��Z���pn��	y�a���i�����zȟ��\� ��������Tm�r�������Y����X������t�k�+B�=1����;��!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!������;��and�����W��c��Z�����,�	y�b���i���������\� ����������r������������X��������k�+B�=1������!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����#M��6लare�UUall�elemen���ts�of�2��[�i�Z�.����B�The��xnormalization�condition�on�the�1-forms��!����p����k��_�q����k����Q�and�the�prop�Gerties�of�the�basis����6व!����i�����allo���w�UUthe�simplication��������c��Z������	y�a���j�������\���\� ����������r������������X��������k�+B�=1�����C�!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����/�=���t����j��6��;��#M��6लsince�іthe�rst�in���tegral�is�zero�and�the�second�is�normalized.�E�T��*�o�simplify�the�in�tegral����6�around���b����j��6��,�>'w���e�use�the�recipro�Gcit�y�la�w�(Lemma�4.2)�on�the�rst�in�tegral,�>'and�the����6�denition�UUof��B����i�����for�the�second�in���tegral:�����p�L��c��Z���v"��	y�b���j������ӟ��\� ���������x�r��������d����X������x�k�+B�=1�������!����p����k��_�q����k���@��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�!����i������\�!����u��=�������r������������X�������k�+B�=1����S�2��[�i������c��Z�����i�����p����k���@��8�q����k����Sµ!����j��o��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�t����i��TL�B����ij��
��:��#M��BलThe��:�a����j����in���tegrals�are�elemen�ts�of�2��[�i�Z��if�and�only�if�there�exist�in�tegers��n����1��|s�;����:�:�:����;���n����g�����6लsuc���h�UUthat��
�5��Ҍ��t����j���IJ=��2��[�in����j��6��;��΍�6लand�0atherefore�(substituting�and�dividing�b���y�2��[�i�)�the��b����j��g
�in�tegrals�are�elemen�ts�of����6�2��[�i�Z�UU�if�and�only�if�there�exist�in���tegers��m����1��|s�;����:�:�:����;���m����g���\�suc�h�that��L�����������r������������X��������k�+B�=1������@��c��Z�����i��ļA�p����k���@���Jz�q����k�����eZ�!����j��o��+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�n����i��TL�B����ij��	��=���m����j��6��:����6लSince�Qthis�last�equation�holds�for�all��j����,�Q�w���e�com�bine�the�equations�to�get�the�v�ector����6�equalit���y���q���������:�r�������k&����X������^A�k�+B�=1������|��c��Z�����i����}�p����k���@���"��q����k�����=��!�"�=���������	�g���獍�������X����t��ie�i�=1�����n����i��TL�B����i���,�+�����^A�g���獍�8����X����t�����i�=1���UQ�m����i���e����i����퍑6लwhere��y�!�"�=��(�!����1��|s�;����:�:�:����;���!����g����),��?and�this�is�exactly�what�w���e�w�an�ted�to�sho�w:��the�righ�t-hand����6�side�W0of�the�equation�is�an�elemen���t�of�the�lattice��b�y�insp�Gection,�W�and�the�left-hand����6�side�UUis�the�image�of�the�divisor��D��r�under�the�Ab�Gel-Jacobi�map.��P������#����Bղ5.���	��Ja��cobi��Inversion����BलAb�Gel's��Ptheorem�demonstrated�a�corresp�ondence�b�et���w�een��Pprincipal�divisors�and����6�p�Goin���ts��in�the�k�ernel�of�the�Ab�Gel-Jacobi�map.�The�Jacobi�in�v�ersion�problem�asks����6�whether�*.w���e�can�nd�a�divisor�that�is�the�preimage�for�an�arbitrary�p�Goin�t�in�the����6�Jacobian.�q�The�UUcen���tral�theorem�in�this�section�will�demonstrate�that�it�is�p�Gossible.����B�W��*�e�UUstart�with�a�lemma.�����6��Lemma���5.1.����A�i�holomorphic�i�map��f�ڧ�:���M��3�!��N����b��}'etwe�en�i�c�omp�act�c�onne�cte�d�c�omplex����6�manifolds�nof�the�same�dimension�is�surje��}'ctive�if�the�Jac�obian�matrix�of�the�map�has����6�nonzer��}'o���determinant�at�some�p�oint�of��M��.�����W���7
�������fJp�THE���JA���COBIAN,�THE�ABEL-JA�COBI�MAP��Z�,�AND�ABEL'S�THEOREM��+mY7����V��������6��Pr��}'o�of.���V5�Because���the�Jacobian�is�nonsingular�at�some�p�Goin���t,���БIm���m�f��{�con�tains���an�op�en����6�set��Tin��N��.�X�But�it�is�kno���wn�that���Im���>ߵf���is�a�sub�v��q�ariet�y�of��N��,���that�is,�that�it�has����6�dimension�?.equal�to�or�lo���w�er�?.than�the�manifold��N��.�jeSince���Im���۹�f�R��con���tains�an�op�Gen�set����6�in�UU�N��,�it�cannot�ha���v�e�UUlo�w�er�dimension;�hence�the�map�is�surjectiv�e.��=�r����<��BलWith�R�this�lemma�in�mind,�Sw���e�can�pro�v�e�that�the�Ab�Gel-Jacobi�map�is�surjectiv�e:��r卑6��Theorem���5.2��(Jacobi�oIn���v�ersion)�.�o�Every���p��}'oint�in��J��9�(�X���)��is�the�image�under����of�a����6�de��}'gr�e�e-�0����divisor�of�the�form���L���a�D�5�=������y�g���獍������X����t���մi�=1���8�(�p����i���,��8�p����0��|s�)�:��1 ����6��Pr��}'o�of.���V5�Con���tin�ue�9�to�c���ho�Gose�a�base�p�oin���t��p����0��C��2���X���for�the�Ab�el-Jacobi�map.�h�Consider����6�the�l�space��X�����^��(�d�)���Ӳ=��=�X�����^��d��r��=S����d�����,�r�the�pro�Gduct�of��X�5��with�itself��d��times�mo�dulo�elemen���ts�of����6�the���symmetric�group��S����d�����.��%(Eac���h�elemen�t�of�this�space�consists�of�exactly��d��p�Goin�ts��a��6�in�UU�X���,�equiv��q�alen���t�up�to�ordering.)�q�Dene�����^��(�d�)��?	�on��X����^��(�d�)���to�b�Ge�giv���en�b�y��ض����Ƶ������(�d�)�����\���\� ���������d����������X����t��=Ŵi�=1���$�y�p����i���TL���\�!���7���=�����������\� ��������`�d������	�T����X����t��
T�i�=1������Ų(���T�p����i���,��8�p����0���|s�)����?�����\�!���I'Ե:���}��6लUnder�V�this�reform���ulation,�V�the�Jacobi�In�v�ersion�Theorem�is�equiv��q�alen�t�to�the�state-����6�men���t�UUthat�the�map�����^��(�g�@L�)��<^�is�surjectiv�e,�where��g��.�denotes�the�gen�us�of��X�7�as�usual.����B�Consider���D�U_�=��B����P��G%�p����i��m�a�p�Goin���t�of��X�����^��(�g�@L�)����,�J�with�all��p����i���distinct.���W��*�e�ha���v�e��lo�Gcal�co�or-����6�dinates���z����1��|s�;����:�:�:����;���z����g����on��X����cen���tered�at��p����1���;����:�:�:����;���p����g����resp�Gectiv���ely��*�,�Isince��X����is�a�Riemann���q��6�surface;�UUw���e�then�also�ha�v�e�a�lo�Gcal�co�ordinate�(�z����1��|s�;����:�:�:����;���z����g����)�of��X�����^��(�g�@L�)��@�cen���tered�at��D��.����B�No���w��w�e�compute�the�Jacobian�matrix�of�����^��(�d�)��
���near�the�divisor��D�G�.�E(With�all�these����6�Jacobians�5
oating�around,�;�one�migh���t�get�confused|rest�assured�that�w�e�are�going����6�to��nd�the�standard�Jacobian�of�a�function�from�v���ector�calculus.)�\�If��D��G��^��0��,�is�a�divisor����6�close���to��D�G�,��Pw���e�can�write�it�as�the�sum�of�lo�cal�co�ordinates������P�����ލ��g��%���i�=1���4�z����i��TL�.��W��*�e�write�out����6�the��1map�in�terms�of�the�in���tegrals�explicitly�and�tak�e�the�partial�deriv��q�ativ�es�of�the����6�function�UUwith�resp�Gect�to�the�co�ordinate�system:��n������<$�����@���ⳟw�fe
�(�	(֍@��8z����i���������(�������(�g�@L�)��
�	�(�D��G�����0��V�))��=�����<$�����@���K�w�fe
�(�	(֍@��8z����i���������N���^����Ÿ�c�Z�����i��&ôz���i���@��!���p���0����/4y�!����j���6����^����C�,�=��!����j��6��=dz����i��TL�;��f�6लthat��is,� �the�function�whic���h,�when�m���ultiplied�b�y�the�form��dz����i��TL�,� �giv�es�the�form��!����j��6��.�[�So���q��6�the�UUJacobian�of�the�function�����^��(�d�)��?	�at��D��r�is�the�matrix���󍍒���J�(�������(�%f$�cmbx7�d�))�������=�����X����0�������B��fi���@�����z����c�!����1��|s�=dz����1�����8����������P)��!����1��|s�=dz����g�����ԍ������?��.����?�.����?�.����������:"�.����>!��.���A鮟�.���������]�
.����]�
.����]�
.����������!����g����=dz����1�����8����������PW�!����g����=dz����g��������X��svګ1������sv�C��fi��sv�A�������BलOur�V�next�goal�is�to�sho���w�that�w�e�can�nd�a�p�Goin�t��D���at�whic�h�the�ab�Go�v�e�matrix����6�is��Rupp�Ger�triangular�with�nonzero�diagonal.�M�If�w���e�c�hange�the�lo�Gcal�co�ordinate��z����i��TL�,���the����6वi�th���column�of�the�Jacobian�matrix�is�m���ultiplied�b�y�some�nonzero�scalar,�&�but�the����6�rank�(�of�the�matrix�do�Ges�not�c���hange.�b�So�w�e�can�put�this�matrix�in�upp�Ger�triangular����6�form�!�without�c���hanging�its�rank,�,Das�follo�ws:�Xc�ho�Gose��p����1���r�to�b�e�some�p�oin���t�where��!����1���r�is����6�nonzero.�b3Then�&�subtract�some�scalar�times��!����1����from�eac���h�of�the�forms��!����2��|s�;����:�:�:����;���!����g����,�/�so����6�that�6�these�forms�are�all�0�at��p����1��|s�.�g�This�pro�Gcedure�is�a�c���hange�in�the�lo�cal�co�ordinate����6वz����1��|s�.�	�No���w��]rep�Geat�this�metho�d,��_c���ho�osing�a�p�oin���t��p����2��Yвwhere��!����2���is�nonzero�under�this����6�new��~co�Gordinate�and�subtracting�a�m���ultiple�of��!����2��:�from��!����3��|s�;����:�:�:����;���!����g��e��to�mak�e�them�0����6�at�n��p����2��|s�;��0con���tin�uing,���w�e�nally�nd�a�set�of�p�Goin�ts��p����1��|s�;����:�:�:����;���p����g��	Bظ2��ѵX�7t�and�a�mo�Gdied�����h���7
��������6ऱ8����SETH���KLEINERMAN���V������6लlo�Gcal�-�co�ordinate�suc���h�that�the�Jacobian�matrix�is�upp�er�triangular�with�nonzero����6�diagonal.����B�So��"there�is�a�p�Goin���t��D��?�at�whic�h�the�Jacobian�matrix�of�����^��(�d�)���ֲis�nonsingular,���and����6�b���y�UULemma�5.1�the�Ab�Gel-Jacobi�map�m�ust�b�Ge�surjectiv�e.�������������BलThe���Jacobi�In���v�ersion���theorem�in�conjunction�with�Ab�Gel's�theorem�implies�that����6�there�.wis�an�isomorphism�b�Get���w�een�.wthe�space�of�divisors�of�degree�0�on��X��Y�mo�dulo����6�equiv��q�alence�R
(the�space��Pic���Y+�����0��՞�(�X���))�and�the�complex�torus��J��9�(�X��).�Z(The�Jacobi�In���v�ersion����6�theorem�\�demonstrates�that�the�Ab�Gel-Jacobi�map�is�surjectiv���e,�^�and�Ab�el's�theorem����6�tells�sJus�that�its�k���ernel�is�precisely�those�divisors�that�are�linearly�equiv��q�alen�t�to�0.)����6�Since�#�there�is�already�a�corresp�Gondence�b�et���w�een�#�line�bundles�of�degree�0�on��X�쯲and����6�elemen���ts�ǿof��Pic����ݟ����0��KP�(�X���),��w�e�ha�v�e�sho�wn�that�the�complex�torus��J��9�(�X���)�is�a�mo�Gduli�space����6�of�UUline�bundles�of�degree�0�on��X���.��fd����ȅ6.������a��ckno�wledgements����BलMy�UUutmost�thanks�to�Alina�Marian,�who�explained�it�to�me.����͸��References������; ��[1]���HY�C.H.���Clemens.��'#�f�cmti8�A���Scr���apb�o�ok��of�Complex�Curve�The���ory,�܌se�c�ond��e�dition�.���American�Mathemat-��
��HY�ical��XSo�<rciet�Îy��J�,�2003.������; �[2]���HY�H.M.��XF��J�ark��as�and�I.�Kra.��R���iemann�~Surfac���es�.�Springer-V�erlag,�1980.������; �[3]���HY�P��J�.��XGriths�and�J.�Harris.��Principles�~of�A���lgebr���aic�Ge�ometry�.��XJohn�Wiley�&�Sons,�1978.������; �[4]���HY�R.��XNarasimhan.��Comp���act�~R���iemann�surfac�es�.��XBirkh����auser,�1992.�����~���;��7
��
�'#�f�cmti8�%f$�cmbx7�$�':

cmti10�"���

msbm10� ����

msam10�#��cmex7��-�

cmcsc10��"V

cmbx10�|{Ycmr8�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7���0ncmsy5�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�O
�\cmmi5�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���Zcmr5���u

cmex10����������