Sharedwww / projects / jetchev_senior_thesis.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2004.04.07:0917�������
荠�S���
荠��#̍�^�����N�G�cmbx12�VISIBLE�z�ELEMENTS�OF�THE��#Ѝ�[i�SHAF���
AREVICH-T��aGA�TE�z�GR��u�OUP��]�덒�H�X�Qffcmr12�A��/SENIOR�THESIS�OF�����5Dimitar��/P���4.�Jetc���hev��Up����!2�K�`y

cmr10�THESIS�UUAD���VISOR:�WILLIAM�A.�STEIN��6����*�
SUBMITTED�UUIN�P��*�AR�TIAL�UUFULFILLMENT�OF�THE�HONORS�REQUIREMENTS��p���dt�F���OR�UUTHE�DEGREE�OF�BA�CHELOR�OF�AR��*�TS�TO�THE�����d�DEP��*�AR�TMENT�UUOF�MA��*�THEMA�TICS�������HAR���V�ARD�UUUNIVERSITY�����lCAMBRIDGE,�UUMASSA���CHUSETTS�����UAPRIL�UU2004�����*��
荠�S���
荠�F[��bLD����@G�cmti12�T���8o�Mmy�p��"�ar�ents�Mand�my�gr��"�andp�ar�ents������3�X�Qcmr12�ii�������
荠�S���
荠������G���N��Hcmbx12�T����able�	T{of�Con��8�ten�ts��B����G���N�cmbx12�T���able��of�Con��ten�ts��6�iii�������GAc��kno�wledgemen�ts��7
�i������G1��#�;Mordell-W���eil�Theorem,�L�Shafarevic��h-T�ate�Group�and�Selmer�Groups��9���#�;for��Elliptic�Curv��es.��!��3������#�;�1.1��>��W��Veak�5Mordell-W�eil�Group�and�Kummer�P��rairing�via�Galois�Cohomology��V`3������#�;1.2��>��Prop�S�erties��of����g�cmmi12�L�UR�=��K�ܞ�([�m�]����2�#�K�cmsy8��|{Ycmr8�1��\|�E���(�K��))�=K���������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����5������#�;1.3��>��Computing��<the�W��Veak�Mordell-W�eil�Group�and�Principal�Homoge-����>��neous��Spaces�	���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����7������#�;1.4��>��Applications��and�Complete�2-descen��rt��덍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����9������#�;1.5��>��Denition��of�the���-Selmer�and�Shafarevic��rh-T��Vate�Groups�䳍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����11������#�;1.6��>��Finiteness��of�the�Selmer�Group�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����14��������G�2��#�;Ab�`elian��V���arieties��%է16������#�;�2.1��>��Ab�S�elian��V��Varieties�o��rv�er��Arbitrary�Fields��̍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����16������#�;2.2��>��The��Dual�Ab�S�elian�V��Variet��ry�in�Characteristic�Zero��M�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����17������#�;2.3��>��The��Dual�Isogen��ry�and�the�Dual�Exact�Sequence��J�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����19������#�;2.4��>��Jacobians��of�Curv��res�Ov�er��+���
msbm10�C�.�8�The�Analytic�Construction.�'ڍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.�����20������#�;2.5��>��Jacobians��of�Curv��res�Ov�er�Arbitrary�Fields.�8�W��Veil's�Construction.��΍����.���	C������.��������.�����22������G�3��#�;Mo�`dular��Ab�elian�V���arieties�A��ttac�hed�to�Newforms��c�T24������#�;�3.1��>��Hec��rk�e��Op�S�erators�as�Corresp�ondences��Ӎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����24������#�;3.2��>��Constructing��an�Ab�S�elian�V��Variet��ry��A����� �2cmmi8�f��	aǹas�a�Quotien�t�of��J�����0����(�N�@�)��"�����.���	C������.��������.��������.��������.�����26������#�;3.3��>��The��Dual�Ab�S�elian�V��Variet��ry�as�a�Sub�v��X�ariet�y�of��J�����0����(�N�@�)����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����28������G�4��#�;Visibilit��y��Theory��&��31������#�;�4.1��>��Visible��Subgroups�of��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�and���1�hV1
wncyr10�X����(�A=K�ܞ�)�~������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����31������#�;4.2��>��The��First�Prop�S�ert��ry�of�Visibilit�y�Ǎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����32������#�;4.3��>��Pro�S�ducing��Upp�er�Bound�on�the�Visibilit��ry�Dimension�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����35������#�;4.4��>��Smo�S�oth��and�Surjectiv��re�Morphisms�S������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����36������>��4.4.1��dQFlat,��Smo�S�oth�and������x��Etale�Morphisms�'������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����36�������@iii����P��
荠�S���
荠���m���>���4.4.2��dQHenselian��Rings�and�Strictly�Henselian�Rings��ٍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����37���9����>��4.4.3��dQSurjectivit��ry��of�[�n�]�UR:��G�(�R�J�)��"!",�
cmsy10�!��G�(�R��)�f�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����38������>��4.4.4��dQSurjectivit��ry��of�the�Induced�Map�on�Generic�Fib�S�ers������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.�����39������#�;4.5��>��Pro�S�ducing��Visible�Elemen��rts�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�Group��}�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.�����40��������G�5��#�;Computational��Examples�and�Algorithms����45������#�;�5.1��>��Algorithms��for�Computing�with�Mo�S�dular�Ab�elian�V��Varieties�_������.���	C������.��������.��������.��������.��������.�����46������>��5.1.1��dQComputing��the�Mo�S�dular�Degree��+�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����46������>��5.1.2��dQIn��rtersecting��Complex�T��Vori��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����49������>��5.1.3��dQPro�S�ducing��a�Multiple�of�the�Order�of�the�T��Vorsion�Subgroup�ȓ�����.���	C������.�����50������>��5.1.4��dQPro�S�ducing��a�Divisor�of�the�Order�of�the�T��Vorsion�Subgroup�h3�����.���	C������.�����52������>��5.1.5��dQComputation��of�the�T��Vamaga��rw�a��Num�b�S�ers�C������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����53������>��5.1.6��dQComputing��the��L�-Ratio�	m�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����54������#�;5.2��>��Examples��of�Visible�Elemen��rts.�G������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����56������>��5.2.1��dQA��20-Dimensional�Quotien��rt�of��J�����0����(389).�vy�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����56������>��5.2.2��dQEvidence�[for�the�Birc��rh�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture�for����dQan��18-Dimensional�Quotien��rt�of��J�����0����(551).��N�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.�����58�����G�Bibliograph��y��Q�"64��������iv�������
荠�S���
荠�"�"��ͪM�Abstract�� �l��G�W��Ve��study�a�subgroup�of�the�Shafarevic��rh-T�ate�group�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�kno�wn���l��Gas���the��2���@cmti12�visible��%sub��ffgr�oup�.�jW��Ve���explain�the�geometric�in��rtuition�b�S�ehind�this�subgroup,����Gpro��rv�e��its�niteness�and�describ�S�e�sev��reral�tec�hniques�for�exhibiting�visible�elemen�ts.����GTw��ro���imp�S�ortan�t�results�are�pro�v�ed�-�one�what�w�e�call�the��visualization��;the��ffor�em�,����Gwhic��rh�Q�asserts�that�ev�ery�elemen�t�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�group�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet�y����Gb�S�ecomes�Ǩvisible�somewhere.�
��Although�the�theorem�is�not�original,�>�the�pro�of�is����Goriginal���and�is�based�on�the�explicit�use�of�principal�homogeneous�spaces.�
I�The����Gsecond�M�result�is�the��visibility�y�the��ffor�em�,���stating�M�that�under�certain�conditions,�one����Gcan�inject�a�w��reak�Mordell-W��Veil�group�in�to�the�Shafarevic�h-T��Vate�group.��FFinally�,�*�w��re����Gpresen��rt���t�w�o�applications�whic�h�pro�vide�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er����Gconjecture��-�one�example,�'in�whic��rh�the�visibilit�y�theorem�applies�directly��V,�'and�one,����Gwhere��visibilit��ry�o�S�ccurs�only�after�raising�the�lev�el�of�the�mo�S�dular�Jacobian.�����#!��
荠�S���
荠������G�Ac��8�kno�wledgemen�ts��8�Ǎ�G�I�k�w��rould�k�lik�e�to�thank�William�A.�Stein,��>m�y�sup�S�ervisor,��>for�his�enormous�help,�advis-���Ǎ�Ging�beand�en��rth�usiasm�beon�the�whole�thesis�pro��ject�and�for�the�v��X�aluable�commen��rts�on����Gthe�z�draft.��Man��ry�thanks�to�Barry�Mazur�and�Da�vid�Helm�for�the�v��X�arious�discussions����Gand��commen��rts.��?����#�;I���should��falso�men��rtion�that�the�senior�thesis�pro��ject�w�as�partially�funded�b�y����GHarv��X�ard��College�Researc��rh�Program.���Ǎ�GCam��rbridge,��Massac�h�usetts���!Dimitar�P��V.�Jetc�hev����GApril��5,�2004��������i����(���
荠�S���
荠���m��G�In��8�tro��
duction��6���G�In�i�the�1960s,��Zthe�British�mathematicians�Bry��ran�Birc�h�and�P�eter�Swinnerton-Dy�er�����Gstated�ԉsev��reral�in�teresting�conjectures�ab�S�out�the�arithmetic�of�the�elliptic�curv�es����Go��rv�er�ذ�Q�,�2after�doing�some�computations�at�Cam��rbridge�Univ�ersit�y��V.��Later�on,�2John����GT��Vate��*form��rulated�more�functorial�v�ersions�of�these�conjectures�and�generalized�them����Gto��ab�S�elian�v��X�arieties�o��rv�er���Q�.�6The�most�famous�v��rersion�of�the�Birc�h�and�Swinnerton-����GDy��rer�conjecture�is�a�relation�b�S�et�w�een�analytic�and�arithmetic�in�v��X�arian�ts�of�an�elliptic����Gcurv��re��(more�generally��V,�ab�S�elian�v��X�ariet�y).�����G�Conjecture���1�(Birc��h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjecture).����L��ffet���E�{)�b�e�an�el���liptic����Gcurve��`over��Q��of�Mor��ffdel���l-Weil�r�ank��r�3��and�let��L�(�E��;���s�)��b�e�the��L�-series,���attache�d�to�the����Gel���liptic�35curve,�then���������or��ffd�����N�����s�=1��ؙF�L�(�E��;���s�)�UR=��r��r:����#�;�There��7is�another�v��rersion�of�the�conjecture,��Zwhic�h�w�as�describ�S�ed�b�y�John�T��Vate����Gin�`�1974�and�is�kno��rwn�as�the�full�BSD�`�conjecture.���W��Ve�will�state�the�conjecture�for����Gab�S�elian�ֶv��X�arieties�o��rv�er�ֶ�Q�,��attac�hed�to�newforms.��The�quan�tities�that�are�included����Gin��rto��!the�conjecture�are�the�real�v�olume�
�����A��m�(or�the�canonical�v�olume�of��A�(�R�),��?the����GT��Vamaga��rw�a���n�um�b�S�ers��c�����A;p��
���,��the�order�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�group���X��yX�(�A=�Q�),��the����Gorder�ǵof�the�torsion�subgroups��A�(�Q�)�����tors���K�and��A����2�_��*��(�Q�)�����tors���and�the�order�of�v��X�anishing�of����Gthe���L�-function�of��A�.�8�All�of�the�quan��rtities�will�b�S�e�discussed�in�more�details�later.����#�;Let�B1�A��b�S�e�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er��Q�,�c�whic�h�is�attac�hed�to�a�newform��f��Q�=����UR���%��u
cmex10�X���
�����n��1������a�����n���P�q��n9����n�����G�of�Melev��rel��N��I�and�let��f��G�����(��I{�)���ٹ=�����c���X���
�����n��1���R��a���������ڍn����P�q��n9����n��
c�b�S�e�the�dieren�t�Galois�conjugates�of��f�G��.�aW��Ve�can��&��Gdene��the��L�-function�of�the�v��X�ariet��ry��A��as��L�(�A;���s�)�UR:=����
;����Y����D����I{�:�K��i?�!;�cmmi6�f��ʫ�,���T�!���h��\)8��S��,p�p�msbm8�Q�������(w,��z�� �����1�.��X���
��2�t�n��1��������ō�F��a����2����RA�n����F��[��z��Q�
�΍�0��n������s�������S�;��z��!���]=�.��'�a��G�Conjecture��2�(F���ull�BSD���Conjecture).�9�Assume�[6that��L�(�A;���s�)��do��ffes�not�vanish�at����G�s�UR�=�1�.�fiThen��.�������ō�{�,�L����2�(�r�<r�)��.ڹ(�A;���s�)��{�,�[��z�/�E�
�΍��U�r�S��!������
�����A�������1��=������덑���j��X��
�n�(�A=K�ܞ�)�j����������Q���
�����p�j�N����c�����A;p��,]����Reg�������T�A������k��z��i�
�΍���j�A�(�Q�)�����tors�����j����j�A������_��*��(�Q�)�����tors���j�������!�:��;>��#�;�The��ab�S�o��rv�e�conjecture�assumes�that���X�����(�A=�Q�)�is�nite.��YIn�fact,���there�is�a�close�con-����Gnection��pb�S�et��rw�een�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture,��Hand�the�T��Vate-Shafarevic�h�����䆔1����+H��
荠�S�������2����
荠���m��Gconjecture�=�(according�to�whic��rh���X��5I�(�A=K�ܞ�)�is�alw�a�ys�nite�for�an�y�ab�S�elian�v��X�ariet�y�o�v�er�����Ga��n��rum�b�S�er�eld).����#�;The��pmain�goal�of�this�thesis�is�to�in��rtro�S�duce�and�study�a�subgroup�of�the�Shafarevic�h-����GT��Vate���group,�=Qkno��rwn�as�the��visible�,<sub��ffgr�oup����and���to�describ�S�e�v��X�arious�tec�hniques�for����Gpro�S�ducing�P�visible�elemen��rts�of�certain�order,�oUwhic�h�in�turn�could�pro�vide�evidence�for����GConjecture��E2.�,jW��Ve�pro��rv�e��Ea�theorem�(the��visibility��the��ffor�em�尹),�̿whic��rh��Eis�due�to�William����GStein�]pand�Amo�S�d�Agashe,�z"whic��rh�exhibits�em�b�S�eddings�of�certain�w�eak�Mordell-W��Veil����Ggroup���in��rto���X���6�(�A=K�ܞ�)�for�ab�S�elian�v��X�arieties�of�rank�zero�under�certain�h�yp�S�othesis.��W��Ve����Gpro��rv�e��a�general�statemen��rt,�)aaccording�to�whic�h�ev�ery�elemen�t�of���X����(�A=K�ܞ�)�can�b�S�e����Gvisualized��;somewhere.���The�pro�S�of�of�this�statemen��rt�is�original�and�w�as�disco�v�ered����Gb��ry���William�Stein�and�the�author.�o5Finally��V,�AKw�e�presen�t�a�tec�hnique�for�visualizing����Gelemen��rts�`db�y�raising�the�lev�el�of�the�mo�S�dular�Jacobian.��This�tec�hnique�is�based�on����Ga�V�theorem�of�K.�Rib�S�et�and�can�b�e�applied�for�ab�elian�v��X�arieties,�q�for�whic��rh�the�visi-����Gbilit��ry�s0theorem�fails.��xW��Ve�giv�e�a�computational�example�to�explicitely�illustrate�the����Gtec��rhnique.����#�;This���thesis�pro��ject�should�in�no�case�b�S�e�considered�to�b�e�a�self-con��rtained�pre-����Gsen��rtation,�Dsince��suc�h�an�exp�S�osition�w�ould�ha�v�e�b�S�een�b�ey��rond�the�v�olume�of�a�senior����Gthesis.�1�As��suc��rh,��%w�e�assume�basic�familiarit�y�with�elliptic�curv�es,��%Galois�theory��V,�Ga-����Glois���cohomology��V,���theory�of�sc��rhemes.�KW�e�also�assume�that�the�reader�is�familiar�with����Gthe�T�existence�and�the�basic�prop�S�erties�of�N��r��s�eron�mo�dels�of�ab�elian�v��X�arieties.�	v�W��Ve����Gsometimes���sk��retc�h�the�more�tec�hnical�pro�S�ofs�and�constructions,�`omitting�the�details����Gand�j�refering�the�reader�to�more�detailed�references.��bW��Ve�tried,���ho��rw�ev�er,�to�j�presen�t����Gall�!.the�imp�S�ortan��rt�steps�and�ideas�in�the�main�results�of�the�thesis�(the�visibilit�y����Gtheorem,��the��pvisualization�theorem,�etc.).�G7Some�of�the�c��rhapters�(suc�h�as�Chapter�1����Gand��Chapter�3)�require�m��ruc�h��less�bac��rkground�than�the�others.�����8���
荠�S���
荠���m��G�Chapter�	T{1��2��GMordell-W����eil�	T{Theorem,����GShafarevic��8�h-T����ate�	T{Group�and����GSelmer�	T{Groups�for�Elliptic�Curv��8�es.��6���G�W��Ve���use�the�pro�S�of�of�the�w��reak�Mordell-W�eil�group�as�a�motiv��X�ation�for�in��rtro�S�ducing�����Gthe�Shafarevic��rh-T��Vate�group�and�the�Selmer�group�of�an�elliptic�curv�e.��This�approac�h����Gallo��rws�<us�to�presen�t�a�more�geometric�in�terpretation�of�the�t�w�o�groups�in�terms�of����Gprincipal���homogeneous�spaces�and�their�relation�to�Galois�cohomology��V.�'�These�ideas����Gare�ٯimp�S�ortan��rt�for�the�computation�of�the�full�Mordell-W��Veil�group��E���(�K�ܞ�),�Gwhic�h�is�still����Gan�
Eop�S�en�problem.���It�follo��rws�from�[�23����,�-VI�I�I.3]�and�[�23����,�-Exer.���8.18]�that�b��ry�kno�wing����Ggenerators��9for�the�group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��),��w��re��9can�obtain�generators�for��E���(�K��)�with�a����Gnite��\amoun��rt�of�computation.���Th�us,��w�e�will�b�S�e�in�terested�only�in�computing�the����Ggroup���E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��).����#�;W��Ve�8!sho��rw�ho�w�computing�the�w�eak�Mordell-W��Veil�group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�8!reduces�to����Gdetermining�BAwhether�there�exists�at�least�one�rational�p�S�oin��rt�on�certain�homogeneous����Gspaces.�	��The�hQlast�problem�is�a�particular�case�of�Hilb�S�ert's�T��Ven��rth�Problem�ab�out����Gdeciding�qethe�solv��X�abilit��ry�of�diophan�tine�equations.�tIn�fact,���the�tec�hniques�allo�w�us�to����Gdescrib�S�e�	an�algorithm�for�computing��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�	whic��rh�terminates�if�one�assumes����Gthe��T��Vate-Shafarevic��rh�conjecture�ab�S�out�the�niteness�of���X���o�(�E��=K�ܞ�).��Finally�,���w��re�pro�v�e����Gthat��pthe���-Selmer�group�for�an�arbitrary�isogen��ry����ع:��E������2�0��(�!��E�W��is��palw�a�ys�nite�and����Gexplain��ho��rw�to�compute�that�group.�����2�1����'�����G�1.1��>X�W��aGeak�Q�Mordell-W�eil�Group�and�Kummer�P��u�air-����>X�ing�z�via�Galois�Cohomology��b#��G�Supp�S�ose��1that��E��H�is�an�elliptic�curv��re�o�v�er�a�n�um�b�S�er�eld��K��Ϲand��m�[email protected]���2��1is�an�in�teger,����Gsuc��rh�U�that��E���[�m�]�UR���E��(�K�ܞ�).�6W��Ve�U�dene�the�w��reak�Mordell-W�eil�group�for��E��=K�2H�to�b�S�e�the��G�
�w�ff�����
����^��ٓ�Rcmr7�1�����W��*�e��should�mak���e�clear�that�w�e�will�not�b�Ge�concerned�at�all�ab�out�the�computational�complexit���y���of�UUthe�algorithms,�i.e.�q�ho���w�dicult�the�computations�are.�����䆔�3����B֠�
荠�S�������4����
荠���m��Gquotien��rt���group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��),��;where����E��(�K��)���is�the�group�of��K��-rational�p�S�oin��rts�on��E���.�����#�;W��Ve��start�b��ry�dening�a�pairing������x���UR�:��E���(�K�ܞ�)��������Gal���X(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�UR�!��E���[�m�]�;����G�in�w�the�follo��rwing�w�a�y:�R�for�eac�h��P����2�E
�E���(�K�ܞ�)�c�ho�S�ose��Q�E
�2��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),���suc�h�w�that�[�m�]�Q�E
�=��P����G�and��let���(�P�S�;����n9�)�UR:=��Q����2���O������Q�.����#�;First�8�of�all,�LPthis�pairing�is�w��rell-dened.�#@T��Vo�see�this,�supp�S�ose�that��Q����2�0���is�another����Gp�S�oin��rt,��ssuc�h���that�[�m�]�Q�jӹ=�[�m�]�Q����2�0��9�=��P��ƹ.�!�W��Ve���need�to�c��rhec�k���that��Q����2�0��������Q����2�0���=�j��Q����2��������Q�.����GBut�~U[�m�](�Q����2�0�������e�Q�)�UR=�0,���i.e.���Q����Q����2�0��#��2��E���[�m�]����E��(�K�ܞ�),���whic��rh�~Umeans�that��Q����2�0�������e�Q��is�xed����Gb��ry���the�action�of�Gal(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�).��Hence,��(�Q����2�0���Y��� �Q�)����2����Q�=�UR�Q����2�0�����Q�,��or����Q����2�0���	�X���Q����2�0��#��=�UR�Q����2�������Q�.��W��Ve����Goften��call�the�pairing����the�Kummer�pairing.����#�;The��basic�prop�S�erties�of����are�summarized�in�the�follo��rwing�prop�osition:�����G�Prop�`osition���1.1.1.���The��~p��ffairing����is�biline�ar,�Mwith�left�kernel�e�qual�to��mE���(�K�ܞ�)����G�and���right�kernel�e��ffqual�to�Gal�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=L�)�,���wher�e��L��is�a�eld�extension�of��K�p(�obtaine�d�by����Gadjoining���the�c��ffo�or�dinates���of�al���l�p��ffoints�in��[�m�]����2��1��\|�E���(�K�ܞ�)��(or��L�,ݹ=��K��([�m�]����2��1��\|�E���(�K��))�).�ÚIn����Gp��ffarticular,�35���induc�es�a�p�erfe�ct�biline�ar�p�airing��������E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)��������Gal����S�(�L=K��)�UR�!��E���[�m�]�:������G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Bilinearit��ry���of����is�ob�vious�from�the�denition.�.ISupp�S�ose�that��P���2�UR�E���(�K�ܞ�)�is�in����Gthe��[left�k��rernel�of���.�M�Cho�S�ose��Q����2��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),���suc�h��[that�[�m�]�Q��ɹ=��P��ƹ.�M�W��Ve��[will�sho�w�that����G�Q�O�2��E���(�K�ܞ�)��and�th��rus,�)^it�will�follo�w�that��P���2�O�mE���(�K�ܞ�).�5�But�this�is�clear�from�the����Gdenition,�Tsince�?��(�P�S�;����n9�)���=�0�means�precisely�that��Q��is�xed�b��ry���n9�.�5�Con�v�ersely��V,�Tan�y����G�P���2�UR�mE���(�K�ܞ�)��is�in�the�left�k��rernel�of���.����#�;Let�����A"�2�����Gal���.�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)(�K��)�b�S�e�in�the�righ��rt�k�ernel.��nIn�this�case�it�suces�to�sho�w����Gthat�q=���v�xes�the�eld�extension��L=K�ܞ�.�̞Let��P��+�2�:e�E���(�K��)�and��Q��b�S�e�a�p�oin��rt,���suc�h�q=that����G[�m�]�Q�Vt�=��P��ƹ.��Then�����(�P�S�;����n9�)�=�0�implies��Q����2���	�s�=��Q�.��Since�this�is�true�for�an��ry�p�S�oin�t�in����G[�m�]����2��1��\|�E���(�K�ܞ�),�3Rthen�|�L��is�xed�b��ry���n9�,�i.e.��|��Ë�2���UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=L�).�Con��rv�ersely��V,�an�y�|��Ë�2���UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=L�)����Gis��in�the�righ��rt�k�ernel,�b�S�ecause�it�xes�the�p�oin��rts�in�[�m�]����2��1��\|�E���(�K�ܞ�).����#�;W��Ve�
�obtain�the�p�S�erfect�bilinear�pairing�b��ry�mo�ding�out�b��ry�the�left�and�righ�t�k�ernels����Gof����.�����.��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;Next,�p�our�Q�goal�is�to�describ�S�e�the�Kummer�pairing�in�terms�of�Galois�cohomology��V.����GT��Vo�Bb�S�egin�with,�
(consider�the�short�exact�sequence�of�Gal(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)-mo�dules�for�a�xed����Gin��rteger���m�UR>��1������>0�UR�!��E���[�m�]��!��E��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)����2����8��m���p�����������!����(T�E��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)��!��0�:����G�This��short�exact�sequence�giv��res�a�long�exact�sequence�on�cohomology������0����#���!�����9���H���V����0���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���[�m�])�UR�!��H���V����0���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))����2����8��m���p�����UR������!����(T�H���V����0���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))�����܍������2���'B�����p�����#�������#��!��������9���H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���[�m�])�UR�!��H���V����1���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))����2����8��m���p�����UR������!����(T�H���V����1���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))�:�������M0��
荠�S�������5����
荠���m��GBut���H���V���2�0���Z�(�G;���M�@�)�UR=��M�����2�G����for��an��ry�group��G��and�a��G�-mo�S�dule��M��,�ėso�w��re�rewrite�the�ab�S�o�v�e�����Gsequence��as���Y���J9�0����Z��!�����p��E���(�K�ܞ�)[�m�]�UR�!��E��(�K�ܞ�)����2����8��m���p�����������!����(T�E��(�K�ܞ�)����2����/����p����������U]!�������H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E���[�m�])����������Z��!�����p��H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))����2����8��m���p�����UR������!����(T�H���V����1���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���=K�ܞ�)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))�:�����)��#�;�Using���the�fact�that�k��rer(��s2�)�$�=��mE���(�K�ܞ�),�>�w�e���obtain�the�follo�wing�short�exact�se-����Gquence,��kno��rwn�as�the��Kummer�35se��ffquenc�e�尹:������G0�UR�!��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)����2����/����p�����UR�����U]!�������H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E��[�m�])�UR�!��H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))[�m�]�UR�!��0�:�����)��#�;�Since�Yxthe�left�k��rernel�of�the�pairing����is��mE���(�K�ܞ�),�v�then����induces�a�homomorphism����o��������E��
�ڹ:�UR�E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�UR�!����Hom�����(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E���[�m�])�:����#�;�It�B�follo��rws�immediately�that�������E��p+�is�precisely�the�connecting�homomorphism����չfor�����Gthe��ab�S�o��rv�e�long�exact�sequence.��'�����G�1.2��>X�Prop��=erties�z�of��A��g�G�cmmi12�AL����D��tG�G�cmr17�=��AK�=��([�Am�]�������1���S�AE�T�(�AK��))�A=K��b#��G�After��9in��rtro�S�ducing�the�Kummer�pairing�in�the�previous�section,��w�e�will�to�study�in�a����Gmore�>detail�the�eld�extension��L��F�=��K�ܞ�([�m�]����2��1��\|�E���(�K��)),�
#whic��rh�>app�S�eared�in�Prop�osition����G1.1.1�@tin�the�previous�section.�:EThe�main�result�that�w��re�pro�v�e�is�that�this�extension����Gis���ab�S�elian�and�of�exp�onen��rt�dividing��m�,��!whic�h�is�unramied�outside�of�a�nite�set�of����Gplaces�����ǹ.��.Then,�&�using�a�general�result�from�algebraic�n��rum�b�S�er��theory��V,�w�e��will�pro��rv�e����Gthat���L=K��F�is�a�nite�extension.�����2�2������#�;�The���main�prop�S�erties�of�the�eld�extension��L=K�u��are�summarized�in�the�follo��rwing���m��G�Prop�`osition��1.2.1.�X��(i)�jwThe�eld�extension��L=K�G�is�an�ab��ffelian�extension�of�exp�onent����Gdividing�n'�m�.�$�In�other�wor��ffds,���the�Galois�gr�oup�Gal�(�L=K�ܞ�)��is�ab�elian�and�every�element����Ghas�35or��ffder�dividing��m�.����G(ii)��:If��S�x�is�the�nite�set�of�plac��ffes�at�which��E�yQ�has�b�ad�r�e�duction,��to�gether�with�the����Ginnite��Zplac��ffes�and�the�plac�es������,��Sfor�which����(�m�)�UR�6�=�0�,��Sthen��Z�L=K�y��is�unr��ffamie�d��Zat�e��ffach����G������|q=������2�����ll�S����.����#�;�The��follo��rwing�lemma�will�b�S�e�used�in�the�pro�of�of�the�prop�osition:����G�Lemma���1.2.2.�k��Supp��ffose��[that���C"�is�a�discr�ete�valuation,���such�that����ǹ(�m�)�UR=�0��[�and��E��=K����G�has�35go��ffo�d�r�e�duction�at������.�fiThen�the�r�e�duction�map��E���(�K�ܞ�)[�m�]�UR�!����x��\�~������E���������;��(�k�������3��)��is�inje��ffctive.������GPr��ffo�of.���6ڕ�This���is�pro��rv�ed���in�[�23����,��VI�S�I.3.1]�b��ry�using�formal�groups.�.�W��Ve�will�later�on�refer����Gto��a�similar�statemen��rt�for�ab�S�elian�v��X�arieties.�����̄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����G��ff��ğ�����
����^��2�����Note�CCthat�nite�generatedness�of��
�b>

cmmi10�E����(�K���)�w���ould�immediately�imply�that��L=K��_�is�nitely�gen-���erated,���b�Gecause��J�L��w���ould�b�e�an�extension�of��K���,���obtained�b���y�adjoining�nitely�man�y�elemen�ts.���Ho���w�ev�er,�UUw�e�cannot�use�this,�b�Gecause�w�e�are�trying�to�pro�v�e�nite�generatedness�for��E����(�K���).�����`W��
荠�S�������6����
荠���m��#�;W��Ve��are�no��rw�ready�to�pro�v�e�the�prop�S�osition:�������G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�351.2.1.����wD�(i)���This�is�a�consequence�of�prop�S�osition�1.1.1.��WIndeed,�����Gthe�S*map�Gal(�L=K�ܞ�)�n��!����Hom����:(�E���(�K��)�;���E��[�m�])�S*denes�an�injection������7!�n���(���;���),��Kso����GGal(�L=K�ܞ�)��'is�ab�S�elian�and�the�order�of�ev��rery�elemen�ts�of�divides�dividing��m�,��Gsince����Gev��rery��homomorphism�of���Hom���d1(�E���(�K�ܞ�)�;���E��[�m�])��has�order�dividing��m�.����G(ii)���T��Vak��re�a�p�S�oin�t��Q����2��[�m�]����2��1��\|�E���(�K�ܞ�)���and�let��P�<��=���[�m�]�Q�.�
�=Consider�the�extension����G�L�OH�=��K�ܞ�(�Q�)��o��rv�er��K�ܞ�.���It�suces�to�sho�w�that�this�extension�is�unramied�at�eac�h����G������|q=������2�����ll�S��׹.���Let�
����ǟ��2�0����b�S�e�an�extension�of����ɹin��K�ܞ�(�Q�)�and��D�������������$q�%cmsy6�0��7��=����and��I�������������0��7��=���b�S�e�the�inertia�and�the����Gdecomp�S�osition�DLgroups,�e�resp�ectiv��rely��V.�lW�e�will�b�S�e�done�if�w��re�sho�w�that�eac�h�elemen�t�of����G�I�������������0��7��=���-�acts��>trivially�on��K�ܞ�(�Q�).�(�Indeed,���ev��rery�elemen�t�of��I�������������0��7��=���-�acts�trivially�on����x��xH~������E����������u�(�k����2��g�0�������������0�����Y�),���D��Gwhere����k����2��g�0�������������0�������denote�the�reduction�of��K�ܞ�(�Q�)�at�����ǟ��2�0����.�\�Therefore�(�Q����2���W������Q�)����2���
�&�=����x���~�����i��Q����2�����������x��d��~������Q���jҹ=���n�i�~�����i�0������Gfor���all����w�2�m>�I�������������0��7��=����.�c
But��Q����2���Y9���:�Q��2��E���[�m�],��:b�S�ecause��Q��2��[�m�]����2��1��\|�E���(�K�ܞ�).�c
Th��rus,��:lemma�1.2.2����Gimplies�Ӹthat��Q����2����Q�=�UR�Q�,��Nso��I�������������0��7��=�����acts�trivially�on��K�ܞ�(�Q�)�=K��,�whic��rh�Ӹmeans�that�the�eld����Gextension��is�unramied.�8�This�pro��rv�es��the�prop�S�osition.��������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������#�;So�Ifar,�`�w��re�concluded�that��L=K�%��is�an�ab�S�elian�extension�of�exp�onen��rt�dividing��m����G�whic��rh���is�unramied�outside�of�a�nite�set�of�primes.��?It�turns�out�that�these�prop�S�erties����Gare��{enough�to�deduce�the�niteness�of��L=K�ܞ�.�|The�next�theorem�establishes�precisely����Gthis��statemen��rt.�8�In�the�pro�S�of,�w�e�use�sev�eral�results�from�algebraic�n�um�b�S�er�theory��V.��
ݍ�G�Theorem���1.2.3.�0��L��ffet���K�g��b�e�a�numb�er�eld,���m�����2��b��ffe�an�inte�ger,��and��S�=��b�e�a�nite����Gset��of�plac��ffes,�M]c�ontaining��al���l�innite�plac��ffes�in��K���and�al�l�nite�plac��ffes������,�M]such�that����G���ǹ(�m�)�UR�6�=�0�.��Consider�the�maximal�ab��ffelian�extension��L=K����which�has�exp�onent�dividing����G�m�G��and�which�is�unr��ffamie�d�G�at�al���l�plac��ffes�outside�of��S����.��Then��L=K�$��is�a�nite�extension.������GPr��ffo�of.���6ڕ�If�_ithe�prop�S�osition�is�true�for�a�nite�extension��K��ܞ���2�0�����=K�ܞ�,�{Bthen�it�is�certainly�true����Gfor��L�K�ܞ�.���Indeed,���if��L=K���is�the�maximal�ab�S�elian�extension�of�exp�onen��rt�dividing��m�,����Gwhic��rh�a�is�unramied�outside�of�the�nite�set��S��׹,��then��LK��ܞ���2�0�����=K��ܞ���2�0����is�a�maximal�ab�S�elian����Gextension�+�of�exp�S�onen��rt��m�,�;�unramied�outside�of�a�set��S���ן��2�0�����of�extensions�of�the�places����Gin�A>�S���to��LK��ܞ���2�0���׹.�<�Therefore,�V��LK��ܞ���2�0���=K��ܞ���2�0����is�A>nite,�and�so��L=K�ܹw��rould�also�b�S�e�nite.�<�Th�us,����Gw��re��can�assume�that��K��F�con�tains�the��m�-th�ro�S�ots�of�unit�y�������m��Ĺ.����#�;W��Ve��dene��the�35ring�of��S����-inte��ffgers���,���S�R�����S��	s4�=�UR�f�a��2��K�1�:����ǹ(�a�)����0����for�all���&/�������|q=������2�����ll�S����g�:����G�Sine��the�class�n��rum�b�S�er��of��R�����S��
	��is�nite,���w��re�can�add�nitely�man�y�places�to��S��׹,���so�that�����G�R�����S��	v)�b�S�ecomes�XGa�Dedekind�domain�with�class�n��rum�b�er�XG1�(i.e.�a�principal�ideal�domain).����GMaking�F��S��ȹbigger�increases��L��and�so�w��re�can�assume�that��R�����S��dӹis�a�principal�ideal����Gdomain.����#�;Next,��w��re�use�another�auxiliary�result:�����G�Lemma�F�1.2.4.�٭�L��ffet�8�K����b�e�a�numb�er�eld�(mor�e�gener�al���ly,�jany�eld�of�char�acteristic����G0),���c��ffontaining���the��m�-th�r�o�ots�of�unity�������m����.�٭Then�the�maximal�ab�elian�extension�of����G�K����of��Gexp��ffonent��m��is�obtaine�d�by�adjoining��m�-th�r�o�ots�of�the�elements�of��K�ܞ�.�G�In�other����Gwor��ffds,�35�L�UR�=��K�ܞ�(�a����2�1�=m����:��a��2��K��)�35�is�the�maximal�ab��ffelian�extension�of��K���of�exp�onent��m�.�����p���
荠�S�������7����
荠���m����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Let���L��b�S�e�an�ab�elian�extension�of��K����of�exp�onen��rt�dividing��m��and�let��G�\�=�������GGal���$l�(�L=K�ܞ�).���Since�zW�G��is�ab�S�elian,��Bthen��G�����P���I�����԰���b˹=�������G�����1������{��������{�G�����k��#��,�where�the�groups��G�����i���1�are����Gall�cyclic.��,Let��L�����i��d��=K��b�S�e�the�xed�eld�of��G�����1��78���w4�������f����x��$6�^�����w4�G�����i���������w4�������w4�G�����n���P�.�The�Galois����Ggroup�,�of��L�����i��d��=K�	B�is��G�����i���,�}#whic��rh�is�cyclic�of�order��m����2�0��G��j�ya�m�.���The�eld��K�	B�con�tains�the����Gprimitiv��re��g�m����2�0���9�-th�ro�S�ot�of�unit�y��"�.�
�Since��N�����L��8:�i��,r�=K��p�(�"�)�b)=�1,�(then��gb�y�Hilb�S�ert�Satz�90,����G�"�^X�=���n9�(�u�����i��dڹ)�=u�����i���6�for��\some��u�����i���2�2�^X�L�����i���(���is�a�generator�for�the�Galois�group�Gal(�L�����i��d��=K�ܞ�)).����GNext,�_��n9�(�u����2��n��RA�i����P�)��}=�(���(�u�����i��dڹ))����2�n��	7͹=�(�"����2��1��\|�u�����i���)����2�n��	7͹=��u����2��n��RA�i����P�,�_so���u����2��n��RA�i����2��K�ܞ�.��eSince�����n9���2�i����(�u�����i��dڹ)�=��"����2��i��
R�u�����i���,�_then��the����Gminimal���p�S�olynomial�of��u�����i��'��has�degree��m����2�0���9�,���so��L�����i���,�=�UR�K�ܞ�(�u�����i��dڹ),�where��u����2��m���-:�0���RA��i�����2�UR�K�ܞ�.�+�Therefore,����Gthe��maximal,�ab�S�elian�extension�of��K��F�of�exp�onen��rt�dividing��m��is��^ō���#�L�UR�=��K�ܞ�(�a�����1�=m����:��a��2��K��)�:�������]I��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����-]��#�;�By���lemma�1.2.4�and�b��ry�the�fact�that��K�ܞ�([�m�]����2��1��\|�K��)�=K��|�is���ab�S�elian,�kof�exp�onen��rt�����Gdividing�n�m��and�unramied�outside�the�nite�set��S��׹,�8�then��K�ܞ�([�m�]����2��1��\|�K��)�=K���is�nthe�largest����Gsubeld��of��K�ܞ�(�a����2�1�=m����:�UR�a��2��K��),��whic��rh�is�unramied�outside��S��׹.����#�;Supp�S�ose���that�������|q=������2�����ll�S��׹.�/�Then��a����2�1�=m����2�UR�L��for�some��a��2��K��u�if�and�only�if��K�������3��(�a����2�1�=m���̹)�=K����������G�is���unramied.�RlBut�since����ǹ(�m�)��O=�0,�ʢthen���this�condition�is�satised�precisely�when����G���ǹ(�a�)�UR���0��(mo�S�d��m�).�8�Finally��V,�w��re�conclude�that��L�UR�=��K�ܞ�(�a����2�1�=m����:��a��2��T�����S���),��where��^ō�^���T�����S��	s4�=�UR�f�a��2��K��ܞ���������=�K��ܞ������������}`�m���й:����ǹ(�a�)����0(��mo�S�d���o��m�)����for�all���&/�������|q=������2�����ll�S����g����#�;�W��Ve��/will�b�S�e�done�if�w��re�pro�v�e�that��T�����S��	��is�nite.�#
The�idea�is�to�consider�the�natural�����Gmap���R����2��J���b���S���	�?�!��]�T�����S���.��TW��Ve�claim�that�this�map�is�surjectiv��re.�Indeed,�the�v��X�aluations��������|=�����]$�2��������S����G�corresp�S�ond���precisely�to�the�prime�ideals�of��R�����S���.�מTh��rus,�>if��a�UR�2��K��ܞ���2���c��represen�ts���an�elemen�t����Gof�*_�T�����S���,�:Mthen�the�ideal��aR�����S��
HA�is�the��m�-th�p�S�o��rw�er�*_of�an�ideal�of��R�����S���(b��ry�the�denition�of����G�T�����S���).��Since�"��R�����S��@̹is�a�principal�ideal�domain,�p�then��aR�����S�����=�h��b����2�m����R�����S���for�some��b�h��2��K��ܞ���2������.����GHence,��,�a����=��ub����2�m���	�for��Esome��u����2��R����2��J���b���S����.�k�But��Ethen�the�images�of��a��and��u��in��T�����S��
�'�are�the����Gsame��and�therefore�the�map��R����2��J���b���S���	s4�!�UR�T�����S��	��is�surjectiv��re.�3USince�its�k�ernel�con�tains�(�R����2��J���b���S����)����2�m�����G�then�[w��re�obtain�a�surjectiv�e�map��R����2��J���b���S�����=�(�R����2��J���b���S����)����2�m�����!����T�����S���.���Finally��V,��using�[Diric�hlet's��S��׹-unit����Gtheorem��g[�14����,���V��f�x�1],�it�follo��rws�that��R����2��J���b���S���
I�is�nitely�generated�and�therefore��R����2��J���b���S�����=�(�R����2��J���b���S����)����2�m�����G�is��nite.�8�Th��rus,��T�����S��
��is�nite�and��L=K��F�is�a�nite�extension.���}����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������#�;Th��rus,�޿�L=K����is���a�nite�extension,�so�using�the�p�S�erfect�pairing��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�/��������G�Gal���$l�(�L=K�ܞ�)�UR�!��E���[�m�],��w��re�conclude�that��E��(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)��is�nite.��'ꤍ��G�1.3��>X�Computing�Q�the�W��aGeak�Mordell-W�eil�Group�and����>X�Principal�z�Homogeneous�Spaces��b#��G�Recall���that�w��re�assumed�in�the�v�ery�b�S�eginning�that��E���[�m�]�UR���E��(�K�ܞ�).�"�This���assumption����Gimplies�řthat�������m��ο�����K��ܞ���2������.�ɲIt�follo��rws�from�Hilb�S�ert�90�Satz�that�eac�h�homomorphism������GGal���$l�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�3l�!�������m��
���has���the�form������7!�3l��n9�(���O�)�=�[email protected]�for�some���ݻ�2����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����"������i�and�����O���2�m����2��K��ܞ���2������.����GTherefore,��w��re�ha�v�e�an�isomorphism�������K����:�UR�K��ܞ���2������=�K��ܞ���2����������x�m�����!����Hom�����(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;��������m��Ĺ).������U��
荠�S�������8����
荠���m��#�;The��pmain�idea�for�the�computation�of�the�w��reak�Mordell-W��Veil�group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�����Gis��hto�use�the�homomorphisms�������E���(from�section�1)�and�������K��
*�in�order�to�construct�a����Gpairing��������b�UR�:��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)������E���[�m�]�UR�!��K�����������=�K��������������}`�m���~�;������G�whic��rh��is�computable.����#�;F��Vor�O�the�construction�of�this�pairing,�n�w��re�use�the�W�eil�pairing��e�����m��Z�:�UR�E���[�m�]�m����E��[�m�]�UR�!����G������m��Ĺ,��dened�in�[�23����,�I�S�I�I.8].�8�Dene����]�b�(�P�S�;���Q�)�UR=��������s2��1��8O��K���Ϯ�(�e�����m��Ĺ(������E��-��(�P��ƹ)(��)�;�Q�))�:����G�The��Dpairing�is�w��rell-dened,��b�S�ecause�������K��
	�is�an�isomorphism.��It�is�also�not�hard�to�����Gc��rhec�k��2that�the�pairing�is�bilinear�and�nondegenerate�on�the�left.�L~Indeed,���if�������K��,�w��rere����Gdegenerate��'on�the�left,���then�there�w��rould�exist�a�p�S�oin�t��P��ƹ,���suc�h�that�for�all��Q�UR�2��E���[�m�]����Gand�%Hall���Ë�2���UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�),�L��e�����m��Ĺ(��(�P�S�;����n9�)�;�Q�)�UR=�1.��Since�%Hthe�W��Veil�pairing�is�nondegenerate,����Gthen����(�P�S�;����n9�)�UR=�0,�whic��rh�means�that��P���2��mE���(�K�ܞ�)�b��ry�prop�S�osition�1.1.1.�����#�;The��pairing��b��is�easily�computable�as�follo��rws:���`��G�Prop�`osition�1.3.1.�	g�L��ffet�I�S�� �b�e�the�nite�set�of�plac�es�����at�which��E��`�has�a�b�ad�r�e�duction,����Gthe�z3innite�plac��ffes�and�the�primes�dividing��m�.�;bThen�the�image�of�the�p�airing��b��lies����Gin�35the�sub��ffgr�oup���P���K�ܞ�(�S��;���m�)�UR=��f�b��2��K�����������=�K��������������}`�m���й:����ǹ(�b�)����0(���mo��ffd���[email protected]�m�)���35�for�al���l���'�������|q=������2�����ll�S����g����G�Mor��ffe�over,�'�for��a�p��ffoint��Q����2��E���[�m�]���if��f�����Q��&��and��g�����Q���ar��ffe�functions,�'�satisfying�div�(�f�����Q��/��)���=�����G�m�(�Q�)��$���m�(0)�|��and��f�����Q��
����$�[�m�]�݉=��g����2��n9�m��b��Q���r��,��'then�|��b�(�P�S�;���Q�)����f�����Q��/��(�P��ƹ)���(mo��ffd�����K��ܞ���2�����-�ʟ��x�m��5���)��for��P�O�6�=��Q�.�CIn����Gthe�c��ffase��P���=�UR�Q��one�c�an�c�onsider�any�p�oint��P���Ɵ��2�0���Q�2�UR�E���(�K�ܞ�)�,��such�that��f�����Q��/��(��P���Ɵ��2�0��o��)��6�=�0��and����Guse�35biline��ffarity�of�the�p�airing�to�obtain��b�(�P�S�;���P��ƹ)�UR=��f�����Q��/��(�P�Ln�+����P�����2�0��o��)�=f�����Q���(�P�����2�0��o��)�.����#�;�Before��presen��rting�the�pro�S�of,�w�e�will�mak�e�the�follo�wing��&���G�R��ffemark�C��1.3.2�.�m޹Prop�S�osition���1.3.1�is�useful�for�computing�the�group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)����Gin�{�the�follo��rwing�w�a�y:�[bsupp�S�ose�that�one�is�able�to�reco�v�er�the�functions��f�����Q���o�and��g�����Q�����G�from���the�equation�of�the�curv��re.��Next,��vtak�e���generating�p�S�oin��rts��Q�����1��R�and��Q�����2���for��E���[�m�]�����P���UR����԰���n:�=��������G�Z�=m�Z������Z�=m�Z�.��The���idea�is�to�consider�the�nitely�man��ry�pairs�(�b�����1����;���b�����2���)�UR�2��K�ܞ�(�S��;�m�)��������G�K�ܞ�(�S��;���m�)�i�and�for�eac��rh�one�to�test�whether�w�e�can�solv�e�the�equations��b�����1����z����2�����m��RA��1������=�UR�f�����Q��q��Aa�cmr6�1���Z-�(�P��ƹ)����Gand��u�b�����2����z����2�����m��RA��2����V�=�V��f�����Q��q�2���Z-�(�P��ƹ)�and��P��u�2��E���(�K�ܞ�)�ha��rv�e��ua�common�solution�(�P�S�;���z�����1����;�z�����2���)�V��2��K��ܞ���2�2��G�����3�K��ܞ���2�����F���x�2���.����GSince��the�pairing��b��is�nondegenerate�on�the�left,�))then�for�a�xed�pair�(�b�����1����;���b�����2���),�there����Gis�Q�at�most�one�p�S�ossible��P��ƹ,�k~suc��rh�that�there�exists�a�solution�(�P�;���z�����1����;�z�����2���)�Q�of�the�ab�S�o��rv�e����Gsystem.�	}Th��rus,�x�one�\�can�reco�v�er�this�unique��P��F�from�arbitrary��K�ܞ�-rational�p�S�oin�t�on�the����Gv��X�ariet��ry����v���b�����1����z���������m���ڍ�1������=�UR�f�����Q��q�1���Z-�(�P��ƹ)�;��b�����2���z���������m���ڍ�2����=�UR�f�����Q��q�2���Z-�(�P��ƹ)�;��P���2��E���(�K�ܞ�)�;������G�so��nthe�question�of�computing�the�Mordell-W��Veil�group�reduces�to�determining�whether����Gor�EDnote�eac��rh�of�nitely�man�y�v��X�arieties�(eac�h�corresp�S�onding�to�a�pair�(�b�����1����;���b�����2���))�EDhas�a����G�K�ܞ�-rational��}p�S�oin��rt.��W��Ve�call�these�auxiliary�v��X�arieties��homo��ffgene�ous��Lsp�ac�es��Z�for��}�E��=K��.��In����Gthat�֏sense,�
�the�question�of�computing�the�group��E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�֏is�related�to�Hilb�S�ert's����GT��Ven��rth��Problem�of�deciding�the�solv��X�abilit�y�of�diophan�tine�equations.�����	����
荠�S�������9����
荠���m����G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�351.3.1.����wD�Consider��the�elemen��rt���B�=����b�(�P�S�;���Q�)����2�1�=m��,�and�the�eld�ex-�����Gtension��u�K�ܞ�(���O�)�=K��.��HThe�pro�S�of�of�the�rst�part�is�based�on�t��rw�o�observ��X�ations.��HFirst,����Gthe���elemen��rt���]&�is�con�tained�in�the�nite�extension��L���=��K�ܞ�([�m�]����2��1��\|�E���(�K��)),���as���dened����Gin�]�prop�S�osition�1.1.1.���Since��L=K�:C�is�unramied�outside�of��S�|�b��ry�theorem�1.2.1,�zdthen����G�K�ܞ�(���O�)�=K����is��unramied�as�w��rell.�
�&But�w�e�get�from�algebraic�n�um�b�S�er�theory�that����G�K�ܞ�(���O=K��)���is�unramied�at���z¹if�and�only�if����ǹ(������2�m����)�UR���0���(mo�S�d��m�).�(QThis�pro��rv�es���that�the����Gimage��of��b��is�con��rtained�in��K�ܞ�(�S��;���m�).����#�;F��Vor�˅the�second�part�of�the�prop�S�osition,���recall�[�23����,�I�S�I�I.8]�˅that��f�����Q��
��and��g�����Q���are�used��[email protected]��Gfor�?Adening�the�W��Veil�pairing.�	6�In�other�w��rords,��g�e�����m��Ĺ(�P�S�;���Q�)��:=������ō��B�g�����Q��/��(�X��+�+����P��ƹ)���B�[��z�8Rǟ
�΍�ֺ�g�����Q��/��(�X��)�����E�}(the�last��/֍�Gfraction��is�the�same�for�all��X��).��4Cho�S�ose�a�p�oin��rt��P���Ɵ��2�0��	H�2��I�E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),�ݶsuc�h�that��mP���Ɵ��2�0��	H�=��I�P��ƹ.����GThen��b��ry�the�denition�of��b��and��e�����m���l�for��X�Fչ=�UR�P���Ɵ��2�0��o��,�w�e�ha�v�e�� s��������ō�udi����O���2����udi�[��z��l�
�΍�Ҁ��������Z�=�UR�e�����m��Ĺ(�P���Ɵ���0���?������P���Ɵ���0��o��;���Q�)�=������ō����g�����Q��/��(�P���Ɵ��2�0���	���)�����[��z�'8�
�΍����g�����Q��/��(�P���Ɵ����0���)�����0,B=������ō����g�����Q��/��(�P���Ɵ��2�0���)����2�������[��z�'�8�
�΍�Ҁ�g�����Q��/��(�P���Ɵ����0���)�����-V��:�� 뗍�G�By�+raising�to�the��m�-th�p�S�o��rw�er�+and�using�the�fact�that�������K��
fιis�an�isomorphism,�{%w��re����Gconclude�O�that��g�����Q��/��(�P���Ɵ��2�0��o��)����2�m��
��I����O���2�m���ù(mo�S�d���K��ܞ���2������j���x�m���.�).�g�Hence,�h��f�����Q���(�P��ƹ)�I=��f�����Q���(�mP���Ɵ��2�0��o��)�=��g�����Q���(�P���Ɵ��2�0��o��)����2�m��
�����G�b�(�P�S�;���Q�)��(mo�d���K��ܞ���2������b���x�m���&�),�whic��rh�completes�the�pro�of�of�the�prop�osition.���M�v��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;W��Ve��should�note�at�that�p�S�oin��rt�that�there�is�a�whole�theory�of�principal�homoge-����Gneous�,mspaces�and�that�they�can�b�S�e�dened�abstractly�as�v��X�arieties,�<�equipp�ed�with�a����Gsimple�z�transitiv��re�action�of�the�elliptic�curv�e�(or�more�generally��V,��Rthe�ab�S�elian�v��X�ariet�y).����GF��Vor��the�later�c��rhapters,�Mw�e��assume�that�the�reader�is�familiar�with�the�basic�theory�.����GIn��fact,�ZQall�w��re�will�need�is�that�the�equiv��X�alence�classes�of�principal�homogeneous����Gspaces�@�(or�torsors)�form�a�group�(the�W��Veil-Ch^�� atelet�group��W���C�ܞ�(�E��=K��))�@�and�the�el-����Gemen��rts�
of�that�group�are�in�bijectiv�e�corresp�S�ondence�with�the�cohomology�group����G�H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���).�8�The��basic�theory�is�presen��rted�in�[�23����,�X.3]��(V���G�1.4��>X�Applications�z�and�Complete�2-descen��u�t��b#��G�Our���discussion�in�the�previous�section�will�not�b�S�e�complete�without�an�explicit����Gexample,��^for�hwhic��rh�w�e�compute�the�w�eak�Mordell-W��Veil�group,��^using�the�describ�S�ed����Gtec��rhniques.���Since�>the�main�tec�hnical�diculties�arise�from�the�group�la�w�on�the����Gelliptic�l�curv��re,��deriv�ed�out�of�the�W��Veierstrass�equation,��w�e�restrict�ourselv�es�to�the����Gcase����m�UR�=�2,���whic��rh�can�b�S�e�made�explicit�using�the�form�ulas�for�the�group�la�w�on�the����Gelliptic��curv��re,�out�of�the�W��Veierstrass�equations.����#�;First,��tak��re�a�W��Veierstrass�equation�for��E����of�the�form������t��y��n9����2�����=�UR(�x������e�����1����)(�x����e�����2���)(�x����e�����3���)�:����#�;�The�Ot2-torsion�p�S�oin��rt�in��E���are�0�and��Q�����i��e��=��(�e�����i��d��;����0)�for��i��=�1�;����2�;��3.�gEThe�Otrst�step�is�����Gto���determine�the�functions��f�����Q��8:�i����ֹand��g�����Q��8:�i���
[��.�
�In�this�case,���the�explicit�form��rulas�for�the�����
���
荠�S������10����
荠���m��Ggroup��^la��rw�on�the�curv�e�[�23����,���I�S�I�I.2]��^mak�es�this�quite�easy��V.�rW�e��^c�hec�k�that�the�function�����G�f�����Q��8:�i���
�J�=�UR�x������e�����i��O��satises��div(�f�����Q��8:�i���
[��)�=�2(�Q�����i��dڹ)����2(0).�8�Moreo��rv�er,��!�ፑ)�}�x������[2]����e�����i���,�=������ō���(�x����2�2��j����2�e�����i��d��x����2�e����2��2��RA��i����+�2(�e�����1���+��e�����2���+��e�����3����)�e�����i������(�e�����1���e�����2��j��+��e�����1���e�����3��j��+��e�����2���e�����3���))����2�2������[��z�/䵟
�΍���'�(2�y�n9�)������2������5�m�;��)���G�so�Gww��re�set��g�����Q��8:�i���OC�=������ō�&~(�x����2�2��j������2�e�����i��d��x����2�e����2��2��RA��i����+�2(�e�����1���+��e�����2���+��e�����3����)�e�����i������(�e�����1���e�����2��j��+��e�����1���e�����3��j��+��e�����2���e�����3���))��&~�[��z�+$��
�΍����2�y�����1~b�.�ONRecall���捑Gthat�Skno��rwing��f�����Q��8:�i����	�means�kno�wing�explicitely�the�equations�for�the�principal�homo-����Ggeneous��spaces.����#�;Fix���(�b�����1����;���b�����2���)�UR�2��K�ܞ�(�S��;��2)�o����K�ܞ�(�S��;��2).�/?T��Vo���c��rhec�k�whether�(�b�����1����;���b�����2���)�is�in�the�image�of�the����Gpairing���b��means�to�c��rhec�k��whether�the�system�of�equations���������y��n9����2�����=�UR(�x������e�����1����)(�x����e�����2���)(�x����e�����3���)������X(1)�������ŋ��b�����1����z���������2���ڍ1����9�=�UR�x������e�����1�������X�(2)������Gand������ŋ��b�����2����z���������2���ڍ2����9�=�UR�x������e�����2�������X�(3)������Ghas�7�a�solution�(�x;���y�n9;�z�����1����;�z�����2���)����2��K�j9�����K����K��ܞ���2���	*=���K��ܞ���2���
ԟ�(w��re�7�are�using�the�fact�that��Q�����1�����G�and���Q�����2��	��are�generators�for��E���[2]).�6�By�substituting�(2)�and�(3)�in��rto�(1),�)�w�e�obtain��H捑G�y��n9���2�2�����=�UR(�x�b5���e�����3����)�b�����1���b�����2���z����2�����2��RA�1���H��z����2�����2��RA�2����.�FSince�I��b�����1����;���b�����2���;�z�����1���;�z�����2��	޹are�I�non-zero,�jw��re�can�consider��z�����3��V�=������ō�hZ�y�����[��z�'舟
�΍b�����1����b�����2���z�����1���z�����2������-�@�.������GThen��the�new�set�of�equations�is��b�����1����b�����2���z����2�����2��RA�3�����=���x������e�����3����,�-T�b�����1���z����2�����2��RA�1����=���x������e�����1����and���b�����2����z����2�����2��RA�2����=���x����e�����2����.����GBy��eliminating��x�,�w��re�get�a�pair�of�equations�����q�.�b�����1����z���������2���ڍ1���������b�����2���z���������2���ڍ2����9�=�UR�e�����2��j����e�����1���;��b�����1���z���������2���ڍ1�������b�����1���b�����2���z���������2���ڍ3����9�=�UR�e�����3��j����e�����1���:����G�W��Ve�Hcan�use�v��X�arious�tec��rhniques,�psuc�h�Has�reduction�to�determine�whether�or�not�this����Gpair�V�of�equations�has�at�least�one�rational�p�S�oin��rt�(�z�����1����;���z�����2���).�|�If�V�this�happ�ens�to�b�e�the����Gcase,��then�w��re�reco�v�er�easily��x��and��y�X�as�����4�x�UR�=��b�����1����z���������2���ڍ1����+����e�����1���;��y�Ë�=�UR�b�����1���b�����2���z�����1���z�����2���z�����3�����G�The��|only�pairs�whic��rh�w�e�cannot�compute�using��f�����Q��q�1���7��and��f�����Q��q�2����are��b�(�Q�����1����;���Q�����1���)��|and����G�b�(�Q�����2����;���Q�����2���).�8�But��w��re�use��!;��fB��b�(�Q�����1����;���Q�����1���)�UR=��b�(�Q�����1����;�Q�����1��j��+����Q�����2���)�=b�(�Q�����1���;�Q�����2���)�UR=������ō���(�e�����1��j������e�����3���)�����[��z�,2u�
�΍����e�����1��j������e�����2������1�-�:��]^��G�Similarly��V,��s�������b�(�Q�����2����;���Q�����2���)�UR=������ō���(�e�����2��j������e�����3���)�����[��z�,2u�
�΍����e�����1��j������e�����2������1�-�:���^��#�;�W��Ve��can�summarize�the�whole�argumen��rt�in�the�follo�wing������ڠ�
荠�S������11����
荠���m��G�Theorem���1.4.1�(Complete�2-descen��t).�7��Supp��ffose���that��E��=K�tI�is�an�el���liptic�curve,�����Ggiven�35by�a�Weierstr��ffass�e�quation��������y��n9����2�����=�UR(�x������e�����1����)(�x����e�����2���)(�x����e�����3���)�;�
fhe�����i���,�2�UR�K����G�L��ffet��e�S�x<�b�e�the�set�of�plac�es�at�which��E�y|�has�b�ad�r�e�duction,���the�plac�es�dividing�2�and����Gthe�35innite�plac��ffes.�fiThen�ther�e�exists�an�inje�ctive�homomorphism�����{��E���(�K�ܞ�)�=�2�E��(�K��)�UR�!��K��(�S��;����2)������K��(�S��;����2)�;����G�which�35is�given�explicitly�(by�pr��ffop�osition�353.1)�as��/f��Y'��P���7!����3 ��UR�8��
�ԍ�UR>������UR>����UR<������UR>����UR>����UR:�����&e������(�x�(�P��ƹ)������e�����1����;���x�(�P��)����e�����2����)���������if�35�x�(�P��ƹ)�UR�6�=��e�����1����;���e�����2��������;����������((�e�����1��j������e�����3����)�=�(�e�����1�����e�����2����)�;���e�����1�����e�����2����)���������if�35�x�(�P��ƹ)�UR=��e�����1�����'�;���������(�e�����2��j������e�����1����;����(�e�����2�����e�����3����)�=�(�e�����2�����e�����1����))���������if�35�x�(�P��ƹ)�UR=��e�����2�����'�;���������(1�;����1)���������if�35�P��=�UR�O����rn:��������#�;�If��z�(�b�����1����;���b�����2���)�C�2��K�ܞ�(�S��;��2)������K�ܞ�(�S��;��2)��z�is�not�in�the�image�of�the�thr��ffe�e��zp�oints��O�S��,��˹(�e�����1����;����0)����G�and�n�(�e�����2����;����0)�,�|�then��(�b�����1���;���b�����2���)��is�the�image�of�a�p��ffoint��P�d(�2��b�K�J��if�and�only�if�the�e�quations����G�b�����1����z����2�����2��RA�1����������b�����2���z����2�����2��RA�2���4��=����e�����2��s����e�����1��
X��and����b�����1���z����2�����2��RA�1��������b�����1���b�����2���z����2�����2��RA�3���4��=����e�����3��s����e�����1��
X��have���a�solution��(�z�����1����;���z�����2���;�z�����3���)����2����G�K��ܞ���2����Q��L��K��ܞ���2������K�ܞ�.���If�
�such�a�solution�exists,�D�then�a�r��ffepr�esentative�
�for�the�element�of����G�E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�35�is�given�by��x�(�P��ƹ)�UR=��b�����1����z����2�����2��RA�1����+����e�����1���9�and�35�y�n9�(�P��)�=��b�����1����b�����2���z�����1���z�����2���z�����3���.��'�����G�1.5��>X�Denition�	pof�the��A�-Selmer�and�Shafarevic��u�h-����>X�T��aGate�z�Groups��b#��G�As�9in�the�previous�section,��w��re�are�led�b�y�the�motiv��X�ation�to�eectiv�ely�compute�the����GMordell-W��Veil��#group.�:RThe�main�step�is�to�nd�generators�for�the�w��reak�Mordell-W�eil����Ggroup���E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��).����#�;In�|the�previous�section,��+w��re�obtained�the�Kummer�sequence�out�of�the�long�exact����Gsequence���on�group�cohomology��V.�4�No��rw,��>w�e���consider�a�sligh��rtly�more�general�setting:����Gsupp�S�ose�%that������:��E�l��!��E������2�0���U�is�%a�non-zero�isogen��ry�of�elliptic�curv�es�o�v�er��K�ܞ�.���Then�one����Ghas��a�short�exact�sequence���`���`�0�UR�!��E���[��]��!��E�����h���V���J������	i�����	t!����^��E������0��ע�!��0�:�����#�;�In���precisely�the�same�w��ra�y���as�for�the�case��E������2�0��ע�=�UR�E�gʹand����=�[�m�]�from�the�previous����Gsection,��w��re�obtain�a�short�exact�sequence��J8��
�0�UR�!��E�������0���P�(�K�ܞ�)�=�(�E���(�K��))����2����/����p�����UR�����U]!�������H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E��[��])�UR�!��H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����))[��]�UR�!��0�:����#�;�Next,��w��re�iconsider�a�place����0�for�the�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�.��#Extend����0�to�a�place�of�the����Galgebraic�closure����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����5�.��dThis�giv��res�us�an�em�b�S�edding����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���E����S���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����/d������yu�and�a�decomp�osition����Ggroup,�%whic��rh�Vw�e�denote�b�y��D��������Y�����ǹGal���w(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�).���By�the�denition�of�a�decomp�S�osition��������
荠�S������12����
荠���m��Ggroup�Band�of�the�completion����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������������"��,�]hit�follo��rws�that��D�������
FԹacts�on��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶������H�)�and��E�����2�0���P�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶������H�).�����GRep�S�eating�� the�same�argumen��rt�as�the�one�in�the�previous�section,��~w�e�obtain�similar����GKummer��sequences��2��>�00�UR�!��E�������0���P�(�K�������3��)�=�(�E���(�K��������))�UR�!��H���V����1���Z�(�D�������3��;���E��[��])��!��H���V����1���Z�(�D�������3��;���E��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�))[��]��!��0�:����G�Notice���that��D�������������UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�and��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����)�UR���E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����������H�).��Of���course,���it�is�a�subtle�question�����Gon���ho��rw�the�lo�S�cal�cohomology�dep�ends�on�the�c��rhoice�of����ǹ,��but�this�is�discussed�in����Gdetail��in�[�5����,�uCh.��fIV].�Recall�from�the�basic�prop�S�erties�of�Galois�cohomology�that����Gthese�|�inclusions�induce�restriction�maps�on�cohomology��V.��W�e�|�do�the�same�for�eac��rh����Gplace�]y��@�and�use�these�restriction�maps�to�obtain�the�follo��rwing�comm�utativ�e�diagram���i�����������������G���0�����������A?!����5D

xyatip10�/��5D

xybtip10�/�������C��32�fd#Mގ�����������&9��I�q�E��r؟�-:�0��$��(�K����)��ErT����z� �Ÿ����(�E�r��(�K����))��������������������!1������������������'���/�/������jUI��32�fd#Mގ�����U�5�!��������U��!�fd�����������'����H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���[��])������������l����/�/�������l���32�fd������Ƈ֟#�s���������T��#�s���fd���������l�����H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���(�K��))[��]�������������5!���/�/�������5!��32�fd������ZPӟ#�s��������Z��#�s���fd���������5!��ݹ0�������������G�0�0�����������5�C�-ƻ/�/�������C�-6��fd����������8�C�&�J�Q���DF��3bT������*)���Q)zE��r؟�-:�0��$��(�K��������)��L�]����z�$˜�����(�E�r��(�K��������))���������������������!1�*����������������o~�-ƻ/�/������u�(�-6��fd"�V�����������o~�'�Q�����՟3������e�0�H���V���2�1���Z�(�D�������3��;���E���[��])������������ 
b�-ƻ/�/�������.�-6��fd+m4����������#
b�'�Q���.b��3����5�I�0�H���V���2�1���Z�(�D�������3��;���E���(�K��������))[��]�������������5!�-ƻ/�/��������D�-6��fd �ݎ��������5!�0᣹0�����������H�/��#�;But��in�the�previous�section,�DBw��re�iden�tied�the�group�of�equiv��X�alence�classes�of�prin-����Gciple��phomogeneous�spaces��W���C�ܞ�(�E��=K��)��pwith�the�cohomology�group��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E��).����GTh��rus,�W�w�e�2�can�replace�the�upp�S�er�and�lo��rw�er�2�last�terms�b��ry��W���C�ܞ�(�E��=K��)�2�and��W�C�ܞ�(�E��=K�������3��)����Gresp�S�ectiv��rely��V.����#�;Our��pultimate�goal�is�computing�the�image�of��E������2�0���P�(�K�ܞ�)�=�(�E���(�K��))��pin��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E��[��]),����Gwhic��rh���is�the�same�as�computing�the�k�ernel�of�the�map��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���E���[��])�6#�!����G�W���C�ܞ�(�E��=K��)[��].��SBut�)ythe�follo��rwing�prop�S�osition�pro�vides�a�w�a�y�of�testing�whether�an����Gelemen��rt�V�is�in�the�k�ernel,�q�in�terms�of��K�ܞ�-rational�p�S�oin�ts�on�the�homogeneous�spaces����Gof���W���C�ܞ�(�E��=K��).��ә��G�Prop�`osition��1.5.1.���Supp��ffose�V�that��C��=K�3��is�a�homo�gene�ous�sp�ac�e�for��E��=K�ܞ�.�ѣThen����G�C��=K�[h�r��ffepr�esents�~�the�trivial�element�of��W���C�ܞ�(�E��=K��)�~��if�and�only�if��C��has�at�le��ffast�one����G�K�ܞ�-r��ffational�35p�oint.������GPr��ffo�of.���6ڕ�One���of�the�directions�is�easy��V.��Supp�S�ose�that��C��=K�o9�represen��rts�a�trivial�elemen�t����Gof���W���C�ܞ�(�E��=K��).���Then�there�is�a��K��-isomorphism��'��{�:��E�F��!��C�ܞ�.���Then��'�(0)��2��C�ܞ�(�K��),��so����Gin��particular��C�ܞ�(�K��)��is�non-empt��ry��V.����#�;Con��rv�ersely��V,���supp�S�ose��Zthat��C�ܞ�(�K��)��Zis�non-empt��ry�,���i.e.��q�P�����0��V�2�UR�C�ܞ�(�K��).�Dene��Za�morphism����G��lS�:���E����!��C�:�b��ry�]|��S��(�Q�)�=��P�����0���ڹ+����Q�.��[W��Ve�rst�sho��rw�that�the�morphism����
�is�dened�o�v�er����G�K�ܞ�.�8�Supp�S�ose����Ë�2���UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��).�Then��2��c���S��(�Q�)��������Q�=�UR(�P�����0��j��+����Q�)��������=��P������������ڍ�0���	�m�+����Q��������=��P�����0��j��+����Q��������=���S��(�Q����������)�:����G�Th��rus,��the���morphism�is�dened�o�v�er��K�ܞ�.�y�W��Ve�next�pro�v�e�that������is�an�isomorphism.�����GIndeed,�Fsince����E�Y��acts�simply�transitiv��rely�on��C�ܞ�,�then�for�eac��rh��P����2�G.�C��+�there�is�a����Gunique����Q��l�2��E���,���suc��rh�that���S��(�Q�)�=��P�d��and�so���y�has�degree�1.���This�means�that�the����Ginduced�GGmap�on�function�elds����S����2���	��:������\-�z�
۶�	�Ӎ�K���ί�(�C�ܞ�)����!����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����(�E���)�GGis�an�isomorphism�of�elds.�N�In����Gother�9�w��rords����S����2�������\-�z�
۶�	�Ӎ�K����H�(�C�ܞ�)��h=����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���k�(�E���).�	%�Therefore,��Q���#�has�9�an�in�v�erse,��Qwhic�h�w�e�denote�b�y����G���S����2��1��\�:��UR��\-�z�
۶�	�Ӎ�K���1�(�E���)�UR�!����\-�z�
۶�	�Ӎ�K����(�C�ܞ�).�,This��isomorphism�giv��res�rise�to�a�rational�function�� �Ë�:�UR�C�1��!��E����G�of��degree�1.�8�But�suc��rh�a�function�is�alw�a�ys�a�morphism,�since��E����is�smo�S�oth.���$2���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������
߄��
荠�S������13����
荠���m��#�;Although�w��re�obtained�a�simple�criteria�to�c�hec�k�if�a�principal�homogeneous�space�����Grepresen��rts��the�trivial�elemen�t�in�the�W��Veil-Ch^�� atelet�group,�@it�is�still�a�hard�question����Gto�Tdetermine�whether�a�curv��re��C���has�a��K�ܞ�-rational�p�S�oin�t.���In�suc�h�cases,��it�is�alw�a�ys����Geasier�T�to�w��rork�o�v�er�complete�lo�S�cal�elds,��rb�ecause�w��re�can�use�Hensel's�lemma�to����Greduce��the�problem�to�c��rhec�king��whether�the�curv��re�has�a�p�S�oin�t�o�v�er�a�nite�ring.����#�;T��Vo�Ʉillustrate�more�precisely�the�ab�S�o��rv�e�Ʉidea,��%consider�a�place����K�and�the�complete����Glo�S�cal��eld��K�������3��.�8�By�prop�osition�1.5.1,�computing�the�k��rernel�of�the�map��W?�����H���V����1���Z�(�D�������3��;���E���[��])�UR�!��W���C�ܞ�(�E�=K�������3��)[��]����Greduces�5�to�the�question�of�determining�whether�a�homogeneous�space��C�F�has�a��K�������3��-�����Grational��p�S�oin��rt.�8�This�idea�naturally�leads�to�the�follo�wing�denitions:���6��G�Denition��Y1.5.2.�w��F��Vor�8�an�isogen��ry���UR�:��E�	i�!��E������2�0���ٹdened�8�o�v�er��K�ܞ�,�\)consider�the���-Selmer����Ggroup���S���ן��2�(��)���׹(�E��=K�ܞ�)�to�b�S�e�the�subgroup�of��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E���[��]),�dened�as��"�J��FkU�S���ן���(��)���׹(�E��=K�ܞ�)�UR:=���k��rer��������z��(�����H���V����1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���E���[��])��!�������Y���
�ҍ��5�������W���C��(�E��=K�������3��)���z��)�������:��"�K��G�W��Ve��palso�consider�the�Shafarevic��rh-T�ate�group�of��E��=K�y�to�b�S�e�the�subgroup�of��W���C�ܞ�(�E�=K��)����Gdened��as�����b���X��p��(�E��=K�ܞ�)�UR:=���k��rer��������z��(�����W���C��(�E��=K��)��!�������Y���
�ҍ��5�������W���C��(�E��=K�������3��)���z��)����4��:�� {���#�;�Although���the�ab�S�o��rv�e���denitions�include�the�c��rhoices�of�the�extension�of�eac�h�place����G���j�to��the�algebraic�closure����\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
�Y�,�=from�the�more�geometric�in��rterpretation�of�homogeneous����Gspaces,��Cit���follo��rws�that�b�S�oth��S���ן��2�(��)��vb�and���X��*��dep�end�only�on��E�M��and��K�ܞ�.�E�Indeed,��Crecall����Gthat���a�homogeneous�space��C��`�represen��rts�a�trivial�elemen�t�in��W���C�ܞ�(�E��=K�������3��)�if�and�only����Gif�2�it�has�a��K�������3��-rational�p�S�oin��rt,�W�a�condition�whic�h�is�certainly�indep�S�enden�t�of�the�c�hoice����Gof���extension�of�the�places����ǹ.�"ATherefore,��^b�S�oth��S���ן��2�(��)�����and���X��E�dep�end�only�on��E�Z�and��K�ܞ�.����#�;A�gfamous�g=conjecture�ab�S�out���X��^��(�E��=K�ܞ�)�for�an�elliptic�is�that�it�is�alw��ra�ys�g=nite�and����Ghas��order�a�p�S�erfect�square.����G�Conjecture�[�3�(T���ate-Shafarevic��h).�a��If����E��=K����is�an�el���liptic�curve,��then���X���f�(�E�=K�ܞ�)����G�is�35nite.����GR��ffemark�ι1.5.3�.���Another��
in��rteresting�observ��X�ation�for���X�����is�that�it�measures�the�failure����Gof���the��lo��ffc�al-to-glob�al��Jprinciple�,���since���the�nonzero�elemen��rts�in���X��V�are�equiv��X�alence����Gclasses�5of�homogeneous�spaces�whic��rh�ha�v�e�a�rational�p�S�oin�t�for�ev�ery�lo�S�cal�eld��K�������3��,����Gbut�%�do�not�ha��rv�e�%�a��K�ܞ�-rational�p�S�oin��rt.���F��Vor�instance,�4]for�quadratic�forms�w�e�ha�v�e�the����GHasse-Mink��ro�wski�.�principle,�?vaccording�to�whic��rh�existence�of�a��Q�������3��-rational�p�S�oin�t�for����Geac��rh������ǹ-adic�eld�implies�existence�of�a��Q�-rational�p�S�oin�t.�.GThis�is�not�alw�a�ys�true�for����Garbitrary��Pcurv��res.���An�example�of�an�obstruction�to�the�lo�S�cal-to-global�principle�is����Gthe��curv��re�(see�[�4����,�Ch.�8�18]�for�details)��W?���Z3�X������3��\/�+���4�Y���p����3��
�+�5�Z��ܞ����3����=�UR0�:���������
荠�S������14����
荠���m��GThe�rShafarevic��rh-T��Vate�groups�measures�the�failure�of�the�lo�S�cal-to-global�principle.�����GNotice�l4that�the�T��Vate-Shafarevic��rh�conjecture�implies�that�for�all,���but�nitely�man�y����Gequiv��X�alence��classes�of�homogeneous�spaces�the�lo�S�cal-to-global�principle�still�holds.��('���G�1.6��>X�Finiteness�z�of�the�Selmer�Group��b#��G�Unlik��re��y��X��q-�,��Tit�y�is�not�hard�to�pro�v�e�that��S���ן��2�(��)��V��is�nite�and�eectiv�ely�computable.�=The����Gmain��goal�of�the�section�is�to�pro��rv�e��niteness�of��S���ן��2�(��)����for�an�arbitrary�isogen��ry���.����#�;T��Vo�ifb�S�egin�with,��let����ʹ:��E����!��E������2�0��붹b�e�ifan�isogen��ry�dened�o�v�er�the�n�um�b�S�er�eld����G�K�ܞ�.�X Using���only�the�cohomological�denition�of�the�Selmer�group�and�Shafarevic��rh-����GT��Vate��9group�and�the�comm��rutativ�e��9diagram�from�the�previous�section,��w��re�obtain�the����Gfollo��rwing��short�exact�sequence��퍑U��0�UR�!��E�������0���P�(�K�ܞ�)�=�(�E���(�K��))�UR�!��S���ן���(��)���׹(�E�=K�ܞ�)��!���X��L��(�E�=K�ܞ�)[��]��!��0�:����G�This��is�going�to�b�S�e�helpful�for�pro��rving�the�rst�main�result�of�the�section��-���G�Theorem�&E1.6.1.����The����-Selmer�gr��ffoup��S���ן��2�(��)���׹(�E��=K�ܞ�)��is�nite.�	[�In�p�articular,��{if�one�����Gcho��ffoses��^���to�b�e�the��m�-iso�geny�of��E��u�to�itself,�Ehthen�the�we�ak�Mor�del���l-Weil�gr�oup����G�E���(�K�ܞ�)�=mE��(�K��)�35�is�nite.����#�;�The���k��rey�idea�for�the�pro�S�of�of�the�niteness�of�the�Selmer�group�is�the�non�trivial����Gobserv��X�ation�6�that�it�consists�of�cohomology�classes�of�co�S�cycles�whic��rh�are��unr��ffamie�d����G�outside�8of�nite�set�of�places��S��׹.�!Before�pro�S�ceeding,�Kkw��re�giv�e�a�precise�denition�for����Ga��co�S�cycle�to�b�e�unramied.����G�Denition���1.6.2.�n��Supp�S�ose�,�that��M�m͹is�a���Gal�����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)-mo�dule,�R���is�a�discrete�v��X�aluation����Gfor���the�n��rum�b�S�er���eld��K����and��I�������������UR�Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�b�e�the�inertia�group�for����ǹ.���A���cohomology����Gclass�>����b�2��a�H���V���2�p�����(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�)�is�dened�to�b�S�e��unr��ffamie�d��vat���{�if�>�has�a�trivial�image����Gin���H���V���2�p�����(�I�������3��;���M�@�)�under�the�restriction�map��H���V���2�p���(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�)�UR�!��H���V���2�p���(�I�������3��;���M�@�).����#�;First�Վof�all,���w��re�mak�e�one�clarication�ab�S�out�the�ab�o��rv�e�Վdenition.�1�Since�w��re�ha�v�e����Galready��Yxed�a�decomp�S�osition�group��D�������	��for����ǹ,���the�inertial�group��I��������is�determined����Gb��ry���the�decomp�S�osition�group�as�the�k�ernel�of�the�map��D����������!���UR�Gal����(����W��Q���*���k���������P�=k�������3��),��lwhere�����ǟ��2�0��^ܹis����Gthe�/�extension�of����to�the�algebraic�closure�of��K���and����:�z����	���k����
��������	�and��k�������	c��are�the�t��rw�o�/�residue����Gelds��for�the�complete�lo�S�cal�elds��K�������	:�and����\-�z�
۶�	�Ӎ�K�����^������䘹resp�ectiv��rely��V.����#�;Before��pro��rving�theorem�1.6.1,�w�e�need�to�pro�v�e�a�lemma����G�Lemma�;G1.6.3.��0�F���or��;any�nite,�:ab��ffelian���Gal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�-mo�dule��M�=�the�gr�oup�of�c�ohomol-����Go��ffgy�[email protected]�which�ar�e�unr�amie�d�outside�a�nite�set�of�primes�is�nite.�i�In�other����Gwor��ffds,�35the�gr�oup��퍑\��H���V����1���Z�(���Gal�����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�;��S��׹)�UR:=��f��=S�2��H���V����1���(���Gal�����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�)�:�����6�is�35unr��ffamie�d�outside�of�������S����g����G�is�35nite.�����ڠ�
荠�S������15����
荠���m����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Using�""the�denition�of�the�pronite�top�S�ology�and�the�niteness�of��M�@�,�pw��re�����Gdeduce�ӟthat�there�m��rust�b�S�e�a�nite�index�subgroup�of���Gal���/O(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�whic�h�acts�triv-����Gially��Fon��M�@�.�
��Therefore,�Rmw��re�can�assume�that���Gal���2�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�acts�trivially�on��M�*�b�y����Gc��rhanging�$��K��with�a�nite�extension�(b�S�ecause�the�in
ation-restriction�sequence�on����GGalois��cohomology�implies�that�it�suces�to�pro��rv�e��the�statemen��rt�for�the�extension����Gof����K�ܞ�).�$�This�in�turn�implies�that��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���M�@�;��S��׹)�l�=���Hom����(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K��)�;���M�@�;��S��׹).����GT��Vo���complete�the�pro�S�of,�q!denote�b��ry��m��the�exp�onen��rt�of��M�0��(i.e.�Hithe�smallest��m�,����Gsuc��rh��that��mx��8�=�0��for�all��x��8�2��M�@�).�>�Denote��b�y��L��the�maximal�ab�S�elian�exten-����Gsion�
of�exp�S�onen��rt��m�,��uwhic�h�is�unramied�outside�of��S��׹.��fThen�the�natural�map����GHom(��Gal���[�(�L=K�ܞ�)�;���M�@�)�UR�!����Hom�����(��Gal���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�;��S��׹)���is�clearly�an�isomorphism.��But�the-����Gorem�	#1.2.3�implies�that��L=K����is�a�nite�extension,�P�i.e.��Q�H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�;���M�@�;��S��׹)�	#is�a����Gnite.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������G�Pr��ffo�of�35of�the��ffor�em�351.6.1.����M��Supp�S�ose��that������2����S���ן��2�(��)���׹(�E��=K�ܞ�)�and����ǹis�a�nite�place�of��K����G�whic��rh���do�S�es�not�divide�the�degree�of�the�isogen�y����and�that��E������2�0��/��has�a�go�S�o�d���reduction����Gat�Q����ǹ.�	m�W��Ve�will�pro��rv�e�Q�that���9��is�unramied�at����.�	m�Using�the�denition�of��S���ן��2�(��)���׹,��Vw��re����Gobtain��that�����has�a�trivial�image�in��W���C�ܞ�(�E��=K�������3��).�!�But��W�C�ܞ�(�E��=K�������3��)�is�iden��rtied�with����G�H���V���2�1���Z�(�D�������3��;���E���),���so�s�����(��n9�)�>�=��P���Ɵ��2���
N�����P�}�is�a�cob�S�oundary��V,���where��P��b�2��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶������H�)�for�all������2��D�������3��.����GF��Vurthermore,�2Ythe�$denition�implies�that��P���Ɵ��2���
z��ѵ�P�X��2����E���[��].���But��E��[��]������E��[�m�]�$and�w��re����Gcan��use�lemma�2.2�to�sho��rw�that��E���(�K�ܞ�)[�m�]�injects�in�to����x��ٺ~������E����������.���But�the�reduction�(mo�S�d����G���ǹ)�Amaps�sends��P���Ɵ��2���
������P�)x�!����(�P���Ɵ��2������P��ƹ)����2���
�*�=����x��,�~��������P�����2����� �����x��cȹ~������P����i�.���The�Alast�p�S�oin��rt�is���n�~�����0���
�~for�an�y������2����I����������G�b��ry��bthe�denition�of�the�inertia�group.�sTherefore��P���Ɵ��2���
��=�UR�P�4(�for�ev�ery���Ë�2�UR�I���������and�hence����Gthe�ENrestriction�of���-O�to��H���V���2�1���Z�(�I�������3��;���E���[��])�is�trivial,�[�i.e.�H����is�unramied�at����ǹ.�H�Finally��V,�[�the����Gstatemen��rt��follo�ws�from�lemma�1.6.2.���� j��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����������
荠�S���
荠���m��G�Chapter�	T{2��2��GAb��
elian�	T{V����arieties��6���G�The�w�purp�S�ose�of�this�c��rhapter�is�to�in�tro�S�duce�the�basic�theory�of�ab�elian�v��X�arieties.��W��Ve�����Gpro��rv�e�%that�the�group�of�p�S�oin��rts�on�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�is�alw�a�ys�comm�utativ�e�as�a����Gconsequence�&�of�the�rigidit��ry�lemma.��W��Ve�sk�etc�h�the�construction�of�the�dual�ab�S�elian����Gv��X�ariet��ry�=�(a�v�ariet��ry�that�will�b�S�e�used�a�lot�in�the�next�c�hapters).�1�Finally��V,�Riw�e�discuss����GJacobians��of�curv��res.��'_䍍�G�2.1��>X�Ab��=elian�z�V��aGarieties�o��u�v�er�z�Arbitrary�Fields��b#��G�Ab�S�elian��v��X�arieties�are�the�main�ob��jects�of�study�of�this�pap�er.��bl��G�Denition���2.1.1.�ùAn����ab��ffelian�;�variety�~�o��rv�er�a�eld��K�К�is�a�smo�S�oth,��Qprop�er,�algebraic����Gv��X�ariet��ry���X��+�o�v�er��K�ܞ�,�together�with�m�ultiplication�and�in�v�erse�morphisms���Ӎ��l��m�UR�:��X��+�����X�F��!��X����ӹ(m��rultiplication)��������j�i�UR�:��X�F��!��X����ӹ(in��rv�erse)���4�k�;���6��G�and�;an�iden��rtit�y�;elemen�t��e�UR�2��X��(�K�ܞ�),�^"suc��rh�that�the�maps��m;���i��and�the�elemen�t��e��dene�����Ga��group�structure�on��X��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�).����G�Example�kϹ2.1.2�.�.�The�D�ob��rvious�examples�are�elliptic�curv�es,�[isince�they�are�smo�S�oth�as����Galgebraic�fWv��X�arieties�and�ha��rv�e�fWa�group�structure�(the�group�la��rw�is�dened�b�y�the�usual����Gaddition��of�p�S�oin��rts�la�w�on�elliptic�curv�es).��q6��#�;It��=is�not�clear������a�"Gpriori���whether�m��rultiplication�on�the�group�v��X�ariet�y�is�comm�uta-����Gtiv��re.�!�F��Vor���elliptic�curv�es,���comm�utativit�y�is�straigh�tforw�ard�from�the�denition�of�the����Ggroup��la��rw.�8�T��Vo�pro�v�e�comm�utativit�y�in�general,�w�e�use�the�follo�wing����G�Theorem��2.1.3�(Rigidit��y�Theorem).��A�L��ffet�S��f��~�:�k�X�q����T�Y���!��Z�0J�b�e�S�a�morphism�of����Gvarieties��+over��K�ܞ�.��JSupp��ffose�that��X���is�smo�oth�and�ther�e�exist��y�����0��	[email protected]�2��<�Y��p�(�K�ܞ�)��and��z�����0���2����G�Z�ܞ�(�K��)�,�35such�that������Q�f�G��(�X��+����f�y�����0����g�)�UR=��f�z�����0���g�:���6��G�Then��3ther��ffe�exists�a�morphism��g�Ë�:�UR�Y����!��Z�ܞ�,��gsuch��3that��f��Q�=�UR�g����|l��n9�,�wher��ffe���Ë�:�UR�X�m���|l�Y����!��Y����G�is�35the�pr��ffoje�ction�35morphism.�����ᖖ�16����$$��
荠�S������17����
荠���m����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Cho�S�ose���a�p�oin��rt��x�����0��	Me�2��a�X����and�dene��g�n9�(�y��)�=��f�G��(�x�����0����;���y��).�^�Cho�S�ose���an�op�en�ane�����Gneigh��rb�S�orho�o�d���U�����0��	�ܹof��z�����0���in��Z�ܞ�.��qSince��X�[�is�prop�S�er�o��rv�er���K��,�k�then�����is�closed.��qThen����G�W�\6�=��p��n9�(�f��G����2��1���{�(�Z���9��U�����0����))��wis�closed�in��Y��p�.��LThen��Y������W�^=�is�an�op�S�en�set�of��Y��p�,���whic��rh�is����Gnonempt��ry��V,��	b�S�ecause�}"�y�����0��V�2�UR�Z��������W��ƹ.�^Indeed,��y�Ë�2��Y�gc�����W��if�}"and�only�if��f�G��(�X��v��f�y�n9�g�)�UR���U�����0����.����GTherefore,�€whenev��rer��v�y�&��is�a�closed�p�S�oin�t�of��X��,�€�f�u�maps�the�complete�v��X�ariet�y��X�5���D!f�y�n9�g����G�to���the�ane�v��X�ariet��ry��U�����0����,���so�it�m�ust�b�S�e�a�constan�t�map.�F�Therefore,���for�an�y��x���2��X����G�and���y�Ë�2�UR�Y��p�,�����S��f�G��(�x;���y�n9�)�UR=��f��(�x�����0����;���y�n9�)�=��g��(�y��)�=�(�g���������)(�x;���y��)�:����G�This�)�means�that��f�qȹand��g�C���գ����agree�on�an�op�S�en�dense�subset�of��X��&���Y��9�and�so�they����Gcoincide��ev��rerywhere.���8�؄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;Rigidit��ry�A�theorem�allo�ws�us�to�express�morphisms�of�ab�S�elian�v��X�arieties�as�a�com-����Gp�S�osition��of�homomorphisms�and�translations.�����G�Corollary�{�2.1.4.�Zz�L��ffet���X�Ǔ�and��Y�r��b�e�ab�elian�varieties�and��f���:����X�ti�!��Y�r��b�e��any�mor-����Gphism.�=�Ther��ffe��qis�a�homomorphism��g�Ë�:�UR�X�F��!��Y�U��and��q�a��2��Y��p�,���such�that��f�G��(�x�)�=��g�n9�(�x�)��+��a�.������GPr��ffo�of.���6ڕ�Let�|��a�N�=��f�G��(0).��VBy�replacing��f��ιwith��f�V)��*�a�,��Yw��re�can�assume�that��f���:��X�?��!��Y����G�satises����f�G��(0)�UR=�0.�%7W��Ve�will�sho��rw�that��f����is�a�homomorphism.�Consider���UR�:��X�#���2/�X�F��!����G�Y��p�,��dened��b��ry���(�x����2�0���9�;���x����2�00��r�)���=��f�G��(�x����2�0�����+��R�x����2�00���)����f�G��(�x����2�0���9�)����f��(�x����2�00��r�).��\F��Vor��xed��x����2�00���m�2����X��,����(�x����2�0���9�;���x����2�00���)�is����Gindep�S�enden��rt��of�the�c�hoice�of��x����2�0���9�,��so���(�x����2�0���;���x����2�00��r�)�UR=���(0�;�x����2�0���9�)�=�0.�8~Th��rus,�������0��and�so��f�1��is����Ga��homomorphism.�����2�1�����F0��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;�Finally��V,��w��re�conclude�that�an�y�ab�S�elian�v��X�arieties�are�comm�utativ�e.����G�Corollary��2.1.5.��If�35�X�$��is�an�ab��ffelian�variety,�then��X��is�c��ffommutative.������GPr��ffo�of.���6ڕ�Consider�Tthe�morphism��x���7!��x����2��1��\|�.�u7It�Tmaps�the�iden��rtit�y�Telemen�t�to�itself,�nwso����Gb��ry���the�previous�corollary��V,���it�m�ust�b�S�e�a�homomorphism.�Z�Th�us,����x����2��1��\|�y��n9���2��1��3(�=�hs�y��n9���2��1��ʵ�x����2��1���,�so����G�X��+�is��comm��rutativ�e.���BY���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(V���G�2.2��>X�The�	Dual�Ab��=elian�V��aGariet��u�y�in�Characteristic����>X�Zero��b#��G�One�)�of�the�main�problems�from�the�theory�of�ab�S�elian�v��X�arieties�deals�with�studying����Gthe�m�isomorphism�classes�of�in��rv�ertible�m�shea�v�es�on�the�v��X�arieties�(the�structure�of�the����GPicard�>�group).���The�goal�of�this�section�is�to�endo��rw�the�group�of�isomorphism�classes����Gof��in��rv�ertible�shea�v�es�of�degree�0�on��A�,�2�considered�o�v�er�the�closure�of��K�ᓹ(or���Pic�������x�0��?�(�A����1�\);Ÿ���K���;¹))����Gwith��Ithe�structure�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er��K�ܞ�.���W��Ve�will�call�this�v��X�ariet�y��A����2�_��
���the����Gdual��of��A��(or�the�Picard�v��X�ariet��ry��A�).��G�33�ff�����
����^��1�����Although�	Vw���e�used�additiv�e�notation�for�the�group�la�w,��w�e�do�not�mak�e�an�y�use�of�the�comm�u-���tativit���y�UUso�far.�����.��
荠�S������18����
荠���m��G�Denition��[2.2.1.�6a�The�U&dual�(or�Picard)�v��X�ariet��ry�is�an�ab�S�elian�v�ariet��ry��A����2�_��*��,�o�together�����Gwith��an�in��rv�ertible��sheaf��P��>�on��A������A����2�_��
X�(called��the�P��roincar���s�e��sheaf��8),�suc��rh�that����G(�i�)���P���j�����f�0�g�A������_���#��is�trivial�and�for�eac��rh��a�UR�2��A����2�_��*��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),���P�j�����A�f�a�g��h۹represen��rts�the�elemen�t��a�.����G(�ii�)��lF��Vor�ev��rery��K�ܞ�-sc�heme��T�\2�and�in�v�ertible�sheaf��L��on��A�8���T��ƹ,��]suc�h��lthat��Lj�����f�0�g�T����is����Gtrivial�W�and��L�����A�f�t�g��c��lies�in���Pic����҆���x�0�����(�A�����K����(�t�)����)�for�all��t���2��T��ƹ(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),�r�there�W�is�a�unique�morphism����G�f��Q�:�UR�T���!��A����2�_��*��,��suc��rh�that�(1������f�G��)����2�����P�����P���Q����԰���jй=��������L�.�����#�;It��'follo��rws�from�(�i�)�and�(�ii�)�that�the�pair�(�A����2�_��*��;����P����),�&�if�it�exists,�is�determined����Guniquely�kup�to�unique�isomorphism.��)Moreo��rv�er,�'�if�kw�e�plug�in��T�J�=����RSp�S�ec����fx��\-�z�
۶�	�Ӎ�K���*B.�,�'�then�w�e����Gget���A����2�_��*��(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)�UR=���Pic�����M���x�0���Q�(�A����1�\);Ÿ���K���;¹).����#�;Next,��w��re��]will�sk�etc�h�the�construction�of�the�dual�v��X�ariet�y��V.�
�W�e��]start�with�an����Gimp�S�ortan��rt��result�ab�out�in��rv�ertible��shea�v�es�on�ab�S�elian�v��X�arieties�whic�h�is�pro�v�ed�in��x�6����Gof��[�16����].����G�Theorem���2.2.2�(Theorem�of�the�Square).�:�L��ffet�R6�A��b�e�an�ab�elian�variety�over��K����G�and���L��b��ffe�an�invertible�she�af�on�the�variety��A�.���F���or�any�p�oint��c�(�2��A�,��ywe��denote�by����G�t�����c���˹:�UR�A��!��A�35�the�tr��ffanslation�map��x�UR�7!��c����+��x�.�fiThen���������t���������ڍ�a�+�b���C#�L���
�L�����P���UR���԰���n:�=��������t���������ڍ�a�����L�
��t���������ڍ�b�����L�;����G�for�35arbitr��ffary�p�oints��a;���b�UR�2��A�(�K�ܞ�)�.�����2�2������#�;�The�J�ab�S�o��rv�e�theorem�is�v�ery�imp�S�ortan�t,���b�ecause�J�it�can�b�e�used�to�construct�a�����Ghomomorphism����A���!����Pic���G
(�A�)�in�the�follo��rwing�w�a�y:��2x�an�in�v�ertible�sheaf��L��on��A����G�and��dene�a�map������h�'�����L��	�͹:�UR�A��!����Pic����M(�A�)�;��a��7!��t���������ڍ�a�����L���
�L������1��\|�:����G�The��theorem�of�the�square�implies�that�����z���t���������ڍ�a�+�b���C#�L���
�L������1������P���������԰���ʶ�=�����\w(�t���������ڍ�a�����L�
�L������1��\|�)��
��(�t���������ڍ�b�����L�
�L������1���)�;����G�so���'�����L��
C#�is�a�homomorphism.�����#�;Next,��=w��re���will�sho�w�that�the�image�of��'�����L��
N�is�con�tained�in�the�subgroup�Pic����2�0����(�A�)�-����Gthe�h�subgroup�of�isomorphism�classes�of�in��rv�ertible�h�shea�v�es�of�degree�0.�
�T��Vo�c�hec�k�this,����Git��suces�to�c��rhec�k��for�an��ry��a�UR�2��A�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)��and��b�UR�2��A�(�K�ܞ�),������t��t���������ڍ�a���Ϲ(�'�����L��X{�(�b�))�����P���UR����԰���n:�=��������'�����L���(�b�)�:����G�This��follo��rws,�since����sQ5�t���������ڍ�a���Ϲ(�'�����L��X{�(�b�))�����P���UR����԰���n:�=��������t���������ڍ�a����(�t���������ڍ�b�����L���
�L������1��\|�)�����P���UR����԰���n:�=������t���������ڍ�a�+�b���C#�L�
��(�t���������ڍ�a�����L�)������1��\|�:����G�The���theorem�of�the�square�implies�that�the�last�sheaf�is�isomorphic�to��t����2����y���b�����L���
�L����2��1���ι=�����G�'�����L��X{�(�b�).�8�Therefore,���'�����L���(�b�)�UR�2����Pic�����M���x�0���Q�(�A�)�and�w��re�are�done.��G�33�ff��ğ�����
���^��2����fb�G�':

cmti10�GBy���t���^���O!�cmsy7�����	0e�rcmmi7�c������
!",�

cmsy10�L��Gwe�me��}'an�the�pul���lb�ack�of�the�she�af��L��Gunder�the�map��t����c�����:���A��!��A�G.�����>{��
荠�S������19����
荠���m��#�;Our�пnext�goal�is�to�view�Pic����2�0����(�A�)�as�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��V,�
Ewhic�h�пis�a�quotien��rt�of�����G�A�.���So��far,�rw��re�did�not�mak�e�an�y�extra�assumptions�ab�S�out�the�sheaf��L�.���It�turns�out����Gthat�$if��L��is�c��rhosen�to�b�S�e�an�ample�in�v�ertible�sheaf�and�if��K���is�algebraically�closed,����Gthen��'�'�����L��
��:�|��A��!����Pic���������x�0�����(�A�)�is�surjectiv��re.�A^This�w�ould�allo�w�us�to�endo�w�Pic����2�0����(�A�)�with����Ga�"�structure�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��V.��{The�result�is�con�tained�in�the�follo�wing�theorem,����Gwhic��rh��follo�ws�from�Prop.�8�10.1�of�[�16����].��Dn��G�Theorem�b�2.2.3.�d��If���L��is�an�ample�invertible�she��ffaf,��then�the�map��'�����L��
���:���A����1�\);Ÿ���K���;¹(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)��!������G�Pic����#^���x�0��'�b�(�A����1�\);Ÿ���K���;¹)�35�is�surje��ffctive.�����2�3������#�;�Since��%ab�S�elian�v��X�arieties�are�pro��jectiv��re�(for�a�complete�pro�of,�see�[]),�then�there����Gexists�"{an�ample�in��rv�ertible�"{sheaf��L��on��A�.��XW��Ve�use��L��to�dene�in��rv�ertible�"{sheaf��L����2�����on����G�A������A�꨹in�the�follo��rwing�manner��֍��K�L�������V�=�UR�m���������L���
��������n9����ڍ�1���.=�L�
��������n9����ڍ�2����L������1��\|�;����G�where���m����:��A������A����!��A��is�the�m��rultiplication�map�and�������1����and�������2���are�the�pro��jections�����Gon�
the�rst�and�the�second�co�S�ordinates�of��A�����A�,�F�resp�ectiv��rely��V.��It�
follo�ws�immediately����Gthat�Z�L����2�����j�����f�0�g�A�����=�UR�L��{
�L����2��1��\|�,���whic��rh�is�trivial.�Moreo�v�er,����L����2�����j�����A�f�a�g��Ӆ�=�UR�t����2����RA��a�����L��{
�L����2��1���ι=��'�����L��X{�(�a�),����Gwhic��rh���(as�w�e�already�sa�w)�is�an�elemen�t�of�Pic����2�0����(�A����1�\);Ÿ���K���;¹).��Th�us,��eac�h�elemen�t�of�Pic����2�0����(�A����1�\);Ÿ���K���;¹)����Gis�ۿrepresen��rted�b�y��L����2�����j�����A�f�a�g��Y�for�a�nitely�man�y��a��(at�least�one�suc�h��a�).�ޒTh�us,��if�(�A����2�_��*��;����P����)����Gexists,��Mthen�L�there�is�a�unique�isogen��ry��'���:��A��!��A����2�_��*��,�suc��rh�L�that�(1������'�)����2�����P����=���L����2����.����GF��Vurthermore,���'�UR�=��'�����L��X{�.����#�;If�
the�c��rharacteristic�of��K�쫹is�zero,�Ygthen�w�e�kno�w�precisely�the�k�ernel�of��'�����L��h��as����Ga��2nite�group�subsc��rheme�of��A�.��Indeed,��it�is�determined�b�y�its�underlying�set��K�����L�����G�with��
its�reduced�subsc��rheme�structure.�4�Therefore,��in�this�case�w�e�ha�v�e��A����2�_������P���	�����԰���	��=�����*��A=K�����L��X{�.����GMoreo��rv�er,�u��K�����L��	��acts�Xion��L����2���m�o��rv�er�Xi�A�����A��b��ry�lifting�the�action�on�the�second�factor.� If�w�e����Gform��the�quotien��rt,�
�w�e��obtain�a�sheaf��P����,�suc��rh�that�(1������'�����L��X{�)����2�����P����=����L����2����.���This��is�prett�y����Gm��ruc�h�,the�construction�of�(�A����2�_��*��;����P����).��mA�$pro�S�of�that�this�pair�satises�the�conditions�in����Gthe��denitions�is�presen��rted�in�[�19����].��'�����G�2.3��>X�The�
2�Dual�Isogen��u�y�and�the�Dual�Exact�Se-����>X�quence��b#��G�In�
7the�previous�section,�Rw��re�explained�ho�w�to�dualize�ab�S�elian�v��X�arieties.���The�next����Gimp�S�ortan��rt��construction�is�the�dualization�of�homomorphisms�of�ab�elian�v��X�arieties.����#�;Supp�S�ose���that��f���:�\��A��!��B� ��is���a�homomorphism�of�ab�elian�v��X�arieties�and�consider����Gthe�S�induced�map��f��G����2�_��z��:���Pic���m��B���!����Pic����A�S��on�isomorphism�classes�of�in��rv�ertible�S�shea�v�es����Gon�^%�A�.��VSince�shea��rv�es�^%of�zero�degree�are�mapp�S�ed�to�shea��rv�es�^%of�zero�degree,�{then�w��re����Gget�s�a�natural�map�on�p�S�oin��rts��f��G����2�_��
��:�UR�A����2�_��	��!��B������2�_��Ŷ�,��qwhic�h�s�is�in�fact�a�morphism.�4T��Vo�giv�e�an����Gargumen��rt��for�the�last�statemen�t,�
�let��P�����B��
[email protected]�b�S�e�the�P�oincar���s�e�sheaf�on��B�
{��ou�B������2�_��	���and�consider����Gthe�\"pullbac��rk�sheaf�(�f�?�����1)����2�����P�����B��N>�,�x�whic�h�is�a�sheaf�on��A������B������2�_��Ŷ�.��OThe�\"fact�that��f��G����2�_���ѹis�a��G�
��ff��ğn獍���
���^��3����fb�GBy���A���<L�W	���ͤ��K���I��Gwe�me��}'an�the�variety��A�G,�c�onsider�e�d�over�����}�fe	5U����K����<�G,�i.e.����A���<L�W	���ͤ��K������T͍��
|˸���+3���
|˲=������A�8�����K���	��}�fe	5U����K���#��G.�����N���
荠�S������20����
荠���m��Gmorphism�z�follo��rws�from�the�univ�ersal�mapping�prop�S�ert�y��V,���b�ecause�z�(�f�T���й1)����2�����P�����B��N>�j�����X����f����i�~���y���}
�g������G�represen��rts����f��G����2�_��r��(���ˎ~���y���(߹)�for�an�y���d;~����y���?�2�}��Y���p���2�_��� �.�B�Th�us,��.ev�ery�homomorphism�of�ab�S�elian�v��X�arieties����Ginduces��a�homomorphism�on�the�dual�v��X�arieties.����#�;The��next�prop�S�osition�pro��rvides�a�description�of�the�dual�homomorphisms�to�iso-����Ggenies.����G�Prop�`osition��i2.3.1.���L��ffet�i"�f�.�:��/�A��!��B�(�b�e�i"an�iso�geny�with�nite�kernel��N�@��.�1L�et��N��@���2�_��Զ�b�e����Gthe��	Cartier�dual�of��N�@��.���Then�the�kernel�of�the�dual�iso��ffgeny��f��G����2�_���Թ:�M%�B������2�_����!��A����2�_��
��is��	�N�����2�_��k��,����Gi.e.�fither��ffe�35is�a�short�exact�se�quenc�e��]$������0�UR�!��N��@����_��
���!��B�������_������h�����f���ǟ�-:�_���J������
�����.�!�������A�����_��*��:���鍑#�;�The��prop�S�osition�is�pro��rv�ed��in�[�16����,����x�10].�XThis�is�ev��rerything�that�w�e�will�need�from����Gthe��theory�of�dual�isogenies�for�the�purp�S�ose�of�this�pro��ject.��'�6���G�2.4��>X�Jacobians�	.of�Curv��u�es�Ov�er��E���G�
msbm10�EC�.�K�The�Analytic����>X�Construction.��b#��G�W��Ve��owill�motiv��X�ate�the�notion�of�Jacobians�b��ry�lo�S�oking�at�ho�w�they�w�ere�disco�v�ered����Ghistorically��V.���The�Ǹtheory�of�Jacobian�v��X�arieties�arose�from�the�w��rork�of�Ab�S�el�and�Jacobi,����Gwho��w��rere�studying�in�tegrals�of�the�form�� Yg���I�I��(�P��ƹ)�UR=���甆�Z�����M��UT�P����	��P��q�0����g�!�n9;�� S���G�where����P�����0��	��and��P����are�p�S�oin��rts�on�a�plane�curv�e��C��/�:���g�n9�(�x;���y��)�=�0���and��!�f�is�a�rational����Gdieren��rtial��on��C�ܞ�.�8�The�main�result�w�as�the�follo�wing�theorem:����G�Theorem��2.4.1.�$��Ther��ffe�B`is�an�inte�ger��g�n9�,��*dep�ending�on��C�ܞ�,��*such�that�if��P�����0��d�is�a����Gb��ffase�	�p�oint�and��P�����1����;���P�����2���;��:�:�:��ʜ;�P�����g�I{�+1���_�ar��ffe�	�arbitr�ary�p�oints�on��C�ܞ�,�?�then�ther�e�exists�p�oints����G�Q�����1����;���Q�����2���;��:�:�:��ʜ;�Q�����g�����,�35such�that��!_���/���甆�Z�����M��;���P��q�1�����6]d�P��q�0����G���!��+�����������UN�+�����甆�Z�����M�����P��q�g�7�+1�����	UT�P��q�0����$1��!�Ë�=��UR�甆�Z�����M��UT�Q��q�1�����	���P��q�0������!��+������������+�����甆�Z�����M�����Q���g�����	UT�P��q�0����6��!����l��q�����v��mo��ffd�35p�erio�ds�of����`6�甆�Z��n6��!��n9��q�����'�H��G�Example��2.4.2�.��Let���C�1�=�UR�P����2�1�����and��!�Ë�=������ō����dx�����[��z��T�
�΍�
�x�������.�8�Then��g��=�UR1�and��&V�����:�甆�Z�����M����<�a��q�1������Y��1��������ō����dx����[��z��T�
�΍�
�x�����·�+�����甆�Z�����M�����b��q�1�����	UT�1��������ō�+^�dx��+^�[��z��T�
�΍�
�x�����+|7�=��UR�甆�Z�����M��UT�a��q�1��*��b��q�1�����	���1��������ō�#�~�dx��#�~�[��z��T�
�΍�
�x�����1�:������#�;�The��ptheorem�implies�that�for�all��P�����1����;���P�����2���;��:�:�:��ʜ;�P�����g�����;�Q�����1���;�Q�����2���;��:�:�:��ʜ;�Q�����g�����,��Hthere��pexist��R�����1����;��:�:�:��ʜ;�R�����g�����,����Gsuc��rh��that��"&����ԍ��t��g��},�������X���
㇍�����i�=1�����Iٟ甆�Z�����M���I��P��8:�i��������P��q�0�����Y��!��+���ԍ�	*��g��},��������X���
㇍�t��i�=1�������甆�Z�����M��"�Q��8:�i��������P��q�0����.[��!�Ë�=���ԍ�	��g��},���UR���X���
㇍�S�i�=1�������甆�Z�����M��"���R��8:�i�����UT�P��q�0����.���!�����a]��
荠�S������21����
荠���m��#�;W��Ve�иrecognize�a�group�la��rw�in�the�last�equation.�
�The�motiv��X�ation�b�S�ehind�the�����GJacobians�/�is�that�they�will�b�S�e�the�ob��jects�that�will�con��rtain�the�information�of�ho�w����Gto� �add�t��rw�o� �suc�h��g�n9�-tuples�(�P�����1����;����:�:�:��ʜ;���P�����g�����)�and�(�Q�����1���;����:�:�:��ʜ;���Q�����g�����).���T��Vo�realize�this�in�practice,����Gw��re��cwill�construct�a�comm�utativ�e�algebraic�group��J�r�,�whose�p�S�oin�ts�will�corresp�S�ond��wz��Gto���the�sums���ԍ�
G�g��},������X���
㇍����i�=1����,�甆�Z�����M��#.�P��8:�i��������P��q�0����.,0�!�5�and�whose�group�la��rw�will�describ�S�e�precisely�ho�w�w�e�add�t�w�o��l��Gsuc��rh��sums.����#�;T��Vo�rdescrib�S�e�precisely�the�ab�o��rv�e�ridea,���let��!��O�b�e�a�rational�dieren��rtial�on��C�N��with����Gno���p�S�oles.�e�Then�Ab�el's�theorem�(theorem�2.4.1.)�e�can�b�e�reduced�to�the�existence�of����Ga�istranslation-in��rv��X�arian�t�dieren�tial���׬�on��J���and�a�morphism�of�v��X�arieties���-#�:��C�	��!��J�r�,����Gsuc��rh��that������2������Ë�=�UR�!�n9�.�8�In�other�w�ords,��"�������甆�Z�����M�����(�P�.:�)���������(�P��q�0��*��)��������Ë���UR�甆�Z�����M��UT�P��q�0�����	���P���c��!���X߹(����
�mo�S�d��p�erio�ds����J��)���Q2E�:��"*���G�If�b�one�in��rtegrates�all�holomorphic�dieren�tials�at�once,���w�e�will�obtain�the�most�im-����Gp�S�ortan��rt��of�all��J�r�'s�-�the�Jacobian�of�the�curv�e��J�r�(�C�ܞ�).����#�;Although�RXthe�ab�S�o��rv�e�RXdiscussion�w��ras�prett�y�informal,�lCit�is�helpful�to�at�least�un-����Gderstand�)the�idea�b�S�ehind�the�analytic�construction�of�the�Jacobian.��USince�w��re�require����Gthat�{��J��d�con��rtains�information�ab�S�out�the�addition�la�w�for�arbitrary�holomorphic�dif-����Gferen��rtial���!�n9�,�then�the�map�������UR�:��C�1��!��J�r�(�C�ܞ�)����Gshould��set�up�a�bijection:������>��������V�:���UR�f����	US�translation��in��rv��X�arian�t�1-forms�on�������J�r�(�C�ܞ�)��g�����I!���URf����	US�holomorphic��dieren��rtials�������!���X�on������C��ܞ�g������G�F��Vrom��here,��jw��re�can�conclude�that�dim��J�r�(�C�ܞ�)�S�=���dim���������C��0�H���V���2�0���Z�(�C�5�;����
����2�1����)�=��g�n9�,�where���g��I�is�the�����Ggen��rus��of��C�ܞ�.����#�;In�5Aorder�to�construct��J�r�(�C�ܞ�)�analytically��V,���w��re�ha�v�e�to�write�it�as��J�r�(�C�ܞ�)��	=��V�N8=L�,����Gwhere�t��V��is�a��C�-v��rector�space�and��L��is�a�lattice.��Let��V��b�S�e�the�dual�space�to�the�space����Gof�~holomorphic�dieren��rtials,�3i.e.��a�V�3ܹ:=��l�H���V���2�0���Z�(�C�5�;����
����2�1����)����2����.�The�~lattice��L��will�b�S�e�the�p�erio�d����Glattice,��i.e.���Í�l���L�UR�:=�����q���US�l����2��V�	�j�:�?��l�C��(�!�n9�)�=���甆�Z���	���
�_�
��Y��!���X�for��some�1-cycle���Z��
�����q�����㘍�G�In��
other�w��rords,��&�L��can�b�S�e�iden�tied�with�the�in�tegral�homology��H�����1����(�C�5�;����Z�).�RThe�map����G��r��:��C�O(�!��J�r�(�C�ܞ�)��9will�b�S�e�dened�as�follo��rws:��x�a�base�p�oin��rt��P�����0��	R=�and�let���(�P��ƹ)�b�e�the���*��Gimage�Hin��V�N8=L��of�an��ry��l�7��2��d�V��p�,�_ydened�b�y��l�C��(�!�n9�)��d=���甆�Z�����M���f�P����
�P��q�0����0�!��,�_ywhere�Hw��re�x�a�path�from��P�����0���%��G�to���P��ƹ.����#�;Since���J�r�(�C�ܞ�)�is�a�group,�it�is�not�hard�to�v��rerify�that�����Y	r�V���p����������P���
������԰���
ʮ�=�������\o�f����\p�transl.�8�in��rv��X�arian�t��1-forms�on����@�J�r�(�C�ܞ�)��g�������P����g����԰���Ҁ��=������s�H���V����0���Z�(�C�5�;����
�����1����)�;�����pW��
荠�S������22����
荠���m��Gwhic��rh��is�precisely�what�w�e�w�an�t.�8�Th�us,�������<�J�r�(�C�ܞ�)�UR:=��H���V����0���Z�(�C��(�C�)�;����
�����1����)��������=H�����1���(�C��(�C�)�;����Z�)�:����G�F��Vor�}more�formal�discussion,���the�reader�is�suggested�to�lo�S�ok�at�Chapter�I�I�I�|�of�[�20����],�����Gor���x�2�of�[�18����].��(V���G�2.5��>X�Jacobians�	e�of�Curv��u�es�Ov�er�Arbitrary�Fields.����>X�W��aGeil's�z�Construction.��b#��G�This��5c��rhapter�only�sk�etc�hes�W��Veil's�construction�of�the�Jacobian�of�a�curv�e,���since�a����Gthorough��!discussion�of�then�construction�w��rould�b�S�e�b�ey��rond�the�v�olume�of�this�senior����Gthesis.�8�More��details�are�presen��rted�in�[�18����].����#�;The��formal�denition�of�the�Jacobian�of�a�curv��re�is�an�ab�S�elian�v��X�ariet�y�whic�h����Grepresen��rts�twthe�Picard�functor�for�that�curv�e.��MMore�precisely��V,���let��C�Q�b�S�e�a�complete,����Gnonsingular�:�curv��re,�N�dened�o�v�er��k����with�p�S�ositiv�e�gen�us��g�K�>��a�0.�(�One�can�consider�the����Ggroup�1�of�degree�0�divisor�classes�of��C�3�(under�linear�equiv��X�alence),�V�whic��rh�w�e�denote�b�y����GDiv����2�0����(�C�ܞ�).�)�According�:�to�[�11����,�OI�S�I.6],�eac��rh�:�in�v�ertible�sheaf��L��on��C���is�of�the�form��L�(�D�S��)����Gfor��some�divisor��D�S��,�.Aand��D�A�is�uniquely�determined�up�to�linear�equiv��X�alence.�A�The���R��Gdegree��sof�the�divisor��D���=�������	k��n�����UR���X���
㇍�S�i�=1������n�����i��d��P�����i��	M�is�dened�as�deg(�D�S��)�UR=�������	k��n��������X���
㇍�S�i�=1����n�����i��dڹ[�K�ܞ�(�P�����i���)�UR:��K��].�!yHence,�����Gw��re�-kcan�dene�the�degree�of�the�in�v�ertible�sheaf��L��as�deg(�L�)���=���deg���f�(�D�S��),�>where�-k�D����is����Ga��divisor,�suc��rh�that��L�UR�=��L�(�D�S��).����#�;Let����T�@¹b�S�e�an��ry�connected�sc�heme�o�v�er�the�ground�eld��K�{��and��M��b�S�e�an�in�v�ertible����Gsheaf��on��T��ƹ.�IIf��q�̸�:�^�C������T�T�E�!��T��ҹis��the�pro��jection�map�on�the�second�co�S�ordinate,��ethen����G�q��n9���2���.=�M��F�is�a�trivial�sheaf,���in�the�sense�that�(�q��n9���2����M�)�����t����=�UR�O�����C���t���
���for�an��ry��t��2��T��ƹ.� �Therefore,���w��re����Gcan��Rconsider�the�group�of�all�in��rv�ertible��Rshea�v�es��L��of�degree�0�on��C��u�����T���mo�S�dulo�the����Gtrivial��shea��rv�es.�8�Consider�the�functor�����O�r�P���������0���ڍ�C�����(�T��ƹ)�UR:=��fL�2��P�ic�(�C��F�����T��)�j�deg�n9�(�L�����t���ʹ)�=�0���8�t��2��T��g�=q��n9������.=�P�ic�(�T��)�:����G�Denition�{2.5.1.���The�MOJacobian�v��X�ariet��ry��J�i��is�an�ab�S�elian�v�ariet��ry�dened�o�v�er��K�ܞ�,�����Gwhic��rh��represen�ts�the�functor��P����2�����0��b���C�����,�whenev�er��C�ܞ�(�T��ƹ)�UR�6�=��?�.�����#�;W��Veil's�dxoriginal�idea�for�constructing�the�Jacobian�of�a�curv��re��C�A�w�as�to�consider����Gthe���g�n9�-th�symmetric�p�S�o��rw�er�������D�S���ן���g�����C�1�=�UR�C��F�����������UN����C��=S�����g�����G�and��to�construct�b��ry�the�Riemann-Ro�S�c�h�theorem,�a�partial�group�la�w�on��S���ן��2�g�����C�ܞ�,�i.e.������%�m�UR�:��U�����1��j������U�����2��V�!��U�����3����;�����`��
荠�S������23����
荠���m��Gwhere��[�U�����i��҂��m��S���ן��2�g�����C�k��is�a�Zariski-op�S�en�set.�&�Then�he�sho��rw�ed��[that�suc��rh�a�partial�group�����Gla��rw�:�extends�automatically�in�to�an�algebraic�group��J�WQ�with��S���ן��2�g�����C��y�����U�����4�������J��for�:�some����GZariski-op�S�en���U�����4����.����#�;The��Dformal�details�of�W��Veil's�construction�are�presen��rted�in�[�18����].�1�One�of�the�main����Gprop�S�erties�3of�Jacobians�that�w��re�will�b�e�using�quite�often�is�that�they�are�self-dual,����Gi.e.�8��J��r���2�_��
�t�=�UR�J�r�.���������
荠�S���
荠���m��G�Chapter�	T{3��2��GMo��
dular�	T{Ab�elian�V����arieties����GA��8�ttac�hed�	T{to�Newforms��6���G�In�|	this�c��rhapter,��)w�e�|	pro�vide�an�imp�S�ortan�t�construction�of�t�w�o�ab�S�elian�v��X�arieties,��)asso-�����Gciated��to�a�giv��ren�newform��f��Q�2�UR�S�����2����(�����0���(�N�@�))����2�new��#��.��One��of�the�v��X�arieties�is�a�quotien�t�of�the����Gmo�S�dular��6Jacobian��J�����0����(�N�@�)�and�the�other�one�is�a�sub��rv��X�ariet�y��V.�1�In��6fact,�ـthe�t��rw�o��6ab�elian����Gv��X�arieties��mare�dual�to�eac��rh�other.�.Shim�ura�rst�asso�S�ciated�suc�h�ab�S�elian�v��X�arieties�to����Gnewforms,��although���his�construction�is�rather�dieren��rt�from�the�one�presen�ted�here.����GW��Ve��describ�S�e�the�construction�in�a�m��ruc�h��more�explicit�w��ra�y�,��3in��terms�of�the�action�of����Gthe��Hec��rk�e�op�S�erator�on�the�mo�dular�Jacobian.�O�The�sub��rv��X�ariet�y�is�obtained�directly����Gfrom��the�dual,�using�a�more�general�result�ab�S�out�optimal�quotien��rts.��(V���G�3.1��>X�Hec��u�k�e�z�Op��=erators�as�Corresp�ondences��b#��G�Consider��Othe�mo�S�dular�curv��re��X�����0����(�N�@�)�and�let��p��H�-��N�3�b�e��Oa�prime.��There�are�t��rw�o����Gdegeneracy��maps����;�������:�Uo�X�����0����(�pN�@�)��!��X�����0���(�N�@�)��whic��rh�can�b�S�e�dened�in�t�w�o�dieren�t����Gw��ra�ys.����#�;One�8in��rterpretation�of�the�noncuspidal�p�S�oin�ts�on�the�mo�S�dular�curv�e��X�����0����(�N�@�)�o�v�er����G�C��ݹis�as�isomorphism�classes�of�pairs�(�E��;���C�ܞ�),��jwhere��E�@�is�an�elliptic�curv��re�and��C�i{�is����Ga��Pcyclic�subgroup�of��E���(�C�)�of�order��N��4�(see�[�23����,�ȺApp�S�endix�C��#�x�3]).�M�Consider�a�pair����G(�E��;���C�ܞ�),�b{where�J��C�'"�is�a�cyclic�subgroup�of�order��pN�@�.�XtSince��p��|�-��N��,�b{then�J��C�����P��������԰�����=�����"��C��ܞ���2�0���������D�S��,����Gwhere����C��ܞ���2�0���Źis�a�cyclic�subgroup�of�order��N�?ҹand��D�R|�is�a�cyclic�subgroup�of�order��p�.����GMoreo��rv�er,�ϋthe���subgroups��C��ܞ���2�0��s��and��D�R�are�unique.�-�Th��rus,�w�e���can�dene�the�degeneracy����Gmaps������-��h�:�UR(�E��;���C�ܞ�)��7!��(�E�;���C��ܞ����0���׹)������������:�UR(�E��;���C�ܞ�)��7!��(�E�=D�S�;����(�C��F�+����D��)�=D��)����#�;An�z�equiv��X�alen��rt�construction�can�b�S�e�obtained�b�y�viewing��X�����0����(�N�@�)�and��X�����0���(�pN�@�)�as�����Gquotien��rts�u�of�the�upp�S�er-half�plane.��EIn�this�case�w�e�will�not�w�orry�ab�S�out�the�cusps,����Gsince�9#an��ry�rational�map�b�S�et�w�een�nonsingular�curv�es�extends�uniquely�to�a�morphism.����GSo,��w��re�lo�S�ok�at������0����(�N�@�)�n�H�%n�
eufm10�Hh��and������0���(�pN�@�)�n�Hh�.�����ᖖ24�������
荠�S������25����
荠���m��#�;Since�������0����(�pN�@�)�UR��������0���(�N�@�),��then�there�is�a�natural�map������B(��������0��7�:�UR�����0����(�N�@�)�n�Hh��!�������0���(�pN�@�)�n�Hh�:����G�It���is�not�hard�to�v��rerify�(b�y�tracing�the�denitions)�that���� �and��������2�0��nY�represen�t�the�same�����Gmap.����#�;The��@equiv��X�alen��rt�w�a�y�of�dening���d��is�as�follo�ws:��note�that�there�is�an�inclusion����G�����0����(�pN�@�)�UR�,���!�������0���(�N�@�),��dened�b��ry��(ړ������X�F��7!���UR��z��"����
\���UT�p���;�0����k���X-0���;1�����*���z��#���3ŧ�����X��+������z��"����
\������p����W�0����k�����0����W1�����)pS��z��#����0pU��[email protected]��1��=���:��&2���G�W��Ve��qcan�use�this�inclusion�to�construct�a�map�b�S�et��rw�een��qthe�quotien��rts�of�the�upp�er����Ghalf��plane:��(/獑\
������0����(�pN�@�)�n�Hh�UR�'�����z��"����
\���UT�p���;�0����k���X-0���;1�����*���z��#���3�������0���(�pN�@�)�������z��"����
\����p���孹0����k����0����1�����(ũ��z��#����/ū��[email protected]��1��="%�n�Hh��!�������0���(�N�@�)�:����G�Again,��one��c��rhec�ks�immediately�that�this�denition�agrees�with�the�one�giv�en�in�terms����Gof��the�parametrization�in��rterpretation.����#�;Th��rus,��w�e�ha�v�e�a�corresp�S�ondence����������������������\��X�����0����(�pN�@�)������������������֟����������������.��y�y������������.�����6δ

xydash10�s����������l����s����������8֟APs����������*��s�����������~���s���������ŝҟ#rs����������j&��(s����������6z�
d�s�����������s�����������"��Js��������������	��
q���������������O6��%�%����������ȟY��K���������D��RK���������x ��K����������L�;�K����������x��tK�����������}*K���������DП
�K����������w��
��K�����������(�_LK�����������T�K��������������g�*�X�����0����(�N�@�)����������������/�*�X�����0����(�N�@�)������������EUT��#�;W��Ve��ucan�reco��rv�er��uout�of�this�corresp�S�ondence�the�pullbac��rk�and�push-forw�ard�maps����Gon��divisors.�8�Consider�the�induced�map�����������������(�:���URDiv���š(�X�����0����(�N�@�))�UR�!����Div���(�X�����0����(�pN�@�))�:����G�The�-�preimages�of�the�prime�divisor�(�E��;���C�ܞ�)�under���A>�are�all�(�E�;���C������K�D�S��),�>qwhere��D��=�is����Ga��cyclic�subgroup�of��E����of�order��p�.�8�Therefore�����D�����������(�:�UR(�E��;���C�ܞ�)��7!�������X���������j�D�<r�j������(�E�;���C��F�����D�S��)�;��'"&��G�where�c�the�ab�S�o��rv�e�c�sum�runs�o��rv�er�c�all�cyclic�subgroups�of��E���of�order��p�.���Similarly��V,���w��re����Greco��rv�er��,the�push-forw��rard�map���������V�:�UR�X�����0����(�pN�@�)��!��X�����0���(�N�@�):�6"if��,(�E��;���C��ܞ���2�0���׹)�is�a�p�S�oin��rt��X�����0���(�pN�@�),����Gthen�C��C��ܞ���2�0��can�b�S�e�written�uniquely�as��C������]�D��,�Zwhere��C� p�and��D��`�are�cyclic�subgroup�of����G�E����of��orders��N�+��and��p�,�resp�S�ectiv��rely��V.�8�Then������I��������V�:�UR(�E��;���C��F�����D�S��)��7!��(�E�=D�S�;����(�C��F�+����D��)�=D��)�:���������
荠�S������26����
荠���m��GConsider�X��'���:=����������������������2���ӓ�.��0Then��'��is�a�map��'��:���Div����
(�X�����0����(�N�@�))��!����Div���(�X�����0����(�N�@�)).��0Since�X��'�����G�m��rultiplies���the�degree�of�a�divisor�class�b�y�the�degree�of�the�map�����,��then�it�restricts����Gto�#ea�map���Div���������x�0��S��(�X�����0����(�N�@�))�UR�!����Div����š���x�0�����(�X�����0���(�N�@�)).��tThis�#eis�precisely�ho��rw�one�obtains�the�Hec�k�e����Gop�S�erator���T�����p����on��J�����0����(�N�@�).�8�In�other�w��rords,�w�e�dene��T�����p����:=�UR�'�j�����Q�Div����
V����0������Q�(�X��q�0��*��(�N��"�))��1�Q�.����#�;Notice���that�it�is�p�S�ossible�to�dene�the�Hec��rk�e���op�erator�on�mo�dular�forms�from����Gthe�K�ab�S�o��rv�e�corresp�S�ondence.�\lIndeed,�d"recall�that��S�����2����(�����0���(�N�@�))�����P���������԰�����=�����J��H���V���2�0���Z�(�X�����0���(�N��)�;����
����2�1���),�d"where����Gthe���isomorphism�is�giv��ren�b�y��f�G��(�z���)�c��7!��f��(�z���)�dz��.��Indeed,��Wif����f��(�z��)���is�a�mo�S�dular�form�of����Gw��reigh�t�?2�for������0����(�N�@�),�T)then�the�dieren��rtial��f�G��(�z���)�dz���is������0���(�N�@�)-in��rv��X�arian�t.�6Since�?��R��and������G�induce��maps�on�dieren��rtials,�w�e�ha�v�e�a�comp�S�osition�����X <�H���V����0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
�����1���)����2����8����-:�����p�����UR�������!�����H���V����0���(�X�����0���(�pN�@�)�;����
�����1���)�����h���8�������J������UR�����!����an�H���V����0���(�X�����0���(�N�@�)�;����
�����1���)�:���Í�G�Th��rus,�}�w�e�`zha�v�e�an�op�S�erator��T�����p��	'׹on�the�space�of�cusp�forms��S�����2����(�����0���(�N�@�))�for�all��p���-��N�@�.����GMoreo��rv�er,�<�the�,Tt�w�o�op�S�erators�dene�compatible�actions�on�the�space�of�dieren�tials����Gand���on�the�mo�S�dular�Jacobian,��.b�ecause�w��re�can�consider�the�mo�dular�curv��re��X�����0����(�N�@�)����Go��rv�er���C��and�since�the�Jacobian�is�then����d��J�����0����(�N�@�)(�C�)�UR=��H���V����0���Z�(�X�����0���(�N�@�)(�C�)�;����
�����1���)��������=H�����1���(�X�����0���(�N��)(�C�)�;����Z�)�:����G�But�Q�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)(�C�)�;����
����2�1���)�is�the�space�of�dieren��rtials,�j�so�w�e�obtain�the�compatibilit�y����Gof��the�actions.��'����G�3.2��>X�Constructing�	an�Ab��=elian�V��aGariet��u�y��AA�����f�����as�a�Quo-����>X�tien��u�t�z�of��AJ�����0��_��(�AN���)��b#��G�In���the�previous�section,���w��re�dened�Hec�k�e�op�S�erators�on�the�mo�dular�Jacobian��J�����0����(�N�@�)����Gand�k�on�the�space�of�holomorphic�dieren��rtials��H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
�����1���)�k�and�sho�w�ed�that�the����Gt��rw�o�cactions�are�compatible,���i.e�the�t��rw�o�cHec�k�e�algebras�are�in�fact�isomorphic.��eW��Ve����Gw��ran�t��-to�asso�S�ciate�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�to�a�newform��f�?,�of�lev�el��N�@�.�^oBefore�pro�S�ceeding,����Gw��re��need�one�more�denition��3:��G�Denition���3.2.1�(Optimal�Quotien��t).��Let���J�h�b�S�e�a�Jacobian�of�a�curv��re,���A��b�e�an����Gab�S�elian��
v��X�ariet��ry�and����:�UR�J�q��!��A��
�b�e�a�smo�oth,��,surjectiv��re�morphism.�2W��Ve�sa�y�that��A��is����Gan���optimal�35quotient��of��J��if�the�k��rernel�of���X�is�connected.������#�;Supp�S�ose��no��rw�that��f����=��������h�1�����V����X���
�ҍ���n�=1�����a�����n���P�q��n9����n��
�is�a�newform�of�lev�el��N�,c�and�w�eigh�t�2.�;dConsider����Gthe���ideal��I�����f��	�\�=���s=k��rer����(��),���where���s=�:��T��!��K�����f��
	��sends����T�����n��
��7!��a�����n���P�.�0�It�is�not�hard�to�c��rhec�k����Gthat����I�����f��
+��is�also�the�annihilator�of��f�G��.���W��Ve�sa��rw�that�the�Hec�k�e�algebra�acts�on�b�S�oth����G�S�����2����(�����0���(�N�@�))��and��J�����0����(�N��),�so�the�ideal��I�����f��	aǹacts�on��J�����0����(�N��).����G�Prop�`osition���3.2.2.�
1�(i)�E��I�����f��w�J�����0����(�N�@�)��is�strictly�c��ffontaine�d�E�in��J�����0���(�N�@�)�,�J$so�the�quotient�va-����Griety�����|�A�����f���q�:=�UR�J�����0����(�N�@�)�=I�����f��w�J�����0���(�N��)������G��
荠�S������27����
荠���m��G�is�35nonzer��ffo.�����G(ii)�35The�variety��A�����f��	�T�is�an�optimal�quotient�of��J�����0����(�N�@�)��of�dimension��[�K�����f���q�:�UR�Q�]�.��y���#�;�The��k��rey�idea�for�the�pro�S�of�is�the�follo�wing����G�Lemma��3.2.3.��L��ffet�35�T�����C��	�m�=�UR�T����
��C�.�fiTher�e�35exists�a�p�erfe�ct�He�cke-c�omp�atible�p�airing��M捒�08�T�����C���������S�����2����(�����0���(�N�@�))�UR�!��C�:����G�In�35p��ffarticular,�Hom�(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)�35�and��T�����C��
zP�ar�e�isomorphic�as��T�����C��G�-mo�dules.��y�����GPr��ffo�of.���6ڕ�Dene��a�pairing��������h�:�UR�T�����C���������S�����2����(�����0���(�N�@�))��!��C��|Ѝ�G�as������(�T���;���f�G��)�UR:=��a�����1����(�T���f��),��where���a�����1���(�f��)��returns�the�rst�co�S�ecien��rt�in�the�F��Vourier�expan-����Gsion��of�the�mo�S�dular�form��f�G��.��W��Ve�claim�that�this�pairing�is�nondegenerate.�Supp�S�ose����Gthat��there�is�a�cusp�form��f�G��,�2suc��rh�that�����(�T���;���f��)���=�0��for�an��ry�op�S�erator��T����in�the�Hec�k�e����Galgebra�D)�T�����C��G�.�EdIn�particular,�Z�����(�T�����n���P�;���f�G��)��=�0�D)for�eac��rh��n�.�But�one�can�gure�out�exactly������Gthe��Hec��rk�e�action�on��q�n9�-expansions,�namely�if��f��Q�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=1������a�����n���P�q������n����,�then��@r}�M�T�����p���]�f��Q�=���ܙ���UR�8��
�ԍ�UR>������UR>����UR>����UR<������UR>����UR>����UR>����UR:����������������j��1�����
�����X���
�ҍ��D�n�=1���!UT�a�����pn��	��q��n9����n���1�+����p�������j��1����������X���
�ҍ��D�n�=1���UT�a�����n���P�q��n9����pn���������if����\;�p�UR�-��N���"����������j��1�����
�����X���
�ҍ��D�n�=1���!UT�a�����pn��	��q��n9����n���������if����\;�p�UR�j��N������4r鍑G�so��the�form��rula�implies�that��a�����1����(�T�����n���P�;���f�G��)�UR=��a�����n���.�8�Th��rus,���a�����n�����=�0�for�eac��rh��n�,�so��f��Q�=�0.����#�;T��Vo�j�sho��rw�nondegeneracy�on�the�righ�t,��supp�S�ose�that��T���is�an�op�erator,��for�whic��rh����G����(�T���;���f�G��)�UR=�0���for�eac��rh��f��Q�2�UR�S�����2����(�����0���(�N�@�)).��JThen���for�all��n��and�all�cusp�forms��f��,������(�T���;���T�����n���P�f��)�UR=����G0.���But�0�����(�T���;���T�����n���P�f�G��)�UR=��a�����1����(�T��ƹ(�T�����n���f�G��))�=��a�����1����(�T�����n���(�T���f�G��)),�U�b�S�ecause�0�the�Hec��rk�e�0�algebra�is�comm��ru-����Gtativ��re.�\�By���the�Hec�k�e�action�on�F��Vourier�expansions,���w�e�notice�that��a�����1����(�T�����n���P�f�G��)�i�=��a�����n���(�f�G��)����Gfor�\arbitrary�cusp�form��f�G��,�x\so�it�follo��rws�that�0�G=�����(�T���;���T�����n���P�f��)�=��a�����n���P�(�T���f��)�\for�all��n�,�x\i.e.����G�T���f�]��=��0.���Th��rus,�w��T��f�kills�[�all�cusp�forms�and�so��T��b���0.���Therefore���o/�is�a�nondegener-����Gate�hTpairing.���Finally��V,���w��re�ha�v�e�to�pro�v�e�that�the�pairing���{�is�Hec�k�e�equiv��X�arian�t,���i.e.����G����(�T�����n���P�T���;���f�G��)�Lf=����(�T���;���T�����n���P�f�G��).��[But�{�this�follo��rws�from�the�denition,��using�that�the�Hec�k�e����Galgebra��is�comm��rutativ�e.����#�;Finally��V,��it�follo��rws�from�the�p�S�erfect,�Hec�k�e-equiv��X�arian�t�pairing����7�that�������ZHom������(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)�����P���UR����԰���n:�=��������T�����C�����G�as���T�����C��G�-mo�S�dules.���T>P��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(�����G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�353.2.2.����wD�(�i�)��The�most�dicult�part�is�to�sho��rw�that��I�����f��w�J�����0����(�N�@�)�
��(����G�J�����0����(�N�@�).�8�T��Vo��do�this,�w��re�consider�the�v��X�ariet�y��J�����0����(�N�@�)�o�v�er��C��and�then����u��J�����0����(�N�@�)(�C�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����0���Z�(�X�����0���(�N��)�;����
�����1���)��������=H�����1���(�X�����0���(�N��)�;����Z�)�:���������
荠�S������28����
荠���m��GThe�osidea�is�to�reduce�the�statemen��rt�to�sho�wing�that��I�����f��w�T�����C��23�(��T�����C��G�,�Цwhic�h�is�easy�����Gto��cpro��rv�e�(in�particular,�R�T�����C��G�=I�����f��w�T�����C������P���������԰������=�����-��K�����f��	O��
����C�,�where��K�����f����is�the�Hec��rk�e�eigen�v��X�alue����Geld).�D�The��Urst�step�in�this�reduction�is�to�notice�that�it�is�enough�to�c��rhec�k��Uthat����G�I�����f��w�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)����2���V�(�UR�H���V���2�0���(�X�����0���(�N�@�)�;����
����2�1���)����2����A�(e.g.�0gb��ry��=coun�ting�dimensions�of�v�ector�spaces����Gand�yusing�the�fact�that��J�����0����(�N�@�)(�C�)�and��I�����f��w�J�����0���(�N�@�)(�C�)�are�obtained�b��ry�taking�mo�S�dulo����Gone�k�and�the�same�lattice��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)).��Next,���using�k�the�corresp�S�ondence�b�et��rw�een����Gdieren��rtials��Bon��X�����0����(�N�@�)�and�cusp�forms,���explained�in�the�previous�section,�w��re�ha�v�e����G�H���V���2�0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
����2�1���)�����P���UR����԰���n:�=��������S�����2���(�����0���(�N��))��as��T�����C��G�-mo�S�dules,�so���M������H���V����0���Z�(�X�����0����(�N�@�)�;����
�����1���)�����������P���V����԰���.>�=���������Hom���-9�(�S�����2���(�����0���(�N��))�;����C�)�;����G�as���T�����C��G�-mo�S�dules.���Finally��V,�X�b��ry�using�lemma�3.2.3,���Hom����Q(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)��is�isomorphic�����Gto�$��T�����C��kĹas��T�����C��G�-mo�S�dule,�s)so�w��re�reduced�the�question�to�pro�ving�that�the��T�����C��G�-mo�S�dule����G�T�����C��G�=I�����f��w�T�����C��
1ùis��nonempt��ry��V.�8�But��T�����C���=I�����f��w�T�����C������P���	�m����԰���	�U�=�����G�K�����f��!��
����C�,�so�the�result�follo��rws.����G(�ii�)�*�T��Vo�see�that��I�����f��w�J�����0����(�N�@�)�is�connected,�:�note�that�eac��rh�Hec�k�e�op�S�erator��T�d/�:��i�J�����0����(�N�@�)��!����G�J�����0����(�N�@�)���denes�a�morphism.�K�Th��rus,��xthe�image��T��ƹ(�J�����0���(�N�@�))�is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��V.�K�T�o���see����Gthis,���note���that�the�image�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�under�a�morphism�is�a�group�v�ariet��ry��V.����GMoreo��rv�er,��ysince��Oconnected�sets�are�mapp�S�ed�to�connected�sets�via�con��rtin�uous��Omaps,����Gthen�Gu�T��ƹ(�J�����0����(�N�@�))�is�connected�and�therefore�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��V.�OGFinally�,�^�the�Gutheorem����Gwill�·follo��rw�if�w�e�sho�w�that�the�sum�of�t�w�o�ab�S�elian�sub�v��X�arieties�of�an�ab�S�elian�v�ariet��ry����Gis�g�an�ab�S�elian�sub��rv��X�ariet�y��V.�	��Indeed,���let�g��A��and��B���b�e�ab�elian�sub��rv��X�arieties�of��J�����0����(�N�@�).����GConsider��the�map�����x��A������B��X�!�UR�J�����0����(�N�@�)�;���F��G�dened���b��ry�(�a;���b�)�UR�7!��a��g�+��b�.�2Since���this�map�is�a�morphism�then�its�image�is�an�ab�S�elian����Gsub��rv��X�ariet�y��V,�8i.e.����A�K�+��B�qT�is��Nan�ab�S�elian�sub��rv�ariet�y��V.���Therefore,�8�I�����f��w�J�����0����(�N�@�)��Nis�an�ab�S�elian����Gsub��rv��X�ariet�y��of��J�����0����(�N�@�)�whic��rh�sho�ws�that��A�����f��	aǹis�an�optimal�quotien�t.���U�܄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'_9���G�3.3��>X�The��<Dual�Ab��=elian�V��aGariet��u�y�as�a�Sub�v���ariet�y�of����>X��AJ�����0��_��(�AN���)��b#��G�So���far,��w��re�constructed�an�optimal�quotien�t��A�����f��	X�of��J�����0����(�N�@�).�5�The�dual�v��X�ariet�y��A����2��_��y���f���
t�is�an����Gin��rteresting��Oab�S�elian�v��X�ariet�y��V.�4mThe�remark��X�able�prop�S�ert�y�it�has�is�that�it�can�b�S�e�view�ed����Gas���a�sub��rv��X�ariet�y���of��J�����0����(�N�@�).�(�Th��rus,��-one�can�asso�S�ciate�to�eac�h�newform��f���t�w�o�isogenous����Gab�S�elian��v��X�arieties�-�the�optimal�quotien��rt��A�����f��	aǹand�the�sub�v��X�ariet�y��A����2��_��y���f���*��.����#�;The�main�goal�of�this�c��rhapter�is�to�construct�the�morphism,�#rwhic�h�mak�es��A����2��_��y���f���
Bǹa����Gsub��rv��X�ariet�y��of��J�����0����(�N�@�).����#�;First��}of�all,��2Jacobians�of�curv��res�are�self-dual,�i.e.�
-`�J��r���2�_��
l*�=�%�J�r�.�Moreo��rv�er,�they����Gcome�F�equipp�S�ed�with�a�canonical,�]�principal�p�olarization�������J��	��:��
�J�|�!��J�r�,�]�whic��rh�F�satises����G�����2��S��_��b���J���	Ӑ�=�UR������J�����.����#�;Let�������:�e��J�����0����(�N�@�)��!��A�����f��
ѹb�S�e�the�quotien��rt�map.��Consider�the�dual�map����n9���2�_��
���:��A����2��_��y���f���
�i�!����G�J�����0����(�N�@�)��and�comp�S�ose�it�with�������J��q�0��*��(�N��"�)����.�8�Th��rus,�w�e�get�a�morphism��X��� ��A������_���ڍ�f������2������I{��-:�_����p�����	������ǀ!������J�����0����(�N�@�)�����_������@���������J�����0��*�(�N����)���	G������	������G�����������������������������
!����,d��J�����0���(�N��)�:��������
荠�S������29����
荠���m��#�;The�!fact�that�the�dual�morphism�is�a�closed�immersion�follo��rws�from�the�follo�wing�����Gmore��general�statemen��rt��pݍ�G�Prop�`osition�W3.3.1.���L��ffet�l�J�uV=K��
�b�e�a�Jac�obian�and�������J��	�j�b�e�the�c�anonic�al�p�olarization�of����G�J�r�.�fiSupp��ffose�35that����:�UR�J�q��(����
msam10���A�35�is�an�optimal�quotient.�Then�the�morphism�����#�A�����_�����2�������I{��-:�_����p�����	������ǀ!������J��r����_������s��
5Z���X.�J���������
�t�����X7!�������J����G�is�35a�close��ffd�immersion.����#�;�The��k��rey�idea�in�the�pro�S�of�of�the�statemen�t�is�that�for�an�y�ab�S�elian�v��X�ariet�y��A�,��`the����Ggroup���A�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)�is�divisible.����G�Denition�}3.3.2.�Fp�W��Ve�t�sa��ry�that�an�ab�S�elian�group��G��is��divisible�,��if�for�an�y�elemen�t����G�x�UR�2��G�꨹and�an��ry�p�S�ositiv�e�in�teger��n�UR�2��Z�,��there�exists��y�Ë�2�UR�G�,�suc�h�that��x�UR�=��ny�n9�.����#�;One��Xcan�see�that��G��is�divisible,��5if�and�only�if�the�homomorphism�[�n�]�UR:��G��!��G��X�is����Gsurjectiv��re��for�eac�h��n�UR�2��N�.��xn��G�Example��e�3.3.3�.��k�A���non��rtrivial���example�of�a�divisible�group�is�the�group�of����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������-rational����Gp�S�oin��rts��yon�an�elliptic�curv�e��E���,�!�dened�o�v�er�a�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�,�!�since�for�an�y�p�S�oin�t����G�P���2�UR�E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)���and�an��ry�in�teger��n�,���one�can�c�ho�S�ose�a�p�oin��rt��Q�UR�2��E���(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�),���suc�h���that��nQ�UR�=��P����G�(b�S�ecause�o�one�can�reco��rv�er�o�the�group�la��rw�from�the�W��Veierstrass�equation�of�the�curv�e).����GMore�{�generally��V,��!for�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��A��o�v�er�a�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�,��!the�group��A�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)�is�a����Gdivisible��group.�8�This�fact�is�pro��rv�ed��in�[�19����].����G�Example�+��3.3.4�.�
r�No��non��rtrivial�nite�group�is�divisible.�v<Indeed,�9if��G��is�a�nite�group����Gand����x�ِ�2��G��is�a�non��rtrivial�elemen�t�of�order��n�,��then�[�n�]�ِ:��G��!��G��has�a�non��rtrivial����Gk��rernel.�8�In��particular,�it�is�not�surjectiv�e�and�th�us��G��is�not�divisible.����#�;W��Ve��will�also�use�the�follo��rwing��pݍ�G�Lemma��]3.3.5.�1�L��ffet��L�f�BL�:��M�B��S�!��A��b��ffe�a�surje�ctive�morphism�of�ab�elian�varieties.�q�The����Gdual�35morphism��f��G����2�_��
��:�UR�A����2�_��	��!��B������2�_��
���has�35nite�kernel.������GPr��ffo�of.���6ڕ�W��Ve��:will�use�that�the�\double�dual"�functor�is�the�iden��rtit�y��:on�the�category�of����Gab�S�elian�Nv��X�arieties.���This�is�a�non��rtrivial�result�from�the�theory�of�ab�elian�v��X�arieties.���A����Gv��rery��ellegan�t�pro�S�of,�whic�h�mak�es�use�of�the�P�oincar���s�e�shea�v�es�is�presen�ted�in�[].����#�;Consider��the�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��C�1�=�UR�f��G����2�_��r��(�A�)����B������2�_��Ŷ�.�8�W��Ve��ha�v�e�the�comp�S�osition��������A�����_��	��!�UR�C�1�,���!��B�������_��Ŷ�:����G�W��Ve��can�dualize�this�comp�S�osition�to�get�����F��B��X�!�UR�C��ܞ����_��
\��!��A:����G�Since��the�double�dual�is�the�iden��rtit�y��V,��[the��comp�S�osition�of�the�t��rw�o��maps�is��f�G��,�whic��rh�is�����Gsurjectiv��re.�cKHence����C��ܞ���2�_��
t��!�mc�A��is�surjectiv�e.�cKHence,����Tdim�����(�C�ܞ�)�mc=���dim����(�C�����2�_��N�)������dim����(�A�).�cKBut����G�A����2�_��
_�!�4^�C�JQ�is�m�surjectiv��re,��usince��C��is�the�image�of��A����2�_��
�c�under��f��G����2�_��r��.��Therefore,����udim���#�(�A�)�4^=������Gdim���%��(�A����2�_��*��)�UR�����dim����(�C�ܞ�).�8�Th��rus,����dim����(�A�)�=���dim���(�C�ܞ�),��so��f��G����2�_��]W�has�nite�k��rernel.���@\��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff��������h��
荠�S������30����
荠���m����G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�353.3.1.����wD�It�L�suces�to�sho��rw�that����n9���2�_��嵹is�injectiv�e,��Usince�������J��1ʹis�an�����Gisomorphism��and�an��ry�monomorphism�b�S�et�w�een�smo�S�oth�sc�hemes�of�nite�t�yp�S�e�is�a����Gclosed��.immersion.�5�Since�the�dual�of����n9���2�_����,��whic��rh�is���Og�is�surjectiv�e,��then����n9���2�_��
z�m�ust�ha�v�e����Ga���nite�k��rernel,��according�to�lemma�3.3.5.�t�Let��G�w0�=���k�er���!�(���n9���2�_����).�t�Let����C�Sι=���im����`(���n9���2�_���).�t�Then����G�A����2�_��
3v�!���C�0��is�Tan�isogen��ry��V.�u)Let��G��b�S�e�the�k�ernel�of�this�isogen�y��V.�u)One�has�the�follo�wing����Gcomm��rutativ�e��diagram������������������������G�������������Ɵ��/�/��������Ɵ�32�fd�����������ƟfK�A����2�_�������������	�^���/�/��������_��32�fd���������������ɟ
?����I{��-:�_���������������
�1�I�� � �������������ͺB����������J��rB���������Z؟�B�����������f���B������������
�aB����������E��
�B������������x�B����������fPB�������������^���C��������������fK��������b��fK�L�fd��������
�1�'�}�J�����������:nэ�G�After��dualizing�the�diagram,�w��re�obtain�����������������������ŸfK�G����2�_�������������������A���������������o�o���������32�fd���������	��fK�C��ܞ���2�_������������������o�o����������32�fd����������
�1�'�}�J���������������	��1��'����������������fK�O�O������b��fK�fd��������������������������������·�`�`��������������!�B����������Sj���B�����������͟
�B����������>0�
GOB�������������q	B���������(����B����������Y��}B������������7B����������@f��G�where�mc�G����2�_����is�the�Cartier�dual�of��G�.�	�Since��G��is�nite,��then��G����2�_���is�also�nite,��so����Gthe��'k��rernel�of�the�map��'�\��:��J�y�!��C��ܞ���2�_���u�is��'a�nite�index�subgroup�of�the�k�ernel�of����G��Š�:�TQ�J�p��!��A�.�
��But��Ek��rer(��n9�)�is�an�ab�S�elian�v��X�ariet�y��V,��so�it�is�a�divisible�group.�
��This����Gmeans��that�an��ry�quotien�t�of�k�er(��n9�)�is�divisible�as�w�ell.�)Therefore,�ĕthe�nite�quotien�t����Gk��rer(��n9�)�=���k�er�����(�'�)�)�is�divisible.���But�no�nite�group�is�divisible,�y]so��G��m��rust�b�S�e�trivial.����GTherefore,�����n9���2�_��	�;�:�UR�A����2�_��	��!��J��r���2�_��1ʹis�a�closed�immersion.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����������
荠�S���
荠���m��G�Chapter�	T{4��2��GVisibilit��8�y�	T{Theory��6���G�The��pmain�goal�of�this�c��rhapter�is�to�in�tro�S�duce�and�study�a�subgroup�of�the�Shafarevic�h-�����GT��Vate�� group,�(�whic��rh�is�called�the��visible�THsub��ffgr�oup��6�and�� w�as�rst�in�tro�S�duced�b�y�B.�Mazur����G[�7����].�&
One��%of�the�reasons�wh��ry�this�subgroup�is�in�teresting�to�study�is�that�it�is�alw�a�ys����Ga�*7nite�subgroup�of�the�Shafarevic��rh-T��Vate�group,�:so�in�particular,�it�can�b�S�e�used�to����Gpro�S�duce�t-elemen��rts�of�nite�order.��pAnother�strong�motiv��X�ation�to�lo�ok�at�the�visible����Gsubgroup�
�is�the�fact�that�ev��rery�elemen�t�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�group�can�b�S�e�visu-����Galized�"�somewhere�(the�visualization�theorem).���W��Ve�pro��rvide�a�metho�S�d�(the�visibilit�y����Gtheorem)��for�pro�S�ducing�visible�elemen��rts�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�group.��(V���G�4.1��>X�Visible�z�Subgroups�of��AH��U����1�����(�AK�M
;��FA�)��and���M�hV1G�
wncyr10�MX�����(�AA=K�=��)��b#��G�Supp�S�ose�0that��A��and��J�L��are�ab�elian�v��X�arieties,�Aqdened�o��rv�er�0a�n��rum�b�er�0eld��K���and�let����G�i�UR�:��A��!��J��b�S�e��a�morphism�of�ab�elian�v��X�arieties�o��rv�er���K�ܞ�.�����2�1�������G�Denition��4.1.1.��The���visible�35sub��ffgr�oup����of��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�with�resp�S�ect�to��i��and��J��as��"!����h��Vis������ߍ�yO��(�i�)��	b���yO��J����Q�(�H���V����1���Z�(�K�5�;���A�))�UR:=���k��rer�����f�H���V����1���(�K�5�;���A�)��!��H���V����1���(�K�5�;���J�r�)�g�;�����G�where���H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�UR�!��H���V���2�1���(�K�5�;���J�r�)��is�the�map�on�cohomology��V,�induced�from��i�.�����2�2������#�;�The�nnotion�is�useful,�h�b�S�ecause�it�relates�to�the�geometric�in��rterpretation�of�the�����Gelemen��rts��of��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�as�elemen�ts�of�the�W��Veil-Ch^�� atelet�group�in�the�case�when��A��is����Ga�"sub��rv��X�ariet�y�of��J�r�,�@i.e.��Mwhen�the�morphism��i��h�:��A��!��J�+��is�a�closed�immersion.��MT��Vo�see����Gthe��relation,�consider�the�short�exact�sequence�of�ab�S�elian�v��X�arieties������80�UR�!��A��!��J�q��!��C�1��!��0�;��G�
���ff�����
����^��1�����Note��that��J��>�is�not�necessarily�a�Jacobian�of�a�curv���e.�9The�only�reason�w�e�use�the�letter��J��>�is�that���in��_most�of�the�computational�examples�that�w���e�will�pro�vide�later�on,��aw�e�will�b�Ge�using�Jacobians���of�UUmo�Gdular�curv���es.�������
����^��2�����In���some�pap�Gers,��<no�sup�erscript�(�i�)�is�used.��XThe�only�reason�w���e�use�it�here�is�b�ecause�w���e�do���not�UUnecessarily�require�that�the�morphism��i��b�Ge�an�em���b�edding.�����ᖖ�31���� ���
荠�S������32����
荠���m��Gwhere���C��F�is�the�quotien��rt��J�uV=��X�A�.�8�W��Vrite�the�long�exact�sequence�on�Galois�cohomology�����G�'0�UR�!��A�(�K�ܞ�)��!��J�r�(�K��)��!��C��(�K��)��!��H���V����1���Z�(�K�5�;���A�)��!��H���V����1���(�K�5�;���J�r�)��!���:�:�:���:����G�Using�9athe�denition�of�the�visible�subgroup,�\�w��re�can�extract�the�follo�wing�short�exact�����Gsequence����b��0�UR�!��J�r�(�K�ܞ�)�=��X�A�(�K��)�UR�!��C�ܞ�(�K��)�UR�!����Vis������ߍ�
A�(�i�)��	b���
A�J�����(�H���V����1���Z�(�K�5�;���A�))��!��0�:����G�Let�J4�c��b�S�e�a�visible�cohomology�class.�dThen�there�exists�a��K�ܞ�-rational�p�oin��rt��x�UR�2��C�ܞ�(�K��),����Gwhic��rh�Fqmaps�to��c�.�L:The�b�S�er�o�v�er��x��for�the�map��J�
��!���C�#�is�a�sub�v��X�ariet�y�of��J�r�,�]cwhic�h����Gwhen��Iequipp�S�ed�with�the�natural�action�of��A��b�ecomes�a�principal�homogeneous�space,����Gand��vtherefore�represen��rts�an�elemen�t�of��W���C�ܞ�(�A=K��).��This��velemen�t�corresp�S�onds�to�the����Gcohomology���class��c�.�!;Th��rus,���the�elemen�t��x�UR�2��C�ܞ�(�K��)����visualizes����the�cohomology�class��c�.����GThe��follo��rwing�statemen�t�follo�ws�almost�directly�from�the�ab�S�o�v�e�remarks.�����G�Corollary�04.1.2.��F���or�any�emb��ffe�dding��i�UR�:��A��!��J�r�,�=rthe�visible�sub��ffgr�oup�Vis����ߍ�(�i�)��	b���J���
R�(�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�))����G�is�35nite.������GPr��ffo�of.���6ڕ�The��group��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�is�a�torsion�group,�bpand��C�ܞ�(�K��)��is�nitely�generated,��"!��Gso�U�the�surjectivit��ry�of�the�homomorphism��C�ܞ�(�K��)����!����Vis������ߍ�s��(�i�)��	b���s��J��� u6�(�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�))�U�implies�that��b�����GVis������ߍ�"�6�(�i�)��	b���"�6�J���,Lj�(�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�))��m��rust�b�S�e�nite.����84��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;Next,��w��re��5dene�the�visible�subgroup�of���X��ࣹ(�A=K�ܞ�)�with�resp�S�ect�to�the�morphism����G�i�UR�:��A��!��J�r�.����G�Denition�bS4.1.3.�d��The����visible��Esub��ffgr�oup�k��of���X����(�A=K�ܞ�)�with�resp�S�ect�to�the�map��i��is����Gdened��as������|�*Vis������ߍ��X�(�i�)��	b����X�J����Yk�(�A�)�UR:=���Vis������ߍ�
A�(�i�)��	b���
A�J�����(�H���V����1���Z�(�K�5�;���A�))����\���X����(�A=K�ܞ�)�:����#�;�The��ab�S�o��rv�e�corollary�implies�that�the�visible�subgroup�of���X���z�(�A=K�ܞ�)�is�alw�a�ys����Gnite.��(V���G�4.2��>X�The�z�First�Prop��=ert��u�y�of�Visibilit�y��b#��G�The��Orst�in��rteresting�prop�S�ert�y��V,�,�related�to�visibilit�y�is�the�fact�that�eac�h�elemen�t����Gof�|��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�b�S�ecomes�visible�for�some�ab�elian�v��X�ariet��ry��J���and�a�closed�immersion����G�i�UR�:��A�,���!��J�r�.����G�Theorem��W4.2.1�(Visualization�Theorem).��:�L��ffet��{�c�UR�2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��b��ffe�any�c�ohomolo�gy����Gclass.��RThen��-ther��ffe�exists�an�ab�elian�variety��J���and�a�close�d�immersion��i����:��A�,���!��J�r�,����Gsuch�35that��c�UR�2����Vis������ߍ�t��(�i�)��	b���t��J���u��(�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�))�.����#�;�An�� essen��rtial�ingredian�t�of�the�pro�S�of�will�b�e�the�existence�of�W��Veil�restriction����Gof���scalars.�q�W��Ve�will�sk��retc�h���the�imp�S�ortan��rt�p�oin��rts�of�the�construction.�q�A��_thorough����Gdiscussion��of�this�sub��ject�is�presen��rted�in�[�3����,��x�7.6].�����!/��
荠�S������33����
荠���m��G�Prop�`osition�F�4.2.2.�X9�Supp��ffose��that��L=K����is�a�eld�extension�of�numb�er�elds.�����2�3�����L�et�����G�X�����2�0��w��b��ffe���a�scheme�of�nite�typ�e�over��L�.��wTher�e�exists�a�scheme��X��g�of�nite�typ�e�over����G�K�ܞ�,�35such�that�the�scheme��X�$��r��ffepr�esents�35the�fol���lowing�c��ffontr�avariant�35functor�������Rm'R��ffes����d�r����L=K��v��(�X������0�����)�UR:�(���Sch����=K�ܞ�)��!���f�Sets�g���$��;�33S�)�7!����Hom�����ޟ���L��!ﶹ(�S�]������K��
�j�L;���X��)�:����G�Mor��ffe�over,��smo�othness��
is�c��ffarrie�d��
over�fr��ffom�the�scheme��X�����2�0�����=L��to��X���=K�ܞ�,�i.e.�U�if��X�����2�0��B��is�����Gsmo��ffoth,�35then�so�is��X���.�fiWe�denote�the�scheme��X�$��by�R�es�����L=K��C��(�X�����2�0�����)�.������#�;�Before��pro�S�ceeding�further,��fw��re�will�explain�the�in�tuition�b�S�ehind�the�construction����Gof���W��Veil�Restriction�of�scalars.�)�F�or�simplicit��ry�,�ƙw�e���will�w��rork�with�v��X�arieties�o�v�er�elds,����Gand��ev��ren�the�simpler�case�of�elliptic�curv�es.�8�Consider�the�elliptic�curv�e������(7�E�	i�:�UR�Y���p����2��\t�Z�1�=��X������3��\/�+����X��Z��ܞ����2��GJ�+��Z��ܞ����3�����G�o��rv�er��*the�n��rum�b�S�er��*eld��K�1�=�UR�Q�(������p���
��ljz����	�9��5������).�aThe�goal�is�to�construct�a�v��X�ariet��ry�o�v�er��Q�,��whose�����G�Q�-rational��are�in�one-to-one�corresp�S�ondence�to�the��K�ܞ�-rational�p�oin��rts�of��E���.����#�;First,��it�~#suces�to�lo�S�ok�at�the�ane�patc��rh,�corresp�S�onding�to��Z���6�=�0�and�to����Gconstruct���the�restriction�of�scalars�only�for�that�patc��rh.�lSo�w�e�can�assume��Z�E��=�i`1,����G�X�Si�=�a��x�ٹand��Y��V�=��y�n9�.��sOne�can�use�the�follo��rwing�idea:��Bc�ho�S�ose�an�y��Q�-basis�for��K�ܞ�,����Ge.g.����f�1�;���������p�����ljz����	�9��5�������g�-�and�write��x�z	�=��x�����1��F(�+����$��|��p���
�&��|Ήz����
�2��5����f"�x�����2����,�}��y��B�=��y�����1���+����$��|��p���
�&��|Ήz����
�2��5����f"�y�����2��	��for�-some�indeterminates����G�x�����1����;���x�����2���;�y�����1���;�y�����2���.��After��;plugging��x��and��y��t�in��rto�the�W��Veierstrass�equation�and�equating�the����Gco�S�ecien��rts��in�fron�t�of�the�elemen�ts�of�the�basis,�w�e�get�the�v��X�ariet�y�����A���X�Fչ=�UR�h�x������3���ڍ1���j��+���5�x�����1����x������2���ڍ2������y������n9�2���ڍ1��������5�y������n9�2���ڍ2����+��x�����1��j��+�1�;�ꦹ3�x������2���ڍ1�����x�����2���+�5�x������3���ڍ2������2�y�����1����y�����2�����x�����2����i����G�dened�b�o��rv�er��Q��whose��Q�-rational�p�S�oin�ts�are�in�one-to-one�corresp�S�ondence�with�the�����G�K�ܞ�-rational��8p�S�oin��rts�on�the�ane�patc�h�of�the�elliptic�curv�e��E�;O�xed�ab�S�o�v�e.��Indeed,��w�e����Gha��rv�e��the�corresp�S�ondence�(�x;���y�n9�)�UR�!��(�x�����1����;�x�����2���;�y�����1���;�y�����2���).����#�;This�Vexample�strongly�suggests�ho��rw�one�can�generalize�the�construction�for�arbi-����Gtrary��Xsc��rhemes�of�nite�t�yp�S�e.�-�W��Ve�will�only�sk�etc�h�the�construction.�-�F��Vor�more�formal����Gand���rigorous�treatmen��rt�of�the�existence�of�W��Veil�restriction�of�scalars,�Čw�e�refer�the����Greader��to�[�3����,��x�7.6].��U-����G�Sketch�35of�Construction:�������Let���[�L�bN�:��K�ܞ�]�=��n�.��W��Ve�can�reduce�the�question�to�the�case����Gwhen���X�����2�0���d�is�ane�(for�the�general�case,�w��re�glue�lo�S�cal�data),�i.e.������WD�X������0���=���URSp�S�ec���x�L�[�y�����1����;���y�����2���;��:�:�:��ʜ;�y�����k��#��]�=I��:����G�Let����I�Fչ=�UR�h�f�����1����;���f�����2���;��:�:�:��ʜ;�f�����s��n<�i���for�p�S�olynomials��f�����i���,�2�UR�L�[�y�����1����;��:�:�:��ʜ;�y�����k��#��].���Cho�S�ose�a�basis��f�e�����1����;��:�:�:��ʜ;�e�����n���P�g������G�of����L=K����and�write��y�����i��Q��=�������8�n�����촟��X���
㇍�6�j�v�=1���B
�x�����ij��J��e�����j��f
�,��where��x�����ij���'s�are�indeterminates.��W��Ve�express�the���G��Gco�S�ecien��rts��+of�the��f�����i��dڹ's�as�linear�com�binations�of�the�basis�elemen�ts.��aNext,�$�w�e�plug�the��G�
]��ff�����
���^��3����fb�GThe�{�same�ar��}'gument�applies�for�the�gener�al�c�ase,���but�sinc�e�we�wil���l�b�e�c�onsidering�ab�elian�vari-���eties���over�numb��}'er�elds,�we�wil���l�not�worry�to�o�much�ab�out�the�gener�al�c�ase.�����")��
荠�S������34����
荠���m��G�y�����j��f
�'s�
�in��rto�eac�h�of�the�p�S�olynomials��f�����i��rv�and�after�using�the�m�ultiplication�table�for�the�����Gbasis����f�e�����1����;����:�:�:��ʜ;���e�����n���P�g��and�taking�the�co�S�ecien��rts�in�fron�t�of�eac�h�of�the�basis�elemen�ts,�w�e����Gobtain����n��p�S�olynomials��g�����i�1�����;���g�����i�2���;��:�:�:��ʜ;�g�����in��c�from����f�����i��dڹ,�
>suc��rh�that��g�����ij��
�6�2�UR�K�ܞ�[�x�����11��	�;��:�:�:��ʜ;�x�����1�n��	�T�;��:�:�:��;�x�����k�6�n��
K�].����GConsider��the�ideal��J�qĹ=��UR�h�g�����ij��J��i����2��k��RA�i�=1������A���'�9�n��
�a��'�9j�v�=1���;g�and�lo�S�ok�at�the�sc��rheme�������q��X�Fչ=���URSp�S�ec���x�K�ܞ�[�x�����11��	�;����:�:�:��ʜ;���x�����k�6�n��
K�]�=J��::����G�W��Ve��claim�that��X�\�represeen��rts�the�functor�Res�����L=K��C��(�X�����2�0�����).��rAll�w�e�ha�v�e�to�c�hec�k�is�that�����Gfor��an��ry��K�ܞ�-algebra��A�,�there�is�a�bijection������nDzHom����������L���۹(��Sp�S�ec����&�A����
�����K��
�j�L;���X������0�����)�UR�!����Hom�����۟���K��$
��(��Sp�S�ec����A;���X��)�;����G�whic��rh�Z&is�functorial�in��A�.�����2�4���	ȹ�But�this�is�easy�to�c�hec�k�from�the�denition�of��X��,�w
b�S�ecause����Git��is�equiv��X�alen��rt�to�construct�a�bijection������!{uHom����9������L��@<ֹ(�L�[�y�����1����;���y�����2���;��:�:�:��ʜ;�y�����k��#��]�=I��;�A���������K��
�j�L�)�UR�!����Hom�����۟���K��$
��(�K�ܞ�[�y�����11��	�;�y�����12���;��:�:�:��ʜ;�y�����1�n��	�T�;��:�:�:��y�����k�6�n��
K�]�=J��:;�A�)�;����G�whic��rh��can�b�S�e�constructed�explicitely��V.�����2�5������A"��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;�W��Ve�>oare�no��rw�ready�to�giv�e�a�pro�S�of�of�the�visualization�theorem.�44This�pro�of�w��ras����Gdisco��rv�ered�recen�tly�b�y�William�Stein�and�the�author�and�mak�es�an�explicit�use�of�the����Gsimple��transitiv��re�action�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet�y�on�its�principal�homogeneous�spaces.������G�Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�354.2.1.�������Recall���that�a�cohomology�class��c����2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)���is�trivial�if����Gand���only�if�the�corresp�S�onding�principal�homogeneous�space��C��+�to��c��has�a��K�ܞ�-rational����Gp�S�oin��rt.�	l�In�tuitiv�ely��V,���to�Q6trivialize��c�,�it�is�enough�to�consider�an�extension��L=K�ܞ�,�so����Gthat�=��C���has�an��L�-rational�p�S�oin��rt.�2�After�c�ho�S�osing�suc�h�an�extension��L=K�ܞ�,�R�w�e�obtain����Gres�����L=K��C��(�c�)�UR=�0,�C~where��res�����L=K����:��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��!��H���V���2�1���(�L;���A�)��is�the�restriction�map�on�Galois����Gcohomology��V.����#�;Let��<�C��=K�mڹb�S�e�a�principal�homogeneous�space�(a�torsor)�for��A=K�ܞ�,���suc��rh�that�the����Gclass�1[�C�ܞ�]�UR�2��W���C��(�A=K��)�1corresp�S�onds�to�the�elemen��rt��c�UR�2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�).��Let�1�A�/����C�1��!�UR�C�
��b�e����Gthe���simple,��!transitiv��re�action�of��A��on��C�ܞ�.�����2�6���	�A�Let��P���2�UR�C��(�L�)�b�S�e�the��L�-rational�p�oin��rt.�=W��Ve����Gcan�OZdene�a�morphism��'���:��A�����L��
H��!��C�����L��
�2�b�S�e�OZthe�morphism,�h�dened�b��ry��'�(�a�)��=��a��7���P��ƹ.�����2�7������G�Since���A��acts�simply�transitiv��rely�on��C�ܞ�,�then��'��is�an�isomorphism.�8�Let�� �Ë�=�UR�'����2��1��\|�.����#�;The���rst�imp�S�ortan��rt�step�of�the�pro�of�is�to�reco��rv�er���the�group�la��rw�on��A�����L��
��in�terms����Gof�^�the�morphisms��'��and�� �n9�.�
<The�main�idea�for�pro��rving�this�is�to�use�rigidit�y�theorem����Gfor��ab�S�elian�v��X�arieties.�8�Dene�a�morphism�����������UR�:��A�����L��������A�����L��	�*�!��A�����L�����G�b��ry����(�a;���a����2�0���9�)�b�=�� �n9�(�a�����'�(�a����2�0���)).�W��Ve��compute���(�a;����0)�b�=�� �n9�(�a�����P��ƹ)�b�=��a�.�Also,�����(0�;���a�)�=����G� �n9�(0�1B���'�(�a�))�UR=�� ��(�a�1B���P��ƹ)�UR=��a�.�%Therefore,��if��9������L��	�*�:��A�����L��y��1B�A�����L���!��A�����L��	��is��9the�m��rultiplication����Gmap,���then�x���{��������L��	�ڹsatises�the�h��ryp�S�othesis�for�the�rigidit�y�theorem,���therefore���UR�=�������L��Gع.��G�	Ϗ�ff��ğ�����
����^��4�����Hom����K���denotes�UUmorphisms�of�sc���hemes�o�v�er��K�������
����^��5�����In�UUthis�case�Hom����K���denotes�homomorphisms�of��K���-algebras�������
����^��6�����In�UUorder�to�a���v�oid�UUconfusion�with�the�group�la���w�on��A�,�w�e�denote�the�action�of��A��on��C�q�b�y���.�������
����^��7�����If�0�X��вis�a�sc���heme�o�v�er��K��
�and��L��is�an�extension�of��K���,�86then��X����L��	-b�will�denote�the�sc�heme��X��������K��	�ƵL�����#"U��
荠�S������35����
荠���m��#�;Let�j
�J��T�=�����Res����b����L=K��*���(�A�����L��Gع).�	�The�isomorphism�� �P�:����C�����L��)��!��A�����L����induces�j
an�inclusion�����G�C�ܞ�(�K��)��{�,���!��C�ܞ�(�L�)�����P�������԰����c�=������M�A�����L��Gع(�L�)�����P�������԰����c�=������J�r�(�K�ܞ�)�Jand�the�iden��rtit�y�Jmorphism���id���xi:��{�A�����L��	�S�!��A�����L��
["�induces����Gan��inclusion��A�(�K�ܞ�)�h�,���!��A�����L��Gع(�L�)�����P�������԰���%P�=�����n'�J�r�(�K��).�>�These��inclusions�corresp�S�ond�via�Y��Voneda's����Glemma�S�to�injectiv��re�morphisms��A����!��J�p�and�S��C��]�!��J�r�.�	s�Since�these�morphisms�are����Gprop�S�er,��then�[�9����,��x�8.11.5]�implies�that�they�are�closed�immersions.����#�;Since���A��is�dened�o��rv�er���K�ܞ�,�w��re�ma�y�view��J�����L��
2��as�a�pro�S�duct�of��n��copies�of��A�����L��Gع,�i.e.���J���;��J�����L������P���	�*����԰���	��=�����������^W�n�����Gӟ��Y���
㇍���i�=1���'�)�A�����L��G��:�� L��G�The��!closed�immersion��C�1�,���!�UR�J�Ó�base�extended�to��L��giv��res�a�morphism��C�����L��	�*�!��J�����L��Gع.�"^This����Gmorphism��is�the�map,�sending��_����	��x�UR�7!��(� �����1����(�x�)�;��� �����2���(�x�)�;��:�:�:��ʜ;� �����n���P�(�x�))�;����G�where�*h� �����i��&��:����C�����L��
	��!��A�����L��
[email protected]�are�the�conjugates�of�� �0�:��C�����L��
	��!��A�����L��Gع,�:Xobtained�b��ry�applying�the�����G�n����dieren��rt�em�b�S�edding��L�]J,���!����\-�z�
۶�	�Ӎ�K������to���� �n9�,���whic�h�x�the�eld��K�ܞ�.�
Note�that�eac�h�of�the����G� �����i��dڹ's��is�a�morphism��C�����L��	�*�!�UR�A�����L��Gع,�since�b�S�oth��C��F�and��A��are�dened�o��rv�er���K�ܞ�.����#�;W��Ve���claim�that�the�image�of��C�����L��
�k�inside��J�����L���is�a�translate�of��A�����L��Gع.���The�morphism���R��G�A�����L��	�*�,���!�UR�J�����L������P�������԰���	��=�����������^W�n�����Gӟ��Y���
㇍���i�=1���'�)�A�����L��
-r�is��precisely�the�diagonal�em��rb�S�edding.�71T��Vo�determine�the�image�of��l��G�C�����L��Gع,��w��re�consider�the�morphism�������A�����L������h��a��J������	�*�����	�5!������C�����L��	�*�!�������k��n�����UR���Y���
㇍�S�i�=1������A�����L��G��;��"�E��G�whic��rh�-umaps��a�z��7!��(� �����1����(�'�(�a�))�;��� �����2���(�'�(�a�))�;��:�:�:��ʜ �����n���P�(�'�(�a�))).�	FThe�-uimage�of��a�z��2��A�����L��Gع(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶�)�-uis����Gthe�L=unique��b�,�d�suc��rh�that��b����������i��dڹ(�P��ƹ)��j=��a�����P��.�]�But�L=the�action�is�transitiv��re,�d�so�w�e�get����G(��b� ?�+��a�)����P��=�{J������i��dڹ(�P��ƹ),�‹whic��rh��]means�that��b��=��a� ?��� �n9�(������i��dڹ(�P��ƹ)).�?This��]sho��rws�that�the����Gimage���of��C�����L��	�l�in��J�����L���is�a�translate�of��A�����L���b��ry�(�� �n9�(������1����(�P��ƹ))�;����� ��(������2���(�P��ƹ))�;����:�:�:��ʜ;����� ��(������n���P�(�P��))),����Gso��w��re�are�done.���S����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'ys���G�4.3��>X�Pro��=ducing���Upp�er�Bound�on�the�Visibilit��u�y�Di-����>X�mension��b#��G�The�|gtheorem�from�the�previous�section�giv��res�rise�to�an�in�teresting�question,��trelating����Gthe��order�of�a�cohomology�class��c��and�the�minimal�dimension�of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry����G�J�r�,��for�whic��rh��c��is�visible,�under�a�closed�immersion��i�UR�:��A�,���!��J��.���Ս�G�Denition���4.3.1.�)D�Let�;w�c����2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�).�+NThe��visibility�}|dimension�!'�of��c��is�the�minimal��"!��Gdimension��of�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry��J�r�,�suc�h�that��c�UR�2����Vis������ߍ�
A�(�i�)��	b���
A�J�����(�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)).����#�;First�
�of�all,�:	w��re�pro�S�duce�an�upp�er�b�ound�for�the�visibilit��ry�dimension�of�a�cohomol-�����Gogy��class��c��I�2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�),�!�in��terms�of�the�order��n��of�that�elemen��rt�and�the�dimension����Gof���A�.�����$5{��
荠�S������36����
荠���m��G�Lemma���4.3.2.����Supp��ffose�&that��G��is�a�gr�oup�and��M�f��is�a�nite��G�-mo�dule.�>�L�et��c���2�����G�H���V���2�1���Z�(�G;���M�@�)�x�b��ffe�any�c�ohomolo�gy�class.�Z�Then�ther�e�is�a�sub�gr�oup��H�B���UR�G�,�jsuch�that�the����Gr��ffestriction�35of��c��to��H���V���2�1���Z�(�H�F:;���M�@�)��is�trivial�and��[�G�UR�:��H��V�]���j�M��j�.��Ӹ����GPr��ffo�of.���6ڕ�Consider�h	�H��=���*�k��rer����[(�f�G��),��awhere��f�r��:�*��G��!��M���is�h	an��ry�represen�tativ�e�of�the�coho-����Gmology��class��c�.�8�The�map��f�2��satises�the�co�S�cycle�condition������D��f�G��(��n9�W�)�UR=���f�G��(��W�)���+��f��(��n9�)�:����G�Clearly��V,�H	the�)restriction�of��c��to��H���V���2�1���Z�(�H�F:;���M�@�)�is�trivial.�cT�o�b�S�ound�the�dimension,�H	w��re�����Gconstruct��fan�injection��G=H�`�,���!�s��M�@�,��b��ry�sending���WH��7!�s��f�G��(���).�nBy��fthe�denition�of��H��V�,����Gthis��map�is�w��rell�dened.�8�Supp�S�ose��f�G��(��n9�)�UR=��f��(��W�).�8�Then,��the�co�S�cycle�condition���������f�G��(��W�)�UR=��f��(��n9�(��������1��ʵ��W�))�UR=���n9f��(��������1��ʵ��W�)���+��f��(��n9�)�:����G�Th��rus,��~��n9f�G��(������2��1��ʵ��W�)�J4=�0,�i.e.��|�f�G��(���n9���2��1��ʵ��W�)�=�0,�whic��rh�z�means�that����n9���2��1��ʵ���Q�2�J4�H��V�.��|This�pro�v�es�����Ginjectivit��ry��of�the�map��G=H�B�,���!�UR�M�@�,�and�so�the�b�S�ound�follo�ws.���iᮄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������G�Prop�`osition�Η4.3.3.����The��Gvisibility�dimension�of�any��c�UR�2��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��G�is�at�most��d�oC���n����2�2�d��	��,����Gwher��ffe�35�n��is�the�or�der�of��c��in��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��and��d��is�the�dimension�of��A�.������GPr��ffo�of.���6ڕ�It��follo��rws�from�the�pro�S�of�of�the�Visualization�Theorem�(Theorem�4.2.1)�that����Gthe�dimension�of��J�r�,�j�whic��rh�w�as�constructed�using�W��Veil�restriction�of�scalars�is�at����Gmost�z�[�L�UR�:��K�ܞ�]��T�����dim���FD�A�.��Th��rus,��:w�e�need�an�upp�S�er�b�ound�for�the�degree�of�the�extension����G[�L�.��:��K�ܞ�].�
>T��Vo��get�this,�(consider�the�surjectiv��re�map��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�[�n�])�.��!��H���V���2�1���(�K�5�;���A�)[�n�],����Gwhic��rh�_is�induced�from�the�long�exact�sequence�on�Galois�cohomology��V.��Since��c�1m�2����G�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)[�n�],�k-it�KOsuces�to�trivialize�one�of�its�preimages.��By�the�ab�S�o��rv�e�KOlemma,�there����Gexists���a�nite�index�subgroup�of�Gal(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�(whic��rh�b�y�Galois�theory�corresp�S�onds�to����Gsome�p�eld�extension��L=K�ܞ�),��2suc��rh�that��c��is�trivialized�in��H���V���2�1���Z�(�L;���A�[�n�])�and�the�index����Gof���the�subgroup�[�L�[��:��K�ܞ�]���is�at�most��j�A�[�n�]�j�[��=��n����2�2�d��	��.�Th��rus,��<one���can�c�ho�S�ose��L�,��<so�that����G[�L�UR�:��K�ܞ�]��������dim���*��A�UR���d������n����2�2�d��	��,��so�w��re�get�an�upp�S�er�b�ound�for�the�dimension.���9\��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����'�����G�4.4��>X�Smo��=oth�z�and�Surjectiv��u�e�Morphisms���#���G�P��N�ffcmbx12�P4.4.1��C�BFlat,�ffSmo�s3oth�and���������Etale�Morphisms��@��G�In��vorder�to�mak��re�sense�of�the�notion�of�con�tin�uous�family�of�sc�hemes,���w�e�need�to����Gin��rtro�S�duce��the�notion�of�
atness.����#�;Recall� Xfrom�comm��rutativ�e� Xalgebra�that�a�morphism��f����:����A��!��B��^�of� Xrings�is��
at�D��if����Gthe���functor��M����7!�W��M�R��
�����A��	���B���from��A�-mo�S�dules�to��B���-mo�dules�is�exact.��Since��
atness����G�is�VHa�lo�S�cal�prop�ert��ry��V,��1in�order�to�c�hec�k�that��f��G�is�
at,��1it�suces�to�c�hec�k�that�the����Ghomomorphism��of�lo�S�cal�rings��A����f���ǟ�����1��
Ӈ�(�I\��%eufm8�Im�)�����!�UR�B�����Im��
�ݹis�
at�for�ev��rery�maximal�ideal��Hm����B���.����G�Denition�~U4.4.1.�T8�A�
+morphism�
d�'�UR�:��Y����!��X���of�sc��rhemes�is��
at�,�7>if�the�homomorphisms����Gof��lo�S�cal�rings��O�����X�&�;'�(�y�I{�)�����!�URO�����Y�x�;y���:�is�
at�for�ev��rery��y�Ë�2��Y��p�.�����%EĠ�
荠�S������37����
荠���m��G�Example�(*�4.4.2�.�{�An��ry��Dnite,��lsurjectiv�e�morphism��f����:�q��X�c�!��Y����of�nonsingular�v��X�arieties�����Go��rv�er��algebraically�closed�elds�is�
at.�����#�;The���notion�of�
atness�corresp�S�onds�to�con��rtin�uous���family�of�manifolds�in�dieren-����Gtial��top�S�ology��V.�FIndeed,��7�'�UR�:��Y����!��X�q^�b�eing��
at�implies�that�all�p�oin��rts��x�UR�2��X��,��7suc�h��that����G�'����2��1��\|�(�x�)��is�nonempt��ry�b�S�eha�v�e�lik�e�regular�v��X�alues,�i.e.�8�if��Y�����x���9�:=�UR�'����2��1��\|�(�x�),�then���������+dim�����Y�����x���9�=���URdim����B�Y�G�������dim���*��X�Jg:����#�;�Next,���w��re��use�the�notion�of�
atness�to�dene�the�relativ�e�notion�of�nonsingular�����Gv��X�arieties.�����G�Denition���4.4.3.�E�A�#�morphism�#��'���:��Y�SQ�!��X�|�of�sc��rhemes�of�nite�t�yp�S�e�o�v�er�a�eld��k����G�is���smo��ffoth�35of�r�elative�dimension��n�,��if:����G(1)���'��is�
at;����G(2)��if��Y���p���2�0������UR�Y���and��X�����2�0�����X��+�are�irreducible�comp�S�onen��rts,�suc�h�that��'�(�Y���p���2�0��j��)�UR���X�����2�0�����,��then��������ѐdim����Q��Y���p����0�����=���URdim����B�X������0��jd�+����n�;����G(3)��for�eac��rh�p�S�oin�t��y�Ë�2�UR�Y��p�,�one�has�������W:dim�����삟���k�6��(�y�I{�)���)��(
�����Y���=X���*�
����k�g�(�y�n9�))�UR=��n:����G�Example�HŹ4.4.4�.���If���Y�Jj�=�����Sp�S�ec���l �k��۹and��k��is�algebraically�closed,�+�then��X�A�is�smo�S�oth�o��rv�er�����G�k��@�of�;#relativ��re�dimension��n��if�and�only�if��X�,��is�regular�of�dimension��n�.�*RIn�particular,����Gif���X��+�is�irreducible�and�separated,�then��X��is�smo�S�oth�if�and�only�if��X��is�a�v��X�ariet��ry��V.����#�;Finally��V,��w��re�can�dene�the�notion�of�an����s�etale�morphism.�����G�Denition��4.4.5.�u͹A��morphism��Y�'����:��Y�zm�!��X��ܹis�called������L�etale��	�if�it�is�smo�S�oth�and�of����Grelativ��re��dimension�zero.����G�Example��n�4.4.6�.���Op�S�en���immersions�are�smo�oth�morphisms�of�relativ��re�dimension�zero,����Gso��they�are����s�etale.��"ʫ���G�P4.4.2��C�BHenselian�ffRings�and�Strictly�Henselian�Rings��@��G�W��Ve�(cstart�b��ry�in�tro�S�ducing�a�sp�ecial�class�of�rings��R�J�,�7�called��henselian��rings.��Roughly����Gsp�S�eaking,��those�are�rings,�for�whic��rh�the�Hensel�lemma�is�true.����G�Denition��4.4.7.�,��Let�B)�R�[s�b�S�e�a�lo�cal�ring�with�residue�eld��k�g�.�?cThe�ring��R�[s�is�called����G�henselian���if,�V�for�1�ev��rery�monic�p�S�olynomial��P���2�UR�R�J�[�T��ƹ],�all��k�g�-rational�zeros�of�the�residue����Gclass���ϟ�\-�z�	4��	�Ӎ�P����?�2����k�g�[�T��ƹ]���lift�to��R�J�-rational�zeros�of��P��.��UIf,��Yin�addition,�the�residue�eld��k�'�is����Gseparably��closed,�the�ring��R��is�called��strictly�35henselian�.����#�;The��follo��rwing�statemen�t�deals�with�some�prop�S�erties�of�strictly�henselian�rings.�����&VҠ�
荠�S������38����
荠���m��G�Prop�`osition��4.4.8.��L��ffet�35�R�L�b�e�a�lo�c�al�ring.�fiThe�fol���lowing�ar�e�e�quivalent:�����G(1)�35�R�L�is�a�strictly�henselian�ring.����G(2)�ށF���or�al���l�����L�etale�morphisms��f�ڇ�:����X���!����Sp��ffe�c������R����and�ށfor�al�l�p��ffoints��x����2��X���,�	Tsuch�ށthat����G�f�G��(�x�)��B=��s���is�a�close��ffd�p�oint�of���Sp�e�c���U��R�J�,�ther�e�exists�a�se�ction��u��B�:����Sp�e�c�����R�ʌ�!��X���(i.e.����G�S����-morphism),�35such�that��u�(�s�)�UR=��x�.��������GPr��ffo�of.���6ڕ�The��prop�S�osition�follo��rws�from�[�10����,��x�18.8.1].����3���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����"!Ս��G�P4.4.3��C�BSurjectivit���y�ffof��[�Q��g�ffcmmi12�Qn�]���:��QG�(�QR�X�)��R!",�ff
cmsy10�R!��QG�(�QR��)��@��G�The��main�goal�of�this�whole�section�is�to�pro��rv�e��the�follo��rwing�theorem:����G�Prop�`osition��A4.4.9.��,�L��ffet����A��b�e�an�ab�elian�variety�over�a�eld��K�ܞ�,��Jwhich�is�the�r�esidue�����Geld�}Mof�a�strictly�henselian�discr��ffete�valuation�ring��R�J�.�D�L�et��x�އ�2��A�(�K�ܞ�)�,���such�}Mthat�the����Gr��ffe�duction�jyof��x��lies�in�the�identity�c��ffomp�onent�jyof�the�close��ffd�b�er�of�the�N��3��L�er�on�mo�del����G�A��n�of��A�.�]Then�for�any�inte��ffger��n�,���prime�to�the�r�esidue�char�acteristic�of��R�J�,���one�has����G�x�UR�2��nA�(�K�ܞ�)�.������#�;�W��Ve�m�start�b��ry�sev�eral�tec�hnical�lemmas�whic�h�will�b�S�e�used�in�the�pro�of�of�the����Gprop�S�osition.����G�Lemma��4.4.10.�A�L��ffet�T�G��b�e�a�smo�oth,�\Gc�ommutative�gr�oup�scheme�of�nite�typ�e�over����Gan��arbitr��ffary�b�ase�scheme��S����.�HL�et��n��b�e�an�inte�ger�which�is�not�divisible�by�the�r�esidue����Gchar��ffacteristic��
of�the�lo�c�al�ring�at�every�p�oint��s�j��2��S����.�'�Then��
the�multiplic�ation�by��n����G�morphism�35�n�����G��
t�:�UR�G��!��G��is��h��L�etale.������GPr��ffo�of.���6ڕ�The��lemma�follo��rws�from�Lemma�2(b)�of�[�3����,��x�7.3].����4��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������G�Lemma��4.4.11.�cf�Supp��ffose�wIthat��U��6��UR�G��is�an�op�en�dense�gr�oup�subscheme�of��G�.�'�Then����G�U��6�=�UR�G�.������GPr��ffo�of.���6ڕ�Since�F�the�underlying�top�S�ological�spaces�for��G��and��G��t������R��	��K�#��are�the�same,�]�it����Gsuces�h�to�pro��rv�e�h�the�statemen��rt�for�a�comm�utativ�e�group�sc�heme��G��o�v�er�a�eld��K�ܞ�.����GLet�G
�G��b�S�e�a�comm��rutativ�e�G
group�sc��rheme�o�v�er�a�eld��K�ܞ�.�	NIt�suces�to�pro�v�e�that����G�G���������K���
���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���4��=�UR(�U��������K���
���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����h�)����(�V�d`������K���
���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����).��Therefore,���one�{�can�assume�that��K�XG�is�algebraically����Gclosed.�	�"In�~ithis�case,��Yit�suces�to�pro��rv�e�~ithat��U��M�con��rtains�all�closed�p�S�oin�ts�of��G�.����GIndeed,�X�U���con��rtains�B-all�generic�p�S�oin�ts;�m�otherwise��U��@���2�c��	���will�b�S�e�the�closure�of�a�generic����Gp�S�oin��rt,��whic�h�is�imp�S�ossible.����#�;Supp�S�ose��that��x����2��G���is�a�closed�p�oin��rt.���Since��K��+�is�algebraically�closed,�then��x��is����Grational,���so����U�Ƣ�and��U�m��܉�x��are�b�S�oth�op�en.�=Th��rus,���they�ha�v�e�at�least�one�common�closed����Gp�S�oin��rt���v�n9�,�so�there�is��u�UR�2��U�@�,��suc�h�that��ux�UR�=��v�n9�,��i.e.�8��x��=��u����2��1��\|�v�Ë�2��U�@�.���[�
��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������G�Lemma���4.4.12.���Supp��ffose�a�that��G��is�a�nite-typ�e�c�ommutative�gr�oup�scheme�over�a����Gstrictly��henselian�lo��ffc�al��ring��R�"(�and�the�b��ffers�of��G��over��R��ar��ffe�ge�ometric�al���ly�c�onne�cte�d.�����2�8������G�The�35multiplic��ffation�map�by��n��map��A����ι[�n�]�UR:��G�(�R�J�)��!��G�(�R��)��G�	�j�ff��ğn獍���
���^��8����fb�GWe���say�that�a�scheme��X�\��Gover�a�eld��K�K�Gis�ge��}'ometric�al���ly���c�onne�cte�d�if��X�¸����K���	��}�fe	5U����K������Gis�c�onne�cte�d�����'c	��
荠�S������39����
荠���m��G�is�35surje��ffctive�when��n�UR�2��R��J���2���5��.�������GPr��ffo�of.���6ڕ�Cho�S�ose��ba�p�oin��rt��x�UR�2��G�(�R�J�).�%�Then��b�x��corresp�onds�to�a�morphism��x�UR�:���Sp�ec���x�R�n��!�����G�G�.�8�F��Vorm��the�follo��rwing�pullbac�k�diagram���r��������������������33�Y�����x������������������^���q� ��������������%���/�/�������&��32�fd����������DC�����������DC�DDfd������������%���Sp�S�ec����K����R��������������������g��x�����������������DC���������Pp�DC�fd���������o��(wu�G����������������ۚݟ ��n��X.�G�����������������L�$]ܻ/�/������ʹk�$��fd',ᎍ��������L�(wu�G�����������;�u��#�;�The���surjectivit��ry�of�[�n�]�3i:��G�(�R�J�)��!��G�(�R��)���will�follo��rw�if�w�e�pro�v�e�that�there�is����Ga�esection���Sp�S�ec��� ً�R�uO�!�\�Y�����g�����.��Indeed,�g�note�that���Sp�S�ec����R�uO�!�\�Y�����g��
1�!��G�e�corresp�S�onds�to�a����G�R�J�-rational��p�S�oin��rt�on��G�,�whic�h�is�mapp�S�ed�to��x�UR�2��G�(�R�J�)��under��n�����G����.����#�;Since����R��H�is�strictly�henselian�and�b��ry�Prop�S�osition�4.4.8,��it�suces�to�pro�v�e�that����G�Y�����g��*P�!���UR�Sp�S�ec���x�R��is��-��s�etale��and�the�closed�b�S�er�of��Y�����g��ع�is�nonempt��ry��V.���The�last�t�w�o�statemen�ts���ፑGw��rould�>eviden�tly�follo�w�if�w�e�pro�v�e�that��n�����G��
t�:�UR�G��!��G��is�����s�etale�and�surjectiv��re.������x���Etaleness����Gfollo��rws���from�Lemma�4.4.10.��uThe�surjectivit�y�of��n�����G���r�follo�ws�from�the�fact�that�the����Gimage�7�of��n�����G��Wq�m��rust�b�S�e�an�op�en,��%dense�subgroup�sc��rheme,�so�b��ry�Lemma�4.4.11�the����Gmorphism���n�����G��
@�m��rust�b�S�e�surjectiv�e.����G)��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������G�Lemma�]u4.4.13.��4�L��ffet��-�X����b�e�a�c�onne�cte�d�scheme�over�an�arbitr�ary�eld��K�ܞ�.�	�RSup-����Gp��ffose�,Fthat�ther�e�exists�at�le�ast�one��K�ܞ�-r�ational�p�oint�of��X���.�Q�Then�the�scheme��X���is����Gge��ffometric�al���ly�35c�onne�cte�d�(i.e.�fithe�scheme��X��+������K���
�j��\-�z�
۶�	�Ӎ�K����U�is�c�onne�cte�d).������GPr��ffo�of.���6ڕ�This��is�pro��rv�ed��in�[�8����,��x�4.5.13].�����o��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�354.4.9.����wD�According��1to�the�basic�prop�S�erties�of�the�N��r��s�eron�mo�del,����G�A�(�K�ܞ�)�����P���UR����԰���n:�=��������A�(�R�J�).�
�The�`Bimage�of��x�UR�2��A�(�K��)�`Bunder�this�isomorphism�is�a�p�S�oin��rt�of��A����2�0����(�R�J�).����GSince����A����2�0����(�R�J�)�is�connected�and�has�a��R��-rational�p�S�oin��rt,��ithe�b�ers�of��A����2�0��L��o��rv�er�����Sp�ec���J�(�R�J�)����Gare�_\geometrically�connected�b��ry�Lemma�4.4.13.�	��Therefore,���w�e�can�apply�Lemma����G4.4.12�7to�obtain�that�the�m��rultiplication�b�y��n��map�[�n�]���:��G�(�R�J�)��!��G�(�R��)�7is�surjectiv��re.����GThis��giv��res�us�a�p�S�oin�t��z��5�2�UR�A�(�K�ܞ�),�suc�h�that��nz��5�=�UR�x��and�w�e�are�done.���G�-��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����"ʫ���G�P4.4.4��C�BSurjectivit���y�ffof�the�Induced�Map�on�Generic�Fib�s3ers��@��G�Here��}w��re�discuss�the�last�bit�of�algebraic�geometry�that�will�b�S�e�needed�for�the�main����Gresult���in�this�c��rhapter.�
Supp�S�ose�that��A��and��B��)�are�comm�utativ�e,���smo�S�oth,�group����Gsc��rhemes���o�v�er�strictly�Henselian�lo�S�cal�ring��R�J�,��fwhic�h�are�the�N���s�eron�mo�S�dels�of�ab�elian����Gv��X�arieties�k�A��and��B��(b�S�oth�dened�o��rv�er�kthe�fraction�eld��K�G��of��R�J�)�and���/�:��A�!�B�Ȁ�is����Ga���morphism.��JW��Ve�discuss�a�condition�for���,�Tunder�whic��rh�the�induced�map�on�the����Ggeneric��b�S�ers�is�alw��ra�ys��surjectiv�e.����G�Prop�`osition��~4.4.14.�,8�Supp��ffose���that���趹:��A�!�B��:�is���smo�oth�and�surje�ctive.�U1Then�the����Ginduc��ffe�d�35morphism�������K����:�UR�A�(�K�ܞ�)��!��B���(�K��)�35�is�surje��ffctive.�����(sl��
荠�S������40����
荠���m����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�The�	4idea�is�v��rery�similar�to�the�one�that�w�e�used�in�the�pro�S�of�of�Lemma�4.4.12.�����GIt�Ύsuces�to�sho��rw�that�the�induced�map�������R��
H�:�UR�A�(�R�J�)��!�B�]m�(�R��)�Ύis�surjectiv��re.�/�Cho�S�ose�a����Gp�S�oin��rt�7��x��?�2�B�]m�(�R�J�)�and�consider�the�corresp�S�onding�morphism���Sp�ec������R���!��?B�]m�.��As�in�the����Gprevious��pro�S�of,�form�the�pullbac��rk�diagram��#獍������������������33�Y�����x������������������^���q� ��������������%���/�/�������&��32�fd����������DC�����������DC�DDfd������������%���Sp�S�ec����K����R��������������������g��x�����������������DC���������Pp�DC�fd���������G��(wu�A������������������ϣ���������������d�$]ܻ/�/�������܉�$��fd'�����������d�(wu�B�����������@~ꍑG�It��$will�suce�to�c��rhec�k��$that�the�morphism�� �ƹ:����Y�����x��	�t�!����Sp�S�ec��� W��R��n�has��$a�section.�tUT��Vo�do����Gthis,��w��re�
�only�need�to�c�hec�k�that�the�closed�b�S�er�of�� �y�has�a�section.��fBut�the�closed����Gb�S�er���is�smo�oth�and�nonempt��ry�(since����is�surjectiv�e);�¡also,���its�base�eld�is�separably����Gclosed,��Rsince��|�R��ƹis�strictly�henselian.�/'Hence,�the�closed�b�S�er�has�an��R�J�-rational�p�oin��rt����Gb��ry��[�3����,��x�2.2.13].���W���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����(	׍��G�4.5��>X�Pro��=ducing�Q�Visible�Elemen��u�ts�of�the�Shafarevic�h-����>X�T��aGate�z�Group��b#��G�Supp�S�ose��that��A��is�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er�a�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�.��W��Ve�describ�e�a�tec��rhnique����Gwhic��rh�A�pro�S�duces�visible�elemen�ts�of���X��9�(�A=K�ܞ�).�=�The�basic�idea�is�that�under�certain����Gconditions�}�it�will�b�S�e�p�ossible�to�inject�a�w��reak�Mordell-W��Veil�group�of�some�ab�elian����Gv��X�ariet��ry�jin�to���X���ع(�A=K�ܞ�),�Zso�w�e�will�pro�S�duce�elemen�t�of�nite�order�of���X���ع(�A=K�ܞ�).��%The����Gprecise��statemen��rt�is�the�follo�wing��[email protected]��G�Theorem��b4.5.1�(Visibilit��y�Theorem).�~d�L��ffet���A=K��U�and��B��=K��b��ffe�ab�elian�subvari-����Geties��of��J�uV=K��z�which�have�nite�interse��ffction.�����2�9����c�L�et���N�[��b�e�the�pr�o�duct�of�the�r�esidue����Gchar��ffacteristics���of�the�non-ar�chime�dian�plac�es�of�b�ad�r�e�duction�for��B���.�d�Supp�ose�that����G�p�35�is�a�prime�numb��ffer,�which�satises�the�fol���lowing�c�onditions:����G(i)����p�UR�-��N�������j�(�J�uV=B���)(�K�ܞ�)�����tor�<rs���(�j��j�B��(�K�ܞ�)�����tor�<rs���(�j��������Q����J�����,��c�����A;�������c�����B�d�;��^D�,�Ԣwher��ffe����c�����A;�����and��c�����B�d�;��A�ar�e�the�T���am-����Gagawa�gnumb��ffers�(or�the�or�ders�of�the�c�omp�onent�gr�oups�of�the�b�ers�of�the�N��3��L�er�on����Gmo��ffdels�35at������);����G(ii)�35�B���[�p�]�UR���A�;����G(iii)��If��e�����Ip��	Lj�is�the�r��ffamic�ation��index�of�the�prime�ide��ffal��Hp�,�Z�then��e�����Ip��	���<�
�p�Y����1���for�any����Gprime�35ide��ffal��Hp��lying�ab�ove��p�.����GUnder�35these�hyp��ffothesis,�ther�e�is�a�natur�al�map��2!����#�'�UR�:��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)�UR�!���X��L��(�A=K��)�;����G�such��Othat�the�or��ffder�of�the�kernel�of��'��is�at�most��p����2�r���b�,��}wher�e��r����is�the�Mor�del���l-Weil�r�ank�����Gof�35�A�.�fiIn�p��ffarticular,�the�map�is�inje�ctive�if�the�Mor�del���l-Weil�r�ank�of��A��is�0.��G�
rG�ff�����
���^��9����fb�GAs�Y�b��}'efor�e,�e`�J�O��Gis�not�ne�c�essarily�a�Jac�obian�of�a�curve;�m!the�notation�is�use�d�only�b�e�c�ause�we�wil���l���often���apply�the�the��}'or�em���for��J�� �Gb��}'eing�a�Jac�obian�of�a�mo�dular�curve.�����)����
荠�S������41����
荠���m����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�There��xare�t��rw�o��xma��jor�steps�for�the�pro�S�of�of�the�theorem.�
�PFirst,�!�w��re�con-�����Gstruct��;a�map�from�the�w��reak�Mordell-W��Veil�group��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)��;to�the�visible�part�of����G�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�),���using���the�h��ryp�S�othesis�that��B���[�p�]�UR���A�.�+:The���second�step�is�pro�ving�that�the����Gimage��Sof��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)��Sin��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�consists�of�lo�S�cally�trivial�cohomology�classes,��"!��Gwhic��rh��immediately�implies�that�this�image�is�con�tained�in�Vis����ߍ�(�i�)��	b���J���
R�(��X��
�n�(�A=K�ܞ�)).�����G�XF
C�
cmbxti10�XStep��)I:��P�Constructing�35a�map��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)�UR�!��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�.����#�;�The�H�argumen��rt�w�e�will�use�is�purely�algebraic�and�is�based�on�diagram�c�hasing.����GStart��with�the�short�exact�sequence��������80�UR�!��A��!��J�q��!��C�1��!��0�;����G�where��P�C���is�simply�the�quotien��rt��J�uV=��X�A�,���considered�o�v�er��K�ܞ�.�d�The�asso�S�ciated�long�exact�����Gsequence��on�Galois�cohomology�is������g960�UR�!��A�(�K�ܞ�)��!��J�r�(�K��)��!��C��(�K��)����2���X�����p������������!����,�H���V����1���Z�(�K�5�;���A�)��!������UL�:������H�(4.5.1)����J���#�;One�Z�can�construct�a�map�� ����:���B����!��C�7��b��ry�Z�comp�S�osing�the�inclusion�map��B�,���!���J����G�and�hthe�map��J��<�!����C�ܞ�.�� Since��B���[�p�]����A��and��A��is�the�k��rernel�of�the�map��J��<�!��C�ܞ�,�!Xthen��$鍑Gthe���map�� ��:����B�5��!��C��m�factors���through�the�m��rultiplication�b�y��p��map��B�����h��	9H��p��J������5������	KU!������B���.�vVThis����Ggiv��res��us�the�follo�wing�comm�utativ�e�diagram:��Y������������������Eܟ��B������������	�����������־���fd�����������	|��q��:p������������������/�/���������32�fd��������������`� �������������:`��� � �������������ź@���������!�4�@����������=��
@���������Y�][email protected]���������wu�
�[email protected]���������쑟�[email protected]���������a���@����������������B����������� ����������� ^���fd������������'�0������������v�#32�/�/�������v�#fd�fd���������v�'L��A������������<n�#32�/�/�������Eݟ#fd�fd�����������<n�'L��J������������ß#32�/�/��������r�#fd�fdQ���������ß'L��C�����������<P}��#�;�W��Ve�"jstill�ha��rv�e�"jnot�used�the�fact�that��B���(�K�ܞ�)[�p�]�is�empt��ry�.��!W�e�tak��re��K�ܞ�-rational�p�S�oin�ts����Gand��use�this�fact�to�get�the�follo��rwing�diagram,�with�exact�ro�ws�and�columns:������������������������33�K�����0��������������H�������������s����fd����������}n�33�K�����1����������������������������ʟ���fd���������+�[�33�K�����2�������������3
�����������2׷����fd��������T��)�ܹ0��������������%���/�/������]x�&31�fd(񎍍���������(���B���(�K�ܞ�)��������������������!q��:p���������������I�%���/�/�������X�&31�fd(񎍍����H��F�����������s�F���fd����������I�(���B���(�K�ܞ�)����������������J��7����������������!�i�F���'�'����������t�D�O�N���������OşB�N���������+��@Y�N���������E�>.�N�����������<cN����������ş9�(N������������7��N���������vE�5��N����������R�3VwN����������-ş1+<N����������	��/N�������������%���/�/�������&31�fd����������F�����������ʟF���fd������������(���B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)������������qu#�%���/�/������Yu$�&31�fd������������6
�;���'�������������3
�F����������2׷�F���fd��������tu#�)�ܹ0�������������T��S��0�����������ux�O���/�/������]x�P31�fd���������xx�R���J�r�(�K�ܞ�)�=��X�A�(�K��)�������������;�O���/�/�������J�P31�fd!��������H��p�����������s�p���fd����������;�R���C�ܞ�(�K��)������������x�O���/�/�������~�P31�fd%�����������x�R����s2�(�C�ܞ�(�K��))������������qu#�O���/�/������LZ�P31�fd%bɎ�������tu#�S�ܹ0�����������������|31�K�����3��������������MX��#�;�By��ldenition,��the�visible�part�of��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�is�the�k��rernel�of�the�map��H���V���2�1���(�K�5�;���A�)�UR�!����G�H���V���2�1���Z�(�K�5�;���J�r�),��whic��rh��sb�y�the�long�exact�sequence�on�Galois�cohomology�is�exactly�the���܍�Gimage��gof�the�map��H���V���2�0���Z�(�K�5�;���C�ܞ�)����2���������p������������8e!�����V�H���V���2�1���(�K�;���A�),��Wwhic��rh��gis���s2�(�C�ܞ�(�K��)).��No�w,��Ww�e��gapply�the����Gsnak��re��lemma�to�get�an�exact�sequence�������V��K�����0��V�!�UR�K�����1���!��K�����2���!��K�����3����:�����*����
荠�S������42����
荠���m��GW��Ve�mcan�analyze�further�the�sequence,��1b��ry�observing�that��K�����1��-�is�nite.�This�is�b�S�ecause�����Gthe�Q�k��rernel�of�� �&ƹ:����B�S��!��C�.`�is�Q��A��&�\��B���,���whic�h�Q�is�nite.�	n-Therefore,����K�����1��
x������B���(�K�ܞ�)�����tors�����.����GBut����B���(�K�ܞ�)�do�S�es�not�con��rtain��p�-torsion�elemen�ts.�f�Since��K�����2��	Q������B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)���is�a��p�-����Ggroup,��4then���K�����1���!�V�K�����2����m��rust�necessarily�b�S�e�the�zero�map.�:0Therefore,��K�����2����injects�in��rto����G�K�����3������P��������԰�����=������S�J�r�(�K�ܞ�)�=�(�A�(�K��)�׹+��B���(�K�ܞ�))�����P���������԰�����=������O(�J��(�K��)�=B���(�K��))�=��X�A�(�K��).��rSince�,�torsion�of��J��(�K�ܞ�)�=B���(�K��)����Gis�Qqcon��rtained�in�(�J�uV=B���)(�K�ܞ�)�����tors�����,�pthen��J�r�(�K��)�=B���(�K��)�has�no��p�-torsion.��Therefore,�pif��A�(�K��)����Gis�;�a�torsion�group,�P3then�(�J�r�(�K�ܞ�)�=B���(�K��))�=��X�A�(�K��)�;�has�no��p�-torsion�and�so��K�����2����(whic��rh�is����Ga���p�-group)�is�trivial,�i.e.�8��'�UR�:��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)�UR�!��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��m��rust�b�S�e�injectiv�e.����#�;More�2generally��V,�,Tsupp�S�ose�that�the�Mordell-W�eil�rank�of��A�(�K�ܞ�)�is��r�S��.��~The�order�of����Gthe�O�k��rernel�of��'��is�b�S�ounded�from�ab�o��rv�e�O�b�y�the�order�of�(�J�r�(�K�ܞ�)�=�(�A�(�K��)��_+��B���(�K�ܞ�)))[�p�].����GThe�`*last�group�is�precisely�the��p�-torsion�part�of�the�cok��rernel�of�the�map���UR�:��A�(�K�ܞ�)��!����G�J�r�(�K�ܞ�)�=B���(�K��),��so�the�b�S�ound�on�that�k��rernel�follo�ws�from�����G�Lemma�i4.5.2.�g��Supp��ffose��that��G��and��H����ar�e�nitely�gener�ate�d�ab�elian�gr�oups,�6�G��is����Gof��r��ffank��r�S��,���and��H��d�has�no��p�-torsion�elements.�K�Supp�ose�that��f���:��	�G��!��H��d�is��a�gr�oup����Ghomomorphism.�fiThen���35c��ffoker�����(�f�G��)[�p�]�UR���p����2�r���b�.�������GPr��ffo�of.���6ڕ�W��Ve�<�ma��ry�consider�that��H�*�is�a�torsion-free,�_�since�no�torsion�of�order�prime�to��p����G�con��rtributes�^�to�the�order�of���cok�er���"l(�f�G��)[�p�].�
MTh�us,�z�all�the�torsion�of��G��is�mapp�S�ed�to�0�via����G�f��S�and��Tso�w��re�migh�t�as�w�ell�assume�that��G��is�torsion-free.�oF��Vor�free�groups,���w�e�can�see����Gthis�b��ry�considering�the�Smith�normal�form�of�the�in�teger�matrix,�Elcorresp�S�onding�ot��f�G��.����GIndeed,��the���new�matrix�w��re�obtain�consists�of�at�most��r�*�diagonal�en�tries�[�d�����1����;���d�����2���;��:�:�:��ʜ�],����Gsuc��rh���that��d�����1��	a�j�V]�d�����2�����:���:�:�����,��lwhic�h�immediately�implies�that�the�order�of�the��p�-torsion�of����Gthe��cok��rernel�is�at�most��p����2�r���b�.�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff������G�XStep��)II:�35�The�L��ffo�c�al�35A��2nalysis.����#�;�In�`the�previous�step�w��re�constructed�a�map��'�C�:��B���(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)�C�!��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)�`and����Gpro��rv�ed��pthat�the�k��rernel�has�order�at�most��p����2�r���b�,��where��r�"��is�the�Mordell-W��Veil�rank�of����G�A��:�(the�last�statemen��rt�follo�ws�from�Lemma�4.5.2).���W��Ve�should�also�pro�v�e�that�the����Gimage��5of��'��consists�of�lo�S�cally�trivial�cohomology�classes�in�order�to�conclude�that����Gthis��Wimage�lies�in���X��yŹ(�A=K�ܞ�).�Consider�the�comp�S�osition���Ë�:�UR�B���(�K��)��!��H���V���2�1���Z�(�K�5�;���A�)��Wof�the����Gquotien��rt���map��B���(�K�ܞ�)�UR�!��B��(�K�ܞ�)�=pB��(�K��)���and�the�map��'�.��Let��x�UR�2��B��(�K�ܞ�)���b�S�e�a��K��-rational����Gp�S�oin��rt.�8�W��Ve��w�an�t�to�sho�w�that�for�eac�h�place����ǹ,�the�restriction�res�������3��(��n9�(�x�))�UR=�0.����#�;W��Ve��pro��rv�e�this�b�y�considering�the�dieren�t�p�S�ossibilities�for�the�place����ǹ.����G�XCase��)1:�fi�����is�35ar��ffchime�dian.����#�;�There�y�is�nothing�to�pro��rv�e�y�in�the�case�when���;��is�complex�arc��rhimedian,���b�S�ecause����Gthe��lo�S�cal�cohomology�group�is�trivial.����#�;If��p��^7�is�real�arc��rhimedian,��Hw�e��pha�v�e��H���V���2�1���Z�(��Gal���[�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶������H�)�=K�������3��;���A�(�K��������))�UR=��H���V���2�1���(��Gal���[�(�C�=�R�)�;���A�(�R�)).����GBut���Gal(�C�=�R�)�����P����g����԰���O�=�����F%�Z�=�2�Z��and�since�the�order�of�the�group�kills�an��ry�elemen�t�of�the����Grst���cohomology��V,��then�res�������3��(��n9�(�x�))�is�2-torsion.�
vsBut����(�x�)�is�also��p�-torsion�and��p����G�is�k�o�S�dd.�	�JTherefore,��res�������3��(��n9�(�x�))�is�b�oth��p�-torsion�and�2-torsion,��whic��rh�means�that����Gres�������3��(��n9�(�x�))�UR=�0.�����G�XCase��)2:�fi�p�UR�6�=��char�S��(���ǹ)�.�����+�5��
荠�S������43����
荠���m��#�;Let��d�m��b�S�e�the�order�of�the�comp�onen��rt�group������B�d�;��^D�(�k�������3��)�of�the�closed�b�er��B�����k������
-��at�������G�of��lthe�Neron�mo�S�del��B��ٹ(i.e.��the�T��Vamaga��rw�a��ln�um�b�er��l�c�����B�d�;��^D�).��Then��mx��is�in�the�iden��rtit�y����Gcomp�S�onen��rt����B����2��]m�0��y���k�������	���.�p�Hence,��Dw�e�can�apply�Prop�S�osition�4.4.9�for�the�p�oin��rt��mx��and�the����Glo�S�cal��eld��K����2��ܞ�ur��RA�����
꛹(whose�v��X�aluation�ring�is�strictly�Henselian)�to�get�that�there�exists����G�z�G�2��"�B���(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��),���suc��rh�U	that��pz��=��"�mx�.�	xNo��rw,���lo�S�ok�at�res�������3��(��n9�(�mx�))��2��H���V���2�1���Z�(�K��������;���A�(�K��������)).����GBy�g1the�discussion�of�the�Kummer�pairing�in�Chapter�1.1,��Sthis�cohomology�class�is����Grepresen��rted��b�y�the�1-co�S�cycle��i��{��f��Q�:���URGal����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶������H�=K�������3��)�UR�!��A�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K����
۶�������)�;���Ë�7!���n9�(�z���)������z�:����G�Since����z����2���B���(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��),�:�it�follo��rws�that��f�?��is�unramied�co�S�cycle,�i.e.�_�res�������3��(��n9�(�mx�))�is�an�����Gunramied��cohomology�class.�8�Th��rus,�res�������3��(��n9�(�mx�))�UR�2��H���V���2�1���Z�(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��=K��������;���A�(�K����2��ܞ�ur��RA������)).����#�;Next,��bw��re���use�the�follo�wing�relationship�b�S�et�w�een�the�unramied�cohomology�and����Gthe��the�cohomology�of�the�comp�S�onen��rt�group.�����G�Lemma���4.5.3.�b��L��ffet�vD�A��b�e�an�ab�elian�variety�over�a�lo�c�al�eld��K�ܞ�,��which�is�the�fr�action����Geld��of�a�discr��ffete�valuation�ring��R��O�with�r�esidue�eld��k�g�.���L�et��A��b�e�the�N��3��L�er�on�mo�del����Gof�'F�A��and��(���:�z����	���k������)��b��ffe�the�c�omp�onent�gr�oup�of�the�close�d�b�er��A�����k��
J��of��A�,�dKi.e.�B��(���:�z����	���k������)�I:=����G�A�����k��#��(���:�z����	���k������)�=�A����2��0��y���k����(���:�z����	���k����)�.�fiThen��i��}���H���V����1���Z�(�K��ܞ����3#�f�cmti8�ur��	�K�=K�5�;���A�(�K��ܞ����ur���))�UR=��H���V����1���(�K��ܞ����ur��	�K�=K�5�;����(���:�z����	���k������))�;����G�wher��ffe�35�K��ܞ���2�ur��
ʀ�denotes�the�maximal�unr�amie�d�extension�of��K�ܞ�.����#�;�The��lemma�is�pro��rv�ed��in�[�17����,�Prop.3.8].�8�It�implies�that����o�K�H���V����1���Z�(�K������ܞ�ur���ڍ����	e��=K�������3��;���A�(�K������ܞ�ur���ڍ�����))�UR=��H���V����1���(�K������ܞ�ur���ڍ����	e��=K�������3��;���������A;��
��(���:�z�P�	���k���������P�))�:����#�;�The�?�cohomology�of�the�comp�S�onen��rt�group�is�easier�to�w�ork�with,��5b�S�ecause�the�����Gcomp�S�onen��rt�H�group�is�a�nite�Gal(�K����2��ܞ�ur��RA����
Z��=K�������3��)-mo�dule�and�Gal(�K����2��ܞ�ur��RA����
Z��=K�������3��)�is�a�cyclic,�`�so����Gw��re��can�apply�the�follo�wing����G�Lemma��4.5.4.��Supp��ffose�35that��G��is�a�cyclic�gr�oup�and��A��is�a�nite��G�-mo�dule.�fiL�et��i�����h�(�A�)�UR:=��j�H���V����0���Z�(�G;���A�)�j�=�j�H���V����1���(�G;�A�)�j����G�b��ffe�35the�Herbr�and�quotient�of�the��G�-mo�dule��A�.�fiThen��h�(�A�)�UR=�1�.�������GPr��ffo�of.���6ڕ�Let����g�.̹b�S�e�a�generator�for��G��and��A����2�G��
�+�denote�the�xed�submo�dule�of��A�.�*�Let��I�����G������G�denote��~the�k��rernel�of�the�homomorphism��Z�[�G�]�UR�!��G�,��Swhic�h��~maps��g�Ë�!�UR�1.�!�There�is�an����Gexact��sequence��D捒�:�0�UR�!��A�����G��
t��!��A����C����8��(�g�I{��1)���_����������
��������������������������������!����%q��A��!��A=I�����G����A��!��0�:��ѓ��G�Since��f�A��is�a�nite�mo�S�dule,��it�follo��rws�that��j�A=I�����G����A�j�V��=��j�A����2�G���j�.�;Next,��let��f�N��y�:��A��!��A��b�S�e������Gthe���homomorphism,��obtained�b��ry�m�ultiplication�b�y��N��6�=����UR���X���'؍�g��h�2�G������h�.��This�homomorphism������Ginduces���a�homomorphism��N��@���2���	V:�:�UR�A=I�����G����A��!��A����2�G���.��Moreo��rv�er,��w�e���ha�v�e�an�exact�sequence�����dC!0�UR�!��H���V����1���Z�(�G;���A�)��!��A=I�����G����A����2����8�N���"��-:�����p����������	�`!����5��A�����G��
t��!��H���V����0���(�G;���A�)��!��0�;��i��G�whic��rh��immediately�implies�that��j�H���V���2�1���Z�(�G;���A�)�j�UR�=��j�H���V���2�0���(�G;���A�)�j�,��so��h�(�A�)�UR=�1.���8>}��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������,����
荠�S������44����
荠���m��#�;The��jlemma�implies�that�the�order�of��H���V���2�1���Z�(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��=K�������3��;���������A;��
��(���:�z����	���k��������������))�is�equal�to�the�order�����Gof�qthe�comp�S�onen��rt�group������A;��
��(���:�z����	���k��������������).��But��p�:�-��c�����A;��(�=��j������A;���(���:�z����	���k��������������)�j�q�b��ry�assumption.��Since����Gthe�forder�of�res�������3��(��n9�(�mx�))�divides��p�,�jit�follo��rws�that�res��������(��n9�(�mx�))�is�trivial.��There-����Gfore,���m�res�������3��(��n9�(�x�))��=�0.�
�But����p��(�x�)�=�0���and��p���-��m��=��c�����B�d�;��^D�,��then���it�follo��rws�that����Gres�������3��(��n9�(�x�))�UR=�0,��i.e.�8����(�x�)�is�a�lo�S�cally�trivial�elemen��rt.�����G�XCase��)3:�fi�char�S��(���ǹ)�UR=��p�.����#�;�Consider��the�maximal�unramied�extension��K����2��ܞ�ur��RA�����
zD�of��K�������3��.��Let��A�,�@�J�L1�and��C���b�S�e�the����GNeron��mo�S�dels�of��A;���J��and��C��F�resp�ectiv��rely��V.����#�;The��rst�observ��X�ation�is�that�the�induced�sequence�on�the�N��r��s�eron�mo�S�dels��aX�����0�UR�!�A�!�J�����h��%�� ��J��������������!����VKC��!��0�����Gis�Ņexact,���whic��rh�is�a�consequence�of�the�follo�wing�lemma,���pro�v�ed�in�[�3����,����x�7.5,�Thm�Ņ4.]�����G�Lemma�.�4.5.5.��w�Supp��ffose���that��0�ӈ�!��A����2�0�����!��A��!��A����2�00��
���!��0����is�an�exact�se�quenc�e�of����Gab��ffelian�
varieties�over�a�eld��K�ܞ�,�C�which�is�the�fr�action�eld�of�a�discr�ete�valuation����Gring�H��R�J�.���Assume�that�the�r��ffamic�ation�H�index��e�}�=����ǹ(�p�)�H��satises��e�}<�p������1�,�M�wher��ffe�H��p��is����Gthe���r��ffesidue�char�acteristic�and������is�the�normalize�d�valuation�on��R�J�.�TrL�et��A����2�0���9�,��A��and����G�A����2�00��	���b��ffe��Qthe�N��3��L�er�on�mo�dels�of��A����2�0���9�,���A��and��A����2�00��	���r�esp�e�ctively.��If��A��has�ab�elian�r�e�duction,����Gthen�35the�induc��ffe�d�35se�quenc�e�����욹0�UR�!�A�����0��#��!�A�!�A�����00��q��!��0����G�is�35exact�and�c��ffonsists�of�ab�elian��R�J�-schemes.�����#�;�Hence,�@L� �Ë�:�UR�J���!�C���is��a�
at�morphism,�whic��rh�is�surjectiv�e�and�whic�h�has�a�smo�S�oth����Gk��rernel�l��A�.���This�is�enough�to�claim�that�� ���is�smo�S�oth�[�3����,��'�x�2.4,�Prop.8].�Next,�using����GLemma�[4.4.14,�	�it�follo��rws�that��J�7v�(�R�J�)�\�!�C��5�(�R��)�[is�surjectiv��re,�	�and�therefore��J�7v�(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��)�\�!����GC��5�(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��)��is�surjectiv��re.�M�Therefore,��[res�������3��(��n9�(�x�))�is�a�unramied�cohomology�class.�Using����GLemma��4.5.3,�w��re�ha�v�e����~/Z�H���V����1���Z�(�K������ܞ�ur���ڍ���
Z��=K�������3��;���A�)�����P���UR����԰���n:�=��������H���V����1���(�K������ܞ�ur���ڍ����=K�������3��;���������A;��
��(���:�z����	���k��������������))����#�;But��z�A��has�go�S�o�d��zreduction�at����ǹ,�!�since��p����-��N�@�,�so��z�����A;��
��(���:�z����	���k��������������)�is�trivial.�#WTherefore����G�H���V���2�1���Z�(�K����2��ܞ�ur��RA�����	e��=K�������3��;���������A;��
��(���:�z����	���k��������������))�|�is�trivial,���so�res��������(��n9�(�x�))�UR=�0,���whic��rh�|�completes�the�pro�S�of�of�the����Gvisibilit��ry��theorem.���E66��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������-���
荠�S���
荠���m��G�Chapter�	T{5��2��GComputational�	T{Examples�and����GAlgorithms��6���G�In�W-this�c��rhapter�w�e�describ�S�e�sp�ecic�examples,��Nin�whic��rh�one�pro�duces�visible�ele-�����Gmen��rts�ikwith�the�visibilit�y�theorem,��and�therefore�pro�vides�evidence�for�the�Birc�h����Gand�H�Swinnerton-Dy��rer�conjecture,��b�y�constructing�elemen�ts�of�certain�nite�order����Gof�4the�Shafarevic��rh-T��Vate�group.�BTw�o�computational�examples�are�pro�vided�-�one�of����Gthe��examples�(a�20-dimensional�sub��rv��X�ariet�y��of��J�����0����(389))�in�whic��rh�w�e�directly�pro�S�duce����Gvisible��[elemen��rts�using�the�visibilit�y�theorem.�!�The�other�example�is�more�in�teresting����G(18-dimensional�\$sub��rv��X�ariet�y�of��J�����0����(551)),�x�b�S�ecause�no�visibilit�y�o�S�ccur�at�lev�el��N��6�=�UR551,����Gbut��
if�w��re�raise�the�lev�el�of�the�mo�S�dular�Jacobian�(b�y�mapping��J�����0����(551)�UR�!��J�����0���(2�����551)����Gb��ry��a�com�bination�of�the�degeneracy�maps),��w�e�can�apply�the�visibilit�y�theorem�for����Gthe�	Yimage�of�the�v��X�ariet��ry��V.���W�e�	Ythen�use�a�result�of�K.�Rib�S�et�to�conclude�that�the����GShafarevic��rh-T��Vate�m�group�of�the�original�v��X�ariet�y�m�ust�ha�v�e�elemen�ts�of�certain�nite����Gorder.����#�;Before��Rpresen��rting�the�computational�example,���w�e�describ�S�e�(or�at�least�giv�e�precise����Greference�}Qto)�almost�all�of�the�computational�algorithms�that�are�used�for�these����Gv��rerications.�V�F��Vor��instance,��)w�e�explain�ho�w�to�compute�the�mo�S�dular�degree,��)ho�w�to����Gpro�S�duce���upp�er�and�lo��rw�er�b�S�ounds�on�the�torsion�subgroup,��ho�w�to�in�tersect�ab�S�elian����Gv��X�arieties,��ho��rw���to�compute�the��L�-ratios�and�the�orders�of�the�comp�S�onen�t�groups�(the����GT��Vamaga��rw�a��n�um�b�S�ers).����#�;The�
Dexamples�are�not�original,�R+so�I�	�w��rould�lik�e�to�thank�Asst.���Prof.�William����GStein�_�for�allo��rwing�me�to�include�his�examples�in�m�y�thesis�and�to�use�some�of�the����Gmo�S�dular��ab�elian�algorithms�whic��rh�he�came�up�with�in�[�25����].�����ᖖ45����.�?��
荠�S������46����
荠���m���G�5.1��>X�Algorithms�Q�for�Computing�with�Mo��=dular�Ab�elian����>X�V��aGarieties���#���G�P5.1.1��C�BComputing�ffthe�Mo�s3dular�Degree��@��G�Let����A�����f��
#ѹb�S�e�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�attac�hed�to�a�newform��f�G��.�~�Then��A�����f��
#ѹis�a�quotien�t�of�����G�J�����0����(�N�@�),��Aso���there�is�a�surjectiv��re�morphism��J�����0���(�N�@�)�UR�!��A�����f��w�.��Consider���the�dual�morphism����G�A����2��_��y���f���	��!�UR�J�����0����(�N�@�)�Э(Jacobians�are�self-dual),���whic��rh�is�an�injection.�07By�taking�the�comp�S�o-����Gsition�YIof�these�t��rw�o�YImaps,�v\w�e�obtain�a�nite�degree�morphism�������f���q�:�UR�A����2��_��y���f���	��!��A�����f��w�.�kIt�turns����Gout���that�the�degree�of�������f�����is�a�p�S�erfect�square,��Ywhic��rh�is�a�consequence�of�the�follo�wing�����G�Prop�`osition�m�5.1.1.����Supp��ffose�$��A��is�an�ab�elian�variety�over�a�eld��k����and�let���UR�:��A��!����G�A����2�_��
x��b��ffe�Na�p�olarization.��Supp�ose�that�char�(�k�g�)��is�either�zer�o,�T�or�prime�to�the�de�gr�e�e�of����G��.�fiTher��ffe�35exists�a�nite�ab�elian�gr�oup��H��V�,�such�that��������JVker����
a�(��)�����P���UR����԰���n:�=��������H��������H�F:;����G�wher��ffe�35the�ab�ove�identic�ation�is�a�gr�oup�isomorphism.����#�;�Before��pro��rving�the�prop�S�osition,�w�e�need�a�lemma:����G�Lemma��Z5.1.2.��E�Supp��ffose�`Kthat��G��is�a�nite�ab�elian�gr�oup�for�which�ther�e�exists�a�����Gnonde��ffgener�ate,���alternating,�biline��ffar��p�airing���UR:��G�����G�UR�!��Q�=�Z�.�H�Ther��ffe�exists�a�gr�oup����G�H��V�,�35such�that��G�����P���UR����԰���n:�=��������H��������H��.�����2�1��������G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Using�� the�structure�theorem�for�ab�S�elian�groups,�%none�can�reduce�the�statemen��rt����Gto�the�case�when��G��is�a��p�-group�for�some�prime�n��rum�b�S�er��p�.��Let��x��b�e�an�elemen��rt�of����G�G�,4�of�maximal�order��p����2�h��	�%�for�some�in��rteger��h�.���First,�<�w�e�sho�w�that�there�exists��y�3�2����G�,����Gsuc��rh��that�(�x;���y�n9�)���=�1�=p����2�h��e�.���Indeed,��if��no�suc�h��y�w+�exists,��then�(�p����2�h��1��Bm�x;���y�n9�)���=�0��for�eac�h����G�y��h�2�,/�G�,��sso�h��is�degenerate,�whic��rh�is�a�con�tradiction.���Notice�that�ev�ery�suc�h��y���still����Ghas��maximal�order��p����2�h��e�,���since�0�UR�6�=��p����2�h��1��Bm�(�x;���y�n9�)�=�(�x;�p����2�h��1��Bm�y�n9�).��Moreo��rv�er,���w�e��sho�w�that����G�h�x�i���\�h�y�n9�i�UR�=��?�.�8�Indeed,��if��mx�UR�=��ny�X�for��some�0�UR�<�m;���n�<�p����2�h��e�,��then�����~,0�UR=��m�(�x;���x�)�=�(�x;�mx�)�=��n�(�x;�y�n9�)��6�=�0�;����G�whic��rh��is�a�con�tradiction.�8�After�c�ho�S�osing�suc�h��y�X�one�can�dene��������H�B��=�UR�f�z��5�:�(�x;���z���)�=�(�y�n9;�z���)�=�0�g�:����G�W��Ve���claim�that��G�at�'��(�h�x�i����+��h�y�n9�i�)����H��V�.�NBIndeed,��for���an��ry��g�ϭ�2�at�G�,�the�alternating�pairing�����G��giv��res�us��������g�������(�p�����h��e�(�g�n9;���y��))�x����(�p�����h��e�(�g�;���x�))�y�Ë�2�UR�H�F:;��G�33�ff��ğ�����
���^��1����fb�GIt��is�inter��}'esting�that�this�lemma,�2
c�ombine�d�with�the�existenc�e�of�the�Cassel's�p�airing�for�el���liptic���curves,�V�implies�GOthat�if�the�Shafar��}'evich-T��;�ate�gr�oup�of�an�el���liptic�curve�is�nite,�V�then�it�has�a�p�erfe�ct���squar��}'e.�����/����
荠�S������47����
荠���m��GIt��is�easy�to�c��rhec�k��that�this�pro�S�duces�a�group�isomorphism������MI�G�UR�'��(�h�x�i����+��h�y�n9�i�)����H�F::����G�But���restricts�to�an�alternating,�nondegenerate,�bilinear�pairing�to��H��������H��V�.�����#�;This�oymeans�that�w��re�can�use�induction�on�the�size�of�the�group��G��to�pro�v�e�the����Gstatemen��rt.�xIf�np�G��is�trivial,��Hthere�is�noting�to�pro�v�e.�xIf�not,��Hw�e�construct��H�[ƹand�apply����Gthe���h��ryp�S�othesis�for��H��V�,���i.e.�[email protected]�exists�a�subgroup��H�����2�0��}W�of��H��,���suc��rh�that��H�B��'�UR�H�����2�0�����W+�H�����2�0�����.����GThis��means�that�����ָ�G�UR�'��(�h�x�i�����H���V����0�����)����(�h�y�n9�i���H���V����0���)�;����G�b�S�ecause���h�x�i���\�h�y�n9�i�UR�=��?�.���-�I��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������G�Pr��ffo�of�35of�Pr��ffop�osition�355.1.1.����wD�The��Zidea�is�to�pro��rv�e��Zthe�existence�of�a�nondegenerate,����Galternating,���bilinear��rpairing���.?�:�����Ker���q(��)�#������Ker����(��)����!��Q�=�Z��r�and�then�to�use�Lemma����G5.1.2.����#�;Let���m��b�S�e�an�in��rteger�that�kills���Ker�����(��).�8�Dene��������e�������ʬ�:���URKer���Bm(��)��������Ker�����(��)�UR�!�������m�����G�in��the�follo��rwing�w�a�y:�sqsupp�S�ose�that��P�;���P���Ɵ��2�0���)�2����*�Ker���tE(��).���Cho�ose�a�p�oin��rt��Q��*�2��A�(���:�z����	���k������),�Csuc�h�����Gthat���mQ�UR�=��P���Ɵ��2�0��Z��and�let������d�e�������uZ�(�P�S�;���P���Ɵ���0��o��)�UR:=����d��z�r��K��e�����q����m���5�(�P�;���Q�)�;����G�where��Ï��d��z�r��K��e����
5�����m����:�Ƅ�A�[�m�]�>V���A����2�_��*��[�m�]��!�������m���S�is�Ïthe�W��Veil�pairing.�ÖThe�pairing�is�w��rell�dened,����Gsince����m�(�Q�)�UR=���(�mQ�)�=���(�P���Ɵ��2�0��o��)�=�0.�&�Moreo��rv�er,��lit�is�nondegenerate,�alternating�and����Gbilinear,�b�S�ecause��of�the�prop�erties�of�the�W��Veil�pairing.���Th��rus,�w�e��can�apply�Lemma����G5.1.2��to�get���Ker�����(��)�����P���UR����԰���n:�=��������H��������H��V�.���
���cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;As��a�consequence�of�Prop�S�osition�5.1.1,�:�w��re�conclude�that�the�degree�of�the�isogen�y����G������f���q�:�UR�A����2��_��y���f���	��!��A�����f��w�.�8�Using��the�ab�S�o��rv�e��prop�osition,�w��re�can�dene�the��mo��ffdular�35de�gr�e�e�.�����G�Denition��5.1.3.��The���mo��ffdular�35de�gr�e�e��X�of��A�����f��	aǹis�dened�as���k�����L!mo�S�ddeg����q[(�A�����f��w�)�UR=�����Z�q���UT��Z�z�%�^�D�����deg�����(������f���)����5	��;������G�where��������f���q�:�UR�A����2��_��y���f���	��!��A�����f��	aǹis�the�dual�isogen��ry��V.����#�;There�x�is�an�explicit�algorithm�for�computing�the�mo�S�dular�degree�of�a�mo�dular�����Gab�S�elian�� v��X�ariet��ry��V,���attac�hed�to�a�newform.�/IIt�is�based�on�Ab�S�el-Jacobi's�theorem�and����Gon��the�in��rtegration�pairing�����2�2��������w��h�;����i�UR�:��S�����2����(�����0���(�N�@�))������H�����0����(�X�����0���(�N��)�;����Z�)�UR�!��C�:��G�33�ff��ğ�����
����^��2�����F��*�rom���no���w�on,��Yb�y��S����2��|s�(����0���(�N��))���w�e�will�mean�the�complex�v�ector�space�of�mo�Gdular�forms�of�w�eigh�t���2�UUand�lev���el��N��.�����0����
荠�S������48����
荠���m��GIndeed,��the�pairing�induces�a�natural�map��hI��r
�����f���q�:�UR�H�����0����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)��!����Hom�����(�S�����2���(�����0���(�N�@�))[�I�����f��w�]�;����C�)�;����G�where���I�����f��	aǹis�the�ideal�of�the�Hec��rk�e��algebra,�whic��rh�annihilates�the�form��f�G��.�����#�;Using��
Ab�S�el-Jacobi's�theorem,��one�can�deduce�the�follo��rwing�comm�utativ�e�diagram����Gwith��exact�ro��rws��hI�����������������#(����0�����������F�����/�/������,���32�fd������������I����~�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�]������������v,��֒��������u�P�֒��fd�������P~���/�/�������[d��32�fd�������������P~��~�Hom�������~(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)[�I�����f��w�]������������\ğ��/�/������<
���32�fd 	�������-��֒����������h�֒��fd���������_ğ�)n�A����2��_��y���f���*��(�C�)�������������䞟��/�/�������ۑ��32�fd 	
������ow��֒��������oDx�֒�fd���������䞟�ݹ0�������������#(��+�o0�����������O��'֒�/�/������,��(	Ąfd#�����������R��*֒�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)���������������'֒�/�/����������(	Ąfd,!�������v,��H֒��������u�P�H֒�fd��������������*֒�Hom����`w�*֒(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)������������T
��'֒�/�/������3tG�(	Ąfd �o�������-��H֒����������h�H֒�fd���������W
��*֒�J�����0����(�N�@�)(�C�)�������������䞟'֒�/�/�������䞟(	Ąfd������ow��H֒��������oDx�H֒�fd���������䞟+�o�0�������������#(��U��0�����������D��R�/�/������,��R7F�fd���������G��T֒������f��w�(�H�����0����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�))�������������P~�R�/�/�������P~�R7F�fd������������P~�T֒�Hom������T֒(�S�����2����(�����0���(�N�@�))[�I�����f��w�]�;����C�)������������\m��R�/�/������<
��R7F�fd b֎��������_m��T֒�A�����f��w�(�C�)�������������䞟R�/�/��������ȟR7F�fd b֎��������䞟U��0�����������qߍ�#�;Finally��V,�%�since���the�map���Hom���`k(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�)[�I�����f��w�]���!����Hom���|,(�S�����2����(�����0���(�N��))[�I�����f��w�]�;����C�)���is�an����Gisomorphism,�S�then�>�the�mo�S�dular�k��rernel�������f��	���is�isomorphic�to�the�cok�ernel�of�the�map����G�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�]�UR�!�������f���(�H�����0����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�))��b��ry�the�snak�e�lemma.����#�;W��Ve��summarize�the�algorithm�in�the�follo��rwing�prop�S�osition��k���G�Prop�`osition��5.1.4.�E=�The���kernel�of�the�iso��ffgeny�������f��	�:�:�<�A����2��_��y���f���
f��!��A�����f��
&��is���isomorphic�to�the����Gc��ffokernel�35of�the�map�����,��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�]�UR�!�������f���(�H�����0����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�))�:����G�Sinc��ffe��the�He�cke�action�on�the�sp�ac�e�of�mo�dular�symb�ols�and�the�inte�gr�ation�p�air-����Ging��Dar��ffe�b�oth�c�omputable,���then�the�isomorphism�al���lows�us�to�c�ompute�ker�(������f��w�)��using����Gmo��ffdular�35symb�ols.��k���#�;�Finally��V,���w��re���explain�wh�y�the�mo�S�dular�degree�is�imp�ortan��rt�in�relation�to�visibilit�y��V.����GW��Ve��will�pro��rv�e��the�follo��rwing�result����G�Prop�`osition�d5.1.5.�;��L��ffet����m�����A��
�O�=���k�mo�dde�g���)O��(�A�����f��w�)�.���The�visible�sub�gr�oup�of��A����2��_��y���f���
G�,���!�k�J�����0����(�N�@�)����G�is�35c��ffontaine�d�in���X��*��(�A�����f��w�=�Q�)[�m�����A����]�.������GPr��ffo�of.���6ڕ�The��misogen��ry�������f���q�:�UR�A����2��_��y���f���	��!��A�����f��	Q��is��ma�comp�S�osition�of�the�maps��A����2��_��y���f����!�UR�J�����0����(�N�@�)��!��A�����f��w�.����GLet�m��e�����A��K��b�S�e�the�exp�onen��rt�of�k�er(��s2�).�	�3By�prop�S�osition�5.1.1,�΋�e�����A����j��9�m�����A����,�so�m�������f��
��factors����Gthrough�\Um��rultiplication�b�y��e�����A����,�x�whic�h�means�that�there�is�a�complemen�tary�isogen�y����G�����2��S��0��y���f����6�:�"�A�����f���!��A����2��_��y���f���*��,��
suc��rh���that������2��S��0��y���f���	@|���]������f���6�=�[�e�����A����].�
(0Let�(������f��w�)�������
��:���X����(�A����2��_��y���f���*��=�Q�)��!���X���(�A�����f��w�=�Q�)����Gdenote��xthe�induced�map�on�the�Shafarevic��rh-T��Vate�groups.�6�Since�Vis�����J��q�0��*��(�N��"�)����(��X��
�n�(�A����2��_��y���f���*��))�is����Gcon��rtained��in���k�er����H((������f��w�)���������),�then�this�visible�group�is�also�con�tained�in��hI����gm�k��rer���w|((�������S��0���ڍ�f���!�����������f��w�)���������)�UR=���X��L��(�A������_���ڍ�f���*��=�Q�)[�e�����A����]�����X���(�A������_���ڍ�f���*��=�Q�)[�m�����A����]�:�������]I��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������1����
荠�S������49����
荠���m��G�R��ffemark�vR�5.1.6�.�$`�Note���that�b��ry�considering�the�complemen�tary�isogen�y�of�������f��C�one�obtains�����Gautomatically��that�the�visible�subgroup�of���X��?�(�A����2��_��y���f���*��=�Q�)�is�killed�b��ry�m�ultiplication�b�y����Gthe�V�order�of�the�mo�S�dular�k��rernel�(i.e.��the�k�ernel�of�������f��w�).��Ho�w�ev�er,�tFusing�the�non�trivial����GProp�S�osition��5.1.1,��w��re�obtain�a�m�uc�h�stronger�statemen�t�(the�visible���X��¹is�killed�b�y����Gthe���square�of�the�order�of�that�k��rernel).�&�In�fact,���prop�S�osition�5.1.5�will�b�e�used�in�the����Gcomputations��in�the�next�section.��"\a���G�P5.1.2��C�BIn���tersecting�ffComplex�T���fori��@��G�In�K�this�subsection,�k�w��re�discuss�ho�w�to�compute�in�tersections�of�ab�S�elian�v��X�arieties.��The����Gwhole��idea�is�prett��ry�straigh�tforw�ard�if�one�thinks�of�the�v��X�arieties�as�complex�tori.����#�;Supp�S�ose�N�that��V��\�is�a�nite�dimension�v��rector�space�o�v�er��C��and��b�S�e�a�lattice�in��V��p�.����GOne�l2can�con��rtruct�the�complex�tori��T�Ӗ�=�1��V�N8=�.��~Supp�S�ose�that��V�����A��J�and��V�����B���p�are�v�ector����Gsubspaces�~�of��V��p�.��The�lattices������A��
36�=�UR�V�����A���N�\��j��and������B��
���=��V�����B��	��\��j��giv��re�us�complex�subtori����G�A����=��V�����A�����=������A����and�&��B�V��=��V�����B��
!��\�Ӟ������B��u�of��T��ƹ.��ZThe�follo��rwing�prop�S�osition�giv�es�us�an�explicit����Gw��ra�y���to�compute�the�in��rtersection�group�of��A��and��B���,�Δusing�only�the�lattices�,������A�����G�and�������B��N>�.������G�Prop�`osition��5.1.7.��Supp��ffose�35that��A����\��B��;�is�35nite.�fiThen��О�����A����\��B�����P����X����԰���	@�=����������q��������ō�-	������[��z�,�
�΍�����A��	���+������B�������H�S��q�����Q����p�tors��b�R�:��P�����G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Since�`�A��&�\��B��f�is�nite,�&Othen��V�����A��	�
�\��V�����B��
�ʹ=����?�.��	There�is�a�map��A����B�A��!����T��&�giv��ren����Gb��ry��K(�v�����A���+�������A����)�+�(�v�����B��	a�+������B��N>�)�UR�7!��(�v�����A������v�����B��N>�)�+�.� The��Kk��rernel�of�consists�precisely�of�pairs����G(�x;���x�),��where��7�x�UR�2��A�x��\��B���.�0�Indeed,�(�v�����A��	V��+������A����)�+�(�v�����B��	���+������B��N>�)��7is�in�the�k��rernel�if�and�only����Gif��I�v�����A���]���y�v�����B��
���2�UR�,��)whic��rh�means�precisely�that�the�p�S�oin�ts��x�UR�=��v�����A���]�+��y�����A��
`-�and��I�y�Ë�=��v�����B��	#��+������B�����G�view��red��as�p�S�oin�ts�in��T��ƹ.�8�Therefore,�w�e�ha�v�e�an�exact�sequence��Y����NE0�UR�!��A����\��B��X�!�UR�A����B����C����>�(�x;y�I{�)�7!�x��y���_����������
�8��������������������������������������������������������������������.!����8�v�T���ۍ�G�One�can�construct�the�follo��rwing�comm�utativ�e�diagram�with�exact�ro�ws�and�columns:���������������������2���0������������0�����������P����;�fd���������:r���A����\��B������������JH<����������J
���fffd��������D™�'�u�0�����������rU�$��/�/������M���$Lʄfd$|����������uU�'L˹�����A��	������������B��������������?7�$��/�/�������E��$Lʄfd0�����������D����������T�D��fd����������?7�'L��V�����A��	�������V�����B�������������6�`�$��/�/�������*�$Lʄfd/�6�������0�D����������P��D��fd���������9�`�'�1�A������B�������������J��$��/�/������]��$Lʄfd#�w������JH<�D���������J
�D��fffd���������J��'�u�0�������������D™�O
0���������������K30�/�/������M���Kfb�fd6�������������OLɹ�������������.�K30�/�/��������m�Kfb�fdT�����������jLɻ��������T�jLɄfd����������.�OL��V�����������CٟK30�/�/�������?3�Kfb�fdLƦ�������0�jLɻ��������P��jLɄfd��������FٟOL��T������������J��K30�/�/������Q���Kfb�fd/�����JH<�jLɻ�������J
�jLɄfd���������J��O
�0��������������h���vL��=������(���������A��	���+��������B���N>�)�������������������w�vL��V�N8=������(�����V�����A��	���+����V�����B���N>�)�����������������.E�vL��T�N8=�(�A����+��B���)��������������荑#�;Using��the�snak��re�lemma,�w�e�obtain�an�exact�sequence����u޽0�UR�!��A����\��B��X�!�UR��=�(�����A��	���+������B��N>�)��!��V�N8=�(�V�����A��	���+��V�����B��N>�)�����2=��
荠�S������50����
荠���m��GFinally��V,��oobserv��re��!that��V�N8=�(�V�����A��	f˹+����V�����B��N>�)�is�a��C�-v�ector�space�and�therefore�has�no�torsion.��fo��GTherefore,���the�Fk��rernel�of��=�(�����A��
u�+��3�����B��N>�)����!��V�N8=�(�V�����A���+��3�V�����B��N>�)�Fcon��rtains�����q��������ō�!����N��[��z�,�
�΍�����A��	���+��������B�������=vg��q�����FK���p�tors��UU�.��;č�GCon��rv�ersely��V,���it��xis�easy�to�c��rhec�k��xthat�an��ry�elemen�t�whic�h�is�not�torsion�is�mapp�S�ed�to�a���Í�Gnonzero��elemen��rt�of��V�N8=�(�V�����A��	���+����V�����B��N>�).�8�Therefore��A��\��B�����P����X����԰���	@�=����������q��������ō�-	������[��z�,�
�΍�����A��	���+������B�������H�S��q�����Q����p�tors��`YA�.���;㶄�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����#�;The��tprop�S�osition�can�b�e�applied�to�compute�in��rtersections�of�mo�dular�ab�elian�����Gv��X�arieties.��oIndeed,���consider�e-the�mo�S�dular�Jacobian��J�����0����(�N�@�)�as�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er����G�C�ܞ�.�	o^The�R'tangen��rt�space�at�the�iden�tit�y�is�precisely��V�U��=�Hom(�S�����2����(�����0���(�N�@�))�;����C�).�	o^By����Gconsidering���UR=��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����Z�)�and�the�in��rtegration�pairing,�=�w�e�get��J�����0����(�N�@�)(�C�)�UR=��V�N8=�.����GLet�Ս�f���and��g�Cƹb�S�e�newforms,���whic��rh�are�not�Galois�conjugates�and�let��I�����f��	L��and��I�����g�����b�e�the����Gannihilators���of��f���and��g��-�in�the�Hec��rk�e���algebra��T�.��Let��A�i��=��A����2��_��y���f���
���and����B���=��B����2����_��y���f���Ŷ�.�Then����G�V�����A��Q]�=�sy�V��p�[�I�����f��w�]�),and��V�����B�����=��V��p�[�I�����g�����]�are�the�tangen��rt�spaces�at�the�iden�tit�y�to��A��and��B���.����GAccording��to�the�ab�S�o��rv�e��prop�osition,�w��re�ha�v�e�������{��A����\��B�����P����X����԰���	@�=����������q��������ō�-	������[��z�,�
�΍�����A��	���+������B�������H�S��q����S���;�� X.��G�where�������A��
36�=�UR[�I�����f��w�]�and������B��
���=�[�I�����g�����].��"�ƍ��G�P5.1.3��C�BPro�s3ducing�+na�Multiple�of�the�Order�of�the�T���forsion�Sub-����C�Bgroup��@��G�W��Ve�Xrst�consider�some�metho�S�ds�for�pro��rviding�upp�er�b�ounds�on�the�size�of�the�torsion����Gsubgroup���of�a�mo�S�dular�ab�elian�v��X�ariet��ry��A�r�:=��A�����f��w�,���attac�hed���to�a�newform��f�G��,���whic�h�is����Ga��normalized�eigenform,�i.e.�8��f��Q�=�UR�q��+�������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1������a�����n���P�q��n9����n����.����#�;The���basic�idea�for�b�S�ounding�the�size�of�the�torsion�group��A�����tor�<rs���(�(�Q�)�is�to�inject����Gthe�=�torsion�subgroup�in��rto�the�group�of��F�����p���]�-rational�p�S�oin�ts�of�the�reduction�of��A��for����Gv��X�arious��primes��p�.�8�W��Ve�start�with�the�follo��rwing���Z��G�Prop�`osition�Y�5.1.8.�;��Supp��ffose�G�that��A��is�a�mo�dular�ab�elian�variety,�v�which�is�a�quotient����Gof�35�J�����0����(�N�@�)��and��p�UR�-��2�N�t�is�35a�prime.�fiThen�ther��ffe�exists�an�inje�ctive�map��q�������A�(�Q�)�����tors��4��!�UR�A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�)�:����#�;�W��Ve�o�recognize�this�statemen��rt�as�a�generalization�of�Lemma�1.2.2.�	�^The�ab�S�o�v�e�����Gprop�S�osition��is�a�direct�consequence�of�a�more�general�statemen��rt,��whic�h��is�pro��rv�ed��in����Gthe��App�S�endix�of�[�12����]����#�;Using�2�the�ab�S�o��rv�e�2�prop�osition,��one�can�get�an�upp�er�b�ound�on�the�torsion,��b��ry����Gtaking��the�greatest�common�divisor�of�all��j�A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�)�j�,���where��p��runs�o��rv�er��all�primes,����Gfor��whic��rh��p�UR�-��N�@�.�8�In��short,��q������j�A�(�Q�)�����tors�����j�UR����gcd����F�fj�A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�)�j�?��:��8�p�UR�-��2�N�@��g�:�����3"͠�
荠�S������51����
荠���m��#�;T��Vo�fcomplete�the�computation�of�the�upp�S�er�b�ound,���w��re�need�an�algorithm�for�����Gcomputing�jthe�order�of�the�group��A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�).��%The�observ��X�ation�is�that�the��F�����p���-rational����Gp�S�oin��rts�6�can�b�e�reco��rv�ered�6�as�the�xed�p�oin��rts�of�the�F��Vrob�enius�automorphism,�I�acting����Gon�0�A�����F���p���	�d�(����K�z�UV�	���F����UV����p���	��).��xIndeed,�,Rthe�automorphism���F��Vrob�����_����p��$>x�:�������K�z�UV�	���F���������p��z+�!�������K�z�UV�	���F���������p��ꟹthat�sends��x����7!��x����2�p��捹induces�����Gan��automorphism���F��Vrob�����ן���p��#���:�UR�A�����F���p���	�d�(����K�z�UV�	���F�����UV����p����)��!��A�����F���p����(����K�z�UV�	���F�����UV����p����).�8�Th��rus,��֯���w��j�A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�)�j�UR�=��j���k��rer�����(1��������F��Vrob����Sן���p��4�)�j�:����G�A��useful��to�S�ol�for�computing�degrees,�F�suc��rh�as�the�ab�o��rv�e��one�are�c��rharacteristic�p�olyno-�����Gmials.�0TSince��w��re�cannot�dene�c�haracteristic�p�S�olynomials�of�an�endomorphism�of�an����Gab�S�elian�(�v��X�ariet��ry��V,�8fw�e�should�someho�w�relate�this�automorphism�to�an�automorphism����Gof��v��rector�spaces,�or�mo�S�dules�of�nite�rank.����#�;Indeed,��4it��Wis�helpful�to�in��rtro�S�duce�the��`�-adic�T��Vate�mo�dule.��Indeed,��4it�is�dened�as����Gthe��in��rv�erse�limit�����Wg�T�����`�����A�UR�:=�����lim������� ������c�������⡎�(썑��n�����A�[�`�����n���P�]�;��V���G�tak��ren��with�resp�S�ect�to�the�natural�map��:ߍ��$��A�[�`�����n�+1���̹]����2��� ���l���p�����UR�����U]!�������A�[�`�����n���P�]�:��֯��G�Let���'�9�:��A��!��A��b�S�e�an��ry�elemen�t�of�End(�A�).�WThere�is�an�induced�homomorphism����G�'�����l��w�:�UR�T�����`�����A��!��T�����`���A�.���M��G�Lemma��5.1.9.��F���or�35any��'�UR�2����End�����(�A�)�,�������qtde��ffg���Ȥ��(�'�)�UR=��j���det���Lֹ(�'�����l��!ȹ)�j�:������G�Pr��ffo�of.���6ڕ�This��is�pro��rv�ed��in�[�16����,��x�12.9].�������cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�����č�#�;Th��rus,�+1all��Sw�e�need�to�do�is�compute�the�c�haracteristic�p�S�olynomial�of�the�F��Vrob�enius����Ghomomorphism,���acting�}Fon�the��`�-adic�T��Vate�mo�S�dule��T�����`�����A�.�	�This�is�ac��rhiev�ed�}Fin�the����Gfollo��rwing��prop�S�osition,�pro�v�ed�in�[�22����,��x�7].���M��G�Prop�`osition�
�5.1.10.����L��ffet����F�����p���V�b�e�the�char�acteristic�p�olynomial�of�the�homomorphism������GF���r��ffob����(�-����p��0�ܹ:�UR�T�����`�����A��!��T�����`���A�.�fiThen��KR����E�F�����p���]�(�x�)�UR=����
;����Y����D����I{�:�K��i?�f��ʫ�,���T�!���h��\)8��S��Q�������(w,��G����-�.�x�����2��j�������n9�(�a�����p���)�x��+��p���G���������:��#��#�;�Finally��V,���let�q��G�����p���]�(�x�)�b�S�e�the�c��rharacteristic�p�olynomial�of�m��rultiplication�b�y��a�����p��8�on�the����Gv��rector�
�space��K�����f��w�=�Q�.���Then�(e.g.�b��ry�the�Eic�hler-Shim�ura�relation�b�S�et�w�een��T�����p��	��and����GF��Vrob�����p���]�,��acting�on�the��`�-adic�T�ate�mo�S�dule),��~����M��F�����p���]�(�x�)�UR=��x�����[�K��i?�f��ʫ�:�Q�]�����G�����p�����[��
���
��x����+������ō�A��p���۟[��z��R�
�΍x�������`��
����5V��:���퍑G�But�<rthe�p�S�olynomial��G�����p���]�(�x�)�is�easily�computable�from�the�co�ecien��rts�of��f�G��.���Therefore,����G�F�����p���]�(�x�)��is�computable.�8�Finally��V,�w��re�obtain����aA#�j�A�����F���p���	�d�(�F�����p���]�)�j�UR�=��j���det���Q�(1��������F��Vrob����Sן���p��4�)�j�UR�=��j�F�����p���(1)�j��=��j�G�����p���(1���+��p�)�j�:����G�This��cgiv��res�the�explicit�w�a�y�of�computing�the�n�um�b�S�er�of��F�����p���]�-rational�p�oin��rts�on�the����Greduced��v��X�ariet��ry��A�����F���p���	�d�.�����42���
荠�S������52����
荠���m���G�P5.1.4��C�BPro�s3ducing�99a�Divisor�of�the�Order�of�the�T���forsion�Sub-����C�Bgroup��@��G�Pro�S�ducing��a�lo��rw�er��b�ound�for�the�order�of�the�torsion�subgroup�is�more�subtle�than�����Gthe��upp�S�er�b�ound.�8�W��Ve�start�b��ry�the�follo�wing��1ፑG�Denition�T,5.1.11.��ȹThe�ă�r��ffational�%cuspidal�sub�gr�oup����C��!�is�ădened�as�the�subgroup�of����G�J�����0����(�N�@�)(�Q�)�����tors�����,���generated���b��ry�the�divisors�of�the�form�(����)��D���(�1�),�where������N�is�a�rational����Gcusp�,for������0����(�N�@�)�(recall�that�a�divisor�is�called��Q�-rational�if�it�is�xed�b��ry�the�action����Gof��the�absolute�Galois�group�Gal(���K�z�	UW�	���Q���	UW�=�Q�)).�����2�3������#�;�In��rtro�S�ducing�I�the�group��C�&.�is�v�ery�useful�for�our�purp�S�oses,��Jsince�the�size�of�its����Gimage��in��A�(�Q�)�����tors���>�pro�S�duces�a�divisor�of�the�order�of�the�torsion�subgroup.����#�;W��Ve�3compute�a�list�of�cusp�represen��rtativ�es�3for�all�the�cusps�for������0����(�N�@�),��using�the����Gfollo��rwing��P��G�Prop�`osition�ٙ5.1.12.����L��ffet�G�������1��
S�=������ō����p�����1������[��z�
���
�΍�X�q�����1��������and�������2���=������ō����p�����2������[��z�
���
�΍�X�q�����2��������b��ffe�two�cusps,���written�in�lowest������Gterms.�fiThen�35������1��V��UR������2���9�mo��ffdulo�the�action�of�������0����(�N�@�)��if�and�only�if���1��0���q�����2��V��UR�uq�����1���9�(���mo��ffd����N�@�)�;���33�and����up�����2�����p�����1���9�(���mo��ffd���[email protected]�(�q�����1����;���N�@�))�;���33�for�35some���6�P�u;�33�(�u;�N��)�UR=�1������G�Pr��ffo�of.���6ڕ�Supp�S�ose�[email protected]�there�is�a�matrix��M����2�H������0����(�N�@�),���suc��rh�that��M������1��	�=�H������2����.��If��M���=�������G��q������d���"-0�a���7��b�������f�N�@�c���7�d�����B9ş�q����H��,�nvthen������ō����p�����2������[��z�
���
�΍�X�q�����2�������ӹ=������ō�	�#�ap�����1��j��+����bq�����1������[��z�8�a�
�΍�N�@�cp�����1��j��+����dq�����1������>��.�!Since�Oj(�ap�����1��-��+�m��bq�����1����;���N�@�cp�����1���+��dq�����1����)�UR=�1,�nvthen�Ojit�follo��rws����Gthat��@�q�����2��V�=�UR��(�N�@�cp�����1��@��+����dq�����1����)�and��p�����2���=�UR��(�ap�����1��@��+����bq�����1����).�2Hence,��Uw��re�can�c�ho�S�ose��u�UR�=���d��@�and�����Gw��re��get�precisely�the�desired�condition.����#�;Con��rv�ersely��V,��Hsupp�S�ose��pthat�������1��\t�and�������2���satisfy�the�condition.��xFirst,��Hc��rho�S�ose��s����2��0��RA��1�����;���r����2���0��RA��1����;���s�����2���;�r�����2��V�2����G�Z�,���suc��rh��that��p�����1����s����2��0��RA��1�������q�����1���r����2��S��0��RA��1����l�=��h�p�����2���s�����2�����q�����2���r�����2���l�=��h1.�~�Since���q�����2�����uq�����1��
��(mo�S�d���N�@�),���then����G(�q�����1����;���N�@�)�=�(�q�����2���;���N�@�)�=��N�����0���.��rW��Ve�a.ha��rv�e��up�����2������p�����1��	!2�(mo�S�d��N�����0����)�whic�h�implies�that��us����2��0��RA��1�������s�����2�����G�(mo�S�d�j��N�����0����).�	��Th��rus,�ʐw�e�can�nd��x����2��Z�,�ʐsuc��rh�that��uxq�����1��
�����us����2��0��RA��1���p���
�s�����2��
*��(mo�S�d��N�@�).�	��If����Gw��re�K�set��s�����1��
n��=���s����2��0��RA��1���[$��� �xq�����1��
ݹand��r�����1���=���r����2��S��0��RA��1���[$��� �xp�����1����,��&then��p�����1���s�����1��[$��� �q�����1���r�����1��
n��=��1,��&�us�����1�����s�����2��
ݹ(mo�S�d�����G�N�@�)�3�and��uq�����1��
E������q�����2��	��(mo�S�d��N��).�	�Finally��V,��,lo�S�ok�at�the�matrices��M�����1��
E��=�������q������d�����p�����1����%�a�r�����1��������3�q�����1����%���s�����1������4ɛ��q����@Rѹand������G�M�����2��tع=����ԟ�q������d���
+�p�����2����#���r�����2��������8��s�����2����#���q�����2������2�k��q����9¹.��6Since�"��M�����1����M������@���1��諍2���R4�2��Թ�����0���(�N�@�)�if�and�only�if��s�����1���q�����2��t������s�����2���q�����1���ɹ(mo�S�d��N�@�),�0�then����Gw��re�aoobtain�easily�that�there�is�a�matrix��M�`c�2�������0����(�N�@�),�!suc�h�that��M�@������1��߃�=�������2����,�!i.e.��6the�����Gcusps��������1�����and�������2���are������0����(�N�@�)-equiv��X�alen��rt.����'u��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;Next,�#w��re��compute�a�sublist�of�all��Q�-rational�cusps.���This�can�b�S�e�done,�pro��rvided����Gw��re��/kno�w�the�action�of�Gal(���K�z�	UW�	���Q���	UW�=�Q�)�on�the�cusps�for������0����(�N�@�).�CtComputing�this�action�is����Gp�S�ossible���and�is�done�b��ry�G.�Stev�ens�[�26����,�-�Thm.��21.3.1].�The���essen�tial�result�is�con�tained����Gin��the�follo��rwing�prop�S�osition:��G�
'�ff�����
����^��3�����The���denition�w���e�presen�t�is�not�the�standard�denition�of�the�rational�cuspidal�subgroup.���The�$�standard�denition�of�the�rational�cuspidal�subgroup�is�the�subgroup�of�the�group�of�cuspidal���divisors,�UUwhic���h�is�xed�b�y���Gal����W(����C�fe�����;���

msbm10�Q�����=�Q�).�����5Bk��
荠�S������53����
荠���m��G�Prop�`osition��85.1.13.����(i)���The�cusps�of��X�����0����(�N�@�)��ar��ffe�r�ational�over��Q�(������N��D�)��(i.e.�3�they�ar�e�����Gxe��ffd�35by�the�elements�of�Gal�(���K�z�	UW�	���Q���	UW�=�Q�(������N��D�))�).����G(ii)���The�absolute�Galois�gr��ffoup�Gal�(���K�z�	UW�	���Q���	UW�=�Q�)��acts�on�the�cusps�for�������0����(�N�@�)��thr�ough�the����Gsub��ffgr�oup���Gal�(�Q�(������N��D�)�=�Q�)�+o=�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���x�.��HThe�element��d��2��(�Z�=��X�N�@��Z�)����2����M�acts�on�the�cusp����Gr��ffepr�esentative��r�x=y���by��x=y��F�7!�
�x=�(�d����2�0���9�y�n9�)�,��wher��ffe��d����2�0��k��is�the�multiplic�ative�inverse�of��d��in����G�(�Z�=��X�N�@��Z�)����2���x�,�35i.e.�fi�dd����2�0��#���UR�1��(mo��ffd��N��).��SS��#�;�W��Ve�w�can�compute�the�subgroup��C�*ƹof�the�space�of�mo�S�dular�sym��rb�ols�of�w��reigh�t�w�2�for����G�����0����(�N�@�),�_�generated�<�b��ry�the�rational�cusps.���In�other�w�ords,�_��C���is�the�space�of�all�sym�b�S�ols����G�f���;����1g�,�?�where�.���By�is�a��Q�-rational�cusp.��It�follo��rws�from�Ab�S�el-Jacobi's�theorems�that����Gthe��image�of��C��F�in��A�����f��w�(�Q�)�����tors���>�is�isomorphic�to�the�image�of��C��ݹin�the�quotien��rt�group���6��d���P���:=�UR�����f��w�(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����P�����1���(�Q�);��Z�))�=������f��w�(�H�����1���(�X�����0���(�N�@�);��Z�))�;����G�where�������f��	aǹis�the�in��rtegration�pairing,�dened�b�y��⪍�8������f���q�:�UR�H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;����P�����1���(�Q�);��Z�)�UR�!��H�����1����(�X�����0���(�N�@�);��Z�)�;���f���;���O�g�UR7!�����q���US�f��Q�7!���甆�Z���	���
�_�
��Y��f��G���q����F)��;���΍�G�where���
��Ĺis�a�path,�represen��rting�the�homology�class��f���;�����O�g�.��"����G�P5.1.5��C�BComputation�ffof�the�T���famaga���w�a�ffNum�b�s3ers��@��G�Let�g/�A��b�S�e�an�ab�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er�a�n�um�b�S�er�eld��K�C͹and�let��A��b�e�its�N��r��s�eron�mo�del.�����GThe�u�closed�b�S�er�of�the�N��r��s�eron�mo�del�at�a�place���7V�is�a�comm��rutativ�e�u�group�sc��rheme,����Gwhic��rh�&4w�e�denote�b�y��A�����k�������͹(�k�������
Yƹdenotes�the�residue�eld�at����ǹ).��This�sc�heme�is�not����Gnecessarily�uconnected,�\hso�w��re�will�denote�b�y��A����2��0��y���k���������the�connected�comp�S�onen�t�of�the����Giden��rtit�y��V.����G�Denition�FB5.1.14.�X�The��7comp�S�onen��rt�group�of��A��at���X��is�a�nite�
at�group�sc�heme����G�����A;��
��,��suc��rh�that�the�follo�wing�sequence�is�exact���6����0�UR�!�A������0���ڍ�k����������!�A�����k�������!�������A;��C<�!��0����GThe���order��c�����A;����of�the�group�of��k�������3��-rational�p�S�oin��rts�on�the�comp�onen��rt�group������A;����is�����Gcalled��the��T���amagawa�35numb��ffer�5S�of��A��at����ǹ.�8�In�other�w��rords,��c�����A;��C<�=�UR�j������A;��
��(�k�������3��)�j�.����G�R��ffemark�ݵ�5.1.15�.�5=�If�R��A��has�nonsingular�reduction�at�����then��c�����A;���=��1,�l�b�S�ecause��A�����k������
ㄹin����Gthis��case�is�connected.��i���#�;There�Ʃis�no�general�algorithm�to�compute�the�T��Vamaga��rw�a�Ʃn�um�b�S�ers.���There�ex-����Gists,�C�ho��rw�ev�er,�an�1�algorithm�for�the�case�of�elliptic�curv��res�and�it�is�kno�wn�as�T��Vate's����Galgorithm.��tW��Ve���do�not�presen��rt�the�tec�hnical�details�of�the�algorithm,���since�suc�h�a����Gpresen��rtation�_�w�ould�b�S�e�m�uc�h�longer�than�the�whole�c�hapter.���A�_�detailed�exp�S�osition����Gof��this�algorithm�is�giv��ren�in�[�27����]�or�[�24��,�IV.�x�9].����#�;F��Vor�Fthe�case�of�mo�S�dular�ab�elian�v��X�arieties�o��rv�er�F�Q�,�lmthere�is�a�kno��rwn�algorithm����Gto��pcompute��j������A;p��
���(����K�z�UV�	���F�����UV����p����)�j��in�the�case�when��p����k��N�!T�[�6����].�9F��Vurthermore,��it��pis�p�S�ossible�to����Gcompute��>�j������A;p��
���(�F�����p���]�)�j��up�to�p�S�o��rw�er��>of�2�[�13����].�"gComputing��c�����A;p��(�in�general�is�still�an�op�en����Gproblem.�����6W���
荠�S������54����
荠���m���G�P5.1.6��C�BComputing�ffthe��QL�P-Ratio��@��G�T��Vo�]motiv��X�ate�the�denition�and�the�in��rterpretation�of�the��L�-Ratio,��w�e�start�with�the�����Gsimpler��case�of�an�elliptic�curv��res.����#�;First,��supp�S�ose��}that��f��Q�2�UR�S�����2����(�����0���(�N�@�))��}is�a�newform.� |The��L�-function��L�(�f���;���s�),�asso�S�ci-����Gated��to��f�2��is�dened�via�the�Mellin�transform�� \5�����L�(�f���;���s�)�UR:=�(2��n9�)�����s��n<�(�s�)���甆�Z�����M���i�1�������0�����(��iz���)�����s���f�G��(�z��)������ō�33�dz��33�[��z�7�
�΍�
�z������:���ƍ�G�It��is�not�hard�to�c��rhec�k��(b�y�using�the�F��Vourier�expansion��f��Q�=��UR�����P����*������1��	U_�����n�=1���"���a�����n���P�q��n9���2�n����)�that��"�I����)�L�(�f���;���s�)�UR=����������1��������X���
�ҍ����n�=0��������ō����a�����n����۟[��z��Q�
�΍�0��n������s������$�_�:��"矍�#�;�Next,��w��re�lo�S�ok�at�the�sp�ecial�v��X�alue�of�the��L�-function�at��s�UR�=�1.����wZ��L�(�f���;����1)�UR=���2��n9i���甆�Z�����M���i�1�������0������f�G��(�z���)�dz��5�=��hf�0�;��1g�;�f�G��i�;������G�where�����v0��h�;����i�UR�:��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;��P�����1���(�Q�);��Z�)������S�����2����(�����0���(�N�@�))�UR�!��C��8���G�is��the�in��rtegration�pairing,�dened�b�y��h�[�
���]�;���f�G��i�UR�=�2��n9i���甆�Z������
�_�
��R�f�G��(�z���)�dz��.��c���#�;Since��the�mo�S�dular�sym��rb�ols��f�0�;����1g��is�in�the�rational�homology�of�the�curv��re����G�X�����0����(�N�@�),��then����hf�0�;����1g�;�f�G��i��is�a�rational�m��rultiple�of�a�p�S�erio�d�of��f�G��.�N�T��Vo�compute�that����Grational���m��rultiple,��9w�e�use�the�Hec�k�e�op�S�erator��T�����p��	�F�on�mo�dular�sym��rb�ols.���Indeed,��9w�e����Gha��rv�e��!jx��=�.�T�����p���]�f�0�;����1g�UR�=��f�0�;��1g����+���ԍ��h�p��1��},������X���'؍��M�k�6��=0����f�k�g=p;��1g�UR�=�(1���+��p�)�f�0�;��1g��+���ԍ��h�p��1��},������X���'؍��M�k�6��=0����f�0�;�k�g=p�g�:��#�Q��G�But��whenev��rer��p��d�-��N�@�,�,the��sym�b�S�ol��f�0�;���k�g=p�g��is�in�tegral,�,i.e.����f�0�;���k�g=p�g��d2��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;��Z�).��ܐ��GTh��rus,���ԍ��p��1��},����]���X���'؍���k�6��=0���>��hf�k�g=p;����0�g�;�f�G��i��l�is�a�p�S�erio�d��lof�the�mo�S�dular�form��f��.��+Another�observ��X�ation�is���_��Gthat��it�is�a�real�p�S�erio�d.�8�Indeed,��F���cݢ���`�z�?C�
p���hf�0�;���k�g=p�g�;�f�G��i����K7�=�UR�hf�0�;���k�g=p�g�;�f�G��i��=��hf�0�;��(�p������k�g�)�=p�g�;���f�G��i�;��$jx��G�so��Rafter�summing�all�the�con��rtribution,���w�e��Rsee�that�the�p�S�erio�d����R��z��*����ԍ����p��1��},���
����X���'؍����k�6��=0����X�f�k�g=p;����1g�;�f��G���z��+���h~K�is��[��Greal.�8�No��rw,��let�
(�f�G��)�b�S�e�t�wice�the�minimal�real�part�of�a�p�S�erio�d��of�the�lattice.�8�Then�����������ō���j�L�(�f���;����1)����j�[��z�"�(�
�΍��G
(�f�G��)������,=������ō�Ɠ�n�(�p;���f�G��)�����[��z�B�
�
�΍2(1���+��p����a�����p���]�)�����H���;�����7hE��
荠�S������55����
荠���m��Gwhere���n�(�p;���f�G��)�is�an�in��rteger.������#�;F��Vor�F]the�general�case,�g9supp�S�ose�that��A�UR�=��A�����f���|�is�F]a�mo�dular�ab�elian�v��X�ariet��ry��V,�g9attac�hed����Gto�ۥa�newform��f�G��.�3�W��Ve�w��ran�t�ۥto�b�S�e�able�to�measure�the��volume��U�of��A�(�R�),�ަwhic��rh�will�b�e����Gcalled���the�35r��ffe�al�volume��X�and��denoted�b��ry�
�����A����.����#�;T��Vo�H�dene�this�notion�precisely�,�`Rlet��A��b�S�e�the�N��r��s�eron�mo�del�for��A��and��A�����R��
��b�e�the����Ggeneric��pb�S�er�of��A�.��9Consider�the�space�of�N��r��s�eron�dieren�tials��H���V���2�0���Z�(�A�;����
����2��1��뀍�A�=�Z�����)�and�the����Greal��v��rector�space�����Q��V���p������
�ƹ=�UR�H���V����0���Z�(�A�����R��G�;����
������1���ڍ�A��`��-O+msbm6�R�����4�)�=��S�����2����(�����0���(�N�@�)�;��R�)[�I�����f��w�]�:����G�Indeed,�v�the�Zlast�iden��rtication�is�a�consequence�of�the�denition�of��A�����f���"�is�the�quotien�t����G�J�����0����(�N�@�)�=I�����f��w�J�����0���(�N��).�����G�Denition��#5.1.16.�Ym�Supp�S�ose�/that��and�����2�0���h�are�lattices�in�a�real�v��rector�space��V��p�.��bThe����G�lattic��ffe���index����[�UR:�����2�0���9�]���is�dened�to�b�S�e�the�determinan��rt�of�the�linear�transformation�of����G�V��p�,��whic��rh�tak�es��to�����2�0���9�.����#�;Let�y����2����}�b�S�e�the�lattice�dened�b��ry�the�N���s�eron�dieren�tials��H���V���2�0���Z�(�A�;����
����2��1��뀍�A�=�Z�����)�in�the�cotan-������Ggen��rt��%space��V���p���2���\t�.�WThe�dual�lattice��c=���Hom���ܟ(����2�����;����Z�)��%is�a�lattice�in�the�tangen�t�space����G�V�r'�=���շHom���[email protected](�V���p���2���\t�;����R�).��`W��Ve��}can�declare�that�the�real�torus��V�N8=��has�measure�1.�Since����G�A�(�R�)����2�0��d�=���V�N8=H�����1����(�A�(�R�J�)�;����Z�),�$�then��w��re�can�dene�the�v�olume�of��A�(�R�)����2�0����using�the�lattice����Gindex��[�UR:��H�����1����(�A�(�R�)�;����Z�)].�8�W��Ve�write�this�as�������;��������e�(�A�(�R�)�����0����)�UR=�[�:��H�����1���(�A�(�R�);����Z�)]�:����G�Since��~our�goal�is�to�measure�the�v��rolume�of��A�(�R�),�Z4w�e�can�use�the�index��c�����1���o�=�����G�j�A�(�R�)�=��X�A�(�R�)����2�0����j�꨹to�dene���������������e�(�A�(�R�))�UR=��c�����1�����������������(�A�(�R�)�����0����)�:����G�Finally��V,��w��re�declare�this�induced�measure���������e�(�A�(�R�))�to�b�S�e�the�real�v�olume�
�����A����.��;��#�;W��Ve��will�b�S�e�concerned�with�the�computation�of�the��L�-ratio,�
whic��rh�is������ō�3��L�(�A;����1)��3ş[��z�%��
�΍�
�
�����A������+{~�.�z�It��
��Gturns�t�out�that�it�is�easier�to�compute�the�ratio��c�����A���������L�(�A;����1)�=�
�����A����,��awhere��c�����A��
R��is�a�sp�S�ecial����Gconstan��rt,��whic�h�is�kno�wn�as�the�Manin�constan�t�and�is�dened�as�follo�ws�����G�Denition���5.1.17�(Manin�Constan��t).�{}�Consider��|�H���V���2�0���Z�(�A�;����
����2��1��b���A���K��)�as�a�submo�S�dule�of����G�S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�],��using����(�#�H���V����0���Z�(�A�;����
������1���ڍ�A���K��)�UR�!��H���V����0���(�J�7v�;����
������1���ڍ�J������)[�I�����f��w�]��!��H���V����0���(�J�����0����(�N�@�)�;����
������1���ڍ�J��q�0��*��(�N��"�)�����)[�I�����f��w�]��!��S�����2���(�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�]�;����G�where���J�=&�is�the�N��r��s�eron�mo�S�del�for�the�Jacobian��J�����0����(�N�@�).���The�Manin�constan�t��c�����A��㔹is����Gdened��as��fp����c�����A��
36�=�����UR���38��UR����UR����UR��������ō����S�����2����(�����0���(�N�@�)�;����Z�)[�I�����f��w�]�����[��z�Sr|�
�΍�	W��H���V�����0���Z�(�A�;����
�����A�=�Z����)��������].4���38��].4����].4����].4����c.2�:�����8t��
荠�S������56����
荠���m��#�;There��are�v��X�arious�results�and�conjectures�ab�S�out�the�constan��rt��c�����A����.��lOne�result,�����Gwhic��rh��will�b�S�e�used�in�the�computations�is�the�follo�wing�theorem�due�to�B.�Mazur����G[�15����,���x�4]������G�Theorem��5.1.18�(Mazur).��L��ffet�35�p��b�e�a�prime,�such�that��p�UR�j��c�����A�����.�fiThen�35�p����2�2��V�j��4�N�@��.���э�#�;�W��Ve��will�no��rw�state�the�result�that�allo�ws�us�to�compute�the�ratio��c�����A��	���������ō����L�(�A;����1)���۟[��z�%��
�΍�
�
����ߍ�1��b���A�������*%��.��H���G�Theorem��5.1.19.��L��ffet��`ٍ�u�6��UR:��H�����1����(�X�����0���(�N�@�);����Q�)�UR�!����Hom����޹(�S�����2����(�����0���(�N��))[�I�����f��w�]�;����C�)����G�b��ffe�O[a�p�airing,�|�obtaine�d�fr�om�the�inte�gr�ation�p�airing�in�such�a�way�that��(�h�0�;����1i�)(�f�G��)�UR=�����G�L�(�f���;����1)���(as�we�discusse��ffd�ab�ove,�<�the�fact�that��h�0�;����1i���2��H�����1����(�X�����0���(�N�@�)�;��Q�)���fol���lows�fr��ffom����Gthe�35Manin-Drinfeld�the��ffor�em).�fiThen�����_J_�c�����1���������c�����A��	���������ō����L�(�A;����1)���۟[��z�%��
�΍�
�
�����A������-z�=�UR[(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�);����Z�))�����+��
qʹ:�(�T�h�0�;��1i�)]�;��	��G�wher��ffe�by��(�H�����1����(�X�����0���(�N�@�);����Z�))����2�+��
y�we�me�an�the�p�ositive�eigensp�ac�e�of���Hom���R��(�S�����2����(�����0���(�N�@�))[�I�����f��w�]�;����C�)����G�with�35r��ffesp�e�ct�to�the�c�omplex�c�onjugation�op�er�ator.����#�;�The��theorem�is�pro��rv�ed��in�[�1����,�Thm.�8�4.5].��'y����G�5.2��>X�Examples�z�of�Visible�Elemen��u�ts.���#���G�P5.2.1��C�BA�ff20-Dimensional�Quotien���t�of��QJ��(��0����(389)�P.��@��G�F��Vor��Cthe�purp�S�ose�of�this�section,�*jw��re�will�b�e�w��rorking�with�the�mo�dular�Jacobian����G�J�����0����(389).�8�F��Vor��clarit��ry�,�w��re�describ�S�e�eac�h�step�of�our�computation�separately��V.�����G�XStep��)1:���De��ffc�omp�osing�35the�Jac��ffobian��J�����0����(389)��as�a�pr�o�duct�of�ab�elian�varieties.����G�Consider��ithe�cuspidal�subspace��S�����2����(�����0���(389)).��#One��ican�use�the�corresp�S�ondence�b�e-����Gt��rw�een�t�Galois�conjugacy�classes�of�newforms�and�mo�S�dular�ab�elian�v��X�arieties,��iattac��rhed����Gto�K�newforms�(quotien��rts�of��J�����0����(389))�to�decomp�S�ose��J�����0���(389)�as�a�pro�S�duct�of�mo�dular����Gab�S�elian���v��X�arieties.�T�Using�the�mo�dular�sym��rb�ols�pac��rk��X�age�of�the�computer�algebra�sys-����Gtem��TMA��rGMA,�w�e�decomp�S�ose�the�new�subspace�of�the�cuspidal�subspace��S�����2����(�����0���(389))����Gin��rto���Galois�conjugacy�classes.�b�There�are�v�e�ab�S�elian�v��X�arieties�in�the�decomp�osition����Gof��dimensions�1,�2,�3,�6,�20,�whic��rh�w�e�denote�b�y��A�����1����;���A�����2���;�A�����3���;�A�����6���;�A�����20��갹resp�S�ectiv��rely��V.�����G�XStep��)2:���Computing�35the��L�-r��ffatio's�for�the�quotients.����G�W��Ve�ޒcan�apply�the�algorithm�for�computing�the��L�-ratio�from�Section�5.1.6,���to�v��rerify����Gthat�[W�L�(�A�����1����;����1)���=��L�(�A�����2���;����1)�=��L�(�A�����3���;����1)�=��L�(�A�����6���;����1)�=�0,���but�[W�L�(�A�����20��	�;��1)��6�=�0.�	��More����Gprecisely��V,��the�algorithm,�applied�to��A�����20��갹giv��res�us���	�������ō��OZ�L�(�A�����20��	�;����1)���OZ�[��z�.��
�΍�]
�����A��������m�=�UR�c�����A��	���������ō��۹2����2�11���������5����2�2����۟[��z�"*��
�΍�5Y�97�����';��;�����9����
荠�S������57����
荠���m��Gwhere��Q�c�����A���5�is�the�Manin�constan��rt.�
��But�according�to�Mazur's�theorem�(Theorem�����G5.1.16),�B�the�1-Manin�constan��rt�is��c�����A��
�?�=��[2����2�?�����.�pMoreo�v�er,�B�the�tec�hniques�from�[�2����]�pro�S�duce����Gan��upp�S�er�b�ound�on��c�����A����,�i.e.�8��c�����A��
36��UR�2����2�20��	�.�Th��rus,��w�e�reco�v�er�that�� �0�������ō�����L�(�A�����20��	�;����1)������[��z�.��
�΍�]
�����A�������U��=������ō���2����2�11+�n��ox�����5����2�2������[��z�-�r�
�΍���97�����3�*�;��]^��G�where��0�UR���n����20.�����G�XStep��)3:���Computing�35the�mo��ffdular�de�gr�e�e�for��A�����20��	�.����G�W��Ve�=run�the�algorithm�from�section�5.1.1�for�the�v��X�ariet��ry��A�����20��
=��to�compute�the�k�ernel����Gof��the�isogen��ry�����:�UR�A����2��_��RA��20���UZ�!��A�����20��	�.�8�W��Ve��obtain��j���k�er�����(��S��)�j�UR�=�2����2�24���������5����2�2����.����GComputing�M7this�k��rernel�is�really�imp�S�ortan�t�for�what�will�follo�w,�e�b�S�ecause�it�tells�use����Gprecisely���the�primes,���for�whic��rh�one�can�hop�S�e�to�apply�the�visibilit�y�theorem.��In�this����Gcase,��the�only�suc��rh�prime�is��p�UR�=�5.�����G�XStep���4:�	+�Computing��#torsion�b��ffounds�for��A�����1��
X'�and��A�����20��o�W��Ve�n�use�the�algorithm�from����Gsection�o�5.1.3�to�pro�S�duce�upp�er�b�ounds�on�the�torsion�subgroups�of��A�����1��
/��and��A�����20��	�.����GThis�Zcomputation�automatically�pro�S�duces�b�ounds�for�the�order�of��A����2��_��RA��20���	�(�Q�)�����tors�����.���This����Gfollo��rws��from�the�more�general�result�����G�Lemma�
C5.2.1.�=s�Supp��ffose����A��and��B�<��ar�e�iso�genous�ab�elian�varieties.��>Then�the�upp�er����Gb��ffounds��bfor��j�A�(�Q�)�����tors��ߩ�j��and��j�B���(�Q�)�����tors���j�,��Ypr��ffo�duc�e�d��bin�5.1.3�ar��ffe�the�same.�-�In�other�wor�ds,����Gthe�35upp��ffer�b�ounds,�pr�o�duc�e�d�by�the�algorithm�in�5.1.3�ar�e�iso�geny�invariant.������GPr��ffo�of.���6ڕ�The�J2upp�S�er�b�ounds�that�are�pro�duced�b��ry�algorithm�in�5.1.3�dep�end�only�on����Gthe���c��rharacteristic�p�S�olynomial�of�F��Vrob�enius�on�the��`�-adic�T��Vate�mo�dules��T�����`�����A��and����G�T�����`�����B���.�,The��Cc��rharacteristic�p�S�olynomials�are�then�determined�b�y��T�����`�����A�\=�
��Q��C�and��T�����`���B��C�
�\=�Q����G�resp�S�ectiv��rely��V.��FBut��u�T�����`�����A�/��
��Q�����P���������԰������=��������T�����`���B����
��Q�,��hsince��u�A��and��B�I{�are�isogenous.��FHence,�the����Gupp�S�er��b�ounds�are�isogen��ry�in�v��X�arian�t.����iL��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff�������#�;Next,���w��re���can�compute�the�b�S�ounds�on�the�order�of�the�torsion�subgroup��A�����20��	�(�Q�)�����tors�����.����GF��Vor��qthe�upp�S�er�b�ound,�|w��re�try�only�the�primes�3�and�5�to�get�a�b�ound�97.��xF��Vor�the�lo��rw�er����Gb�S�ound,�w��re��hcompute�the�rational�cuspidal�subgroup,�whic��rh�turns�out�to�b�S�e�cyclic�of����Gorder�1 97.�HTherefore��j�A�����20��	�(�Q�)�����tors�����j��E�=��j�A����2��_��RA��20����(�Q�)�����tors�����j��=�97.�HThe�1 algorithm�applied�for��A�����1�����G�giv��res��us�upp�S�er�b�ound�1,�and�so��j�A�����1����(�Q�)�����tors�����j�UR�=�1.�����G�XStep��)5:���Computing�35T���amagawa�Numb��ffers����G�Using���T��Vate's�algorithm,��w��re�compute��c�����A��q�1��*��;�389�����=�d�1.�T^F�or��A�����20��	�,��w��re�can�use�the�algorithm����Gin��[�6����]�to�get��c�����A��q�20���N�;�389��!%�=�UR97.�����G�XStep��)6:���The��ffor�em�354.5.1�for��A�UR�=��A����2��_��RA��20���	�,�35�B��X�=��A�����1����,��J�qĹ=��A����+��B��;�and��p�UR�=�5.����GW��Ve���will�apply�the�visibilit��ry�theorem�(Theorem�4.5.1)�for�the�ab�S�elian�v��X�ariet�y��A���=����G�A����2��_��RA��20���UZ��UR�J�����0����(�N�@�)�(�and�the�elliptic�curv��re��B��X�=��A�����1��V�=��A����2��_��RA��1���	����J�����0����(�N�@�).��.Let��J�E�b�S�e�the�v��X�ariet��ry��J�qĹ=�����:�.��
荠�S������58����
荠���m��G�A�Yu�+��B�]�and����p�UR�=�5.�+�W��Ve�need�to�c��rhec�k�the�h�yp�S�othesis�of�the�theorem.�+�Using�the�algo-�����Grithm��from�Section�5.1.2�w��re�compute��A��g�\��B��X�=�UR(�Z�=�20�Z�)����(�Z�=�20�Z�),��whic�h��implies�that����G�B���[5]�����A�(���K�z�	UW�	���Q���	UW�).�?�In�BNorder�to�apply�the�visibilit��ry�theorem�for��p�ꃹ=�5,�X8w�e�BNneed�to�pro�v�e����Gthat��"5�\��-��j�B���(�Q�)�����tors�����j����j�(�J�uV=B��)(�Q�)�����tors�����j�.�FOBut��"�j�B��(�Q�)�����tors���j�\�=�1.�FOSince��"�A��is�isogenous�to��J�uV=B����G�and�oAthe�k��rernel�of�that�isogen�y�is��A����\��B��X�=�UR(�Z�=�20�Z�)����(�Z�=�20�Z�),���then�oA�j�(�J�uV=B���)(�Q�)�����tors�����j��=����G�j�A����2��_��RA��20���	�(�Q�)�����tors�����j��L�=�97.��5Therefore,�5��-��j�B���(�Q�)�����tors���j�ƥ�j�(�J�uV=B���)(�Q�)�����tors���j���c�����A;�389���	���c�����B�d�;�389��j��,�so��w��re�can����Gapply�(the�visibilit��ry�theorem�and�get�an�injection��B���(�Q�)�=�5�B��(�Q�)�UR�,���!���X��L��(�A����2��_��RA��20���	�).��(b�S�ecause����G�A�꨹has�Mordell-W��Veil�rank�zero).�����G�XStep��)7:���Evidenc��ffe�35for�the�Bir�ch�and�Swinnerton-Dyer�c�onje�ctur�e�for��A����2��_��RA��20������#�;�The��Birc��rh�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture�states�that��,H�������ō����L�(�A;����1)�����[��z�%��
�΍�
�
�����A����������=������덑
�K�j��X��
�n�(�A�)�j����������Q���
�����p�j�N����c�����A;p������k��z�p+j�
�΍�j�A�(�Q�)�����tors�����j����j�A������_��*��(�Q�)�����tors���j�����u�"�:��9l��#�;�W��Ve�3�ha��rv�e�ev�erything�computed�precisely��V,��0except�the�Manin�constan�t.�	�W��Ve�can����Gtherefore��compute�the�conjectural�order�of���X����(�A����2��_��RA��18���	�=�Q�),�b�S�ecause��I��������ō���{2����2�n��R������2����2�1����1����5����2�2�����{�[��z�7���
�΍�ι97������'�=������ō���97�����j��X��
�n�(�A=�Q�)�j�����[��z�J4|�
�΍��@�97������2������O�4�:��f���G�Th��rus,��H�j��X��
�n�(�A����2��_��RA��18���	�=�Q�)�j�UR�=�2����2�11+�n������5����2�2����.��xUsing��pthe�injection�from�Step�6,�w��re�get�5����2�2����jj��X��
�n�(�A����2��_��RA��18���	�=�Q�)�j�,����Gwhic��rh��pro�vides�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture.��"Lo���G�P5.2.2��C�BEvidence�t�for�the�Birc���h�and�Swinnerton-Dy�er�Conjec-����C�Bture�fffor�an�18-Dimensional�Quotien���t�of��QJ��(��0����(551)�P.��@��G�In���this�section,�'Kw��re�will�lo�S�ok�at��J�����0����(551).�0�This�example�is�in�teresting,�'Kb�S�ecause�the����Gvisibilit��ry��}theorem�cannot�b�S�e�applied�directly��V,��rbut�one�needs�to�em�b�S�ed�the�v��X�ariet�y����Gin��rto�:pa�mo�S�dular�Jacobian�of�lev�el,�Nbwhic�h�is�a�m�ultiple�of�551.�(9Again,�Nbfor�clarit�y��V,�Nbw�e����Gsk��retc�h��the�dieren��rt�steps�of�the�computations.�����G�XStep��)1:���De��ffc�omp�osing�35the�Jac��ffobian��J�����0����(389)��as�a�pr�o�duct�of�ab�elian�varieties.����G�Similarly���to�the�case�of��J�����0����(389),���w��re�compute�the�newform�quotien�ts�of��J�����0����(551).����GThere��are�four�elliptic�curv��res��E�����1����,�)}�E�����2���,��E�����3����and���E�����4���,�and��ab�S�elian�v��X�arieties��A�����2����,��A�����3���,��A�����16�����G�and����A�����18��
���of�dimensions�2,��Z3,�16���and�18.�u�W��Ve�will�b�S�e�in��rterested�in�studying�the�18-����Gdimensional��quotien��rt��A�����18��	�.�����G�XStep��)2:���Computing�35the�mo��ffdular�de�gr�e�e�for��A�����20��	�.����G�Let������ٹ:�]K�A����2��_��RA��18���
]S�!��A�����18��	�.�
!Using�the�algorithm�from�5.1.1,���the�mo�S�dular�k��rernel�has�order����G�j���k��rer�����(��S��)�j�oD�=�2����2�14������	�13����2�4����.�f�This���sho��rws�that�the�only�o�dd�prime��p�,���for�whic��rh�one�migh�t�get����Gvisible��elemen��rts�of���X����(�A����2��_��RA��18���	�)�in��J�����0����(551)�of�order��p��is��p�UR�=�13.�����G�XStep��)3:���Computing�35the�multiple�and�the�divisor�of��A�����18��	�(�Q�)�����tors��ߩ�.����G�The���algorithm�for�the�upp�S�er�b�ound�giv��res�us��j�A�����18��	�(�Q�)�����tors�����j��divides�80.��yThe�order�of�����;����
荠�S������59����
荠���m��Gthe�9rational�cuspidal�subgroup�is�40.�ĔTherefore,�d��j�A�����18��	�(�Q�)�����tors�����j�XT�=�40�9or�80.�Notice�����Gthat�%the�order�of�the�mo�S�dular�k��rernel�is�not�divisible�b�y�5,�T�i.e.��Vthe�degree�of�the����Gisogen��ry�%X�����:�l��A����2��_��RA��18���l��!��A�����18��%`�is�not�divisible�b��ry�5.���Therefore,�tthe�order�of�the�torsion����Gsubgroup����j�A����2��_��RA��18���	�(�Q�)�����tors�����j��m��rust�necessarily�b�S�e�divisible�b�y�5.�
��Th�us,�Ovw�e�obtain�that����G5�UR�j�j�A����2��_��RA��18���	�(�Q�)�����tors�����j�j��80.�����G�XStep��)4:���Computing�35the�T���amagawa�Numb��ffers.����G�The�C�most�dicult�part�is�to�compute�the�T��Vamaga��rw�a�C�n�um�b�S�ers�for�the�ab�elian�v��X�ariet��ry����G�A�����18��	�.�	X�W��Ve�J�can�use�the�tec��rhniques�from�[�6����].�Since�551���=�19��T���29�J�then�w��re�need�to����Gcompute�y�c�����A��q�18���N�;�19����and��c�����A��q�18���N�;�29�����.���The�second�n��rum�b�S�er�yis��c�����A��q�18���N�;�29���P�=�G�40,���but�the�algorithm����Gdo�S�es���not�w��rork�for�the�rst�one.�d�Instead,��Pw�e�compute�the�order�of�the�comp�S�onen�t����Ggroup�\order�o��rv�er��\��K�z�UV�	���F����i�����19��i��,��whic�h�\is�2����2�2�������13����2�2���`�and�conclude�that��c�����A��q�18���N�;�19��+��=��M2�or�4�b��ry�noting����Gthat�kthe�Galois�generator���F��Vrob����L����19��)q�acts�as���1�(w��re�can�v�erify�this�in�MA�GMA�j�using����Gthe���A��rtkin-Lehner�op�S�erator;���indeed,�����F��Vrob����_����19��(��acts�on�the�comp�onen��rt�group������A;�19���`�(�F�����19��	�),����Gso��ev��rery�elemen�t�of�that�group�m�ust�ha�v�e�order�2).�����G�XStep��)5:���Computing�35the��L�-r��ffatio.����G�Using��the�algorithm�from�5.1.6,�w��re�compute�� �0�������ō��o\�L�(�A�����18��	�;����1)���o\�[��z�.��
�΍�rx
�����A��q�18��������o�=�UR�c�����A��	���������ō��۹2����2�2��j������3����2�2����۟[��z�ꦟ
�΍�U�5�����"���:��"I��G�Since���c�����A��
36�j�UR�2������2�dim���*����2(�A�)�����b��ry�[�2����],�then�it�follo�ws�that��!�܍������ō��؅�L�(�A�����18��	�;����1)���؅�[��z�.��
�΍�rx
�����A��q�18��������u��=������ō���2����2�n�+2��/t�����3����2�2������[��z�)�n�
�΍�繹5�����/k&�;�� yύ�G�for��some�0�UR���n����18.�����G�XStep��)6:���Conje��ffctur�al�35or�der�of���X��*��(�A�����18��	�=�Q�)����GW��Ve���ha��rv�e�all�the�quan�tities�for�the�strong�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture,�ߤso����Gw��re��obtain���܍������ō����2����2�n�+2��/t�����3����2�2�������[��z�)�n�
�΍�繹5�������=������ō����j��X��
�n�(�A�����18��	�=�Q�)�j�����2����2�m��
�l���(2����2�3��j����5)�����[��z��R�
�΍�"�(2������k���:�����5)����(2������l���p���5)������
��;��=ߍ�G�where���1�UR���m����2,��X3����k��o���4�and�0����l������4.�"?Th��rus,��Xit�follo�ws�that��j��X��
�n�(�A�����18��	�)�j�UR�=�2����2�s���9����3����2�2�����G�for��Bsome�2��!���s����24,�	�so��Bthere�is�no�c��rhance�to�get�visible�elemen�ts�for��A�����18��
�J�inside����G�J�����0����(551).�����#�;W��Ve��2sa��rw�that�the�conjectural�order�of���X�����(�A�����18��	�=�Q�)�is�divisible�b�y�3����2�2����.�(Although�w�e����Gpro�S�duced�[no�visible�elemen��rts,�w�there�is�a�w�a�y�of�pro�ving�that���X��Rq�(�A�����18��	�)�has�a�subgroup����Gof��order�9�b��ry�using�the�follo�wing�algorithm:�������� m�1.����/q3Let����A��b�S�e�a�quotien��rt�of��J�����0����(�N�@�).�(�Cho�ose�a�prime�n��rum�b�er����`�UR�-��N��Ĺand�consider�the����/q3degeneracy��maps��������2���ӓ�;������O���2������:�UR�J�����0����(�N�@�)��!��J�����0���(�`N�@�).�����<����
荠�S������60����
荠���m����� m�2.����/q3By��Shim��rura's�construction,��}�A����2�_��
�Ϲis�a�sub�v��X�ariet�y�of��J�����0����(�N�@�),��}so�w�e�can�consider�����/q3its�;Iimage�in��J�����0����(�`N�@�)�under�a�linear�com��rbination�of�the�degeneracy�maps.�*�F��Vor����/q3instance,��lo�S�ok�at��C�1�=�UR�������2���ӓ�(�A����2�_��*��)���+�����O���2���jS�(�A����2�_���).�������� m�3.����/q3Compute��fexplicitely�(using�mo�S�dular�sym��rb�ols)�the�image�of�the�v��X�ariet��ry��A����2��_��RA��18����n�in����/q3�J�����0����(�`N�@�).������� m�4.����/q3If�,p�S�ossible,�T�apply�the�visibilit��ry�theorem�for��C��ʹ(or�some�other�tec�hnique)�to����/q3pro��rv�e�)that��C���con��rtains�a�subgroup�of�the�form��B���(�Q�)�=pB��(�Q�)�)for�some�ab�S�elian����/q3v��X�ariet��ry���B���.������� m�5.����/q3T��Vo�>�pro��rv�e�that���X��6�(�A�)�has�elemen�t,�S�whose�order�is�divisible�b�y��p�,�S�it�suces�to����/q3sho��rw��that�the�degree�of�the�isogen�y��V,�whic�h�is�the�comp�S�osition�of�the�maps��p����
W�A�UR�!��A�����_��	��!��A�����_���X�����A�����_������h�������-:���UT�+���i>��-:����J�����������n`�����������������������������������������C�!����-\��C�����/q3�is�I[not�divisible�b��ry��p��(and�then�to�p�S�erform�analysis�on�the�co�c��rhain�lev�el�to����/q3sho��rw��nthat�the�k�ernel�of���X���ܹ(�A�)�Ђ�!���X����(�C�ܞ�)��ndo�S�es�not�ha�v�e�an�elemen�t�of�order����/q3�p�).�vThis��jcan�b�S�e�done�b��ry�noting�that�the�k�ernel�is�annihilated�b�y�the�op�S�erators����/q3�T�����r���b�j�����A��	������(�r�w�+�1)���for�all�primes��r����-�d��N�@�,��#so�it�suces�to�sho��rw�that�the�order�of�the����/q3k��rernel��of�some�of�these�op�S�erators�is�not�divisible�b�y��p�.����#�;T��Vo��(justify�the�last�step�of�the�ab�S�o��rv�e��(algorithm,��w�e�use�a�result�due�to�K.�Rib�S�et.����G�Theorem�H�5.2.2�(Rib�`et).���(i)���L��ffet��`��@�-��N���b�e���a�prime�numb�er.�	�Consider�the�two����Gde��ffgener�acy���maps�(which�we�c��ffonstructe�d���in�Chapter�3)��������2���ӓ�;������O���2���9��:��c�J�����0����(�N�@�)��!��J�����0���(�`N�@�)����G�and��+let��'���:��J�����0����(�N�@�)������J�����0���(�N�@�)���!��J�����0���(�`N�@�)��+�b��ffe�the�map��'���=�(�������2���ӓ�;������O���2���jS�)�.�	_LL�et��+������N��
�o�b�e�the����Gkernel��of�the�map��J�����0����(�N�@�)��h�!��J�����1���(�N�@�)���induc��ffe�d�fr�om�the�c�overing�of�mo�dular�curves����G�X�����1����(�N�@�)�}�!��X�����0���(�N�@�)�.���Consider���the�image����of�������N�����in��J�����0���(�N�@�)�����J�����0���(�N�@�)����under�the�anti-����Gdiagonal�35map��J�����0����(�N�@�)�UR�!��J�����0���(�N�@�)������J�����0���(�`N�@�)�35�(i.e.�fithe�map��x�UR�7!��(�x;�����x�)�).�Then������d{��UR=����ker���]�(�'�)�:����G�(ii)��<The�sub��ffgr�oup��<������N��
��(known�also�as�the�Shimur��ffa�sub�gr�oup)�is�annihilate�d�by�the�����Gendomorphisms�35������r��紹=�UR�T�����r��=
�����(�r��6�+�1)��of��J�����0����(�N�@�)��for�al���l�primes��r����which�do�not�divide��N��.����#�;�The��statemen��rt�is�pro�v�ed�in�[�21����].��The�second�part�of�the�theorem�is�useful�for����Gcomputational��Tpurp�S�oses.���Indeed,���note�that�it�is�dicult�to�compute�the�Shim��rura����Gsubgroup��o�����N��D�,���but�computing�the�order�of�the�k��rernel�of�the�op�S�erator��T�����r���?��+ݹ(�r�k�+�1)����Gis��Xnot�a�problem�at�all.���Since�all�w��re�need�out�of�this�theorem�is�to�sho�w�that�the����Gprime�i��p��do�not�divide�the�order�of�the�Shim��rura�subgroup,��Ithen�it�w�ould�suce�to����Gc��rhec�k��that��p��do�not�divide�the�order�of�the�k��rernel�of�������r���b�.�����#�;T��Vo�ӈillustrate�the�ab�S�o��rv�e�ӈalgorithm�in�practice,�
�w��re�c�ho�S�ose�the�prime��`�ᴹ=�2.��By����Gdecomp�S�osing��mthe�mo�dular�Jacobian��J�����0����(2�����551)��mas�a�pro�duct�of�quotien��rts,���w�e��mnotice�����=õ��
荠�S������61����
荠���m��Gthat�[�v��re�of�the�factors�are�elliptic�curv�es,�x?one�of�whic�h�is�the�rank�2�elliptic�curv�e�����G�E����with��W��Veierstrass�equation�������'�E�	i�:�UR�y��n9����2����+����xy�Ë�=��x�����3��j��+��x�����2�����29�x��+�61�:����G�Let���C��F�b�S�e�the�image�of��A�����18��갹under�the�comp�osition��p����z��A�����18��UZ�!�UR�A������_���ڍ�18����,���!��J�����0����(551)�����h���8����-:���UT�+���i>��-:����J�����������C������������������������������������������C�!����'2�J�����0���(2������551)����GW��Ve���can�use�the�tec��rhniques�from�Section�5.1.2�to�compute�the�in�tersection�of��E�F��with����G�C�
�and�@lv��rerify�that��C��con��rtains��E���[3].�	:+W��Ve�wish�to�apply�the�visibilit�y�theorem�for����G�A�UR�=��C��~�and����B��X�=��E����and��p��=�3.�5HIndeed,��the�only�h��ryp�S�othesis�that�w�e�ha�v�e�to�c�hec�k�is����Gthat���the�T��Vamaga��rw�a���n�um�b�S�ers�for��B�Bӹare�not�divisible�b�y�3.�"�But�T��Vate's�algorithm�[�27����]����Gcomputes���these�n��rum�b�S�ers���for�elliptic�curv��res.�~Using�this�algorithm,���one�c�hec�ks�that����G�c�����B�d�;�2��@�=�UR2,����c�����B�d�;�19����=�2���and��c�����B�d�;�29���=�UR1�and�w��re�already�computed�(up�to�p�S�o�w�er�of�2)�those����Gfor���A�.�8�Since�the�Mordell-W��Veil�rank�of��C��F�is�zero,�then�there�is�an�injection��������B���(�Q�)�=�3�B��(�Q�)�UR�,���!���X��L��(�C�ܞ�)�:����G�Finally��V,��ew��re���need�to�c�hec�k�that�the�degree�of�the�ab�S�o�v�e�isogen�y��'���:��A��!��C��C�is���not����Gdivisible�teb��ry�3.�tT��Vo�do�this,��w�e�rst�compute�the�k�ernel�of�the�op�S�erator��T�����3����j�����A��������(3�+�1).����GIt�9is�p�S�ossible�to�p�erform�the�last�step�in�practice,��b�ecause�one�kno��rws�precisely�ho�w����Gthe��Hec��rk�e�op�S�erator�acts�on�the�space�of�mo�dular�sym��rb�ols.�8�The�k��rernel�is������>�yk��rer���NA(�T�����3����j�����A��	�������(3�+�1))�UR=�12625812402998886400�=�2�����14���������5�����2��j����5552003�����2���;����G�whic��rh��zis�not�divisible�b�y�3.�AUTherefore,�..b�y�Rib�S�et's�theorem�3�do�es�not�divide�the����Gorder���of�the�k��rernel�of�the�isogen�y��A�����18��UZ�!�UR�C�ܞ�,���so���X���d�(�A�����18��	�)�con�tains�an�elemen�t�of�order����G3,��whic��rh�pro�vides�evidence�for�the�Birc�h�and�Swinnerton-Dy�er�conjecture.�����>����
荠�S���
荠���m��G�Conjectures��6���G�The�k<v��X�arious�theorems�and�examples�that�w��re�presen�ted�illustrate�that�lo�S�oking�at�����G�visible�)qelements���migh��rt��	b�S�e�useful�for�a�b�etter�understanding�of�the�Shafarevic��rh-T��Vate����Ggroup,��?since��%rational�p�S�oin��rts�on�ab�elian�v��X�arieties�are�m��ruc�h��%easier�to�understand�than����Gcohomology��classes.����#�;The�wvisualization�theorem,��6together�with�the�v��X�arious�in��rteresting�examples�migh�t����Gserv��re��as�a�go�S�o�d��motiv��X�ation�for�the�follo�wing�question�����G�Question��1.���If����A��is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er��K�ܞ�,��Ldo�S�es�there�exists�a�v��X�ariet�y��J��'�and�an����Gem��rb�S�edding��b�i�UR�:��A�,���!��J�r�,��
suc�h��bthat�the�whole�Shafarevic�h-T��Vate�group�b�S�ecomes�visible,����Gi.e.�������6�Vis������ߍ����(�i�)��	b������J������(��X��
�n�(�A=K�ܞ�))�UR=���X��L��(�A=K��)?����#�;The���ab�S�o��rv�e�question�is�to�S�o�general�and�it�is�lik�ely�that�the�answ�er�migh�t�b�S�e�neg-����Gativ��re.��Ho�w�ev�er,���if��?w�e�sp�S�ecialize�the�question�to�sub�v��X�arieties�of�mo�S�dular�Jacobians����G�J�����0����(�N�@�),��the�lev��rel-raising�example�generates�the�follo�wing�question�����G�Question��2.�<��If�AE�A��is�an�ab�S�elian�v��X�ariet��ry�o�v�er��Q�,�V�whose�dual�is�an�optimal�quotien�t����Gof�%��J�����0����(�N�@�)�(hence��A��is�a�sub��rv��X�ariet�y�%�of��J�����0���(�N�@�)),�4�do�S�es�there�exists��M��0�2��L�N��and�a�linear����Gcom��rbination�^of�degeneracy�map��J�����0����(�N�@�)��6�!��J�����0���(�M�@�N��)���^���2�4����b�,�suc��rh�^that�ev�ery�elemen�t�of��A����G�b�S�ecomes��visible�in��J�����0����(�M�@�N��),��i.e.��������y\Vis�����.K����J��q�0��*��(�M��"N��)����A�(��X��
�n�(�A=�Q�))�UR=���X��L��(�A=�Q�)?����#�;Wh��ry�0ishould�one�ev�en�b�S�other�to�ask�these�questions?�	
#Indeed,���there�is�a�v�ery�����Gsubtle��Sconnection�b�S�et��rw�een��Svisualizing�elemen��rts�of�the�Shafarevic�h-T��Vate�group�and����Gwhat��is�called��c��ffapitulation��X�of�ideal�classes.����#�;In�Pfact,��qsupp�S�ose�that��L=K�,��is�an�extension�of�n��rum�b�er�Pelds�and�consider�the����Gk��rernel��Zof�the�natural�map��C�����K��
"B�!���C�����L��2�b�S�et�w�een�the�ideal�class�groups�of��K����and��L�.����GThe���elemen��rts�of�the�k�ernel�are�those�ideal�classes�of��O�����K��;¹,��~whic�h�b�S�ecome�trivial�in����G�O�����L��
�ܹ(w��re�|sa�y�that�these�ideal�classes�capitulate�in��C�����L��Gع).���In�some�sense,��Zcapitulation����Gis���the�analogue�of�visibilit��ry�for�ideal�classes.�j3Class�eld�theory�tells�us�that�there����Gexists�6Ta�Hilb�S�ert�class�eld��H�F:=K�ܞ�,�I?in�whic��rh�all�ideal�classes�of��K��b�ecome�trivial,�I?i.e.��G�33�ff��ğ�����
����^��4�����Note��that�w���e�allo�w�this�map�to�ha�v�e�a�k�ernel�-�recall�that�the�general�denition�of�visibilit�y���did�UUnot�require�that��A��is�em���b�Gedded�in��J��9�.�����ᖖ�62����?݃��
荠�S������63����
荠���m��Gthe�ٲwhole�ideal�class�group��C�����K��t�capitulates�in��C�����H��D�.�39It�is�natural�to�ask�the�follo��rwing������G�Question��p3.�� �Is�there�some�analogue�of�the�Hilb�S�ert�class�eld��H�F:=K�ﱹfor�the�case�of����Gab�S�elian��v��X�arieties?����#�;Since�	�ab�S�elian�v��X�arieties�are�in�some�sense�m��ruc�h�	�more�dicult�to�w��rork�with�than����Gideal�"�classes,�J�it�migh��rt�b�S�e�imp�ossible�to�answ��rer�the�ab�o��rv�e�"�question,�J�or�it�migh��rt�as�w�ell����Gb�S�e�Ćthat�the�general�answ��rer�is�negativ�e.���Ho�w�ev�er,��Ythe�connection�b�S�et�w�een��c��ffapitulation����G�and���visibility��*�migh��rt�b�S�e�in�teresting�to�study�and�understand�b�S�etter.�����@龠�
荠�S���
荠���m��G�Bibliograph��8�y��<�J�����C�[1]���*8SA.�#�Agashe�and�W.��oA.�Stein,�r7�Visible�S"Evidenc��ffe�for�the�Bir�ch�and�Swinnerton-���J��*8SDyer�)�Conje��ffctur�e�for�Mo�dular�Ab�elian�Varieties�of�Analytic�Rank��0,��xT��Vo��lapp�S�ear����*8Sin��Math.�of�Computation.���J�����C[2]����*8S�ff#?莑Om�,���The��Vmanin�c��ffonstant,��c�ongruenc�e��Vprimes,�and�the�mo��ffdular�de�gr�e�e�,����*8SPreprin��rt,����*8S�Y߆�Tcmtt12�Yhttp://modular.fas.harvard.edu/papers/manin-agashe/�꨹(2004).�������C[3]���*8SS.���Bosc��rh,���W.�L�S����vutk�eb�ohmert,���and���M.�Ra�ynaud,����N��3��L�er��ffon��mo�dels�,�Springer-V��Verlag,����*8SBerlin,��1990.�������C[4]���*8SJ.��oW.�S.���Cassels,��o�L��ffe�ctur�es���on�el���liptic�curves�,�Cam��rbridge���Univ�ersit�y�Press,��oCam-����*8Sbridge,��1991.�������C[5]���*8SJ.��oW.�S.��LCassels�and�A.�F��Vr�� ohlic��rh�(eds.),����A��2lgebr��ffaic�numb�er�the�ory�,���London,�Aca-����*8Sdemic�
�Press�Inc.�[Harcourt�Brace�Jo��rv��X�ano�vic�h�
�Publishers],�K1986,�Reprin��rt�of�the����*8S1967��original.�������C[6]���*8SBrian���Conrad�and�William�A.�Stein,��j�Comp��ffonent�(gr�oups�of�pur�ely�toric�quotients�,����*8SMath.��Res.�Lett.��8��(2001),�no.�5-6,�745{766.�MR�2003f:11087�������C[7]���*8SJ.��oE.���Cremona�and�B.�Mazur,�}x�Visualizing��elements�in�the�Shafar��ffevich-Tate����*8Sgr��ffoup�,��Exp�S�erimen��rt.�Math.��9��(2000),�no.�1,�13{28.�MR�1�758�797�������C[8]���*8SA.�C�Grothendiec��rk,��	�T���x���+El��3��L�ements�G de�g���L�eom��etrie�G alg��ebrique.�G IV.��	I���x��Etude�lo��ffc�ale�G des����*8Ssch��3��L�emas���et�des�morphismes�de�sch���L�emas.�II�,���Inst.�Hautes������x��Etudes�Sci.�Publ.����*8SMath.��(1965),�no.�24,�231.�MR�33�#7330�����ᖖ64����A�ڠ�
荠�S������65����
荠���m�����C[9]����*8S�ff#?莑Om�,��۴���x����El��3��L�ements���de�g���L�eom��etrie���alg��ebrique.���IV.������x��Etude�lo��ffc�ale���des�sch���L�emas�et���J��*8Sdes�>�morphismes�de�sch��3��L�emas.�III�,��nInst.�Hautes������x��Etudes�Sci.�Publ.�Math.�(1966),����*8Sno.��28,�255.�MR�36�#178���J����G[10]����*8S�ff#?莑Om�,��۴���x����El��3��L�ements���de�g���L�eom��etrie���alg��ebrique.���IV.������x��Etude�lo��ffc�ale���des�sch���L�emas�et����*8Sdes��emorphismes�de�sch��3��L�emas�IV�,�UzInst.�Hautes��dğ��x��Etudes�Sci.�Publ.�Math.�(1967),����*8Sno.��32,�361.�MR�39�#220������G[11]���*8SR.�/
Hartshorne,�@"�A��2lgebr��ffaic�rGe�ometry�,�Springer-V��Verlag,�New�/
Y�ork,�1977,�Gradu-����*8Sate��T��Vexts�in�Mathematics,�No.�52.������G[12]���*8SN.��oM.��-Katz,���Galois��dpr��ffop�erties�of�torsion�p�oints�on�ab�elian�varieties�,��In��rv�en�t.����*8SMath.���62��(1981),�no.�3,�481{502.�MR�82d:14025������G[13]���*8SD.��oR.�SeKohel�and�W.�A.�Stein,�m��Comp��ffonent��{Gr�oups�of�Quotients�of��J�����0����(�N�@�),�m�Pro-����*8Sceedings�[?of�the�4th�In��rternational�Symp�S�osium�(ANTS-IV),�Leiden,�w�Netherlands,����*8SJuly��2{7,�2000�(Berlin),�Springer,�2000.������G[14]���*8SS.��Lang,�C��A��2lgebr��ffaic�sDnumb�er�the�ory�,�C�second��ed.,�Springer-V��Verlag,�New�Y��Vork,�1994.������G[15]���*8SB.�Mazur,�4��R��ffational�a�iso�genies�of�prime�de�gr�e�e�(with�an�app�endix�by�D.�Goldfeld)�,����*8SIn��rv�en�t.��Math.��44��(1978),�no.�2,�129{162.������G[16]���*8SJ.��oS.��ZMilne,����A��2b��ffelian��Uvarieties�,�Arithmetic�geometry�(Storrs,�Conn.,�1984),����*8SSpringer,��New�Y��Vork,�1986,�pp.�103{150.������G[17]����*8S�ff#?莑Om�,�w�A��2rithmetic�*�duality�the��ffor�ems�,�Academic���Press�Inc.,�Boston,�Mass.,�1986.������G[18]����*8S�ff#?莑Om�,�	���Jac��ffobian�r�varieties�,�Arithmetic���geometry�(Storrs,�	��Conn.,�1984),����*8SSpringer,��New�Y��Vork,�1986,�pp.�167{212.������G[19]���*8SD.��.Mumford,���A��2b��ffelian�J8varieties�,�Published�for�the�T��Vata�Institute�of�F�undamen��rtal����*8SResearc��rh,�@Bom�ba�y��V,�1970,�T�ata���Institute�of�F��Vundamen��rtal�Researc�h�Studies�in����*8SMathematics,��No.�5.�����B�/��
荠�S������66����
荠���m����G[20]����*8S�ff#?莑Om�,�&�Curves��and�their�jac��ffobians�,�Ann�̦Arb�S�or,�The�Univ��rersit�y�̦of�Mic��rhigan���J��*8SPress,��1975.���J����G[21]���*8SK.��oA.��CRib�S�et,�%��R��ffaising�P�the�levels�of�mo�dular�r�epr�esentations�,�%�S��r��s�eminaire��Cde�Th���s�eorie����*8Sdes�]�Nom��rbres,�z~P�aris�1987{88,�z~Birkh�� auser�Boston,�Boston,�MA,�1990,�pp.�259{����*8S271.������G[22]���*8SG.�L�Shim��rura,��Q�Intr��ffo�duction�x�to�the�arithmetic�the��ffory�of�automorphic�functions�,����*8SPrinceton�-fUniv��rersit�y�Press,�>Princeton,�NJ,�1994,�Reprin��rt�of�the�1971�original,����*8SKan��Memorial�Lectures,�1.������G[23]���*8SJ.��oH.�R�Silv��rerman,�l��The���arithmetic�of�el���liptic�curves�,�Springer-V��Verlag,�New�R�Y�ork,����*8S1992,��Corrected�reprin��rt�of�the�1986�original.������G[24]����*8S�ff#?莑Om�,���A��ffdvanc�e�d��rtopics�in�the�arithmetic�of�el���liptic�curves�,�Springer-V��Verlag,����*8SNew��Y��Vork,�1994.������G[25]���*8SW.��oA.��Stein,�*��Explicit�V�appr��ffo�aches�to�mo�dular�ab�elian�varieties�,�*�Ph.D.��thesis,�Uni-����*8Sv��rersit�y��of�California,�Berk��reley�(2000).������G[26]���*8SG.�}�Stev��rens,����A��2rithmetic���on�mo��ffdular�curves�,�Birkh�� auser�}�Boston�Inc.,�Boston,����*8SMass.,��1982.�MR�87b:11050������G[27]���*8SJ.�)tT��Vate,�y'�A��2lgorithm�X<for�determining�the�typ��ffe�of�a�singular�b�er�in�an�el���liptic����*8Sp��ffencil�,��Mo�S�dular��functions�of�one�v��X�ariable,�IV��(Pro�S�c.�In��rternat.�Summer�Sc�ho�S�ol,����*8SUniv.���An��rt�w�erp,�(hAn�t�w�erp,�1972),�Springer,�Berlin,�1975,�pp.���33{52.�Lecture����*8SNotes��in�Math.,�V��Vol.�476.�MR�52�#13850������a���;��
����H�Y߆�Tcmtt12�XF
C�
cmbxti10�R!",�ff
cmsy10�Q��g�ffcmmi12�P��N�ffcmbx12�M�hV1G�
wncyr10�I\��%eufm8�H�%n�
eufm10�G�':

cmti10�E���G�
msbm10�A��g�G�cmmi12�;���

msbm10�3#�f�cmti8�2���@cmti12�1�hV1
wncyr10�-O+msbm6�,p�p�msbm8�+���
msbm10�(����
msam10�%��u
cmex10�$q�%cmsy6�#�K�cmsy8�"!",�
cmsy10�!;�cmmi6� �2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8���N�cmbx12���N��Hcmbx12����@G�cmti12�X�Qffcmr12���N�G�cmbx12�D��tG�G�cmr17��5D

xybtip10��5D

xyatip10��6δ

xydash10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7�o����