Sharedwww / projects / getz_senior_thesis.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 2004.04.29:2226�������Z���Qo^��[�����썑
"f���N�cmbx12�CLASSICAL�ٚAND����g�cmmi12�p�-ADIC�MODULAR�F��ORMS�ARISING�FR�OM�THE����(4.BOR��CHERDS�ٚEXPONENTS�OF�OTHER�MODULAR�F�ORMS����ʍ�K�`y

cmr10�JA��*�YCE�UUGETZ�����ǻSENIOR�UUTHESIS����
������$��-�

cmcsc10�Abstra��ct.���\`��Let��w�
�b>

cmmi10�f���(�z�p��)��=��q��[ٟ�^��	0e�rcmmi7�h���5������u

cmex10�Q�����ލ����O!�cmsy7�1��%���Ѵn�ٓ�Rcmr7�=1��� 8R�(1��&�
!",�

cmsy10���q��[ٟ�^��n���W�)���^��c�(�n�)���زb�Ge�a�mo�dular�form�on��SL��������2���%�(����

msbm10�Z�).�<(F��*�ormal�logarith-��
���$mic���dieren���tiation�of��f��t�yields�a��q�[ٲ-series��g��(�z�p��)�m:=��h�{?�������P�����ލ�
	z�1��%��
	z�n�=1����E�����P���(�ޟ�d�j�n��6y��c�(�d�)�dq����^��n��	�<�whose���co�Gecien���ts���ʍ�$are�puniquely�determined�b���y�the�exp�Gonen�ts�of�the�original�form.��W��*�e�pro�vide�a�form�ula,�v�due����$to���Bruinier,��rKohnen,�and�Ono�for��g�[ٲ(�z�p��)�in�terms�of�the�v��q�alues�of�the�classical��j����-function�at����$the�+zeros�and�p�Goles�of��f���(�z�p��).�c�F��*�urther,�3~w���e�giv�e�a�v��q�ariet�y�of�cases�in�whic�h��g�[ٲ(�z�p��)�is�additionally����$a���p�-adic�mo�Gdular�form�in�the�classical�sense�of�Serre.��As�an�application,�R\w���e�deriv�e�some����$�p�-adic��form���ulae,�E�due�to�Bruinier,�Ono,�and�P���apanik�olas,�in��whic�h�the�class�n�um�b�Gers�of�a����$family�hFof�imaginary�quadratic�elds�are�written�in�terms�of�sp�Gecial�v��q�alues�of�the��j����-function����$at�UUimaginary�quadratic�argumen���ts.�����s�����A�X�Qcmr12�1.��ɚ��+�-�
cmcsc10�Intr���oduction�����Supp�S�ose���f�<�is�a�function�on�the�upp�er�half�plane��(���
msbm10�H�.�UDF��Vor�eac��rh�p�ositiv��re�in�teger��k�g�,��}dene�an���action���!",�
cmsy10�j������2cmmi8�k��	:�of���GL������x��zC�|{Ycmr8�+������zC2������(�Q�)�on�the�set�of�suc��rh��f�2��b�y�������(1.1)����~��f�G��(�z���)�j�����k��#��
��n�=���URdet����(�
���)�����k�6�=�2��
���(�cz�3��+����d�)����� �K�cmsy8��k���
�f���G���q�"��u
cmex10��������ō�
P��az��+��b��
P��[��z����
�΍�-cz��+��d������.$���q����8�	�:����y��Here���
��(�=���T(����)�������a���Ob���:G���Pyc�����d�������)���#�_�2���T�GL������x����+�������2����(�Q�)�(with�the�exception�of�the�pro�S�of�of�Theorem�2,�a�in�this�thesis���w��re�&alw�a�ys�use�the�sym�b�S�ol��
���in�this�sense).���Supp�ose�����2�0�������Z��:=���SL���������2��X�(�Z�)�is�a�congruence�sub-���group.�ܷLet��-�M����2��1��y���k���	�(����2�0���9�)�(resp.,�
y�M����2��mero��y���k���샹(����2�0���))�denote�the�space�of�holomorphic�(resp.,�
ymeromorphic)���functions��on�the�upp�S�er�half�plane��H��that�satisfy�the�functional�equation��V)���(1.2)����ÇC�f�G��(�z���)�j�����k��#��
��n�:=�UR�f��(�z��)����for���all��
��2�i������2�0����and�additionally�are�meromorphic�at�the�cusps�of�����2�0���(for�a�precise�description���of�~this�\meromorphic�at�the�cusps"�condition,�&ssee�[�18����,��x�I�S�I�I.3,�p.�~125]).��aSuc��rh�a�function�will���b�S�e���called�a��,���@cmti12�we��ffakly�dmo�dular�form�of�weight��k�"�(resp.,��mer�omorphic�mo�dular�form�of�weight��k�g�)���follo��rwing���J-P��V.�Serre's�con�v�en�tion�[�28����,���x�VI�S�I.2].��{W��Ve�further�dene��M�����k��#��(����2�0���9�)����M����2��1��y���k���	�(����2�0���)���to�b�S�e���the���space�of�w��reakly�mo�S�dular�forms�that,��Badditionally��V,�are���holomorphic�at�the�cusps�of�����2�0���9�.���Suc��rh��a�form�will�b�S�e�called�a��holomorphic���mo��ffdular�form�,��9or,�simply��V,�a���mo�dular���form�.�\F��Vor�an��ry���congruence�fPsubgroup�����2�0��4��con��rtaining�the�elemen�t���(����)����
��1���{b1����ፍ�
�0���{b1������d�)���M(,��:meromorphicit�y�of��f��O�at�the�cusps�of�������2�0����implies��that��f�2��can�b�S�e�iden��rtied�with�a�F��Vourier,�or��q�n9�-series,�expansion��P{���(1.3)�����!��f�G��(�z���)�UR:=�������	�.�1�����6����X���
�ҍ��n�=�n��q��Aa�cmr6�0����m�a�����n���P�q��n9����n�����‰ff<�B�����':

cmti10�Date��[�:�UUApril�29,�2004.���u��The��)author�w���ould�lik�e�to�thank�his�family�for�their�constan�t�p�Gersonal�and�nancial�supp�ort,���P���articular���thanks� go�to�his�little�brother�Jo�Gel,�)�who�is�the�co�olest�p�erson�in�the�w���orld.�_�This�thesis�is�dedicated�to�them.���G��营�-o���		cmr9�1����*��Z���Qo^����2�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹where��Hhere,�[and�throughout�this�thesis,��q�Ë�:=�UR�e����2�2��I{iz����.��In�the�case�����2�0��#��=�,�[this�is�in�fact�equiv��X�alen��rt���to�F=meromorphicit��ry�at�the�cusps.�K�Holomorphicit�y�at�the�cusps�in�the�case�of�����2�0���m�=��4�(whic�h���are��"all�in�the�same�orbit�as��1��under�the�action�of�)�is�equiv��X�alen��rt�to�the�statemen�t�that����n�����0��V��UR�0.�.�Finally��V,���a���holomorphic�mo�S�dular�form�o��rv�er�������2�0����is�said�to�b�e�a��cusp��form����if�it�v��X�anishes���at�.the�cusps�of�����2�0���9�;�O�w��re�denote�the�space�of�cusp�forms�of�w�eigh�t��k��:�o�v�er�����2�0���V�b�y��S�����k��#��(����2�0���9�).�@In�the���case��(�f��Q�2�UR�M�����k��#��(),��Bthis�is�simply�the�assertion�that�in�the�expansion�(1.3)�w��re�ha�v�e��n�����0��V�>�UR�0.��F��Vor���con��rv�enience��w�e�dene��M����2��mero��y���k���Aչ:=�UR�M����2��mero��y���k���샹(),��M����2��1��y���k���UZ�:=��M����2��1��y���k���	�()�and��M�����k��x�:=��M�����k��#��().����W��Ve�E�tak��re�the�opp�S�ortunit�y�no�w�to�in�tro�S�duce�the�only�congruence�subgroup�w�e�will�explicitly���use��in�this�thesis,�namely�the�follo��rwing�lev�el��N�+��subgroup:���(��w2������0����(�N�@�)�UR:=�����q�����US��q�����ʍ��*��a���%�b��������c���%U�d�����+p���q����7�X�2���:��c����0���(�mo�S�d���B�N��)���q�����w'�:��LՍ�By��con��rv�en�tion,������0����(1)�UR=�.������R��ffemark.�#+�If���/���G������T��������1����0����9�����0����O��1�����&�ɟ�G�����/�W�2�ʌ�����2�0���9�,�@�then�/�from�(1.2)�w��re�ha�v�e�(��1)����2�k��#��f�G��(�z���)�ʌ=��f��(�z���)�/�for�all��f���2�ʌM����2��mero��y���k���샹(����2�0���9�),��38�from���whic��rh�it�follo�ws�that��M����2��mero��RA�2�m�+1���!D�(����2�0���9�)�UR=�0���for�all�in�tegers��m�.���Th�us,��in�particular,��M����2��mero��RA�2�m�+1���v��=�UR0.��g[��F��Vor�P�examples�of�mo�S�dular�forms�on��M�����k��to�for�ev��ren��k��o��UR�4,�o�w�e�ma�y�tak�e�the�classical�Eisenstein���series��of�w��reigh�t���k�g�:��෍��(1.4)��������E�����k��#��(�z���)�UR:=�1����������ō��r�2�k���۟[��z���
�΍B�����k�������������h�1�����!����X���
�ҍ���n�=1���(w������k�6���1���(�n�)�q��n9����n�����q��where��}�B�����k��	��is�the��k�g�th�Bernoulli�n��rum�b�S�er��}and�������k�6���1���(�n�)���:=�������P���ct���d�j�n�����d����2�k�6���1���.��_W��Ve��}can�formally�dene�����E�����2��NP�using��L(1.4),���and�though�it�is�not�a�mo�S�dular�form,�it�satises�the�follo��rwing�transformation���la��rw��for���(����)����
|j�a�����b���:G���
�c���C�d������+�)��� �A�2�UR�:������(1.5)����q��E�����2�������q��������ō�ȍ�az�3��+����b��ȍ�[��z����
�΍�-cz�3��+����d������1����q����<r�(�cz�3��+����d�)������2���ι=�UR�E�����2����(�z���)�+������ō�U�12�c���۟[��z�9�Ο
�΍�2��n9i�(�cz��+��d�)�����>���:����)��This���transformation�la��rw�turns�out�to�pla�y�a�role�in�man�y�argumen�ts;�a�pro�S�of�of�it�in�this���form��is�giv��ren�in�[�27����,�p.�68].����Other��useful�examples�of�mo�S�dular�forms�are�the�discriminan��rt�function�����(1.6)����~L(�z���)�UR:=������ō����E�����4����(�z��)����2�3��j������E�����6���(�z��)����2�2������[��z�QS{�
�΍��ƹ1728�����Zd�=��q�������0��1���������Y���
�ҍ�n7�n�=1���s�(1������q��n9����n����)�����24����;���whic��rh��is�of�w�eigh�t�12,�and�the��j��ӹ-function,�whic�h�is�a�w�eakly�mo�S�dular�form�of�w�eigh�t�zero:��ܕ���(1.7)����S6_�j��ӹ(�z���)�UR:=������ō����E�����4����(�z��)����2�3������[��z�!Tj�
�΍�4�(�z��)�����*et=��q��n9�����1��u]�+���744�+�196884�q��+�21493760�q��n9����2����+������������:���!���W��Ve��note�that�an��ry�elemen�t�of��M����2��1��RA��0���
��is�a�p�S�olynomial�in��j��ӹ(�z���).��If�w�e�wish�to�emphasize�for�a���pro�S�of��that�w��re�are�regarding��E�����k��#��,�W,��j����as���q�n9�-series�(whic�h�can�b�S�e�either�view�ed�formally�or�as���functions���holomorphic�in�the�punctured�disc�0����<��j�q�n9�j��<��1),��w��re���write�them�as��E�����k��#��(�q��),��(�q��),���and���J�r�(�q�n9�),�resp�S�ectiv��rely��V.����It��Kis�easy�to�see�that��M����2��1��y���k���	�(����2�0���9�)�is�a�v��rector�space�o�v�er��C��for�all�congruence�subgroups�������2�0���9�.���There�l;exists�an�imp�S�ortan��rt�class�of�linear�op�erators�on�these�spaces,���namely��V,�the�l;Hec��rk�e���op�S�erators���T�����k�6�;n���V�.�8�These�can�b�e�dened�(in�an�admittedly�ad-ho�c�manner)�b��ry���ٍ��(1.8)��������f�G��(�z���)�j�T�����k�6�;n�����=�UR�n�����k�6���1�������x���X���'؍��ad�=�n;��Xd>�0���w}��_*0��b��d��1���=9�f���G���q��������ō�
P��az�3��+����b��
P��[��z����
�΍���d������.$���q������������Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS���I!3�����[����썹or,��equiv��X�alen��rtly��V,��$�����(1.9)����y�1�f�G��(�z���)�j�T�����k�6�;n�����:=����UR���X���w�����n�2�)p�p�msbm8�Z�������9�����0��������@������,J��X�������!*��0�<d�j�(�m;n�)���[email protected]�d�����k�6���1���a�������
��������ō�
]��mn��
]ݟ[��z�J��
�΍�7�d������2�������ۮ��
�������9��$Z1������$ZA�����5��q��n9����n����:���%TR��If�@�w��re�dene,�b�for�p�S�ositiv�e�in�tegers��d�,�b�the��V��p�-�and��U�@�-op�S�erators��V��(�d�)�and��U�@�(�d�)�on�formal��q�n9�-series���in���C�[[�q�n9�]]�b��ry��!�����(1.10)�������	m��z�� ������j���X���
����o�n��n��q�0������,�c�(�n�)�q��n9����n������z��!���ۣ�j�V��p�(�d�)�UR:=����6����X���
���n��n��q�0����m�c�(�n�)�q��n9����dn����"�s��and�������(1.11)�������Hޟ�z�� ���������X���
������n��n��q�0�������c�(�n�)�q��n9����n������z��!�����s�j�U�@�(�d�)�UR:=����6����X���
���n��n��q�0����m�c�(�dn�)�q��n9����n������then��w��re�ma�y�write�������(1.12)�����&
�T�����k�6�;n�����=����UR���X�������
��d�j�n������d�����k�6���1���V��p�(�d�)������U�@�(�n=d�)�:���#�э�Note��that�if�w��re�iden�tify�a�meromorphic�mo�S�dular�form��f�2��with�its��q�n9�-expansion,�w�e�ha�v�e��f���(1.13)������0�d�����k�6�=�2��
���f�G��j�V��p�(�d�)�UR=��f��j�����k����#��(����],���
�R�d���XF�0����ፍ�
�$0���XF1������H�)���"*
�:�������F��Vor��kmore�natural�denitions�of�these�op�S�erators�and�a�discussion�of�their�basic�prop�erties,���see,��for�example,�[�18����,��x�I�S�I�I.5]��or�[�28��,��x�VI�S�I].����If��w��re�consider��M���:=���������L����*����T�1��	U_���T�k�6��=0���"�`�M�����k��	;D�it�is�straigh�tforw�ard�to�see�that�w�e�ha�v�e�something�b�S�etter���than�%�a�collection�of�v��rector�spaces,�4}w�e�ha�v�e�a�graded�algebra,�4}where�the�grading�is�giv�en�b�y���w��reigh�t��and�the�m��rultiplication�op�S�eration�is�m�ultiplication�of�functions�(for�pro�S�of�of�this,�%~see���[�28����,��#�x�VI�S�I]).��BA��,question�naturally�suggests�itself:��are�there�natural�op�erators�on�this�algebra?���As��one�p�S�ossible�answ��rer�to�this�question,�w�e�dene�Raman�ujan's�theta�op�S�erator:�������h8�UR:=������ō�
�1�����[��z����
�΍2��n9i����������ō��d��铟[��z�7�
�΍dz�����(�O�=��q������ō�s_d���l�[��z���
�΍dq�������:������It��is�p�S�erhaps�sp�eaking�lo�osely�to�call��an�op�erator,�but������A�f�G��(�z���)�UR�7!���f��(�z���)������f��(�z���)������ō��j�k��33�[��z����
�΍�12�����&^�E�����2����(�z��)��K=�is��a�deriv��X�ation�on��M�@�.�8�In�particular,�w��re�ha�v�e�the�follo�wing:��0'��Prop�`osition��1.��If�35�f�{4�is�in��M����2��.#�f�cmti8�mer���o��y���k���	�(����2�0���9�)��then��M%����(1.14)������z�g�n9�(�z���)�UR=��f�������f�G��(�z��)������ō��j�k��33�[��z����
�΍�12�����&^�E�����2��V�2�M������mer���o���ڍ�k�6��+2���	�(�����0���9�)�:������The�35same�statement�is�true�with��M����2��mer���o��y���k���	�(����2�0���9�)��r��ffeplac�e�d�35by��M����2��1��y���k���	�(����2�0���)��or��M�����k��#��(����2�0���)��thr��ffoughout.�����Pr��ffo�of.���#�R�By���noting�its�aect�on��q�n9�-expansions,���w��re�see�that�applying�the��op�S�erator�do�es�not���aect��meromorphicit��ry�(resp.,��holomorphicit�y)�at�the�cusps.��Th�us�w�e�need�only�c�hec�k�the�����&3��Z���Qo^����4�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹functional���equation.�
pF��Vor��
�H�=���_,(����)����
���a���ob���:G���[�c����	d�������)���"��2�_,�,���up�S�on�dieren��rtiating�the�functional�equation�(1.2)���w��re��ha�v�e��􍍍�Z���f�G��(�
��z���)(�cz�3��+����d�)������k�6���2�������G��=������kC�f�G��(�z���)���+������ō��"�ck���۟[��z����
�΍�2��n9i������f��(�
��z��)(�cz�3��+����d�)������k�6���1�����.͍����G��=������kC�f�G��(�z���)���+������ō��"�ck���۟[��z����
�΍�2��n9i������f��(�z��)(�cz�3��+����d�)������1��\|�:����棍�Using��(1.5),�for��
��n�2�UR�����2�0��#������w��re�ha�v�e��􍍍����f�G��(�z���)�j�����k�6��+2���
�����J������������ō�bc�k��_z,�[��z����
�΍�12�������nmU(��r��E�����2����(�z���)�j�����2���
����)��������(������f�G��(�z���)�j�����k��#��
����)������!�����K
�=�����^F��f�G��(�z���)���+������ō��"�ck���۟[��z����
�΍�2��n9i������f��(�
��z��)(�cz�3��+����d�)������k�6���1��G.�������ō�|�k���۟[��z����
�΍�12�������E�����2����(�z��)�f��(�z��)���������q��������ō�Qj�k���3�[��z����
�΍�12�������^��q���������ō�:'�12�c��%��[��z�9�Ο
�΍�2��n9i�(�cz�3��+��d�)�����`���f�G��(�z��)���� Y�����K
�=�����^F��f�G��(�z���)����������ō�|�k���۟[��z����
�΍�12�������E�����2����(�z��)�f��(�z��)�:����<����k��%����
msam10����p���R��ffemark.�R�It��5is�w��rorth�men�tioning�that�there�exists�a�family�of�\Rankin-Cohen"�brac�k�ets�on���������L����*���
UX�1��	U_��
UX�k�6��=0���Ud�M�����k��	դ�(dened��using�),���one�of�whic��rh�giv�es�this�algebra�the�structure�of�a�graded�Lie���algebra.�0TF��Vor��their�denition�and�basic�prop�S�erties�see�[�33����],��&and�for�references�to�recen��rt�w�ork,���see��[�5����].����No��rw,��giv�en�ǩa�mo�S�dular�form��f��Q�2�URM����2��mero��y���k���샹(����2�0���9�),�normalized�so�that�its�rst�nonzero��q�n9�-expansion���co�S�ecien��rt��is�1,�w�e�can�write���R����:�f�G��(�z���)�UR=��q��n9����h�����������1�����+���Y���
�ҍ��(�n�=1�����(1������q��n9����n����)�����c�(�n�)���87��for�2�some�complex�n��rum�b�S�ers�2��c�(�n�),�W�in�some�neigh��rb�orho�o�d�of��1�.���Ignoring�con��rv�ergence�2�issues�for���a�`�momen��rt�(whic�h�will�b�S�e�dealt�with�carefully�in�Lemma�8),�~~some�easy�manipulations�with����q�n9�-series��yield��tH���(1.15)���������ō�����f����ߟ[��z�6/�
�΍���f���������=�UR�h�����������X���
��R��n��1�����������X��������t�d�j�n���)UT�c�(�d�)�dq��n9����n���� ͋��In���the�next�section,�#�w��re�will�pro�v�e�the�follo�wing�c�haracterization�of�this�logarithmic�deriv��X�ativ�e:����Theorem�i�2��(Bruinier,��Kohnen,�Ono,�[�7����],�[�24����])�.���If�!Z�f�G��(�z���)�UR=�������P����*������1��	U_�����n�=�h���#*��a�(�n�)�q��n9���2�n��	k��2�M����2��mer���o��y���k���,c�is�normal-���ize��ffd�35so�that��a�(�h�)�UR=�1�,�35then��LA�������ō�l�=��f�G��(�z���)��l�=�[��z�W�
�΍����f�G��(�z���)������l�=������ō�&��k�����[��z����
�΍�12�����{��E�����2����(�z���)����������ō����E�����4���(�z��)����2�2���E�����6���(�z��)���۟[��z�=�П
�΍�~8(�z��)��������E'V���X���%���D�����8:�;�cmmi6�i��,r�2�1\��%eufm8�F��������ō�\���e��������2$�ord���*�������]"�(�f�G��)��Y�X�[��z�8s۟
�΍�j��ӹ(�z��)������j��ӹ(��W�)�������f�:��!V��R��ffemark.�Gn�This�v�form��rula�has�b�S�een�generalized�to�sev�eral�gen�us�zero�congruence�subgroups�in���[�1����]��*(see��x�2�of�this�thesis)�and�Hec��rk�e��*subgroups�of���SL����������2�����(�R�)�(see�[�10����]).�"gThe�author�has�also���receiv��red��a�preprin�t�[�9����]�giving�a�generalization�to������0����(�N�@�)�for�squarefree��N��.����This���form��rula�alone�is�of�in�terest�in�that�it�explicitly�relates,���via�equation�(1.15),�the�pro�S�duct���expansion��~exp�S�onen��rts�of��f�0}�to�sp�ecial�v��X�alues�of��j��ӹ,���namely��V,��j��(��W�)��~where���?��is�a�zero�or�p�S�ole�of��f�G��.���F��Vurther,���it�v	has�b�S�een�used�to�pro��rvide�recursiv�e�form�ulas�for�the�co�S�ecien�ts�of�an�y�mo�S�dular���form���o��rv�er��(see�[�7����]),���to�pro�vide�innite�families�of�systems�of�orthogonal�p�S�olynomials�divisible���b��ry��Bthe�sup�S�ersingular�lo�cus�as�p�olynomials�o��rv�er��B�F�����p��
^��(see�[�4����]),�i(generalizing�w��rork�of�A�tkin�����3ݠ�Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS���I!5�����[����썹describ�S�ed��*in�[�16����]),��Jand�also�to�pro��rvide�a�c�haracterization�of�the�c�haracteristic�p�S�olynomials���of�[�the�Hec��rk�e�[�op�S�erators�o��rv�er�[��(again�in�[�7����]).���W��Ve�will�not�discuss�these�applications�in�this���thesis.��W��Ve���will,��lho��rw�ev�er,�giv�e���one�additional�application,�whic��rh�w�e�defer�for�a�momen�t�in���order��to�in��rtro�S�duce�the�concept�of�a��p�-adic�mo�dular�form.����F��Vollo��rwing�ZSerre,�u�w�e�dene�a��p�-adic�mo�S�dular�form�to�b�e�the��p�-adic�limit�of�a�sequence�of���elemen��rts��of������2��1��y���k�6��=0����M�����k��	/h�(a�precise�denition�is�giv�en�in��x�3).��jIt�turns�out�that�in�man�y�cases�of���in��rterest,��the��logarithmic�deriv��X�ativ�e�of�a�mo�S�dular�form�is�a��p�-adic�mo�dular�form�of�w��reigh�t��2.���In��particular,�w��re�ha�v�e�the�follo�wing�theorem�of�Bruinier�and�Ono:���5��Theorem���3��([�8����])�.�N�L��ffet�g��f�G��(�z���)��=��q��n9���2�h���*�(1�ѻ+�������P����*���|h�1��	U_��|h�n�=1���"2�a�(�n�)�q��n9���2�n����)���2��q��n9���2�h���O�����K��;¹[[�q�n9�]]�ѻ�\�M����2��mer���o��y���k���	�(�����0����(1))�,�u%wher��ffe�g��O�����K�����is�+�the�ring�of�inte��ffgers�of�a�numb�er�eld��K�ܞ�.�O�Mor�e�over,�i�let��c�(�n�)�!l�2��K�I�denote�+�the�algebr�aic���numb��ffers�35dene�d�by�the�formal�innite�pr�o�duct��෍���(1.16)�����?t�f�G��(�z���)�UR=��q��n9����h�����������1�����+���Y���
�ҍ��(�n�=1�����(1������q��n9����n����)�����c�(�n�)���A�:����j��If�35�f�G��(�z���)��is�go��ffo�d�35at�a�prime��p�,�then�the�formal�p��ffower�series���c�������ō��f�(�f�G��)���f�[��z�Y��
�΍�	#��f������HW�=�UR�h�����������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1�����������X��������t�d�j�n���)UT�c�(�d�)�dq��n9����n��� ���is�35a�weight�two��p�-adic�mo��ffdular�form.�����W��Ve���oer�a�brief�pro�S�of�of�this�result,���mainly�as�motiv��X�ation�for�the�follo��rwing�generalization:����Theorem�Yy4.��o�Supp��ffose����p�����5��is�prime.�	��L��ffet��f�G��(�z���)�=��q��n9���2�h���*�(1��:+�������P����*���m��1��	U_��m��n�=1���"��a�(�n�)�q��n9���2�n����)���2��q��n9���2�h���O�����K��;¹[[�q�n9�]]��:�\���M����2��mer���o��y���k���	�(�����0����(�p�))��i�wher��ffe��O�����K��9+�is�the�ring�of�inte�gers�of�a�numb�er�eld��K�ܞ�.�T{Mor�e�over,�,let��c�(�n�)�UR�2��K����denote�ޛthe�algebr��ffaic�numb�ers�dene�d�by�the�formal�innite�pr�o�duct�(1.16)�for��f�G��.�J6If��f�&��is�go�o�d���at�35�p�,�then�the�formal�p��ffower�series��෍������ō��f�(�f�G��)���f�[��z�Y��
�΍�	#��f������HW�=�UR�h�����������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1�����������X��������t�d�j�n���)UT�c�(�d�)�dq��n9����n��� ���is�35a�weight�two��p�-adic�mo��ffdular�form.����The��pro�S�ofs�of�b�oth�of�these�theorems�app�ear�in��x�5.����R��ffemark.��=�In�NMtheorems�3�and�4,�m�w��re�allo�w��h��to�b�S�e�negativ�e.��The�fact�that�the��c�(�n�)�are�elemen�ts���of����K��G�(implicitly�iden��rtied�with�an�em�b�S�edding��K���,���!����C�)�will�b�e�ob��rvious�from�the�pro�of�of���Lemma��8.����The��Xdenition�of�\go�S�o�d"��Xin�the�preceding�t��rw�o��Xtheorems�is�giv��ren�in��x�5�and�discussed�in���some�(7detail�in��x�7.��As�one�example,�w�the�form��E�����p��1����is�go�S�o�d�(7at��p�.�In�general,�w�whether�or���not��a�form�is�go�S�o�d��at��p��is�in��rtimately�related�to�the�question�of�whether�or�not�the�v��X�alue���of��the��j��ӹ-function�at�the�zeros�and�p�S�oles�of�the�form�reduces�to�a�sup�ersingular��j��ӹ-in��rv��X�arian�t���in�
c��rharacteristic��p��(whic�h�should�come�as�no�surprise�to�those�familiar�with�o�v�ercon�v�ergen�t����p�-adic���mo�S�dular�forms).�cThrough�this�connection�w��re�are�able�to�relate�these��p�-adic�mo�dular���forms�Nto�class�n��rum�b�S�ers�Nof�imaginary�quadratic�elds.��In�particular,�H8for�small�primes,�w��re���obtain���p�-adic�class�n��rum�b�S�er��form�ulae�in�v�olving�sums�of�sp�S�ecial�v��X�alues�of�the��j��ӹ-function.����Before��w��re�can�state�this�result,��w�e�m�ust�recall�the�notion�of�a�Heegner�p�S�oin�t.�r�A��complex��z��n��rum�b�S�er�������of�the�form����i�=�����Fu�����b�+����L��p���\��L��\)�G��V��b������2��*���4�ac����������z�2�o��ꍑ��2�a�����>�with��a;���b;�c�XL�2��Z�,����gcd��H�(�a;���b;�c�)�XL=�1���and��b����2�2���C��?�4�ac�XL<��0���is�����kno��rwn�o�as�a��He��ffe�gner��ep�oint��۹of�o�discriminan�t��d�������	i��:=�7��b����2�2���.��*�4�ac�.�ǬHeegner�p�S�oin�ts�are�discussed�at�����E���Z���Qo^����6�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹some���length�in��x�6.�uDenote�b��ry��h�����K��
��the�class�n�um�b�S�er�of�the�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�.�uW��Ve�ha�v�e�the���follo��rwing:��0���Corollary��15��1�(Ono�"�and�P��rapanik�olas,�0~[�25����])�.���Supp��ffose�f�that��d��k<���4�f��is�a�fundamental�discrim-���inant�zof�an�imaginary�quadr��ffatic�eld�and�that���g��is�a�He�e�gner�p�oint�of�discriminant��d�.��8If����K�1�=�UR�Q�(�j��ӹ(��W�))�,�35then�the�fol���lowing�ar��ffe�true:������������(1)����%��If�35�d�UR���5�UP(�mo�S�d���B8)�,�then�as��2�-adic�numb��ffers�we�have��'�̍�`���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=�UR�������ō�/�1��33�[��z���
�΍720��������lim��33��X�n�!1����..��T��Vr���:B<����K��=�Q����N}���z�� ��������^��n�����W����X���
�ҍ�X���a�=0���������kSV2���-:�a������1�����l}:���X���'؍�m�:�b�=0�����s�j����џ�q��������ō��\�2����2�n��a��ȗ��Ź+����b���\�[��z�0���
�΍����2������a�������>zM��q�����GO���z�!���ب��:��'V���������(2)����%��If�35�d�UR���2�UP(�mo�S�d���B3)�,�then�as��3�-adic�numb��ffers�we�have����`���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=�UR�������ō�/�1��33�[��z���
�΍360��������lim��33��X�n�!1����..��T��Vr���:B<����K��=�Q����N}���z�� ��������^��n�����W����X���
�ҍ�X���a�=0���������kSV3���-:�a������1�����l}:���X���'؍�m�:�b�=0�����s�j����џ�q��������ō��\�3����2�n��a��ȗ��Ź+����b���\�[��z�0���
�΍����3������a�������>zM��q�����GO���z�!���ب��:����������(3)����%��If�35�d�UR���2�;����3�UP(�mo�S�d���B5)�,�then�as��5�-adic�numb��ffers�we�have����`���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=�UR�������ō�/�1��33�[��z���
�΍180��������lim��33��X�n�!1����..��T��Vr���:B<����K��=�Q����N}���z�� ��������^��n�����W����X���
�ҍ�X���a�=0���������kSV5���-:�a������1�����l}:���X���'؍�m�:�b�=0�����s�j����џ�q��������ō��\�5����2�n��a��ȗ��Ź+����b���\�[��z�0���
�΍����5������a�������>zM��q�����GO���z�!���ب��:����������(4)����%��If�35�d�UR���3�;����5�;��6�UP(�mo�S�d���B7)�,�then�as��7�-adic�numb��ffers�we�have����`���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=�UR�������ō�/�1��33�[��z���
�΍120��������lim��33��X�n�!1����..��T��Vr���:B<����K��=�Q����N}���z�� ��������^��n�����W����X���
�ҍ�X���a�=0���������kSV7���-:�a������1�����l}:���X���'؍�m�:�b�=0�����s�j����џ�q��������ō��\�7����2�n��a��ȗ��Ź+����b���\�[��z�0���
�΍����7������a�������>zM��q�����GO���z�!���ب��:��$����In�s��x�7,���w��re�also�use�Theorem�4�to�pro�vide�form�ulae�of�the�same�general�form�of�those�in���Corollary�fa5,���with�a�w��reigh�t�fazero�mo�S�dular�form�in������0����(�p�)�taking�the�place�of�the��j��ӹ-function�(see���Theorem��33).����Before��w��re�b�S�egin�the�b�o�dy�of�this�w��rork,�	iw�e��mak�e�a�few�remarks�ab�S�out�its�structure.��Sections���2,�Є5,�and���7�con��rtain�results�that�ha�v�e�only�b�S�een�published�recen�tly��V,�Єif�at�all,�and�the�primary���purp�S�ose��of�this�thesis�is�to�collect�their�con��rten�t��in�to�one�place.�TSections�3�and�4,�5�on�the���other��Ihand,��)are�mostly�deriv��red�from�t�w�o�w�ell-kno�wn�pap�S�ers�([�29����]�and�[�3����],��)resp�ectiv��rely).�kThe���author���has�pro��rvided�pro�S�ofs�of�most�of�the�results�in�these�sections�that�are�necessary�for�the���pro�S�of���of�theorems�2,���3,�and���4.���The�notable�exceptions�are�theorems�12�and�16�whic��rh�are���pro��rv�en��in�[�32����]�and�[�21��],�resp�S�ectiv��rely��V.����In��|con��rtrast,���pro�viding�applications�of�theorems�2,���3�and�4,�including�Corollary�5�and���Theorem�_�33,�|�requires�results�for�whic��rh�w�e�will�not�pro�vide�pro�S�ofs;��<it�w�ould�simply�tak�e�us���to�S�o�0�far�aeld.��In�particular,�Bm�x�6�is�in��rtended�to�giv�e�a�brief�surv�ey�of�the�relev��X�an�t�denitions���and�Avtheorems�in�the�theory�of�complex�m��rultiplication,��)but�w�e�omit�the�pro�S�ofs�of�results���usually���pro��rv�en�using�class�eld�theory�and�reduction�theory�(w�e�refer�the�reader�to�[�31����,����x�I�S�I]���or���[�20����]�for�a�more�complete�accoun��rt).�#�Ergo,����x�6�can�b�S�e�skipp�ed�without�in��rterrupting�the�
o�w���of�<�ideas,�_�esp�S�ecially�if�one�is�familiar�with�complex�m��rultiplication�and�elemen�tary�calculations���in��rv�olving��elliptic�curv��res.�����X(��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS���I!7�����[����썍�B�t�2.��Q���A���chara���cteriza��32tion�of�Ramanujan's�thet�a�opera�tor�����As�i�indicated�ab�S�o��rv�e,���in�i�this�section�w��re�will�pro�v�e�a�useful�c�haracterization�of�the�deriv��X�ativ�e���of��a�mo�S�dular�form.�8�First�w��re�require�some�preparation.�Let��梍�(C	�0�%n�
eufm10�F�UR�:=�����q���US�z��5�:��������ō�33�1��33�[��z����
�΍2�����������Re��3�(�z���)����0����and����|�j�z��j���1���q��������[�������q������z��5�:�0��<���Re��3�(�z���)��<������ō����1�����[��z����
�΍2��������\and���&_0�j�z��j��>��1���q������O��b�S�e���the�standard�fundamen��rtal�domain�for�the�action�of��SL��������2��F�(�Z�)�on�the�upp�er�half�plane��H�,���and��let��"^#������e��������x�=����̼��UR�8��
�ԍ�UR>������UR<������UR>����UR:�����\�������Fu��31�1��31����z�@���2�������� f`�if��++����o�=�UR�i;����ɍ������Fu��31�1��31����z�@���3�������� f`�if��++����o�=�UR�e����2�2��I{i=�3��O��;������
���1���� f`otherwise��P�.�:������������(2.1)������$�w��The�B�purp�S�ose�of�this�section�is�to�pro��rv�e�B�the�c��rharacterization�of�the�logarithmic�deriv��X�ativ�e���of�<�a�mo�S�dular�form�giv��ren�b�y�Theorem�2.�/UThe�pro�S�of�of�the�theorem�requires�t�w�o�steps.�/UThe���rst�J:is�an�iden��rtit�y�J:due�to�Asai,�bKanek��ro,�and�J:Ninomiy�a�[�2����].�W�T��Vo�in�tro�S�duce�this�result,�bdene����j�����0����(�z���)�UR:=�1,��and,�for��h�m�UR>��1,��dene��j�����m��Ĺ(�z���)�to�b�S�e�the�unique�w��reigh�t�zero�meromorphic�mo�S�dular���form��with��q�n9�-expansion��%1���(2.2)����l{��j�����m��Ĺ(�z���)�UR:=��J�����m���(�q�n9�)�:=��q�������m����+�������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1������a�����m��Ĺ(�n�)�q������n��	k��2��q�������m��u�Z�[[�q��]]���*�W��Ve�knnote�that��j�����m��Ĺ(�z���)�is�a�p�S�olynomial�in��j��ӹ(�z��)�for�all��m�.��2In�fact,���it�is�a�p�S�olynomial�in��j�A�with���in��rtegral��Gco�S�ecien�ts,�/for��J�����m��Ĺ(�q�n9�)�can�b�S�e�formed�b�y�subtracting�suitable�in�teger�m�ultiplies�of���the���q�n9�-series��J�r�(�q��)����2�k��x��2�UR�q�����2��k��.C�Z�[[�q��]]�from��J�r�(�q��)����2�m���l�(where�0�UR���k��o<�m�).�8�The��rst�few��j�����m��Ĺ(�z���)�follo��rw:��*ߍ���j�����0����(�z���)�UR=��J�����0���(�q�n9�)�����L�a=�����_��1�;�������K�(2.3)�������:����j�����1����(�z���)�UR=��J�����1���(�q�n9�)�����L�a=�����_���j��ӹ(�z���)������744�UR=��q��n9�����1��u]�+���196884�q��+������������;�������K�(2.4)����������j�����2����(�z���)�UR=��J�����2���(�q�n9�)�����L�a=�����_���j��ӹ(�z���)�����2��j������1488�j��(�z��)���+�159768�UR=��q��n9�����2��u]�+���42987520�q��+������������;�������K�(2.5)����������j�����3����(�z���)�UR=��J�����3���(�q�n9�)�����L�a=�����_���j��ӹ(�z���)�����3��j������2232�j��(�z��)�����2��j��+���1069956�j��(�z��)������36866976�UR=��q��n9�����3��u]�+���2592899910�q��+������������:�������K�(2.6)�������W��Ve��ma��ry�equiv��X�alen�tly�dene��J�����0����(�q�n9�)�UR:=��j�����0���(�z���)�:=�1,���J�����1���(�q�n9�)�:=��j�����1���(�z���)�:=��j��ӹ(�z��)������744,��and�����(2.7)�����8��J�����m��Ĺ(�q�n9�)�UR:=��j�����m���(�z���)�:=��mj�����1����(�z��)�j�T�����0�;m������for�0W�m�UR>��1.���The�equiv��X�alence�of�this�denition�to�the��q�n9�-series�denition�(2.2)�follo��rws�from�(1.9)���and�Q�the�fact�that�a�w��reakly�mo�S�dular�form,�k_b�eing�a�p�olynomial�in��j��ӹ,�k_is�uniquely�determined���b��ry�	Qthe�co�S�ecien�ts�of�non-p�S�ositiv�e�exp�S�onen�t�in�its��q�n9�-series�expansion.���Indeed,��from�this�fact���w��re��see�that�the��J�����m��Ĺ(�q�n9�)�form�a�basis�for��M����2��1��RA��0���	�.����W��Ve��ha��rv�e�the�follo�wing:��'!��Theorem�f�6��(Asai,��nKanek��ro,�Ninomiy�a)�.�fr�As��an�identity�of�formal�p��ffower�series�in��;���q�n9�,��we���have���ݍ���(2.8)������������\�1����������X���
�ҍ�����n�=0����l
�J�����n���P�(��)�q��n9����n��	k۹=������ō����E�����4����(�q�n9�)����2�2���E�����6���(�q��)�����[��z�=42�
�΍�Q(�q�n9�)�����E���������ō��j�1���۟[��z�;��
�΍�J�r�(�q�n9�)������J��(��)�����@�'�:��� '&��R��ffemark.�i��Asai,��dKanek��ro,�and���Ninomiy�a�sho�w�in�[�2����]�ho�w�Theorem�6�implies�the�famous�de-���nominator��form��rula�for�the�Monster�Lie�algebra,�namely��э�v��J�r�(��)������J��(�q�n9�)�UR=��������1����� �ڟ��Y���'؍�
\z�m>�0����Xand���\��n�2�Z���CB��(1�����������m����q������n����)������i>�(�mn�)�����;�����j(��Z���Qo^����8�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹where��the�co�S�ecien��rts����O�(�n�)�are�dened�b�y��k����H4�j�����1����(�z���)�UR=�������
e��1������H���X���
�ҍ��n�=��1��������O�(�n�)�q��n9����n����:��!�э���Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�356.���l�{�W��Ve��require�a�companion�set�of�functions��g�����m��Ĺ(��)�indexed�b��ry�p�S�ositiv�e���in��rtegers���m�,���the��m�th�of�whic�h�can�b�S�e�dened�in�analogy�with�(2.2)�as�the�unique�w�eigh�t�2���w��reakly��mo�S�dular�form�with���-expansion������(2.9)������Z�g�����m��Ĺ(��)�UR:=��������m��K�+�������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1������b�����m���(�n�)������n�����2�M������1���ڍ�2���	�:���#/���Alternately��V,��w��re�ma�y�dene��g�����1����(��)�UR:=�����G������E��q�4��*��(��)���-:�2���E��q�6���(��)��������z�.���ꍑkb(��)�����8�K�and��E���A��g�����m��Ĺ(��)�UR:=��m������1��\|�g�����1����(��)�j�T�����2�;m���<�:��Ʊ��As���b�S�efore,�?�the�equiv��X�alence�of�these�t��rw�o���denitions�follo��rws�from�the�denition�of�the��T�����2�;m�����and�t�the�fact�that�an��ry�w�eigh�t�2�w�eakly�holomorphic�form�is�uniquely�determined�b�y�the���co�S�ecien��rts�3�in�its��q�n9�-expansion�of�negativ�e�order.�	�W��Ve�note�that�this�fact�follo�ws�from�the���w��rell-kno�wn�O�\�k�g=�12�v��X�alence�form��rula"�(see,�n�for�example,�[�18����,��x�I�S�I�I.2]),�as�O�do�es�the�corresp�onding���fact�W�for�w��reigh�t�W�zero�w��reakly�holomorphic�forms.�	�NIn�fact,��as�in�the�w�eigh�t�zero�case,��this���implies���that�the��g�����m��Ĺ(��)�form�a�basis�for�the�space��M����2��1��RA��2���	�.���F��Vurther,��"from�(1.14),�if��f����2���M����2��1��RA��0������then���f��p�2��qM����2��1��RA��2���	�,�!�and�b��ry�simply�lo�S�oking�at�the�bases��f�J�����m����g�,�f�g�����m���g�ʹw�e�ha�v�e�just�written�do�wn���w��re�էsee�that�ev�ery�elemen�t�of��M����2��1��RA��2���կ�can�b�S�e�written�as��f���for�some��f��Q�2�URM����2��1��RA��0���	�.�1�In�particular,���it���follo��rws��>from�this�observ��X�ation�and�the�denition�of��that�the�constan�t�term�of�an�y�elemen�t���of���M����2��1��RA��2���갹is�iden��rtically�zero�(whic�h�justies�the�indexing�of�(2.9)).����No��rw��w�e�note�that�����(2.10)����u|C�J�����m��Ĺ(�q�n9�)�UR:=��mJ�����1����(�q��)�j�T�����0�;m�����=��q�������m����+����ma�����1����(�m�)�q��+�������������and�����(2.11)����uā�g�����m��Ĺ(��)�UR:=��m������1��\|�g�����1����(��)�j�T�����2�;m�����=��������m��K�+����b�����1���(�m�)�q��+�������������for��Q�m�UR���1�simply�b��ry�(1.9)�and�the�fact�that��b�����1����(0)�=�0.�4F��Vurther,��/b��ry�noting�that�the�constan�t���term�k�of��J�����m��Ĺ(�q�n9�)�g�����1����(�q��)�1]�2�M����2��1��RA��2���
k��m��rust�k�b�S�e�zero�b�y�the�commen�ts�in�the�preceding�paragraph�and���using��(2.9)�and�(2.10),�w��re�ha�v�e�that�����(2.12)�����k��b�����1����(�m�)�UR=���ma�����1���(�m�)����for�|�m�UR���1.��No��rw��J�r�(��)�J�����m��Ĺ(��)��2�M�����0��<�and��J�r�(�q�n9�)�g�����m��Ĺ(�q��)�UR�2�M����2��1��RA��2���|�are�uniquely�determined�b��ry�their���-���(resp.,�Ŕ�q�n9�-)��Nexpansion�co�S�ecien��rts�of�non-p�ositiv��re�exp�onen��rt,�Ŕas�w�e'v�e�remark�ed�b�S�efore.�)mDene�����-expansion��co�S�ecien��rts��c�(�n�)�b�y��k����~��J�r�(��)�UR=��������1��$�+�������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=0������c�(�n�)������n���ƶ��By�U�comparing�co�S�ecien��rts�using�equalities�(2.10),��~(2.11),�(2.12)�U�and�the�observ��X�ation�that����b�����1����(0)�UR=�0,��w��re�obtain�the�recurrence�relation�����(2.13)����k~��J�r�(��)�J�����m��Ĺ(��)�UR=��J�����m�+1���@�(��)���+����������m��������X���
㇍�t��i�=0������c�(�m����i�)�J�����i��dڹ(��)����b�����1����(�m�)������	|���Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS���I!9�����[����썹for��all��m�W���0.��Th��rus,���m�ultiplying��b�S�oth�sides�of�(2.13)�b��ry��q��n9���2�m����and�summing�o�v�er��m�W���0��w�e���obtain��H[���(2.14)����.���J�r�(��)���������1���������X���
�ҍ����m�=0���a<�J�����m��Ĺ(��)�q��n9����m���O�=������ō���1�����[��z����
�΍��q��������(���������1���������X���
�ҍ�m�=0���a>�J�����m���(��)�q��n9����m��������1)�+�(�J��(�q�n9�)��������ō��۹1���۟[��z����
�΍��q�����
�
�)���������1���������X���
�ҍ����m�=0���a<�J�����m��Ĺ(��)�q������m������g�����1����(�q��)�+������ō���1���۟[��z����
�΍��q�����
�
:���$U��Noting��that��g�����1����(�q�n9�)�UR=�����G������E��q�4��*��(�q�I{�)���-:�2���E��q�6���(�q��)��������z�.XA��ꍑH�(�q�I{�)�����4��,�w��re�see�that�(2.14)�is�a�rewriting�of�(2.8).��Z�����	:��Corollary��7.��Fix�35���o�2�UR�H�.�fiThen�����������ō��-�E�����4����(�z���)����2�2���E�����6���(�z��)���-�[��z�=�П
�΍�~8(�z���)����������ō��S1���[c�[��z�8s۟
�΍�j��ӹ(�z���)������j��(��W�)�����W�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=0������j�����m��Ĺ(��W�)�q��n9����n�������as�35mer��ffomorphic�functions�in��z���on��F�.�������Pr��ffo�of.���#�R�Compare�h/F��Vourier�(�q�n9�-series)�co�S�ecien��rts�in�a�deleted�neigh�b�S�orho�o�d�h/of�innit�y�using���Theorem��6.����������R��ffemark.��9�The�ثmain�result�of�[�2����]�is�the�statemen��rt�that�the�zeros�of��j�����m��Ĺ(�z���)�in��F��are�simple�and���are�Zall�con��rtained�in�the�in�tersection�of�the�unit�circle�with��F�.���The�tec�hnique�they�use�is���analogous��to�that�used�b��ry�Rankin�and�Swinnerton-Dy�er�to�pro�v�e�that�the�\non�trivial"�zeros���of�_��E�����k��#��(�z���)�ha��rv�e�_�the�same�prop�S�ert��ry��V,�}Esee�[�26����].���F�or�y��ret�another�family�of�mo�S�dular�forms�whose���zeros��ha��rv�e�the�same�prop�S�ert�y��V,�see�[�12����].����W��Ve��also�require�the�follo��rwing�prop�S�osition,�whic�h�follo�ws�from�basic�complex�analysis:����Prop�`osition��8��([�7����])�.�/��L��ffet��d�f�<�=��������P����*������1��	U_�����n�=�h���#�N�a�����f��w�(�n�)�q��n9���2�n��
���b�e�a�mer�omorphic�function�in�a�neighb�orho�o�d���of�35�q��=�UR0�,�normalize��ffd�so�that��a�����f��w�(�h�)�=�1�.�fiThen�ther��ffe�ar�e�c�omplex�numb�ers��c�(�n�)��such�that���`����S�f��Q�=�UR�q��n9����h�����������1�����+���Y���
�ҍ��(�n�=1�����(1������q��n9����n����)�����c�(�n�)���A�;������wher��ffe�35the�pr�o�duct�c�onver�ges�in�a�suciently�smal���l�neighb�orho�o�d�of��q�Ë�=�UR0�.�fiMor�e�over,��������(2.15)���������ō��V�f���V�[��z�6/�
�΍���f������͹=�UR�h�����������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1�����������X��������t�d�j�n���)UT�c�(�d�)�dq��n9����n����:���$]^��R��ffemark.�s�W��Ve�ͳwill�refer�to�the��c�(�n�)�asso�S�ciated�to�a�giv��ren�meromorphic�mo�dular�form��f���b��ry���Prop�S�osition��8�as�the��Bor��ffcher�ds�35exp�onents�腹of���f�G��.������Pr��ffo�of.���#�R�As��~usual,��3w��re�understand�that�complex�p�S�o�w�ers�are�dened�b�y�the�principle�branc�h�of���the���complex�logarithm.�%�W��Vrite��F��ƹ(�q�n9�)�UR:=��f�G��(�z���),��fand���then�note�that��q�F���Ɵ��2�0��o��(�q��)�=F��ƹ(�q��)�is�holomorphic���at��v�q��=���0.�oIW��Ve�ma��ry�therefore�write�its�T�a��rylor�expansion�around��q��=���0,�֩v��X�alid�in��j�q�n9�j��<���for���some����UR>��0,�as���O���(2.16)�����H��q�n9F���Ɵ���0��o��(�q��)�=F��ƹ(�q��)�UR=��h�����������X���
��R��n��1���������(�n�)�q��n9����n����:���!x%��F��Vor���n�UR���1�dene��8����]��c�(�n�)�UR:=������ō�L1�����[��z���
�΍�n���������?���X�������w��d�j�n���"�����(�d�)��(�n=d�)�����
�.��Z���Qo^����10�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹where�����is�the�M����o�����bius�function.�8�By�M����o���bius�in��rv�ersion��w�e�ha�v�e���������#����(�n�)�UR=�������X�������
��d�j�n������c�(�d�)�d:��������(2.17)������!���If�q�w��re�x��q�����0��1��with��j�q�����0����j�UR�<��,���then�q�b�y�absolute�con�v�ergence�of�(2.16)�w�e�ha�v�e�����(�n�)�UR=��O�UV�(�j�q�����0����j����2��n��Dȹ)���for��all��n�.�8�Th��rus�the�double�sum������(2.18)�������ɰ���X���
���h��m;n��1����N��c�(�n�)�nq��n9����mn�������con��rv�erges��absolutely�in��j�q�n9�j�UR�<��j�q�����0����j�꨹and�hence�in��j�q��j�UR�<��.����Supp�S�ose��for�the�remainder�of�the�pro�of�that��j�q�n9�j�UR�<��.�8�F��Vrom��(2.16)�and�(2.17)�w��re�ha�v�e��0񍍍������ō�q���d��n��[��z���
�΍dq������}��log���Q(�F��ƹ(�q�n9�)�q�������h��p��)������ь=����������ō��(G�F���Ɵ��2�0��o��(�q�n9�)���(G�[��z�ҝ�
�΍�g�F��ƹ(�q�n9�)������ؿ�������ō����h���۟[��z�Ê�
�΍���q��������$�I�����ь�=�����������������X���
���D�n��1���UT�c�(�n�)������ō�&�d��33�[��z���
�΍dq�������%L��z�� �����+B��X���
���N�m��1��������ō�/9��q��n9���2�mn���/9��[��z����
�΍�D��m������C=��z��!������)������ь�=����������ō���:�d���(G�[��z���
�΍dq��������`��z�� �������b��X���
���B��n��1���	��c�(�n�)����log��-I(1������q��n9����n����)���z��!���d��:�����~��The�/3in��rterc�hange�of�summation�and�in�tegration�can�b�S�e�justied�b�y�using�lo�S�cal�uniform�con-���v��rergence��as�w�e�did�in�pro�ving�the�absolute�con�v�ergence�of�(2.18).����Up�S�on��in��rtegrating,�w�e�obtain�������log���.(�F��ƹ(�q�n9�)�q�������h��p��)�UR=�������X���
�����n��1������c�(�n�)����log��-I(1������q��n9����n����)�:�� ����Here���w��re�use�the�normalization��a�����f��w�(�h�)�^]=�1.�H�No�w����c�(�n�)����log��-I(1��F���q��n9���2�n����)�and��log��C(1����q��n9���2�n����)����2�c�(�n�)���9�dier�b��ry���Ӎin��rteger��m�ultiples�of�2��n9i�.���Since��c�(�n�)����log��-I(1������q��n9���2�n����)���!��0�as��n��!�1�,��w��re�ha�v�e��log��2A(1������q��n9���2�n����)����2�c�(�n�)��uY�!���0���as��w��rell.�+�Th�us,���as��n�p|�!�1�,���these�t��rw�o�quan�tities�dier�in�v��X�alue�only�nitely�man�y�times;��2it���follo��rws��that�there�exists�an�in�teger��N�+��suc�h�that�����}��log���1(�F��ƹ(�q�n9�)�q�������h��p��)�UR=�������X���
�����n��1�������log��%��(1������q��n9����n����)�����c�(�n�)����+�2��n9iN���:���~��T��Vaking��the�exp�S�onen��rtial�on�b�oth�sides�nishes�the�pro�of�of�the�prop�osition.��N�����6D���W��Ve��no��rw�pro�v�e�Theorem�2.������Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�352.���l�{�Cho�S�ose�@�C��`>��¹0�large�enough�so�that�all�p�oles�of��f���in��F��(excluding�an��ry���at�a�the�cusp�at�innit��ry)�ha�v�e�imaginary�part�less�than��C�ܞ�.���Let��L�˹:=��f�t����+��iC��i�:��������Fu��33�1��33����z�@���2�����
�5���t�������Fu��R��1��R�����z�@���2������g����and���consider�the�con��rtour�in��H��formed�from�the�part�of��@���F��of�imaginary�part�less�than��C����and��&�L�.�w[Mo�S�dify�this�con��rtour�as�in�the�pro�of�of�the�classical��k�g=�12�v��X�alence�form��rula�(see,��for��Z΍example,��S[�18����,��x�I�S�I�I.2,��Sp.�s}115]),�sp�S�ecically��V,�if�there�are�p�S�oles�of��f��|�at��i��or��!�Ë�:=�UR�e����2�2��I{i=�3���m�(whic��rh,�b�y���mo�S�dularit��ry��V,�X�implies�B�the�existence�of�a�p�ole�at��e����2��I{i=�3���),�X�form�half�and�\sixth"�circles�of�radius����r�)�>���0�̫around�them,�,and�if�there�are�p�S�oles�of��f���on�the�b�oundary��V,�,form�t��rw�o�̫half�circles�of���radius�j��r���>�.�0�around�them,��{one�enclosing�the�p�S�ole�on�one�side�of�the�fundamen��rtal�domain,���one��not�enclosing�the�p�S�ole�whic��rh�m�ust�exist�on�the�other�side�(giv�en�that��f�5��is�mo�S�dular).���Call��	the�left�v��rertical�side�of�this�con�tour��
�����1����(�r�S��),��\the�righ�t�v�ertical�side��
�����2����(�r�S��),��\and�the�b�ottom����
�����3����(�r�S��).��T��Vak��re�T�the�mo�died�con��rtour��
�����1����(�r��)�x�[��L��[��
�����2����(�r��)��[��
�����3����(�r��)�T�to�ha��rv�e�T�p�ositiv�e�T�(coun�terclo�c�kwise)���orien��rtation.���������Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#11�����[����썑�If��w��re�in�tegrate�������(2.19)���������ō��h�1���ۏ�[��z����
�΍2��n9i����������ō��<�f��G����2�0��8�(�z���)���<��[��z���
�΍�g�f�G��(�z���)������rm�j�����n���P�(�z���)���ެ�along�rmthis�full�con��rtour�and�let��r����!�UR�0,��yb�y�holomorphicit�y�of��j�����n��	��on��H��the�in�tegral�will�b�S�e�equal���to��N���(2.20)��������Vğ��X��������Q"���r�2�F�f�!�I{;i�g����ޱ��ord���望�������ܹ�(�f�G��)�j�����n���P�(��W�)�:���"썹W��Ve��can�also�in��rtegrate�(2.19)�in�pieces,�from�whic�h�w�e�see�that�(2.20)�is�equal�to��lU����/a�������ō�33�1��33�[��z����
�΍3������
F`ord���?8����!��!Q��(�f�G��)�j�����n���P�(�!�n9�)����������ō��۹1���۟[��z����
�΍2�������ord��������i��!N��(�f��)�j�����n���(�i�)���+���甆�Z���	UT�
�_�L�������ō��]�f��G����2�0��8�(�z���)���]�[��z���
�΍�g�f�G��(�z���)�����--�j�����n���(�z���)�dz�3��+���甆�Z���	UT�
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō� B��f��G����2�0��8�(�z��)�� B̟[��z���
�΍�g�f�G��(�z��)�����:x��j�����n���P�(�z��)�dz�������(2.21)������"s�����=�=�����/a�������ō�33�1��33�[��z����
�΍3������
F`ord���?8����!��!Q��(�f�G��)�j�����n���P�(�!�n9�)����������ō��۹1���۟[��z����
�΍2�������ord��������i��!N��(�f��)�j�����n���(�i�)���+������ō�	k11���۟[��z����
�΍2��n9i��������甆�Z����`�
�_�L������!q�%cmsy6�0��������ō�*�0�F���Ɵ��2�0��o��(�q�n9�)��*�0�[��z�ҝ�
�΍�g�F��ƹ(�q�n9�)�����F��J�����n���(�q�n9�)�dq��+���甆�Z���	UT�
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō� B��f��G����2�0��8�(�z���)�� B̟[��z���
�΍�g�f�G��(�z���)�����:x��j�����n���(�z���)�dz�:�������Here���L����2�0����is�a�simple�lo�S�op�around��q�Ë�=�UR0.�8�By�Prop�osition�8�w��re�ha�v�e��Hl�������ō����q�n9F���Ɵ��2�0��o��(�q��)�����[��z� v��
�΍�9�F��ƹ(�q�n9�)�������=������ō���(�f�G��)�����[��z�Y��
�΍�	#��f�����"j��=�UR�h�����������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1�����������X��������t�d�j�n���)UT�c�(�d�)�dq��n9����n���[email protected]��and��th��rus,�applying�the�residue�theorem,�w�e�ha�v�e���������ō����1���6z�[��z����
�΍2��n9i�������dS�甆�Z������
�_�L������0��������ō��;��F���Ɵ��2�0��o��(�q�n9�)���;ϟ[��z�ҝ�
�΍�g�F��ƹ(�q�n9�)������A��J�����n���P�(�q�n9�)�dq�Ë�=����UR���X�������
��d�j�n������c�(�d�)�d:�����W��Ve��`no��rw�deal�with�the�last�term�in�(2.21).�7�By�Prop�S�osition�1,��if�the�w�eigh�t�of��f�/_�is��k�g�,��there���exists��a�w��reigh�t���k�Ź+���2�mo�S�dular�form��g�X�suc��rh�that�������3�c�甆�Z���:��
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō�Q���f��G����2�0��8�(�z���)��Q���[��z���
�΍�g�f�G��(�z���)�����k�W�j�����n���P�(�z���)������`�=�������\2��n9i�����甆�Z������
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō��"�(�f�G��)���"�[��z�Y��
�΍�	#��f�����:%j�����n���P�(�z���)�dz�������(2.22)������"s������`�=�������\2��n9i�����甆�Z������
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō� .�g��(�z���)���"�[��z�4d�
�΍�f�G��(�z���)�����6���j�����n���P�(�z���)�dz�3��+���2��i�����甆�Z������
�_�
��q�3��*��(�r�<r�)�������ō�"6Y�k���"�[��z����
�΍�12�����,�M�j�����n���(�z���)�E�����2����(�z��)�dz�:����x͍�No��rw��ylet���Wȹdenote�the�path�along�the�unit�circle�from��i��to��!�n9�,���tak�en�with�p�S�ositiv�e�orien�tation,���and�|S�S�/*�the�fractional�linear�transformation�dened�b��ry��S��׹(�z���)�MD=���1�=z��.���Then�|S�
�����3��	
H�=�����%�+�
��S�����O�,���and��th��rus�the�righ�t�hand�side�of�equation�(2.22)�is�equal�to����������d���q����(9�甆Z���.䍟
�_���������ō�>�~�g�n9�(�z���)��>br�[��z�4d�
�΍�f�G��(�z���)�����U�	�j�����n���P�(�z���)�dz�3��+�����甆�Z���	UT�
�_�S�r}�������ō�V��g�n9�(�z��)��ԣ�[��z�4d�
�΍�f�G��(�z��)�����/<:�j�����n���(�z��)�dz����q������۹+������ō�|�k���۟[��z����
�΍�12����������q�����\�甆Z���"Q�
�_����0���j�����n���P�(�z���)�E�����2����(�z��)�dz�3��+�����甆�Z���	UT�
�_�S�r}���p�j�����n���(�z��)�E�����2����(�z��)�dz����q�������"J����A�=����������ō�#5��k�� ���[��z����
�΍�12�������/���q����8`=�甆Z���?
�
�_����MU��j�����n���P�(�z���)�E�����2����(�z��)�dz�3��+�����甆�Z���	UT�
�_�S�r}���p�j�����n���(�z��)�E�����2����(�z��)�dz����q�����������A�=����������ō�#5��k�� ���[��z����
�΍�12�������/���q����8`=�甆Z���?
�
�_����MU��j�����n���P�(�z���)�E�����2����(�z��)�dz�3��+�����甆�Z���	UT�
�_�����j�����n���(�z��)�E�����2����(�z��)�dz�3��+�����甆�Z���	UT�
�_��������ō���12��6��[��z����
�΍2��n9i����������ō�%��j�����n���(�z��)��%�ϟ[��z��}�
�΍�	�$�z�����@qdz����q�������"Ӎ���A�=����������ō�%�K�k�� ���[��z����
�΍�2��n9i������4ŕ�甆�Z���;pA�
�_��������ō�DQ��j�����n���P�(�z���)��DQ��[��z��}�
�΍�	�$�z�����_+^dz���:������T��Vo��sobtain�the�rst�equalit��ry�w�e�used�the�functional�equation�for�elemen�ts�of��M����2��1��RA��2����{�along�with���a�m�standard�c��rhange�of�v��X�ariables�(whic�h�in�tro�S�duces�a�factor�of�1�=z������2�2��H�).�1T��Vo�mo�v�e�from�the�second������ܠ�Z���Qo^����12�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹line���to�the�third�w��re�used�the�functional�equation�for�elemen�ts�of��M����2��1��RA��2���	�,���a�c�hange�of�v��X�ariables,���and��the�functional�equation�(1.5)�for��E�����2����(�z���).���P��No��rw,���instead�k'of�trying�to�ev��X�aluate�����Fu��t��k���Z����z�O����2��I{i������!s��UQ�R�����*��������G���"��j���n��7�(�z�V��)��"������z�u_��ꍑ�Y�z�����7V�dz��
�directly��V,�w��re�plug��f��Q�=�UR�in�to�(2.21),���notice����that��ꨟ����P����U�����r�2�F���"���ord���3~v������8���(�f�G��)�j�����n���P�(��W�)�UR=�0,��and�thereb��ry�obtain���W���������ō���"1���m̟[��z����
�΍2��n9i����������甆�Z����FQ�
�_��������ō��'��j�����n���P�(�z���)���'��[��z��}�
�΍�	�$�z������ndz��������=������>-�������ō�#1�1��33�[��z����
�΍12������&\�甆�Z�����
�_��������ō��u�����2�0���9�(�q�n9�)���u�[��z�`K�
�΍�g(�q�n9�)�����<E��J�����n���P�(�q�n9�)�dq���� ���������=������>-�������ō�#1�1��33�[��z����
�΍12��������&\���X����������d�j�n���#{��c�(�d�)�d����Lҍ������=������>-��2������1����(�n�)����S<�where��<�c�(�d�)�UR���24�are�(just�for�the�purp�S�oses�of�the�preceding�equation)�the�pro�duct�expansion���exp�S�onen��rts��of�(�z���)�UR=��q��n7�����Q����*���
�1��	U_��
Î�n�=1���HZ�(1������q��n9���2�n����)����2�24��	�.����Th��rus,��collecting�all�of�this,�equation�(2.21)�implies�that���ڍ������"���X���%���������r�2�F�����x�e��������2$�ord���*�������]"�(�f�G��)�j�����n���P�(��W�)�UR=�������X�������
��d�j�n������c�(�d�)�d������2�k�g�����1����(�n�)��!ub��No��rw��w�e�recall�that�b�y�Theorem�6,�it�is�sucien�t�to�sho�w�that�����������ō�xI(�f�G��)��xI�[��z�Y��
�΍�	#��f���������=������ō����k�gE�����2������[��z��4�
�΍��12�����\���������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1���������z�� ��������X���%��� r����r�2�F���2�V�e��������2$�ord���*�������]"�(�f�G��)�j�����n���P�(��W�)���z��!����tw�q��n9����n����:�� =��T��Vo��pro��rv�e�this�iden�tit�y��V,�w�e�apply�Prop�S�osition�8,�note��M��������ō��d�k���x-�[��z����
�΍�12������kX�E�����2����(�z���)�UR=������ō�&��k�����[��z����
�΍�12�����&X�����2�k����������1�����g���X���
�ҍ�a�n�=1����q������1���(�n�)�q��n9����n����;������and��argue�co�S�ecien��rt�b�y�co�S�ecien�t.��NThe�only�co�S�ecien�t�that�migh�t�b�S�e�unclear�is�the�constan�t����n���=�0�O�term.�hjIn�this�case,�i"on�the�left�w��re�ha�v�e��h;��whic�h�is�the�order�of��f��չat�innit�y��V,�i"and�on���the��righ��rt�w�e�ha�v�e�����Fu�����k��	F����z������12�����=����������P���+K�����r�2�F��!��e��������2$�ord���*�������]"�(�f�G��),��1whic�h�is�precisely��ord��������1����(�f�G��)�UR=��h���b�y�the��k�g=�12�v��X�alence����form��rula��(for�example,�see�[�18����,��x�I�S�I�I.I�I,��p.�115]).������k����������W��Ve�܅remark�here�that�the�deriv��X�ativ��re�form�ula�of�Theorem�2�explicitly�relates,��via�Prop�S�osition���2.15,��dthe�|�co�S�ecien��rts��c�(�n�)�of�the�pro�duct�expansion�of�a�mo�dular�form�to�a�sp�ecic�w��reigh�t���2��meromorphic�mo�S�dular�form.�%FThis�relationship�is�in�the�spirit�of�the�w��rork�of�Borc�herds���on�G�the�pro�S�duct�expansion�exp�onen��rts�of�Jacobi�forms�with�Heegner�divisors.�O{See�[�6����]�for�the���details��of�this�theory��V.����As�ݲw��re�men�tioned�in�the�in�tro�S�duction,�ZuAhlgren,�in�ݲ[�1����],�has�pro��rv�en�a�generalization�of���Theorem�:k4�to�certain�gen��rus�zero�congruence�subgroups.�	()W��Ve�will�state�his�theorem�after���xing��some�notation.�8�Dene�Dedekind's�eta-function�����:a��n9�(�z���)�UR:=��q�����O��v��1���l�s^�\)UN���24����������lM�1�����
����Y���
�ҍ����n�=1������(1������q������n����)�����as��usual.�8�F��Vor��p�UR�=�2�;����3�;��5�;��7��or�13,�let��{������j���ӟ���(�p�)����(�z���)�UR:=�����q��������ō�P���n9�(�z��)��
]ݟ[��z�A��
�΍��n9�(�pz��)������)�Ɵ�q�������~�6���24��3�Q�s^�\)
L�����p��1����F0m�2�M������1���ڍ�0���	�(�����0����(�p�))�:�����
� �Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#13�����[���캍�This�D#�j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)�is�a�mo�S�dular�form�with�a�simple�p�ole�at��1��and�a�simple�zero�(with�resp�ect�to���lo�S�cal��co�ordinates)�at�0.��]Additionally��V,�mits�restriction�to�a�fundamen��rtal�domain�for�the�action�of��������0����(�p�)���on��H��forms�a�bijection�from�that�fundamen��rtal�domain�to��C�.��In�analogy�with�(2.2),���w�e��"!�no��rw��,dene�a�sequence�of�mo�S�dular�functions��f�j����ߍ����(�p�)��]G��m�����(�z���)�g����2��1��RA��m�=0����@�.�2Let��j����ߍ����(�p�)��	S�0����(�z���)�UR:=�1��,and�for��m�UR>��0��,let����j����ߍ����(�p�)��]G��m�����(�z���)����2�M����2��1��RA��0���	�(�����0����(�p�))�:�b�S�e�the�unique�mo�dular�function�whic��rh�is�holomorphic�on��H�,�N�v��X�anishes���at��the�cusp�0�and�whose�F��Vourier�expansion�at�innit��ry�has�the�form��R}����q�j���������(�p�)���ڍ�m�����(�z���)�UR=��q��n9�����m����+����c�(0)�+��c�(1)�q��+��c�(2)�q��n9����2����+������������:��������(2.23)������Because��9�����0����(�p�)�is�gen��rus�zero,�жeac�h�of�these�functions�can�b�S�e�written�as�monic�p�olynomials�in����j����ߍ����(�p�)��	S�1�����(�z���)�UR=��j���ӟ��2�(�p�)���(�z���)��with�constan��rt�term�equal�to�zero.�8�F��Vor�example,�w�e�ha�v�e��*㍍����j����ߍ����(5)��	S�0���	O�(�z���)�����@�=�����T1�;�����!�����j����ߍ����(5)��	S�1���	O�(�z���)�����@�=�����T�j���ӟ���(5)��	O�(�z���)�UR=��q��n9�����1��u]�����6�+�9�q��+�10�q��n9����2�������30�q��n9����3���+������������������j����ߍ����(5)��	S�2���	O�(�z���)�����@�=�����T�j���ӟ���(5)��	O�(�z���)�����2��j��+���12�j���ӟ���(5)���(�z��)�UR=��q��n9�����2��u]�����18�+�20�q��+�21�q��n9����2����+�192�q��n9����3���+������������������j����ߍ����(5)��	S�3���	O�(�z���)�����@�=�����T�j���ӟ���(5)��	O�(�z���)�����3��j��+���18�j���ӟ���(5)���(�z��)�����2��j��+���81�j���ӟ���(5)���(�z��)�UR=��q��n9�����3��u]�����24����90�q��+�288�q��n9����2����+�144�q��n9����3���+��������������In��Wanalogy�with�our�denition�of��F�,�ɛw��re�dene��F�����p�����to�b�S�e�a�fundamen�tal�domain�for�the�action���of�������0����(�p�)�on��H�,��itaking�the�con��rv�en�tion��that��F�����p��	Wl�do�S�es�not�include�the�t��rw�o��cusps��1��and�0.�)If��}&����o�2�UR�H�,��then�(in�analogy�with�(2.1))�w��re�dene��e����ߍ�(�p�)��]G������'�2�����G����
UT�1�;�����Fu��31�1��31����z�@���2������h�;�����Fu��31�1��31����z�@���3��������G��	���2��b��ry��0a��A���e������(�p�)���ڍ�����'�:=�UR(��the��order�of�the�isotrop��ry�subgroup�of���������AŹin���������0����(�p�)�=�f�I���g�)������1��\|�:����W��Ve��can�no��rw�state�the�follo�wing�theorem:�����Theorem�9��([�1����])�.��Supp��ffose�that��p�UR�2�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g��and�that��f�G��(�z���)�UR=�������P����*������1��	U_�����n�=�h���#*��a�(�n�)�q��n9���2�n��	k��2�M����2��mer���o��y���k���	�(�����0����(�p�))�,���normalize��ffd�35so�that��a�(�h�)�UR=�1�.�fiThen��͍��������ō�%|���S�f��%|��[��z����
�΍��f�����6��=�UR�����:���X���%��������r�2�F���p���������z�� ��!K �e������(�p�)���ڍ�����������{�1�����
cӟ��X���
�ҍ��n�=1��� �)�j���������(�p�)���ڍ�n�����(��W�)�q��n9����n������z��!���oQ�+������ō����h������k�g=�12���۟[��z�-���
�΍�	���p������1�����5Mf�����pE�����2����j�V��p�(�p�)�+������ō����pk�g=�12����h���۟[��z�3w]�
�΍���p����1�����;3���E�����2���:����"~����W��Ve��~will�not�pro��rvide�a�pro�S�of�of�this�theorem;�5�it�is�en�tirely�analogous�to�the�pro�S�of�of�Theorem���2�o*except�for�some�diculties�whic��rh�naturally�arise�when�dealing�with�congruence�subgroups.���W��Ve��note�that�a�form��rula�analogous�to�Corollary�7�holds�in�the������0����(�p�)�case�for��p�UR�2�f�2�;����3�;��5�;��7�;��13�g����as��w��rell�(see�[�1����]).��
f����~3.������Serre's����p�-adic�modular�f���orms�����W��Ve�6,b�S�egin�with�the�notion�of�congruen��rt��q�n9�-series.�	mTw�o��q�n9�-series��f�G��(�z���)���=�������P����*���4G�1��	U_��4G�n�=�n��q�0����)��a�(�n�)�q�����2�n���#�2��㗍�q��n9���2�n��q�0���
A0�Z�[[�q�n9�]]��and��g��(�z���)�UR=�������P����*������1��	U_�����m�=�m��q�0����,P��b�(�m�)�q�����2�m���O�2��q�����2�m��q�0������Z�[[�q��]]��are�said�to�b�S�e��c��ffongruent�35mo�dulo��N�+��if���8���{t�a�(�k�g�)�UR���b�(�k��)���(�mo�S�d���B�N�@�)���for���all��k�g�.��DF��Vor�primes��p�,���w��re�sa�y�that�a��q�n9�-series��f�G��(�z���)�with�in�tegral�co�S�ecien�ts�is�a��we��ffakly�mo�dular���form��mo��ffdulo��p����2�n��
V��if��Fit�is�congruen��rt�mo�S�dulo��p����2�n���to�a�mo�S�dular�form��g�n9�(�z���)��I�2�M����2�1��/��\�/��q�����2��m��q�0���:�Z�[[�q��]].���This��is�written�as��"]������f�G��(�z���)�UR���g�n9�(�z��)���(�mo�S�d���B�p�����n���P�)�����W��Ve�6�note�here�that�the�theory�of�mo�S�dular�forms�mo�dulo�prime�p�o��rw�ers�6�is�quite�w��rell�dev�elop�S�ed;���for�Ņa�basic�in��rtro�S�duction,��<see�[�19����,��x�IV.X],�and�for�a�v��X�ariet��ry�of�in�teresting�n�um�b�S�er-theoretic���applications,��see�[�24����].�����ҟ��Z���Qo^����14�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑�W��Ve�4b�S�egin�b��ry�establishing�some�w�ell-kno�wn�congruences�in�v�olving�the�Eisenstein�series����E�����k��#��(�z���).�	>KFirst�A�w��re�recall�t�w�o�classical�Bernoulli�n�um�b�S�er�congruences�(see�[�15����,���p.�233-238]).���Let�
[�D�����n��	���b�S�e�the�denominator�of�the��n�th�Bernoulli�n��rum�b�er,�written�
[in�lo��rw�est�
[terms.���The�v��ron���Staudt-Clausen��congruences�state��Mэ��(3.1)�����v��D�����n�����=�UR6����
����Y����������(�p��8:�i��,r��1)�j�n���$q��p�����i���� �G��where���the��p�����i��dڹ's�are�prime.���Let��p������5���b�S�e�prime.�No��rw�supp�S�ose��m������2���is�ev�en�and��m����2�0��u�����m����(�mo�S�d���B��(�p����2�r���b�))��where����is�the�Euler���-function.�8�Then�the�Kummer�congruences�state�����(3.2)���������ō�x�(1������p����2�m���-:�0������1����)�B�����m������0����x [��z�Lʌ�
�΍�ڟ�m������0�������5��������ō����(1������p����2�m��1���@�)�B�����m������[��z�Gf��
�΍����m�����Y"��(�mo�S�d���B�p�����r���b�)�:����q���Using��these�congruences,�w��re�pro�v�e�the�follo�wing�lemma:��D؍�Lemma��10.��F���or�35�r�����UR�1��and��p����5�,��Y=����(3.3)�������(�E�����p��1���ٹ(�z���))�����p���-:�r�1���1�������UR�1���(�mo�S�d���B�p�����r���b�)�:�������Pr��ffo�of.���#�R�W��Ve��ha��rv�e��!:6���(�����E�����p��1���ٹ(�z���)�)����0�ß�*��p���-:�r�1���1���FV��=���UR��z�� ���T�1����������ō��۹2(�p����1)���۟[��z�)sԟ
�΍�qm�B�����p��1������������4��1�����0����X���
�ҍ�1-&�n�=1���C�6������p��1���ٹ(�n�)�q��n9����n������z��!������S��*��p���-:�r�1���1�����2�=���UR��z�� ���T�1����������ō��۹2(�p����1)�D�����p��1����۟[��z�B�&�
�΍��4�U�����p��1������������NT��1�����I�2���X���
�ҍ�J�x�n�=1���]?�������p��1���ٹ(�n�)�q��n9����n������z��!�����9���*��p���-:�r�1���1����^덹where�t��U�����p��1����is�an�in��rteger�coprime�to��D�����p��1���ٹ.��?F��Vrom�(3.1)�w�e�ha�v�e��p�j�D�����p��1����whic�h�implies�(3.3)���after��an�application�of�the�binomial�theorem.�����������W��Ve��also�record�here�the�follo��rwing�congruences,�whic�h�will�b�S�e�useful�in��x�7:����Lemma��11.��Supp��ffose�35�k��o��UR�4��is�even.�fiThen��^ߍ����E�����k��#��(�z���)�UR���1���(�mo�S�d���B24)�;����and,�35if��p�UR���5�35�is�a�prime�such�that��(�p������1)�UR�j��k�g�,�������E�����k��#��(�z���)�UR���1���(�mo�S�d���B�p�)�:��D؍���Pr��ffo�of.���#�R�These��b�S�oth�follo��rw�immediately�from�the�v�on�Staudt-Clausen�equation�(3.1).��!^��������Before�g�w��re�can�pro�S�ceed�an�y�farther,���w�e�m�ust�generalize�the�notion�of�congruen�t�mo�S�dular���forms���in��rtro�S�duced�ab�o��rv�e.�"�Let����K��t�b�e�a�n��rum�b�er���eld�with�ring�of�in��rtegers��O�����K��;¹,��3and��m�UR��O�����K��㘹an���ideal.�8�W��Ve��dene�the��or��ffder�35of��f�{4�mo�dulo��m�꨹b��ry��^ߍ����S�Ord������-����m���nb�(�f�G��)�UR:=���min�����f�n��:��a�(�n�)��62��m�g����with��rthe�con��rv�en�tion��rthat���Ord�����֟���m����(�f�G��)�UR:=�+�1��r�if��a�(�n�)�UR�2��m��r�for�all��n�.�!�Though�this�is�certainly�not���ob��rvious��a�priori,���giv�en�a�mo�S�dular�form�with�co�ecien��rts�in��O�����K��;¹,���one�need�only�c�hec�k�nitely���man��ry��	�q�n9�-series�co�S�ecien�ts�to�calculate��ord��������m����(�f�G��).�gThe�follo�wing�theorem�of�Sturm�(see�[�24����,����x�2.9]��or�[�32����])�mak��res�this�precise:��D؍�Theorem�]�12.�b��Supp��ffose����k�E���(�0��is�an�inte�ger�and��K��g�is�a�numb�er�eld�with�ring�of�inte�gers����O�����K��;��.�6�Mor��ffe�over���let��f��Q�=��UR�����P����*������1��	U_�����n�=0���"���a�(�n�)�q��n9���2�n��	k��2�UR�M�����k��#��(�����0����(�N�@�))�k��\�O�����K���[[�q�n9�]]�.�6�If����m�UR��O�����K��ߐ�is�an�ide��ffal�for�which��Rs�������Ord���������m����(�(�f�G��)�UR�>������ō�&�k�����[��z����
�΍�12�����{�[�����0����(1)�:������0���(�N�@�)]�����then���35Or��ffd�����۟���m��k�(�f�G��)�UR=�+�1�.�����籠�Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#15�����[������R��ffemark.��W�W��Ve��awill�not�pro��rv�e��athis�theorem�in�this�thesis.��W�e�will�only�require�it�for�the�pro�S�ofs���of�ڳtheorems�3�and�4,�and�there�w��re�only�in�v�ok�e�it�brie
y�to�pro�v�e�that�w�e�can�normalize�certain���forms���so�that�they�ha��rv�e���co�S�ecien�ts�in�a�ring�of�in�tegers.�gfT��Vo�see�ho�w�this�w�orks,��`consider���some��form��f��Q�2�UR�M�����k��#��(�����0����(�N�@�))�with��p�-in��rtegral�algebraic�co�S�ecien�ts.���Then�w�e�can�pic�k�an�in�teger��Gč�M��6��UR�1�UP(�mo�S�d���B�p�)�ʋsuc��rh�that�the�rst�����Fu�����k��������z������12��������[�����0����(1)�:������0���(�N�@�)]�ʋco�S�ecien��rts�of��M�f���are�con��rtained�in�the���ring�yjof�in��rtegers�of�some�n�um�b�S�er�eld��O�����K��;¹.��%Applying�Theorem�12,��it�follo�ws�that�all�of�the���co�S�ecien��rts��9of��M�@�f��8�are�in��O�����K��;¹,��in�other�w�ords,��w�e�ha�v�e�pro�S�duced�a�form��M�@�f����^�f��O�(�mo�d���B�p�)���with��algebraic�in��rteger�co�S�ecien�ts.��'>��Elemen��rts�[�of��M�����k��#��(����2�0���9�)�ha�v�e�the�extremely�useful�prop�S�ert�y�that�they�determined�b�y�their�rst���few���q�n9�-series�co�S�ecien��rts.�D�Though,��as�noted�ab�o��rv�e,��w�e��will�not�need�Theorem�12�un��rtil��x�5,�w��re���included��ait�at�this�p�S�oin��rt�to�call�the�reader's�atten�tion�to�the�fact�that�a�similar�statemen�t�is���true��when�w��rorking�with�mo�S�dular�forms�congruen�t�mo�S�dulo�ideals�in�a�n�um�b�S�er�eld.����W��Ve��iare�no��rw�in�a�p�S�osition�to�justify�the�title�of�this�section.�P#Let��K���b�e�a�n��rum�b�er��ield�and���let���O�����v����b�S�e�the�completion�of�its�ring�of�in��rtegers�at�a�nite�place��v�=?�with�residue�c�haracteristic����p�.�8�Moreo��rv�er,��let����b�S�e�a�uniformizer�for��O�����v���
�.�Finally��V,�for��a�����n�����2�UR�K�����v���
�,�let���q�����ord����
�������������z�� ���������N��1�������*���X���
�ҍ����n�=�n��q�0�������a�����n���P�q��n9����n������z��!������:=���URinf����H�f��ord����؟�����n2�(�a�����n���P�)�g�:���܍�W��Ve��mak��re�the�follo�wing:����Denition.��A�35formal�p��ffower�series��%d���h��f��Q�:=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=0������a�(�n�)�q��n9����n��	k��2�URO�����v���
�[[�q�n9�]]��+��is��Oa��p�3F
C�
cmbxti10�-adic���mo��Kdular�form�of�weight��k�Ĉ�2�]kO�����v��
�\�if��Other��ffe�is�a�se�quenc�e��f�����i��	�E�2�]kO�����v���
�[[�q�n9�]]��of���holomorphic���mo��ffdular�forms�on����with�weights��k�����i����for�which���ord����ԟ�����
.�(�f�����i���#��aI�f�G��)�UR�!��+�1����and���ord����ԟ������(�k��f�����k�����i��dڹ)�UR�!��+�1�.���R��ffemark�S��(1)�.��This�
�is�Serre's�original�denition�of�a��p�-adic�mo�S�dular�form�[�29����].���The�notion�of���a�,Q�p�-adic�mo�S�dular�form�has�b�een�substan��rtially�generalized�b�y�Katz;�M&for�an�in�tro�S�duction�and���an��explanation�of�ho��rw�the�t�w�o�denitions�relate,�see�[�13����,��x�I].����R��ffemark�35�(2)�.��Note��that�the��ord���〟�����C��here�is�dieren��rt�from�the���Ord����in�tro�S�duced�ab�o��rv�e.����Th��rus�'�w�e�observ�e,�7Nwith�the�help�of�Lemma�10�and�Lemma�11,�that�1�is�a��p�-adic�mo�S�dular���form�1for�all�primes��p�,�#�or,�more�1precisely��V,�is�a��p�-adic�mo�S�dular�forms�when�iden��rtied�with�its����q�n9�-expansion��considered�as�an�elemen��rt�of��O�����v���
�[[�q��]]�(the��q��-expansion�of�1�is�just�1���+�0�q��+�0�q�����2�2����+����������ι).���F��Vurther,���an��ry�uqelemen�t�of��M�����k�����\��=O�����v���
�[[�q�n9�]]�is�trivially�a��p�-adic�mo�S�dular�form.��As�another�example,���w��re��ha�v�e�the�follo�wing:����Prop�`osition��13.��The�35�q�n9�-series��E�����2����(�z���)��is�a��p�-adic�mo��ffdular�form�for�al���l��p�.�����Pr��ffo�of.���#�R�W��Ve��ha��rv�e��?�������t��U���B������(�p������r��,p�)+2���Rk���_�z�.詟
�΍��(�p������r���b�)���+�2���������E������(�p������r��,p�)���͹(�z���)�UR�������ō����B�����2������[��z�
�&�
�΍�敹2�����h��E�����2����(�z��)������p������ō�33B�����2���33�[��z�
�&�
�΍�敹2�������E�����2���(�z���)�j�V��p�(�p�)����mo�S�d��&�6�p�����r�<r�+1���fP��for��all��r�����UR�1�b��ry�examining��q�n9�-series�using�the�Kummer�congruences�(3.2)�and�Euler's�theorem.���The�:_prop�S�osition�then�follo��rws�b�y�in�v�erting�the�formal�op�S�erator�(1�B����pV��p�(�p�))����2��1��\|�,�]�whic�h�:_preserv�es���the��space�of��p�-adic�mo�S�dular�forms.�8�F��Vor�details,�see�[�29����,��x�2.1].�������������6��Z���Qo^����16�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑�The�ȅonly�non��rtrivial�result�w�e�will�require�from�the�theory�of��p�-adic�mo�S�dular�forms�is�a���theorem,���due�kto�Serre,�whic��rh�allo�ws�us�to�compute�the�constan�t�term�of�a��p�-adic�mo�S�dular���form�8vin�terms�of�a��p�-adic�limit�of�its�other�co�S�ecien��rts�for�small�primes��p�.�"ILet������2������RA��p�����(�s�)�b�e�the���Kub�S�ota-Leop�oldt���p�-adic�zeta�function.�8�W��Ve�ha��rv�e���k��Theorem��14��(Theorem��7,�[�29����])�.��If�35�p�UR���7��is�prime�and���c����k�f��Q�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=0������a�(�n�)�q��n9����n���;���is�35a��p�-adic�mo��ffdular�form�of�weight��k��o�6�=�UR0�,�then��ou�����a�(0)�UR=������D���������2������RA��p�����(1������k�g�)�����q,�z�.��
�΍���2�����7a������6�lim��33�����n�!�+�1���!o~�a�(�p�����n���P�)�:���}���This��Ttheorem�is�pro��rv�en��Tb�y�decomp�S�osing�the�v�ector�space��M�8�of��p�-adic�mo�S�dular�forms�in�to����M��6�=�UR�E��t��!]�N�@�,���where��p�N��T�is�a�space�on�whic��rh�the��U��op�S�erator�(dened�exactly�as�in�(1.11))�acts���nilp�S�oten��rtly���and��E�b��is�a�space�on�whic�h��U��Źacts�bijectiv�ely��V.�ϞIt�turns�out�that�for�2�UR���p����7���prime,����E��׹is�$�spanned�b��ry�the�reductions�of�Eisenstein�series,�3Fand��N�e��is�spanned�b�y�the�reductions�of���cusp���forms.�?uBy�analyzing�eac��rh�subspace,�-fthe�theorem�follo�ws.�?uF��Vor�a�complete�pro�S�of,�-fsee���[�29����,����x�2.3].��Inciden��rtally��V,�[�29��]���is�a�b�S�eautiful�pap�er,���and�pro��rvides�an�in�teresting�coun�terp�S�oin�t�to���Katz's��geometric�approac��rh�to��p�-adic�mo�S�dular�forms.����Also�M�men��rtioned�in�[�29����,�l��x�1.6]�is�the�fact�that������2������RA��p�����(1�i����k�g�)�UR=�(1�i����p����2�k�6���1���)����(1����k��)�M�for�ev��ren�in�tegers������k�_����y�2,�bxwhere�J�����(�s�)�is�the�usual�c��rharacteristic�zero�Riemann�zeta�function.�XnIn�the�sequel�w�e���will��only�b�S�e�in��rterested�in�the�sp�ecial�case��k��o�=�UR2,�in�whic��rh�w�e�ha�v�e:�������#������������ڍ�p�����(1������2)�UR=�(1������p�)����(��1)�UR=������ō����p����1�����[��z�pP�
�΍�X,12����� ,�:��v���Th��rus��w�e�immediately�ha�v�e�the�follo�wing�corollary�of�Theorem�14:����Corollary��15.��If�35�p�UR���7��is�prime�and��෍���k�f��Q�=����������1�����UR���X���
�ҍ����n�=0������a�(�n�)�q��n9����n���;���is�35a��p�-adic�mo��ffdular�form�of�weight��k��o�6�=�UR0�,�then�����/)�a�(0)�UR=������ō����p������1�����[��z�pP�
�΍�X,24�����"ְ�����6�lim��33�����n�!�+�1���!o~�a�(�p�����n���P�)�:��;������a�4.������V����ar��32ying���the�level�����Giv��ren��?a�mo�S�dular�form��f��X�2�WY�M�����k��#��(�����0����(�M�@�))�(resp.,��%�f��2�WY�S�����k��#��(�����0����(�M�@�)))�and�recalling�(1.10)�and���(1.13),�Uit�/�is�not�hard�to�v��rerify�using�the�functional�equation�(1.2)�that��f�G��j�V��p�(�d�)�UR�2��M�����k��#��(�����0����(�dM�@�))���(resp.,��n�f�G��j�V��p�(�d�)�UR�2��S�����k��#��(�����0����(�dM�@�))).�7These��`forms�are�holdo��rv�ers��`from�lo��rw�er��`lev�els;��#they're�nothing���new,��whic��rh�justies�the�notation���W��h>��S�����k��#��(�����0����(�N�@�))�UR���S���������old���ڍ�k����7�(�����0���(�N�@�))�:=��������M��������dM��"�j�N������S�����k��#��(�����0���(�M�@�))�j�V��p�(�d�)�:��!�>��W��Ve���dene��the�#8sp��ffac�e�of�newforms��S����2�����new��y���k������(�����0����(�N�@�))���to�b�S�e�the�orthogonal�complemen��rt�to��S����2�����old��y���k����7�(�����0���(�N�@�)���with�1resp�S�ect�to�a�certain�inner�pro�duct,�B�called�the��Petersson�s�inner�pr��ffo�duct�Ua�(see�1[�19����,��x�I�S�I�I.4]���or��[�18����,��x�I�S�I�I.3]).�8�As��a�rst�example,�for��p�UR���3��prime,�w��re�ha�v�e���e����kN��M�����2����(�����0���(�p�))�UR=��h�E�����2����(�z���)������pE�����2���(�pz���)�i���S���������new���ڍ2����s�(�����0���(�p�))�������(4.1)���������
Ѡ�Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#17�����[����썹b�S�ecause����M�����2����()�b�=�0.��One�can�c��rhec�k�that��E�����2����(�z���)�n���pE�����2���(�pz���)���satises�the�requisite�functional���equation�J�using�(1.5).�Y�F��Vor�arbitrary�w��reigh�ts,�b�the�J�space�of�newforms�has�the�useful�prop�S�ert��ry���that��xit�is�preserv��red�under�the�action�of�the�Hec�k�e�op�S�erators.��{It�is�also�in�v��X�arian�t�under�another���op�S�erator,��the�A��rtkin-Lehner�in�v�olution,�whic�h�w�e�no�w�dene.������Denition.��q�F���or�@5a�prime�divisor��p��of��N���with���ord���9
����p��j�(�N�@�)�Gt=��`�,��tlet�@5�Q�����p��
ѹ:=��p����2�`�����.��hWe�dene�the����A���tkin-L��Kehner��)op�er�ator��j�����k��#��W��ƹ(�Q�����p���]�)�35�on��M�����k���(�����0����(�N�@�))��by�any�matrix��=������W��ƹ(�Q�����p���]�)�UR:=�����
������N�����Q���p��Z��a���%F�b���	d򍍑�4N��"c���c>Q���p��Z��d�����0�A��
����;M?�2��M�����2��2�����(�Z�)���9��with���determinant��Q�����p���]�,��bwher��ffe��a;���b;�c;�d��>�2��Z�.�TnF���urther,�dene���the��F���ricke�V�involution��j�����k��#��W��ƹ(�N�@�)����on�35�M�����k��#��(�����0����(�N�@�))��by�the�matrix��fo������W��ƹ(�N�@�)�UR:=�����q������ʍ���w�0��� �@��1������*��N���%~�0�����0	���q����:���:����W��Vell-denition�*�of��j�����k��#��W��ƹ(�Q�����p���]�)�follo��rws�from�the�functional�equation�of��f�
��2����M�����k���(�����0����(�N�@�))�and�the���fact�mpthat��W��ƹ(�Q�����p���]�)�is�unique�up�to�left�m��rultiplication�b�y�elemen�ts�of������0����(�N�@�).�#W��Ve�note�here�that���for���f��m�2��n�M�����k��#��(�����0����(�p�))�w��re�ha�v�e��f�G��j�����k��#��W��ƹ(�Q�����p���]�)��n=��f��j�����k��#��W��ƹ(�p�).�ױBy��abuse�of�language,�,�w��re�will�call��W��(�p�)���an��A��rtkin-Lehner�op�S�erator�in�this�setting.����W��Ve��no��rw�are�in�a�p�S�osition�to�mak�e�the�follo�wing:����Denition.�d�A��9�newform��g�in��S����2�����new��y���k������(�����0����(�N�@�))��is�a�normalize��ffd�cusp�form�that�is�an�eigenform���for���al���l�the�He��ffcke�op�er�ators,�0�al���l�of�the�A��2tkin-L�ehner�involutions��j�����k��#��W��ƹ(�Q�����p���]�)��for��p�j�N�@��,�0�and�the���F���ricke�35involution��j�����k��#��W��ƹ(�N�@�)�.�����Newforms���enjo��ry�remark��X�able�prop�S�erties.�
�{W��Ve�recall�a�few�suc�h�prop�S�erties�on�the�more���utilitarian��side�of�things:����Theorem��16.��Supp��ffose�35that��k��R�is�a�p�ositive�even�inte�ger.�fiThen��s2��������(1)����%��The�35sp��ffac�e��S����2�����new��y���k������(�����0����(�N�@�))��has�a�b�asis�of�newforms.����������(2)����%��If�`��f�G��(�z���)���=�������P����*���T0�1��	U_��T0�n�=1���"���a�(�n�)�q��n9���2�n��	��2��S����2�����new��y���k������(�����0����(�N�@�))��is�a�newform,�l	then�ther��ffe�is�a�numb�er�eld��K����%��with���the�pr��ffop�erty���that�for�every�inte��ffger��n��we�have��a�(�n�)��2�O�����K��;��,��Vthe���ring�of�algebr�aic����%�inte��ffgers�35of��K�ܞ�.����������(3)����%��If�35�f��Q�2�UR�S����2�����new��y���k������(�����0����(�N�@�))��is�a�newform�then�ther��ffe�is�an�inte�ger�������f���q�2�URf�1�g��for�which���e������f�G��j�����k��#��W��ƹ(�Q�����p���]�)�UR=�������p���f���:����F��Vor�t�the�statemen��rts�of�a�collection�of�results,��Hincluding�the�ab�S�o�v�e,��Hon�newforms,�see�[�24����,����x�2.4,�x�2.5].�8�F��Vor��pro�S�ofs,�see�[�3����],�and�for�generalizations,�see�[�21����]�and�[�23��].����W��Ve��b�S�egan�this�section�b��ry�discussing�ho�w�one�can�raise�the�lev�el�of�an�elemen�t�of��M�����k��#��(�����0����(�N�@�))����to�٘obtain�an�elemen��rt�of��M�����k��#��(�����0����(�M�@�N��)).���W��Ve�٘no�w�discuss�the��tr��ffac�e�88op�er�ator���T���r������x���t�M��"N�������tN��� Ȩ�,�5whic��rh�٘lo�w�ers���the��lev��rel.�8�F��Vor�coprime��M���;���N�@�,�dene���e�����"�T��Vr������x���68�M��"N�������68N�������:�UR�M�����k��#��(�����0����(�M�@�N��))��!��M�����k��#��(�����0����(�N��))���b��ry���R�����T��Vr������x���*��M��"N�������*�N����Gֹ(�f�G��)�UR=�������	���r��������X���
㇍�S�i�=1������f��j�����k��#��
�����i����썹where��y�f�
�����1����;���:::;�
�����r���b�g��is�a�complete�set�of�coset�represen��rtativ�es�for������0����(�N�@�M��)�n������0���(�N��).�TThe��yfact���that����T��Vr������x��,o�M��"N������,oN��� I��(�f�G��)�UR�2��M�����k��#��(�����0����(�N�@�))��is�immediate;�^�acting�on���T��Vr������x��,o�M��"N������,oN����(�f�G��)�b��ry�an�elemen�t�of������0����(�N�@�)�simply���p�S�erm��rutes��the��
�����i��S�b�y�the�in�v��X�ariance�of��f�7�under�the�action�of������0����(�N�@�M��).�FW��Ve��ha�v�e�the�follo�wing���explicit��form��rula�for���T��Vr������x���.�N��"p�������.p���^Ϲ:�����C��Z���Qo^����18�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[������Lemma�Y�17��([�22����])�.���Supp��ffose��that��p��is�an�o�dd�prime�and�that��p�UR�-��N�@��.�\:If���f��Q�2��M�����k��#��(�����0����(�N�p�))���then���������=T���r�����O����%y�N��"p���0���%yN������(�f�G��)�UR=��f��+����p�����1��k�6�=�2����f��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)��&����Pr��ffo�of.���#�R�A��complete�set�of�coset�represen��rtativ�es��for������0����(�N�@�p�)�in������0���(�N�@�)�is�giv��ren�b�y��R������=���q������=���q�����ʍ���ٹ1������0��������0������1�������џ�q�������)��q����R��[�������q���������q�����ʍ���ι1���))�0��������N���))��1�����/	���q������9���q�����ʍ��B�A�1���R���j������B�A�0���R�=1�����Xt9��q�����aI���q������<��jI��p��1��"4��jI��j�v�=0���{�i�:���d��W��Ve��also�ha��rv�e��oq����]+��q������ʍ��he3�1���z��0������ff�N���z���1����������q�������_N��q�����ʍ���4��1����?��j�������4��0�����1��������q�����H�=���UR��q������ʍ��*��1�=p���-�$�0������
0���'�O1�=p�����9u��q������DKJ��q�����ʍ��Rum�p���j�a������M �N�@�p���g��pb�����r�|��q������}iҟ�q�����ʍ���?*�1����&�j�W{�����a�������?*�0����[��p������~��q�����7���where�������Q_��q������ʍ���{��p�����a�������&�N�@�p�����pb����������q�����⤍�is��a�matrix�for��W��ƹ(�p�).�8�Since�scalar�matrices�act�trivially�on��M�����k��#��(�����0����(�N�@�p�)),��Ǚ�����ԔT��Vr������x�����M��"N��������N����N�(�f�G��)�UR=��f��+���ԍ��h�p��1��},��������X���
㇍���j�v�=1������f��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�������q������ʍ��
�V�1�����j������
�V�0����R�p����� ����q����+pU�:��鮍�By��considering��q�n9�-expansions,�w��re�ha�v�e��퍍��ԍ�����p��1��},�����8���X���
㇍�����j�v�=0������g���n7��q��������ō�v��z�3��+����j��vŸ[��z�P�
�΍�

Rp������'�E��q����3��=�UR�p�(�g�n9�j�U�@�(�p�))(�z���)�;����whic��rh��completes�the�pro�S�of�of�the�lemma.���������,���It��is�w��rell-kno�wn��that�if��p��is�prime�with��p�UR�-��N�@�,��athen����T��Vr�����O������N��"p���0����N����6�(�f�G��)�=�0��for��f��Q�2�UR�S����2�����new��y���k����s�(�����0����(�N�p�))�(see���[�21����]).�8�Com��rbining��this�observ��X�ation�with�Lemma�17�yields�the�follo�wing:����Prop�`osition��18��([�3����])�.��If�35�f��Q�2�UR�S����2�����new��y���k������(�����0����(�p�))�,�then������|��f�G��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�UR=���p�����1��k�6�=�2����f��j�U�@�(�p�)�:������Pr��ffo�of.���#�R�First��supp�S�ose�that��f�2��is�a�newform.�8�F��Vrom�Lemma�17,�w��re�ha�v�e��9"���5�0�UR=���T��Vr�����O���h��p������h��1���05�(�f�G��)�=��f��+����p�����1��k�6�=�2����f��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)�:���g��Th��rus�����(4.2)�����'=�f��Q�=�UR��p�����1��k�6�=�2����f�G��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)�:�����Note�v�that��U�@�(�p�)�UR=��T�����k�6�;p��=��b�S�ecause�v�the�lev��rel�is��p��(see�(1.12)).�0No�w�note�that��f�G��,���b�S�eing�a�newform,���is��an�eigenform�b�S�oth�for�the�Hec��rk�e��op�erators�and��W��ƹ(�p�)�(b��ry�Theorem�16).�?Th�us�the�actions���of����W��ƹ(�p�)�and��U�@�(�p�)�on��f����comm��rute.���With�all�this�in�mind,��'applying��W��(�p�)�to�b�S�oth�sides�of���(4.2),��w��re�ha�v�e���΍�����f�G��j�����k��#��W��ƹ(�p�)������mq=�����ː���p�����1��k�6�=�2����f�G��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)�W��(�p�)����tg�����mq=�����ː���p�����1��k�6�=�2����f�G��j�����k��#��W��ƹ(�p�)�����2����U�@�(�p�)���������mq=�����ː���p�����1��k�6�=�2����f�G��j�����k��#��U�@�(�p�)�:�����g��T��Vo���deriv��re�the�last�equalit�y��V,�7�w�e�used�the�fact�that�the�action�of��W��ƹ(�p�)����2�2��
��is�trivial,�7�whic�h����can�Qb�S�e�seen�from�directly�from�a�matrix�represen��rtation�of��W��ƹ(�p�):���ß�G�������0���
�p�0���l��1����9���
���p���^��0�����!���G�������)l��G������0���0��0���8w���1����9���0���p���;���0�����ET	��G�����N׼�=������G���������������p������0���b���՚0�������p�����&����G�����,��.���Since�c�U�@�(�p�)�and��W��ƹ(�p�)�are�b�S�oth�linear�op�erators,�� the�prop�osition�no��rw�follo�ws�for�all��f���2����S����2�����new��y���k����s�(�����0����(�p�)).������������.��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#19�����[����썍�a}��5.��p�<�p�-adic���pr���oper��32ties�of�Bor�cherds�exponents�����W��Ve��b�S�egin�with�the�follo��rwing:��{��Denition.��h�L��ffet���f�X��b�e�a�mer�omorphic�mo�dular�form�of�weight��k�x�over����or�������0����(�p�)��whose�p�oles���and�[email protected]��ffos,�QBaway�fr�om��z�
��=����1�,�QBar�e�at�the�p�oints��z�����1����;���:::;�z�����s����2����H�.���We�[email protected]�that��f�G��(�z���)��is�I�go�`o�d��
at����p��o�if�ther��ffe�is�a�holomorphic�mo�dular�form��E�����f��w�(�z���)�UR�2��M�����b��"ܹ()��o�with��p�-inte�gr�al�algebr�aic�c�o�ecients���for�35which�the�fol���lowing�ar��ffe�true:��_���������(1)����%��As�35�q�n9�-series,��E�����f��w�(�z���)�UR���1�UP(�mo�S�d���B�p�)�.����������(2)����%��F���or�35e��ffach��1�UR���i����s�35�we�have��E�����f��w�(�z�����i��dڹ)�UR=�0�.���R��ffemark�35�(1)�.��It��follo��rws�immediately�that�if��f�2��and��g�X�are�go�S�o�d,��then��f�G�g��is�go�S�o�d.����R��ffemark����(2)�.�u}�As�5�men��rtioned�in�the�in�tro�S�duction,�Y�w�e�will�pro�vide�sev�eral�families�of�go�S�o�d�5�forms���in����x�7;��other�families�are�pro��rvided�in�[�8����].��Unfortunately��V,��Ythe�author�has�not�though�t�carefully���ab�S�out��in��rteresting�examples�of�forms�whic�h�are�not�go�S�o�d.����In�[�view�of�the�observ��X�ations�w��re�made�in�sections�1�and�2,�x�it�is�no�w�straigh�tforw�ard�to�pro�v�e���Theorem��3:���ލ���Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�353.���l�{�By��~examining�the�pro�S�of�of�Prop�osition�1.14,���w��re�see�that�if��f��}�is�a�mero-���morphic��mo�S�dular�form�of�w��reigh�t���k�QŹo�v�er�,�then����(5.1)�������V���pV�e��*����G�f�������:=�UR12�f�G��(�z���)������k�gE�����2����(�z��)�f�G��(�z��)����G�is��ba�meromorphic�mo�S�dular�form�of�w��reigh�t��b�k�Z�+��=2�o��rv�er��b.�MF��Vurther,��from�(5.1)�w��re�see�that�the���U�p�S�oles��of����V����e��*����f���
�O�(�z���)�are�supp�orted�at�the�p�oles�of��f�G��(�z���).����No��rw��consider���퍍�����ō��>���S�f���>ӟ[��z����
�΍��f�������P�=������ō�x�1�����[��z����
�΍12�������{���z�� �������ō����V�� X5e��*���.��f���%A��(�z���)��.�[��z�4d�
�΍�f�G��(�z���)�����8A"+����k�gE�����2����(�z���)���z��!���r�C�:��"�t��By��q10,�c�E�����2��	�u�is�a��p�-adic�mo�S�dular�form�of�w��reigh�t��q2�with�in��rteger�co�ecien��rts.��;Th�us��qit�suces��*��to�Z�sho��rw�that����V�����e��*����f���m.=f����is�as�w�ell.��~If��b��is�the�w�eigh�t�of��E�����f��w�(�z���),�vthen�note��E�����f���(�z���)����2�p���-:�j������V��
ۊ�e��*����8�f�����=f�[��2���M����p������j�����b�+2��1��.��~If���/��E�����f��w�(�z���)����2�p���-:�j������V��
ۊ�e��*����8�f�����=f��A�do�S�es�vBnot�ha��rv�e�vBalgebraic�in��rteger�co�ecien��rts,���then�m�ultiply�it�b�y�a�suitable�in�teger����t�����j�v�+1������UR�1�UP(�mo�S�d���B�p����2�j�v�+1��B��)��so�that�the�resulting�series�do�S�es.�8�Th��rus�w�e�ha�v�e��%
܍�����t�����j�v�+1��B��E�����f��w�(�z���)�����p���-:�j��������ō���V����e��*���	�k�f���	�k�[��z���
�΍f��������������ō���V�����e��*������f������[��z���
�΍f������S�(�mo�S�d���B�p�����j�v�+1���)�:��$%.��If��Ww��re�dene��F�����j�v�+1��B��(�z���)�2e:=��t�����j�v�+1���E�ù(�z���)����2�p���-:�j������V��
ۊ�e��*����8�f����߹(�z��)�=f�G��(�z��),�then��Ww��re�ha�v�e�that��f�F�����j�v�+1��B��g��is�a�sequence�of��9�holomorphic��mo�S�dular�forms�whose�co�ecien��rts��p�-adically�con�v�erge�to����w��X��e������F���
Q�(�z���)�=F��ƹ(�z��)��and�whose���w��reigh�ts���p�-adically�con��rv�erge��to�2.��%��������W��Ve�=�will�dev��rote�the�rest�this�section�to�pro�ving�Theorem�4,�`�a�generalization�of�Bruinier�and���Ono's�\�result�to�forms�of�prime�lev��rel��p�A���5.���W��Ve�\�require�t�w�o�lemmas�b�S�efore�w�e�start�on�the���main�d�b�S�o�dy�of�the�pro�of.���The�rst�is�most�naturally�pro��rv�en�using�the�notion�of�the�divisor�����@E��Z���Qo^����20�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����E ��p�S�olynomial��of�a�mo�dular�form,�whic��rh�w�e�no�w�recall.�8�If��k��o��UR�4�is�ev�en,�then�dene����w��CZ�e������E�����k�����߹(�z���)�b�y��@� ���(5.2)�������w��j��e�����hsO�E�����k����vI��(�z���)�UR:=���ʙx���8��
�ԍ�>������>����>����>����>����>����>����>����<������>����>����>����>����>����>����>����>����:�����\/���
���1�����k>if���v\�k��o���0���(�mo�S�d���B12)�;����ɍ��
��E�����4����(�z��)����2�2���E�����6���(�z��)�����k>if���v\�k��o���2���(�mo�S�d���B12)�;������
��E�����4����(�z��)�����k>if���v\�k��o���4���(�mo�S�d���B12)�;������
��E�����6����(�z��)�����k>if���v\�k��o���6���(�mo�S�d���B12)�;������
��E�����4����(�z��)����2�2������k>�if���v\�k��o���8���(�mo�S�d���B12)�;������
��E�����4����(�z��)�E�����6���(�z��)�����k>if���v\�k��o���10���(�mo�S�d���B12)�;�������@Jt��and��p�S�olynomials��h�����k��	:�b��ry�����(5.3)����gSR�h�����k��#��(�x�)�UR:=���ʙx���8��
�ԍ�>������>����>����>����>����>����>����>����<������>����>����>����>����>����>����>����>����:�����\/���
���1�����n�if���y�S�k��o���0���(�mo�S�d���B12)�;����ɍ��
��x����2�2����(�x������1728)�����n�if���y�S�k��o���2���(�mo�S�d���B12)�;������
��x�����n��if���y�S�k��o���4���(�mo�S�d���B12)�;������
��x������1728�����n�if���y�S�k��o���6���(�mo�S�d���B12)�;������
��x����2�2������n��if���y�S�k��o���8���(�mo�S�d���B12)�;������
��x�(�x������1728)�����n�if���y�S�k��o���10���(�mo�S�d���B12)�:����������F��Vurther,��dene��m�(�k�g�)�b��ry�� ����p�3�m�(�k�g�)�UR:=�����z��(���������
�b�k�=�12�c�����c��if���ns\�k��o�6��2���(�mo�S�d���B12)�;����ɍ��
�b�k�=�12�c�����1�����c�if���ns\�k��o���2���(�mo�S�d���B12)�:������#A؍�With��this�notation,�if��f�G��(�z���)�UR�2��M�����k��	:�and����w��.w�e�������F���
'��(�f���;���x�)��is�the�unique�rational�function�in��x��for�whic��rh��A̍��(5.4)�����K��f�G��(�z���)�UR=�(�z��)�����m�(�k�6��)�����w�����e�����D��E�����k����!�(�z��)����w��C��e�����F���	<��(�f���;���j��ӹ(�z��))�;�����then����w��>��e��������F���
7��(�f���;���x�)���is�a�p�S�olynomial;��this�follo��rws�from�the�familiar�fact�that�an�y�elemen�t�of��M����2��1��RA��0����ƹis���a��p�S�olynomial�in��j��ӹ.�8�W��Ve�will�refer�to��� ���(5.5)��������F��ƹ(�f���;���x�)�UR:=��h�����k��#��(�x�)����w��C��e�����F���	<��(�f�;���x�)������as��&the��divisor�"�p��ffolynomial�-��for��f�G��.�F[F��Vrom�(5.2),�0F(5.4)�and�the�classical��k�g=�12�v��X�alence�form��rula���(again,���see���[�18����,��x�I�S�I�I.2])�the�p�olynomial��F��ƹ(�f���;���x�)�will�ha��rv�e�a�zero�of�order��n�����k����precisely�at��j��ӹ(�z�����k��#��)���for�#ball�zeros��z�����k��	F�of��f�G��,�1�where��n�����k���r�:=����ord���������z��i?�k������(�f��).��F��Vor�a�discussion�of�divisor�p�S�olynomials,�1�see�[�24����,����x�2.6].���}��Lemma�^19.���Supp��ffose�g�f��Q�=�UR�q��n9���2�h����(�����Q����*���)�1��	U_��)�n�=1���#�K�(1�o���q��n9���2�n����)����2�c�(�n�)��H��2�M����2��mer���o��y���k���	�(�����0����(�p�))��\��q��n9���2�h���*�O�����K��;¹[[�q�n9�]]�g�for�some�numb��ffer���eld�35�K���and�some�prime��p�UR���5�,�35and�further�that��f�{4�is�go��ffo�d�35at��p�.�fiThen���ȍ���u�=��q��������ō��ȹ(�f�G��)������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2����ȟ[��z�\:��
�΍�*���f����������q��������j�����2����W��ƹ(�p�)�UR�2�M������mer���o���ڍ�2���	�(�����0���(�p�))��J\��is�35�p�-inte��ffgr�al.�������Pr��ffo�of.���#�R�Note���that��F��ƹ(�E�����f��w�;���j��ӹ)�has��p�-in��rtegral�algebraic�co�S�ecien�ts�as�a��q�n9�-series�and�as�a�p�S�olynomial���b�S�ecause��E�����f��	�<�has��p�-in��rtegral�algebraic�co�ecien��rts.��?Th�us,��if��z�����1����;���:::;�z�����n��	�m�are�the�zeros�and�p�S�oles�of����f�2��as��b�S�efore�(written�without�m��rultiplicit�y),����~���G�(�j��ӹ(�z���))�UR:=�(�j��(�z���)������j��(�z�����1����))������������(�j��(�z���)����j��(�z�����n���P�))�����P|��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#21�����[����썹has�b��p�-in��rtegral�algebraic��q�n9�-series�co�S�ecien�ts.��{Because�no�prime�ab�S�o�v�e��p��divides�the��q�n9�-���expansion���co�S�ecien��rt�of�lo�w�est�exp�S�onen�t�in��G�(�j��ӹ(�z���)),��kw�e�also�ha�v�e�that�(�G�(�j��ӹ))����2��1��0X�is��p�-in�tegral���(again��as�a��q�n9�-series).�8�Th��rus�w�e�ma�y�write�� ʸ�������ō���X(�f�G��)������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2�����X�[��z�\:��
�΍�*���f�����sk�=������ō�
y��g�����[��z��w�
�΍G�(�j��ӹ)������"��where���g�Ë�2�UR�M�����2����(�����0���(�p�))����\����K�z�	UW�	���Q������[[�q�n9�]]�has��p�-in��rtegral�algebraic�co�S�ecien�ts.�8�W��Ve�ha�v�e������Xe9��q��������ō�bmĹ(�f�G��)������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2���bmğ[��z�\:��
�΍�*���f�������ۅ��q����ʰ��j�����2����W��ƹ(�p�)�UR=�����q��������ō�f��1��
]ݟ[��z��w�
�΍�G�(�j��ӹ)������&����q����1W��j�����0���W��ƹ(�p�)�g�n9�j�����2���W��(�p�)�:��堍�W��Ve��will�pro��rv�e��that�eac��rh�of�the�factors�on�the�righ�t�hand�side�is��p�-in�tegral.�8�First,��埍�����4��q��������ō�0��1�� =�[��z�'4�
�΍�G�(�j��ӹ(�z���))������H���q����SY<�j�����0����W��ƹ(�p�)������1\=��������T��q��������ō����1���]o�[��z�'4�
�΍�G�(�j��ӹ(�z���))������ƣ֟�q�����y,�j�����0�������q������ʍ���3�0���{��1�������Z�p���$%��0�����.�Z��q����:��=���UR��q��������ō��y�1��
]ݟ[��z�'4�
�΍�G�(�j��ӹ(�z���))������5�D��q����@y��j�����0�������q������ʍ���Z�0���uV��1�������Z1���$ 0�����.����q������9���q�����ʍ��BUW�p���R;�0������BX00���R;1�����X��q�������!Lߍ����1\�=��������T��q��������ō����1���]o�[��z�'4�
�΍�G�(�j��ӹ(�z���))������ƣ֟�q�����y,�j�����0�������q������ʍ���Z�p���{�0�������30���{1�����%[��q����1���=������ō��1�����[��z�,��
�΍�G�(�j��ӹ(�pz���))�����2���;���� �L��whic��rh�6is�eviden�tly��p�-in�tegral.��No�w�note�that�w�e�can�write��g�Cֹ=�՝�c�����1����(�E�����2���(�z���)������pE�����2����(�pz��))�+��h�(�z��),���where����h�(�z���)�UR�2��S����2�����new��RA�2����s�(�����0����(�p�))�has��p�-in��rtegral�algebraic�co�S�ecien�ts�and��c�����1��c߹is�a��p�-in�tegral�algebraic���n��rum�b�S�er.�)F��Vrom��Prop�osition�18�w��re�ha�v�e��h�(�z���)�j�����2����W��ƹ(�p�)�UR=���h�(�z��)�j�U�@�(�p�),�Ďwhic��rh��is��p�-in�tegral�b�y�the����q�n9�-series��denition�(1.11)�of�the��U�@�(�p�)�op�S�erator.�8�Using�(1.5),�w��re�also�ha�v�e�� �K����%�(�E�����2����(�z���)������pE�����2���(�pz���))�j�����2���W��ƹ(�p�)�������=�����ã��E�����2����(�z���)�j�����2�������q������ʍ���Z�0���uV��1�������Z1���$ 0�����.����q������9���q�����ʍ��BUW�p���R;�0������BX00���R;1�����X��q����c������p�����2���(�pz��)������2��\|�E�����2���(��1�=z��)����������=�������ã���q��������ō��H��12��ͬ*�[��z��ݟ
�΍2��n9iz�������+����E�����2����(�z���)���q�������j�����2�������q������ʍ���Z�p���{�0�������30���{1�����%[��q����0��������ō�	zN�12���۟[��z��ݟ
�΍2��n9iz������������E�����2����(�z���)�����p������=�����ã��pE�����2����(�pz���)������E�����2���(�z���)�:����)܍�whic��rh��is�also��p�-in�tegral.�8�Since�w�e�ha�v�e�dealt�with�b�S�oth�factors,�the�lemma�follo�ws.��%ˣ�����A��R��ffemark.��5�If�K�restrict�to�the�case��k��o�=�UR0,�ktthis�lemma�is�also�true�for��p��=�3;���the�pro�S�of�is�the�same.����Dene�����(5.6)�������w�����e�������F�E�����3�����2�(�z���)�UR:=��E�����2����(�z��)������3�E�����2����(3�z��)�UR�2��M�����2����(�����0���(3))����(see��4.1)�and������(5.7)�������w��X���e�����V��E�����p����gan�:=�UR�E�����p��1���ٹ(�z���)������p�����(�p��1)�=�2���Y�(�E�����p��1���(�z���)�j�����p��1���W��ƹ(�p�))�UR�2��M�����p��1���(�����0����(�p�))����for��primes��p�UR���5.�8�W��Ve��ha��rv�e�follo�wing:����Lemma��20.��If�35�p��is�an�o��ffdd�prime,�then��2d�������w������e������R9�E�����p������;�(�z���)���������������CO�1���(�mo�S�d���B�p�)������(5.8)�������9����r�(����w��X��e�����E�����p����
z�(�z���)�j�����p��1�����W��ƹ(�p�))���������������CO�0���(�mo�S�d���B�p�����(�p��1)�=�2+1��)�չ)������(5.9)���������`Ӡ�Z���Qo^����22�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썍��Pr��ffo�of.���#�R�F��Vor����p�UR�=�3,���the�rst�claim�is�ob��rvious,�and�the�second�follo��rws�from�the�end�of�the�pro�S�of���of��Lemma�19.�8�F��Vor��p�UR���5��w��re�compute��H4����t��E�����p��1�����j�����p��1���W��ƹ(�p�)������=������;��E�����p��1�����j�����p��1�����ן�q������ʍ��|�0���*^���1������y/�p���/	��0�����9�/��q�������!Lߍ�����=������;��E�����p��1�����j�����p��1�����ן�q������ʍ��y/�0���*Y+��1������y/1���/�0�����9�~��q������Dcԟ�q�����ʍ��M9,�p���]ٹ0������M<0���]�1�����b�՟�q��������׍�����=������;��p�����(�p��1)�=�2���Y�E�����p��1�����j�V��p�(�p�)�������F��Vrom��%Lemma�10,��w��re�kno�w�that��E�����p��1��p��is��p�-in�tegral.�/
Th�us�w�e�ha�v�e�the�congruence����w��%��e������E�����p�����y��UR�E�����p��1���9��(�mo�S�d���B�p�),�n`whic��rh�Tyields����w�����e������E�����p����ָ����1�UP(�mo�S�d���p�)�for�all�o�S�dd�primes��p��after�an�application�of�Lemma���10.����F��Vor��the�second�claim,�w��re�ha�v�e�����������w��Q�j�e�����O���E�����p����]��j�����p��1�����W��ƹ(�p�)������ͯ=�������7�E�����p��1�����j�����p��1���W��ƹ(�p�)������p�����(�p��1)�=�2���Y�E�����p��1�����j�����p��1���W��(�p�)�W��(�p�)�����l�����ͯ=�������7�E�����p��1�����j�����p��1���W��ƹ(�p�)������p�����(�p��1)�=�2���Y�E�����p��1����������ͯ�=�������7�p�����(�p��1)�=�2���Y�E�����p��1�����j�V��p�(�p�)������p�����(�p��1)�=�2���E�����p��1�����:�����q��W��Ve���note�the��p�-in��rtegralit�y���of��E�����p��1��;ιand��E�����p��1�����j�V��p�(�p�)�and�again�apply�Lemma�10�to�nish�the���pro�S�of��of�the�lemma.��f�n����w����W��Ve�!�no��rw�pro�v�e�Theorem�4.�޾The�t�w�o�main�inputs�in�to�this�pro�S�of�are�the�ideas�b�ehind�the���pro�S�of��of�Theorem�3�and�Serre's�pro�of�that�a�newform�in��S����2�����new��y���k����s�(�����0����(�p�))�is�a��p�-adic�mo�dular���form��(see�[�22����]�and�[�29��]).������Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�354.���l�{�By�oA(1.14),���there�exists�a�meromorphic�mo�S�dular�form��g��z�on������0����(�p�)�so�that���������ō��w:�f���w:�[��z�6/�
�΍���f������5�=������ō�
��g�����[��z���
�΍f�����y�+������ō�|�k���۟[��z����
�΍�12�������E�����2����:��rW��Because��D�E�����2���H�is�a��p�-adic�mo�S�dular�form�of�w��reigh�t��Dt�w�o,�пit�suces�to�sho�w�that�the�same�is�true���G�of�����G������f�����k�6��(12)���-:��1��	���E��q�2��*��f��۟���z�?>W��ꍑ#�f�����H䷹=������w��ٖ�g��������z�����f�����
�׹.������Fix��a�p�S�ositiv��re�in�teger��r�S��.�8�Then�(using�the�fact�that��f�2��is�go�o�d�at��p�),�w��re�ha�v�e��-M��yT�(�E�����f��w�)�����p���-:�r�1���1��������ō�����f�������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2����f�����[��z�Z)��
�΍�)��f�����rJ��2�UR�M����2+�p������r�1���1��
�0�b�� ��(�����0����(�p�))���where����b��is�the�w��reigh�t���of��E�����f��w�.��F��Vurther,���this�form�is�congruen��rt�mo�S�dulo��p����2�r���to��g�n9=f�G��.�No��rw�consider���R��R�Y�f�����r���b�(�z���)�UR:=�(����w��X��e�����E�����p����
z�)�����p���-:�r�1���1���e��(�E�����f��w�)�����p���-:�r�1���1��������ō�����f�������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2����f�����[��z�Z)��
�΍�)��f�����rJ��������ō�
��g�����[��z���
�΍f������S�(�mo�S�d���B�p�����r���)�:����W��Ve��"clearly�ha��rv�e��"�f�����r����2�UR�M����2+�p������r�1���1��
�0�b�+�p������r��,p��p������r�1���1���Hw/�(�����0����(�p�)).��	W�e�no��rw�tak�e�the�trace�of�these��f�����r��T��to�lo�w�er�their���lev��rel.���W��Ve�*ycertainly�ha�v�e���T��Vr�����O���=��p������=��1���\�(�f�����r���b�)�UR�2��M����2+�p������r�1���1��
�0�b�+�p������r��,p��p������r�1���1���Hw/�,�P�and�*yw�e�will�pro�v�e�shortly�that���T��Vr�����O���=��p������=��1���\�(�f�����r���b�)�UR�����f�����r��
<��������w��.��g���x����z�����f�����]�(�mo�S�d���B�p����2�r���b�).�	UNo��rw,��as�I^in�the�pro�S�of�of�Theorem�3,�c��rho�S�ose�a�suitable�in�teger��t�����r��
<����E�1��Ӵ�(�mo�S�d���B�p����2�r���b�)�N�suc��rh�that��t�����r�����T��Vr�����O������p���������1���mE�(�f�����r���)�has�co�S�ecien��rts�in�the�ring�of�in�tegers��O�����K���r���&�of�some�n�um�b�S�er�eld����O�����K���r����#�(this��normalization�ma��ry�or�ma�y�not�b�S�e�necessary�dep�ending�on��E�����f��w�).���Then��f�t�����r�����b�T��Vr�����O������p���������1���mE�(�f�����r���b�)�g����forms�3�a�sequence�of�holomorphic�mo�S�dular�forms�o��rv�er�3��whose�co�ecien��rts�con�v�erge��p�-adically���to���g�n9=f�2��and�whose�w��reigh�ts��con�v�erge�to�2,�th�us��g�n9=f�2��is�a��p�-adic�mo�S�dular�form�of�w�eigh�t�2.�����r9��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#23�����[����썑�W��Ve��no��rw�pro�v�e�that��T��Vr����O����.�p�������.�1���ŋ�(�f�����r���b�)�UR���f�����r��	粹(�mo�S�d���B�p����2�r���).�8�By��Lemma�17,�w��re�ha�v�e���������q�T��Vr�����O���
�/�p������
�/�1���L��(�f�����r���b�)�����/�=�����B��f�����r��=
�+����p�����1��(2+�p���-:�r�1���1��
�0�b�+�p���-:�r��,p��p���-:�r�1���1���)�=�2��bp+�f�����r���b�j����(2+�p������r�1���1��
�0�b�+�p������r��,p��p������r�1���1���)�=�2��W���W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)����'⍍��/�=�����B��f�����r��=
�+����p�����1��(2+�p���-:�r�1���1��
�0�b�+�p���-:�r��,p��p���-:�r�1���1���)�=�2�����v0����B���������q�����
�V��q�������ō����f�������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2����f����[��z�Z)��
�΍�)��f������p:���q����{�j�����2����W��ƹ(�p�)(����w��X��e�����E�����p����
z�)�����p���-:�r�1���1���e��j����p������r��,p��p������r�1���1���!u��W��(�p�)(�E�����f��w�)�����p���-:�r�1���1����j����p������r�1���1��
�0�b��i�W��(�p�)���q����oģ�U�@�(�p�)����<@�Because��K�f�CJ�is�go�S�o�d,�?sapplying��KLemma�19�implies�that�����
�������G���
Y*�(�f����)��k�6��(12)���-:��1��	���E��q�2���
Y*����z�@㰟�ꍑ�I�f������Op
��
����X���j�����2����W��ƹ(�p�)�is��p�-in��rtegral,���ԍwhic��rh,��together�with�the�denition�of��U�@�(�p�),�implies�that���ٍ����������q��������ō���?��f�������k�g�(12)����2��1��\|�E�����2����f����?�[��z�Z)��
�΍�)��f���������q������u�j�����2����W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)������(5.10)������om�is���p�-in��rtegral.�8�Using�(5.9),�w�e�also�compute���1�������w��v1}�e�����s���E�������p���-:�r�1���1��������j����p������r��,p��p������r�1���1���!u��W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)�����E����`�C=�����s��(����w��X��e�����E�����p����
z�j�����p��1�����W��ƹ(�p�))�����p���-:�r�1���1���e��j�U�@�(�p�)�UR���0���(�mo�S�d���B�p�����(�p��1)�p���-:�r�1���1��
�0�=�2+�p���-:�r�1���1���I'�)�;�������(5.11)��������and,��just�from�the�denitions,��[����t��(�E�����f��w�)�����p���-:�r�1���1���e��j����p������r�1���1����W��ƹ(�p�)�U�@�(�p�)������(5.12)�����������a�(=�����t���p�����p���-:�r�1���1��
�0�b=�2���q�(�E�����f��w�)�����p���-:�r�1���1���e��j����p������r�1���1��
�0�b����g��G������b܍���g�p���'�0���b����0���'1�����-S��G�����4��U�@�(�p�)�UR���0���(�mo�S�d���B�p�����p���-:�r�1���1��
�0�b=�2���)�:����^V��The�f�inequalities�(5.10),��(5.11)�and�(5.12)�together�imply�(as�claimed)�that���T��Vr�����O���zx�p������zx�1���Aչ(�f�����r���b�)�ܞ���f�����r�����(�mo�S�d���B�p����2�r���b�).��������ō�R��ffemark.��߹As��owith�Lemma�19,��Theorem�4�is�true�in�the�case��k��o�=�UR0�for��p��=�3�as�w��rell.�4xW��Ve�will���use��this�fact�without�further�commen��rt�in�the�pro�S�of�of�Theorem�33.��/����d�96.��s���CM���elliptic�cur����ves�and�supersingularity�����As�s�indicated�in�the�in��rtro�S�duction,���the�construction�of�explicit�families�of�go�o�d�forms�will���require��a�discussion�of�complex�m��rultiplication�and�sup�S�ersingularit�y��V,�`wwhic�h�w�e�no�w�b�S�egin.���Recall��that�for�an�elliptic�curv��re��E��=�C�,�there�exists�a�lattice��L�UR���C�꨹suc�h�that��������4�C�=L�������~m�g�������~k��������!����������E�������(6.1)��������������z��5�62�UR�L������)�7!�������ƹ(�}�(�z���;���L�)�;�}�����0���9�(�z�;�L�)�;��1)�����������z��5�2�UR�L������)�7!�������ƹ(0�UR:�1�:�0)�����is��an�analytic�isomorphism.�
G)Here��}��is�the�classical�W��Veierstrass��}�-function.�Con��rv�ersely��V,���giv��ren��Van�y�lattice��L�ڏ���C�,��one�can�sho��rw�that�there�exists�an�elliptic�curv�e��E��m�for�whic�h�an���analytic��isomorphism�of�the�form�(6.1)�holds.�VAUnder�this�corresp�S�ondence�b�et��rw�een��lattices���and�X�elliptic�curv��res,�tisomorphism�classes�of�elliptic�curv�es�o�v�er��C��corresp�S�ond�to�equiv��X�alence���classes��of�lattices,�6where�the�equiv��X�alence�is�giv��ren�b�y��L������L����2�0��� �if���L��=��cL����2�0���for��some��c����2��C����2�����.���By���w��ra�y�F�of�terminology��V,�gbthe�map��L����2�0��#��!�UR�L��giv��ren�b�y�m�ultiplication�b�y��c�UR�2��C����2�����is�F�called�a��homothety�,���and���t��rw�o�lattices�related�in�suc�h�a�w�a�y�are�called��homothetic�.���Note�that�w�e�ma�y�c�ho�S�ose�a���lattice�m�L�������	�-�with�basis��f���;����1�g��with����W�2�3:�H��in�eac��rh�homothet�y�class.���Dieren�t�bases�of��L�������	�-�are���giv��ren�C�b�y�applying�elemen�ts�of��to�the�basis��f���;����1�g�;��,it�follo�ws�that�w�e�ma�y�tak�e������2����F�.���With��2this�stipulation,�,�the�basis��f���;����1�g��is�uniquely�determined.�=}W��Ve�will�denote�b��ry��E�������
X�the���corresp�S�onding��elliptic�curv��re�under�the�map�����w�C�=L��������x�!�UR�E�������2&�:������e��Z���Qo^����24�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹W��Ve��call�this�map�(whic��rh�is�induced�b�y�(6.1))�an��analytic�35r��ffepr�esentation��X�of���E�������2&�.����W��Ve�=�no��rw�wish�to�mak�e�this�analytic�represen�tation�more�explicit;�g�additionally��V,�R�b�S�ecause�it���will�[0b�S�e�useful�later,�w�w��re�w�ork�in�a�sligh�tly�more�general�con�text.�	
Let��E��=K�7ιb�S�e�an�elliptic�curv�e���o��rv�er�Ȑa�eld��K��.�of�c��rharacteristic�not�equal�to�2�or�3.�-�Up�to�isomorphism,��bw�e�can�assume�that����E����is��giv��ren�in�ane�co�S�ordinates�b�y�������(6.2)������R�E�	i�:�UR�y��n9����2�����=�4�x�����3��j������g�����4����x����g�����6������(see,���for���example,�[�17����,��x�I�S�I�I.2]).���If�w��re�restrict�to�the�case��K���=��b�C�,���with�the�normalizations���giv��ren��ab�S�o�v�e,�the�map�(6.1)�just�formalizes�the�parametrization���ߍ�v�g�E�	i�:�UR(�}�����0���9�(�z���;���L�))�����2��V�=�4(�}�(�z�;���L�))�����3��j������g�����4����}�(�z�;�L�)������g�����6����:����that��exists�for�some�lattice��L�UR���C�.����W��Ve�(no��rw�wish�dene�the��j��ӹ-in�v��X�arian�t�of��E�������2&�,�Y�and�sho�w�ho�w�it�relates�to��j��ӹ(��W�).��_First,�Y�the����discriminant�35�(�E���)��of�the�elliptic�curv��re��E�=k�QŹis�dened�as���ߍ��(6.3)������g(�E���)�UR=�(2��n9�)������12�����(�g�������3���ڍ4����������27�g�������2���ڍ6���.=�)�:���|$��R��ffemark.��ƹIt�Vvis�imp�S�ortan��rt�to�observ�e�that�the�discriminan�t�function�(�E���)�is��not�z��equal�to���the�u(discriminan��rt�of�the�cubic�p�S�olynomial�dening�the�curv�e.��aSince�the�discriminan�t�of�the���p�S�olynomial��fdening�an�elliptic�curv��re��E�i}�is��not�٪�an�isomorphism�in�v��X�arian�t�of��E���,��there�are�a���v��X�ariet��ry�@�of�essen�tially�equiv��X�alen�t�w�a�ys�to�dene�the�discriminan�t;�y{the�reason�for�our�particular���denition��will�so�S�on�b�e�apparen��rt.����W��Ve��dene�the��j����-invariant�35of��E����to��b�S�e�the�quan��rtit�y���Ս��(6.4)��������j��ӹ(�E���)�UR:=������ō��1728�g����2��n9�3��RA�4�������[��z�;p��
�΍�(2��n9�)������12��	�(�E��)�����A,��:���P7��One�2�can�sho��rw�b�y�elemen�tary�means�o�v�er�an�y�eld��K�o�of�c�haracteristic�not�equal�to�2�or�3�that����j��ӹ(�E���)�ieis�indeed�an�in��rv��X�arian�t�ieof�the�isomorphism�class�of��E��,��?and,�further,�giv��ren�iean�y��j��ӹ(�E���)�UR�2��K�ܞ�,���there��exists�a�curv��re�of��j��ӹ-in�v��X�arian�t��j��ӹ(�E���)�(see�[�17����,��x�I�S�I�I.2]).����Note��gthe�similarit��ry�of�(6.4)�and�(1.7).�
�This�is�no�acciden�t.�
�Let��C�=L����������!����E���������b�S�e�an���analytic�qrepresen��rtation.��:It�turns�out�that,�^�with�the�normalizations�giv�en�ab�S�o�v�e,�^�w�e�ha�v�e����g�����2��V�=�����Fu�����4��������z�@���3�����	�����n9���2�4��.=�E�����4����(��W�),���g�����3���=�����Fu�����8��������z�����27�����;����n9���2�6���E�����6����(��W�).�8�Hence,��w��re�ha�v�e���ۍ��VQ(�E���)�UR=������ō���(�E�����4����(��W�)����2�3��j������E�����6���(���)����2�2���)�����[��z�[]k�
�΍�!�1728�����dnu=�(��W�)��P7�and�����������j��ӹ(�E�������2&�)�UR=��j��(��W�)�:��������(6.5)�������Th��rus��xthe�coincidence�of�the�\�j��ӹ"�in��j��-function�and��j��-in��rv��X�arian�t��xis�really�no�coincidence.��{Indeed,���noting���the�fact�that�as�the��j��ӹ-in��rv��X�arian�t���v�aries�o��rv�er����K��?�it�parameterizes�isomorphism�classes�of���elliptic���curv��res�o�v�er��K�v+�(at�least�if�w�e�con�tin�ue�to�assume�that�the�c�haracteristic�of��K�v+�is�not�2���or�2�3),�D�and�recalling�that�the��j��ӹ-function�is�a�bijection�b�S�et��rw�een�2��F��and��C�,�w��re�ha�v�e�a�bijectiv�e���map���@������F�UR� ��!���f����	US�isomorphism��classes�of�����W�E��=�C��g�������:��Lr��F��Vor��pro�S�ofs�of�the�statemen��rts�w�e�just�made�on�the�equalit�y�of�the�v��X�arious�denitions�of��j�Kչand���,��see�[�18����,��x�I�and�p.�8�112].�F��Vor��a�basic�in��rtro�S�duction�to�the�theory�of�elliptic�curv�es,�see�[�17����].����Later�1�w��re�will�b�S�e�giving�examples�of�elliptic�curv�es�in�the�form��E�	i�:�UR�y��n9���2�2�����=��x����2�3���>�+�1:�ax��+��b�1߹for�some����a;���b�K�2��k�g�.��GIt�]�is�easy�to�see�that�giv��ren�an�y�elliptic�curv�e�o�v�er��k���with�dening�ane�equation������ؠ�Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#25�����[������y��n9���2�2�����=�UR4�x����2�3�����+�?��cx��+��d�,���if��Nthe�c��rharacteristic�of��k�k�is�not�2,�then�this�curv��re�is�isomorphic�to�a�curv�e��*��with�rdening�ane�equation��y��n9���2�2��	j�=�;��x����2�3����+��������e������c���nx�߹+����V���^�e��*����d���
���for�rsome�����K'�e�����c���	��;����V���}�e��*������d���V��2��K�ܞ�.��2W��Ve�shall�call�an�elliptic���curv��re�4�written�in�this�form�an�elliptic�curv�e�in��Weierstr��ffass�wrform�.��W��Ve�no�w�write�formally�as���a���prop�S�osition�some�elemen��rtary�prop�erties�of�curv��res�written�in�W��Veierstrass�form;��!for�a�pro�of,���see��[�17����,��x�I�S�I�I.2]��!���Prop�`osition��21.����Supp��ffose�2��a;���b�UR�2��K�ܞ�,�2�wher�e�2��K�}�is�a�eld�with�char�acteristic�not�e�qual�to��2��or����3�.�N�Then��the�discriminant�of��x����2�3���|�+�x�ax��+��b���is���4�a����2�3����x�27�b����2�2����.�N�If�the�discriminant�is�nonzer��ffo,��Bthen����E�iӹ:����y��n9���2�2��	���=��x����2�3�����+�7��ax��+��b���is�nonsingular.��WF���urther,�!the��j����-invariant�of��E��:����y��n9���2�2��	���=��x����2�3�����+�7��ax��+��b���is������1728�����Fu���5�4�a���-:�3���33����z�#�}����4�a������3��*��+27�b������2������&>��.������No��rw��dthat�w�e�ha�v�e�(6.1)�and�the�isomorphism�in�v��X�arian�t��j��ӹ(�E���)�in�hand,�LSw�e�completely���understand�g�isomorphism�classes�of�elliptic�curv��res�o�v�er��C��considered�as�analytic�ob��jects;��Uthey���are�_�explicitly�parameterized�b��ry��}�(�z���;���L�������2&�)�(considered�as�a�function�of���s��2���F�).��OF��Vor�example,���dene����E���[�N�@�]�,���the����N��-division�p��ffoints�of��E���,���to���b�S�e�the�p�oin��rts�of��E�X��of�order�dividing��N�@�.�!�Viewing����E��=�C�꨹as��C�=L�������2&�,�it�is�eviden��rt�that��E��[�N�@�]�is�simply�the�group�����Fu���{�1��۟���z��D����N�����
�R�L�������2&�=L��������,��that�is,��E1����`�E���[�N�@�]�UR���Z�=��X�N��Z������Z�=��X�N��Z�:��!׍�The�g�ring�of�endomorphisms�of��E���,��or��End��t�(�E��),��can�also�b�S�e�understo�o�d�in�a�relativ��rely�straigh�t-���forw��rard��manner�using�analytic�represen�tations.�8�T��Vo�b�S�egin,�w�e�ha�v�e�the�follo�wing:����Lemma��22.��L��ffet�35�L;���M�t�b�e�two�lattic�es�in��C�,�and�let��!׍�����UR�:��C�=L��!��C�=��X�M����b��ffe�9a�c�omplex�analytic�homomorphism.�*vThen�ther�e�exists�a�c�omplex�numb�er���2��so�that�the���fol���lowing�35diagr��ffam�c�ommutes:�� w+�������ʍ�������h�:������C���㨞�!�����C�������d�#���8#�������R���UR�:����g�C�=L���㨞�!�������C�=��X�M���:���������Her��ffe�35the�top�map�is�multiplic�ation�by���F��and�the�b�ottom�is�the�homomorphism���.��!����Pr��ffo�of�35(c�omp�ar�e��[�21����]�).���q�Q�In��a�neigh��rb�S�orho�o�d��of�zero,����can�b�S�e�expressed�b�y�a�p�S�o�w�er�series��>������(�z���)�UR=��a�����0��j��+����a�����1����z�3��+��a�����2���z�������2���+������������;��!׍�On��the�other�hand,����is�a�homomorphism,�so��a�����0��V�=�UR0�and�additionally�w��re�ha�v�e������L��(�z�3��+����z�������0��W�)�UR����(�z���)�+���(�z������0��W�)���(�mo�S�d���B�M�@�)�:����If�#&w��re�c�ho�S�ose�a�small�enough�neigh�b�S�orho�o�d�#&�U�d
�of�zero,�1Ew�e�m�ust�ha�v�e�that�this�congruence�is���an��equalit��ry�in��U�@�;�th�us��;r��φ���(�z���)�UR=��a�����1����z������for����z����2�t�U�@�.�oBut�for�an��ry��z��2�t�C�,�9�z���=n��is�in��U�=��for�sucien��rtly�large�in�tegers��n�,�9and�from�this�w�e���conclude��that,�iden��rtifying��z�s��with�its�reduction�mo�S�dulo��L�,��C���p����(�z���)�UR=���������
���	*��n�������
��������ō�
��z��
]ݟ[��z���
�΍n����������
������E��
���4mv�=��n�������
��������ō�
��z��
]ݟ[��z���
�΍n����������
������=��na�����1�������
��������ō����z���[��z���
�΍n������T���
����!ԛ�=��a�����1����z�:��v�����k�������R��ffemark.�A�Abusing� notation,�-_w��re�will�often�denote�the�complex�n�um�b�S�er���3��and�the�homomor-���phism��w���b��ry�the�same�sym�b�S�ol���.�GNW��Ve�will�also�only�b�e�considering�the�sp�ecial�case��L�]��=��M�0[�of���Lemma��22.���������Z���Qo^����26�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑�It��is�clear�that�an��ry���UR�2��Z���will�induce�an�endomorphism�of��C�=L�������2&�,�
bwhic�h�w�e�can�then�iden�tify���with�L�an�elemen��rt�of��End��Yp(�E�������2&�).�^�W��Ve�will�call�these�endomorphisms�the��trivial��Qendomorphisms���of�35�E�������2&�.�8�W��Ve��ha��rv�e�the�follo�wing:����Denition.�2,�If����E��=�C��is�an�el���liptic�curve�with�nontrivial�elements�in�its�endomorphism�ring�����End���(�E��=�C�)�,�then�7we�say��E��7�is�� a�curve�with�c��Komplex�multiplic�ation�,�or,�brie
y,��E��7�has���CM�.�����The��7complex�n��rum�b�S�ers��7���inducing�a�non��rtrivial�endomorphism�of�a�lattice��L��turn�out�to���b�S�e��jalgebraic�n��rum�b�ers;���more��jsp�ecically��V,��they�are�quadratic�o��rv�er��j�Q�.�%vBefore�w��re�formalize�and���pro��rv�e��this�as�a�prop�S�osition,�w��re�oer�another�denition,�whic�h�will�also�b�S�e�useful�in��x�7:����Denition.����Supp��ffose����o�2�UR�H��is�the�r�o�ot�of�a�quadr�atic�e�quation�with�inte�ger�c�o�ecients;�%that��z��is,�iH�����=�����Fu��ء��b�+����L��p���\��L��\)�G��V��b������2��*���4�ac�����ء����z�2�o��ꍑ��2�a�����=7��with�^w�a;���b;�c��n�2��Z��and���gcd���k(�a;���b;�c�)��n=�1�.��0We�say�that������is�a��He��Ke�gner�,p�oint������and�35that��d��������x�=�UR�b����2�2��j������4�ac��is�the��discriminant��of���W�.����Prop�`osition��23.��Supp��ffose�35�E��=�C��is�an�el���liptic�curve.�fiThen��s2��������(1)����%��Every�!�nontrivial�endomorphism�of��E��=�C��is�induc��ffe�d�!�(in�the�sense�of�The��ffor�em�!�22)�either����%�by�35a�He��ffe�gner�35p�oint���UR�2��H��or�by�����for�a�He��ffe�gner�p�oint���UR�2��H�.����������(2)����%��The�35curve��E��=�C��has�CM�if�and�only�if��j��ӹ(�E��)�UR=��j��ӹ(��W�)�35�for�some�He��ffe�gner�35p�oint����o�2�UR�F�.����������(3)����%��The�tkcurve��E��=�C��has�CM�tif�and�only�if���End���*(�E��)�����P����$����԰�����=��������O�UV�,�ĸwher��ffe��O����is�an�or�der�in�an����%�imaginary�35quadr��ffatic�numb�er�eld��K�ܞ�.�����Pr��ffo�of.���#�R�The�lendomorphism�ring�of��E�3��is�unc��rhanged�if�w�e�replace�it�with�another�elliptic�curv�e���isomorphic��4to�it,���so�w��re�assume�without�loss�of�generalit�y�that��E�	i�=�UR�E�������2&�,������o�2��F�.� �Th�us��4w�e�ha�v�e���an��analytic�represen��rtation�����w�C�=L��������x�!�UR�E�������2&�:��s2��As�ouw��re�pro�v�ed�in�Lemma�22,�Шa�non�trivial�automorphism�of��E�������
���can�no�w�b�S�e�realized�as�a�����UR�2��C����2���j������Z�꨹suc��rh�that�����B��L��������x��UR�L����������or,��equiv��X�alen��rtly��V,�for�some���(����)����
|j�a�����b���:G���
�c���C�d������+�)��� �A�2���UR�GL���������2����(�Q�)����\��M�����2��2�����(�Z�),���e������)�������I8�=������l��a�Ź+����b���������n������I8�=������l��c�Ź+����d:������This��implies�that����is�a�ro�S�ot�of�the�quadratic�equation���)������������38�������������������������ʍ������x������a�����&��b�������|Y��c����o�x������d�������������38�����������������������8�=�UR0�:�����Th��rus�����is�a�quadratic�irrational�algebraic�in�teger.�/�No�w�note�that���&#�cannot�b�S�e�real;��<other-���wise���L�������6��w��rould�not�b�S�e�a�lattice,�2�and��c�UR�6�=�0,�for��then����w��rould�b�S�e�an�in�teger.��DTh�us��Q�(��W�)�UR=��Q�(��),���and,��further,�b�S�oth����and���AŹare�imaginary�quadratic�n��rum�b�ers.�8�This��pro�v�es�(1).����W��Ve'v��re�� also�pro�v�en�the�\only�if"�implication�of�(2),���just�b�y�recalling�that��j�l�is�an�isomorphism���in��rv��X�arian�t.�
�The�0�other�direction�follo��rws�similarly:���note�that�if��j��ӹ(�E���)��]=��j��(��W�)�0�with������a�Heegner���p�S�oin��rt,��then��E��������x��UR�E���,�and��E�������	ιis�eviden�tly�CM.����Finally��V,���for���(3),�note�that�if��E�>ֹis�CM,�as�pro��rv�en�ab�S�o�v�e,���there�is�an�isomorphic�curv�e����E�������	Wo�where�%I��|f�is�a�Heegner�p�S�oin��rt.���Th�us��%IEnd��2(�E���)������End����(�L�������2&�),�3�and,�again�%Ias�pro��rv�en�%Iab�o�v�e,�3�an�y���complex��n��rum�b�S�er�inducing�a�non�trivial�endomorphism�of��L�������:��is�an�elemen�t�of��O�����Q�(���r�)����,�5�the�ring�of���in��rtegers��of��Q�(��W�),�A�but�not�an�elemen�t�of��Z�.��With�this�observ��X�ation�in�mind�it�is�easy�to�see�that���the�4�eviden��rt�map��End��[email protected](�L�������2&�)���!�O�����Q�(���r�)��<�is�4�a�homomorphism�of�rings�with�iden�tit�y��V,�F�and,�further,���������Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#27�����[����썹the��image�of�this�homomorphism�is�not�con��rtained�in��Z��8��O�����Q�(���r�)����.���Th�us���End��#h(�L�������2&�)�����End����(�E��������)���is�?�isomorphic�to�an�order�in��O�����Q�(���r�)����.�7�Con��rv�ersely��V,�T�note�?�that�if��End��LY(�E���)�����O�UV�,�with�?��O���an�order���in��a�quadratic�imaginary�eld,�then��End���g(�E���)�is�not�isomorphic�to��Z�,�so��E����m��rust�b�S�e�CM.��
$���������By���w��ra�y�of�terminology��V,���if�����2����H��is�a�Heegner�p�S�oin�t,���then��j��ӹ(��W�)����2��C��is�called�a��singular���mo��ffdulus�.���In���view�of�parts�(3)�and�(4)�of�the�last�prop�S�osition,���one�migh��rt�guess�that�these���singular�Zmo�S�duli�w��rould�b�e�of�in��rterest�in�the�study�of�the�arithmetic�of�imaginary�quadratic���n��rum�b�S�er�'�elds.��'This�is�indeed�the�case,�wbut�b�efore�w��re�can�explain�an�ything�in�an�y�more���detail���w��re�m�ust�brie
y�explore�the�connection�b�S�et�w�een�the�CM�elliptic�curv�es�and�quadratic���imaginary��elds.�8�The�con��rten�t��of�our�discussion�is�deriv��red�mostly�from�[�31����,��x�I�S�I].����W��Ve'v��re�jPseen�in�Prop�S�osition�23�that�ev�ery�CM�j/elliptic�curv�e�has�endomorphism�ring�isomor-���phic��oto�an�order�in�a�quadratic�n��rum�b�S�er��oeld.�("W��Ve�no��rw�w�ork�in�an�opp�S�osite�direction.�("Fix�an���imaginary�D�quadratic�n��rum�b�S�er�D�eld��K�ܞ�,�[xand�let��O�����K�����b�e�its�ring�of�in��rtegers.�G�W��Ve�wish�to�study���the��follo��rwing�sets:���P�����Rk�E��LL��i�0�(�O�����K��;¹)�UR:��������=����������ō����f���elliptic��curv��res���J{.�E��=�C���꨹with���� �"End��5��(�E��)�����P���UR����԰���n:�=��������O�����K��;��g�����[��z��{�
�΍���9k�isomorphism��o��rv�er�����	�C������������(6.6)������ .͍�������P���������԰������=��������������ō����f���lattices���(�~�L���꨹with���� �"End��5��(�L�)�����P���UR����԰���n:�=��������O�����K��;��g�����[��z��.m�
�΍��7,��homothet��ry������Pm+�:����i����W��Ve�]�no��rw�sho�w�that�these�sets�are�nonempt�y�for�an�y�imaginary�quadratic�n�um�b�S�er�eld����K�ܞ�.��Fix�w�an�em��rb�S�edding��K�"j,���!�E��C�.�Giv��ren�an�y�nonzero�fractional�ideal��a�E����K�ܞ�,��Bw�e�w�kno�w�from���elemen��rtary�N>algebraic�n�um�b�S�er�theory�that�the�image�of��a��under�our�c�hosen�em�b�S�edding�(whic�h���w��re��will�also�denote�b�y��a�)�is�a�lattice�in��C�.�(Denote�b�y��E�����a��`�the�elliptic�curv�e�asso�S�ciated�to�this���lattice.�8�W��Ve��ha��rv�e���������ur�End���M(�E�����a����)���������P����������԰����i�=����������R��f��h��2�UR�C��:�����a����a�g����������i�=������R��f��h��2�UR�K�1�:�����a����a�g���꨹since��� �.�a����K�5�;���������i�=������R��O�����K����&j�since���(���a���꨹is�a�fractional�ideal.�������Th��rus�Hgiv�en��O�����K��;¹,�_nw�e�can�nd�an�elliptic�curv�e��E��+�with��End��T�(�E���)��U��O�����K��;¹.�Q#F��Vurther,�_nsince�homo-���thetic��Vlattices�giv��re�rise�to�isomorphic�elliptic�curv�es,��if��c���2��K�ܞ�,�then��V�E�����(�c�)�a������E�����a����.���In�other���w��rords,��-m�ultiplying��a�fractional�ideal�b��ry�a�principal�ideal�in��O�����K��(n�do�S�es�not�c�hange�the�elliptic���curv��re��Qthat�arises�from�that�ideal.�#nIn�particular,��/if�w�e�denote�b�y���C��5L���ڹ(�K�ܞ�)�the�ideal�class�group���of���K�ܞ�,�that�is,��덍�[email protected]�C��5L����ѹ(�K�ܞ�)�UR:=������ō����f���nonzero��fractional�ideals�of����^��K��g�����[��z��:F�
�΍�ˍf���nonzero��principal�ideals�of�����t�K��g���������:��� ��then��w��re�ha�v�e�a�map��������7�C��5L���j��(�K�ܞ�)���������i�������W!��������YE��LL����(�O�����K��;¹)�����������h���� �z�i�$��a��������i��7�������UY!�������Y�E�����a�������where���ß�� �z�i�$��a���
:�is���the�ideal�class�of��a�UR�2��C��5L���۹(�k�g�).��More���generally��V,��Wif��L��is�an��ry�lattice�and��a��an�y�nonzero���fractional��ideal�of��K�ܞ�,�then�dene�the�pro�S�duct����}ġ�a�L�UR�:=��f������1���������1��j��+�����������UN�+���������r���b������r��紹:�������i���,�2��a�;��������i���2��L�g�:������N��Z���Qo^����28�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹No��rw�^Ux�a�lattice��L��with��E�����L��
b�2��7E��LL����(�O�����K��;¹)�its�asso�S�ciated�elliptic�curv�e.���One�can�sho�w�in�an���elemen��rtary��manner�that�the�map��qd������KL�C��5L����չ(�k�g�)���������=������ޓA!�������CE��LL����(�O�����K��;¹)������(6.7)�������������<��� �z�i�$��a��������=��7�������UY!������C�E����a�������1��	���L�������denes�o9a�simply�transitiv��re�action�of���C��5L���¹(�K�ܞ�)�on���E��LL��d��(�O�����K��;¹)�(see�Prop�S�osition�1.2,��][�31����,��x�I�I.2]).���In���particular,��b�S�ecause���C��5L��
�(�K�ܞ�)�is�nite,���E��LL���F�(�O�����K��;¹)�is�as�w��rell.���This�observ��X�ation�is�the�main���input��in��rto�Prop�S�osition�24�b�elo��rw.�8�Fix�the�notation������h�h�����K����=�UR�j�C��5L��K��(�K�ܞ�)�j�:�����F��Vor��^��Ë�2���UR�Aut���=(�C�),�mlet��c����2���|]�denote���n9�(�c�)�for�all��c�UR�2��C�,�and��^let��E������2���	0t�denote�the�elliptic�curv��re�formed���b��ry�Bletting����9�act�on�the�co�S�ecien�ts�of�the�dening�ane�equation�of��E���.��F��Vurther,�c�if���UR�:��E�	i�!��E����is���an�endomorphism�of��E���,��Dthen�denote�b��ry������2���
7�:���E�����2���
�&�!��E�����2���
�Թthe���induced�endomorphism�(i.e.���isogen��ry��from��E������2���
C��to�itself��8)�of��E������2���Y�.��s���R��ffemark.�N�W��Ve��are�implicitly�iden��rtifying�the�ring�of�analytic�endomorphisms�of��E���,�
�though�t�of���as���a�lattice,��Owith�the�ring�of�algebraic�endomorphisms�of��E���,�though��rt�of�as�group.� �It�is�a�fact���that��these�t��rw�o��rings�are�indeed�isomorphic;�see�[�30����,��x�VI.4,�Theorem�4.1].����Then��w��re�ha�v�e�the�follo�wing:����Prop�`osition��24.��]�L��ffet�ߤ�E��=�C��b�e�an�r�epr�esentative�of�a�class�of�el���liptic�curves�in���E��LL���i�(�O�����K��;¹)��for����O�����K��n��the�35ring�of�inte��ffgers�of�an�imaginary�quadr�atic�eld��K�ܞ�.�fiWe�have������������(1)����%��j��ӹ(�E���)�UR�2����K�z�	UW�	���Q������.����������(2)����%��L��ffet��E�����1����;���:::;�E�����h��X.�K���w��b�e�a�c�omplete�set�of�r�epr�esentatives�for���E��LL���ƹ(�O�����K��;¹)�.�Then��j��ӹ(�E�����1����)�;���:::;�j��(�E�����h��X.�K���w��)������%��ar��ffe�35the���Gal���G�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)��c�onjugates�for��j��ӹ(�E���)�.�����Pr��ffo�of.���#�R�Let�og����:�7F�C��!��C��b�S�e�a�eld�automorphism�of��C�.��First�note�that��End��|&(�E������2���Y�)��'���End��D(�E���),���simply���b�S�ecause�if����۹:��E�Z��!��E��ڹis���an��ry�endomorphism�of��E���,�Z�then������2���Kڹ:����E�����2������!��E�����2���6ٹis���an���endomorphism��\of��E������2���Y�.�
k�Th��rus��End���(�E������2����)�H�����End��UN(�E���).�
k�In��\particular,�Ias�����v��X�aries,��E������2����r�v�aries���o��rv�er�o�only�nitely�man��ry��C�-automorphism�classes�of�elliptic�curv�es�with�endomorphism�ring���isomorphic��to��O�����K��&j�b�S�ecause�the�action�(6.7)�is�simply�transitiv��re�and�the�class�group�is�nite.����No��rw�E��E������2������is�obtained�from��E����b�y�letting����ƹact�on�the�co�S�ecien�ts�of�the�ane�equation���dening���E���.�'�The�in��rv��X�arian�t���j��ӹ(�E��)�is�just�a�rational�com��rbination�of�those�co�S�ecien�ts,�#�so�w�e���ha��rv�e������ßB�j��ӹ(�E���������Y�)�UR=��j��(�E���)����������:���1��Since�2�the�isomorphism�class�of�an�elliptic�curv��re�is�determined�b�y�its��j��ӹ-in�v��X�arian�t,���and,�as���w��re'v�e��]noted�ab�S�o��rv�e,��
there��]are�only�nitely�man��ry��C�-isomorphism�classes�in��f�E������2���Y�g������I{�2���Aut���e(�C�)��&J�,�it���follo��rws��_that��j��ӹ(�E���)����2���
;^�tak�es�on�only�nitely�man�y�v��X�alues�as�����ranges�o�v�er���Aut���~$(�C�).�<Therefore���[�Q�(�j��ӹ(�E���))�UR:��Q�]��is�nite,�so��j��(�E���)�is�an�algebraic�n��rum�b�S�er.�8�This��completes�the�pro�of�of�(1).����T��Vo�� pro��rv�e�(2),���rst�note�that�the�action�of���C��5L��Ω�(�K�ܞ�)�on���E��LL��x�(�O�����K��;¹)�induces�a�simply�transitiv�e���action�[email protected]	�UR:���C��5L���۹(�K�ܞ�)��!�f�j��ӹ(�E�����1����)�;���:::;�j��(�E�����h��X.�K���w��)�g�[email protected]�if�w��re�iden�tify�an�isomorphism�class�of�elliptic�curv�es�����with��7its��j��ӹ-in��rv��X�arian�t.�F�One��7then�denes�a�surjectiv��re�homomorphism��]:���Gal�����(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)��!��C��5L�����(�K��)�����suc��rh��that�the�canonical�action�of���Gal���c2(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�on�the�set��f�j��ӹ(�E�����1����)�;���:::;�j��(�E�����h��X.�K���w��)�g���is�just�	�l����.���See�֎[�31����,���x�I�S�I.2]�for�the�construction�of�this�homomorphism;�L�the�pro�of�of�Theorem�4.3,��[�31����,����x�I�S�I.4]���sho��rws�that�it�has�the�desired�prop�ert��ry��V.�
The�fact�that�(6.7)�is�simply�transitiv�e�then���immediately��yields�the�desired�result.��O���������B��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#29�����[����썑�Actually��V,�(the���j��ӹ(�E���)�for��E���as�in�the�previous�prop�S�osition�are�in��rtegral,�whic�h��can�b�S�e�pro��rv�en��b�y���constructing�lPcertain�p�S�olynomials�related�to��n�-isogenies�of�elliptic�curv��res.��This�pro�of�requires���no��9more�mac��rhinery�than�that�whic�h�w�e�ha�v�e�already�dev�elop�S�ed�(and�in�fact�man�y�of�the���ideas�Yfb�S�ehind�it�will�b�e�used�in�the�pro�of�of�Theorem�33),�vsbut�it�is�rather�long,�and�the�reader���w��rould��do�just�as�w�ell�to�read�it�in�[�31����,��x�I�S�I.6].�8�W��Ve�state�this�fact�as�a�theorem:��Ľ��Theorem��25.�C�L��ffet����E��=�C��b�e�an�el���liptic�curve�with�c�omplex�multiplic�ation.��bThen��j��ӹ(�E���)��is�an���algebr��ffaic�35inte�ger.�����W��Ve���no��rw�wish�to�restate�Prop�S�osition�24�using�the�language�of�Heegner�p�oin��rts.�1�Recall�that���an���in��rteger��d���6�=�1���is�a��fundamental�
@discriminant��$�if�it�is�not�divisible�b�y�the�square�of�an�y���o�S�dd��prime�and�satises�either��d�UR���1�UP(�mo�d���B4)��or��d�UR���8�;����12�UP(�mo�d���B16).��W��Ve��pro��rv�e�the�follo�wing���lemma:����Lemma�X�26.�`I�L��ffet���d��E<��0��b��ffe�a�fundamental�discriminant,��and��K�r�=��Q�(�������p���
�����z��
:��d�����)�.�n]Then�ther��ffe�ar�e���pr��ffe�cisely�35�h�����K��n��He�e�gner�p�oints�of�discriminant��d��in��F�.��?D���Pr��ffo�of.���#�R�Notice��that�if�����=�����Fu���	��b�+����L��p���\��L��\)�G��V��b������2��*���4�ac������	����z�2�o��ꍑ��2�a�����<c��2����F��with��a;���b;�c��2��Z�,���gcd���u(�a;�b;�c�)�=�1,��and���b����2�2���G���C�4�ac��=��d�,�����then���ax����2�2��Nȹ+����bxy����+��cy��n9���2�2��	=�is�a�primitiv��re�p�S�ositiv�e�denite�quadratic�form�of�discriminan�t��d�.�4SSince����d�꨹is�fundamen��rtal,�the�n�um�b�S�er�of�suc�h�forms�is�precisely��j�C��5L��K��(�K�ܞ�)�j�UR�=��h�����K��;¹.��`K7��������W��Ve��no��rw�ha�v�e�the�follo�wing�corollary�of�Prop�S�osition�24:����Corollary��27.�gX�L��ffet�|�d�UR<��0��b��ffe�a�fundamental�discriminant�and�������1����;���:::;������h��X.�K�����b��ffe�the�He�e�gner�p�oints��Ϟ�of���discriminant��d��in��F�.�r:Then��j��ӹ(������i��dڹ)����2����K�z��	���Z���zy�for���al���l��i�,�
vand��j��(������1����)�;���:::;�j��(������h��X.�K���w��)����is�a�c��ffomplete�set�of�����Galois�35c��ffonjugates�under�the�action�of���Gal���G�(���\-�z�
۶�	�Ӎ�K���
۶=K�ܞ�)�.�����Pr��ffo�of.���#�R�First��note�that�the�map���@�����iH�F��������� ��!����������ō���f���lattices���(�~�L�UR���C�g�����[��z�U2��
�΍��.ùhomothet��ry�����������������z�����3�7�������UY!�����׾�[�L�����z��ʮ�]������(6.8)������>��is�y�a�bijection.�5Supp�S�ose����o�2�UR�F��is�a�Heegner�p�oin��rt�of�discriminan�t��d�.�5Using�(6.5),��Bw�e�ha�v�e�that����j��ӹ(�E�������2&�)�=��j��(��W�),�swhic��rh�W�implies�b�y�part�(2)�of�Prop�S�osition�23�that��E�������	��has�endomorphism�ring���isomorphic��Nto�an�order�in�an�imaginary�quadratic�n��rum�b�S�er��Neld.�O�This�implies�that�the�same���is���true�of��L�������2&�.��By�the�pro�S�of�of�Prop�osition�23,���w��re�ma�y�tak�e�this�imaginary�quadratic�n�um�b�S�er���eld���to�b�S�e��K�ܞ�.�6�In�fact,���CEnd���(�L�������2&�)�����P���UR����԰���n:�=��������O�����K��;¹,��Cthe�full�ring�of�in��rtegers.�T��Vo�see�this,��Cw��re�observ�e�that��D��O�����K����=����Z�[�����Fu��33�1+����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d�����33����z�Q���ꍑ	��2�������]�=�if��d��is�o�S�dd�(resp.,�R��O�����K���=����Z�[�����Fu���33��-^�p���H���-^�\)_��Ң��d����33����z�u��ꍑ���2�����
�j�]�if��d��is�ev��ren),�R�hence�one�need�only�c�hec�k�that��gٍ�����Fu��33�1+����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d�����33����z�Q���ꍑ	��2�����b��������o�2�UR�L�������	ι(resp.,�����Fu���۟�-^�p���37��-^�\)_��Ң��d����۟���z�u��ꍑ���2�����p������2�UR�L�������2&�).�8�W��Ve��omit�this�calculation.��#Z��With��this�claim�in�hand,�(6.8)�yields�an�injection��\썍�����f���Heegner��p�S�oin��rts�in���^b��F���꨹of�discriminan��rt���T���d�g������\�,���!����������ō��f���lattices���(�~�L�UR���C���꨹with���� �"End��5��(�L�)�����P�������԰���n:�=��������O�����K��;��g����[��z����
�΍��C��homothet��ry�������������
������vv�7�������UY!������ѹ[�L�������2&�]�:�������(6.9)������>��The�xFset�on�the�left�hand�side�of�(6.9)�has�cardinalit��ry��h�����K����b�y�Lemma�26�as�do�S�es�the�set�on�the���righ��rt���hand�side�b�y�(6.6)�and�the�fact�that�the�action�(6.7)�is�simply�transitiv�e.�'�Th�us�(6.9)�is���a��bijection.����W��Ve��Zno��rw�iden�tify�the�set�on�the�righ�t�of�(6.9)�with�(6.6).���Applying�Prop�S�osition�24�then���yields��the�corollary��V.��h'���������X��Z���Qo^����30�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑�W��Ve�s�close�our�discussion�of�the�connection�b�S�et��rw�een�s�the�j-in��rv��X�arian�ts�s�of�CM�s�elliptic�curv��res���o��rv�er��C��b��ry�noting�that�the�prop�S�ositions�and�lemmas�w�e�ha�v�e�pro�v�en�ab�S�o�v�e�are�really�the���elemen��rtary���preliminaries�to�a�discussion�of�the�class�eld�theory�of�imaginary�quadratic���elds.�5�This���is�one�of�t��rw�o���cases�in�whic��rh�the�class�eld�theory�of�an�extension�of��Q��has�b�S�een���explicitly���w��rork�ed�out�(the�other�is�the�class�eld�theory�of��Q��itself��8).���It�w�ould�tak�e�us�to�S�o���far�<�aeld�to�pro��rv�e�<�the�follo��rwing�theorem,���but�it�seems�imp�S�ortan�t�to�state�for�the�reader���the���main�result�in�the�class�eld�theory�of�imaginary�quadratic�extensions�of��Q�,���namely�a���c��rharacterization��vof�the�Hilb�S�ert�class�eld�of�suc�h�an�extension.�zThe�connection�with�the�CM���theory��of�elliptic�curv��res�will�b�S�e�eviden�t.��(q��Theorem��28.�@��L��ffet����E�[��b�e�an�el���liptic�curve�r�epr�esenting�an�isomorphism�class�in���E��LL�����(�O�����K��;¹)�.���Then���K�ܞ�(�j��ӹ(�E���))��is�the�maximal�unr��ffamie�d��ab�elian�extension�of��K�ܞ�,�Rthat�is,��K�ܞ�(�j��ӹ(�E���))��is�the���Hilb��ffert�35class�eld�of��K�ܞ�.����F��Vor��a�pro�S�of�of�this�result,�see�either�[�31����,��x�I�I.4]�or�[�20����,��x�10.1].����It���should�come�as�no�surprise�that�in�order�to�apply�our�discussion�of�CM��Uto�the�con-���struction�I�of��p�-adic�mo�S�dular�forms,�a]w��re�will�ha�v�e�to�understand�at�some�lev�el�what�happ�S�ens���when�D�w��re�mo�v�e�from�elliptic�curv�es�dened�o�v�er����K�z�	UW�	���Q����ǹto�those�dened�o�v�er�a�eld�of�prime���c��rharacteristic��greater�than�or�equal�to�5.�8�W��Ve�b�S�egin�with�the�notion�of�go�o�d�reduction:����Denition.�8��L��ffet��g�K�v�b�e�a�numb�er�eld,���and�let��P����O�����K���)�b��ffe�a�prime�ide�al.���A��2n�el���liptic�curve����E��=���K�z�	UW�	���Q���^¹:�	k�y��n9���2�2��
7��=��x����2�3���+�Y�ax��+��b���with��P�-inte��ffgr�al��c�o�ecients��a;���b��is�said�to�have��go��Ko�d��r�e�duction���U�at�t��P��H�if�the�r��ffe�duc�e�d��Hel���liptic�curve����w�����e������E����:���y��n9���2�2��	F#�=��x����2�3�����+��������e�����}�a���	#~x��}�+����V��"��e��*����b������is��Hnonsingular.���Her��ffe�����\s�e�����a���c��denotes�the���r��ffe�duction�35of��a��in��O�����K��;��=�P�.���R��ffemark��"�(1)�.�XK�F��Vor���ease�of�exp�S�osition,���w��re�ha�v�e�restricted�our�denition�of�go�S�o�d���reduction�so���as���only�to�include�elliptic�curv��res�written�in�W��Veierstrass�form.�k�With�this�denition,���whether���or��anot�an�elliptic�curv��re��E�mx�has�go�S�o�d��areduction�at�a�particular�prime�is�not�an�in�v��X�arian�t�of���the���isomorphism�class�of�the�curv��re.�]�F��Vor�a�more�general�(and�natural)�discussion�of�go�S�o�d���reduction,��see�[�30����,��x�VI�S�I.5].����R��ffemark��}�(2)�.��g�Supp�S�ose���P��is�a�prime�ideal�ab�o��rv�e��a�prime�in��rteger��p�UR�62�f�2�;����3�g�.� �F��Vrom��Prop�osition�����21,�=Vw��re�ha�v�e�an�easy�w�a�y�to�determine�whether�or�not�the�elliptic�curv�e��E��=���K�z�	UW�	���Q������:�UR�y��n9���2�2�����=��x����2�3���)�+��%�ax��+��b����has��go�S�o�d�reduction�at��P�;�this�is�the�case�if�and�only�if��ord���〟���P��B�(��4�a����2�3��j������27�b����2�2����)�UR=�0.����W��Ve�3�discussed�t��rw�o�3�algebraic�ob��jects�attac��rhed�to�an�elliptic�curv�e�dened�in�c�haracteristic���zero,���namely��V,�its��fgroup�of��N�@�-division�p�S�oin��rts�and�its�endomorphism�ring.�4�The�corresp�onding���ob��jects�3�for�elliptic�curv��res�dened�o�v�er�elds�of�p�S�ositiv�e�c�haracteristic�are�a�go�S�o�d�3�deal�more���subtle;�J�a���prop�S�er�treatmen��rt�of�them�w�ould�b�S�e�a�thesis�in�itself.���In�the�remainder�of�this�section���w��re��yindicate�some�of�what�is�true�ab�S�out�them�as�motiv��X�ation�for�the�concept�of�sup�ersingularit��ry��V.����First,��wsupp�S�ose���E�d1�is�the�reduction�of�an�elliptic�curv��re�or�an�elliptic�curv�e�dened�o�v�er�a���eld����K����of�prime�c��rharacteristic��p������5.�ǾIt���is�natural�to�ask�for�a�description�of�the�groups����E���[�N�@�].�8�F��Vor���N�+��coprime�to��p�,�w��re�ha�v�e�the�same�answ�er�as�b�S�efore,�namely��-+���]&�E���[�N�@�]�UR���Z�=��X�N��Z������Z�=��X�N��Z����(see,��,for��Mexample,�Corollary�6.4�of�[�30����,��x�I�S�I�I.6]).�(lThe�b�eha��rvior�is�quite�dieren�t�at��p�;���w�e�ha�v�e�����R��E���[�p�����e��qp�]�UR��f�0�g���꨹for�all���&/��e��2��N����or��Fƍ���/�E���[�p�����e��qp�]�UR���Z�=p�����e���Z���꨹for�all���&/��e��2��N�:�����ޠ�Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#31�����[����썹Again,��see�[�30����,��x�I�S�I�I.6].�8�In��the�rst�case,�w��re�sa�y�that��E����is��sup��ffersingular�.����The�5Nendomorphism�rings,�G�whic��rh�w�e�completely�describ�S�ed�for�elliptic�curv�es�o�v�er��C��using���analytic��parameterizations,��ealso�b�S�eha��rv�e��in�a�m��ruc�h��less�straigh��rtforw�ard��manner�up�on�reduc-���tion�Bof�the�curv��re.���In�particular,�hlet��K���b�S�e�a�n�um�b�S�er�eld,�hand�let��E��=���K�z�	UW�	���Q���
`��ha�v�e�go�S�o�d�Breduction���at���P�UR��O�����K��;¹.�8�Then�one�can�sho��rw�that�the�natural�reduction�map��������NEnd���
(�E���)�UR�!���End��b(����w��X��e�����E���	f��)��Ȇ�is��injectiv��re�(see�[�30����,�!h�x�VI�S�I.3]�and�Prop�osition�4.4,�!h[�31����,��x�I�I.4]).��If���E��/�has�CM,�and�this�map�is��not���4��surjectiv��re,�uLthen�W�it�turns�out�that��End��d�(����w��X��e�����E���	f��),�instead�of�b�S�eing�an�order�in�a�quadratic�imaginary���eld,�DZis���an�order�in�a�quaternion�algebra�(see�Corollary�9.4,�[�30����,��x�I�S�I�I.9���]).�*OWhether�or�not��E����has�҆CM,�the�condition�that��End���E(����w��X��e�����E���	f��)�is�an�order�in�a�quaternion�algebra�is�in�fact�equiv��X�alen��rt���to�>sup�S�ersingularit��ry�of�the�curv�e�as�dened�ab�S�o�v�e;�g�sometimes�it�is�said�that�a�sup�S�ersingular���elliptic�1�curv��re�has�\extra"�endomorphisms.�vW��Ve�write�the�t�w�o�denitions�of�sup�S�ersingularit�y���w��re��ha�v�e�encoun�tered�as�a�displa�y�ed�denition�so�they�are�not�lost�in�the�text:���7��Denition.����L��ffet���K�{��b�e�a�numb�er�eld,����P�UR��O�����K�����an�prime�ide��ffal�ab�ove��p�UR���3�.�5A��2n�el���liptic�curve����E��=���K�z�	UW�	���Q���h[�with�go��ffo�d�r�e�duction�at��P��is�said�to�b�e��sup��Kersingular��at��P��if�one�of�the�fol���lowing���e��ffquivalent�35c�onditions�holds:���B��������(1)����%��E���[�p����2�e��qp�]�UR=�0�35�for�al���l��e�UR>��0�.����������(2)�����%�End��:�?(�E���)�35�is�an�or��ffder�in�a�quaternion�algebr�a.���R��ffemark.��In��fact,�if��E���[�p����2�k��#��]�UR=�0��for�some��k��o>�UR�0,�then��E��[�p����2�e��qp�]�UR=�0��for�all��e�UR>��0.���F��Vor��ca�discussion�of�the�equiv��X�alence�of�these�t��rw�o��cdenitions,��qsee�[�30����,��x�V.3].��Essen��rtially�ev�ery-���thing��pro��rv�en�therein�is�deriv�ed�from�the�classical�results�of�Deuring�in�[�11����].����Recalling�U8that��j��ӹ(�E���)�is�an�isomorphism�in��rv��X�arian�t�U8of��E��,���and�giv��ren�the�cen�tral�role�that���the���study�of��j��ӹ-in��rv��X�arian�ts���pla�ys�in�CM���theory��V,���it�should�come�as�no�surprise�that�it�en�ters���the�Nadiscussion�here�as�w��rell.�dW��Ve�note�rst�that�if��E��=���K�z�	UW�	���Q���
���has�go�S�o�d�Nareduction�at�a�prime�ideal����P�UR��O�����K����ab�S�o��rv�e��2�p�UR���5,��then��j��ӹ(�E���)�is��p�-in��rtegral.�+�This�follo�ws�trivially�for�an�y�curv�e�written�in���W��Veierstrass���form�b��ry�Prop�S�osition�21�(and�w�e�are�restricting�our�discussion�of�go�S�o�d���reduction���to��curv��res�in�W��Veierstrass�form).�8�Th�us�w�e�can�mak�e�the�follo�wing:��+ۍ�Denition.�1��L��ffet�;n�K��b�e�a�numb�er�eld,�l�and�supp�ose��E��=���K�z�	UW�	���Q������is�sup�ersingular�at�a�prime�ide�al��P�UR������O�����K���'�ab��ffove�iea�prime��p������5�.��Then�iethe�r�e�duction�of��j��ӹ(�E���)��in����K�z�UV�	���F����������p���}�is�said�to�b�e�a��sup��Kersingular�����j����-invariant�35�over����K�z�UV�	���F����������p��O��.�����Using�=�the�dictionary�b�S�et��rw�een�=�Heegner�p�oin��rts�and�CM�=�elliptic�curv�es�w�e�ha�v�e�dev�elop�S�ed,���w��re�wcan�state�the�follo�wing�theorem,��/whic�h�yields�a�particularly�nice�metho�S�d�of�deciding���whether��or�not�a�CM�curv��re�is�sup�S�ersingular�at�a�particular�prime:����Theorem��29.��"�L��ffet�����:�b�e�a�He�e�gner�p�oint�of�discriminant��d�������2&�,��and��E�������	�b�e�an�el���liptic�curve�with����j����-invariant�"Q�j��(��W�)�.�3�Fix�a�prime��p����5�,�^and�supp��ffose�that��p��is�inert�or�r�amie�d�in��Q�(�����`�p���
���`�z�M(�	S���d����������M*�)�.���If�<�E�������
>b�has�go��ffo�d�<r�e�duction�at��p��for�al���l�primes��p��ab�ove��p��in��Q�(�j��ӹ(��W�))�,�B~then��j��(��W�)��r��ffe�duc�es�to�a�����sup��ffersingular�35�j����-invariant�in����K�z�UV�	���F����������p��O��.����See��[�20����,��x�13.4,�p.�8�182]�for�a�pro�S�of�of�this�result.����W��Ve��are�no��rw�almost�ready�to�state�the�theorem�whic�h�will�b�S�e�the�main�to�ol�used�in�the���construction��of�a�family�of�go�S�o�d��forms.�8�W��Ve�x�the�notation��Ȇ���(6.10)����a��
�����p����:=���UR��G����
UT�j�����E��
�ڹ:�UR�j�����E����0�is��a�sup�S�ersingular���h���j����ӹ-in��rv��X�arian�t��o�v�er����O��K�z�UV�	���F����VWI����p���[���G��	�������� Ѡ�Z���Qo^����32�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹and���4���(6.11)����Њ��g�����p����:=�UR�j�
�����p���]�j�:�����F��Vurther,��dene�the�sup�S�ersingular�lo�cus��S�����p���]�(�x�)�as���׍��(6.12)�������S�����p���]�(�x�)�UR=�����J���Y������j��X.�E��8+�2�
���p����&��(�x������j�����E��-��)�UR�2��F�����p���[�x�]�:���&H(��W��Ve��Pha��rv�e�sw�ept�under�the�rug�the�assertion�that��j�
�����p���]�j��is�nite�and��S�����p���(�x�)�Y��2��F�����p���]�[�x�].�@�F��Vor�pro�S�ofs���of��these�assertions,�see�either�[�16����]�or�[�30��,��x�V.4].�8�W��Ve�ha��rv�e��the�follo��rwing�result�of�Deligne:��f+��Theorem��30��(Deligne)�.��If�35�p�UR���5��is�prime,�then��������S�����p���]�(�x�)�UR���F��ƹ(�E�����p��1�����;���x�)���(�mo�S�d���B�p�)�:����Note��_that�the�\�F��ƹ"�in�Theorem�30�is�a�divisor�p�S�olynomial�(see��x�5).�GAn�elemen��rtary�pro�of���of�qTheorem�30�using�only�basic�prop�S�erties�of�Hasse�in��rv��X�arian�ts�qand�complex�analysis�can�b�e���found��in�[�16����].����In�a�this�section�w��re�ha�v�e�ask�ed�the�reader�to�accept�man�y�results�without�pro�S�of.�BAn�explicit���example��could�b�S�e�enligh��rtening:����Example.�`<�Consider�the�elliptic�curv��re��E�	i�:�UR�y��n9���2�2�����=��x����2�3�����+���x�.��YUsing�Prop�S�osition�21,�C�w�e�calculate�that���the�\�discriminan��rt�of�this�curv�e�is���4�and�conclude�that�it�has�go�S�o�d�\�reduction�at�an�y�prime����p�UR���3.�#�W��Ve���then�use�Prop�S�osition�21�to�calculate�that�the��j��ӹ-in��rv��X�arian�t���is�1728.�It�is�a�standard��i͍fact�J�from�the�theory�of�mo�S�dular�functions�that��j����maps�the�arc�from��e����2�2��I{i=�3���q�=���������Fu��33�1��33����z�@���2�����
@��+�����؜���͇���=�p�������=�\)
�|�4Í�3����͇�dԉz��؟�ꍑ��2������#Z��to��f�i��along�the�unit�disc��f�z����:�
��j�z����j��=�1�g��f�bijectiv��rely�on�to�the�in�terv��X�al�[0�;����1728];�n�in�particular,����j��ӹ(�i�)�UR=�1728.�vIt��ifollo��rws�that�from�Prop�S�osition�23�that��E�7��has�CM��Owith�endomorphism�ring�an���order��in��K�1�=�UR�Q�(�i�).����It��is�a�fact�from�elemen��rtary�n�um�b�S�er�theory�that�a�prime��p�ѐ���5��splits�in��K����if�and�only���if����p�(���1�UP(�mo�S�d���B4).�o�Therefore,�Akb��ry�Theorem�29,�w��re�should�exp�S�ect�that��E��&�:�(�y��n9���2�2��
VL�=��x����2�3��%^�+�eZ�x��is���sup�S�ersingular�b�when�considered�as�a�curv��re�in��F�����p��	*K�for�primes��p�"
���5�b�with��p�"
���3�UP(�mo�d���B4).���W��Ve���pro��rv�e���this�in�an�elemen��rtary�manner�b�y�demonstrating�that��j�E��=�F�����p���]�j���=��p�EI�+�1.��8This���implies����E��=�F�����p����has��no��p�-torsion,�whic��rh�is�one�of�our�denitions�of�sup�S�ersingularit�y��V.���<��Let���ꨟ�G��������Fu��
�����
�ݟ���z�\t���������-���G������.�denote��the�t��rypical�Legendre�sym�b�S�ol.�8�W��Ve�ha�v�e��!�H���������q��������ō���6�x����2�3��j��+����x����6�[��z� ���
�΍�
V�p������ɉ��q����մ��=���UR��q��������ō�
]��x��
]ݟ[��z��R�
�΍�c�p������>b��q������ ���q�������ō�*C�x����2�2��j��+���1��*C�[��z��*�
�΍��?�p������K���q����U���:��%w��Because���p�UR���3�UP(�mo�S�d���B4),�����
�������Fu��H���1��H�����z�
�|��ꍑJ��p������X6��
����"�4�=���1,�so��%F䍍�����q��������ō����(��x�)����2�3��j��+���(��x�)�����[��z�E�>�
�΍����p������Ui���q����a���=���UR��q��������ō�
]���x��
]ݟ[��z���
�΍�~p����������q������)i��q�������ō�3q��(��x�)����2�2��j��+���1��3q��[��z�2?	�
�΍�,��p������f�֟�q����s��=���UR��q��������ō�
]���1��
]ݟ[��z�5S�
�΍����p�������c��q������(����q�������ō�2�D�x��2�D�[��z��R�
�΍�c�p������:�ɟ�q������EZ��q�������ō�Ob��x����2�2��j��+���1��Ob��[��z��*�
�΍��?�p������p\��q����|���=�UR��������q��������ō���x����[��z��R�
�΍�c�p���������q�������d��q�������ō�(���x����2�2��j��+���1��(��[��z��*�
�΍��?�p������I�L��q����T���:������By�yhpairing��x��and���x��for��x�UR�2��F����2����RA��p����]�,��w��re�yhcan�conclude�that�exactly�half�the��p��V���1�yhelemen�ts��x�UR�2��F����2����RA��p����M��ha��rv�e��the�prop�S�ert��ry�that��x����2�3���4�+��0�x��is�a�quadratic�residue.�SEac�h�suc�h��x��yields�t�w�o�solutions�to�the���equation��y��n9���2�2���߹=����x����2�3��{��+����x��o��rv�er��F����2����RA��p����]�,�
wcorresp�S�onding�to���y�n9�.��7Adding�in�the�p�oin��rt�(�x;���y�n9�)���=�(0�;��0)�and�����the��p�S�oin��rt�at�innit�y��V,�w�e�ha�v�e��j�E��=�F�����p���]�j�UR�=��p����+�1.�����!-���Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#33�����[����썍��㠹7.����$�Good���f���orms�����As��promised,�6jin�this�section�w��re�no�w�pro�vide�sev�eral�families�of�go�S�o�d��forms.�UBefore�w�e���b�S�egin,��ho��rw�ev�er,�w�e�recall�the�follo�wing�congruences�in�v�olving�singular�mo�S�duli:���w��Prop�`osition�m
31��(Gross���and�Zagier)�.�iZ�L��ffet����p��|<��12��b��ffe�a�prime�and���G��b�e�a�He�e�gner�p�oint�of���Ӎdiscriminant�35�d�UR<���4�.�fiIf�����
�������Fu����d�������z�_���ꍐ&p������#��
������=���1��we�have��%m�����_W�j��ӹ(��W�)����������UR�0���(�mo�S�d���B2����2�15��	�)�������$#�if���#���p�UR�=�2����������_W�j��ӹ(��W�)������}���UR�12����2�3�����(�mo�S�d���B3����2�6����)�������$#�if���#���p�UR�=�3���������_W�j��ӹ(��W�)������͋��UR�0���(�mo�S�d���B5����2�3����)�������$#�if���#���p�UR�=�5���������_W�j��ӹ(��W�)������}���UR�12����2�3�����(�mo�S�d���B7����2�2����)�������$#�if���#���p�UR�=�7�:���������Pr��ffo�of.���#�R�If��v�p�UR�6�=�2,��then�this�prop�S�osition�follo��rws�from�elemen�tary�manipulations�of�elliptic�curv�es���and��tTheorem�29.��yThe�case��p�UR�=�2��tis�more�complicated.�F��Vor�a�pro�S�of,�Ksee�[�14����,�Corollary�2.5].���������L���W��Ve��can�no��rw�state�and�pro�v�e�the�follo�wing:����Theorem�JV32.��9�L��ffet�F�K����b�e�a�numb�er�eld�and��O�����K��D�b�e�its�ring�of�inte�gers.�XSupp�ose�that��f�G��(�z���)�UR=��Z΍�q��n9���2�h����(�����Q����*���)�1��	U_��)�n�=1���#�K�(1�@B���q��n9���2�n����)����2�c�(�n�)�����2��TM����2��mer���o��y���k���	�(�����0����(�p�))��\��q��n9���2�h���*�O�����K��;¹[[�q�n9�]]��-�has�p��ffoles�and�zer�os�at�the�He�e�gner�p�oints���������1����;���:::;������s��Î�2�UR�F�,�35al���l�of�xe��ffd�discriminant��d�<���4�.�fiThen�the�fol���lowing�ar��ffe�true:��
"��������(1)����%��If�35�p�UR���5��is�a�prime�for�which�����
�������Fu����d�������z�_���ꍐ&p������#��
�������2�f�0�;�����1�g��and��$Gʍ��������_U�s�������ǟ��Y���
㇍��u��i�=1�����j��ӹ(������i��dڹ)(�j��(������i���)������1728)�UR�6��0���(�mo�S�d���B�p�)�� B��%��then�35�f�{4�is�go��ffo�d�35at��p�.��"'��������(2)����%��If�35�p�UR�2�f�2�;����3�;��5�;��7�g��and�����
�������Fu����d�������z�_���ꍐ&p������#��
������=�UR��1��then��f�{4�is�go��ffo�d�at��p�.��zK�R��ffemark�*��(1)�.��չThe��Lw��rork�of�Gross�and�Zagier�on�dierences�of�singular�mo�S�duli�[�14����]�pro�vides�a���simple���description�of�those�primes��p��whic��rh�do�not�satisfy�the�congruence�condition�giv�en�in���part��(1)�of�Theorem�32.����R��ffemark��W�(2)�.�j��In���[�8����],���Bruinier�and�Ono�pro��rvide�sev�eral�additional�families�of�go�S�o�d���mo�dular���forms.��The��pro�S�of�that�these�forms�are�go�o�d�requires�the�classical�w��rork�of�Deuring�on�singular���mo�S�duli�0�(see�[�11����])�as�w��rell�as�further�results�from�[�14��],�B{but�the�metho�S�d�of�pro�of�is�essen��rtially���the��same.����R��ffemark�35�(3)�.��The��pro�S�of�of�(2)�w��ras�giv�en�b�y�Ono�and�P�apanik�olas�in�[�25����].������Pr��ffo�of.���#�R�By�*$the�denition�of�go�S�o�d,�P�w��re�*$m�ust�pro�S�duce�a�holomorphic�mo�dular�form��E�����f���C�on��with���algebraic�	��p�-in��rtegral�co�S�ecien�ts�for�whic�h��E�����f��w�(������i��dڹ)��$=�0�	�for�1��$���i����s�	��that�additionally�satises���the��congruence������E�����f��w�(�z���)�UR���1���(�mo�S�d���B�p�)�:��bō�W��Ve��rst�pro��rv�e��(1).�8�F�or�eac��rh�1�UR���i����s�꨹let��A�����i��O��b�S�e�the�curv�e���2���(7.1)����Gtj�A�����i���,�:�UR�y��n9����2�����=��x�����3��j������108�j��ӹ(������i��dڹ)(�j��(������i���)������1728)�x����432�j��ӹ(������i���)(�j��(������i���)������1728)�����2����:������"@+��Z���Qo^����34�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썹This���curv��re�is�dened�o�v�er�the�n�um�b�S�er�eld��Q�(�j��ӹ(������i��dڹ)).�6Let��p��b�e�a�prime�ideal�of��O�����Q�(�j�v�(���8:�i��,r�))��"a��lying���ab�S�o��rv�e��a�prime��p�UR���5.�8�By��assumption,���������j��ӹ(������i��dڹ)(�j��(������i���)������1728)�UR�6��0���(�mo�S�d���B�p�)�:����W��Ve�42c��rhec�k�that�the�discriminan�t�of�the�cubic�dening��A�����i����is�nonzero�mo�S�dulo��p�.�	~Applying���Prop�S�osition�x�21�and�the�denition�of�go�o�d�reduction,���this�will�sim��rultaneously�sho�w�us�that����A�����i���b�is�C�an�elliptic�curv��re�(i.e.�	C�it�is�nonsingular)�and�that�it�has�go�S�o�d�C�reduction�at��p�.�The���discriminan��rt��of�the�cubic�dening��A�����i��O��is�������4(��108�j��ӹ(������i��dڹ)(�j��(������i���)������1728))�����3��j����27(��432�j��ӹ(������i���)(�j��(������i���)������1728)�����2����)�����2������:����E]��=�����X�.2�����14��	�3�����12���j��ӹ(������i��dڹ)�����2����(�j��(������i���)������1728)�����3�����������(7.2)�������By�Xassumption,��}�j��ӹ(������i��dڹ)(�j��(������i���)��{���1728)��b�6��0�UP(�mo�S�d���B�p�),��}so�X(7.2)�is�nonzero�mo�S�dulo��p�;��in�other���w��rords,���A�����i��O��is�an�elliptic�curv�e�that�has�go�S�o�d��reduction�at��p�.����Using��Prop�S�osition�21�and�(7.2)�(the�discriminan��rt�of�the�cubic�dening��A�����i��dڹ),���w�e�compute���that��D���lY��j��ӹ(�A�����i��dڹ)�UR=�1728������ō�!}4(��108�j��(������i��dڹ)(�j��(������i���)������1728))����2�3���33�[��z��;h�
�΍��2������14��	�3������12���j��(������i��dڹ)������2����(�j��(������i���)������1728)������3�������� �=��j��(������i��dڹ)�:���w��Th��rus��<w�e�ha�v�e�a�CM��9curv�e��A�����i��A�with�go�S�o�d�reduction�at��p��for�all�primes��p�UR��O�����Q�(�j�v�(���8:�i��,r�))��"�>�ab�S�o��rv�e�an�����in��rteger�@�prime��p������5.�;$The�@�condition�����
�������Fu�����d��������z�_���ꍐ&p������1y��
����C��2���f�0�;�����1�g��implies�that��p��do�S�es�not�split�in��Q�(�������p���
�����z��
:��d�����),��wx�ergo,��applying�Theorem�29,�w��re�ha�v�e�that��j��ӹ(������i��dڹ)�reduces�to�a�sup�S�ersingular��j��-in��rv��X�arian�t��in����K�z�UV�	���F����?�����p��[�.����Since���j��ӹ(������i��dڹ)�is�sup�S�ersingular,�-	Theorem�30�implies�that�there�exists�some��Q�����i����2����F��suc��rh�that����E�����p��1���ٹ(�Q�����i��dڹ)�UR=�0��and��j��ӹ(�Q�����i���)�UR���j��ӹ(������i���)�UP(�mo�S�d���B�p�),��whic��rh�implies�������(�j��ӹ(�z���)������j��(�Q�����i��dڹ))�UR���(�j��(�z���)������j��(������i��dڹ))���(�mo�S�d���B�p�)�:����Recalling��from�Lemma�10�that��E�����p��1���ٹ(�z���)�UR���1�UP(�mo�S�d���B�p�),��w��re�ma�y�tak�e������t��E�����f��w�(�z���)�UR:=�������	��s��������Y���
㇍�S�i�=1���������q�����E�����p��1���ٹ(�z��)������ō�M9�j��ӹ(�z��)������j��ӹ(������i��dڹ)��33�[��z�>���
�΍�j��ӹ(�z��)������j��ӹ(�Q�����i��dڹ)������A	��q�������:���ҍ�F��Vor��(2),�w��re�claim�that�w�e�ma�y�tak�e��/�����E�����f��w�(�z���)�UR=�������	��s��������Y���
㇍�S�i�=1������(�z��)(�j��ӹ(�z��)������j��ӹ(������i��dڹ))�UR�2��M�����12�s���D�()���Because��Y�j��ӹ(������i��dڹ)�is�an�algebraic�in��rteger,�BEthe�w�eigh�t�12�s��holomorphic�mo�S�dular�form��E�����f��Ax�has���co�S�ecien��rts���in�the�ring�of�in�tegers�of�some�xed�n�um�b�S�er�eld��K�ܞ�.�FIt�is�eviden�t�that��E�����f��w�(������i��dڹ)�UR=�0���for��all�1�UR���i����s�.�8�In��view�of�the�fact�that��̨��� �(�z���)�UR=������ō����E�����4����(�z��)����2�3������[��z�!Tj�
�΍�T��j��ӹ(�z��)�����*et=������ō�I�E�����6����(�z��)����2�2������[��z�:՗�
�΍�j��ӹ(�z��)������1728��������the��congruences�in�Lemma�11�and�Prop�S�osition�31�yield�the�desired�result.��Q;*�����s���With��the�mac��rhinery�w�e�ha�v�e�no�w�dev�elop�S�ed,�it�is�straigh�tforw�ard�to�pro�v�e�Corollary�5:������Pr��ffo�of�35of�Cor��ffol���lary�5.���p��Let�–������1����(:=�UR��W�)�;��������2���;�:::;������h�����*O+msbm6�Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)������2�UR�F�–�b�S�e�the�Heegner�p�oin��rts�of�discriminan�t��d��F`��(see��Lemma�26).�8�Dene��ͦ����y�f�����d��ߨ�(�z���)�UR:=���y���h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h��������Y���
�ҍ��8�s�=1���չ(�j��ӹ(�z��)������j��ӹ(������s��n<�))�:�����#O���Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#35�����[����썹Our���assumptions�on��d��guaran��rtee,���via�part�(2)�of�Theorem�32,�that��f�����d��	���is�go�S�o�d���at��p��for�all���relev��X�an��rt��pairs�of��p��and��d�.�8�Therefore,��5a�������ō��h��f�����d��ߨ�(�z���)���hٟ[��z�"
�΍����f�����d��ߨ�(�z���)������Ŗ�is�ca�w��reigh�t�ct�w�o��p�-adic�mo�S�dular�form�b�y�Theorem�3.��On�the�other�hand,�applying�Theorem���2,��w��re�ha�v�e����������ō�����f�����d��ߨ�(�z���)������[��z�"
�΍����f�����d��ߨ�(�z���)�������=�UR�������ō�33�E�����4����(�z���)����2�2���E�����6���(�z��)��33�[��z�=�П
�΍�~8(�z���)��������BO4���X���%���CA����r�2�F��������ō�W��e��������2$�ord���*�������]"�(�f�����d��ߨ�)��V׽�[��z�8s۟
�΍�j��ӹ(�z���)������j��(��W�)��������whic��rh,��b�y�Corollary�7,�yields��"'~�������ō�:j�f�����d��ߨ�(�z���)��:j�[��z�"
�΍����f�����d��ߨ�(�z���)�����az�=�UR����y�����h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h����.����X���
�ҍ�s��s�=1��������z�� ��������+�)�1�����'2����X���
�ҍ�'���n�=0���:���j�����n���P�(������s��n<�)�q��n9����n������z��!���o�1�=���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)��u��������P�1����������X���
�ҍ�R��n�=1�������9�����0��������@�����y�� ��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h����$�����X���
�ҍ�%���s�=1���<2��j�����n���P�(������s��n<�)����9��1�����A����e�Q�q��n9����n����:��"Aލ�Recall�0�that�from�(2.7)�that��j�����1����(�z���)��h:=��j��ӹ(�z��)��K���744,�Band�0��j�����m��Ĺ(�z��)��h:=��mj�����1����(�z��)�j�T�����0�;m���<�.�
�F��Vrom�0�(1.8)�(the���denition��of��T�����0�;m���<�)�w��re�ha�v�e�the�rst�of�the�t�w�o�follo�wing�equalities:��#-/������y��"�h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h����&@����X���
�ҍ�'���s�=1���=č�j�����p������m����[�(������s��n<�)�����k$h=�������y��~G��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h�����v����X���
�ҍ�����s�=1�������q��z�� ���������b��m������zs���X���
�ҍ��t��a�=0�����ԍ�����p���-:�a������1��},�����Y���X���'؍��hY�b�=0�����̀?��q����U��j����џ�q��������ō��\�p����2�m��a��%������s���+����b���\�[��z�6�
�΍���p������a�������C��q����Os������744���q�����P��z�!������)󄍍��k$h�=�����~G����������33�744�h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)���^�(1������p����2�m�+1���@�)��33�TS�z�g��
�΍�&�R1������p�����l��+����T��Vr����.����K��=�Q����"���z�� ��������1b<�m�����,y���X���
�ҍ�-ty�a�=0�����ԍ�?�H�p���-:�a������1��},���@�؟��X���'؍�Bg��b�=0���U��j����џ�q��������ō��\�p����2�m��a��%������1��j��+����b���\�[��z�6\ʟ
�΍���p������a�������DEY��q�����M���z�!�������:��������(7.3)������B�The�vsecond�equalit��ry�follo�ws�from�Corollary�24�and�the�observ��X�ation�that��j�����m��Ĺ(��W�)�is�a�p�S�olynomial���in���j��ӹ(��W�)�with�in��rteger�co�S�ecien�ts.����The�E�computation�in�(7.3),��Cwhen�restricted�to��m��ù=��p����2�n���P�,�giv��res�E�us�the��p����2�n���P�th�co�S�ecien�t�of���the����p�-adic�mo�S�dular�form��f�����d��ߨ�(�z���)�=f�����d���(�z��).��lThe���constan��rt�term�of�this��p�-adic�mo�S�dular�form�is���precisely����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)���^�,�so,�b��ry�Corollary�15,�w�e�ha�v�e��")���}���h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=������ō����p������1�����[��z�pP�
�΍�X,24�����"ְ�������lim��33�����n�!1��������z�� ��$S���������33�744�h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)���^�(1������p����2�n�+1���̹)��33�TS�z�eF��
�΍�%k1������p�����jW��+�����T��Vr�����.����K��=�Q����"���z�� ��������2�v�n�����,y���X���
�ҍ�-ty�a�=0�����ԍ�?�H�p���-:�a������1��},���@�؟��X���'؍�Bg��b�=0���U��j����џ�q��������ō��\�p����2�n��a��ȗ������1��j��+����b���\�[��z�4V�
�΍��mp������a�������A���q�����J�=��z�!������m��z�!����X���as���p�-adic�n��rum�b�S�ers.�8�Simplifying��this�expression�yields�the�corollary��V.��u������U���Recall�!the�w��reigh�t�!zero�mo�S�dular�forms��j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)�-��2�M����2��1��RA��0���	�(�����0����(�p�))�!in��rtro�duced�in��x�2.�yJW��Ve�no��rw��Z΍pro��rvide��form�ulae�in�v�olving��j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)�similar�to�those�in�Corollary�5:��n���Theorem�G�33.�/��Supp��ffose�9nthat��d�UR<���4�9n�is�a�fundamental�discriminant�of�an�imaginary�quadr�atic���eld�35and�that����R�is�a�He��ffe�gner�35p�oint�of�discriminant��d�.�fiThen�the�fol���lowing�ar�e�true�����������(1)����%��L��ffet�35�K�1�=�UR�Q�(�j���ӟ��2�(3)��	O�(��W�)�;���j��ӹ(���))�.�fiIf��d�UR���2�UP(�mo�S�d���B3)�,�then��C�����su��lim��33��p�7�n�!1����������z�� ����2��T��Vr����F����K��=�Q������ߟ�z�� ���������e�n���������X���
�ҍ���h�a�=0����������W73���-:�a������1�����Ё���X���'؍����b�=0����T�j���ӟ���(3)����	M��q��������ō�ع3����2�n��a��ȗ��Ź+����b��؟[��z�0���
�΍����3������a�������I�ɟ�q�����R�!��z�!����F��z�!���R�;�=�UR0����%�3�-adic��ffal���ly.����������(2)����%��L��ffet�35�K�1�=�UR�Q�(�j���ӟ��2�5��l׹(��W�)�;���j��ӹ(���))�.�fiIf��d�UR���2�;����3�UP(�mo�S�d���B5)�,�then��C�����su��lim��33��p�7�n�!1����������z�� ����2��T��Vr����F����K��=�Q������ߟ�z�� ���������e�n���������X���
�ҍ���h�a�=0����������W75���-:�a������1�����Ё���X���'؍����b�=0����T�j���ӟ���(5)����	M��q��������ō�ع5����2�n��a��ȗ��Ź+����b��؟[��z�0���
�΍����5������a�������I�ɟ�q�����R�!��z�!����F��z�!���R�;�=�UR0�����$b��Z���Qo^����36�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑%〹5�-adic��ffal���ly.����������(3)����%��L��ffet�35�K�1�=�UR�Q�(�j���ӟ��2�(7)��	O�(��W�)�;���j��ӹ(���))�.�fiIf��d�UR���3�;����5�;��6�UP(�mo�S�d���B7)�,�then�� ������su��lim��33��p�7�n�!1����������z�� ����2��T��Vr����F����K��=�Q������ߟ�z�� ���������e�n���������X���
�ҍ���h�a�=0����������W77���-:�a������1�����Ё���X���'؍����b�=0����T�j���ӟ���(7)����	M��q��������ō�ع7����2�n��a��ȗ��Ź+����b��؟[��z�0���
�΍����7������a�������I�ɟ�q�����R�!��z�!����F��z�!���R�;�=�UR0������%�7�-adic��ffal���ly.��.����W��Ve��will�see�in�the�course�of�the�pro�S�of�of�Theorem�33�that��j���ӟ��2�(�p�)����(��W�)�is�an�algebraic�in��rteger�of���degree��(�p��b�+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����for��p��and���q׹as�in�the�statemen��rt�of�the�theorem.��Before�w�e�b�S�egin�the���'�main��b�S�o�dy�of�the�pro�of,�w��re�require�the�follo�wing�lemma:����Lemma��34.�F-�Supp��ffose����p�?<�2�f�3�;����5�;��7�;��13�g��and��0�?<���n����p�.��\L��ffet��
�����1����;���:::;�
�����p�+1��U_�b��ffe�a�c�omplete�set�of���c��ffoset�,r�epr�esentatives�for�������0����(�p�)��in���,��and�further�let��s�����n;p��L!�(�z���)��b�e�the��n�th�symmetric�p�olynomial��32�in�35�f�j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����i��������z���)�g���O���p�+1��á��i�=1������.�fiThen�the��q�n9�-series�exp��ffansion�of��s�����n;p��L!�(�z��)��has�inte��ffger�c�o�ecients,�that�is,������ ��s�����n;p��L!�(�z���)�UR�2��q��n9�����n����Z�[[�q�n9�]]�:������Pr��ffo�of.���#�R�As�ڃw��re�recalled�in�Lemma�17,�ݽa�complete�set�of�coset�represen�tativ�es�for������0����(�p�)�in��is���giv��ren��b�y��ʹ�����D��q������D��q�����ʍ���k�1�����g0�������k0�����g1�������c��q����������q����Yd�[�������q���������q�����ʍ����1���$_�0�������1���$_�1�����*?���q������5O��q�����ʍ��=꧹1���M��j������=꧹0���Mʣ1�����S����q�����\���q������<��e��p��1��"4��e��j�v�=0����N���and��w��re�ha�v�e��x=����d䦟�q������ʍ��m���1���}��0������m��1���}��1������y���q�������OL��q�����ʍ���$��1����/��j�������$��0�����1������䜟�q�����F�=���UR��q������ʍ��*��1�=p���-�$�0������
0���'�O1�=p�����9u��q������DKJ��q�����ʍ��M ��p���_ca������M �p���]Opb�����g���q������r�<��q�����ʍ��{���1����u��j�W{�����a������{���0�����/�p�������{��q�����@č�where������Ԧ*��q������ʍ���{��p�����a�������{�p����a/pb������EƟ�q������p��is��a�matrix�for��W��ƹ(�p�).����No��rw��.x��n��and��p��for�the�remainder�of�this�pro�S�of.�PrLet��P��ƹ(�x�����1����;���:::;�x�����p�+1���ٹ)��0�2��Z�[�x�����1���;���:::;�x�����p�+1���ٹ]��.b�S�e���Ӎthe�o�homogeneous�p�S�olynomial�suc��rh�that��s�����n;p��L!�(�z���)�8=��P��ƹ(�j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����1���b��^�z��)�;���:::;�j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����p�+1���7��^�z��)).�ȑF��Vrom�o�the���calculation��ab�S�o��rv�e�and�the�denition�of��W��ƹ(�p�),�w�e�ha�v�e��욍���2�'�s�����n;p��L!�(�z���)�����]w�=�����p�n�P����ğ�G����	!��j���ӟ���(�p�)����(�z���)�;���j���ӟ���(�p�)���(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�������G������b܍��	��1����0����ፍ�	�0���N�p�����J���G�����ʩ�;���:::;�j���ӟ���(�p�)����(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�����G�����������	��1���N�p��1���b���	�0���q��p�����"'%��G������'�'��G����������(7.4)������z����]w�=�����p�n�P����ğ�G����	!��j���ӟ���(�p�)����(�z���)�;���j���ӟ���(�p�)���(�z��)�j�����0�������G�������0���C��0���ʫ��1����9���@�p�����0�����"�%��G�������*'%��G�����b܍��1�%�1���9."0����ፍ�1�%0���9*u�p�����?qП�G�����F���;���:::;�j���ӟ���(�p�)����(�z��)�j�����0�������G�������0���C��0���ʫ��1����9���@�p�����0�����"�%��G�������*'%��G����������1�%�1���9*u�p��1���b���1�%0���>���p�����JNL��G������O�N��G����'�Q�:����I���Recall���that��j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)�UR=�����
�������G���
����I{�(�z�V��)���1����z�������I{�(�pz�V��)������ �O��
����������+���24��).�s^�\)
L�����p��1����;�۹b��ry���denition,��>and���n9�(��1�=z��)�UR=�(�����l�p������l�z��X�
B���z�=i�����Z�)��n9�(�z��)���(see,��>for�example,���ԍ[�18����,���x�I�S�I�I.2,�p.�8�121]).�Th��rus��#𺍍��0�/�j���ӟ���(�p�)����(�z���)�j�����0�������G�������0���C��0���ʫ��1����9���@�p�����0�����"�%��G����������G�=��������ѕ��q��������ō��� ��n9�(��1�=pz���)���� �[��z�0W�
�΍�����n9�(��1�=z���)�������dX��q�������~��h��24���l�s^�\)
L�����p��1��������=���UR��z�� ������������(�����l�p������l�z���
B���pz���=i����!��)��n9�(�pz���)�����{�z�F+E����(�����l�p������l�z��X�
B���z���=i�����Z�)��n9�(�z���)������Uf���z��!�������V��c��24��`4�s^�\)
L�����p��1�������*k�����G�=������ѕ�p����"9��.��12��33�s^�\)
L�����p��1������2���q��������ō�;���n9�(�pz���)��;��[��z�A��
�΍�����n9�(�z���)������8�o��q�������~�E���24��B���s^�\)
L�����p��1����U�=�UR�p����"9��.��12��33�s^�\)
L�����p��1������2���q��������덑;��q��n9���2�p=�24����������Q����*���J��1��	U_��J��n�=1���/�ù(1������q��n9���2�pn��
]�)��;��k��z�bG.�
�΍�'[�q��n9�����1�=�24����G�����Q����*���C��1��	U_��C��n�=1���/�j�(1������q��n9�����n����)���������q�������\~�����24����r�s^�\)
L�����p��1�������#�A�����j��=:�������������3�1������w����X���
�ҍ��ѕ�n�=��1����r��a�(�n�)�q��n9����n��	k��2�UR�q��n9�����1��ʵ�Z�[[�q�n9�]]�:�������%y��Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#37�����[���캍��F��Vor���ease�of�notation,���follo��rwing�[�31����,��x�I�S�I.6]�w��re�dene����P�:=��O�e����2�2��I{i=p���and��Q��:=��q��n9���2�1�=p���=��e����2�2��I{iz�V�=p�����.���Then��w��re�ha�v�e���;������q�n9�j�����0�������G�������ʍ��@�1������j���b���@�0����R�p�����
���G�����$��=�UR�e���g��2��I{i�����K��33�z�<p�+�j��33����\)�G����~8p������b�=���������j��N�Q;���a��whic��rh��implies�that��Ɏ��������z�� �����������1����������X���
�ҍ����n�=��1�����6�a�(�n�)�q��n9����n������z��!�����~�j�����0�������G�������ʍ��@�1������j���b���@�0����R�p�����
���G�����$��=�������
e��1������H���X���
�ҍ�UR�n�=��1������a�(�n�)��������j�vn��
v[�Q�����n���P�:������Th��rus��/eac�h�of�the�argumen�ts�of��P���in�(7.4)�is�a��Q�-series�with�co�S�ecien�ts�in��Z�[����].�vLet���b�2��Z΍���Gal���[�(�Q�(����)�=�Q�),��rand���write�������2�����=���������2�r�<r�(��I{�)��ܽ�for�some�1������r�S��(��n9�)����p�&����1.�[�Letting������act�on��Q�-series���co�S�ecien��rts��w�e�note�that��������lJ���z�� ����uʆ��z� ���������[&�1�������~���X���
�ҍ�J��n�=��1�������a�(�n�)�q��n9����n������z��!����
�j�����0�������G�������ʍ��@�1������j���b���@�0����R�p�����
���G������!����z�!�����j��*�����dj�=�������
e��1������H���X���
�ҍ�UR�n�=��1������a�(�n�)��������r�<r�(��I{�)�j�vn��J4�Q�����n���P�:�� �E��Th��rus,��comparing��Q�-series�co�S�ecien�ts,�w�e�ha�v�e�������V�ɟ�z�� ����`˟�z� ��������p�k�1�����l'ß��X���
�ҍ�i���n�=��1����#�a�(�n�)�q��n9����n������z��!����AW�j�����0�������G�������ʍ��@�1������j���b���@�0����R�p�����
���G������!����z�!����ݡ^��*����曯�=���UR��z�� �����������1�����{J���X���
�ҍ��T�n�=��1���%v��a�(�n�)�q��n9����n������z��!���R���j�����0�������
������󍍑��1���m��r�<r�(��I{�)�j����ፍ���0���'?�p�����-'ݟ�
����6R��:��"���Because�lDthe�v��X�alue�of��f�G��j�����0�������G�������ʍ��@�1������j���b���@�0����R�p�����
���G�����&��dep�S�ends�only�on�the�residue�class�of��j��mo�dulo��p��for��f�-��2����M����2��1��RA��0���	�(�����0����(�p�)),�.,this��xcalculation,�along�with�the�fact�that��j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)�j�����0�������G�������0���C��0���ʫ��1����9���@�p�����0�����"�%��G�����-5�2�
��q��n9���2��1��ʵ�Z�[[�q�n9�]],�implies���that��Z�����Jk4�P����ğ�G����	!��j���ӟ���(�p�)����(�z���)�;���j���ӟ���(�p�)���(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�������G������b܍��	��1����0����ፍ�	�0���N�p�����J���G�����ʩ�;���:::;�j���ӟ���(�p�)����(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�����G�����������	��1���N�p��1���b���	�0���q��p�����"'%��G������'�'��G�������z����Jk4�=�UR�P����ğ�G����	!ƹ(�j���ӟ���(�p�)����(�z���))����������;����(�j���ӟ���(�p�)���(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�������G������b܍��	��1����0����ፍ�	�0���N�p�����J���G�����ʫ�)����������;���:::;��(�j���ӟ���(�p�)����(�z��)�j�����0����W��ƹ(�p�)�����G�����������	��1���N�p��1���b���	�0���q��p�����"'%��G�����'�'�)������������G��������槍�for���all���Ë�2���UR�Gal����(�Q�(����)�=�Q�).�$�Recalling�that��P�O^�has�co�S�ecien��rts�in��Z�,���this�implies�that��s�����n;p��L!�(�z���)�has��32��Q�-series�.�co�S�ecien��rts�in��Z�.��Because�the�action�of��just�p�erm��rutes�the�set��f�j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����i��=������z���)�g���O���p�+1��á��i�=1����ٹ,�?�it���follo��rws�Hthat��s�����n;p��L!�(�z���)��1�2�M����2��1��RA��0���	�().�ӿTh�us,�+0in�Hparticular,�if��p��1�-��n�,�+0the��Q��series�co�S�ecien��rt�of��Q����2�n��	Ƙ�is���zero.�8�This��completes�the�pro�S�of�of�the�lemma.���;"����5����Pr��ffo�of�35of�The��ffor�em�3533.���r�~�First��note�that�there�are�precisely�������[�����0����(1)�UR:������0���(�p�)]������h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����=�UR(�p��+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����g��Heegner��p�S�oin��rts�������1����(:=�����W�)�;��������2���;�:::;������h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)��̒�(�p�+1)��4��of��discriminan��rt��d��in��F�����p��	}u�b�S�ecause�there�are��h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����Ǎ�Heegner��pp�S�oin��rts�of�discriminan�t��d��in��F�.��xWithout�loss�of�generalit�y��V,��Hw�e�ma�y�assume�������1����;���:::;������h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)������2������F�.�8�With��this�in�mind�w��re�form�the�pro�S�duct��$K������t\�f�����d��ߨ�(�z���)�UR:=���y���(�p�+1)��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h�����J���Y���'؍�|��k�6��=1���5$��(�j���ӟ���(�p�)����(�z��)������j���ӟ���(�p�)����(������k��#��))������(7.5)������ ���By��Tour�assumptions�regarding��d�,��it�is�eviden��rt�that��f�����d��ߨ�(�z���)�satises�all�the�h�yp�S�otheses�of�The-���orem��32,�with�the�p�S�ossible�exception�of�the�h��ryp�othesis�that��t&�������f�����d��ߨ�(�z���)�UR�2��q��n9��;���(�p�+1)��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���9Y��O�����L��Gع[[�q�n9�]]������(7.6)�������for���some�n��rum�b�S�er���eld��L�.��W��Ve�claim�that�this�h��ryp�othesis�is�also�satised�(in�particular,��vw��re���will��see�that�w��re�can�tak�e��L�UR�=��Q�).�����&�w��Z���Qo^����38�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썑�Let�#��
�����1����;���:::;�
�����p�+1��Ǽ�b�S�e�a�complete�set�of�coset�represen��rtativ�es�for������0����(�p�)�in������0���(1)�as�in�Lemma���34��(without�loss�of�generalit��ry�w�e�assume��
�����1��V�=���UR(����)����	��1���jd0����ፍ�	�0���jd1������f�)���<*).�8�W��Ve�ha�v�e��"�A����|"p�f�����d��ߨ�(�z���)�UR:=���y���h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h��������Y���'؍�n��k�6��=1�����ԍ� ��p�+1��},���ӟ��Y���
㇍����i�=1���.]+�(�j���ӟ���(�p�)����(�z��)������j���ӟ���(�p�)����(�
�����i�����������k��#��))�:��������(7.7)������%��Consider��M�����ag��g�����d;k��߮�(�z���)�UR:=���ԍ�n�p�+1��},������Y���
㇍�S�i�=1������(�j���ӟ���(�p�)����(�z��)������j���ӟ���(�p�)����(�
�����i�����������k��#��))�UR�2�M������1���ڍ�0���	�(�����0����(1))�:��������(7.8)��������Let�6E�s�����n;p��L!�(�z���)�b�S�e�as�in�Lemma�34.��As�noted�in�the�pro�of�of�Lemma�34,�I-�s�����n;p��L!�(�z���)���2�M����2��1��RA��0���	�(�����0����(1)).���Hence�r��s�����n;p��L!�(�z���)�is�a�p�S�olynomial�in��j��ӹ(�z��),���that�is,�it�can�b�S�e�regarded�as�an�elemen��rt�of��C�[�j��ӹ(�z���)].���The�O�q�n9�-series�expansion�of��s�����n;p��L!�(�z���)�has�in��rtegral�co�S�ecien�ts�b�y�Lemma�34,�n#from�whic�h�it�follo�ws���that��uN�������s�����n;p��L!�(�z���)�UR�2��Z�[�j��ӹ(�z��)]�:�������(7.9)�������Th��rus���s�����n;p��L!�(������k��#��)�UR�2��Z�[�j��ӹ(������k���)].�8�Theorem��25�tells�us�that��j��ӹ(������k���)�is�an�algebraic�in��rteger.�8�Th�us,��since��ĺ����g�����d;k��߮�(�z���)�UR�2��q��n9�����(�p�+1)��K�O�����Q�(�j�v�(���i?�k����))�� 4��[[�q�n9�]]�;����w��re��ha�v�e�that��f�����d��ߨ�(�z���)�has�a��q�n9�-expansion�with�algebraic�in�teger�co�S�ecien�ts.��#If�w�e�no�w�apply���Corollary���27�w��re�ha�v�e�that��f�����d��ߨ�(�z���)�has�a��q�n9�-series�with�in�tegral�co�S�ecien�ts,��1whic�h�establishes���(7.6)�+with��L����=��Q�+�as�claimed.��In�particular,�;-this�pro��rv�es�+that��f�����d��ߨ�(�z���)�is�a�go�S�o�d�+mo�dular�form.���W��Ve��will�return�to�this�p�S�oin��rt�in�a�momen�t.����W��Vrite���g�����d;k��߮�(�z���)�K�=��G�����d;k���(�j���ӟ��2�(�p�)����(�z���))��with��G�����d;k���(�x�)�K��2�O�����Q�(�j�v�(���i?�k����))�� 4��[�x�].��tW��Ve��no��rw�sho�w�that��G�����d;k��߮�(�x�)�is��8��irreducible���o��rv�er��Q�(�j��ӹ(������k��#��)).�!�The�ro�S�ots�of��G�����d;k��߮�(�x�)�are��j�����2�(�p�)����(�
�����1�����S�������k��#��)�;���:::;�j���ӟ��2�(�p�)���(�
�����p�+1������S�������k��#��);�_they���are���distinct��b�S�ecause���鍒�(��j���ӟ���(�p�)����(�z���)�UR:��F�����p����!��C����is��a�bijection.�8�Therefore,�it�suces�to�exhibit�a�eld�automorphism�of���	��|*9�K�1�:=�UR�Q�(�j��ӹ(������k��#��)�;���j������(�p�)����(�
�����1��j�����������k���)�;���:::;�j���ӟ���(�p�)����(�
�����p�+1��N�����������k���))��+!�taking�(>�j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����1��B�����������k��#��)�to��j���ӟ��2�(�p�)���(�
�����i�������������k��#��)�for�arbitrary��i��that�additionally�xes��Q�(�j��ӹ(������k���)).��Cho�S�ose�����T�2�r������0����(1)���suc��rh�that����O
�����1��2	�=��
�����i��dڹ.�kuThen�one�can�c��rhec�k���that�the�linear�map�������i���߹:��K�N��!��K��"�dened���on��a�basis�for��K��F�as�a�v��rector�space�o�v�er��Q��b�y��uN����v�������i��dڹ(1)�UR:=�1���������v�������i��dڹ(�j��ӹ(������k��#��))�UR:=��j��(��T�����������k��#��)�=��j��(������k��#��)����tg����v�������i��dڹ(�j���ӟ���(�p�)����(�
�����s�������������k��#��))�UR:=��j���ӟ���(�p�)���((���O
�����s��n<�)�����������k��#��)�G1�UR���s����p����+�1�����induces��a�w��rell-dened�eld�automorphism�with�the�desired�c�haracteristics.��
���No��rw���w�e�return�to��f�����d��ߨ�(�z���).��F��Vrom�ab�S�o�v�e,����f�����d��ߨ�(�z���)�is�go�S�o�d,���so�����G�������f��i?�d��Z��(�z�V��)���Ÿ���z��͟�ꍑN<�f��i?�d��Z��(�z�V��)�����%oQ�is�a��p�-adic�mo�dular�form.��x��Applying��Theorem�9�w��re�ha�v�e��ʭ���������ō�eO�f�����d��ߨ�(�z���)��eO�[��z�"
�΍����f�����d��ߨ�(�z���)���������<�=�����O�������:���X���%��������r�2�F���p���������z�� ��!K �e������(�p�)���ڍ�����������{�1�����
cӟ��X���
�ҍ��n�=1��� �)�j���������(�p�)���ڍ�n�����(��W�)�q��n9����n������z��!���oQ�+����������(�p����+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����۟TS�z�K���
�΍��$�p������1�����P��(�pE�����2����(�z���)�j�V��p�(�p�)������E�����2���(�z���))����/-p����<�=�����O����������j��1����������X���
�ҍ��D�n�=1�������9��UT�0������[email protected]�����y���V�h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h����$���X���'؍�$��k�6��=1�����ԍ�<���p�+1��},���;�ן��X���
㇍�=Q��i�=1���N�-�j���������(�p�)���ڍ�n�����(�
�����i�������������k��#��)����9��1�����A������g�q��n9����n���1�+����������(�p����+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����۟TS�z�K���
�΍��$�p������1�����P��(�pE�����2����(�z���)�j�V��p�(�p�)������E�����2���(�z���))�:��������(7.10)���������'���Z���Qo^������BOR��9CHERDS�!EXPONENTS����#39�����[�����
��Recall���from�the�discussion�b�S�efore�the�statemen��rt�of�Theorem�9�that��j����ߍ����(�p�)��]G��m�����(�z���)�is�a�p�olynomial�in��Z΍�j���ӟ��2�(�p�)����(�z���)���with�in��rteger�co�S�ecien�ts�for�all�p�S�ositiv�e��m�.�f�Com�bining�this�observ��X�ation�with�the�fact���that���j���ӟ��2�(�p�)����(�
�����i�������������k��#��)�is�a�ro�S�ot�of�the�irreducible�p�olynomial��G�����d;k��߮�(�x�)�UR�2�O�����Q�(�j�v�(���i?�k����))�� 4��[�x�],��w��re�ha�v�e�� h捍��ԍ�Ojo�p�+1��},���NQ����X���
㇍�P��i�=1���a��j���������(�p�)���ڍ�m�����(�
�����i�������������k��#��)�UR=��T��Vr���h؟���K��=�Q�(�j�v�(���i?�k����))��= b�j���������(�p�)���ڍ�m����(�
�����1��j�����������k��#��)�=��T��Vr���h؟���K��=�Q�(�j�v�(���i?�k����))��= b�j���������(�p�)���ڍ�m����(������k��#��)��#�}�(recall��Lour�con��rv�en�tion��Lthat��
�����1��V�=���UR(����)����	��1���jd0����ፍ�	�0���jd1������f�)���<*).�-Because��f�j��ӹ(������k��#��)�g���dK��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)����M��k�6��=0����Ϲis�the�set�of�Galois�conjugates���of���j��ӹ(��W�),�w��re�ha�v�e��"�ȍ�����y��!4��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���h����%cE���X���'؍�&M��k�6��=1����<�0�T��Vr���H������K��=�Q�(�j�v�(���i?�k����))��v�@�j���������(�p�)���ڍ�m�����(������k��#��)�UR=��T��Vr���h؟���Q�(�j�v�(���i?�k����))�=�Q����<f��G�����A�h�T��Vr���M�����K��=�Q�(�j�v�(���i?�k����))��{ax�j���������(�p�)���ڍ�m����(������k��#��)���G�������J�=��T��Vr���h؟���K��=�Q��#���j���������(�p�)���ڍ�m����(��W�)�:����$?č��On��the�other�hand,�the��p����2�n���P�th�co�S�ecien��rt�of����������(�p�+1)��h�����Q�(������p�������㸉O\�ןH��d����	���)���۟oT�z�1�H��ꍑU��p��1�����8 V�(�pE�����2����(�z���)�j�V��p�(�p�)������E�����2���(�z���))��is�equal�to��{K���������K&5(�p����+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)���K&5�TS�z�K���
�΍��$�p������1��������(��24(�p�����1����(�p�����n��1���̹)�����������1���(�p�����n���P�)))�UR=����������24(�p��+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)������TS�z�WZ��
�΍�u �p����1�����]G�:������Note�)�that�the�constan��rt�term�of�����G���\��(�f��i?�d��Z��(�z�V��)��\�����z�B	��ꍑ�Z�f��i?�d��Z��(�z�V��)�����%��is�(�p� ��+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)���^�.���In�)�view�of�(7.10)�and�the�calculations��x��ab�S�o��rv�e,��w�e�apply�Corollary�15�to�conclude�that��4������(�p����+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)������Z&v�=����������ō�n}1�p������1��n}1�[��z�pP�
�΍�X,24�������\�������lim��33�����n�!1��������z�� ���$S�T��Vr���0f�����K��=�Q��D�P�j����ߍ����(�p�)�����p������n������(��W�)���+����������24(�p��+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)����۟TS�z�WZ��
�΍�u �p����1������\k���z��!������)������Z&v�=�����mI�(�p����+�1)����h��h��Q�(����-^�p���\��-^�\)_��Ң��d����u�)��u�+������ō����p����1���۟[��z�pP�
�΍�X,24�����",�������lim��33���n�!1��������z�� ���$S�T��Vr���0f�����K��=�Q����D�P��z�� ��������T8��n�����N"R���X���
�ҍ�O��a�=0�����ԍ�aw��p���-:�a������1��},���b�8���X���'؍�d8�b�=0���w(�j���ӟ���(�p�)�������q��������ō�1�p����2�n��a��ȗ��Ź+��b��1�[��z�0�o�
�΍���p������a�������I�ӟ�q�����R�+��z�!�����=���z�!���㽻�:����c4�p�-adically��V.�8�Rewriting��this�expression�completes�the�pro�S�of�of�the�theorem.��U�|����捒�D��A��fckno���wledgements�����The���author�w��rould�lik�e�to�thank�his�thesis�advisor�W.�Stein�for�man�y�helpful�suggestions�and���corrections,�>�and�-�K.�Ono�for�suggesting�that�Theorem�3�could�b�S�e�generalized�to�congruence���subgroups�c and,��>more�imp�S�ortan��rtly��V,�for�in��rtro�S�ducing�him�to�mo�dular�forms�in�the�rst�place.���Finally��V,��E.�Smith�deserv��res�thanks�for�help�with�editing.�������References�������[1]����<S.���Ahlgren,���The���theta-op��}'er�ator�and�divisors�of�mo�dular�forms�on�genus�zer�o�sub�gr�oups�,��Math.���Res.�����<Letters,�UUaccepted�for�publication.������[2]����<T.�vOAsai,���M.�Kanek���o,�and�H.�Ninomiy���a,��Zer��}'os�ƺof�c�ertain�mo�dular�functions�and�an�applic�ation�,���Commen���t.�����<Math.�UUUniv.�St.�P���auli,��4�"V

cmbx10�46��1�(1997),�93-101.������[3]����<A.O.L.�UUA���tkin�and�J.�Lehner,��He��}'cke���op�er�ators�on������0��|s�(�m�),�UUMath.�Ann.��185��(1970),�134-160.������[4]����<S.�@�Basha,�{�J.�Getz,�H.�No���v�er,�E.�@�Smith,��Systems�l�of�ortho��}'gonal�p�olynomials�arising�fr�om�the�mo�dular�����<�j����-function�,�UUJournal�of�Math.�Analysis�and�Appl.,��289��1�(2004),�336-354.������[5]����<B.C.���Berndt,��W.�Kohnen,�and�K.�Ono,��The�9_life�and�work�of�R.A.�R��}'ankin�(1915-2001)�,�The���Raman���ujan�����<Journal,�UU�7��(2003),�11-40.������[6]����<R.�UUBorc���herds,��A���utomorphic���forms�on���O����>����s�+2�;�2��#�&�and�innite�pr��}'o�ducts�,�UUIn�v�en�t.�Math.,��120��(1995)�161-213.������[7]����<J.��9Bruinier,��?W.�Kohnen,�and�K.�Ono,��The�arithmetic�of�the�values�of�mo��}'dular�functions�and�the�divisors�����<of���mo��}'dular�forms�,�UUComp�Gositio�Math.,�to�app�ear.������[8]����<J.�UUBruinier,�K.�Ono,��The���arithmetic�of�Bor��}'cher�ds'���exp�onents�,�UUMath.�Ann.,��327��(2003),�293-303.�����(����Z���Qo^����40�����JA��:�YCE�TGETZ�*�SENIOR�THESIS����[����썍���[9]����<D.�UUChoi,��On���the�values�of�a�mo��}'dular�form�on������0��|s�(�N��),�UUpreprin���t.�����[10]����<Y.��RChoie�and�W.�Kohnen,���Sp��}'e�cial�:�values�of�mo��}'dular�functions�on�He�cke�gr�oups�,��Abh.��RMath.�Sem.�Univ.�����<Ham���burg,�UUto�app�Gear.�����[11]����<M.��yDeuring,����T��;�eilb��}'arkeitseigenschaften��yder�singul���8����a���pr�en�mo�dulen�der�el���liptischen�funktionen�und�die�����<diskriminante���der�klassengleichung�,�UUComm.�Math.�Helv.��19��(1945),�74-82.�����[12]����<J.��Getz,��D�A��gener��}'alization��of�a�the�or�em�of�R�ankin�and�Swinnerton-Dyer�on�zer�os�of�mo�dular�forms�,��DPro�Gc.�����<AMS,�UUto�app�Gear.�����[13]����<F.Q.�UUGouv�����^��e���q�a,��A���rithmetic���of��p�-adic�mo��}'dular�forms�,�UUSpringer�Lect.�Notes�in�Math.,��1304�,�1985.�����[14]����<B.�UUGross�and�D.�Zagier,��On���singular�mo��}'duli�,�UUJ.�Reine�angew.�math.��355��(1985),�191-220.�����[15]����<K.���Ireland�and�M.�Rosen,��A�#�Classic��}'al�#�Intr�o�duction�to�Mo�dern�Numb�er�The�ory�,�Springer���V��*�erlag,�New�����<Y��*�ork,�UU1991.�����[16]����<M.���Kanek���o�and�D.�Zagier,����Sup��}'ersingular��_j-invariants,��=hyp�er�ge�ometric�series,��=and�A���tkin���P's�ortho�gonal�����<p��}'olynomials�,�"�Computational���P���ersp�Gectiv�es�on�Num�b�Ger�Theory�(Chicago,�"�IL,�1995),�AMS/IP��i�7��(1998),�����<97{126.�����[17]����<A.���Knapp,�h�El���liptic�C}Curves�,�Mathematical�Notes,�Princeton�Univ���ersit�y�Press,�h�40��Princeton,�New�Jersey��*�,�����<1992.�����[18]����<N.�UUKoblitz,��Intr��}'o�duction���to�El���liptic�Curves�and�Mo��}'dular�F��;�orms�,�UUSpringer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�1993.�����[19]����<S.�UULang,��Intr��}'o�duction���to�Mo��}'dular�F��;�orms�,�UUSpringer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�2001.�����[20]����<S.�UULang,��El���liptic���F��;�unctions,�2nd�e��}'dition�,�UUSpringer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�1987.�����[21]����<W.-C.W.�UULi,��Newforms���and�functional�e��}'quations�,�UUMath.�Ann.��212��(1975),�285-315.�����[22]����<W.J.��McGra���w�and�K.�Ono,�T�Mo��}'dular�9
form�c�ongruenc�es�and�Selmer�gr�oups�,�TJ.��London�Math.�So�Gc.�(2)��67�����<�(2003),�UU302-318.�����[23]����<T.�UUMiy���ak�e,�Mo�Gdular�forms,�Springer-V��*�erlag,�Berlin,�1989.�����[24]����<K.�w{Ono,���The��RWeb�of�Mo��}'dularity:��lA���rithmetic�of�the�Co�ecients�of�Mo�dular�F��;�orms�and��q�[��-series�,��AMS-�����<CBMS�UURegional�Conference�Series�in�Mathematics,��102��(2004)�Pro���vidence,�RI.�����[25]����<K.�Ono�and�M.A.�P���apanik�olas,�%$�p�-adic�\{pr��}'op�erties�of�the�values�of�the�mo�dular��j����-function�,�%$Galois�Theory�����<and��_Mo�Gdular�F��*�orms,���(eds.)�K.�Hashimoto,�K.�Miy���ak�e,�H.��_Nak��q�am�ura,�Klu�w�er��_Academic�Publishers,�����<(2003),�UU357-366.�����[26]����<F.K.C.��Rankin�and�H.P��*�.F.�Swinnerton-Dy���er��On�;the�zer��}'os�of�Eisenstein�series�,�Bull.��London�Math.�So�Gc.�����<�2�,�UU(1970),�169-170.�����[27]����<B.�UUSc���ho�Gen�b�erg,�UU�El���liptic���mo��}'dular�functions�,�Springer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�1970.�����[28]����<J-P��*�.�UUSerre,��A���Course�in�A���rithmetic�,�UUSpringer-V�erlag,�New�Y�ork,�1990.�����[29]����<J-P��*�.�UUSerre,��F��;�ormes���mo��}'dulair�es�et�fonctions�z����˲^���e�����ta��p�-adiques�,�UUSpringer�Lect.�Notes,��350��(1973),�191{268.�����[30]����<J.�UUSilv���erman,��The���A���rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�UUSpringer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�1986.�����[31]����<J.�UUSilv���erman,��A��}'dvanc�e�d���T��;�opics�in�the�A���rithmetic�of�El���liptic�Curves�,�UUSpringer-V��*�erlag,�New�Y�ork,�1994.�����[32]����<J.�UUSturm,��On���the�c��}'ongruenc�e���of�mo��}'dular�forms�,�UUSpringer�Lect.�Notes�in�Math.��1240�,�(1984),�275{280.�����[33]����<D.��QZagier,���Mo��}'dular�6
forms�and�dier�ential�op�er�ators�,��Pro�Gc.��QIndian�Acad.�Sci.�(Math.�Sci.),��104��1�(1994),�����<57{75.������4404��South�A���Uve.���W,�Missoula,�MT�59804�����E-mail���addr��}'ess��!�:�q��:��<x

cmtt10�[email protected]����������;��Z��G(�:��<x

cmtt10�4�"V

cmbx10�3F
C�
cmbxti10�1\��%eufm8�0�%n�
eufm10�.#�f�cmti8�-o���		cmr9�,���@cmti12�+�-�
cmcsc10�*O+msbm6�)p�p�msbm8�(���
msbm10�%����
msam10�"��u
cmex10�!q�%cmsy6� �K�cmsy8�!",�
cmsy10�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8���N�cmbx12��':

cmti10��-�

cmcsc10����

msbm10�X�Qcmr12�
!",�

cmsy10�O!�cmsy7�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10�ٓ�Rcmr7���u

cmex10��[������