����;� TeX output 1999.04.12:2301������ufv�������6fv����^��D��tG�G�cmr17�Computing�7tP��qerio�s�d�Lattices�of�Newforms������(Preliminary)��$g͍�������~�X�Qcmr12�William��Stein�and�Helena�V��Verrill�������ύ��q�April,��1999��%f�������#�"V

cmbx10�Abstract��:-��``�K�`y

cmr10�W��*�e���giv���e�an�algorithm�to�n�umerically�appro�ximate�the�p�Gerio�d���lattice����Q`and�Q�real�v���olume�of�an�y�mo�Gdular�newforms��
�b>

cmmi10�f�ڧ�
!",�

cmsy10�2���S����	0e�rcmmi7�k��됲(�;����C�)�of�p�ositiv���e�ev�en����Q`w���eigh�t.�The�? computation�of�sp�Gecial�v��q�alues�of�the�asso�ciated��L�-functions����Q`is�UUalso�discussed.�q�Numerical�examples�are�pro���vided.��"����6�/��N�ffcmbx12�1��NL�Mo�s3dular�ffSym���b�ols��q���6�K�`y
�3
cmr10�Let���k�=����z�|{Ycmr8�0����(�0�b>
�3
cmmi10�N�1��)�or����z�1���(�N�1��),��and�let��k�8ǹb�M�e�an�ev��!en�p�ositiv��!e�in�teger.��DLet��1!",�
�3
cmsy10�M��b�M�e��
����6the��cab�M�elian�group�generated�b��!y�sym�b�M�ols��f��
`;��1����g��with���;��1�2��2����3�"V
�3
cmbx10�P�����1����(�Q�)�mo�M�dulo����6the��frelations�����“�f��
`;��1����g�n�+��f��;��1
����g��+��f�
�;��1�
`�g�
��=�0������6and��fmo�M�dulo�an��!y�torsion.��m�5������������<�

	lcircle10�r��������������32�fdfe����33����fdfe����ff����fdfe��������ח�fdfe�����̟��N�fdfe���������%�fdfe����32��}�fdfe����fe��_,�fdfe��������Ab�fdfe�����˟�#��fdfe��������$�fdfe����31��蹄fdfe����fd���n�fdfe��������C�fdfe�����ʟ�*�fdfe��������t>�fdfe����30��Wr�fdfe����fc��:Ƅfdfe��������(�fdfe�����ɟ���fdfe���������n�fdfe����3/���,�fdfe����fb���fdfe��������0�fdfe�����ȟ�ub�fdfe��������Y��fdfe����3.��>�fdfe����fa��"��fdfe��������N�fdfe�����ǟ���fdfe����������fdfe����3-���fdfe����f`���fdfe��������a�fdfe�����Ɵ�eЄfdfe��������K_�fdfe����3,��0�fdfe����f_����fdfe�����������fdfe�����ş�ⴄfdfe��������Ⱥ�fdfe����3+���fdfe����f^��t�fdfe��������{քfdfe�����ğ�b��fdfe��������IN�fdfe����3*��0:�fdfe����f]���fdfe���������B�fdfe�����ß�卄fdfe�����������fdfe����3)��P�fdfe����f\����fdfe���™���Ąfdfe�����Ÿ�kx�fdfe��������S��fdfe����3(��;��fdfe����f[��#�fdfe���Ù���"�fdfe���������fdfe��������R�fdfe����3'����fdfe����fZ��Ąfdfe���ę���˄fdfe���������fdfe�������i��fdfe����3&��S^�fdfe����fY��<�fdfe���ř���&��fdfe����̿���fdfe���������fdfe����3%�����fdfe����fX����fdfe���ƙ����fdfe����̾��z�fdfe���������fdfe����3$��w��fdfe����fW��b�fdfe���Ǚ���L��fdfe����̽��7��fdfe�������"҄fdfe����3#���fdfe����fV���v�fdfe���ș������fdfe����̼���F�fdfe��������fdfe����3"���fdfe����fU���fdfe���ə�����fdfe����̻��k�fdfe�������XR�fdfe����3!��Dw�fdfe����fT��1�fdfe���ʙ���Մfdfe����̺��
��fdfe��������T�fdfe����3 ���r�fdfe����fS��Ѱ�fdfe���˙����fdfe����̹��)�fdfe�������Ƅfdfe����3�쇃�fdfe����fR��t��fdfe���̙���b��fdfe����̸��Q�fdfe�������?N�fdfe����3��[email protected]�fdfe����fQ����fdfe���͙���
V�fdfe����̷����fdfe��������~�fdfe����3���x�fdfe����fP��Œ�fdfe���Ι���[�fdfe����̶�룴�fdfe�������-�fdfe����3��Ƅfdfe����fO��r
�fdfe���ϙ���a�fdfe����̵��Qڄfdfe�������A�fdfe����3��1��fdfe����fN��"�fdfe���Й����fdfe����̴����fdfe��������P�fdfe����3���&�fdfe����fM����fdfe���љ���Ų�fdfe����̳���fdfe�������<�fdfe����3�꙱�fdfe����fL��„fdfe���ҙ��|v�fdfe����̲��nJ�fdfe�������_��fdfe����3��Qʄfdfe����fK��C��fdfe���ә~��6P�fdfe����̱��(8�fdfe�������ʄfdfe����3��
|�fdfe����fJ��N�fdfe���ԙ}���fdfe����̰���„fdfe���������fdfe����3��˲�fdfe����fI��"�fdfe���ՙ|�鲲�fdfe����̯��b�fdfe������陜�fdfe����3�鍋�fdfe����fH�遚�fdfe���֙{��uɄfdfe����̮��i~�fdfe�������]�fdfe����3��Rz�fdfe����fG��F��fdfe���יz��;X�fdfe����̭��0E�fdfe�������%R�fdfe����3��ބfdfe����fF��*�fdfe���ؙy����fdfe����̬���"�fdfe�����ߟ��)�fdfe����3����fdfe����fE���߄fdfe���ٙx���B�fdfe����̫���l�fdfe�����ޟ輶�fdfe����3�� �fdfe����fD����fdfe���ڙw�蟧�fdfe����̪��p�fdfe�����ݟ�Y�fdfe����3�胲�fdfe����fC��zڄfdfe���ۙv��r"�fdfe����̩��hׄfdfe�����ܟ�`^�fdfe����3��X�fdfe����fB��Ōfdfe���ܙu��F��fdfe����̨��?�fdfe�����۟�7(�fdfe����3��/n�fdfe����fA��'�fdfe���ݙt����fdfe����̧��C�fdfe�����ڟ�J�fdfe����3
��	.�fdfe����[email protected]��2�fdfe���ޙs���V�fdfe����̦���؄fdfe�����ٟ��;�fdfe����3��澄fdfe����f?���a�fdfe���ߙr���^�fdfe����̥���@�fdfe�����؟��B�fdfe����3���d�fdfe����f>���܄fdfe����q��=�fdfe����̤�絾�fdfe�����ן篒�fdfe����3
��R�fdfe����f=��2�fdfe����p��2�fdfe����̣�皁�fdfe�����֟���fdfe����3	���fdfe����f<�猞�fdfe����o��h�fdfe����̢��&�fdfe�����՟��fdfe����3��z*�fdfe����f;��vG�fdfe����n��r��fdfe����̡��n�fdfe�����ԟ�j��fdfe����3��g�fdfe����f:��cڄfdfe����m��`��fdfe����̠��\҄fdfe�����ӟ�Y�fdfe����3��W(�fdfe����f9��S��fdfe����l��Q�fdfe����̟��N��fdfe�����ҟ�Ln�fdfe����3��Ia�fdfe����f8��GZ�fdfe����k��Es�fdfe����̞��C��fdfe�����џ�A�fdfe����3��?��fdfe����f7��>*�fdfe����j��;�fdfe����̝��:˄fdfe�����П�9„fdfe����3��8لfdfe����f6��7�fdfe����i��6t�fdfe����̜��5�fdfe�����ϟ�5��fdfe����3��[email protected]�fdfe����f5��4�fdfe����h��4
�fdfe����̛��3&�fdfe�����Ο�3Z�fdfe����3��3��fdfe����f4��4"�fdfe����g��3��fdfe����̚��4l�fdfe�����͟�5?�fdfe����3��62�fdfe����f3��6D�fdfe����f��7v�fdfe����̙��8Ȅfdfe�����̟�96�fdfe����2���:DŽfdfe����f2��<x�fdfe����e��>I�fdfe����̘��?2�fdfe�����˟�AB�fdfe����2���Cr�fdfe����f1��E„fdfe����d��G&�fdfe����̗��I��fdfe�����ʟ�Ld�fdfe����2���N$�fdfe����f0��Q�fdfe����c��T �fdfe����̖��WN�fdfe�����ɟ�Y��fdfe����2���\��fdfe����f/��`��fdfe����b��d0�fdfe����̕��f�fdfe�����ȟ�j҄fdfe����2���nބfdfe����f.��q�fdfe����a��v;�fdfe����̔��z��fdfe�����ǟ�1�fdfe����2��炾�fdfe����f-�燈�fdfe����`��r�fdfe����̓��|�fdfe�����Ɵ畄�fdfe����2���̈́fdfe����f,��6�fdfe����_�礚�fdfe����̒��B�fdfe�����ş�
�fdfe����2����fdfe����f+��фfdfe����^�����fdfe����̑���?�fdfe�����ğ�ͦ�fdfe����2�����fdfe����f*��٦�fdfe����]���l�fdfe����̐���"�fdfe�����ß��'�fdfe����2����L�fdfe����f)�����fdfe�����\��„fdfe����̏��	F�fdfe�����Ÿ��fdfe����2�����fdfe����f(��Z�fdfe�����[��']�fdfe����̎��/��fdfe��������6��fdfe����2��>�fdfe����f'��Gl�fdfe�����Z��P�fdfe����̍��W��fdfe��������`r�fdfe����2��is�fdfe����f&��r��fdfe�����Y��z��fdfe����̌���fdfe��������r�fdfe����2���fdfe����f%�蟋�fdfe�����X��j�fdfe����̋��i�fdfe��������>�fdfe����2���|�fdfe����f$���ڄfdfe�����W���X�fdfe����̊��䨄fdfe���������e�fdfe����2���B�fdfe����f#��?�fdfe�����V��
�fdfe����̉��F�fdfe��������%��fdfe����2��/Ʉfdfe����f"��;d�fdfe�����U��G�fdfe����̈��R��fdfe��������]��fdfe����2��i��fdfe����f!��u�fdfe�����T��J�fdfe����̇��g�fdfe���������fdfe����2�馹�fdfe����f ��2�fdfe�����S��*�fdfe����̆���B�fdfe���������z�fdfe����2���n�fdfe����f����fdfe�����R��|�fdfe����̅��3�fdfe����������fdfe���2��(��fdfe���f��6��fdfe����Q��Cy�fdfe���̄��Q΄fdfe�������`C�fdfe���2��n؄fdfe���f��|�fdfe����P���fdfe���̃���fdfe���������fdfe���2�궻�fdfe���f����fdfe����O��Ձ�fdfe���̂��㞄fdfe��������P�fdfe���2��"�fdfe���f���fdfe����N��!��fdfe���́��1݄fdfe�������B.�fdfe���2��R��fdfe���f��a��fdfe����M��rb�fdfe���̀��2�fdfe������뒡�fdfe���2�룰�fdfe���f��߄fdfe����L���.�fdfe��������fdfe�������禄fdfe���2���T�fdfe���f��"�fdfe����K����fdfe����~��-��fdfe�������?��fdfe���2��P��fdfe���f��b�fdfe����J��uz�fdfe����}��&�fdfe�������b�fdfe���2��M�fdfe���f��X�fdfe����I��҃�fdfe����|���:�fdfe����������fdfe���	2��.�fdfe���	f��A�fdfe���	�H��1
�fdfe���	�{��D�fdfe���	����X��fdfe���
2��k��fdfe���
f��҄fdfe���
�G��:�fdfe���
�z��„fdfe���
����˄fdfe���2��В�fdfe���f���y�fdfe����F���ބfdfe����y���fdfe�������#J�fdfe���2ߟ�8��fdfe���f��L��fdfe����E��b5�fdfe����x��w��fdfe�������߄fdfe���
2ޟ�:�fdfe���
f��^�fdfe���
�D��΢�fdfe���
�w���Y�fdfe���
�����܄fdfe���2ݟ��fdfe���f��'B�fdfe����C��<t�fdfe����v��Sv�fdfe�������j��fdfe���2ܟ�ڄfdfe���f��fdfe����B���fdfe����u��Ʃ�fdfe�������ܲ�fdfe���2۟��fdfe���f����fdfe����A��$��fdfe����t��;6�fdfe�������S��fdfe���2ڟ�l�fdfe���f
��fdfe����@�𛲄fdfe����s�𴐄fdfe�������͎�fdfe���2ٟ�欄fdfe���f���&�fdfe����?����fdfe����r��1�fdfe�������Hքfdfe���2؟�b��fdfe���f��|n�fdfe����>��j�fdfe����q�񮻄fdfe����������fdfe���2ן��Q�fdfe���f
���̄fdfe����=����fdfe����p��1R�fdfe�������L,�fdfe���2֟�eT�fdfe���f	��m�fdfe����<�򛦄fdfe����o����fdfe�������Т�fdfe���2՟��:�fdfe���f���fdfe����;��#ʄfdfe����n��=�fdfe�������Y��fdfe���2ԟ�v6�fdfe���f�󐰄fdfe����:��&�fdfe����m��ɼ�fdfe��������r�fdfe���2ӟ�g�fdfe���f��\�fdfe����9��;q�fdfe����l��X��fdfe�������t�fdfe���2ҟ�fdfe���f���fdfe����8����fdfe����k��轄fdfe���������fdfe���2џ�$Äfdfe���f��A
�fdfe����7��_\�fdfe����j��}΄fdfe��������`�fdfe���2П��"�fdfe���f����fdfe����6����fdfe����i���fdfe�������32�fdfe�������32�fd��������O�

line10�-�������r������������32�fdfe��������fdfe����4��
�fdfe����f���L�fdfe���\����v�fdfe���3���ˆ�fdfe���\���|�fdfe����Ο��X�fdfe����P����fdfe������v„fdfe���iz��aP�fdfe���A+��K��fdfe�����6�fdfe����� Q�fdfe���Ȟ��
v�fdfe��������fdfe���x����r�fdfe���P����I�fdfe���(����fdfe�����fdfe���� ���fdfe����p��n��fdfe����П�W�fdfe���[email protected]��A�fdfe���:���*:�fdfe���7��@�fdfe����֟��,�fdfe���ą�����fdfe����D��Ͷ�fdfe���v��T�fdfe���N�󞺄fdfe���'��#�fdfe������or�fdfe����Ο�W��fdfe������?„fdfe������'Äfdfe���eX����fdfe���>����w�fdfe������*�fdfe����K��Ɯ�fdfe����ȟ��fdfe����U��~�fdfe���}��|Ȅfdfe���W���c��fdfe���1\��K�fdfe���)��2
�fdfe����؟��fdfe����ğ����fdfe��������b�fdfe���r̟��ńfdfe���L��>�fdfe���'�񙝄fdfe���P���fdfe���ۜ��f
�fdfe����Ÿ�L�fdfe����-��2�fdfe���j����fdfe���E3�����fdfe���Ο��$�fdfe����y��Ȳ�fdfe����4��&�fdfe����Ÿ𓀄fdfe�������x��fdfe���e���]�fdfe���@���B�fdfe������'�fdfe���������fdfe����Ο��z�fdfe����ğ��ڄfdfe����
��c�fdfe���cf��҄fdfe���>ϟ�'�fdfe���H��gb�fdfe����џ�K��fdfe����j��/��fdfe������w�fdfe��������J�fdfe���dH��ڶ�fdfe���@ ��T�fdfe�����؄fdfe������B�fdfe������h��fdfe���� ��KȄfdfe�������.�fdfe���h,���fdfe���Ds���΄fdfe��� ʟ�ל�fdfe����1����fdfe���٨�휒�fdfe����/���fdfe����l��av�fdfe���o��C��fdfe���Kȟ�%�fdfe���(���	�fdfe���d����fdfe���
�J����fdfe���
�@��R�fdfe���
�F���fdfe���
x���p��fdfe���
V��R�fdfe���
3T��3n�fdfe���
�����fdfe��������fdfe����S����fdfe����ȟ��fdfe������_�fdfe���cx��y"�fdfe���A��Y˄fdfe���П�:Z�fdfe�������τfdfe����h���*�fdfe����L���k�fdfe����@�껒�fdfe���sӟꛟ�fdfe���Q��{��fdfe���0	��Z��fdfe���<��:��fdfe���
���Z�fdfe���
�ҟ���fdfe���
�5���T�fdfe���
�0�鸪�fdfe���
e����fdfe���
DD��w�fdfe���
"��V�fdfe���
���4��fdfe���	�Z��U�fdfe���	�,����fdfe���	����Э�fdfe���	|���2�fdfe���	[��荝�fdfe���	:���k�fdfe���	���J%�fdfe������(B�fdfe����%��E�fdfe����v��㨄fdfe����P���v�fdfe���u���*�fdfe���[email protected]��|Ąfdfe���4П�ZD�fdfe���p��7��fdfe���� ����fdfe�������(�fdfe����"���@�fdfe�����櫯�fdfe���r�戒�fdfe���R��e[�fdfe���2���B
�fdfe�������fdfe����L����fdfe��������{�fdfe����D��„fdfe��������fdfe���t��l�fdfe���T���Gb�fdfe���5��#@�fdfe��������fdfe����h��ڮ�fdfe���։��>�fdfe����V�䑴�fdfe����3��m�fdfe���y ��HR�fdfe���Z��#z�fdfe���;*����fdfe���G���لfdfe����П㳲�fdfe������q�fdfe����X��i�fdfe�������C��fdfe���� ���fdfe���c����i�fdfe���E(��Ҧ�fdfe���&���fdfe���ğ�&�fdfe������`�fdfe����J��9�fdfe����%����fdfe�������B�fdfe���q���Ȅfdfe���S��4�fdfe���4~��y��fdfe������R��fdfe������+'�fdfe����,��*�fdfe���������fdfe�������fdfe����j���fdfe���d:��g2�fdfe���Fӟ�?��fdfe���)|���fdfe���5���g�fdfe��������܄fdfe����ןߟ�fdfe�������w�fdfe�������Oքfdfe���z��'��fdfe���]���P�fdfe���@@����fdfe���#x�ޮb�fdfe�����ޅĄfdfe������]�fdfe���̀��3r�fdfe����/��
��fdfe��������~�fdfe���wM�ݸ]�fdfe���Z�ݏ"�fdfe���>���ë́fdfe���"r��<^�fdfe���I��Մfdfe�����`���2�fdfe�����V�ܾ��fdfe�����\�ܔ̄fdfe�����r��jڄfdfe����y���@΄fdfe����]Ο���fdfe����B���h�fdfe����%�����fdfe����	��ۗ��fdfe�����m��m�fdfe�������Bd�fdfe��������DŽfdfe�����,����fdfe���������fdfe����e��ڕ�fdfe����I���j��fdfe����.���?r�fdfe����t���fdfe�����x��蚄fdfe����݌�ٽ�fdfe����°�ِv�fdfe�������d��fdfe�����B��8̄fdfe����q���Єfdfe����V���ຄfdfe����<k�ش��fdfe����!�؈@�fdfe�������[܄fdfe�����$��/^�fdfe�����ן�لfdfe���������&�fdfe�����~�רY�fdfe�����`��{r�fdfe����iR��Nq�fdfe����OT��!V�fdfe����5f���!�fdfe��������҄fdfe����ş֙i�fdfe�������k�fdfe�����W��=R�fdfe����������fdfe�����)���Ȅfdfe�������ճ܄fdfe����g;�Յքfdfe����L��W��fdfe����3���)|�fdfe����P���(�fdfe���� ��̺�fdfe������ԝ2�fdfe�������n��fdfe�������?҄fdfe���������fdfe��������
�fdfe����jK�Ӳ��fdfe����Q��Ӄڄfdfe����8ٟ�T��fdfe���� 8��%B�fdfe��������τfdfe�����&���8�fdfe����ժ�ҕ��fdfe�����H��e΄fdfe��������5�fdfe����������fdfe����t�����fdfe����\`�ѥ„fdfe����DN��u~�fdfe����+:��E �fdfe����G����fdfe�����d����fdfe����㑟вU�fdfe�����ΟЁ��fdfe�������P��fdfe�����x����fdfe�������fdfe����lH�Ͻn�fdfe����Tԟό%�fdfe����=p��Z„fdfe����&��((�fdfe����؟����fdfe���������ބfdfe�����Γ�fdfe�����K��a,�fdfe�����F��/,�fdfe�����Q����fdfe�����l���ބfdfe����l��͘��fdfe����Uҟ�e�fdfe����?��2�fdfe����'P����fdfe��������+�fdfe�����4�̚Z�fdfe����㾟�go�fdfe�����X��4j�fdfe�������K�fdfe����������fdfe�������˚��fdfe����s0��f"�fdfe����]��2��fdfe����G�����fdfe����1���<�fdfe����4�ʗf�fdfe����]��cv�fdfe�����/l�fdfe����ب���H�fdfe��������
�fdfe�����h�ɑy�fdfe�������]�fdfe�����h��(y�fdfe����m���҄fdfe����W��ȿ�fdfe����A"�Ȋ6�fdfe����+��UA�fdfe������� 2�fdfe��������	�fdfe����잟Ǵ��fdfe����ץ��&�fdfe����¼��I��fdfe�������fdfe����ԟ��p�fdfe�����ƨ��fdfe����np��rʄfdfe����Y֟�<Єfdfe����EL����fdfe����0ҟ�Ў�fdfe����h�Ř��fdfe�������b��fdfe�����v��,�fdfe�����;�����fdfe������ľ҄fdfe������Ĉ�fdfe������Q"�fdfe������#�fdfe����x����
�fdfe����dԟê��fdfe����Q��s4�fdfe����=L��;̄fdfe����)���J�fdfe������̮�fdfe����x�”��fdfe��������](�fdfe�����4��%>�fdfe�����ן��:�fdfe���򳊟���fdfe����M��{��fdfe���� ��C2�fdfe����z��
ńfdfe����f����>�fdfe����R������fdfe����?���`�fdfe����,ʟ�(
�fdfe���������fdfe����>����fdfe�����{��fdfe������BL�fdfe�����d���fdfe����{��ς�fdfe���������fdfe���񖭟�\P�fdfe����^��"��fdfe����r��趄fdfe����_🽮„fdfe����Mџ�t��fdfe����:P��9�fdfe����(P���ׄfdfe����`���z�fdfe���������fdfe����򰟼Or�fdfe������DŽfdfe�����@����fdfe����'���#�fdfe���𪖟�d*�fdfe������'��fdfe������n�fdfe����vC���&�fdfe����d�uĄfdfe����S���:H�fdfe����B������fdfe����/ޟ���fdfe����̟��8�fdfe����
ʟ�KT�fdfe�����؟�
҄fdfe��������ѹ�fdfe�����$�����fdfe�����b��Y9�fdfe����(��҄fdfe���暈���Q�fdfe����򟷣��fdfe����o��g�fdfe����u���*2�fdfe����e����I�fdfe����UF�����fdfe����Ct��q��fdfe����[email protected]��4b�fdfe����#����fdfe���������fdfe������|�fdfe�������>~�fdfe�����,��Ąfdfe�����X����fdfe���������k�fdfe����H��Eb�fdfe�����?�fdfe��������fdfe��������fdfe����t��L:�fdfe����d���
��fdfe����S����
�fdfe����Dv���K�fdfe����[email protected]��Qr�fdfe����&��ބfdfe�������Єfdfe����������fdfe�������Sf�fdfe�����}��
�fdfe����٦��Ԕ�fdfe�����ߟ���fdfe����(��UZ�fdfe��������fdfe����꟯��fdfe����c����fdfe����쟯T�fdfe����q؟�Մfdfe����c���ӎ�fdfe����U8���-�fdfe����G��R��fdfe����8؟��fdfe����*����n�fdfe����������fdfe����
��N�fdfe�����#��
�fdfe�����J�����fdfe����た��Ƅfdfe�����ȟ�Iz�fdfe��������fdfe���캆��Ɣ�fdfe����B�����fdfe����ȟ�CF�fdfe����^�����fdfe�������҄fdfe����u���{τfdfe����h���9��fdfe����[V���{�fdfe����N<���*�fdfe����?o��r��fdfe����2t��0:�fdfe����%���후fdfe���������fdfe����㟨fH�fdfe�����(��#Z�fdfe�����}���R�fdfe��������0�fdfe����׌��Y�fdfe���������fdfe���뾤���.�fdfe����H�����fdfe�������L�fdfe�������r�fdfe����ß�™�fdfe�������~��fdfe����s���:��fdfe����g����r�fdfe����[����1�fdfe����Oҟ�mքfdfe����D��)a�fdfe����8H���҄fdfe����*Ÿ��P�fdfe����$��Y��fdfe���������fdfe������϶�fdfe�����������fdfe�����L��Ex�fdfe��������2�fdfe�������҄fdfe����ͱ��uX�fdfe����’��/Ąfdfe���귃���3�fdfe���ꬄ���j�fdfe���ꡕ��\��fdfe���ꖶ����fdfe����矟�s�fdfe����@���B�fdfe����t���C��fdfe����i����fdfe����_`����fdfe����T�n��fdfe����Jp��'ڄfdfe����@����fdfe����3џ��$�fdfe����)���S"�fdfe����_���fdfe����>���Єfdfe����-��}��fdfe����,��6�fdfe���������K��������r�������
�������32�fdfe����(����fdfe����Q̟�
�fdfe����z����L�fdfe�����X���v�fdfe�������ˆ�fdfe�������|�fdfe����2���X�fdfe����E�����fdfe����n��v„fdfe��������aP�fdfe�����՟�K��fdfe�������6�fdfe����C�� Q�fdfe����7b��
v�fdfe����_q���fdfe�����p���r�fdfe�����p���I�fdfe�����P���fdfe����� ��fdfe����&���fdfe����N���n��fdfe����v0��W�fdfe��������A�fdfe�����X��*:�fdfe�����ɟ�@�fdfe����*���,�fdfe����;{�����fdfe����b���Ͷ�fdfe�������T�fdfe������󞺄fdfe�������#�fdfe�����@��or�fdfe����&2��W��fdfe����M��?„fdfe����s��'Äfdfe����������fdfe�����Z���w�fdfe���������*�fdfe�������Ɯ�fdfe����58���fdfe����[���~�fdfe�������|Ȅfdfe�����a��c��fdfe����Τ��K�fdfe�����ן�2
�fdfe����(���fdfe����A<�����fdfe����[email protected]���b�fdfe�����4���ńfdfe�������>�fdfe������񙝄fdfe���������fdfe����$d��f
�fdfe����J>��L�fdfe����oӟ�2�fdfe�����X���fdfe�����͟����fdfe�����2���$�fdfe�������Ȳ�fdfe����*̟�&�fdfe����P>�𓀄fdfe����ud��x��fdfe�����z��]�fdfe��������B�fdfe�����v��'�fdfe����	\����fdfe����.2���z�fdfe����S<���ڄfdfe����w��c�fdfe���œ���҄fdfe�����1��'�fdfe����帟�gb�fdfe����
/��K��fdfe����.���/��fdfe����R��w�fdfe����w����J�fdfe���Û���ڶ�fdfe���ÿ��T�fdfe��������؄fdfe������B�fdfe����+���h��fdfe����O��KȄfdfe����t��.�fdfe���ėԟ��fdfe���Ļ����΄fdfe�����6��ל�fdfe����ϟ���fdfe����&X�휒�fdfe����Iџ��fdfe����m���av�fdfe���Ő��C��fdfe���Ŵ8��%�fdfe�����r��	�fdfe����������fdfe���������fdfe����@���R�fdfe����c����fdfe���Ƈ��p��fdfe���Ʃ��R�fdfe����̬��3n�fdfe�����g����fdfe��������fdfe����4�����fdfe����W8���fdfe����z��_�fdfe���ǜ���y"�fdfe���Ǿ��Y˄fdfe�����0��:Z�fdfe����l��τfdfe����%����*�fdfe����G����k�fdfe����i��껒�fdfe���Ȍ-�ꛟ�fdfe���Ȯ��{��fdfe��������Z��fdfe�����ğ�:��fdfe�������Z�fdfe����5.����fdfe����V˟��T�fdfe����xП鸪�fdfe���ɚN���fdfe���ɻ���w�fdfe�������V�fdfe�����h��4��fdfe�������U�fdfe����@ԟ���fdfe����bq��Э�fdfe���ʃ���2�fdfe���ʤ�荝�fdfe�����n��k�fdfe�����M��J%�fdfe������(B�fdfe����'۟�E�fdfe����H���㨄fdfe����i����v�fdfe���ˊ@��*�fdfe���˪���|Ąfdfe�����0��ZD�fdfe����됟�7��fdfe��������fdfe����, ���(�fdfe����Lޟ��@�fdfe����l��櫯�fdfe���̍�戒�fdfe���̭��e[�fdfe�������B
�fdfe���������fdfe���������fdfe����-
���{�fdfe����L���„fdfe����l^���fdfe���͋��l�fdfe���ͫr��Gb�fdfe�������#@�fdfe�����F����fdfe����	���ڮ�fdfe����)w��>�fdfe����H��䑴�fdfe����g͟�m�fdfe���Ά��HR�fdfe���Υ��#z�fdfe�����֟���fdfe����㹟��لfdfe����0�㳲�fdfe����!��q�fdfe����@���i�fdfe����_L��C��fdfe����}���fdfe���Ϝd���i�fdfe���Ϻ؟�Ҧ�fdfe��������fdfe�����<��&�fdfe�������`�fdfe����4���9�fdfe����R۟���fdfe����p���B�fdfe���Ў����Ȅfdfe���Ь��4�fdfe����˂��y��fdfe�����X��R��fdfe������+'�fdfe����$ԟ�*�fdfe����Bz����fdfe����`���fdfe����}����fdfe���ћƟ�g2�fdfe���ѹ-��?��fdfe����ք���fdfe�����˟��g�fdfe�������܄fdfe����.)�ߟ�fdfe����[email protected]��w�fdfe����i��Oքfdfe���҆��'��fdfe���Ң���P�fdfe���ҿ�����fdfe����܈�ޮb�fdfe�����@�ޅĄfdfe������]�fdfe����2���3r�fdfe����Oџ�
��fdfe����lJ���~�fdfe���ӈ��ݸ]�fdfe���ӥ�ݏ"�fdfe�����U��ë́fdfe����ݎ��<^�fdfe��������Մfdfe��������2�fdfe����2��ܾ��fdfe����N��ܔ̄fdfe����j���jڄfdfe���Ԇh��@΄fdfe���Ԣ2����fdfe���Խ���h�fdfe�����m����fdfe������ۗ��fdfe�������m�fdfe����-��Bd�fdfe����Hy��DŽfdfe����cԟ���fdfe��������fdfe���՚Z�ڕ�fdfe���նd��j��fdfe����р��?r�fdfe����쌟��fdfe�������蚄fdfe����"t�ٽ�fdfe����=P�ِv�fdfe����X��d��fdfe����s���8̄fdfe���֎k��Єfdfe���֩��ຄfdfe����Õ�ش��fdfe������؈@�fdfe�������[܄fdfe����ܟ�/^�fdfe����-)��لfdfe����HT���&�fdfe����b��רY�fdfe����|���{r�fdfe���ז���Nq�fdfe���װ���!V�fdfe����ʚ���!�fdfe�����x���҄fdfe�����;�֙i�fdfe�������k�fdfe����2���=R�fdfe����LH����fdfe����eן��Ȅfdfe����V�ճ܄fdfe���ؘşՅքfdfe���س ��W��fdfe�����p��)|�fdfe����尟��(�fdfe�������̺�fdfe�����ԝ2�fdfe����1��n��fdfe����J��?҄fdfe����c����fdfe����|���
�fdfe���ٕ��Ӳ��fdfe���ٮv�Ӄڄfdfe�����'��T��fdfe�����ȟ�%B�fdfe�����Y���τfdfe����ڟ��8�fdfe����*V�ҕ��fdfe����B���e΄fdfe����[
��5�fdfe����sL����fdfe���ڋ~����fdfe���ڣ��ѥ„fdfe���ڻ���u~�fdfe�����Ɵ�E �fdfe����칟���fdfe���������fdfe����o�вU�fdfe����42�Ё��fdfe����K��P��fdfe����c�����fdfe����{��fdfe���ۓ��Ͻn�fdfe���۫,�ό%�fdfe������Z„fdfe�������((�fdfe�����(�����fdfe����\���ބfdfe������Γ�fdfe����7���a,�fdfe����N���/,�fdfe����e�����fdfe����|����ބfdfe���ܓi�͘��fdfe���ܪ.��e�fdfe�������2�fdfe����ذ����fdfe�����F���+�fdfe����̟̚Z�fdfe����B��go�fdfe����2���4j�fdfe����H���K�fdfe����_D����fdfe����uz�˚��fdfe���݌П�f"�fdfe���ݢ��2��fdfe���ݸ�����fdfe��������<�fdfe�����̟ʗf�fdfe��������cv�fdfe����j��/l�fdfe����'X���H�fdfe����=���
�fdfe����R��ɑy�fdfe����h ��]�fdfe����}���(y�fdfe���ޓ���҄fdfe���ިX�ȿ�fdfe���޾ޟȊ6�fdfe�������UA�fdfe�����@�� 2�fdfe�����Y���	�fdfe����b�Ǵ��fdfe����([��&�fdfe����=D��I��fdfe����R���fdfe����h,���p�fdfe����|�ƨ��fdfe���ߑ���rʄfdfe���ߦ*��<Єfdfe���ߺ�����fdfe�����.��Ў�fdfe����㘟Ř��fdfe�����?��b��fdfe����
���,�fdfe����!ş����fdfe����5�ľ҄fdfe����J�Ĉ�fdfe����^��Q"�fdfe����r��#�fdfe����P���
�fdfe����,�ê��fdfe�������s4�fdfe����´��;̄fdfe�����`��J�fdfe��������̮�fdfe�������”��fdfe������](�fdfe����%̟�%>�fdfe����9)���:�fdfe����Lv����fdfe����_���{��fdfe����r��C2�fdfe�������
ńfdfe����
���>�fdfe����j�����fdfe�����X��`�fdfe�����6��(
�fdfe���������fdfe�����Ÿ���fdfe����p��{��fdfe������BL�fdfe����0����fdfe����D���ς�fdfe����V���fdfe����iS��\P�fdfe����{���"��fdfe����៽趄fdfe�������„fdfe����/��t��fdfe����Ű��9�fdfe����װ���ׄfdfe����頟��z�fdfe����������fdfe����
P��Or�fdfe������DŽfdfe����0�����fdfe����Cٟ��#�fdfe����Uj��d*�fdfe����f럻'��fdfe����x\���n�fdfe���㉽���&�fdfe������uĄfdfe����O��:H�fdfe���㽀�����fdfe�����"����fdfe�����4���8�fdfe�����6��KT�fdfe����(��
҄fdfe����
��ѹ�fdfe����$ܟ����fdfe����5���Y9�fdfe����G؟�҄fdfe����X{���Q�fdfe����i�����fdfe����y���g�fdfe������*2�fdfe����g���I�fdfe���䪺�����fdfe���伌��q��fdfe��������4b�fdfe�����䟵��fdfe�����������fdfe��������|�fdfe�����>~�fdfe����ԟ�Ąfdfe����,�����fdfe����>���k�fdfe����M���Eb�fdfe����]]��?�fdfe����l���fdfe����|w�����fdfe����쟳L:�fdfe����Q��
��fdfe����D���
�fdfe���廊���K�fdfe��������Qr�fdfe�����柲ބfdfe���������Єfdfe����������fdfe�������Sf�fdfe�������
�fdfe����&Z��Ԕ�fdfe����5!����fdfe����C؟�UZ�fdfe����R����fdfe����a����fdfe����o�����fdfe����~��T�fdfe����(��Մfdfe���最��ӎ�fdfe����ȟ��-�fdfe������R��fdfe�����(���fdfe�����@���n�fdfe�����H�����fdfe������N�fdfe����ݟ�
�fdfe����������fdfe�������Ƅfdfe����*8��Iz�fdfe����7៬�fdfe����Ez��Ɣ�fdfe����T������fdfe����b8��CF�fdfe����o������fdfe����|����҄fdfe����F��{τfdfe���痀��9��fdfe���礪���{�fdfe����ğ��*�fdfe��������r��fdfe����͌��0:�fdfe�����w��후fdfe�����R����fdfe�������fH�fdfe����؟�#Z�fdfe����
����R�fdfe����蟧�0�fdfe����(t��Y�fdfe����4���fdfe����A\���.�fdfe����M������fdfe����Z��L�fdfe����[email protected]��r�fdfe����t=��™�fdfe����Z��~��fdfe����g��:��fdfe����d���r�fdfe����Q���1�fdfe����.��mքfdfe�������)a�fdfe����Ǹ���҄fdfe�����>���P�fdfe�����ܟ�Y��fdfe�����j����fdfe�����蟢϶�fdfe����V�����fdfe�������Ex�fdfe������2�fdfe����' ���҄fdfe����2O��uX�fdfe����=n��/Ąfdfe����H}���3�fdfe����S|���j�fdfe����^k��\��fdfe����iJ����fdfe����t���s�fdfe��������B�fdfe����p��C��fdfe���������fdfe���頠����fdfe���� ��n��fdfe���鵐��'ڄfdfe�������fdfe�����/���$�fdfe�����p��S"�fdfe����࡟��fdfe�����Ÿ��Єfdfe�����ӟ�}��fdfe�����ԟ�6�fdfe�������������������G�Let�������V��Ȯ��2cmmi8�k�6���K�cmsy8��2��
��=��
�Sym���w��z��k�6���2��(��(�Z�X�J�+�n��Z�Y�n�)������6b�M�e���the��Z�-mo�dule�of�homogeneous�p�olynomials�in��X����and��Y�.��of�degree��k��
��ι2.����6Dene��fa�left�action�of��g�o:�=���
���!e�2��u
�3
cmex10�����wڍ��	��a����Jb���$썍�
MQc���p�d���������!e�����2�2�
���on�the�tensor�pro�M�duct��V��Ȯ�k�6���2��n��
�n�M��b��!y���ō�TX�g�d��(�P��V�(�X�@<;��1Y�n�)�n��
�f��
`;�����g�)�
�=��P��V�(�dX�J���n��bY���;���cX��+�n��aY�n�)��
�f�g�d��(��
`�)�;�g��(����)�g�:������C3�1����*�ufv�������6fv���홊��6�The�L�space�of�mo�M�dular�sym��!b�ols�of�w��!eigh�t�L��k��޹for��is�the�largest�quotien��!t�of��
����6�V��Ȯ�k�6���2���q�
��cM�.�on�whic��!h��acts�trivially��e.�t�If�w�e�let��I��ȹ=����f�1��c���g�Qc�:��g��2���g���Z�[]����6then���捑~̨�M��Ȯ�k��#��()�
�=���������V�V��Ȯ�k�6���2��n��
�n�M��=ڟ㦉p ?7�
���I����(�V��Ȯ�k�6���2��n��
�n�M�)�����G��=��H���z�0����(�;��1V��Ȯ�k�6���2��n��
�n�M�)�:��[���6�The��fcuspidal�mo�M�dular�sym��!b�ols�are��S��Ȯ�k��#��()�
�=��k��!er���(��j�),��fwhere��Q���F��t��:�
��M��Ȯ�k��#��()��!����������M���
�􍓽[��]�2��n�42�@�cmbx8�P�������Aa�cmr6�1��*��(�Q�)���7��Z�[��
`�]��#|��6is��fgiv��!en�b�y��������j�(�P��V�(�X�@<;��1Y�n�)�n��
�f��
`;�����g�)�
�=?�:��-��G�The��fEic��!hler-Shim�ura�theory�giv�es�an�isomorphism��d���m�u�S��Ȯ�k��#��(�;��1�C�)�n������4�p Xz����S����	�f�Ȯ�k�����(�;��C�)�����Eis��?(�;��C�)���������
������l���
��=��������H������z��1���Ź(�;�V���z���n����N���k�6���2���n��
��C�)����6F��eor��fexample,�when��k�b�=�
�2�the�map�������S���z�2����(�;��1�C�)�
��!��H������z��1���Ź(�;��C�)�=��Hom��ک(�;��C�)��/l��6send��f�f�-��(�z�{I�)�to�the�map��
��b�7!��
���-��R����X���
Wt�
�x�(0)��	���6c0���`��f��(�z�{I�)�dz��.��
����GThe��fcup�pro�M�duct�pairing����g~��H���z�0����(�;��1V��Ȯ�k�6���2��n��
�n�M�)����H������z��1���Ź(�;�V���z���n����N���k�6���2���n��
��C�)�
��!��H������z��0���Ź(�;��C�)�=��C����6�giv��!es��frise�to�the�p�M�erio�d��fmap�w�e�will�study��e.��"O����6�2��NL�Computing�ffP���erio�s3ds��q���6�Let�c��FO=����z�0����(�N�1��)�or����z�1���(�N�1��).�In�this�section�w��!e�describ�M�e�ho�w�to�n�umerically����6appro��!ximate��fthe�p�M�erio�d��flattice�asso�M�ciated�to�a�cuspidal�newform��k����,��f�8c�=����
������X�������a���z�n���P�q��d���z��n��	��2�
��S��Ȯ�k��#��(�;��1�C�)�;���k�b����2�:��k���6�W��ee�Kbdo��8�':
�3
cmti10�not��require�that�the�F�ourier�co�M�ecien��!ts��a���z�n���of��f�y�lie�in��Q�,�]�nor�that�the����6w��!eigh�t�7�equals�2.��
In�the�sp�M�ecial�case��k�U8�=���2�and�all��a���z�n��	�I�2��Q�,�\$see�[�CR���].��
The����6algorithm�b�giv��!en�only�applies�when��k���is�ev�en,�pOthough�w�e�exp�M�ect�that�there�is����6a��fgeneralization�to�o�M�dd��k�X?�.����GLet�u��T�cչ=��Z�[�T���z�1����;��1T���z�2���;�T���z�3���;��:�:�:��lŹ]�u�denote�the�Hec��!k�e�u�algebra,��Iequipp�M�ed�with�its����6action��fon�mo�M�dular�forms�and�mo�dular�sym��!b�ols�for�.���Set�����T��9�%n�
�3
eufm10�p��Ȯ�f���ƹ=��
�Ann���k�����T���Ϲ(�f�-��)�:������C3�2����~C�ufv�������6fv���홊��6�Let�	��f��-�����(1)���8�;���1:�:�:��?�;��1f��-�����(�d�)�����b�M�e�the��Gal��%�(���,R�p 	u��Ӯ��Q���	u��=�Q�)�conjugates�of��f�-��.��Let��M��Ȯ�k��#��(�;��Q�)�b�M�e�the��
����6space�=�of�mo�M�dular�sym��!b�ols�of�w��!eigh�t�=��k����for��(tensor��Q�)�and��S��Ȯ�k��#��(�;��1�Z�)��������6M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)��fthe�subspace�of�in��!tegral�cuspidal�sym�b�M�ols.���There�is�a�pairing�������w�h�
�5�;��f�i�
��:��M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)�n����S��Ȯ�k���(�;��1�C�)�
��!��C��ɍ����h�P��V�(�X�@<;��1Y�n�)�f��
`;�����g�;��bf�-��i�
��=�2��d�i���1����Z����C,���e�����������G��f��(�z�{I�)�P��V�(�z�;��1�1)�dz�:��	��6�The��fp�M�erio�d�map�asso�ciated�to��f��"�is�����C'��Ȯ�f���ƹ:�
��M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)��!��C���z��d����B���)̹��Ȯ�f��w�(�x�)�
�=�(�h�x;��1f��-���z��(1)���8�i�;��:�:�:��?�;��h�x;�f��-���z��(�d�)�����i�)�:��%��6�Let��
���������Ȯ�f���ƹ=�
���Ȯ�f��w�(�S��Ȯ�k��#��(�;��1�Z�))����C���z��d��ߨ�:����G�The��ffollo��!wing�is�an�algorithm�to�n�umerically�appro�ximate���Ȯ�f��	��and���Ȯ�f��w�.���������Cb%1.����Q`�[Compute�2�left�eigenspace.]��ݹCompute��fa��Q�-basis��'���z�1����;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d����for���������CHom��զE(�M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)�;��Q�)[�p��Ȯ�f��w�]�:��������Cb%�2.����Q`�[Dual�W�basis.]�>�Let����w���z�1����;���1:�:�:��?�;��1w��Ȯ�2�d���m�b�M�e�the��Q�-basis�for��M��Ȯ�k��#��(�;��Q�)[�p��Ȯ�f��w�]�dual����Q`to����'���z�1����;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d��	��,���so��'���z�i��dڹ(�w���z�j��f
�)�p=�����z�ij��J�.��GIt���is�not�necessary�to�compute�the��w���z�i�����Q`�though�i%this�could�b�M�e�done�b��!y�in�v�erting�the�matrix�whose�ro�ws�are�the����Q`�'���z�i��dڹ.���Observ��!e��fthat�if��v�o:�2�
�M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)�then��!*I���D��h�v�d�;��1f�-��i�
��=���O����[�2�d��
���������X���
"㍑��i�=1������'���z�i��dڹ(�v��)�h�w���z�i���;��1f�-��i�:��$������Cb%�3.����Q`�[Compute��[Z-basis�for����Ȯ�f��w�.]��s�Compute�:�a��Z�-basis��z���z�1����;���1:�:�:��?�;��1z��Ȯ�2�d��
Z��for�the����Q`lattice��������f�(�'���z�1����(�x�)�;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d��	��(�x�))�
�:��x��2�S��Ȯ�k��#��(�;��Z�)�g���Q���z��2�d��	��:��S������Cb%�4.����Q`�[Find�2�go�Y�o�d�p�erio�ds.]��ݹLo�M�cate��f�v���z�1����;���1:�:�:��l�v��Ȯ�2�d��*S�2�
�M��Ȯ�k��#��(�;��1�Q�)�so�that���������^�������iw�Eac��!h��f�v���z�i��@�is�of�the�form����ٚ��P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�f�0�;�g�d��(0)�g����iw�with��f�g�o:�=���
���!e�����wڍ��	��a����Jb���$썍�
MQc���p�d���������!e�����2�2�
��,��c�>��0,�and����������P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�
�=�((1�n����ad�)�X������z��2��
����b�(�d����a�)�X���Y��۹+��b���z��2����Y����z��2��.�)������33�;�cmmi6�k���q�%cmsy6��2��33����\)
�ڟ����2����[email protected]�:������C3�3�����P�ufv�������6fv���홊��iw�Note�p�that��P���is�an�eigen��!v�ector�p�for�the�action�of��g��R�on��V��Ȯ�k�6���2��p͹with��
����iweigen��!v��dDalue��f1.���	��iw�Remarks:��,y�����jy��(a)����}�This�o�is�the�step�whic��!h�only�mak�es�sense�for�ev�en�w�eigh�t.�ˡW��ee����}�ha��!v�e��fnot�y��!et�found�a�replacemen�t�for�o�M�dd�w�eigh�t.�������i��(b)����}�It��is�still�necessary�to�pro��!v�e��the�existence�of�enough��g�d��'s.���This����}�w��!e�|dha�v�e�not�done.�_�In�practice�a�few�randomly�c�ho�M�osen��g�d��'s����}�seem��fto�do�the�job.��,x�����^�������iw�The��fmatrix�(�'���z�i��dڹ(�v���z�j��f
�))�is�in��!v�ertible.��,x�����Cb%5.����Q`�[Compute�@appro��tximate�p�Y�erio�ds.]�
8�The�ohform�of�eac��!h��v���z�i���B�insures����Q`that���w��!e�can�obtain�go�M�o�d���n�umerical�appro�ximations�to��h�v���z�i��d��;��1f�-��i�:��W��erite����Q`�v���z�i��"�=���P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�f�0�;�g�d��(0)�g��with��g�"��=�����!e�����wڍ��
��a�����b���$썍��c���$Rd�����W+��!e����!n�and��c�>��0.� �W��ee�ha��!v�e��h�v���z�i��d��;��1f�-��i��=�����Q`��ɖ�P���\���<��n��1��oF��a���z�n���P�c���z�n���,��fwhere������
�c���z�n�����=�
�2��d�i���1����Z����C,���e�g�I{�(0)�������0���K�e���z��2��I{inz��B��P���z�g�����(�z�{I;��1�1)�dz�:���ꍑQ`�T��eo��fcompute��c���z�n���P�,�let��y���z�0��ʫ�=�
�1�=c�,��x���z�1���=�
���d=c�,��x���z�2���=�
��a=c�.���Then��|%���M:�c���z�n�����=�
�2��d�i���1����Z����C,���e�x��q�2��*��+�iy��q�0���������x��q�1��*��+�iy��q�0����)��e���z��2��I{inz��B��P���z�g�����(�z�{I;��1�1)�dz�:�� �d����Q`�Pr��p�o�of.���s�R�Let�jA���=�
��x���z�1�����+����iy���z�0��*E�and������=��x���z�2�����+����iy���z�0����.���Observ��!e�that��g�d��(��
`�)�=����3�and����Q`(k��!ey��ffact)��P���z�g�����(�aX�J�+�n��bY���;��1cX��+��d���Y�n�)�
�=��P���z�g�����(�X�@<;��1Y��),��fso��R7������g��d���z���1����(�P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�f�x;�y�d��g�)�
�=��P���z�g���(�X�@<;��1Y�n�)�f�g��d���z���1����(�x�)�;�g��d���z���1���(�y�d��)�g����Q`�for��fan��!y��x��and��y�d��.���W��ee�th�us�ha�v�e�����`k0����o�=������h��P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)(�f�0�;�g�d��(0)�g�n�+��f�g��(0)�;��1g��(��
`�)�g��+��f�g��(��
`�)�;��1�0�g�)����������o�=������h��P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�f�0�;�g�d��(0)�g�n�+��P���z�g���(�X�@<;��1Y�n�)�f�0�;��
`�g�n�+��P���z�g���(�X�@<;��1Y�n�)�f�g�d��(��
`�)�;��0�g��������o䡹=������h��P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)(�f�0�;�g�d��(0)�g�n��f��
`;��1g��(���)�g�)����R7��Q`so��f�P���z�g�����(�X�@<;��1Y�n�)�f�0�;�g�d��(0)�g�
��=��P���z�g���(�X�@<;��1Y�n�)�f��
`;�g�d��(���)�g�.��c	�����}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff�����x��Q`The��ffollo��!wing�form�ula�is�useful�in�ev��dDaluating��c���z�n���P�.�� LH���l�H����Z����C,��w�|�1������rȞ�z��q�0�����y��e���z��2��I{inz��B��z��{I��z��m���
�dz���=�
��e���z��2��I{inz��q�0�����O��� a�m��
�����9�����X���
΍�mg�s�=0������f��-�}�8��	�獑-�}<���ύ�-�}:�����������8}m�(��1)�����s��n<�z���e��{I�m��s������0����8}m�㦉p 3ß
���g��(2��d�in�)����0�s�+1������o2O����O�����m��
����us�����Y���
����n��j�v�=(�m�+1)��s���2M�j���f���v�9��	�獑�v=���ύ��v;�����;��:�� LJ��Q`�Since��f�y���z�0��ʫ�>�
��0,�the��c���z�n�����!��0�quic��!kly��e.������C34�����4�ufv�������6fv���홊����Q`�Pr��p�o�of.���s�R�Rep�M�eated��fin��!tegration�b�y�parts.����}P�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff����������Cb%6.����Q`�[Solv��te�2�for�p�Y�erio�ds�2�of�dual�basis.]��ݹW��ee��fha��!v�e�a�matrix�equation��%�����������sI��0���ύ�sI�@�����aꍍ�`�'���z�1����(�v���z�1���)���������1�����Ąs�'���z�1����(�v��Ȯ�2�d��	��)���
����������1����������1������Ϗ���1��������|ތ�'��Ȯ�2�d��	��(�v���z�1����)���������1������T��'��Ȯ�2�d��	��(�v��Ȯ�2�d���)�������������1���ύ���A����������������n��0���ύ�n�@�����aꍍ�3��h�w���z�1����;��1f�-��i���
��������:��1:�:���������h�w��Ȯ�2�d��	��;��1f�-��i����������0��1���ύ�0�A����=���=��������
��0���ύ�
�@�����aꍍ��I�h�v���z�1����;��1f�-��i���
������i��:��1:�:��������u�h�v��Ȯ�2�d��	��;��1f�-��i����������.�.�1���ύ�.�.A����:b-�:��%����Q`�In��!v�erting��pw�e�obtain�n�umerical�appro�ximations�����z�i��t����h�w���z�i��d��;��1f�-��i�.���Compute��
����Q`the��qappro��!ximations��h�v���z�i��d��;��1f��-�����(�j�v�)��0>�i��for�eac�h�of�the�Galois�conjugates��f��-�����(�j�v�)�� ��of����Q`�f��"�in��forder�to�obtain�appro��!ximations��服�ńp����:u��
`�(�j�v�)��	
h��i������
�h�w���z�i��d��;��1f��-���z��(�j�v�)��0>�i�2��C�;������Q`�for��f1�
����i����2�d��and�1����j�����d�.���������Cb%7.����Q`�[Compute�2�p�Y�erio�d�map.]��ݹThe��fp�M�erio�d�map�is�appro��!ximated�as��(x^���d���Ȯ�f��w�(�v�d��)�
�����洎���0��E���B����@�����aꍍ��G����:u��
`�(1)���S�1������)'+���1�����AБ����:u��
`�(1)��	N��2�d�����
�����������1������)'+��1������D�i��1����������u����:u��
`�(�d�)���S�1������)'+���1�����A������:u��
`�(�d�)��	N��2�d�������洎��THu�1��E���THuC����THuA����`L/���������n��0���ύ�n�@�����aꍍ�3��'���z�1����(�v��)���
��������j��������'��Ȯ�2�d��	��(�v��)����������*���1���ύ�*��A�����,�a�����Cb%�8.����Q`�[Compute�Pp�Y�erio�d�lattice.]��9�The��z(appro��!ximate)�p�M�erio�d��zlattice���Ȯ�f��X��has����Q`as��fbasis�the�columns�of�the�follo��!wing�pro�M�duct:��'ܣ����洎���ic�0��E����icB�����[email protected]�����aꍍ������:u��
`�(1)���S�1������Ņ����1������/M����:u��
`�(1)��	N��2�d�����
��������B���1������Ņ���1�������%��1�����������1����:u��
`�(�d�)���S�1������Ņ����1������{����:u��
`�(�d�)��	N��2�d�������洎���1�1��E����1C�����1A����������������n��0���ύ�n�@�����aꍍ�j7�j�����^��1�����>Cj���
�������z���z�1������^���1�����8t��z��Ȯ�2�d�������j7�j�����^��1�����>Cj����������F�>�1���ύ�F�>A�����-O���6�<��N�cmbx12�2.1��T�Sp�`ecial��V���alues������6�Let��.�������L�(�f��;��1s�)�
�=������Z����C,��
���1������	��0�����f�-��(�z�{I�)�z����z��s��1����dz���=����
������X�������a���z�n���P�n���z���s����M��6�b�M�e�n�the�Mellin�transform�of��f�-��.�vW��ee�can�appro��!ximate�the�sp�ecial�v��dDalue��L�(�A��Ȯ�f��w�;��1�1)�
�=�����6��ɖ�Q���@Wy�<��i��E���L�(�f��-�����(�i�)��/�;��1�1)��fb��!y�observ�ering�that���=��|{��Ȯ�f��w�(�Y��n��z��k�6���2��n��f�0�;��1�1g�)�
�=�(�L�(�f��-���z��(1)���8�;��1)�;��:�:�:��?�;�L�(�f��-���z��(�d�)�����;��1))�:������C3�5�����Ӡufv�������6fv���홊���6�2.2��T�The��Real�P��erio�`d������6�The�complex�torus��A��Ȯ�f��
� �=�b�C�����d��ߨ�=���Ȯ�f��
�#�is�of�in��!terest.�	�When��k��@�=�2�it�has�the��
����6structure��kof�ab�M�elian�v��dDariet��!y�with�a�go�o�d�in��!tegral�mo�del,�8�it�is�naturally�a����6quotien��!t��fof��Jac���g(�X��������).����GAssume��)for�the�rest�of�this�section�that�the�F��eourier�co�M�ecien��!ts�of��f���are����6totally���real.��SThen�the�lattice���Ȯ�f��
!��is�in��!v��dDarian�t���under�complex�conjugation.����6Th��!us�Aw�e�ma�y�consider�the�real�p�M�oin�ts��A��Ȯ�f��w�(�R�)�Q=�(�C�����d��ߨ�=���Ȯ�f���)�����+��]x�of�Athe�complex����6torus����A��Ȯ�f��w�.�'Let�
��Ȯ�f���t�:=��3UV��eol��f(�A��Ȯ�f���(�R�))�denote�the�v��!olume�of�the�iden�tit�y�comp�M�o-����6nen��!t��kof��A��Ȯ�f��w�(�R�)�with�resp�M�ect�to�the�measure�on��A��Ȯ�f��	-��induced�b�y�the�standard����6Leb�M�esgue��fmeasure�on��C�����d��ߨ�.���Then���������
��Ȯ�f���ƹ=��
�V��eol��۸(�R���z��d��ߨ�=����e��+��$��f���x�)�n����c���z�1�����6�where��
�������c���z�1��
��=�
�#(�A��Ȯ�f��w�(�R�)�=��dDA��Ȯ�f���(�R�)���z��0����)�����6is��fthe�n��!um�b�M�er��fof�connected�comp�onen��!ts�of��A��Ȯ�f��w�(�R�).���������Cb%1.����Q`�[Compute��wconjugation�on��Z�춹=�$5�Z�z���z�1����+��E����1���RG�+�E��Z�z��Ȯ�2�d��	��]���The�action�of����Q`complex��.conjugation�on���Ȯ�f��
/M�can�b�M�e�computed�as�follo��!ws.�5Note�that����Q`conjugation�Bzcomm��!utes�with�the�p�M�erio�d�Bzmap���Ȯ�f��w�.�	�If��z���z�i���T�lifts�to��x��q�2����Q`S��Ȯ�k��#��(�;��1�Z�),��fthen�������z���z���{I���:j��i���E�=�
�(�'���z�1����(�x���z�����)�;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d��	��(�x���z�����))�:����Q`�Compute�W`the�matrix��C��represen��!ting�conjugation�with�resp�M�ect�to�the����Q`basis��f�z���z�1����;���1:�:�:��?�;��1z��Ȯ�2�d��	��.���Compute�a��Z�-basis��b���z�1���;���1:�:�:��?�;��1b��Ȯ�d����for��Z��ȁ����+��
=��
�Ker����(�C�7m��n��I����).���������Cb%2.����Q`�[Compute��2��V��eol���(�A��Ȯ�f��w�(�R�)�����0����)�
�=��V��eol��۸(�R�����d��ߨ�=����e��+��$��f���x�)�]��*�����j�r�V��eol��zƃ(�R���z��d��ߨ�=����e��+��$��f���x�)�
������det������Do��/�8��	�獑/>��H���/<���ύ�/>����/:�����洎����0��E�����B������@�����aꍍ�'s�����:u��
`�(1)���S�1������C�p���1�����\������:u��
`�(1)��	N��2�d�����
������)Z����1������C�p��1������_e���1���������'c�����:u��
`�(�d�)���S�1������C�p���1�����\�����:u��
`�(�d�)��	N��2�d�������洎��o��1��E���o�C����o�A����{t���������n��0���ύ�n�@�����aꍍ�7��j����v���1�����;T`j���
�������b���z�1�����v����1�����8\�b��Ȯ�d�������7��j����v���1�����;T`j����������A��1���ύ�A�A������Do��K7�9��	�獑K7�>��H���K7�=���ύ�K7�>����K7�;�����'ܥ��Q`�Order��fthe��b���z�i��@�so�that��det���d�>�
��0.�������Cb%3.����Q`�[Compute�.s�c���z�1��	�]��9�Let����4�p �����C���$t�b�M�e�the�the�map�induced�b��!y�complex�conjugation��
����Q`on��f��Ȯ�f��w�=�2��Ȯ�f���ƹ=�
���Ȯ�f����
�n��F���z�2����.���Then�� ����i�c���z�1��
��=�
�2����z��dim��*���z�(�k�Îer��W'(���t�\)������C�������1))��d��C��:������C3�6�������ufv�������6fv���홊����Q`�Pr��p�o�of.���s�R�W��ee��fm��!ust�compute�the�order�of�the�comp�M�onen�t�group��'�����	�
�=�����cݍ����A��Ȯ�f��w�(�R�)��=ڟg�p $c��
���A��Ȯ�f��w�(�R�)����0�0������,�C�=�����cݍ�=�(�C�����d��ߨ�=���Ȯ�f��w�)�����+���=ڟg�p 0#��
�������R����0�d��ߨ�=����e��+��$��f�������5�
�:���)��Q`�F��eor����v��f�2���C�����d�����denote�b��!y�������p �Z�N��v���
(�its�complex�conjugate�and�b�y�[�v�d��]�its�image�in��
����Q`�C�����d��ߨ�=���Ȯ�f��w�.���If��f[�v�d��]�
��2��(�C�����d���=���Ȯ�f��w�)�����+��
�޹then��f[�v�d��]�=�[������p �Z�N��v����Z�]�so�since��v���+��n�����p �Z�N��v���,��2��R�����d����w��!e�ha�v�e��|�����2[�v�d��]�
�=�[�v��]�n�+�[������p �Z�N��v����Z�]�
��2��R���z��d��ߨ�=����e��+��$��f���x�;���J��Q`�so��	�is�annihilated�b��!y�2.��&Th�us�there�is�����2����Ȯ�f��	{�so��that�2�v�r�+�������2��R�����d��ߨ�,����Q`and��so��v�=�+������K���ݽ1���ݟ���p @�Kd�2�����	V�����2��R�����d��ߨ�,��i.e.,��v�l�can��b�M�e�written�as�something�in������K��:��1��:�����p @�Kd�2�����
����Ȯ�f��	~��plus����Q`something���in��R�����d��ߨ�.�)�This�means�that�	�is�generated�b��!y�the�image�of����Q`(������K��33�1��33����p @�Kd�2������j���Ȯ�f��w�=���Ȯ�f���)�����+��x�.���Th��!us��,|�����	���������
������l���
��=������������O>(������K��33�1��33����p @�Kd�2������j���Ȯ�f��w�=���Ȯ�f���)�����+����ǟ�(�p J�D�
�荹(������K��33�1��33����p @�Kd�2������j���Ȯ�f����\�n��R����0�d��ߨ�)�=����e��+��$��f���������������^�������l���^��=���������cݍ�k�(��Ȯ�f��w�=�2��Ȯ�f���)�����+���k��g�p 4���
����+����e��+��$��f���x�=�2���e��+��$��f��������}a��Q`�Consequen��!tly�����[:Bdim���mzD����F��q�2���z��	�
�=��dim��J�(��Ȯ�f��w�=�2��Ȯ�f���)���z��+��	�d���n�dim������e��+��$��f���x�=�2���e��+��$��f���
'�=��
�dim��(�k��!er���d(���4�p �����C���
���n�1))����d:�������}�d,ff���:�ff���Ɖff����d,ff���������6�2.3��T�The��Ratio����g�cmmi12�L�(�A�����f��w�;����1)�=�
�����f�������6�I��fconjecture�that�the�follo��!wing�is�true:����GLet�R:�F��V�(�x�)�)=�(�'���z�1����(�x�)�;���1:�:�:��?�;��1'��Ȯ�2�d��	��(�x�))�:��Let��C���b�M�e�the�map�on�the�image�of��F����6�induced��fb��!y�the����in�v�olution�on��S��Ȯ�k��#��(�;��1�Z�)�and����4�p �����C����ιits�mo�M�d�2�reduction.���Then��ލ����V��jL�����jL�����jL�����jL��������cݍ�o&��L�(�A��Ȯ�f��w�;��1�1)��o&��g�p '���
���
N�
��Ȯ�f��������V���V������V������V������V������ȹ=�
�[�F��V�(�S��Ȯ�k��#��(�;��1�Z�))���z��+��
'�:��F��(�T�e�)]�n����2����z��dim��*���z�(�k�Îer��W'(���t�\)������C�������1))��d���򐍑6�where��H[�A�}t�:��B����]�is�the�absolute�v��dDalue�of�the�determinan��!t�of�a�c�hange�of�basis����6matrix��fsending��A��to��B����.��!�t���6�3��NL�Examples���񍍑64��NL�T���fables����6References��q�����6�[CR]���{�J.E.�MCremona,����A��\lgorithms�o�for�mo��p�dular�el��Fliptic�curves,���2nd��
����{�e��p�dition�,��fCam��!bridge�Univ�ersit�y�Press,�(1997).������C37�����I���;�ufv��<��N�cmbx12�9�%n�
�3
eufm10�8�':
�3
cmti10�42�@�cmbx8�3�"V
�3
cmbx10�2��u
�3
cmex10�1!",�
�3
cmsy10�0�b>
�3
cmmi10�/��N�ffcmbx12�#�"V

cmbx10�q�%cmsy6��K�cmsy8�;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8�X�Qcmr12�D��tG�G�cmr17�K�`y
�3
cmr10�
!",�

cmsy10�
�b>

cmmi10�	0e�rcmmi7�K�`y

cmr10���<�

	lcircle10��O�

line10��e�������