Sharedwww / people / halberstadt / halb.texOpen in CoCalc
Author: William A. Stein
1
%% mark lines that I have commented out
2
%% or my own notes, e.g., I have replaced his \=E9 with \'{e},
3
%% his \`{e} with \'{e}, his \=E0 with \`{a}, his \=F4 with \^{o},
4
%% F9 with \`{u}, and his \=EA with \^{e}
5
6
%%\input a4
7
\documentstyle{article}
8
%
9
%%\textheight=3D21cm
10
%%\footskip=3D3cm
11
%%\oddsidemargin=3D0cm
12
%%\evensidemargin=3D1cm
13
%
14
%%\font\curv=3Drsfs10 at10pt
15
\font\curv=cmb10 at10pt
16
%%\font\gotb=3Deufb10 at10pt
17
\font\gotb=eufb10 at10pt
18
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19
\font\goth=eufm10 at10pt
20
%%\font\pti=3Dcmr7
21
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22
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23
\font\sev=cmr9
24
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25
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26
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27
\font\pgti=cmbx6
28
%%\font\moti=3Dcmbx8
29
\font\moti=cmbx8
30
%
31
\newtheorem{theo}{\bf \large Th\'{e}or\`{e}me}
32
\newtheorem{prop}{\bf \large Proposition}
33
\newtheorem{lem}{\bf \large Lemme}
34
\newtheorem{coro}{\bf \large Corollaire}
35
%
36
\def\demo{\ti D\'{e}monstration\rm . }
37
\def\hfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #1mm{\rightarrowfill}}
38
\limits^{\scriptstyle#2}_{\scriptstyle#3}}}
39
%
40
%\def\`{a}{\`a}
41
%\def\=E2{\^{a}}
42
%\def\'{e}{\'e}
43
%\def\=E7{\c{c}}
44
%\def\`{e}{\`e}
45
%\def\^{e}{\^{e}}
46
\def\=EE{\^{i}}
47
%\def\^{o}{\^{o}}
48
%\def\=FB{\^{u}}
49
%\def\`{u}{\`{u}}
50
%\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$}}
51
%\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
52
%
53
\def\pb{\raisebox{2pt}{\mbox{\bf{.}}}}
54
\def\C{{\bf C}}
55
\def\F{{\curv F}$\!_p$}
56
\def\Fp{{{\bf F}$\!_p$}}
57
\def\F11{{{\bf F}$\!_{11}$}}
58
\def\Fo{{{\bf F}$\!_{11}^{\:*}$}}
59
\def\Fm{{\Fp $^{\!*}$}}
60
\def\H{{\gotb H}}
61
\def\Hb{{\gotb H}{\boldmath{$^*$}}}
62
\def\P{{\bf P}$^1$({\Q})}
63
\def\Q{{\bf Q}}
64
\def\C{{\bf C}}
65
\def\R{{\bf R}}
66
\def\Z{{\bf Z}}
67
\def\cf{{cf. }}
68
\def\loc{{\sl loc. cit.}}
69
\def\qb{\bar{\hbox{\Q}}}
70
\def\kb{\bar{K}}
71
\def\deb{$\!\!\!.\:-$ \sl}
72
\def\gal{{\rm Gal$\,(\qb/\Q)$}}
73
\def\GL{{GL$_2$(\Fp)}}
74
\def\G11{{GL$_2$(\F11)}}
75
\def\SL{{SL$_2$(\Fp)}}
76
\def\So{{SL$_2$(\F11)}}
77
\def\Ep{{$E_p({\qb})$}}
78
\def\E'p{{$E'_p({\qb})$}}
79
\def\Eo{{$E_{11}({\qb})$}}
80
\def\Xd#1{$X_{\rm d\acute{e}p}(#1)$}
81
\def\Xnd#1{$X_{\rm nd\acute{e}p}(#1)$}
82
\def\mod#1{\ ({\rm mod\ }#1)}
83
\def\vect#1#2{\left(\!\!\begin{array}{c}#1
84
\\ #2\end{array}\!\!\right)}
85
\def\pind#1{\raisebox{-.4ex}{\pti #1}}
86
\def\qp{\Q$_p$}
87
%
88
%
89
\title{\Large \bf Signes locaux des courbes elliptiques en 2 et 3}
90
\author{Emmanuel HALBERSTADT}
91
%%\date{F\'{e}vrier 1998}
92
\date{Fevrier 1998}
93
\begin{document}
94
\maketitle
95
%
96
%
97
\begin{center} {\bf R\'{e}sum\'{e}}
98
\end{center}
99
\medskip
100
%%\leftskip=3D2cm
101
\leftskip=2cm
102
%%\rightskip=3D2cm
103
\rightskip=2cm
104
\scriptsize Soit $p$ un nombre premier. A toute courbe elliptique $E$ sur
105
\qp\ correspond un signe
106
local $W_p(E)$, d\'{e}fini \`{a} partir des facteurs epsilon locaux de Deligne=
107
.
108
Ce signe est d\'{e}j\`{a}
109
connu si $p > 3$, et aussi dans certains cas lorsque
110
%%$p =3D 2$ ou $3$.
111
$p = 2$ ou $3$.
112
Dans cette Note,
113
nous donnons la valeur de $W_2$ ou $W_3$ dans tous les cas. Pour $W_3$, nos
114
r\'{e}sultats ne sont certains que si l'on admet qu'un certain nombre (fini)
115
de courbes
116
elliptiques (sur {\Q}) auxiliaires sont des courbes de Weil.\\
117
%
118
%
119
\normalsize
120
%%\leftskip=3D0cm
121
\leftskip=0cm
122
%%\rightskip=3D0cm
123
\rightskip=0cm
124
%
125
%
126
\begin{center}{\bf Abstract}
127
\end{center}
128
\medskip
129
%%\leftskip=3D2cm
130
\leftskip=2cm
131
%%\rightskip=3D2cm
132
\rightskip=2cm
133
134
%% getting tired of removing these 3D's, so I replaced from here on
135
%% =3D with =
136
137
\scriptsize Let $p$ be a prime number. Associated to every elliptic curve
138
$E$ over \qp\ there is
139
a local root number $W_p(E) = \pm 1$, constructed from the local epsilon
140
factors of Deligne. This
141
sign is allready known when $p > 3$, and also, in certain cases, when $p =
142
2$ or $3$. In this Note,
143
we give the value of $W_2$ or $W_3$ in all cases. Concerning $W_3$, for our
144
results to be valid, we
145
have to suppose that a certain (finite) number of auxiliary elliptic curves
146
over {\Q} are Weil
147
curves.\bigskip\\
148
\par
149
%
150
%
151
\normalsize
152
\leftskip=0cm
153
\rightskip=0cm
154
%
155
%
156
%\section*{Introduction}
157
%
158
%
159
Soient $E$ une courbe elliptique sur {\Q} et $L$ sa fonction de Hasse-Weil;
160
on \'{e}crit comme
161
d'habitude
162
$$L(s)\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,n^{-s}\ \ \ \ {\rm et}\ \ \ \ f(z)\ =
163
=\
164
\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,e^{2\pi inz}\,.$$
165
Supposons que $E$ soit une courbe de Weil, de conducteur $N$. Dans ce cas,
166
$f$ est une newform
167
de poids 2 pour $\Gamma_0(N)\;$ ([1], th. A et son corollaire), vecteur
168
propre des op\'{e}rateurs de
169
Hecke. La fonction $L$ se prolonge analytiquement \`{a} {\C}, et v\'{e}rifie u=
170
ne
171
\'{e}quation
172
fonctionnelle
173
$$\Lambda(2 - s)\ =\ \varepsilon\,\Lambda(s)\ \ \ \ ,\ {\rm avec}\ \ \ \
174
\Lambda(s)\ =\
175
N^{s/2}(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(s)\ \ \ \ {\rm et}\ \ \ \ \varepsilon\ =\ \pm
176
1\,.$$
177
On sait que $\varepsilon$ est un produit de signes locaux, presque tous
178
\'{e}gaux \`{a} 1:
179
\begin{equation}
180
\varepsilon\ =\ W_{\infty}(E)\,\prod_{p\;{\rm premier}}\,W_p(E)
181
\end{equation}
182
Ces signes locaux, d\'{e}finis en fait pour toute courbe elliptique sur le=
183
compl\'{e}t\'{e} de {\Q}
184
correspondant (voir plus loin), sont connus dans certains cas (\cf [2] et [8=
185
]):
186
\begin{itemize}
187
\item[1) ]Pour toute courbe elliptique $E$ sur {\R}, on a $\;W_{\infty}(E)
188
= - 1$; dans les cas
189
suivants, $E$ sera donc une courbe elliptique sur l'un des {\qp}. On notera
190
$v$ la valuation
191
normalis\'{e}e de {\qp} et $c_4, c_6, \Delta, j$ les invariants standard (d'u=
192
n
193
mod\`{e}le de
194
Weierstrass entier minimal) de $E$.
195
\item[2) ]Cas semi-stable: si $E$ a bonne r\'{e}duction, $W_p(E) = 1$; si =
196
$E$
197
a mauvaise r\'{e}duction de
198
type multiplicatif, $W_p(E)$ vaut 1 dans le cas non d\'{e}ploy\'{e} et $-1$ da=
199
ns
200
le cas d\'{e}ploy\'{e}.
201
\item[3) ]On suppose que $E$ a mauvaise r\'{e}duction de
202
type additif et que $j$ n'est pas entier. Si $p > 2$, on a $\;W_p(E) =
203
\left({-1}\over{p}\right)$; si $p = 2$, on a $\;W_2(E) = -
204
\left({-1}\over{b}\right)$, en posant $b
205
= c_6\,2^{-v(c_6)}.$
206
\item[4) ]On suppose que $E$ a mauvaise r\'{e}duction de
207
type additif, que $j$ est entier et $p > 3$. Soit {$e = 12/{\rm
208
pgcd}(12, v(\Delta))$}. Alors $\;W_p(E) = \left({-t}\over{p}\right)\,$, en
209
posant $t = 1$
210
si $e = 2$ ou 6, $t = 2$ si $e = 4$ et $t = 3$ si $e = 3$.
211
\item[5) ]Si $p = 2$ ou $3$, $W_p(E)$ a \'{e}t\'{e} d\'{e}termin\'{e} en [8] =
212
(et
213
explicit\'{e} en [2]) dans le
214
cas "ab\'{e}lien": $E$ a mauvaise r\'{e}duction de type additif mais acquiert
215
bonne r\'{e}duction dans une
216
extension ab\'{e}lienne (finie) de \qp.
217
\end{itemize}
218
Nous compl\'{e}tons ici ces r\'{e}sultats, en donnant la valeur de $W_p(E)$ da=
219
ns
220
les cas restants: $p = 2$
221
ou 3,
222
$E$ a mauvaise r\'{e}duction de type additif et $j$ est entier (tableaux 1 et
223
2). Pour une courbe de
224
Weil $E$, ceci permet le calcul de $\varepsilon$, produit des divers signes
225
locaux, \`{a} partir d'une
226
\'{e}quation de Weierstrass minimale de $E$.
227
\par
228
Venons-en \`{a} la d\'{e}finition des signes locaux. Soit $E$ une courbe
229
elliptique sur {\qp}. Notons
230
{\curv W}\ \,le groupe de Weil de {\qp}: $\overline{\Q}_p$ \'{e}tant une
231
cl\^{o}ture alg\'{e}brique de
232
\Q$_p$, on peut identifier {\curv W} au sous-groupe de
233
{Gal$(\overline{\Q}_p/{\Q}_p)$} form\'{e} des
234
\'{e}l\'{e}ments induisant sur le corps r\'{e}siduel de $\overline{\Q}_p$ une
235
puissance enti\`{e}re du
236
=46rob\'{e}nius. La topologie de {\curv W} est celle pour laquelle le groupe
237
d'inertie $I$, muni de sa
238
topologie naturelle, est ouvert dans {\curv W}. Soit $\ell$ un nombre
239
premier distinct de 2 et $p$.
240
La repr\'{e}sentation naturelle de {\curv W} dans le module de Tate
241
$T_{\ell}(E)$ induit, via un
242
plongement de {\Z}$_{\ell}$ dans {\C}, une repr\'{e}sentation de {\curv W}
243
\`{a} valeurs dans
244
{GL$_2({\C})$}, dont la contragr\'{e}diente sera not\'{e}e $\sigma$. Supposons
245
d'abord que l'invariant
246
modulaire $j$ de $E$ soit \underline{entier}: $E$ a potentiellement bonne
247
r\'{e}duction. Alors $\sigma$
248
est continue (ceci se d\'{e}duit du crit\`{e}re de N\'{e}ron-Ogg-Shafarevitch) =
249
et
250
semi-simple ([8], prop. 2).
251
Soient $\psi: {\Q}_p \longmapsto {\C}^*$ un caract\`{e}re (continu) non
252
trivial de {\Q}$_p$ et $dx$
253
une mesure de Haar sur \qp. On pose:
254
\begin{equation}
255
W_p(E)\ =\ {{\varepsilon(\sigma, \psi, dx)}\over{|\varepsilon(\sigma, \psi=
256
,
257
dx)|}}\,,
258
\end{equation}
259
o\`{u} $\varepsilon(\sigma, \psi, dx) \in {\C}^*$ est la constante locale
260
d\'{e}finie par Deligne ([4], th.
261
4.1). La condition (2) de [4], th. 4.1 montre que $W_p(E)$ ne d\'{e}pend pas
262
du choix de
263
$dx$; la formule 5.4 de \loc\ montre que $W_p(E)$ ne d\'{e}pend pas du choix
264
de $\psi$, parce que
265
$\det \sigma$ est \`{a} valeurs r\'{e}elles positives. Enfin, d'apr\`{e}s [10],
266
corollaire p. 499, $W_p(E)$
267
ne d\'{e}pend pas du choix de $\ell$ et de plus c'est un nombre r\'{e}el, il v=
268
aut
269
donc $\pm 1$.
270
\par
271
Cette d\'{e}finition de $W_p(E)$ dans le cas o\`{u} $E$ a potentiellement bonn=
272
e
273
r\'{e}duction est la
274
seule dont nous ayons besoin ici. Lorsque l'invariant $j$ de $E$ n'est pas
275
entier, le groupe de
276
Weil doit \^{e}tre remplac\'{e} par le groupe de Weil-Deligne (\cf [4] \S 8 ou
277
[11] \S 4) et $\sigma$
278
modifi\'{e}e en cons\'{e}quence (\cf [8] \S 3). Pour le cas r\'{e}el, voir [8],=
279
prop. 1.
280
\par
281
La formule (1) est classique, il ne semble cependant pas facile d'en donner
282
une r\'{e}f\'{e}rence
283
pr\'{e}cise. Disons que sa d\'{e}monstration utilise les r\'{e}sultats=20de=
284
Carayol d\'{e}j\`{a} cit\'{e}s et, en amont,
285
les liens connus entre formes modulaires de poids 2 pour $\Gamma_0(N)$,
286
repr\'{e}sentations de
287
GL$(2)$ et repr\'{e}sentations $\ell$-adiques (notamment le fait que la
288
correspondance
289
locale de Langlands, \'{e}tablie en g\'{e}n\'{e}ral pour $GL(2)$ par Kutzko [6]
290
respecte les facteurs
291
$\varepsilon$). Le lecteur pourra consulter [9] et aussi [5], pour une
292
synth\`{e}se r\'{e}cente.
293
\par
294
\bigskip
295
Nous ne pouvons d\'{e}tailler ici les calculs ayant conduit aux tableaux
296
ci-apr\`{e}s. Disons seulement
297
que nous avons utilis\'{e} une m\'{e}thode indirecte (la m\'{e}thode directe,
298
{\em c.f.}
299
[8] dans les cas ab\'{e}liens,
300
m\`{e}ne \`{a} des calculs tr\`{e}s longs). Soit par exemple
301
$E$ une courbe elliptique sur
302
\Q$_2$, on suppose que $E$ a mauvaise r\'{e}duction de type additif et que
303
l'invariant modulaire $j$ de
304
$E$ est entier. On choisit une courbe elliptique $E'$ sur {\Q}, assez
305
proche 2-adiquement de $E$
306
pour que $W_2(E') = W_2(E)$. On impose \`{a} $E'$ d'\^{e}tre de Weil; c'est =
307
le
308
cas si $E'$ a bonne
309
r\'{e}duction en 3 (r\'{e}sultats non publi\'{e}s de B. Conrad, F. Diamond, R.
310
Taylor). On s'arrange aussi
311
pour qu'un calcul de fonction $L$ en 1 donne le signe de l'\'{e}quation
312
fonctionnelle pour $E'$. La
313
formule (1) permet alors de calculer $W_2(E') = W_2(E)$. La m\'{e}thode est=
314
la
315
m\^{e}me lorsque $p = 3$,
316
avec une nuance importante: dans l'\'{e}tat actuel, on ne peut plus imposer
317
aux courbes $E'$ d'\^{e}tre de
318
Weil. Nos r\'{e}sultats concernant $W_3$ ne sont donc valides que si l'on
319
admet qu'un certain nombre
320
fini de courbes elliptiques sur {\Q}, de conducteur multiple de 27, sont de
321
Weil. Si tel est le cas,
322
le tableau 1 donnera $W_3(E)$, ceci pour {\it toute} courbe elliptique $E$
323
sur {\Q}$_3$. Indiquons
324
que, pour les 17583 courbes elliptiques modulaires de conducteur $\leq
325
5077$, dont la liste (\`{a}
326
isog\'{e}nie pr\`{e}s) a
327
\'{e}t\'{e} \'{e}tablie par Cremona (jusqu'au conducteur 1000, ces tables se
328
trouvent dans [3], ensuite elles
329
sont disponibles sur serveur ftp), les valeurs de $W_2$ et
330
$W_3$ que nous donnons ici conduisent \`{a} un signe
331
$\varepsilon$ en accord avec celui de \loc. A ce propos, signalons que G.
332
Henniart et J.F. Mestre ont effectu\'{e} ce
333
calcul de $W_2$ et
334
$W_3$, par une m\'{e}thode semble-t-il voisine de la n\^{o}tre, il y a plusieu=
335
rs
336
ann\'{e}es; leurs
337
r\'{e}sultats n'ont pas \'{e}t\'{e} publi\'{e}s (l'absence des tables de Cremona
338
rendait sans doute alors les
339
v\'{e}rifications syst\'{e}matiques n\'{e}cessaires moins commodes...).
340
\par
341
\bigskip
342
Voici enfin quelques explications concernant la lecture des tableaux 1 et
343
2. Lorsque $p = 2$ ou $3$,
344
ces tableaux donnent $W_p = W_p(E)$, ceci pour toute courbe elliptique $E$
345
sur {\Q}$_p$ non
346
semi-stable; on a inclus les r\'{e}sultats de [8] et [2] (cas signal\'{e}s par=
347
un
348
$\bullet$). On suppose
349
$E$ donn\'{e}e par un mod\`{e}le \underline{minimal}. On note $v$ la valuation
350
normalis\'{e}e usuelle sur {\Q}$_p$. Pour tout $x$ appartenant \`{a} {\Q}$_p$ =
351
et
352
tout entier $k$, on pose
353
$x_k = x/p^k$; si $x \neq 0$ et $k = v(x)$, $x_k$ est not\'{e} $x'$. Les =
354
cas
355
possibles sont class\'{e}s en fonction du symbole de Kodaira (colonne Kod.);
356
lorsque le triplet
357
$(v(c_4),v(c_6),v(\Delta))$ ne suffit pas pour d\'{e}terminer ce symbole, une
358
condition
359
suppl\'{e}mentaire (colonne condition sp\'{e}ciale) permet d'assurer que le
360
symbole de Kodaira est celui
361
qui est indiqu\'{e} (\cf [7] pour ces conditions). Dans la colonne $W_p$,
362
lorsque le signe $W_p$ n'est
363
pas constant dans le cas consid\'{e}r\'{e}, on indique \underline{une conditio=
364
n
365
n\'{e}cessaire et suffisante
366
pour qu'il soit \'{e}gal \`{a} 1}.
367
%
368
%
369
\par
370
\bigskip\medskip
371
\begin{center}
372
Tableau 1: signe local $W_3$\\
373
\renewcommand\arraystretch{1.3}
374
\end{center}
375
{\nobreak
376
\begin{center}
377
{$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
378
\hline Kod. & v(c_4) & v(c_6) & v(\Delta) & {\rm condition\;sp\acute{e}ciale=
379
} &
380
v(N) & W_3\\ \hline\hline
381
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & \geq 2 & 3 & 3 & {c'_{6}}^2 + 2
382
\equiv {\hskip -3.2mm
383
/}\;\,3c_{4,2} \mod{9}& 3 & c'_6 \equiv 4, 7, 8 \mod{9}\\ \hline
384
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 2 & 4 & 3 & & 3 & c'_4 \equiv
385
{\hskip -3.2mm
386
/}\;\,c'_6 \mod{3}\\ \hline
387
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 2 & 3 & 4 & & 4 & 1\\ \hline
388
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & \geq 3 & 4 & 5 & & 5 & c'_6 \equiv=
389
2 \mod{3}\\ \hline
390
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & \geq 2 & 3 & 3 & {c'_{6}}^2 + 2
391
\equiv 3c_{4,2} \mod{9} & 2
392
& 1\\ \hline
393
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 2 & \geq 5 & 3 & & 2 & 1\\ \hline
394
\uppercase\expandafter{\romannumeral4} & 2 & 3 & 5 & & 3 & \Delta' \equiv
395
c'_6 \mod{3}\\ \hline
396
\uppercase\expandafter{\romannumeral4} & 3 & 5 & 6 & & 4 & c'_4 \equiv 2
397
\mod{3}\\ \hline
398
\uppercase\expandafter{\romannumeral4} & \geq 4 & 5 & 7 & & 5 & c'_6 \equiv
399
2 \mod{3}\\ \hline
400
\uppercase\expandafter{\romannumeral4^{*}} & 4 & 6 & 9 & {c'_{6}}^2 + 2
401
\equiv {\hskip -3.2mm
402
/}\;\,3c_{4,4} \mod{9} & 3 & c'_6 \equiv 4, 8 \mod{9}\\ \hline
403
\uppercase\expandafter{\romannumeral4^{*}} & \geq 5 & 6 & 9 & {c'_{6}}^2 +
404
2 \equiv {\hskip -3.2mm
405
/}\;\,3c_{4,4} \mod{9} & 3 & c'_6 \equiv 1, 2 \mod{9}\\ \hline
406
\uppercase\expandafter{\romannumeral4^{*}} & 4 & 7 & 9 & & 3 & c'_6 \equiv
407
2 \mod{3}\\ \hline
408
\uppercase\expandafter{\romannumeral4^{*}} & 4 & 6 & 10 & & 4 & c'_6 \equiv
409
\pm 2 \mod{9}\\ \hline
410
\uppercase\expandafter{\romannumeral4^{*}} & \geq 5 & 7 & 11 & & 5 & c'_6
411
\equiv 1 \mod{3}\\ \hline
412
\uppercase\expandafter{\romannumeral3^{*}} & \geq 4 & 6 & 9 & {c'_{6}}^2 +
413
2 \equiv 3c_{4,4} \mod{9}
414
& 2 & 1\\ \hline
415
\uppercase\expandafter{\romannumeral3^{*}} & 4 & \geq 8 & 9 & & 2 & 1\\
416
\hline
417
\uppercase\expandafter{\romannumeral2^{*}} & 4 & 6 & 11 & & 3 & c'_6 \equiv
418
1 \mod{3}\\ \hline
419
\uppercase\expandafter{\romannumeral2^{*}} & 5 & 8 & 12 & & 4 & 1\\ \hline
420
\uppercase\expandafter{\romannumeral2^{*}} & \geq 6 & 8 & 13 & & 5 & c'_6
421
\equiv 1 \mod{3}\\ \hline
422
\bullet\ \uppercase\expandafter{\romannumeral1_0^{*}} & 2 & 3 & 6 & & 2 & -
423
1\\ \hline
424
\bullet\ \uppercase\expandafter{\romannumeral1_0^{*}} & 3 & \geq 6 & 6 & &
425
2 & - 1\\ \hline
426
\end{array}$$}
427
\end{center}}
428
%
429
%
430
\pagebreak
431
%
432
%
433
\voffset=-.1in
434
\begin{center}
435
Tableau 2: signe local $W_2$\\
436
\end{center}
437
\renewcommand\arraystretch{1.3}
438
\begin{center}
439
{$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
440
\hline Kod. & v(c_4) & v(c_6) & v(\Delta) & {\rm condition\;sp\acute{e}ciale=
441
} &
442
v(N) & W_2\\ \hline\hline
443
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 4 & 5 & 4 & c'_4 \equiv c'_6
444
\mod{4} & 4 & c'_4
445
\equiv 1
446
\mod{4}\\
447
\hline
448
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & \geq 5 & 5 & 4 & c'_6 \equiv 3
449
\mod{4} & 4 & v(c_4)
450
= 5\\
451
\hline
452
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 4 & \geq 7 & 6 & & 6 & v(c_6) =
453
7\\ \hline
454
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 4 & 6 & 7 & & 7 & c'_6 \equiv
455
5\;{\rm ou}\;5c'_4
456
\mod{8}\\ \hline
457
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} & 5 & 6 & 6 & & 6 & c'_4 \equiv 3
458
\mod{4}\\ \hline
459
\bullet\ \uppercase\expandafter{\romannumeral2} & \geq 6 & 6 & 6 & & 6 &
460
c'_6 \equiv 1 \mod{4}\\
461
\hline
462
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 4 & 5 & 4 & c'_4 \equiv 1 \equiv
463
-c'_6 \mod{4}& 3 &
464
c'_4c'_6
465
\equiv 3
466
\mod{8}\\
467
\hline
468
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 5 & 5 & 4 & c'_6 \equiv 1 \mod{4}&=
469
3 &
470
c'_6
471
\equiv 5
472
\mod{8}\\
473
\hline
474
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 4 & \geq 7 & 6 & c'_4 \equiv 3
475
\mod{4}& 5
476
& c'_4 - 4c_{6,7} \equiv 7, 11
477
\mod{16}\\
478
\hline
479
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 5 & 7 & 8 & & 7
480
& c'_6 \equiv 3\;{\rm ou}\;2c'_4 + c'_6 \equiv 7 \mod{8}\\
481
\hline
482
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 5 & 8 & 9 & & 8
483
& 2c'_6 + c'_4 \equiv \pm 1
484
\mod{8}\\
485
\hline
486
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} & 5 & \geq 9 & 9 & & 8
487
& c'_4 \equiv 1, 3
488
\mod{8}\\
489
\hline
490
\uppercase\expandafter{\romannumeral4} & 4 & 5 & 4 & c'_6 \equiv 1 \equiv
491
-c'_4 \mod{4}& 2
492
& - 1\\
493
\hline
494
\uppercase\expandafter{\romannumeral4} & \geq 6 & 5 & 4 & c'_6 \equiv 1
495
\mod{4}& 2
496
& - 1\\
497
\hline
498
\uppercase\expandafter{\romannumeral4}^{*} & 4 & 6 & 8 & 2c'_6 + c'_4
499
\equiv 11 \mod{16}& 2 & - 1\\
500
\hline
501
\uppercase\expandafter{\romannumeral4}^{*} & \geq 7 & 7 & 8 & c'_6 \equiv 1
502
\mod{4}& 2 & - 1\\
503
\hline
504
\uppercase\expandafter{\romannumeral3}^{*} & 4 & 6 & 10 & c'_6 \equiv 3
505
\mod{4}& 3 & c'_4 - 2c'_6
506
\equiv 3, 19 \mod{64}\\
507
\hline
508
\uppercase\expandafter{\romannumeral3}^{*} & 7 & 9 & 12 & & 5 & c'_4 \equiv
509
1 \mod{4}{\;\rm
510
et\;}c'_6 \equiv \pm 1 \mod{8} {\;\rm ou}\\ & & & & & & c'_4 \equiv 3=
511
\mod{4}{\;\rm et\;}c'_6
512
\equiv 1, 3 \mod{8}\\ \hline
513
\uppercase\expandafter{\romannumeral3}^{*} & 7 & 10 & 14 & & 7 & c'_4
514
\equiv 1 \mod{4}{\;\rm
515
et\;}c'_4c'_6 \equiv 5, 7 \mod{8} {\;\rm ou}\\ & & & & & & c'_4 \equiv 3
516
\mod{4}{\;\rm
517
et\;}c'_4c'_6 \equiv 1, 7 \mod{8}\\ \hline
518
\uppercase\expandafter{\romannumeral3}^{*} & 7 & 11 & 15 & & 8 & 2c'_6 +
519
c'_4 \equiv 1, 3 \mod{8}\\
520
\hline
521
\uppercase\expandafter{\romannumeral3}^{*} & 7 & \geq 12 & 15 & & 8 & c'_4
522
\equiv 5, 7
523
\mod{8}\\
524
\hline
525
\uppercase\expandafter{\romannumeral2}^{*} & 4 & 6 & 11 & c'_6 \equiv 3
526
\mod{4}& 3 & c'_6 \equiv
527
1, 3
528
\mod{8}\\
529
\hline
530
\bullet\ \uppercase\expandafter{\romannumeral2}^{*} & \geq 8 & 9 & 12 & & 4
531
& c'_6
532
\equiv 1 \mod{4}\\
533
\hline
534
\uppercase\expandafter{\romannumeral2}^{*} & \geq 8 & 10 & 14 & & 6 & c'_6
535
\equiv 1 \mod{4}\\
536
\hline
537
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_0^{*} & 4 & 6 & 8 & 2c'_6 + c'_4
538
\equiv 3, 15 \mod{16}& 4 &
539
2c'_6 + c'_4 \equiv 3 \mod{16}\\
540
\hline
541
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_0^{*} & 4 & 6 & 9 & & 5 & c'_6
542
\equiv 7 \mod{8}\;{\rm
543
ou}\;2c'_6 + c'_4 \equiv 11 \mod{32}\\
544
\hline
545
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_0^{*} & \geq 6 & 7 & 8 & c'_6 \equiv
546
3 \mod{4}& 4 & v(c_4) =
547
6\\
548
\hline
549
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_0^{*} & 6 & 8 & 10 & & 6 & c'_4c'_6
550
\equiv 3 \mod{4}\\
551
\hline
552
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_0^{*} & \geq 7 & 8 & 10 & & 6 & c'_6
553
\equiv 1 \mod{4}\\
554
\hline
555
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_1^{*} & 4 & 6 & 8 & 2c'_6 + c'_4
556
\equiv 7 \mod{16}& 3 &
557
2c'_6 + c'_4 \equiv 23 \mod{32}\\ \hline
558
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_1^{*} & 6 & 7 & 8 & c'_6 \equiv 1
559
\mod{4}& 3 & 2c'_4 + c'_6
560
\equiv 3 \mod{8}\\ \hline
561
\end{array}$$}
562
\end{center}
563
\renewcommand\arraystretch{1}
564
%
565
%
566
\pagebreak
567
\begin{center}
568
Tableau 2: signe local $W_2$ (suite)\bigskip\\
569
\renewcommand\arraystretch{1.3}
570
{$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
571
\hline Kod. & v(c_4) & v(c_6) & v(\Delta) & {\rm condition\;sp\acute{e}ciale=
572
} &
573
v(N) & W_2\\ \hline\hline
574
575
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_2^{*} & 4 & 6 & 10 & c'_6 \equiv 1
576
\mod{4}& 4 &
577
1\\ \hline
578
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_2^{*} & 6 & \geq 10 & 12 & c'_4
579
\equiv 3 \mod{4}& 6 &
580
v(c_6) = 10\\ \hline
581
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_2^{*} & 6 & 9 & 13 & & 7 &
582
c'_4 \equiv 11{\;\rm ou\;}c'_4 + 4c'_6 \equiv 3 \mod{16}\\ \hline
583
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_3^{*} & 4 & 6 & 11 & c'_6 \equiv 1
584
\mod{4}& 4 &
585
1\\ \hline
586
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_3^{*} & 6 & 10 & 12 & c'_4 \equiv 1
587
\mod{4}& 5 &
588
c'_4 + 4c'_6 \equiv 9, 13 \mod{16}\\ \hline
589
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_3^{*} & 6 & \geq 11 & 12 & c'_4
590
\equiv 1 \mod{4}& 5 &
591
c'_4 + 4c_{6,10} \equiv 5, 9 \mod{16}\\ \hline
592
\bullet\ \uppercase\expandafter{\romannumeral1}_4^{*} & 4 & 6 & 12 & c'_6
593
\equiv 1 \mod{4}& 4 &
594
- 1\\ \hline
595
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_4^{*} & 6 & 9 & 14 & & 6 &
596
\Delta ' \equiv c'_6 \mod{4}\\ \hline
597
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_5^{*} & 6 & 9 & 15 & & 6 &
598
\Delta ' \equiv 3 \mod{4}\\ \hline
599
\uppercase\expandafter{\romannumeral1}_n^{*} & 6 & 9 & n+10 & n > 5 & 6 &
600
c'_6 \equiv 3 \mod{4}\\ \hline
601
\end{array}$$}
602
\end{center}
603
604
\section*{R\'{e}f\'{e}rences bibliographiques}
605
%
606
%
607
\small{\begin{description}
608
\item[ $\,$[1$\!\!\!$]] {\it Carayol H.}, Sur les repr\'{e}sentations
609
$\ell$-adiques associ\'{e}es aux
610
formes modulaires de Hilbert,Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. {\bf 19}, p. 409-468,
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1986.
612
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Manuscripta Math. {\bf 82}, p. 93-104, 1994.
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and modular curves, in
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628
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\item[ $\,$[7$\!\!\!$]] {\it Papadopoulos, I.}, Sur la classification de
631
N\'{e}ron des courbes
632
elliptiques en caract\'{e}ristique r\'{e}siduelle 2 et 3, J. of Number Theory
633
{\bf 44, 2}, p. 119-152,
634
1993.
635
\item[ $\,$[8$\!\!\!$]] {\it Rohrlich D.E.}, Variation of the root number
636
in families of elliptic
637
curves, Compositio Math. {\bf 87}, p. 119-151, 1993.
638
\item[ $\,$[9$\!\!\!$]] {\it Serre J-P.}, Facteurs locaux des fonctions
639
z\^{e}ta des vari\'{e}t\'{e}s
640
alg\'{e}briques (d\'{e}finitions et conjectures), S\'{e}minaire Delange-Pisot-P=
641
oitou
642
1969/70,\ n$^{\circ}$19.
643
\item[[10$\!\!\!$]] {\it Serre J-P. {\rm et} Tate, J.}, Good reduction of
644
abelian varieties,
645
Annals of Math. {\bf 88}, p. 492-517, 1968.
646
\item[[11$\!\!\!$]] {\it Tate, J.} Number theoretic background,
647
Automorphic Forms, Representations
648
and L-Functions, Proc. Symp. Pure Math. {\bf 33} partie 2, p. 3-26, 1979.
649
\end{description}}
650
%
651
%
652
\bigskip
653
{\nobreak
654
\raggedright{ Emmanuel HALBERSTADT\\ {Universit\'{e} Paris VI}\\ Laboratoire
655
de Maths.
656
fondamentales, UFR 921\\ 4, place Jussieu\\ 75252 Paris Cedex 05\\
657
=46RANCE\\ email:
658
halberst\verb+@+math.jussieu.fr}}
659
%
660
%
661
\end{document}
662
%
663
%
664
665
%
666
%
667
\section*{Un aper\=E7u sur la m\'{e}thode employ\'{e}e}
668
%
669
%
670
Nous ne pouvons indiquer ici que le principe de cette m\'{e}thode. Soit par e=
671
xemple
672
$E$ une courbe elliptique sur \Q$_2$. On se place dans une cl\^{o}ture alg\=
673
=E9brique
674
$\overline{\Q}_2$ de
675
\Q$_2$. Soit \Q$_{2,{\rm nr}}$ l'extension non ramifi\'{e}e maximale de=
676
\Q$_2$. On
677
suppose que $E$ a mauvaise r\'{e}duction de type additif et que l'invariant
678
modulaire $j$ de $E$ est
679
entier:
680
$E$ a potentiellement bonne r\'{e}duction. Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, soient {$K=
681
=
682
{\Q}_2(E[3])$} et {$L =
683
K\,{\Q}_{2,{\rm nr}}$}. On sait que $L$ est la plus petite extension de
684
${\Q}_{2,{\rm nr}}$ dans
685
laquelle $E$ acquiert bonne r\'{e}duction ([10], corollaire 3 p. 498). On peu=
686
t
687
enfin supposer que
688
$K/{\Q}_2$ n'est pas ab\'{e}lienne. Soit $G = {\rm
689
Gal}(L/{\Q}_{2,{\rm nr}})$. Ce groupe s'identifie au groupe $\Phi_2$,
690
introduit dans ([9], 5.6) et
691
explicit\'{e} dans [5]. Soient ensuite $\Phi$ un \'{e}l\'{e}ment de ${\rm
692
Gal}(L/{\Q}_2)$ ayant pour restriction \`{a} \Q$_{2,{\rm nr}}$ l'inverse du
693
=46rob\'{e}nius et
694
{\curv W}$\;=\;${\curv W}$(L/{\Q}_2)$ le produit semi-direct de $G$ par le
695
sous-groupe
696
engendr\'{e} par $\Phi$. On sait que $W_2(E)$ ne d\'{e}pend que de $L$ et de l=
697
a
698
classe d'isomorphisme
699
d'une certaine repr\'{e}sentation $\sigma$ de {\curv W} \`{a} valeurs dans ${\=
700
rm
701
GL}_2(\C)$ (\cf [7]).\\
702
Pour calculer $W_2(E)$, on peut d'abord expliciter dans chaque cas le
703
corps $K$, le groupe {\curv W} et la repr\'{e}sentation $\sigma$
704
correspondants. C'est la m\'{e}thode
705
utilis\'{e}e dans le cas ab\'{e}lien par Rohrlich et Connell ([7] et [2]). Nou=
706
s
707
avons trait\'{e} quelques
708
cas par cette m\'{e}thode, mais les calculs (manuels) sont fort longs:
709
le groupe
710
$\Phi_2$ est souvent d'ordre 24, $K$ \'{e}tant alors de degr\'{e} 48 sur \Q$_2=
711
$,
712
et il faut (entre
713
autres) \'{e}tablir la liste des diff\'{e}rents corps $K$ possibles.\\
714
La m\'{e}thode que nous avons utilis\'{e}e est indirecte. On peut supposer $E$
715
d\'{e}finie par une
716
\'{e}quation de Weierstrass (enti\`{e}re et minimale) de la forme
717
\begin{equation}
718
y^2\ =\ x^3 + ax + b\,,
719
\end{equation}
720
$a$ et $b$ appartenant \`{a} {\Z}$_2$. Lorsqu'on fait varier $a$ et $b$, on
721
voit que
722
$W_2(E)$ est localement constant. Soit alors $E'$ une courbe elliptique sur
723
{\Q}, d'\'{e}quation
724
enti\`{e}re (minimale)
725
\begin{equation}
726
y^2\ =\ x^3 + a'x + b'\,,
727
\end{equation}
728
o\`{u} $a', b'$ sont assez voisins dans \Q$_2$ de $a, b$ respectivement (il
729
faut bien s\=FBr
730
pr\'{e}ciser). On a donc
731
$W_2(E) = W_2(E').$ En pratique, il est facile de choisir une courbe $E'$
732
assez voisine de $E$ et
733
qui soit de Weil: par exemple, compte tenu de r\'{e}sultats (non publi\'{e}s) =
734
de
735
B. Conrad, F. Diamond et R. Taylor, il suffit que $E'$ ait bonne r\'{e}ductio=
736
n
737
en 3. On s'arrange
738
aussi pour que le conducteur de $E'$ soit assez petit pour qu'un calcul de
739
s\'{e}ries $L$ en 1 donne le
740
signe de l'\'{e}quation fonctionnelle correspondant \`{a} $E'$ (on \'{e}carte l=
741
es
742
cas non concluants). Ces
743
choix \'{e}tant faits, $W_2(E')$ est connu, puisque tous les autres signes=
744
locaux le sont. Cette
745
m\'{e}thode conduit \`{a} traiter plusieurs centaines de courbes $E'$, mais ic=
746
i
747
tous les calculs
748
peuvent \^{e}tre faits par ordinateur (nous avons utilis\'{e} pour cela le
749
logiciel Pari).\\
750
La m\'{e}thode est la m\^{e}me lorsque $p = 3$, en prenant {$K = {\Q}_3(E[=
751
4])$}.
752
Il y a toutefois une
753
nuance importante: dans l'\'{e}tat actuel, on ne peut plus imposer aux courbe=
754
s
755
$E'$ d'\^{e}tre de Weil.
756
Nos r\'{e}sultats ne sont donc certains que si l'on admet qu'un certain nombr=
757
e
758
fini (mais important)
759
de courbes elliptiques sur {\Q}, de conducteur multiple de 27, sont de
760
Weil. Si tel est le cas,
761
le tableau 1 donnera $W_3(E)$, ceci pour {\it toute} courbe elliptique $E$
762
sur {\Q}$_3$.\\
763
Indiquons pour terminer que, pour les 17583 courbes elliptiques modulaires
764
de conducteur $\leq
765
5077$, dont la liste (\`{a} isog\'{e}nie pr\`{e}s) a \'{e}t\'{e} \'{e}tablie par C=
766
remona
767
(jusqu'au conducteur 1000,
768
ces tables se trouvent dans [3], ensuite elles sont disponibles sur serveur
769
ftp), les valeurs de
770
$W_2$ et
771
$W_3$ que nous donnons ici conduisent
772
\`{a} un signe
773
$\varepsilon$ en accord avec celui de \loc. A ce propos, signalons que G.
774
Henniart et J.F. Mestre ont effectu\'{e} ce
775
calcul de $W_2$ et
776
$W_3$, par une m\'{e}thode semble-t-il voisine de la n\^{o}tre, il y a plusieu=
777
rs
778
ann\'{e}es; leurs
779
r\'{e}sultats n'ont pas \'{e}t\'{e} publi\'{e}s (l'absence des tables de Cremona
780
rendait sans doute alors les
781
v\'{e}rifications syst\'{e}matiques n\'{e}cessaires moins commodes...).
782
783
784
785