Sharedwww / motive_talk.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1999.04.28:0455�������2ō��6�;��2ō����C��'���N��qcmbx12�Sp���ecial���V��=alues�of�Mo�dular����g��qcmmi12�L�-functions��6L�������ߵ�D��t�qG�cmr17�William�B�A.�Stein������,����April,�B�1999�������X�Qcmr12�1����*��2ō��6�;��2ō��|4V��8��1.�
^�Mo���dular��
F��=orms��.�d��8��Let�Bھk�u�!",��q
cmsy10���ػ2.����8��A��uNttac�h�B�to�a�newform��%��l�u�f����=�����؟�L���u�q
cmex10�X����',��a��j���g�ffcmmi12�n��ꤾq������oƿn��k��2��ؾS��j�k��Q�(��j�X�Qffcmr12�0���ǻ(�N�*��)�;�t�Q�)��'񈍍���4!5�����D_�M��j�f���ǻ:�m�Grothendiec��uNk�B�motiv�e�(Sc�holl)��#�����4!5�����D_�E��j�f���ǻ:�m�Elliptic�B�curv��uNe�/��R�������4!5�����D_�L��j�f���ǻ:�m�En��uNtire�B�function��?�U��8��In��Zv���(arian�ts.�������4!5�����D_�
��j�f�����=��ؾ�(�E��j�f���ǻ(�R�))��2��R�:�m�real�B�v��uNolume�������4!5�����D_�L��j�f���ǻ(�s�)����2��R�;�t�s��=�1�;��:�:�:��"4�;�k��G���1:�Usp���ecial��Fv���alues����8��Are�B�they�related?��5�U��8��Theorem.�m��F��_�or�Bھs��ػ=�1�;��t�:�:�:��"4�;�t�k�N����1,����=�ɾL��j�f���ǻ(�s�)�B�is�a�rational�m��uNultiple�of�(2�����)���y?�s�!",�ff
cmsy10��1��d=�
��j�f���.��8�d��8��Example:�
��If�j�+��2��S��j�12�����(�SL����r�j�2��9�(�Z�))�is�Raman��uNu-����'jan's�B�function�then��/�
�������������L��j���?��(1)������	B���_2D���0��	
��j��������Η�=���������2���y?�2��(�����3���y?�4�����5����7����	B���_b]��0��"�-691�����j>��:�����M��2ō��6�;��2ō��|4V��8��2.�
^�Mo���dular��
Sym��Zb�ols��#�����4!5�����D_�V��j�k�{���2�� 楻=���homogeneous�p���olys�of�degree��k�����֕�2����D_�in�BھX��C�and��Y��H�.�������4!5�����D_�M��Ȼ=�^w�Z�-mo���dule�on�sym��uNb�ols��f��!�;�t��&Z�g�,�e^��;��"�2����D_�P���y?�1���ǻ(�Q�)�B�mo���dulo��%��|z�f��!�;�t��&Z�g���+��f��;�t�
� ��g��+��f�
�;�t��!��g��ػ=�0��*�����4!5�����D_���j�0���ǻ(�N�*��)�B�acts�on��V��j�k�{���2��,��
���M�:�����Y�g����(�P��
�(�X���;�t�Y��H�)����
�f��!�;��&Z�g�)����Pc�=��ؾP��
�(�dX�=I����bY� �;�t���cX��+��aY��H�)�f�g����(��!ͻ)�;�t�g��(��&Z�)�g��$������4!5����D_�M��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))���=��H��j�0���(��j�0���(�N�*��)�;�t�V��j�k�{���2��,��
���M�)��#�����4!5�����D_�B�dQ�=��Z�-mo���dule�on�sym��uNb�ols��f��!��g�,��
����2��ؼP���y?�1���ǻ(�Q�).�������4!5�����D_�B��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))���=��H��j�0���(��j�0���(�N�*��)�;�t�V��j�k�{���2��,��
���B��y�)�������4!5�����D_�S��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))���=��k��uNer���(�M��j�k���(��j�0���ǻ(�N�*��))��!�B��j�k���(��j�0���ǻ(�N�*��))),����D_�the�B�map�is��P��
�f��!�;�t��&Z�g���7!��P��f��&Z�g�����P��f��!��g�.��������2ō��6�;��2ō��|4V��8��3.�
^�P��Zerio���ds���%��Yz/�M��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))������S��j�k���(��j�0���ǻ(�N�*��)�;�t�C�)����!��C��2�^��G�H�h�P��
�f��!�;�t��&Z�g�;�f�6��i���7!��2����i��t���3�Z����T���2\���)?ۍ������$�`�f��(�z�엻)�P��
�(�z�;�t�1)�dz��L���8��P��Zerio���d��
map:��������>���j�f���ǻ(�x�)������=�����^��h�x;�t�f�6��i���2��C����%q��wo��S��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))��������aC��ߝH���_����g�cmmi12�f�����������ٝN�������\!��������^мC����������$�E��j�f��������=�����^мC�=��Im��κ(��j�f���ǻ)�����mE��8��Query:�m��What�B�is��E��j�f���ǻ?���="���8��E��j�f��
�r�is���an�elliptic�curv��uNe�o�v�er��R�.��:It�is�p���ossible�to����'n��uNumerically�B�appro�ximate��j�*��(�E��j�f���ǻ).�m�(F��_�uture�talk.)�������2ō��6�;��2ō��|4V��8��4.�
^�Critical��
V��=alues���)ަ��C���L��j�f���ǻ(�s�)���=�(2�����)���oƿs��$A�(�s�)���o���1���4���3�Z����T���*�X�1��)?ۍ�!���0���9���(��iz�엻)���oƿs���f�6�(�z��)��������33�dz��33�	B���_���0��F�z�����Ol:��-����8��Critical�B�v���alues�are�related�to�p���erio�ds.�������V�
�L��j�f���ǻ(1)�������m=�������[��2����i��t���3�Z����T���2\�1��)?ۍ����0���*���f�6�(�z�엻)�dz����)$�������m�=�������[�h�Y���H��oƿk�{���2��P�f�0�;�t��1g�;�f�6��i����� ަ����V�
�L��j�f���ǻ(2)�������m=�������[��(2�����)���oƽ2�������3�Z����T����#�1��)?ۍ��a�0���2s�f�6�(�z�엻)�z�dz����������m�=�������[2����i�h�X��iY���H��oƿk�{���3��P�f�0�;�t��1g�;�f�6��i����� ަ����V�
�L��j�f���ǻ(3)�������m=�������[(2�����)���oƽ3���Ǿi����������1��33�	B���_�x��0�2!�������Ɵ��3�Z����T���)I:�1��)?ۍ� x�0���;���f�6�(�z�엻)�z����oƽ2��y^�dz����5j�������m�=���������������(2�����)���y?�2�������	B���_,̟�0�����2!��������h�X���i��oƽ2��	.0�Y���H��oƿk�{���4��P�f�0�;�t��1g�;�f�6��i����)� ��8��So�B�for��j�m��an�o���dd�in��uNteger,��0!��((��L��j�f���ǻ(�j�*��)���=����������k:�(2�����)���y?�j��c��1���33�	B���_@Kğ�0��(�j�Ɠ����1)!�����B�*�h�X���i��oƿj��c��1���Y���H��oƿk�{���2��(�j��c��1)��N#��f�0�;�t��1g�;�f�6��i�����o��2ō��6�;��2ō��|4V��8��5.�
^�Rationalit��Zy��
Theorem���"������'w��j�j������H���=�����a쏾X���i��oƿj��c��1���Y���H��oƿk�{���2��(�j��c��1)��N#��f�0�;�t��1g���2�M��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))��������()O
���oƍ�0��
�ύ�f�������H���=�����a쏾�(�A��j�f���ǻ(�R�)���oƽ0���ǻ)��B�measure�of�iden��uNtit�y�B�comp���onen�t�������8��F��_�or�B�em��uNb���edded��Z�-mo�dules��A;�t�B��,�let����A|�[�A��ػ:��B��]�=��j��det�B�of�c��uNhange�of�basis�matrix���L��j��?8��Theorem.��.�2����۴g��(�k���q���(�k����(�k����(�k����(�k����������0�o�h�w��j�j��$��;�t�f�6��i��0�o�	B���_=r���0��N��
����2��0��
Q{��f��������۴g��oCB���q���oCB����oCB����oCB����oCB����{��=���[��j�f���ǻ(�S��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��)))���oƽ+��:G�:���j�f���(�Zw��j�j��$��)]��2��Q��2땍�'Pro���of.����LJ_�jh�w��j�j��$��;�t�f�6��ij��ػ=��j���j�f���ǻ(�w��j�j���)]�=�[�Z��:���j�f���ǻ(�Zw��j�j���)]����'and������3:A�j�
���oƍ�0��
�ύ�f������j�����_�E�=�����x�3�j���t�min���#>�f�x���>��0�:��x��2����j�f���ǻ(�S��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��)))���oƽ+��wo�j��������_�E�=�����x�3[�Z��ػ:���j�f���ǻ(�S��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��)))���oƽ+��wo�j����1Í�8��The�?�index�can�b���e�computed�with���j�f��<W�replaced����'b��uNy���an�y�map�eminating�from��M��j�k��Q�(��j�0���ǻ(�N�*��))�and����'ha��uNving�h�the�same�k�ernel.���Th�us�the�index�is�ra-����'tional�B�and��((Ǎ���������6[�L��j�f���ǻ(�j�*��)����{�	B���_c����0�(2�����)���*�j��c��1�������
��j�f������
�(�2��ؼQ�:�������2ō��6�;��2ō��|4V���Zּ6.�
^�Examples��+�퍍�
�6�Let��,���R�+��(�f�;�t�s�)���=��������!D�L��j�f���ǻ(�s�)����	B���_c�-��0�(2�����)���*�s��1������
��j�f������ppK����(�s����1)!��l3�����`���	�ff8��������ͤ��ff��͟���N��h��ff����ff���&m�R�+��(�f�;�t�s�)�;�s��ػ=�1�;��t�:�:�:��"4�;�t�k�N����1,�Bھs��o���dd��͟��ff����k�ff8����ff8��������ͤ���ff�
B���1����ff�����ff�������Ձ��'�ֽ2����=�2��_���3����=�4����5��7��'�֟eR��_4������`691�����]��;�t�7�;�����Ձ����3����=�2�����eR��_
lß���/��2�����H�;�����Ձ����3����=�2�����eR��_
lß���/��2������;��7�;�����Ձ����2����=�2��_���3����=�4����5��7����eR��_4������`691�����~؟���ff����ff8�������ͤ���ff�
B����3����ff�����ff�������Ձ��'�ֽ3����=�6��_���5����=�2���'�֟eR��_ن����_��73�����G���;�����Ձ����3����=�3�����eR��_
lß���/��2�����H�;�����Ձ����3����eR��_ǟ��2�������;�����Ձ����1����eR��_ǟ��2������;�����Ձ����1����eR��_ǟ��2������;�����Ձ����3��5����=�2�����eR��_y�����/��73�������
����ff����ff8�������ͤ���ff�
B���4����ff�����ff���&m�2���y?�5��(�����3����5���y?�2���Ǿ;�t�2���y?�6���;��2�;�����Ձ����1����eR��_ǟ��2�������;��1�;�����Ձ����3��5����=�2�����eR��_y������d�2�����5������p�����ff���ZI�ff8�������ͤ���ff�
B����5����ff�����ff�������Ձ��'�ֽ3����=�2��_���5����=�6����7��'�֟eR��_)�M����
�`31�����R�V�;�����Ձ����3����=�2��_���5����=�3�����eR��_ن�����`�2�����$�Ծ;�����Ձ����5����=�2�����eR��_
lß���/��2�����H�;�����Ձ����5����eR��_ǟ��2�������;�����Ձ����3����=�2�����eR��_
lß���/��2������;�����Ձ����3����=�2��_���5��7����eR��_#�Q����
�b31�����qe�����ff����ff8������Y����޼T��=able��
1.�
^�Rational�newforms,��k�u�=���12�.��"�נ�������޺��P}h�ff�ş�����ͤ��ff�	�Ɵ���k�
`���ff����ff���'R�+��(�f�;�t�s�)�;�s��ػ=�1�;��t�:�:�:��"4�;�t�k�N����1,�Bھs��o���dd��v����ff����k�ff�ş�ff�ũ�����ͤ���ff��͟��12����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�2��_���3����=�4����5��7��(96�eR��_4������`691�����^_}�;�t�7�;�����Ձ����3����=�2�����eR��_
lß���/��2�����H�;�����Ձ����3����=�2�����eR��_
lß���/��2������;��7�;�����Ձ����2����=�2��_���3����=�4����5��7����eR��_4������`691�����a������ff����ff�Ŧ����ͤ���ff��͟���16����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�2��_���3����=�3����5��7��11��13��(96�eR��_Y&0����y�3617���������;�t�3������11�;�����Ձ����3��7����eR��_������d2������ܾ;�����Ձ����11����eR��_������d2������ܾ;�����Ձ����11����eR��_������d2������;�����Ձ����3��7����eR��_������d2������;�t�3������11�;�����Ձ����2����=�2��_���3����=�3����5��7��11��13����eR��_Y&0����y�3617�������˟���ff����ff�Ŧ����ͤ���ff��͟���18����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�5��_���3����=�3����5����=�4����7��11��13��(96�eR��__�,����#%43867�������;�t�2������7����11����13�;�����Ձ����3��5����=�2��_���11����eR��_*������)2�����0nf�;�����Ձ����3��5��13����eR��_$3�����+2�����*j�;��0�;�����Ձ����3��5��13����eR��_$3�����+2������;�����Ձ����3��5����=�2��_���11����eR��_*������)2�����0nf�;�@�����ff��������͟���ff�����ff�����ff���'�2������7����11����13�;�����Ձ����2����=�5��_���3����=�3����5����=�4����7��11��13����eR��__�,����#%43867�����������ff����ff�Ŧ����ͤ���ff��͟���20����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�2��_���3����=�5����5��7����=�2����11��13��17��(96�eR��_q������!��283��617������#�;�t�3������11����13�;�����Ձ����11��13����eR��_ 3�����+2�����&j�;�����Ձ����3��11����eR��_&U����	�2�������;�����Ձ����13����eR��_������d2������ܾ;�����Ձ����13����eR��_������d2������;�����Ձ����3��11����eR��_&U����	�2������;�����Ձ����11��13����eR��_ 3�����+2�����&j�;�Q������ff��������͟���ff�����ff�����ff���'�3������11����13�;�����Ձ����2����=�2��_���3����=�5����5��7����=�2����11��13��17����eR��_q������!��283��617�������>����ff����ff�Ŧ����ͤ���ff��͟���22����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�4��_���3����=�3����5����=�4����7��13��17��19��(96�eR��_q������!��131��593������#�;�t�2���y?�4��(�����3����13����17�;��3����5����7����13�;��13����17�;�����Ձ����5��17����eR��_&U����	�2�������;��0�;�����Ձ����5��17����eR��_&U����	�2������;��͟���ff��������͟���ff�����ff�����ff���'�13������17�;�t�3����5����7����13�;��2���y?�4��(����3����13����17�;�����Ձ����2����=�4��_���3����=�3����5����=�4����7��13��17��19����eR��_q������!��131��593�������l����ff����ff�Ŧ����ͤ���ff��͟���26����ff�����ff�������Ձ��(96�2����=�4��_���3����=�4����5����=�3����7����=�2����11��13��17��19��23��(96�eR��_�2ҟ���8�657931�����ş;�;�t�2������3����11����17����19����43�;�����Ձ����5��17��19��97����eR��_=Yq����&U2�����C4��;�����Ձ����3��11��17��29����eR��_=Yq����&U2������;�������ff�������͟��ff����ff����ff���'�5������11����19�;�����Ձ����17��19����eR��_ 3�����+2�����&j�;�t�0�;�����Ձ����17��19����eR��_ 3�����+2������;��5������11����19�;�����Ձ����3��11��17��29����eR��_=Yq����&U2�����C4��;�����Ձ����5��17��19��97����eR��_=Yq����&U2������;�PEH���ff��������͟���ff�����ff�����ff���'�2������3����11����17����19����43�;�����Ձ����2����=�4��_���3����=�4����5����=�3����7����=�2����11��13��17��19��23����eR��_�2ҟ���8�657931�����Fn����ff����ff�Ŏ�����a�����T��=able��
2.�
^�Lev��Zel�1�rational�newforms.���������;��2�����u�q
cmex10�!",�ff
cmsy10�!",��q
cmsy10���g�cmmi12���g�ffcmmi12���g��qcmmi12�X�Qffcmr12���N��qcmbx12�D��t�qG�cmr17�X�Qcmr12�4������