Sharedwww / modforms.dviOpen in CoCalc
����;� TeX output 1998.10.02:0905������v_������O�8_�����5a��L|8�D��t�qG�cmr17�Computing�B�with�Mo���dular�F��_�orms��5?荍��������X�Qffcmr12�William��/A.�Stein������#���زOctob�dCer��/2,�1998�����*�v_������O���>�X�Qcmr12�ii���8_�����v_������O�8_����8$������N��Hcmbx12�Con��8�ten�ts��C�썍����N�cmbx12�1��"��In��tro�`duction��#U`1���E����"��1.1��=�JIn��rtro�S�duction�8ɍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚1����썍��2��"��Examples��5�3������"��2.1��=�JEisenstein��series�of�w��reigh�t��1�/�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚3������=�J2.1.1��c?��!��g�cmmi12�X�����|{Ycmr8�1����(4)��example��{�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚5�������3��"��Galois��represen��tations���89������"��3.1��=�JRamakrishna's��lifting�theorem��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚9�������3��"��The��metho�`d�of�graphs���C�5������4��"��Mo�`dular��sym��b�ols��W�7������"��4.1��=�JIn��rtro�S�duction�8ɍ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚7������"��4.2��=�JW��Veigh��rt��2��͍����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.����֚7�������5��"��T���race��form��ulas��9J9������6��"��Computing��using�quaternion�algebras�����11������"��6.1��=�JMo�S�dular��forms�for�denite�quaternion�algebras��Ǎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������11�������7��"��The��Hec��k�e�algebra����*13������"��7.1��=�JRamication��of��N�+��in�the�Hec��rk�e��algebra�z�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������13������"��7.2��=�JDiscriminan��rts��of�Hec�k�e�algebras��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������13������"��7.3��=�JNon-ordinary��reduction�of��X�����0����(�p�)�Ҋ�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������18�������8��"��The��Artin�conjecture����21������"��8.1��=�JLev��rel��3004��%�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������21��������iii����n�v_������O���>�iv�9̥�}h!�cmsl12�CONTENTS���8_��������>�9��O��Serre's��conjectures���+k23�������O��9.1��j�JA��complete�example�e-�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������23������O��9.2��j�JDa��rvid��Jones's�Thesis��䍍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������24���?����>�10��O��The��Gouv��ea-Mazur�conjectures���S�27������>11��O��Searc��hing��for��p�-adic�eigenforms�����29�������O��11.1��j�JHida��theory�(Ǎ����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������29������O��11.2��j�JThe��Section�'������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������29������O��11.3��j�JComputing��the�dimension�of�the�slop�S�e����7�subspace.�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.������30������j�J11.3.1���?�Classical��c��rharacteristic�p�S�olynomials�W������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������32������j�J11.3.2���?�Characteristic��Series�/�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������34������O��11.4��j�JStev��ren's��Characteristic�Series�Conjecture�v�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������34���?����>�12��O��Implimen��tation��and�source�co�`de����35������O��12.1��j�JGuidelines��*�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������35������O��12.2��j�JSurv��rey��of�a�v��X�ailable�to�S�ols�J������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������36������O��12.3��j�JBruce��Kask��rel's�program�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������36������O��12.4��j�JHijik��X�ata's��trace�form��rula�for�the�dimension�	������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������37������O��12.5��j�JMestre's��metho�S�d�of�graphs�in�P��VARI��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������43������O��12.6��j�JPrimes��of�ordinary�reduction�{덍���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������59������O��12.7��j�JCharacteristic��series,�P��VARI�v��rersion��.�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������61������O��12.8��j�JW��Veierstrass��P��roin�ts�	'P�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������64������O��12.9��j�JMo�S�dular��forms�programs�from�Kevin�t����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������68������O��12.10��j�JCharacteristic��series,�C++�V��Version��
�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������76������O��12.11��j�JMo�S�dular��sym��rb�ols�pac��rk��X�age�P-�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������76������O��12.12��j�JW��Vorking��with�mo�S�dular�forms�as�functions�on��0�%n�
eufm10�h��O������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������76������j�J12.12.1����?�SL����R����2����V�(�-���
msbm10�Z�)��action�:�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������76������j�J12.12.2���?�Appro��rximate���q�n9�-expansion�	>�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������77������>�14��O��E-Mail��corresp�`ondence���pe79������O��14.1��j�JKevin��Buzzard�������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������79������O��14.2��j�JKen��Rib�S�et������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������80������O��14.3��j�JRob�S�ert��Coleman�Y!�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������82������O��14.4��j�JLoic��Merel��������.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������94������O��14.5��j�JHelena��V��Verrill��H�����.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������97������O��14.6��j�JJerem��ry��T��Veitelbaum�*ፍ���.���	C������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.��������.������97��������v_������O���>�2�=c��CONTENTS���8_����.J�v_������O�8_����8����Chapter�	T{2��2����Examples��>������4��N�G�cmbx12�2.1��=G�Eisenstein�z�series�of�w��u�eigh�t�z�1���+���Supp�S�ose���k����$!",�
cmsy10����1�and��"��is�a�c��rharacter�mo�d��N�6��so�that��"�(��1)��=�(��1)����2�"�2cmmi8�k��#��.�[/The�����generalized��Bernoulli�n��rum�b�S�ers���B�����k�6�;"��W~�are�dened�b��ry�the�form�ula��'ͨ������������N������⋟��'��u
cmex10�X���
�ҍ����a�=1����7��"�(�a�)������ō�
�$�te����2�at���33�[��z�%'П
�΍�e������N��"t��
ն�����1�����*�=����������%�K�cmsy8�1�����UR���X���'؍�?��k�6��=0��������ō����B�����k�6�;"����۟[��z�Y��
�΍�Iq�k�g�!�����-k�t�����k��#��:��&xT���When���k��o�=�UR1�and��"��is�o�S�dd,�w��re�ha�v�e��&������G�B�����1�;"��^��=�������UR�N��"��1�����冟��X���
�ҍ��
�a�=1��������ō��C�"�(�a�)�a���C�[��z��,�
�΍�'�N�����5*�:��&N���The��sum��l��Y1����������ō���2�k���۟[��z�Y��
�΍B�����k�6�;"���������������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1����(������X��������v�d�j�n���UV�"�(�d�)�d�����k�6���1���)�q��n9����n���$`ō��is�1an�elemen��rt�of��M�����k��#��(�N���;���"�),�B�except�in�the�case��k�4Q�=��42�and��"��trivial.�+F��Vor�more����see��[�DI��
6^]�����"��Here��tis�P��VARI���co�S�de�to�compute�the�series�when��N�ԁ�=���5,�Lh�k����=�1,�and�����"�(�a�)�a�UR���1�UP(�mo�S�d���B��)��where���UR�=�(2���+��i�)��in��Q�(�i�).��ꍑ#�g�5߆�Tcmtt12�e=[0,1,I,-I,-1];����#�g1+(10/(3+I))*(sum(n=1,11,sumdiv(n,d,e[d%5+1])*q^n))+O(q^12)�������3����.��v_������O���>�4��x��CHAPTER��2.�	#�EXAMPLES���8_�������E:��1���+�(3����i�)�q��+�(4�+�2�i�)�q��n9����2����+�(2����4�i�)�q��n9����3���+�(1�+�3�i�)�q��n9����4���+�(3����i�)�q��n9����5���+�(6����2�i�)�q��n9����6���K���E���+(4���+�2�i�)�q��n9����7����+�(��1����3�i�)�q��n9����9���+�(4�+�2�i�)�q��n9����10���+�(6����2�i�)�q��n9����11���+������������UR�1���(�mo�S�d���B��)���z��O��Let��-�f�D,�b�S�e�this�w��reigh�t��-1�Eisenstein�series�of�lev��rel�5.�moLet's�nd�a�\shado�w"�����>of����f����computationally��V.�%)Consider��f��G����2�2���,��Xwhic��rh�is�a�w�eigh�t�2�mo�S�dular�form�also�of����>lev��rel��5,��񧍑>�f��G�����2��	]U�=�UR1�$�+�(6����2�i�)�q���+�(16����2�i�)�q��n9����2��R�+�(32����4�i�)�q��n9����3���+�(18����6�i�)�q��n9����4���+�(50����10�i�)�q��n9����5���+�(12����4�i�)�q��n9����6���cN��@��+(96������12�i�)�q��n9����7����+�(80����10�i�)�q��n9����8���+�(42����14�i�)�q��n9����9���+�(60����10�i�)�q��n9����10���+�(72����24�i�)�q��n9����11�����>�+(96������12�i�)�q��n9����12��#�+�(192����24�i�)�q��n9����13���+�(36����12�i�)�q��n9����14���+�(120����20�i�)�q��n9����15���+�(66����22�i�)�q��n9����16�����>�+(256������32�i�)�q��n9����17��
j�+�(112����14�i�)�q��n9����18���+�(120����40�i�)�q��n9����19���+�(150����30�i�)�q��n9����20���+�(72����24�i�)�q��n9����21������!6�+(192������24�i�)�q��n9����22���+�(352����44�i�)�q��n9����23���+�����������z��O��The��aspace��M�����2����(�����1���(5))��ahas�dimension�3.�%sWith�resp�S�ect�to�some�(noncanon-����>ical)��basis�of�Manin�sym��rb�S�ols,�the�rst�few�Hec�k�e�op�S�erators�are:��8�����`:؟��ωffA�P�
&c����ͤY���ff��&���d�p����ff���F_��2�.�"�Y���ff�����Y3�.�"�Y���ff�����5�.�"�Y���ff�����ffA�P�������ͤ���+�ff��͟�@�T�����p��
�*��+�ff�������9���^�0�������^@�����fd���-*`�2���F_�1���_�0�������-*`1���F_�2���_�0������-*`1���=
\��1���V?���1�������9��ju�1������juA����z�џ���+�ff�������9����0��������@�����fd����u�3�����Y1����߬0��������u1�����Y3����߬0�������u2����U��2�����U��2�������9��Ϳ��1������Ϳ�A�����w����+�ff�������9���?�0�������?�@�����fd�����3�������2���&*R0����������2���JV3���&*R0�������2�������2���&*R1�������9��1
N�1������1
NA����AW����+�ff���&d�ffA�P����Q�����\����ωffH�3�
&c����ͤY���ff��&���d�p����ff���A��7�)�w�Y���ff����ߧ11�+ǟY���ff���t�13�4b�Y���ff�����ffH�3�������ͤ���+�ff��͟�@�T�����p��
�*��+�ff�������9���^�0�������^@�����fd���-*`�7���F_�1���V?�0�������-*`1���F_�7���V?�0������-*`6���=
\��6���V?�6�������9��a��1������a�A����qlz����+�ff�������9��w��0������w��@�����fd������12������0�����0����������0����ߧ12�����0���������0������0������12�������9���_��1�������_�A����Ӭf����+�ff�������9���ߙ0�������ߙ@�����fd����_��13���T�1���-j50��������?�1���t�13���-j50�������_�12�������12���4���12�������9��8J1�1������8J1A����H�����+�ff���&d�ffH�3����6�ƍ�O��Finding��ysim��rultaneous�eigenspaces�giv�es�three�forms�with�eigen�v��X�alues�as����>follo��rws.��1�K���������fi�ff��
&c����ͤY���ff�S&���d�p����ff���粹2��!�Y���ff���4�V3��!�Y���ff���H��5��͟Y���ff���\\�7��!�Y���ff���p2F11��͟Y���ff�����13��!�Y���ff�����217��!�Y���ff����G~19��͟Y���ff������23��!�Y���ff�����ff���ff������ͤY���ff��͟��d�a�����p��
�*���ff���粹1��!�Y���ff���4�V2��!�Y���ff���H��5��͟Y���ff���\\�6��!�Y���ff���p2F12��͟Y���ff�����12��!�Y���ff�����216��!�Y���ff����G~20��͟Y���ff������22��!�Y���ff����ff������ͤY���ff�bٟ��d�b�����p��*6���ff���粹3��!�Y���ff���4�V4��!�Y���ff���H��1��͟Y���ff���\\�8��!�Y���ff���p2F12��͟Y���ff�����14��!�Y���ff�����218��!�Y���ff����G~20��͟Y���ff������24��!�Y���ff����ff������ͤY���ff�[���d�c�����p��"c���ff����^�-1��͟Y���ff���2�-2��͟Y���ff���H��1��͟Y���ff���Zg�-6��͟Y���ff���p2F12��͟Y���ff�����>-12��͟Y���ff������-16��͟Y���ff����G~20��͟Y���ff����v-22��͟Y���ff����ff��������5N�v_������O����2.1.�	#�EISENSTEIN��SERIES�OF�WEIGHT�1����5���8_�������Next���nd�the�square��f��G����2�2��
��of�our�Eisenstein�series�as�a�linear�com��rbination�of������g�����a��Ϲ(�q�n9�)�UR=��a�����0��j��+���������P���UU���n�����a�����n���P�q�����2�n����,���g�����b��"ܹ(�q��)�=��b�����0��j��+���������P���UU���n�����b�����n���P�q�����2�n����,���g�����c��.y�(�q��)�=��c�����0��j��+���������P���UU���n�����c�����n���P�q�����2�n����.��(�F������9��x[��0������x[�@�����fd������1������3��������1����������2������4��������2���������5������1����F�1�������9����1�1��������1A�������������9�����0��������@�����fd���
*��x�������
l�y������
�9z�������9�����1��������A����!�P�=�����9��UR�0������[email protected]�����fd����R�16������2�i��������R�32������4�i������
�T�50������10�i�������9��8�1������8A�����(�ፑ�So�j�x���=�11��~���2�i�,�%�y�!�=���0,�and��z�-˹=�����5,�and�so��f��G����2�2��	��=���(11��~���2�i�)�g�����a���M���5�g�����c��.y�.��%A�^c��rhec�k����sho��rws��that�this�is�the�case,�at�lease�up�to��q��n9���2�23��	nA�,�as�exp�S�ected.��"�Í���6��N�ffcmbx12�2.1.1��B����g�ffcmmi12�X��(��K�`y

cmr10�1����(4)�ff�example��@���Date:�,�Wed,�30�Sep�1998�14:51:37����From:�,�"Robert�F.�Coleman"�<[email protected]>����Subject:�,�X_1(4)����William,����H�5Do�,�you�know�or�know�how�to�find�the�$q$-expansion�of�the�weight����1�,�form�(Eisenstein�series)�at�the�"middle"�cusp�on�$X_1(4)$?����BfhRobert��ލ�"��Rob�S�ert,����"��Using��#the�ab�S�o��rv�e��#form�ula,�0Arst�nd�the��q�n9�-expansion�ab�S�out�the�cusp��1�.����Since���k��o�=�UR1�the�c��rharacter��"��m�ust�b�S�e�o�dd.�8�There�is�a�unique�o�dd�c��rharacter��B�����"�UR�:�(�Z�=�4�Z�)�������V�!�f�1�g�:�����The��Bournoulli�n��rum�b�S�er��is��">�m�I�B�����1�;"��^��=�������UR�N��"��1�����冟��X���
�ҍ��
�a�=1��������ō��C�"�(�a�)�a���C�[��z��,�
�΍�'�N�����8�=������ō����"�(1)�����[��z��&�
�΍�Q�4������+������ō����"�(3)3���۟[��z�c"�
�΍�
A�4�����"ɂ=�UR�������ō�33�1��33�[��z����
�΍2�����Fb�:��#雍�"��The��Eisenstein�series�is�then�� [email protected]���S�1���+�4���������P�1��������X���
�ҍ�R��n�=1������a�����n���P�q��n9����n������where������+��a�����n�����=���������X���#ݍ��u��J'�d�j�n���	{����UZd��1(�mo�<rd���f4)�����!#f�1������������X���#ݍ��u��
�}�d�j�n���	{������d��3(�mo�<rd���f4)����� x��1�����F�v_������O���>�6��x��CHAPTER��2.�	#�EXAMPLES���8_�������>�is��	the�dierence�b�S�et��rw�een��	the�n��rum�b�er��	of�divisors��d��suc��rh�that��d��d���1(�mo�d���D4)�����>and�L�the�n��rum�b�S�er�L�for�whic��rh��d��w���3(�mo�d���D4).�_xA�L�P��VARI�program�L�to�appro��rximate����>the��series�is���n��JY��ep_vals=[0,1,0,-1];����JY�ep(x)=ep_vals[x%4+1];����JY�eis(n,j=0,d=0)=1+4*(sum(j=1,n,sumdiv(j,d,ep(d))*q^j))+O(q^(n+1));���1��O��The��P3�cusps�on��X�����1����(4)�are�[0],��[�1�],�and��P[1�=�2].�5(There�is�a�form��rula�for�the����>n��rum�b�S�er��of�cusps,�and�[��?��`�]�giv��res�an�easy�test�for�cusp�equiv��X�alence.)���=��O��...����O��Let������}��f��Q�=�UR��(�E�����2����(�q�n9�)������2�E�����2���(�q��n9����2��.=�))�UR=�1���+�24�������j��1����������X���
�ҍ��D�n�=1������UV��
�����������X�������8x�d�j�n���-�X�"�(�d�)�d�����
�����*��q��n9����n���"M���>�b�S�e� the�normalized�w��reigh�t� t�w�o�Eisenstein�series�of�lev�el�2.��HThen����%�=�����(����)����
X�1�����0����ፍ�
X2�����1�����᪹)��� �2�����>������0����(2)��so��f�G��j�[����]�����2��V�=�UR�f��.�!The��oldforms��f�G��(�q�n9�)�and��f��(�q��n9���2�2��.=�)�span��M�����2����(�����0���(4)).�!W��Ve��kno��rw����>the��action�of�[����]�����2�����on��f�G��.�8�Also,�since����7�normalizes������0����(4),�[since����>�m=[1,1;2,3];����>(m^(-1)*[4*a+1,b;4*c,4*d+1]*m)[2,2]����>(m^(-1)*[4*a+3,b;4*c,4*d+3]*m)[2,2]���1��>�are��b�S�oth�divisible�b��ry�4.��]�w�e��kno�w�that��f�G��(�q��n9���2�2��.=�)�j�[����]�����2��V�2�UR�M�����2����(�����0���(4)),��3hence��equals����>�af�G��(�q�n9�)���+��bf��(�q��n9���2�2��.=�)��for�some�scalars��a;���b�.�8�What�are��a��and��b�?���=��O��P��VARI��co�S�de�to�compute��f�2��is:����P�g�e2(n,j=0)=1+24*sum(j=1,n,\����i9�sumdiv(j,d,if(d%2==1,d,0))*q^j)+O(q^(n+1));���1��O��also���f�G��(�q��n9���2�2��.=�),����JY��e22(n,j=0)=1+24*sum(j=1,n,\����V�4sumdiv(j,d,if(d%2==1,d,0))*q^(2*j))+O(q^(n+1));���1��O��This��is�ho��rw�to�nd��a��and��b��with�the�computer.����>�f=e2(1000);����>f2=e22(1000);����>x=I;y=1+2*I;����>v=[bar(f,1,0,0,1,2,x),bar(f,1,0,0,1,2,y)];�����Q#�v_������O����2.1.�	#�EISENSTEIN��SERIES�OF�WEIGHT�1����7���8_��������w=[bar(f2,1,0,0,1,2,x),bar(f2,1,0,0,1,2,y)];�����r=[bar(f2,1,0,2,1,2,x),bar(f2,1,0,2,1,2,y)];����m[1,]=v;m[2,]=w;m[3,]=r;����matrank(m)����Y�--->�,�2����matker(mattranspose(m))����Y�--->�,�[-1/2;1;1]���:��"��As��Oa�double�c��rhec�k,��aI��Ntried��Othis�for�man��ry�c�hoices�of��x�,��a�y�S��in�the�upp�S�er�half����plane��and�alw��ra�ys��got�the�same�answ��rer.�8�Conclusion:��^㍒�b��f�G��(�q��n9����2��.=�)�j�[����]�����2��V�=������ō���1�����[��z����
�΍2��������f��(�q�n9�)������f�G��(�q������2��.=�)�:���x��"��Next�,�it�is�necessary�to�nd��G�(�q�n9�)�y�=��E���(�q��)����2�2����,�}|the�,�square�of�our�w��reigh�t�,�1����Eisenstein���series,���in�terms�of��f�G��(�q�n9�)�and��f��(�q��n9���2�2��.=�).��W��Ve�will�then�obtain��G�j�[����]�����2��U˹and����hence�i�nally�a�nice�expression�for�the�square�of�the��q�n9�-expansion�of��E���(�q��)�at����the��non��rtrivial�cusp.����"��W��Vriting��it�all�out�using��q�n9�-expansions�in�P�ARI�yields������2�G�(�q�n9�)�UR=������ō���1�����[��z����
�΍3��������f�G��(�q��)���+������ō���2���۟[��z����
�΍3�����
�
�f��(�q������2��.=�)�:���+���Y��Vou��Hget�this�b��ry�computing,��in�the�ab�S�o�v�e�notation,���e2(6),�,�e22(6),��and�����eis(6)^2�,��and�then�doing�some�simple�linear�algebra.����"��Finally��V,������]��G�j�[����]�����2�������#�=����������ō��z�1���z��[��z����
�΍3���������f�G��(�q�n9�)�j�[����]�����2��j��+������ō���2���۟[��z����
�΍3�����
�
�f��(�q������2��.=�)�j�[����]�����2�����4�����#�=����������ō��z�1���z��[��z����
�΍3���������f�G��(�q�n9�)���+������ō���2���۟[��z����
�΍3��������
�
��
����������ō�N�1��N�[��z����
�΍2�����b�f��(�q��)������f�G��(�q������2��.=�)�����
�������������#�=����������ō��z�2���z��[��z����
�΍3���������f�G��(�q�n9�)����������ō��۹2���۟[��z����
�΍3�����
�
�f��(�q������2��.=�)�UR=������ō���2�����[��z����
�΍3�������(�f��(�q��)������f�G��(�q������2��.=�))����Wx�����#�=������Gu16�q��+���64�q��n9����3����+�96�q��n9����5���+�128�q��n9����7���+����������������"��Surprise:�/�this��nw��rould�imply�that�the�form��G��apparen�tly�v��X�anishes�to�order�����1���at�the�cusp�1�=�2.��This�is��:���@cmti12�imp��ffossible��as�it,��b�S�eing�a�square,�w��rould�ha�v�e�to����v��X�anish��to�order�2�if�it�v�anishes.�8�Is�there�a�mistak��re!?����"��I�x�quadrupled�x�c��rhec�k�ed�m�y�computations,��Sand�I�x�ev�en�n�umerically�v�eried����that��in�fact��G�j�[����]�����2��V�=�����Fu�����2��������z�@���3�����	���(�f�G��(�q�n9�)������f��(�q��n9���2�2��.=�))��mak��res�sense�to�v�ery�high�precision.����"��No��rw���I���don't�think�there�is�a�mistak�e.�,�The�problem�is�that�the�cusp�[1�=�2]����for�[�����1����(4)�has��width��2,�w$i.e.,�the�[�q�n9�-expansion�of��E���(�q��)�at�that�cusp�is�in�terms����of���e����2�2��I{iz�V�=�2�����.�8�This�is�b�S�ecause���(����)����
|j�1�����2����ፍ�
|j0�����1�����?��)��� &��2�UR�������2��1��p������1����(4)���7�but���(����)����
|j�1�����1����ፍ�
|j0�����1�����?��)����62�UR�������2��1��p������1����(4)����.�����Z���;�v_��
�:���@cmti12�6��N�ffcmbx12�5߆�Tcmtt12�4��N�G�cmbx12�0�%n�
eufm10�-���
msbm10�'��u
cmex10�%�K�cmsy8�$!",�
cmsy10�"�2cmmi8�!��g�cmmi12�|{Ycmr8���N�cmbx12���N��Hcmbx12�}h!�cmsl12���g�ffcmmi12�X�Qffcmr12�D��t�qG�cmr17�X�Qcmr12�K�`y

cmr10�g�������