Sharedwww / merel-stein / B62-french.texOpen in CoCalc
Author: William A. Stein
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5
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7
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11
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15
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23
24
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26circonflexe
27\def\�#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}        %trema
28
29
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41
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46
47\def\up#1{\raise 1ex\hbox{\sevenrm#1}}                       %exposants en
48texte
49\def\no#1{{\kern 1pt{\rm n\up o}\kern 2pt #1\kern 1pt}}     %num�ro
50\def\nos{{\kern 1pt{\rm n\up {os}}\kern 2pt}} %num�ros
51
52\def\�{\^a}               %usage simplifi� des tr�mas et accents circonflexes
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62
63\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0 pt}
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65
66\def\R#1{{\rm #1}}         %romain
67\def\B#1{{\bf #1}}         %gras
68
69\def\ie{{\it i.e.~}}                    %id est
70\def\lc{{\it loc.cit.}}                 %loc. cit.
71\def\af{{\it a fortiori\ }}             %a fortiori
72\def\mod#1{\ \hbox{{\rm mod}$#1$}}      %modulo
73\def\cvirg{\,\raise2pt\hbox{,}}         %virgule apr�s une fraction
74\def\eps{\varepsilon}                   %nom court pour varepsilon
75
76\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}              %sinus hyperbolique
77\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}              %cosinus hyperbolique
78\def\tgh{\mathop{\rm th}\nolimits}             %tangente hyperbolique
79\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}              %tangente
80\def\Arcsin{\mathop{\rm Arc\,sin}\nolimits}    %Arc sinus
81\def\Arccos{\mathop{\rm Arc\,cos}\nolimits}    %Arc cosinus
82\def\Arctg{\mathop{\rm Arc\,tg}\nolimits}      %Arc tangente
83\def\Argsh{\mathop{\rm Arg\,sh}\nolimits}      %Arg sinus hyperbolique
84\def\Argch{\mathop{\rm Arg\,ch}\nolimits}      %Arg cosinus hyperbolique
85\def\Argth{\mathop{\rm Arg\,th}\nolimits}      %Arg tangente hyperbolique
86
87\def\RE{\mathop{\rm Re}\nolimits}      %Partie r�elle
88\def\IM{\mathop{\rm Im}\nolimits}      %Partie imaginaire
89\def\H{\mathop{\bf H}\nolimits}        %1/2 plan
90
91\font\titchap=cmr17 at 20pt  % pour les titres de chapitres
92\font\pc=cmcsc10             % pour les titres de paragraphe, propositions,etc.
93
94
95\def\moinsgras{\mathrel{\hbox{\bf -\kern-1pt -}}}   %moins gras
96
97\def\th#1{\noindent{\pc Th\'eor\eme}\ #1. --- \ignorespaces}     %Th�or�me 1.-
98\def\prop#1{\noindent{\pc Proposition}\ #1. --- \ignorespaces}
99%Proposition 1.-
100\def\Def#1{\noindent{\pc D\'efinition}\ #1. --- \ignorespaces}
101%D�finition 1.-
102\def\cor#1{\noindent{\pc Corollaire}\ #1. --- \ignorespaces}
103%Corollaire 1.-
104\def\conj#1{\noindent{\pc Conjecture}\ #1. --- \ignorespaces}
105%Conjecture 1.-
106\def\lem#1{\noindent{\it Lemme}\ #1. --- \ignorespaces}           %Lemme 1.-
107\def\rem#1{\noindent{\it Remarque}\ #1 : \ignorespaces}        %Remarque 1.-
108\def\exe#1{\noindent{\it Exemple}\ #1 : \ignorespaces}         %Exemple 1.-
109\def\exr#1{\noindent{\it Exercice}\ #1 : \ignorespaces}        %Exercice 1.-
110\def\rems{\noindent{\it Remarques} : \ignorespaces}            %Remarques .-
111\def\exes{\noindent{\it Exemples} : \ignorespaces}             %Exemples .-
112\def\exrs{\noindent{\it Exercices} : \ignorespaces}            %Exercices .-
113
114\def\thp{\noindent{\pc Th\'eor\eme}. --- \ignorespaces}          %Th�or�me .-
115\def\propp{\noindent{\pc Proposition}. --- \ignorespaces}
116%Proposition .-
117\def\Defp{\noindent{\pc D\'efinition}. --- \ignorespaces}
118%D�finition .-
119\def\corp{\noindent{\pc Corollaire}. --- \ignorespaces}
120%Corollaire .-
121\def\conjp{\noindent{\pc Conjecture}. --- \ignorespaces}
122%Conjecture .-
123\def\lemp{\noindent{\it Lemme}. --- \ignorespaces}                %Lemme .-
124\def\scholie{\noindent{\it Scholie}. --- \ignorespaces}           %Scholie .-
125\def\remp{\noindent{\it Remarque} : \ignorespaces}             %Remarque .-
126\def\exep{\noindent{\it Exemple} : \ignorespaces}              %Exemple .-
127
128\def\dm{\noindent{\it D�monstration}. --- \ignorespaces}
129%Exemple .-
130\def\raw{\longrightarrow}
131\def\Hom{{\rm Hom}}
132\def\Sha{{\cyr Sh}}
133\def\Gal{{\rm Gal}}
134\def\vol{{\rm vol}}
135\def\spec{{\rm Spec\, }}
136\def\cP{{\cal P}}
137\def\cX{{\cal X}}
138\def\cA{{\cal A}}
139\def\cP{{\cal P}}
140\def\cO{{\cal O}}
141\def\cM{{\cal M}}
142\def\cI{{\cal I}}
143\def\cJ{{\cal J}}
144
145\def\Mazur{{$[1]$ }}
146\def\Merel{{$[2]$ }}
147\def\MO{{$[3]$ }}
148
149\centerline
150{\titchap Le corps engendr\'e par les points }
151\centerline
152{\titchap
153de petit ordre premier
154d'une courbe elliptique}
155\medskip
156
157
158\bigskip\bigskip\bigskip
159\centerline{\pc Lo\"\i c Merel {\rm and} William Stein}
160\bigskip\bigskip\bigskip
161
162\bigskip
163
164\bigskip\bigskip\noindent
165{\bf Introduction}
166\bigskip\bigskip
167
168Soit $p$ un nombre premier.
169Soit $\bar\B Q$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\B Q$.
170Notons $\B Q(\mu_p)$ le sous-corps cyclotomique de $\bar\B Q$
171engendr\'e par les racines $p$-i\emes de l'unit\'e.
172Soit $E$ une courbe elliptique sur $\B Q(\mu_p)$, telle que les
173points d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$ soient tous $\B Q(\mu_p)$-rationnels.
174\bigskip
175\th{}{\it On a $p>1000$, $p<6$ ou $p=13$.}
176\bigskip
177
178Signalons que le cas $p=7$ a \'et\'e trait\'e par Emmanuel Halberstadt.
179La partie du th\'eor\eme concernant les cas
180$p\equiv 3\pmod 4$ est \'enonc\'ee dans \Merel. Nous nous proposons de donner
181les d\'etails qui permettent de traiter ces cas ainsi que les cas, un peu plus
182difficiles, o\u
183$p\equiv1\pmod 4$. Nous traitons ces derniers \a l'aide de la proposition
1842 ci-dessous, qui n'est pas pr\'esente dans {\it loc. cit.}
185
186Il est peut-\^etre possible d'exclure le cas o\u $p=13$,
187en \'etudiant la courbe modulaire $X_1(13)$ et sa jacobienne
188$J_1(13)$.
189
190\bigskip\noindent
191{\bf 1. Rappel des r\'esultats de \Merel}
192\bigskip
193Notons $J_0(p)$ la jacobienne de la courbe modulaire $X_0(p)$ (qui classe
194les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un sous-groupe
195cyclique d'ordre $p$).
196Consid\'erons le sous-anneau $\B T$ de ${\rm End}\,J_0(p)$
197engendr\'e par les op\'erateurs de Hecke. Renvoyons \a \Mazur
198pour l'\'etude approfondie de ces objets.
199
200Soit $S$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de courbes elliptiques
201supersinguli\eres en caract\'eristique $p$.
202Notons $\Delta_S$ le groupe form\'e par les diviseurs de degr\'e $0$
203\a support dans $S$. Il est muni d'une structure
204de $\B T$-module (d\'eduite, par exemple, de l'action des correspondances
205de Hecke sur la fibre en $p$ du mod\ele r\'egulier minimal de
206$X_0(p)$ sur $\B Z$).
207
208Soit $j\in\bar\B F_p-J_S$, o\u $J_S$ d\'esigne l'ensemble des invariants
209modulaires
210supersinguliers. On note $\iota_j$ l'homomorphisme de
211groupes $\Delta_S\raw \bar\B F_p$ qui \a $\sum_E n_E[E]$ associe
212la quantit\'e
213$\sum_E n_E/(j-j(E))$, o\u $j(E)$ d\'esigne l'invariant modulaire de $E$.
214
215On dira qu'un \'el\'ement $j\in\B F_p$ {\it pr\'esente une anomalie}
216s'il existe une courbe elliptique sur $\B F_p$ d'invariant modulaire $j$
217poss\'edant un point $\B F_p$-rationnel d'ordre $p$ (cela entra\^\i ne $j\notin 218J_S$).
219
220\bigskip
221\prop{1}{\it Supposons que $p$ est congru \a $1$ modulo $4$. Supposons que
222pour
223tout
224$j\in\B F_p$ pr\'esentant une anomalie et tout
225caract\ere de Dirichlet $\chi$ : $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C$ non quadratique,
226il existe $t_\chi\in \B T$ et
227$\delta\in\Delta_S$ tels que $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ et
228 $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$.
229
230
231Alors pour tout sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar \B Q)$, il existe
232une courbe elliptique $E_C$ sur $\B Q(\sqrt p)$
233munie d'un sous-groupe
234$D_C$ d'ordre $p$ et $\B Q(\sqrt p)$-rationnel, telle que
235les couples $(E,C)$ et $(E_C,D_C)$ soient $\bar \B Q$-isomorphes.}
236
237\dm Indiquons comment cela se d\'eduit de \Merel.
238L'hypoth\ese $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$ entra\^\i ne $t_\chi\notin p\B T$
239et, {\it a fortiori}, $t_\chi\ne0$, si bien que
240l'hypoth\ese de non-annulation de s\'erie $L$
241entra\^\i ne l'hypoth\ese $H_p(\chi)$ de {\it loc. cit}, introduction.
242
243D'apr\es {\it loc. cit}, corollaire 3 de la proposition 6, $E$ a
244potentiellement
245bonne r\'eduction en l'id\'eal premier $\cP$ de $\B Z[\mu_p]$ au dessus de $p$
246d\es lors que l'hypoth\ese $H_p(\chi)$ est v\'erifi\'ee pour
247$\chi$ caract\ere  de Dirichlet de conducteur $p$ non quadratique
248(ce qui est le cas par hypoth\ese).
249
250Notons $j$ l'invariant modulaire de la fibre en $\cP$ du mod\ele de
251N\'eron de $E$. D'apr\es le corollaire de la proposition 15 de {\it loc.
252cit.},
253$j$ pr\'esente une anomalie.
254
255Soit $C$ un sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$.
256Le couple $(E,C)$ d\'efinit un point $P$ qui $\B Q(\mu_p)$-rationnel de
257la courbe modulaire $X_0(p)$, qui n'est pas une pointe.
258
259Consid\'erons le morphisme $\phi_{\chi}=\phi_{t_\chi}$ (voir {\it loc. cit.}
260section 1.3). Comme $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$, c'est une immersion
261formelle au
262point
263$P_{/\B F_p}$ d'apr\es {\it loc. cit.}, proposition 4.
264L'hypoth\ese $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ entra\^\i ne que
265la composante $\chi$-isotypique de $t_\chi J_0(p)(\B Q(\mu_p))$ est
266finie (th\'eor\eme de Kato, voir la discussion dans
267{\it loc. cit.} section 1.5). On peut donc appliquer le corollaire
2681 de la proposition 6 de {\it loc. cit}. Cela prouve que $P$ est
269$\B Q(\sqrt p)$-rationnel, ce qui se traduit par la conclusion de la
270proposition 1.
271
272
273\bigskip\bigskip\noindent
274{\bf 2. Un lemme sur les courbes elliptiques}
275\bigskip
276\prop{2}{\it Soit $p$ un nombre premier congru \a $1$ modulo $4$. Soit $E$
277une courbe elliptique sur
278$\bar\B Q$. Il existe un sous-groupe cyclique $C$ d'ordre $p$ de
279$E(\bar\B Q)[p]$, tel que pour toute courbe elliptique $E'$ sur $\B Q(\sqrt 280p)}$
281munie d'un sous-groupe $C'$ qui est $\B Q(\sqrt p)}$-rationnel les
282couples $(E,C)$ et $(E', C')$ ne soient pas $\bar\B Q$-isomorphes.
283}
284
285\dm
286Proc\'edons par l'absurde.
287Soit $E_0$ une courbe elliptique sur $\B Q(\sqrt p)})$
288qui est $\bar\B Q$ isomorphe \a $E$ (il en existe par hypot\ese).
289D\'emontrons au pr\'ealable que le groupe
290$\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p)})$ agit scalairement
291sur le $\B F_p$-espace vectoriel $E_0(\bar\B Q)[p]$.
292
293Notons $X(p)$ la courbe alg\'ebrique sur $\B Q$ qui classe (finement puisque
294$p>2$) les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un plongement
295$\pi$ : $(\B Z/p\B Z)^2\raw E[p]$. Consid\'erons le morphisme (de vari\'et\'es
296alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi$ :
297$X(p)\raw X_0(p)^{\B P^1(\B F_p)}$ qui \a $(E,\pi)$ associe
298$\prod_{t\in\B P^1(\B F_p)}(E,\pi(t))$.
299Notons $X_\Delta(p)$ l'image de $\phi$. Le rev\^etement (de courbe
300alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi'$ :
301$X(p)\raw X_\Delta(p)$ est galoisien de groupe de Galois isomorphe \a $\B 302F_p^*$ (l'action \'etant d\'eduite de l'action scalaire de $\B F_p^*$ sur
303$E[p]$).
304
305Soit $\pi_0$ un plongement $(\B Z/p\B Z)^2\raw E_0[p]$.
306Notons $P$ le point $\bar\B Q$-rationnel de $X(p)$ d\'eduit de $(E_0,\pi_0)$.
307Son image par $\phi$ est $\B Q(\sqrt p)$-rationnelle par hypoth\ese.
308On a donc un caract\ere $\alpha$ : $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))\raw\B 309F_p^*$ tel que $\sigma(P)=\alpha(\sigma).P$ ($\sigma\in \Gal(\bar\B Q/\B 310Q(\sqrt p))$). En d'autres termes $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))$ agit
311scalairement sur $E_0(\bar\B Q)[p]$ via le caract\ere $\alpha$.
312
313
314
315En raison des accouplement de Weil, $\alpha^2$ co\"\i ncide
316avec le caract\ere cyclotomique modulo $p$, et se factorise donc
317par $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p))$. Or, lorsque
318$p\equiv 1\pmod 4$, le groupe $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p)})$ est d'ordre
319pair, et ses caract\eres modulo $p$ forment un groupe engendr\'e par la
320r\'eduction  modulo $p$ du caract\ere cyclotomique, qui ne peut donc \^etre un
321carr\'e.
322
323\bigskip\bigskip\noindent
324{\bf 3. V\'erification des hypoth\eses de la proposition 1}
325\bigskip
326Soit $p$ un nombre premier.
327Indiquons comment nous v\'erifions que les hypoth\eses de la proposition
3281 sont satisfaites. Notons $S_2(\Gamma_0(p))$ le groupe form\'e par les
329formes modulaires paraboliques de poids $2$ pour le groupe de congruence
330$\Gamma_0(p)$  et \a coefficients de Fourier entiers. Par forme primitive
331on entend une forme primitive du $\bar\B Q$-espace
332vectoriel engendr\'e par $S_2(\Gamma_0(p))$.
333
334On \'etablit d'abord la liste des invariants modulaires $j\in\B F_p$
335pr\'esentant
336une anomalie. On ne s'int\'eresse qu'\a ces derniers.
337Soient $\chi$ un caract\ere de Dirichlet $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C^*$ et
338$j\in\B P^1(\B F_p)$ pr\'esentant une anomalie.
339
340On \'etudie les trois $\B T$-modules suivants : $\B T$, $\Delta_S$ et
341$S_2(\Gamma_0(p))$. Apr\es extensions des scalaires \a $\B Q$,
342ce sont des $\B T\otimes\B Q$-modules libres de rang 1, dont les
343sous-$\B T$-modules irr\'eductibles sont les annulateurs des id\'eaux premiers
344minimaux de
345$\B T$. On
346\'etablit la liste des id\'eaux premiers minimaux de $\B T$. D'un point de vue
347algorithmique, ils sont engendr\'es par des polyn\^omes de petits degr\'es
348en les op\'erateurs de Hecke de petits indices ; on trouve ces polyn\^omes
349en utilisant la m\'ethode du graphe de Mestre et Oesterl\'e \MO.
350
351Pour chaque id\'eal $\cP$ de $\B T$, on peut examiner si
352les trois conditions suivantes sont satisfaites :
353
354\noindent i)
355Il
356existe $x\in\Delta_S$ tel que $\cP x=0$ et $\iota_j(x)\ne 0$.
357
358\noindent
359ii) Toute forme primitive $f$ telle que $\cP f=0$ v\'erifie $L(f,\chi,1)\ne 0$.
360
361\noindent
362iii) L'image de $\cP$ dans le $\B T$-module $\B T/p\B T$ est un facteur direct.
363
364On \'etudie le cas o\u $\cP$ est premier et minimal.
365La premi\ere condition s'\'etudie par la m\'ethode du graphe de Mestre et
366Oesterl\'e. La deuxi\eme condition se v\'erifie par la th\'eorie des symboles
367modulaires (sans recours \a des calculs d'int\'egrales).
368La troisi\eme condition est v\'erifi\'ee pour $p<1000$ et $p\ne 389$, car l'un
369d'entre nous a d\'ecouvert que le discriminant de $\B T$ est premier \a $p$ et
370donc que l'anneau
371$\B T/p\B T$ est semi-simple. Pour tout nombre premier $p$ distinct de
372$2,3,5,7, 13$ et $389$, on v\'erifie l'existence d'un id\'eal premier minimal
373v\'erifiant les trois conditions \'enonc\'ees.
374
375Dans le cas o\u $p=389$,
376on trouve $\cP$ de la mani\ere suivante.
377Il existe deux id\'eaux premiers minimaux $\cP_1$ et $\cP_2$ satisfaisant
378les deux premi\eres conditions. Comme le discriminant de $\B T$ est de
379valuation $p$-adique \'egale \a $1$, l'image de l'un au moins des id\'eaux
380$\cP_1$, $\cP_2$ et $\cP_1\cap\cP_2$ est un facteur direct de
381$\B T/p\B T$.  On note $\cP$, celui de ces id\'eaux qui
382convient.
383
384Lorsque nos trois conditions sont satisfaites pour un id\'eal $\cP$ de $\B 385T$, il
386existe
387$t_\chi\in\B T$ annul\'e par $\cP$ et image r\'eciproque d'un projecteur de
388$\B T/p\B T$ sur le suppl\'ementaire de $\cP+p\B T$.
389Posons $\delta=x$, on a $\iota_j(t_\chi \delta)=\iota_j(\delta)\ne0$ (car
390$\iota_j$ prend ses valeurs en caract\'eristique $p$, $\delta$ est annul\'e
391par $\cP$
392et $t_\chi\in 1+p\B T+\cP$).
393L'assertion $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ r\'esulte facilement de la deuxi\eme
394condition, puisque $L(t_\chi J_0(p),\chi,s)$ est le produit des
395$L(f,\chi,s)$, o\u $f$ parcourt les formes primitives non annul\'ees par
396$t_\chi$.
397
398Le couple $(t_\chi,\delta)$ satisfait donc les conditions demand\'ees.
399
400\bigskip\bigskip
401
402
403
404\centerline{\pc Bibliographie}
405\bigskip
406
407\item{\Mazur}{\pc B. Mazur},
408{\it Modular curves and the Eisenstein ideal},
409Pub. math. de l'IHES {\bf 47}, 33--186, {\oldstyle 1977}.
410
411\item{\Merel}{\pc L. Merel},
412{\it Sur la nature non cyclotomique des points d'ordre fini des courbes
413elliptiques},
414Pr\'epublication , {\oldstyle
4151999}.
416
417\item{\MO}{\pc J.-F. Mestre} et {\pc J. Oesterl\'e},
418{\it Courbes elliptiques de conducteur premier}, Manuscrit non publi\'e.
419\end
`