CoCalc -- Collaborative Calculation in the Cloud
Sharedwww / merel-stein / B62-french.texOpen in CoCalc
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texte
\def\no#1{{\kern 1pt{\rm n\up o}\kern 2pt #1\kern 1pt}}     %num�ro
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\def\{\^e}
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\def\{\�u}

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0 pt}
\def\tv{\tvi\vrule}

\def\R#1{{\rm #1}}         %romain
\def\B#1{{\bf #1}}         %gras

\def\ie{{\it i.e.~}}                    %id est
\def\lc{{\it loc.cit.}}                 %loc. cit.
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\def\mod#1{\ \hbox{{\rm mod}$#1$}}      %modulo
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\def\eps{\varepsilon}                   %nom court pour varepsilon

\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}              %sinus hyperbolique
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}              %cosinus hyperbolique
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\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}              %tangente
\def\Arcsin{\mathop{\rm Arc\,sin}\nolimits}    %Arc sinus
\def\Arccos{\mathop{\rm Arc\,cos}\nolimits}    %Arc cosinus
\def\Arctg{\mathop{\rm Arc\,tg}\nolimits}      %Arc tangente
\def\Argsh{\mathop{\rm Arg\,sh}\nolimits}      %Arg sinus hyperbolique
\def\Argch{\mathop{\rm Arg\,ch}\nolimits}      %Arg cosinus hyperbolique
\def\Argth{\mathop{\rm Arg\,th}\nolimits}      %Arg tangente hyperbolique

\def\RE{\mathop{\rm Re}\nolimits}      %Partie r�elle
\def\IM{\mathop{\rm Im}\nolimits}      %Partie imaginaire
\def\H{\mathop{\bf H}\nolimits}        %1/2 plan

\font\titchap=cmr17 at 20pt  % pour les titres de chapitres
\font\pc=cmcsc10             % pour les titres de paragraphe, propositions,etc.


\def\moinsgras{\mathrel{\hbox{\bf -\kern-1pt -}}}   %moins gras

\def\th#1{\noindent{\pc Th\'eor\`eme}\ #1. --- \ignorespaces}     %Th�or�me 1.-
\def\prop#1{\noindent{\pc Proposition}\ #1. --- \ignorespaces}
%Proposition 1.-
\def\Def#1{\noindent{\pc D\'efinition}\ #1. --- \ignorespaces}
%D�finition 1.-
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%Corollaire 1.-
\def\conj#1{\noindent{\pc Conjecture}\ #1. --- \ignorespaces}
%Conjecture 1.-
\def\lem#1{\noindent{\it Lemme}\ #1. --- \ignorespaces}           %Lemme 1.-
\def\rem#1{\noindent{\it Remarque}\ #1 : \ignorespaces}        %Remarque 1.-
\def\exe#1{\noindent{\it Exemple}\ #1 : \ignorespaces}         %Exemple 1.-
\def\exr#1{\noindent{\it Exercice}\ #1 : \ignorespaces}        %Exercice 1.-
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\def\exes{\noindent{\it Exemples} : \ignorespaces}             %Exemples .-
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%Proposition .-
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%D�finition .-
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\def\dm{\noindent{\it D�monstration}. --- \ignorespaces}
%Exemple .-
\def\raw{\longrightarrow}
\def\Hom{{\rm Hom}}
\def\Sha{{\cyr Sh}}
\def\Gal{{\rm Gal}}
\def\vol{{\rm vol}}
\def\spec{{\rm Spec\, }}
\def\cP{{\cal P}}
\def\cX{{\cal X}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cP{{\cal P}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cI{{\cal I}}
\def\cJ{{\cal J}}

\def\Mazur{{$[1]$ }}
\def\Merel{{$[2]$ }}
\def\MO{{$[3]$ }}

\centerline
{\titchap Le corps engendr\'e par les points }
\centerline
{\titchap
de petit ordre premier
d'une courbe elliptique}
\medskip


\bigskip\bigskip\bigskip
\centerline{\pc Lo\"\i c Merel {\rm and} William Stein}
\bigskip\bigskip\bigskip

\bigskip

\bigskip\bigskip\noindent
{\bf Introduction}
\bigskip\bigskip

Soit $p$ un nombre premier.
Soit $\bar\B Q$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\B Q$.
Notons $\B Q(\mu_p)$ le sous-corps cyclotomique de $\bar\B Q$
engendr\'e par les racines $p$-i\`emes de l'unit\'e.
Soit $E$ une courbe elliptique sur $\B Q(\mu_p)$, telle que les
points d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$ soient tous $\B Q(\mu_p)$-rationnels.
\bigskip
\th{}{\it On a $p>1000$, $p<6$ ou $p=13$.}
\bigskip

Signalons que le cas $p=7$ a \'et\'e trait\'e par Emmanuel Halberstadt.
La partie du th\'eor\`eme concernant les cas
$p\equiv 3\pmod 4$ est \'enonc\'ee dans \Merel. Nous nous proposons de donner
les d\'etails qui permettent de traiter ces cas ainsi que les cas, un peu plus
difficiles, o\`u
$p\equiv1\pmod 4$. Nous traitons ces derniers \`a l'aide de la proposition
2 ci-dessous, qui n'est pas pr\'esente dans {\it loc. cit.}

Il est peut-\^etre possible d'exclure le cas o\`u $p=13$,
en \'etudiant la courbe modulaire $X_1(13)$ et sa jacobienne
$J_1(13)$.

\bigskip\noindent
{\bf 1. Rappel des r\'esultats de \Merel}
\bigskip
Notons $J_0(p)$ la jacobienne de la courbe modulaire $X_0(p)$ (qui classe
les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un sous-groupe
cyclique d'ordre $p$).
Consid\'erons le sous-anneau $\B T$ de ${\rm End}\,J_0(p)$
engendr\'e par les op\'erateurs de Hecke. Renvoyons \`a \Mazur
pour l'\'etude approfondie de ces objets.

Soit $S$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de courbes elliptiques
supersinguli\`eres en caract\'eristique $p$.
Notons $\Delta_S$ le groupe form\'e par les diviseurs de degr\'e $0$
\`a support dans $S$. Il est muni d'une structure
de $\B T$-module (d\'eduite, par exemple, de l'action des correspondances
de Hecke sur la fibre en $p$ du mod\`ele r\'egulier minimal de
$X_0(p)$ sur $\B Z$).

Soit $j\in\bar\B F_p-J_S$, o\`u $J_S$ d\'esigne l'ensemble des invariants
modulaires
supersinguliers. On note $\iota_j$ l'homomorphisme de
groupes $\Delta_S\raw \bar\B F_p$ qui \`a $\sum_E n_E[E]$ associe
la quantit\'e
$\sum_E n_E/(j-j(E))$, o\`u $j(E)$ d\'esigne l'invariant modulaire de $E$.

On dira qu'un \'el\'ement $j\in\B F_p$ {\it pr\'esente une anomalie}
s'il existe une courbe elliptique sur $\B F_p$ d'invariant modulaire $j$
poss\'edant un point $\B F_p$-rationnel d'ordre $p$ (cela entra\^\i ne $j\notin
J_S$).

\bigskip
\prop{1}{\it Supposons que $p$ est congru \`a $1$ modulo $4$. Supposons que
pour
tout
$j\in\B F_p$ pr\'esentant une anomalie et tout
caract\`ere de Dirichlet $\chi$ : $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C$ non quadratique,
il existe $t_\chi\in \B T$ et
$\delta\in\Delta_S$ tels que $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ et
 $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$.


Alors pour tout sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar \B Q)$, il existe
une courbe elliptique $E_C$ sur $\B Q(\sqrt p)$
munie d'un sous-groupe
$D_C$ d'ordre $p$ et $\B Q(\sqrt p)$-rationnel, telle que
les couples $(E,C)$ et $(E_C,D_C)$ soient $\bar \B Q$-isomorphes.}

\dm Indiquons comment cela se d\'eduit de \Merel.
L'hypoth\`ese $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$ entra\^\i ne $t_\chi\notin p\B T$
et, {\it a fortiori}, $t_\chi\ne0$, si bien que
l'hypoth\`ese de non-annulation de s\'erie $L$
entra\^\i ne l'hypoth\`ese $H_p(\chi)$ de {\it loc. cit}, introduction.

D'apr\`es {\it loc. cit}, corollaire 3 de la proposition 6, $E$ a
potentiellement
bonne r\'eduction en l'id\'eal premier $\cP$ de $\B Z[\mu_p]$ au dessus de $p$
d\`es lors que l'hypoth\`ese $H_p(\chi)$ est v\'erifi\'ee pour
$\chi$ caract\`ere  de Dirichlet de conducteur $p$ non quadratique
(ce qui est le cas par hypoth\`ese).

Notons $j$ l'invariant modulaire de la fibre en $\cP$ du mod\`ele de
N\'eron de $E$. D'apr\`es le corollaire de la proposition 15 de {\it loc.
cit.},
$j$ pr\'esente une anomalie.

Soit $C$ un sous-groupe d'ordre $p$ de $E(\bar\B Q)$.
Le couple $(E,C)$ d\'efinit un point $P$ qui $\B Q(\mu_p)$-rationnel de
la courbe modulaire $X_0(p)$, qui n'est pas une pointe.

Consid\'erons le morphisme $\phi_{\chi}=\phi_{t_\chi}$ (voir {\it loc. cit.}
section 1.3). Comme $\iota_j(t_\chi\delta)\ne0$, c'est une immersion
formelle au
point
$P_{/\B F_p}$ d'apr\`es {\it loc. cit.}, proposition 4.
L'hypoth\`ese $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ entra\^\i ne que
la composante $\chi$-isotypique de $t_\chi J_0(p)(\B Q(\mu_p))$ est
finie (th\'eor\`eme de Kato, voir la discussion dans
{\it loc. cit.} section 1.5). On peut donc appliquer le corollaire
1 de la proposition 6 de {\it loc. cit}. Cela prouve que $P$ est
$\B Q(\sqrt p)$-rationnel, ce qui se traduit par la conclusion de la
proposition 1.


\bigskip\bigskip\noindent
{\bf 2. Un lemme sur les courbes elliptiques}
\bigskip
\prop{2}{\it Soit $p$ un nombre premier congru \`a $1$ modulo $4$. Soit $E$
une courbe elliptique sur
$\bar\B Q$. Il existe un sous-groupe cyclique $C$ d'ordre $p$ de
$E(\bar\B Q)[p]$, tel que pour toute courbe elliptique $E'$ sur $\B Q(\sqrt
p)}$
munie d'un sous-groupe $C'$ qui est $\B Q(\sqrt p)}$-rationnel les
couples $(E,C)$ et $(E', C')$ ne soient pas $\bar\B Q$-isomorphes.
}

\dm
Proc\'edons par l'absurde.
Soit $E_0$ une courbe elliptique sur $\B Q(\sqrt p)})$
qui est $\bar\B Q$ isomorphe \`a $E$ (il en existe par hypot\`ese).
D\'emontrons au pr\'ealable que le groupe
$\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p)})$ agit scalairement
sur le $\B F_p$-espace vectoriel $E_0(\bar\B Q)[p]$.

Notons $X(p)$ la courbe alg\'ebrique sur $\B Q$ qui classe (finement puisque
$p>2$) les courbes elliptiques g\'en\'eralis\'ees munies d'un plongement
$\pi$ : $(\B Z/p\B Z)^2\raw E[p]$. Consid\'erons le morphisme (de vari\'et\'es
alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi$ :
$X(p)\raw X_0(p)^{\B P^1(\B F_p)}$ qui \`a $(E,\pi)$ associe
$\prod_{t\in\B P^1(\B F_p)}(E,\pi(t))$.
Notons $X_\Delta(p)$ l'image de $\phi$. Le rev\^etement (de courbe
alg\'ebriques sur $\B Q$) $\phi'$ :
$X(p)\raw X_\Delta(p)$ est galoisien de groupe de Galois isomorphe \`a $\B
F_p^*$ (l'action \'etant d\'eduite de l'action scalaire de $\B F_p^*$ sur
$E[p]$).

Soit $\pi_0$ un plongement $(\B Z/p\B Z)^2\raw E_0[p]$.
Notons $P$ le point $\bar\B Q$-rationnel de $X(p)$ d\'eduit de $(E_0,\pi_0)$.
Son image par $\phi$ est $\B Q(\sqrt p)$-rationnelle par hypoth\`ese.
On a donc un caract\`ere $\alpha$ : $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))\raw\B
F_p^*$ tel que $\sigma(P)=\alpha(\sigma).P$ ($\sigma\in \Gal(\bar\B Q/\B
Q(\sqrt p))$). En d'autres termes $\Gal(\bar\B Q/\B Q(\sqrt p))$ agit
scalairement sur $E_0(\bar\B Q)[p]$ via le caract\`ere $\alpha$.



En raison des accouplement de Weil, $\alpha^2$ co\"\i ncide
avec le caract\`ere cyclotomique modulo $p$, et se factorise donc
par $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p))$. Or, lorsque
$p\equiv 1\pmod 4$, le groupe $\Gal(\B Q(\mu_p)/\B Q(\sqrt p)})$ est d'ordre
pair, et ses caract\`eres modulo $p$ forment un groupe engendr\'e par la
r\'eduction  modulo $p$ du caract\`ere cyclotomique, qui ne peut donc \^etre un
carr\'e.

\bigskip\bigskip\noindent
{\bf 3. V\'erification des hypoth\`eses de la proposition 1}
\bigskip
Soit $p$ un nombre premier.
Indiquons comment nous v\'erifions que les hypoth\`eses de la proposition
1 sont satisfaites. Notons $S_2(\Gamma_0(p))$ le groupe form\'e par les
formes modulaires paraboliques de poids $2$ pour le groupe de congruence
$\Gamma_0(p)$  et \`a coefficients de Fourier entiers. Par forme primitive
on entend une forme primitive du $\bar\B Q$-espace
vectoriel engendr\'e par $S_2(\Gamma_0(p))$.

On \'etablit d'abord la liste des invariants modulaires $j\in\B F_p$
pr\'esentant
une anomalie. On ne s'int\'eresse qu'\`a ces derniers.
Soient $\chi$ un caract\`ere de Dirichlet $(\B Z/p\B Z)^*\raw \B C^*$ et
$j\in\B P^1(\B F_p)$ pr\'esentant une anomalie.

On \'etudie les trois $\B T$-modules suivants : $\B T$, $\Delta_S$ et
$S_2(\Gamma_0(p))$. Apr\`es extensions des scalaires \`a $\B Q$,
ce sont des $\B T\otimes\B Q$-modules libres de rang 1, dont les
sous-$\B T$-modules irr\'eductibles sont les annulateurs des id\'eaux premiers
minimaux de
$\B T$. On
\'etablit la liste des id\'eaux premiers minimaux de $\B T$. D'un point de vue
algorithmique, ils sont engendr\'es par des polyn\^omes de petits degr\'es
en les op\'erateurs de Hecke de petits indices ; on trouve ces polyn\^omes
en utilisant la m\'ethode du graphe de Mestre et Oesterl\'e \MO.

Pour chaque id\'eal $\cP$ de $\B T$, on peut examiner si
les trois conditions suivantes sont satisfaites :

\noindent i)
Il
existe $x\in\Delta_S$ tel que $\cP x=0$ et $\iota_j(x)\ne 0$.

\noindent
ii) Toute forme primitive $f$ telle que $\cP f=0$ v\'erifie $L(f,\chi,1)\ne 0$.

\noindent
iii) L'image de $\cP$ dans le $\B T$-module $\B T/p\B T$ est un facteur direct.

On \'etudie le cas o\`u $\cP$ est premier et minimal.
La premi\`ere condition s'\'etudie par la m\'ethode du graphe de Mestre et
Oesterl\'e. La deuxi\`eme condition se v\'erifie par la th\'eorie des symboles
modulaires (sans recours \`a des calculs d'int\'egrales).
La troisi\`eme condition est v\'erifi\'ee pour $p<1000$ et $p\ne 389$, car l'un
d'entre nous a d\'ecouvert que le discriminant de $\B T$ est premier \`a $p$ et
donc que l'anneau
$\B T/p\B T$ est semi-simple. Pour tout nombre premier $p$ distinct de
$2,3,5,7, 13$ et $389$, on v\'erifie l'existence d'un id\'eal premier minimal
v\'erifiant les trois conditions \'enonc\'ees.

Dans le cas o\`u $p=389$,
on trouve $\cP$ de la mani\`ere suivante.
Il existe deux id\'eaux premiers minimaux $\cP_1$ et $\cP_2$ satisfaisant
les deux premi\`eres conditions. Comme le discriminant de $\B T$ est de
valuation $p$-adique \'egale \`a $1$, l'image de l'un au moins des id\'eaux
$\cP_1$, $\cP_2$ et $\cP_1\cap\cP_2$ est un facteur direct de
$\B T/p\B T$.  On note $\cP$, celui de ces id\'eaux qui
convient.

Lorsque nos trois conditions sont satisfaites pour un id\'eal $\cP$ de $\B
T$, il
existe
$t_\chi\in\B T$ annul\'e par $\cP$ et image r\'eciproque d'un projecteur de
$\B T/p\B T$ sur le suppl\'ementaire de $\cP+p\B T$.
Posons $\delta=x$, on a $\iota_j(t_\chi \delta)=\iota_j(\delta)\ne0$ (car
$\iota_j$ prend ses valeurs en caract\'eristique $p$, $\delta$ est annul\'e
par $\cP$
et $t_\chi\in 1+p\B T+\cP$).
L'assertion $L(t_\chi J_0(p),\chi,1)\ne0$ r\'esulte facilement de la deuxi\`eme
condition, puisque $L(t_\chi J_0(p),\chi,s)$ est le produit des
$L(f,\chi,s)$, o\`u $f$ parcourt les formes primitives non annul\'ees par
$t_\chi$.

Le couple $(t_\chi,\delta)$ satisfait donc les conditions demand\'ees.

\bigskip\bigskip



\centerline{\pc Bibliographie}
\bigskip

\item{\Mazur}{\pc B. Mazur},
{\it Modular curves and the Eisenstein ideal},
Pub. math. de l'IHES {\bf 47}, 33--186, {\oldstyle 1977}.

\item{\Merel}{\pc L. Merel},
{\it Sur la nature non cyclotomique des points d'ordre fini des courbes
elliptiques},
Pr\'epublication , {\oldstyle
1999}.

\item{\MO}{\pc J.-F. Mestre} et {\pc J. Oesterl\'e},
{\it Courbes elliptiques de conducteur premier}, Manuscrit non publi\'e.
\end